I nte rna t io na l J o urna l o f   Ro bo t ics a nd   Aut o m a t io n ( I J R A)   Vo l. 9 ,   No . 1 Ma r ch   2 0 2 0 ,   p p .   51 ~ 61   I SS N:  2089 - 4 8 5 6 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j r a . v 9 i 1 . pp 51 - 61     51       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij r a . ia esco r e. co m   Discrete  t i m e  rea ching  law  bas ed v a ria ble struc ture  co ntrol for  fas reachi ng  w ith  reduce d chat teri ng       P o urna m i P a d m a la t ha ,   Su s y   T ho m a s   Na ti o n a In st it u te  o f   T e c h n o lo g y   Ca li c u t       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Au g   1 9 ,   2 0 1 9   R ev i s ed   Oct   2 0 ,   2 0 1 9   A cc ep ted   No v   1 5 ,   2 0 1 9       In   th is  p a p e r,   a   v a riab le  stru c tu r e   c o n tro law   is  p ro p o se d   f o d is c re te  ti m e   slid in g   m o d e   c o n tro so   a to   re d u c e   b o t h   re a c h in g   ti m e   a n d   q u a si  slid in g   m o d e   b a n d   re d u c ti o n .   T h is  n e w   law   is  c o m p o se d   o f   tw o   d iff e r e n slid i n g   v a riab le  d y n a m ics o n e   to   a c h iev e   fa st  re a c h in g   a n d   th e   o t h e to   c o u n ter  it s   e ffe c o n   w id e n in g   th e   q u a si  sli d in g   m o d e   b a n d .   T h is  is  a c c o m p li sh e d   b y   in tro d u c i n g   a   b o u n d a ry   la y e a ro u n d   t h e   sli d in g   su rf a c e   a b o u w h ich   th e   tran sf o r m a ti o n   o f   th e   slid in g   v a riab le d y n a m ics   ta k e s p lac e .   T h is  p r o v id e s th e   f le x ib il it y   to   c h o o se   t h e   in it ial  d y n a m i c in   su c h   a   w a y   a to   sp e e d   u p   t h e   re a c h in g   p h a se   a n d   th e n   a th e   b o u n d a ry   tran s f o rm   th is  d y n a m ics   to   o n e   th a re d u c e th e   q u a si  sli d in g   m o d e   b a n d .   T h u s,  t h e   law   e ff e c ti v e l y   c o a les c e th e   a d v a n tag e o u tra it o f   h it h e rt o   p r o p o se d   re a c h in g   law th a su c c e e d   in   e i th e r   th e   re d u c ti o n   o f   re a c h in g   p h a se   o th e   e li m in a ti o n   o f   q u a si  slid in g   m o d e   b a n d .   T h e   e f fe c ti v e n e ss   o f   th e   p ro p o se d   re a c h in g   law   is  v a li d a ted   t h ro u g h   sim u latio n s.   K ey w o r d s :   C o n tr o l e f f o r t   Dis cr ete - ti m s lid i n g   m o d co n tr o l   Qu asi  s lid i n g   m o d b an d   R ea ch i n g   la w   R ea ch i n g   ti m e   T h is  is  a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   P o u r n a m i P ,   E lectr ical  E n g i n ee r i n g   Dep ar t m en t,   Natio n al  I n s tit u te  o f   T ec h n o lo g y   C alic u t,   Ker ala,   I n d ia .   E m ail:  s u k ak ar t h i @ g m a il.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N   Sli d in g   Mo d C o n tr o ( SMC ) ,   s in ce   it s   i n ce p tio n   i n   R u s s ia  in   t h late  1 9 5 0 s   h a s   ac q u ir ed   w id e   ap p ea l   in   th ar ea   o f   co n tr o l   en g in ee r i n g   [ 1 - 3 ] ,   b y   v ir t u e   o f   th e   n u m er o u s   ad v an ta g e s   it  o f f er s ,   t h m o s i m p o r tan t   o f   w h ic h   i s   t h i n v ar ian ce   to   ex ter n al  d i s tu r b a n ce s   a n d   s y s te m   u n ce r tai n tie s .   T h er ar s ev er al   ap p r o ac h es  to   th e   d esig n   o f   S MC  a m o n g   w h ic h   th R ea ch i n g   L a w   ( R L )   ap p r o ac h   is   co n s id er ed   in   th is   p ap er .   I n   R L   b ased   SMC ,   th e   d esire d   ev o lu t io n   o f   th e   s lid i n g   v ar i ab le  is   d e f i n ed   b ef o r eh a n d   s o   th at  f i n ite   r ea ch i n g   o f   t h s lid in g   m o tio n   i s   e n s u r ed .   T h is   ap p r o ac h   is   ad v an ta g e o u s   i n   th at   it   ca n   p r escr ib th e   r ea ch i n g   d y n a m ic i.e .   th m an n er   i n   w h ich   t h s y s te m   tr aj ec to r y   m o v es  to   t h e   s lid in g   s u r f ac e.   T h r ea ch in g   la w   ap p r o ac h   w a s   f ir s t   p r o p o s ed   f o r   co n tin u o u s   s y s te m s   [ 2 ,   3 ] ,   b u w i th   t h wid esp r ea d   u s o f   co m p u ter s   i n   co n tr o tech n iq u es,   it  w as  o n l y   n a tu r al  t h at  SM C   b ex ten d ed   to   d is cr ete  ti m s y s te m s   [ 4 ] .   T h R ea ch i n g   la w   ap p r o ac h   f o r   Dis cr ete  ti m e   Sli d in g   Mo d C o n tr o ( DSMC)  w as  f ir s p r o p o s ed   b y   Gao ,   W an g   a n d   Ho m a if [ 5 ] .   I n   th is   p ap er ,   th is   R L   i s   r ef er r ed   to   as  Gao s   Di s cr ete  R ea ch in g   L a w   ( GDR L ) .   T ak in g   ad v an t ag o f   th f le x ib ilit y   an d   m er its   o f f er ed   b y   t h R L   ap p r o ac h ,   s ev er al  au th o r s   h a v h en ce f o r th   p u f o r w ar d   m o d if ied   r ea ch i n g   la w s   [7 - 1 1 ]   th at  h elp   i m p r o v t h v ar io u s   a ttrib u te s   o f   D SMC   s u ch   a s   r ed u ctio n   o f   c h atter i n g   f o r   r ed u ce d   Qu a s Sli d in g   Mo d B an d   ( QSMB ) ,   b etter   r ea ch in g   d y n a m ics,  i m p r o v ed   s ettlin g   ti m etc.   W h il th QSMB   w id t h   m a y   b d ec r ea s ed   b y   u s i n g   s m aller   co n tr o ller   g ai n s ,   t h i s   will  i n   t u r n   p r o lo n g   th e   r ea ch i n g   p h a s e.   I n   a   s i m ilar   m an n er ,   t h u s e   o f   a   h ig h er   r ate  o f   c h a n g e   o f   t h s lid i n g   v ar iab le  to   r ed u ce   th e   r ea ch i n g   ti m e   w ill   r ef lec as   in cr ea s ed   w id t h   o f   Q SMB .   T h is   d ile m m as  s tated   i n   [ 1 1 ]   w a s   atte m p ted   to   b s o lv ed   b y   in co r p o r atin g   a n   ex p o n en t ial  ter m   in   t h co n v e n tio n al  r ea ch in g   la w   p r o p o s ed   b y   Gao   et  al.   [ 5 ] .   W h ile  th is   m o d i f icatio n   [ 1 1 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R o b   &   A u to m Vo l.  9 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 0     51    61   5 2   d id   r esu lt  in   f as ter   r ea ch in g ,   t h w id th   o f   t h QSMB   r e m ai n ed   th s a m a s   th at  o f   Gao s   r ea ch in g   la w   i n   [ 5 ]   b ec au s th R L   s tr u ctu r i n   [ 1 1 ]   tr an s f o r m s   i n to   Gao s   R L   as  th s l id in g   v ar iab le  ap p r o ac h es  ze r o .   I n   th i s   p ap er ,   th ab o v d ile m m is   s o lv ed   b y   co m b in in g   t h f a s t er   r ea ch in g   p r o v id ed   b y   th R L   i n   [ 1 1 ]   an d   th e   QSMB   r ed u ctio n   o f f er ed   b y   t h R L   p r o p o s ed   b y   B ar to s ze w icz  et  al.   in   [ 1 0 ]   in   s u c h   w a y   th at  th er o cc u r s   a   ch an g in   t h s tr u ctu r o f   t h s y s te m   d u r i n g   t h r ea ch i n g   p h ase.   I n itiall y ,   f o r   lar g v a lu es  o f   t h s lid i n g   v ar iab le,   th e   R L   w it h   t h e x p o n en tial   ter m   i s   id ea ( f o r   f a s t   r ea ch i n g )   a n d   f o r   s m aller   v al u es,  t h a s y m p to tic   co n v er g e n ce   o f   R L   in   [ 1 0 ]   is   m o s s u itab le  ( f o r   r ed u ce d   QS MB ) .   T h p r o p o s ed   R L   is   s o   s tr u ct u r ed   th at  ea c h   o f   t h ab o v la w s   co m e s   in   t o   p lay   d ep en d in g   o n   th v alu o f   th s lid i n g   v ar iab le.   T h is   is   ac co m p li s h ed   b y   th co n ce p o f   b o u n d ar y   la y er   ar o u n d   th s lid in g   s u r f ac w h er th R L   u n d er g o es  tr an s f o r m atio n   f r o m   t h e   f ast   p ac ed   r ea ch in g   p r o v id ed   b y   th e   R L   i n   [ 1 1 ]   ( r ef er r ed   as  No v el  E x p o n e n tia R ea c h i n g   L a w   ( NE R L ) )   to   an   as y m p to tic  co n v er g en ce   o f   t h s lid in g   v ar iab le  to   th s li d in g   s u r f ac as  p er   [ 1 0 ]   ( b e in g   r e f er r ed   to   as   B ar to s ze w icz  L ato s i ´ n s k i D is c r ete - ti m R ea c h i n g   L a w   ( B L D R L )   i n   t h is   p ap er ) .   T h is   p ap er   is   s t r u ct u r ed   as  f o llo w s .   I n   s ec t io n   2 ,   b r ief   r ev ie w   o f   NE R L   an d   B L DR L   i s   g iv e n   a n d   b ased   o n   th ese,   th p r o p o s e d   R L   is   f o r m u lated   f o r   n o m i n al  an d   p er tu r b ed   s y s te m s .   I n   s ec tio n   3 ,   th s i m u lat io n   r es u lt s   o b tai n ed   f o r   th p r o p o s ed   R L   la w   ar g i v e n   to g e th er   w it h   co m p ar is o n   b et w ee n   t h e   v ar io u s   r ea c h in g   la w s ,   v iz. ,   G DR L ,   NE R L   an d   B L DR L .   C o n clu d i n g   r e m ar k s   ar g i v en   i n   Sectio n   4 .       2.   P RO P O SE CO NT RO L   S T RAT E G Y   2 . 1 .   B rief   re v ie w   o f   NE RL   a nd   B L DR L   C o n s id er   th f o llo w i n g   d i s cr ete  lin ea r   s y s te m :       (       )      (   )       (   )   ( 1 )     w h er     is   an           m atr i x ,     (   )   is   th s tate  v ec to r ,       is   th in p u v ec to r   an d     (   )   is   th s ca lar   co n tr o s ig n al.   T h s lid in g   s u r f ac i s   d ef i n ed   as:       (   )           (   )       ( 2 )     w h er   (   )     (   )       (   )   is   t h er r o r   v ec to r   an d         is   th s lid in g   co ef f icie n v ec t o r   th at  is   s o   d esi g n ed   to   y ield   s tab le  d y n a m ics  w h e n   t h s y s te m   is   i n   Sl id in g   Mo d Mo tio n   ( SMM ) .       (   )   is   t h d esire d   v alu o f   th e   s tate  v ec to r .     T h s e m in a l R L   p r o p o s ed   b y   Gao   et  al.   in   1 9 9 5   [ 5 ]   tak es th f o llo w in g   f o r m :       (       )   (        )   (   )           ,   (   ) -   ( 3 )     w h er     is   th p r o p o r tio n al  ter m ,       is   th co n s tan ter m   w it h                  an d           an d       is   th s a m p li n g   p er io d .   W h ile  th is   R L   r e m ain s   p o p u lar   to   th is   d ate,   th i s   la w   ca u s e s   t h s y s te m   r ep r ese n tati v p o in ( tip   o f   t h e   sy s te m   tr aj ec to r y   an d /o r   s lid i n g   v ar iab le)   to   cr o s s   th e   s l id in g   s u r f ac e   at   s o m e   f i n ite  ti m e   an d   t h e n   m o v e   i n   a   p er p etu all y   zi g za g   m a n n er   ar o u n d   th s u r f ac e.   T h is   m o tio n ,   in   co n tr ast  to   th id ea SMM ,   w as  co i n ed   as  t h e   Qu asi  S lid in g   Mo d ( QSM)   m o tio n   ar o u n d   t h s lid in g   s u r f ac [ 5 ] .   Du to   th QSM,   m o r co n tr o ef f o r is   ex p en d ed   in   th s lid i n g   m o d e.   Hen ce ,   it  is   d esira b le  to   k ee p   th w id th   o f   t h QSMB   as  m i n i m u m   as  p o s s ib le.   T h w id th   o f   QSMB   is   d ir ec t l y   af f ec ted   b y   th co n s tan ter m       in   ( 3 )   an d   it  ca n   b r e d u ce d   b y   th u s o f   s m al ler   v alu o f     .   Ho w e v er ,   th is   w ill  i n   tu r n   r ed u ce   th r ate  o f   ch an g o f   th s lid i n g   v ar iab le  lead in g   to   in cr ea s ed   r ea ch i n g   p h a s e.   Si n ce   it  is   t h SMM   th a o f f er s   r o b u s tn es s   to   s y s te m   p er f o r m a n ce ,   in cr ea s ed   r ea ch in g   p h ase  i s   u n d e s ir ab le.   On   th o th er   h a n d ,   if   th ter m     ,   th at  af f ec t s   th r ea ch i n g   ti m e,   is   in cr ea s ed ,   th r ea c h i n g   ti m i s   r ed u ce d ,   b u ca u s es   a n   i n cr ea s e   in   t h w id t h   o f   t h QSMB   d u to   t h in cr ea s ed   r ate  o f   ch an g o f   t h s l id in g   v ar iab le  n ea r   t h s l id in g   s u r f ac e.   I n   o r d er   to   s o lv t h is   d ile m m a,   s ev er al  n e w   R L s   h a v e   b ee n   p r o p o s ed   th at  u s co n tr o ller   g ai n s   th at   ad ap to   th v a r iatio n s   i n   t h s lid i n g   v ar iab le .   NE R L ,   p r o p o s ed   b y   Ma   e al.   s tr i v es  to   s o lv t h is   d ile m m b y   i n co r p o r atin g   an   ex p o n e n tial   ter m   [ 1 1 ]   in   ( 3 ) .   T h NE R L   f o r   a   n o m i n al  s y s te m   i s   d ef i n ed   as:       (       )   (        )   (   )   (   )       (   )      (   (   ) )   ( 4 )     w h er e       (   )         (         )       |   (   ) |     ( 5 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Dis crete  ti me  r ea ch in g   la w   b a s ed   va r ia b le  s tr u ctu r co n tr o l fo r   fa s t rea ch in g ... ( P o u r n a mi  P a d ma la th a )   53   {                                                                                               ( 6 )     Fro m   ( 5 ) ,   it  is   s ee n   t h at  t h v alu o f     (   )   is         f o r   lar g v al u es  o f   th s lid in g   v ar iab le,   i.e .   w h en   th s y s te m   s tates  ar f ar   a w a y   f r o m   t h s lid in g   s u r f ac a n d   it  tak e s   th e   v alu o n w h e n   s y s te m s   s tat es  ar clo s er   to   th e   s lid in g   s u r f ac e.   S in ce         is   p o s itiv v alu less   t h a n   o n e,   th f i r s ter m   b ec o m es  (            )       w h ic h   is   le s s er   th an   (            )   an d   th s ec o n d   ter m   b ec o m e s           w h ich   is   h ig h er   t h an     .   T h is   ca u s e s   f a s ter   r ate  o f   ch a n g o f   th s l id in g   v ar iab le  at  th b eg in n i n g   a s   co m p ar ed   to   ( 3 )   (   =1   s ec   is   a s s u m ed ) .   B u t,  as  th s y s te m   r ep r esen ta tiv p o i n ts   ( R P )   m o v clo s er   to   t h s lid i n g   s u r f ac th r ea ch in g   la w   ( 4 )   tr an s f o r m s   i n   to   GD R L   a s   in   ( 3 ) .   T h u s ,   th w id t h   o f   t h QSMB   is   b o u n d   to   r e m ai n   t h e   s a m a s   th at  o f   GD R L ,   b u t h r ea ch i n g   ti m is   r ed u ce d .   B L DR L   i n   [ 1 0 ]   o f f er ed   r ed u ce d   QSMB   o w i n g   to   b o u n d ed   r ate   o f   co n v er g en ce   o f   t h s lid in g   v ar iab le  to   ze r o .   T h is   R L   ac t s   as  co m p r o m is b et w ee n   th s w i tch i n g   t y p R L s ,   w h e r s lid in g   v ar iab le   cr o s s es  th s lid in g   s u r f ac in   e ac h   d is cr ete  in s ta n in   t h QS M,   an d   th n o n   s w itc h i n g   t y p e   R L s   th a r etain   t h e   s lid in g   v ar iab le  in   s p ec i f ied   b an d   ar o u n d   th s lid in g   s u r f a ce   [ 1 0 ] .   W h eth er   th s lid in g   v ar iab le  cr o s s es  th e   s lid in g   s u r f ac o r   is   r etain ed   i n   b an d   n ea r   t h s u r f ac e,   t h d is tan ce   o f   th s y s te m   R P   f r o m   t h s lid i n g   s u r f ac e   d ec r ea s es  w it h   ea ch   s tep   w h en   t h s y s te m   is   in   QSM,   m ak in g   it  t h id ea r ea c h in g   la w   n ea r         .   T h B L DR L   i s   g i v e n   b y :       (       )       ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )   ( 7 )     w h er e         ,   (   ) -           *   ,   (   )     -     +           is   p o s itiv r ea n u m b er   an d         .   T h v alu o f         f o r   lar g v alu es  o f     (   )   is   o n e,   th er eb y   ca u s i n g   th e   th s lid i n g   v ar iab le  to   d ec r ea s at  an   al m o s co n s ta n r ate,     .   B u t,  clo s er   to   th s lid in g   s u r f a ce   th v al u o f         d ec r ea s es  an d   ten d s   to   ze r o   asy m p to tical l y .   A s   r es u lt,  ar o u n d   th s lid i n g   s u r f ac e,   if     (   )   r ea ch es  e x ac tl y   o n   th s u r f ac   (   )     ,   it  w i ll  r e m ai n   th er f r o m   t h en   o n .   Ot h er w is e,   th v al u o f     (   )   k ee p s   d ec r ea s in g   w it h   ea ch   s tep .   T h u s ,   th e   co n tr o e f f o r d u r i n g   s lid i n g   m o d is   g r ea tl y   r ed u ce d   as  co m p ar ed   to   NE R L   a n d   GD R L .   Ho w e v er ,   th r ea ch i n g   ti m i s   m o r th a n   th a p r o v id ed   b y   th m o d i f ied   co n s ta n ter m   in   ( 4 ) .   T h p r o p o s ed   R L   s u cc e s s f u ll y   u ti lizes t h af o r em e n tio n ed   m er its   o f   b o th   NE R L   an d   B L D R L .     2 . 2 .   P ro po s ed  re a ching   la w   f o no m i na l sy s t e m s   Kee p in g   i n   co n s id er atio n   b o th   r ed u ce d   r ea ch in g   ti m an d   r ed u ce d   QSMB   w i d t h ,   it  is   d esi r ab le  th at   NE R L   b u s ed   f o r   lar g v alu e s   o f   th s lid in g   v ar iab le  ( in it i al  p h ase  o f   r ea ch in g ) ,   th er eb y   p r o v id in g   f ast  r ate  o f   ch a n g o f   s lid i n g   v ar iab le   at  th b eg i n n i n g   a n d   B L D R L   b u s ed   as  th s y s te m   R P   in ch e s   clo s er   to   th e   s lid in g   s u r f ac e,   r es u lti n g   i n   s m aller   Q SMB .   T h is   is   ac co m p lis h ed   b y   i n tr o d u cin g   a   b o u n d ar y   la y er   ar o u n d   t h e   s lid in g   s u r f ac e,   s a y     (   )       ,   w h er     is   s m all  p o s iti v v al u less er   th an   t h in itia v al u o f   th s lid in g   v ar iab le.   Fo r   v al u es  o f   |   (   ) |     ,   th co n tr o ller   ev o lv i n g   f r o m   NE R L   is   e m p lo y ed   a n d   f o r   |   (   ) |     B L DR L 's  co n tr o ller   is   u s ed .   Hen ce ,   it  is   e s s e n tial  to   h av R L   t h at  w i ll  as s u m t h f o r m   i n   ( 4 )   u n til    (   )         an d   b ey o n d   th at  it  s h o u ld   tr an s f o r m   to   ( 7 ) .   T h is   is   ac h ie v ed   b y   t h p r o p o s ed   R L   w it h   th s tr u ctu r e:       (       )       ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     ,   (   ) -   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     ,   (   ) -   ( 8 )     w h er e         ,   (   ) -         (      ,   (   ) - (      ,   (   )     -        ,   (   )     - ) )       ,   (   ) -         (      ,   (   ) - (      ,   (   )     -        ,   (   )     - ) )       Fro m   th ab o v ex p r es s io n s ,   it  ca n   b s ee n   t h at  f o r   v al u es  o f   |   (   ) |               is   ze r o   an d         is   o n an d   ( 8 )   tr an s f o r m s   i n to   NE R L   g i v en   b y   ( 4 ) .   I n   s im ilar   m an n er ,   f o r   |   (   ) |               b ec o m es  o n an d         is   eq u al  t o   ze r o ,   th u s   ca u s in g   ( 8 )   to   m eta m o r p h o s in to   ( 7 ) .   T h u s ,   in i ti all y   f o r   lar g v al u e s   o f   s lid i n g   v ar iab le,   f aster   r ate  o f   ch a n g i s   o b tain ed   an d   n e ar   th s lid in g   s u r f ac e,   co n s tan r ate  o f   ch a n g f o llo w ed   b y   a n   as y m p to tic  co n v er g e n ce   is   ac h ie v ed .   T h i s   r es u lts   i n   m u ch   f aster   r ea c h in g   as   co m p ar ed   to   GD R L   an d   B L D R L .   T h e   r ea ch in g   ti m i s   co m p ar ab le  to   th at  o f   NE R L ,   b u t h Q SMB   is   r ed u ce d   to   g r ea e x ten w h ich   i s   n o t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R o b   &   A u to m Vo l.  9 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 0     51    61   54   p o s s ib le  w ith   NE R L .   I n   s h o r t,   it  co m b in e s   t h b en e f it s   o f   N E R L   a n d   B L D R L ,   g iv in g   r e ac h in g   la w   th a ca n   s u cc e s s f u ll y   tac k le  t h r ea ch i n g   ti m e/QSMB   d ile m m m e n ti o n ed   ea r lier .     2 . 2 . 1 .   Rea cha bil it y   o f   t he   pro po s ed  re a ching   la w   Ass u m th at    (   )       w i th     (   )     .   Fro m   ( 8 ) ,   w ca n   w r ite:       (       )   (        )   (   )   (   )       (   )   ( 9 )     w h ic h   ca n   b r e w r it ten   a s :       (       )     (   )          (   )   (   )       (   )   ( 1 0 )     W h av               an d     (   )     .   T h u s ,   t h R HS  o f   ( 1 0 )   is   n e g ati v w h er eb y   w it h     (   )     ,   it  f o llo ws   th at    (       )     (   ) .   Si m ilar l y ,   i ca n   b s ee n   th at  f o r     (   )       an d     (   )       ,   th s lid in g   v ar iab le  v al u e   d ec r ea s es  in   ea ch   d is cr ete  s te p .   I ca n   t h u s   b co n cl u d ed   t h at  o u ts id t h b o u n d ar y   la y e r ,     (       )     (   ) On ce   t h s lid in g   v ar iab le  e n te r s   th b o u n d ar y   la y er ,     (   )       an d     (   )       o r     (   )       an d     (   )       .   L et  u s   f ir s t c o n s id er   th ca s w h e n     (   )       an d     (   )     .   Fro m   ( 8 ) ,       (       )       ,   (   ) - (   (   )     )   ( 1 1 )     T h s lid in g   s u r f ac is   cr o s s ed   w h e n     (       )     .   T h u s ,         ,   (   ) - (   (   )     )       ( 1 2 )     Sin ce       ,   (   ) -   is   al w a y s   p o s itiv e,       (   )           ( 1 3 )     Fro m   ( 1 3 ) ,   it  ca n   b co n clu d e d   th at  th s lid i n g   s u r f ac w il b cr o s s ed   w h e n     (   )   b ec o m e s   les s   th a n     .   I n   a   s i m ilar   m a n n er ,   th is   ca n   b p r o v ed   f o r   th ca s w h e n     (   )     .   I n   g en er al,   w ca n   w r i te  if   |   (   ) |     ,   th en        ,   (       ) -              ,   (       ) - .   On   th o th er   h an d ,   if   |   (   ) |       (       )         (   ) .   T h u s ,   w ca n   co n clu d t h at   t h v alu e   o f   t h s lid i n g   v ar iab le   k ee p s   d ec r ea s in g   o u ts id e   th e   b o u n d ar y   as   w ell  a s   i n s id t h e   b o u n d ar y .   On ce   th v al u o f     (   )   b ec o m e s   les s   th a n     ,   it  cr o s s es   th s l id in g   s u r f ac e.   T h is   is   e n s u r ed   d u to   th s tead y   d ec r ea s in   t h v a lu o f   s lid i n g   v ar iab le  b ec au s o f   w h ic h   at  s o m p o in   (   )     .   T h u s ,   it  is   en s u r ed   th at  t h s lid i n g   s u r f ac is   r ea ch ed   in   f in ite  ti m e.     2 . 2 . 2 .   Q ua s i - s lid i ng   m o de  o f   t he   pro po s ed  re a ching   la w   On ce   th s lid in g   v ar iab le  r e ac h es  t h v ici n it y   o f   t h s li d in g   s u r f ac   (   )     ,   th f u n ctio n           b eg in s   to   d r o p .   A s   r es u lt,  in   th q u a s s lid in g   m o d b an d ,   in s tead   o f   m ain tain in g   t h s a m v alu e   as  i s   s ee n   w it h   NE R L   an d   GD R L ,   t h s l i d in g   v ar iab le  v al u d r o p s   in   ea ch   s u b s eq u e n t d is cr ete  in s ta n t.       (       )       ,   (   ) - (   (   )     )   ( 1 4 )     w h er           in   th n ea r   v ic in it y   o f     (   )     .   W h eth er   t h s lid i n g   v ar iab le   s w itc h es  i n   ev er y   i n s ta n o r   n o t,  it  is   ass u r ed   th at  th v al u o f     (   )   r ed u ce s   in   ea ch   s a m p lin g   ti m in   QSM.   T h u s ,   it  r ed u ce s   th w id th   o f   th e   QSMB   to   n eg li g ib l y   s m all  v alu e.     2 . 3 .   P ro po s ed  re a ching   la w   f o pert urbed sy s t e m s   C o n s id er   th f o llo w i n g   p er t u r b ed   s y s te m :       (       )      (   )       (   )     (   )     ( 1 5 )     w h er     is   t h s tate  v ec to r ,       is   an           m a tr ix   a n d       is   t h i n p u v ec to r .     (   )   is   th e   p er tu r b atio n   te r m ,   w h o s u p p er   an d   lo w er   b o u n d s   ar ass u m ed   to   b k n o w n .   I n   o r d e r   to   s atis f y   t h m atc h i n g   co n d itio n s ,   w ca n   w r ite          ̃   [ 5 ] .   E q u atio n   ( 9 )   b ec o m es     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Dis crete  ti me  r ea ch in g   la w   b a s ed   va r ia b le  s tr u ctu r co n tr o l fo r   fa s t rea ch in g ... ( P o u r n a mi  P a d ma la th a )   55     (       )      (   )     (   (   )     ̃ (   ) )   ( 1 6 )     No w ,   as s u m i n g   th co n tr o l la w   to   b g e n er ated   f r o m   t h s a m R L   ( 8 )   f o r   th s y s te m   ( 1 6 ) ,   w o b tain     (   )   as:       (   )   (       )     {     ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )          (   )     ̃ (   ) }   ( 1 7 )     Sin ce     ̃ (   )   is   n o u s u a ll y   k n o w n ,   th is   ter m   h as  to   b ad eq u ately   d ea lt  w it h .   T h is   ter m   is   h e n ce   r ep lace d   b y   an o th er   ter m       (   )   in   s u c h   w a y   s o   th at  th r ea c h i n g   co n d itio n s   a r s till   s ati s f ied   [ 5 ] .       (   )   (       )     {     ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )          (   )       (   ) }   ( 1 8 )     W ith   th co n tr o l la w   a s   in   ( 1 8 ) ,   R L   i n   ( 8 )   b ec o m es:       (       )       ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )         (   ̃ (   )       )   ( 1 9 )     L et        (   ̃ (   )       )     ̃       .   R e w r it in g   ( 1 9 ) ,       (       )       ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )         (   ̃       )   (2 0 )     Sin ce ,   i is   as s u m ed   t h u p p er   an d   lo w er   b o u n d s   o f     (   )   ar k n o w n ,   i f o llo w s   t h at    ̃   is   also   b o u n d ed   b y   k n o w n   v al u es,  s a y         an d       .   I n   ( 2 9 )       s h o u ld   b s o   c h o s e n   t h a th e   r ea ch i n g   co n d itio n s   ar s atis f ied   [ 5 ] T h er ef o r e,         is   tak e n   as:                          ,   (   ) -       w h er                     an d                     T h p r o p o s e d   r ea ch in g   la w   f o r   p er tu r b ed   s y s te m s   ca n   h e n ce   b f o r m u lated   as:       (       )       ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )     ̃ (   )                  ,   (   ) -   ( 2 1 )     I n   th n e x s ec tio n ,   th p r o p o s ed   R L s   as  in   ( 8 )   an d   ( 1 9)   ar e   s i m u lated   o n   th s a m s y s te m   o n   w h ich   B ar to s e w icz  et  al.   v er i f ied   B L DR L   [ 1 0 ] .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R o b   &   A u to m Vo l.  9 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 0     51    61   56   3.   RE SU L T A ND  AN AL Y SI S     3 . 1 .   No m i na s y s t e m s   T h s y s te m   as  in   [ 1 0 ]   is   b ein g   co n s id er ed   f o r   s i m u lati n g   th p er f o r m a n ce   w h e n   t h e   s y s te m   is   co n tr o lled   b y   t h p r o p o s ed   R L s .   T h m a tr ices/ v ec to r s   f o r   t h s y s te m   ( 1 )   an d   th e   in itial  s tates  a s   i n   [ 1 0 ]   ar g iv e n   b y :         [                             ]             ,       -   an d         ,           - .     T h in itial  v alu o f   s t ates  ar also   tak en   as  in   [ 1 0 ] ,   w ith           ,          -   an d           ,       - .   T h co n tr o l in p u t,    (   )   f o r   s y s te m   ( 1 )   w ith   t h s lid in g   s u r f ac ( 2 )   u s i n g   GD R L   ( 3 )   ca n   b d er iv ed   as  [ 5 ] :       (   )   (       )     { (        )   (   )   (   )           (   (   ) )          (   ) }   (2 2 )     W ith   NE R L   ( 4 )     (   )   tu r n s   o u t to   b [ 1 1 ] :       (   )   (       )     { (        )   (   )   (   )       (   )      (   (   ) )          (   ) }   (2 3 )     an d   w ith   B L DR L   ( 7 )   (   )   is   [ 1 0 ] :       (   )   (       )     *     ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )          (   ) +   (2 4 )     W ith   th p r o p o s ed   R L   i n   ( 8 ) ,   t h co n tr o l in p u   (   )   is   d er iv ed   as:       (   )   (       )     {     ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )          (   ) }   (2 5 )     T h v alu es  o f   t h v ar io u s   p ar am eter s   ar tak e n   as      0 . 2 ,       0 . 6   ,         0 . 6 ,       5 ,       1 0 ,       1   a n d       2   .   T h s i m u latio n   r es u lt s   ( u s in g   s a m v al u e s   f o r   th co m m o n   R L   p ar a m eter s )   ar s h o w n   i n   Fi g u r e s   1 - 8.   Fig u r e   d ep icts   th s lid in g   v ar iab le  o f   th p r o p o s ed   R L   an d   Fig u r e   2   g iv es  t h s lid in g   v ar iab les  f o r   NE R L ,   B L DR L   an d   GD R L .   Fi g u r e   4 ( a)   an d   Fig u r 6 ( a)   h i g h li g h t   th e   QSMB   in   GDR L   an d   NE R L   r esp ec ti v el y   a n d     Fig u r 4 ( b )   an d   Fig u r 6 ( b )   r ev ea th n eg l ig ib le  Q SMB   o f   B L DR L   a n d   th p r o p o s e d   R L .   Fro m   t h es e   f i g u r es,   it  i s   e v id en t   t h at  t h p r o p o s ed   R L   ac h iev e s   t h b es r ea ch in g   w h ile   it  e m b r ac es  t h n e g li g ib le  Q S MB   o f   B L DR L .   T h zo o m ed   v ie ws  ar in co r p o r ated   in   Fig u r e s   4   an d   6   to   h ig h li g h t h QSM B   w id t h   o f   th f o u r   R L s .   C o m p ar i n g   t h co n tr o l   i n p u t s   s h o w n   i n   Fi g u r e   5 ( a)   an d   5 ( b ) ,   it  is   n o ted   t h at  t h e   p r o p o s ed   R L   ac h iev e s   f aster   r ea ch in g   w it h   a n   in p u t   co m p ar ab le  to   th at  o f   NE R L .   An y   at te m p to   i n cr ea s t h e   r ea ch in g   s p ee d   o f   GDR L   b y   p r o v id in g   m o r co n tr o ef f o r ( th r o u g h   its   R L   p ar a m eter s )   w i ll  lead   to   w id er   QSMB   an d   m a k i n g   th is   e f f o r o n   B L DR L   w il n o y ield   p o s itiv r es u lts   i n   ter m s   o f   r ea ch i n g   ti m b ec au s it s   i n h er e n s tr u c tu r e   f o cu s es  o n   Q SMB   r ed u ctio n   p r ev en ti n g   f ast   r ea ch i n g .   T ab l 1   h a s   t h f i g u r o f   m er it s   i n   ter m s   o f   w id th   o f   QSMB   an d   p er f o r m an ce   s p e ed .   W ith   NE R L ,   th e   s lid i n g   v ar iab le  en ter s   Q SM  at  7   s e ( s ee   Fi g u r 6 ( a) ) ,   w h er th Q SM  is   d ef in ed   as [ 5 ] :     *   |         (   )       +       I n   th p r o p o s ed   r ea ch in g   la w ,   th s y s te m   R P   r ea ch e s   t h s li d in g   s u r f ac (   (   )     )   at  5   s ec ,   w h ic h   is   t h e n   r etai n ed   as   i n   B L DR L .   Ho w ev er ,   i n   B L D R L ,   t h r ea ch in g   p h ase   is   lo n g er .   T h f as ter   r ea ch i n g   o f   th e   p r o p o s ed   R L   an d   NE R L   d e m a n d s   g r ea ter   co n tr o l e f f o r t i n   t h r ea ch in g   p h ase.     Ho w ev er ,   i n   NE R L ,   d u to   t h e   lar g er   QSMB ,   e x ce s s iv co n tr o l e f f o r t is d is s ip ated   i n   t h s li d in g   p h ase.   T h p r o p o s ed   R L   e m u lates B L D R L ' s   tr ait  o f   r etain i n g   th Q SMB ,   th u s   en s u r i n g   th a u n n ec ess ar y   d is s ip atio n   o f   co n tr o en er g y   in   s lid i n g   p h ase  i s   av o id ed .   Fig u r e s   7   an d   8   d ep ict  th d y n a m ics  o f   t h s tate s   o f   t h s y s te m .   I ca n   b o b s er v ed   th at  t h p r o p o s ed   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Dis crete  ti me  r ea ch in g   la w   b a s ed   va r ia b le  s tr u ctu r co n tr o l fo r   fa s t rea ch in g ... ( P o u r n a mi  P a d ma la th a )   57   r ea ch in g   la w   a llo w s   f ast   s ettl i n g   o f   t h s tates  a s   co m p ar ed   t o   o th er   la w s .   T h p r o p o s ed   R L   r et u r n s   s ett lin g   ti m o f   6   s ec   as c o m p ar ed   to   8   s ec   w i th   NE R L .           Fig u r 1 .   Sli d in g   v ar iab le  w it h   th P r o p o s ed   R L       Fig u r 2 .   Sli d in g   v ar iab les  w i t h   d if f er en R L s         ( a)     ( b )     Fig u r 3 .   C o n tr o l in p u t f o r   ( a)   GDR L   an d   ( b )   B L DR L         ( a)     ( b )     Fig u r 4 .   Sli d in g   v ar iab le  f o r   ( a)   GDRL   a n d   ( b )   B L DR L     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R o b   &   A u to m Vo l.  9 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 0     51    61   58     ( a)     ( b )     Fig u r 5 .   C o n tr o l in p u t f o r   ( a)   NE R L   an d   ( b )   p r o p o s ed   R L         ( a)     ( b )     Fig u r 6 .   Sli d in g   v ar iab le  f o r   ( a)   NE R L   a n d   ( b )   p r o p o s ed   R L         ( a)     ( b )     Fig u r 7 .   States   o f   t h s y s te m   f o r   ( a)   GDRL   a n d   ( b )   B L DR L       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2089 - 4856       Dis crete  ti me  r ea ch in g   la w   b a s ed   va r ia b le  s tr u ctu r co n tr o l fo r   fa s t rea ch in g ... ( P o u r n a mi  P a d ma la th a )   59     ( a)     ( b )     Fig u r 8 .   States   o f   t h s y s te m   f o r   ( a)   NE R L   an d   ( b )   p r o p o s ed   R L       T ab le  1 .   Fig u r es o f   m er it  w it h   n o m i n al  s y s te m   C o mp a r i so n   o f   R L s   P r o p o se d   N ER L   B L D R L   G D R L   R e a c h i n g   t i me   5   7   60   14   W i d t h   o f   Q S M B   na   0 . 6   na   0 . 6   S e t t l i n g   t i me   6   8   61   15       3 . 2 .   P er t urbed sy s t e m s   Fro m   ( 1 5 ) ( 2 )   an d   ( 2 1 ) ,   th co n tr o l la w   f o r   p er tu r b ed   s y s te m s   is   d er iv ed   as:       (   )   (       )     {     ,   (   ) - (   (   )          ,   (   ) - )     (   (   ) )   ( (        )   (   )   (   )       (   )      ,   (   ) - )     (   (   ) )          (   )                  ,   (   ) - }   (2 6 )     Fo r   th s y s te m   ( 1 5 )           (   ) ,   an d         ar tak en   to   b th s a m as  i n   th ab o v s u b s ec tio n .           s ec .   T h p er tu r b atio n   ter m   i s   ta k e n   as    (   )         (     ) ,        -   ( as  in   [ 1 0 ] ) .   T h u s ,             an d               .     T h co n tr o l   la w   p r o p o s ed   b y   Gao   et  al.   is   d ef in ed   as  [ 5 ] :       (   )   (       )     [ (        )   (   )   (   )           (   (   ) )          (   )                  (   (   ) ) ]   (2 7 )     T h e   s i m u latio n   r es u lt s   o f   t h l a w   ( 2 6 )   an d   GDR L   f o r   p er tu r b ed   s y s te m s   ( 2 7 )   ar s h o w n   in   Fig u r e s   9 - 12.   I is   o b s er v ed ,   as  in   th ca s e   o f   n o m in a s y s te m s   th at  th p r o p o s ed   r ea ch in g   la w   h a s   m u ch   f a s ter   r ea ch in g   an d   les s   w id th   o f   QS MB .   T h r ea ch in g   ti m w it h   t h p r o p o s ed   law   is   7   s ec   an d   th at  w it h   GDR L   i s   1 3   s ec .   I t   is   also   o b s er v ed   th at   th s lid in g   v ar iab le  is   co n tai n ed   in   m u ch   s m al ler   b an d   w it h   th p r o p o s ed   R L   as  co m p ar ed   to   GDRL .   A   zo o m ed   in   v ie w   o f   th Q MSB   w i th   t h t w o   r ea ch i n g   la w s   is   s h o w n   in   Fig u r 1 2 .   T ab le  2   g iv es t h p er f o r m a n ce   tr aits   o f   th t w o   R L s .       T ab le  2 .   Fig u r es o f   m e r it  w it h   p er tu r b ed   s y s te m   C o mp a r i so n   o f   R L s   P r o p o se d   G D R L   R e a c h i n g   t i me   7   13   W i d t h   o f   Q S M B   0 . 8   2   S e t t l i n g   t i me   8   14       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4856   I n J   R o b   &   A u to m Vo l.  9 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 0     51    61   60     ( a)     ( b )     Fig u r 9 .   ( a)   C o n tr o in p u an d   ( b )   s lid in g   v ar iab le  o f   t h p r o p o s ed   R L         ( a)     ( b )     Fig u r 1 0 .   ( a)   C o n tr o i n p u an d   ( b )   s lid in g   v ar iab le  f o r   GDR L         ( a)     ( b )     Fig u r 1 1 .   States   o f   th s y s te m   f o r   th ( a)   p r o p o s ed   R L   an d   ( b )   GDRL       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.