I nte rna t io na l J o urna l o f   Ro bo t ics a nd   Aut o m a t io n ( I J R A)   Vo l. 8 ,   No . 1 Ma r ch   201 9 p p .   1 ~ 5   I SS N:  2089 - 4856 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j r a . v 8 i 1 . pp 1 - 5     1       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e. co m/jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JR A   Desig n of one  no n - linea r ada ptive  c o ntrol sy ste m  and  study o its t ra c k ing       Sa m ira n M a it i 1 Achinty a   D a s 2   1 De p a rtme n o f   ECE ,   Birb h u m   In stit u te o f   En g i n e e rin g   a n d   T e c h n o lo g y ,   S u ri,   Birb h u m ,   W e st Ben g a l ,   In d ia   2 De p a rtme n o f   El e c tro n ics   a n d   C o m m u n ica ti o n   E n g in e e rin g ,   Ka ly a n G o v t.   En g in e e rin g   Co l leg e ,     Ka l y a n i,   Na d ia,  In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ju l   16 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   Oct   11 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Oct   25 ,   2 0 1 8       In   th is  p a p e r,   a n   a d a p ti v e   c o n tr o m e th o d   is  p ro p o se d   f o a   c a teg o r y   o n o n li n e a sy ste m s.  A th e   to   b e g in   w it h   ste p   in   v e rsa ti le  c o n tro ll e p lan ,   w e   se lec th e   c o n tro law   w h ich   c o n tain i n g   v a riab le  p a ra m e ters .   A th a p o i n se lec a n   a d a p ti o n   law   f o a d ju stin g   th o se   p a ra m e t e rs.  We  a n a ly z e   th e   c o n v e rg e n c e   p ro p e rti e a n d   s y ste m   sta b il it y   u sin g   Ly a p u n o v   th e o ry .     T h e   v iab il it y   o f   th e   p ro p o se d   a p p ro a c h e is  a p p e a re d   b y   i m p li e o re c re a ti o n   o n   M A TL A B.   K ey w o r d s :   A d ap tio n   m ec h a n i s m     L y ap u n o v   m eth o d   Mo d el  r ef er e n ce   ad ap tiv e   co n tr o ller   ( MRAC )   No n li n ea r   p lan t   Co p y rig h ©   2 0 1 9   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Sa m ir a n   Ma iti ,   Dep ar t m en t o f   E C E ,   B ir b h u m   I n s tit u t o f   E n g in ee r in g   a n d   T ec h n o lo g y ,   Su r i,  B ir b h u m ,   W est B en g al,   P in - 731101 ,   I n d ia .   E m ail:  s a m ir a n . ce m k @ g m a il. co m       1.   I NT RO D UCT I O N     s y s te m   h a v i n g   u n ce r tai n t y   in   p r o ce s s   d y n a m ics   an d   e x te r n al  d is t u r b an ce s   i s   d i f f icu l t o   co n tr o l.   C u s to m ar y   i n p u co n tr o ller s   [ 1 ,   2 ]   attem p to   d i m in i s h   th ef f ec ts   o f   in n er   an d   o u ts id u n s ett lin g   i n f lu e n ce s   u p   to   ce r tai n   d e g r ee   a n d   t h e y   o r d in ar il y   p er f o r m   p alata b l y   f o r   s p ec if ic  w o r k i n g   co n d itio n .   So ,   t h e   n ec e s s it y   o f   co n tr o ller   w i th   w id r an g o f   o p er atin g   co n d itio n   c h ec k in g   t h u n s ettli n g   in f l u en ce   a n d   v ar y i n g   p r o ce s s   d y n a m ics  ca u s es  t h d ev elo p m en o f   ad ap tiv e   co n tr o ller   [ 3 ,   4 ].   No n lin ea r   tr ac k i n g   co n tr o is   o n o f   th m o s t   i m p o r tan is s u e s   in   co n tr o l   en g i n ee r in g   an d   its   ap p licatio n s   [ 5 ] .   Nu m er o u s   d o w n   to   ea r th   b u ild in g   ap p licatio n s   s tan d   u p   to   w it h   n o n li n ea r   d y n a m ics,  i n   wh ich   f r eq u en t l y   in v o lv e   u n ce r tain ties   i n   s y s te m   p ar am eter s   a n d   p ar a m eter   v a r iatio n s   a n d /o r   d is t u r b an ce .   T o   o v er co m t h o v er   is s u e,   v ar io u s   n o te w o r t h y   co n tr o l p lan s   h a v b ee n   b r o ad l y   p u l led   in   i m p r es s iv e   s u m   o f   in tr ig u ed   in   m o s t r ec en t a   f e w   d e ca d es,   s u c h   as   ad ap tiv co n tr o l ,   f u zz y   lo g i co n tr o l,   f ee d b ac k   li n ea r izatio n   co n tr o l ,   n eu r al   n e t w o r k s   co n tr o l,  s lid i n g     m o d co n tr o l   [ 6 ] .   I n   t h p r esen t   w o r k   a n   M R AC   i s   d ev elo p ed   f o r   s in g le   v ar iab le  n o n li n ea r   p lan t s ,   w h ich   ca n   b ap p lied   to   tim i n v ar ian a n d   ti me - v ar y i n g   p la n t s   w it h o u a n y   m o d if icatio n s .   I n   t h is   m et h o d   th d if f er e n ce s   b et w ee n   t h co ef f icie n ts   t h at  ar d eter m i n ed   b y   t h p lan p ar a m eter s ,   i n   th d i f f er en t ial  e q u atio n s   d e s cr ib in g   th ac t u al  p lan t   an d   t h m o d el   p lan ar esti m ated .   T h n o n li n ea r it y   ca n   b d u to   i n h er en n o n li n ea r it y   o f   t h e   p ar am eter s   an d   t h ti m e - v ar y in g n es s   ca n   ar i s d u to   s ev er al  f ac to r s   s u c h   a s   in h er en p r o p er ty   o f   t h e   p ar am eter s ,   w ea r   a n d   tear ,   ch an g e s   i n   t h o p er atio n al  co n d itio n s   etc.   T h is   t y p o f   u n ce r tain t y   i s   k n o w n   a s   p ar a m etr ic   o r   s tr u ct u r ed   u n ce r tain t y .   T h esti m ate s   ar t h e n   u s ed   to   u p d ate  th e   m o d el  r ef er en ce   ad ap tiv e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R ob  A u to m Vo l.  8 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 1 9 :   1     5   2   co n tr o ller   p ar am eter s .   L y ap u n o v s   d ir ec m et h o d   is   t h en   u s ed   to   o b tain   b o u n d ed   s ig n als  w h e n   t h e     co n tr o ller   is   in   u s e.       2.   M O DE L   RE F E R E NC E   AD AP T I V E   CO N T RO L L E R   Fig u r 1   s h o w s   t h MR AC .   I is   co m p o s ed   o f   f o u r   p ar ts ( 1 )   P lan t:  it  is   as s u m ed   t h at  p lan h a v e   k n o w n   s tr u ctu r e ,   ev e n   t h o u g h   th p ar a m eter s   ar n o k n o w n .   ( 2 )   R ef er en ce   Mo d el:  A   r ef er en ce   m o d el  is   u s ed   to   s p ec if y   th id ea r esp o n s e   o f   th ad ap tiv co n tr o s y s t e m   to   th e x ter n al  co m m a n d .   T h ch o ice  o f   th e   r ef er en ce   m o d el   h as to   f u l f ill   t w o   r eq u ir e m e n t s .     I m u s t sati s f y   t h s p ec i f icatio n s   w h ic h   ar u s ed   f o r   p er f o r m an ce   in   t h co n tr o l ta s k s .     T h r ef er en ce   m o d el  s h o u ld   r ea ch   th id ea ll y   b eh a v io r   f o r   th ad ap tiv co n tr o l s y s te m .   ( 3 )   C o n tr o ller I i s   g en er all y   s ta n d ar d ized   b y   n u m b er   o f   ad j u s tab le  p ar a m eter s .   T h at   i m p lies   t h er ex is t   d if f er e n s ets  o f   co n tr o ller   p ar a m eter   v alu e s   f o r   w h ic h   t h d esire d   co n tr o tas k   is   ac h ie v ab le.   Usu a ll y   in   ter m s   o f   t h ad j u s tab le  p ar a m e ter s   t h co n tr o la w   i s   li n ea r .   Her o n l y   o n co n tr o p ar a m eter   θ  is   ta k en .   T h v al u e   o f   θ  d ep en d en o n   ad ap tatio n   g ai n .   P ar a m eter   A d j u s t m en b lo ck p ar a m eter s   i n   th co n tr o la   ar ad j u s ted   h er e.   A d ap tatio n   l a w   f i n d s   th p ar a m eter s   i n   s u c h   w a y   t h at  t h r esp o n s o f   th p lan w ill  f o llo w   th r ef er en ce   m o d el.   I is   d esig n ed   to   ac h ie v th s tab il it y   o f   th co n tr o s y s te m   as  w ell  as  f o r   r ed u ctio n   o f   tr ac k in g   er r o r   to   ze r o .           Fig u r e   1.   Mo d el  r ef er en ce   ad ap tiv co n tr o l s y s te m       3.   E s t i m a t io n O f   P a ra m et er s   I n   th i s   w o r k   w co n s id er   n o n li n ea r   f ir s t o r d er   p lan t d escr i b ed   b y   t h d if f er en tial  ( 1 )     ( dy /dt)   =   - a p y - c p f ( y ) + b p u   ( 1 )     W h er e   f   is   an y   k n o w n   n o n   li n ea r   f u n ctio n .   T h n o n lin ea r   in   t h ese   d y n a m ics  is   c h ar ac te r ized   b y   its   li n ea r   p ar am eter izat io n   i n   ter m s   o f   t h u n k n o w n   co n s ta n t c .   T h m o d el  p lan t is g i v en   b y   ( 2 )     ( dy m /dt)   =   - a m y +   b m r   ( 2 )     No w   w u s t h co n tr o l la w   ( 3 )       ( 3 )     w h er t h s ec o n d   ter m   i n   ( 2 )   is   i n tr o d u ce d   w it h   t h i n ten t io n   o f   ad ap ti v el y   ca n ce lli n g   th e   n o n li n ea r   ter m .     an d     ar v ar iab le  f ee d b ac k   g ai n .   W ith   t h co n tr o l la w ,   th cl o s ed   lo o p   d y n a m ics is   ( 4 )     ( dy /dt)   =   - a p y - c p f ( y ) + b ( )     ( dy /dt)   =   -   ( a p   -   b p   )   y     c -   b   )   f ( y )   b   r   ( 4 )     Su b s ti tu t in g   t h is   co n tr o la w   in to   th d y n a m ic s   ( 1 )   an d   s u b tr ac tin g   t h r es u lti n g   eq u ati o n   b y   ( 2 ) ,     w o b tain   t h er r o r   d y n a m ics .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Desig n   o f o n n o n - lin ea r   a d a p tive  co n tr o l sys tem  a n d   s tu d o f its   tr a ck in g   ( S a mir a n   Ma iti )   3       W h er th p ar a m eter   er r o r     is   d ef in ed   as          T h ad ap tio n   la w s   ar e:                  W ith     b ein g   p o s iti v co n s t an r ep r esen ti n g   t h ad ap tio n   g ai n . W an al y ze   th s y s te m s   s tab ilit y   an d   co n v er g e n ce   b eh a v io r   u s in g   t h L y ap u n o v   f u n ctio n .         4.   SI M UL AT I O R E S UL T S   Her w h a v ex a m i n t h e   p r o p o s ed   m e th o d   b y   u s i n g   f ir s o r d er   n o n - li n ea r   p l an w h o s r ep r esen tatio n   is       ( d y /d t)   y + y 2   +2 . 9 u     T h p lan t p ar am eter s   ar e:      a p - 1 , b p   2 . 9     W co n s id er   th r ef er en ce   m o d el  p ar am eter s   ar e:     a m 4 ,   b m   =4 .     L et  ad ap tio n   g a in     an d   y ( 0 ) = y m ( 0 ) = 0   Fo r   r ef er en ce   s i g n a r ( t) = 4 ,   th tr ac k in g   p er f o r m a n ce   is   s h o w n   i n   F i g u r 2 .   T h p ar am ete r   es ti m ato r   is   s h o w n   i n   Fi g u r 3 .         Fig u r 2 T h tr ac k in g   p er f o r m an ce ,   f o r   r ef er en ce   s i g n al  r ( t) = 4     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R ob  A u to m Vo l.  8 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 1 9 :   1     5   4     Fig u r 3 .   T h p ar am eter   es ti m ato r f o r   r ef er en ce   s ig n al  r   ( t)   4       Fo r   r ef er en ce   s i g n al  r ( t) = 4 s i n ( 3 t) ,   th tr ac k in g   p er f o r m a n c is   s h o w n   i n   F i g u r 4.   T h p ar am eter   esti m ato r   is   s h o w n   i n   F i g u r 5.         Fig u r 4 .   T h tr ac k in g   p er f o r m an ce ,   f o r   r ef er en ce   s i g n al  r ( t) = 4 s in ( 3 t)         Fig u r 5 .   T h p ar am eter   esti m ato r , f o r   r ef er en ce   s ig n al  r ( t) = 4 s in ( 3 t)           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Desig n   o f o n n o n - lin ea r   a d a p tive  co n tr o l sys tem  a n d   s tu d o f its   tr a ck in g   ( S a mir a n   Ma iti )   5   5.   CO NCLU SI O N   I n   th i s   p ap er ,   w h a v co n s id er ed   Mo d el  R ef er en ce   A d a p tiv C o n tr o l,  w h ic h   is   d esi g n   ac co r d in g   to   L y ap u n o v   s tab ili t y ,   ap p licab le  to   cla s s   o f   u n ce r tai n   s y s te m s   n o n li n ea r ities .   U n d er   u p p er   n o r m   b o u n d ed   co n d itio n s   f o r   s y s te m   u n ce r ta in tie s ,   it  h as   b ee n   p r o v ed   t h a th e   p r o p o s ed   m o d el  r e f er en ce   ad ap tiv co n tr o l   s ch e m i s   p r o p o s ed   w ith   a n   ex ce lle n y ield   f o llo w i n g   p r o p er ty   w it h   r eg ar d   to   f r a m e wo r k   v u l n er ab ilit ie s .     A   f e w   n u m er ical  r ec r ea tio n   co m e s   ab o u h av to o   b ee n   g iv e n   to   illu s tr ate  th v al id ity   o f   th p r o p o s ed     co n tr o l stra teg y .       RE F E R E NC E S     [1 ]   A stro m ,   K.  J.,   a n d   W it ten m a rk ,   B. ,   A d a p ti v e   Co n tro l,   (2 .   Ed ) .     [2 ]   Krs ti   C,   M . ,   Ka n e ll a k o p o u l o s,  I.   a n d   K o k o to v C ,   P.   V . ,   No n li n e a r   a n d   A d a p ti v e   Co n tro l   De sig n ,   W il e y ,   1995.   [3 ]   M iy a sa to ,   Y.  a n d   Ha n b a ,   S . Ad a p ti v e   c o n tro f o n o n li n e a sy ste ms   wit h   u n k n o wn   d e g re e An d   u n c e rta in   re la ti v e   d e g re e s ,   P re p r in ts  o f   1   1 th   I F A C   S y m p o siu m   o n   S y ste m   Id e n ti f ic a ti o n ,   p p . 9 4 3 - 9 4 8 ,   F u k u o k a ,   Ja p a n ,   1 9 9 7 .   [4 ]   P.   A .   Io a n n o u   a n d   J.  S u n ,   Ro b u s A d a p ti v e   Co n tro l,   P T P re n ti c e - Ha ll ,   1 9 9 6 .   [5 ]   Y.  M iy a s a to ,   On   n o n l in e a a d a p ti v e   c o n tro sy ste m in d e p e n d e n t   o f   th e   d e g re e   o f   th e   p ro c e ss ,   Ko re a n   A u to m a ti c   Co n tr o C o n f e re n c e ,   p p . 7 4 0 - 7 4 5 ,   1 9 8 8 .   [6 ]   A.   K.   Ch a k ra b a rt y   a n d   P ro f .   S.   Bh a tt a c h a ry a ,   A d a p ti v e   c o n tro o f   a   p lan w it h   ti m e - v a r y in g   stru c tu re d   u n c e rtain ti e s - a   n e w   a p p ro a c h , ”  J o u rn a l   o f   In stit u ti o n   o En g in e e rs   ( In d i a ) ,   v o l . 9 0 ,   p p . 3 - 8 ,   M a rc h   2 0 1 0 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.