Int ern at i onal  Journ al of  R obot ic s  and  Autom ati on (I JRA)   Vo l. 8 ,   N o. 4 ,   D ece m ber   201 9 ,   pp.  256 ~ 268   IS S N:  20 89 - 4 856 ,   DOI: 10 .11 591/ i jra . v 8 i 4 . pp25 6 - 268     256       Journ al h om e page :  http: // ia escore.c om/j ourn als/i ndex. ph p/IJRA   Optimi zation  of  PID cont ro ll er param eters  using P SO for t wo  area l oad frequ en cy  c ont ro l       Br ijesh K umar  D u bey 1 ,   N.   K.   Sin gh 2 ,   S am eer B hambr i 1   1 El e ct ri ca l   and   E le c troni cs  Engi n ee ring ,   PS IT  Ka npur ,   Indi a   2 El e ct ri ca l   Eng in ee ring ,   RVIT   Bij nor ,   Indi a       Art ic le   In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   Oct  12 ,   201 8   Re vised  Ma y   15 ,   201 9   Accepte d  Oct  6 ,   201 9       In  th is  p ape r ,   an   evol ut ionar y   computing   appr oac h   for   det ermining     the  opti m al  va l ues  for   the  pro porti onal - integra l - der iv at iv e  (PID )  cont ro ll er   par amete rs   o f  l oad  fre qu ency   c ontrol   ( LFC)  of   two  ar ea  powe r  s y st em  is   pre sente d .   Th e  proposed  appr o ac h  emplo y s  a  par ticle   sw arm  opti m iz ation  te chn ique   to   fin d  opti m um   par a m et ers.   Th e  sta t e  spac e  m odel   of  two  area  power  s y s te m   a nd  an   Ei gen   v alue  b ase d   obj ec t i ve  fun cti on  is  c onsidere d.     The   eff e ct iv enes s  of  the  prop osed  appr o ac h  is  compare d   with  int egr al   cont rol .   Sim ula t i on  result s justi f y  the  proposed  ap proa ch  in  te rm s of  damping  the   osc il l at ions ,   i m prove d  sett l ing   ti m e ,   l ess ove r/ under   shoots .   Ke yw or d s :   Eigen  v al ues   Loa d  f re qu e nc y con t ro l  (LFC )   P arti cl e sw a rm  optim iz at ion   (P S O)   PI D   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Brijes h Ku m ar Dub ey ,   Ele ct rical   and   Ele ct ro nics  E nginee rin g ,     Pr a nv ee r  Si ngh I ns ti tute o f  Te chnolo gy   (P I S T) Kan pur ,   I nd ia .   Em a il :  br ijesh8 0d@r e dif fm ai l .co m       1.   INTROD U CTION   In   powe r  syst e m s ,   bo t h  act ive  an d  reacti ve   powe r  dem and s   are  ne ver  ste ady  an d  c on ti nu ously   change  with  ri sing   or   fall ing   tren d.   Stea m   inp ut  to  t urbo   ge ner at or s  (or  wa te r  input  to  hy dro  ge ne rato rs)  m us t  therefo re ,   be   c on ti nu ously   re gu la te d  to   m atch   t he  act ive   powe r  dem and ,   fail ing   w hich   the  m achi ne  s pe ed  will   var y  with  c ons equ e nt  c ha ng e   in  fr e quency ,   wh ic h  m ay   be  highly   undesi rab le .   I n  br ie f ,   t he  c ha ng es   i n  real  powe r  a ff ect   t he  syst em   fr e qu e n cy ,   w hile  reacti ve   po we r  is  le ss   se ns it ive  to   cha nges   in  fr e quency   and  is  m ai nly  dep e nd ent o n  c ha nges   in   v oltage   m a gn it ude.   T he   qual it y  of p ower   sup ply  m us t  m eet   certai n  m ini m u m   sta nd a rds  with  reg a rd  to c onst an cy  of  volt ag e an d  fr e qu e nc y   [1 ] .    The  operati on al   obj ect ive   of  LFC   is  to   m ai ntain  reas onably   un i form   fr e quency ,   to   div i de  l oad  betwee n  ge ne r at or s  a nd   t o   co ntr ol  the  ti e - li ne   intercha nge  s chedules.  T he  change  in  t he  f reque ncy  an d  ti e - li ne  powe r  are   sen s ed ,   w hich  is  a   m easur e  of   t he   cha ng e   in  ro t or   a ngle ,   i.e . ,   t he  er r or   t o  be  correct ed.  T he   error   sign al ,   i.e. ,   ∆f   a nd  ∆Pti e ,   ar e  am plifie d ,   m ixed ,   a nd  t ransform ed  into   a   real   power  c omm and  sig na l  ∆P v ,   wh ic h  is  se nt  to  the  pr im e  m ov e r  to  cal l  f or   an  inc rem ent  in  the  to rque.   The  pr im e  m o ver ,   the refor e ,   br i ng s  change  in  t he  ge ne rato r  outp ut  by  an  am ount  ∆Pg  w hich  will   change  th e  values  of   ∆ f  and   ∆ Pti e  with in  the  sp eci fied  tolera nce.   In  this   pap e r   m at he m at ic a l  m od el   for   the   two  area   syst e m   is  dev el op e d   in  or der   to  analy ses   an d  desig n  t he  co nt ro l   syst em .  A  sta te   sp ace  m od el   is  de velo ped  by  li nea ri zi ng   t he  m at hem at ic al   equ at ion s   of  diff e re nt  c om po ne nts   an d  th us  the   sta te   m atr ix   is  form ed.   An  Ei gen  valu e  based  obj ect i ve   f un ct io n  to   place  the m od es in  bet te r  reg i on  on  the co m plex pl ane is c onside r ed  a nd opti m um  co ntro ll er  pa ram et ers  are fo und.         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J   R ob  &  A uto m   IS S N:  20 89 - 4856       Op ti miz atio n o f PID co ntr oller p arameters  usi ng PSO f or  t wo... (B rij esh K . Dubey)   257   2.   SY STE M  I N VESTIG ATED   Durin g  norm al  op e rati on ,   t he  real   powe r  tra nsfer red   over  t he   ti e - li ne  is  give n  by   (as  s how n  in  Fig ur e   1  a nd 2) ,     12 1 2 1 2 s in T EE P X =   (1)     Wh e re ,   1 2 1 2 =− .    Fo r  a sm al l dev ia ti on  i n  t he  ti e - li ne  fl o w  f rom   the nom inal value:     12 12 12 12 12 s dP P d P  =   =   (2)     Wh e re  Ps is t he  slo pe of p ower a ng le  c urve   at  init ia l op erat ing  a ngle  call ed  syn ch ronizi ng  powe r  c oeffici ent.     12 1 2 1 2 0 c o s T EE P X =   (3)     ( ) 1 2 1 2 s PP  = −   (4)       A r e a 1 A r e a 2 X t i e P 1 2     Figure  1. Tw o area sy ste m       E 1 ∠ δ 1         E 2 ∠ δ 2 X 1 X 2 X t i e   P 1 2 X T   =   X 1   +   X t i e   +   X 2     Figure  2. Ele ct rical  equivale nt  f or a t wo area  syst e m       A  blo c k  diagr a m   rep resen ta ti on  of  tw o  a rea syst e m   with  LFC  co ntainin g   on ly  p rim ary  l oop  is  s ho w n  in  F ig ure   3  wi th  eac h  a rea   r epr ese nt ed   by  an  e quivale nt   inerti a  M ,   loa d  dam pin g  co ns ta nt   D ,   t urbine  a n d  gove rn i ng  syst e m   with  an  eff ect ive  sp ee d  droop  R .  T ie - li ne  is  re presented   by  sy nchr on i z in g  t orq ue   coeffic ie nt.  A  p os it ive   re pr es ents  an  i ncr eas e  in  po wer   tra ns fe r  f r om   area  1  to  a rea  2  a nd   it   is  eq ui va le nt  to  increasin g  l oa d i n  a rea  1  a nd dec reasin g  lo ad   in ar ea  2.         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                IS S N : 2089 - 4856   I nt  J   R ob  &  A uto m ,   Vo l.   8 ,   No.  4 ,   Decem ber   2019  :   256   –   268   258   1 ( 1 + T g 1 s ) 1 ( 1 + T t 1 s ) 1 ( 2 H 1 s + D 1 ) 1 ( 1 + T g 2 s ) 1 ( 1 + T t 2 s ) 1 ( 2 H 2 s + D 2 ) 1 / R 1 1 / R 2 P s / s - + + - +           ∆ P L 2   ∆ P L 1 - - + - ∆ P 1 2 ∆ P r e f 1 ∆ P r e f 2 ∆ P v 1 ∆ P m 1 ∆ P v 2 ∆ P m 2 - ∆ ѡ 1     ∆ ѡ 2     Figure  3. Tw o area sy ste m  w it h  pri m ary LFC loop         Both a reas  will  h a ve  a  sam e st eady sta te  freq uen cy   de viati on  for  a l oad ch ang e  of   i n  are a  1 .       12 = −   an d  1 1 2 1 1 mL P P P D − − =   (5)     2 1 2 2 m P P D + =     (6)     Fr om  the  gove rnor spe ed  ch a racteri sti cs th e  change i n  m echan ic al   powe r i s:     11 22 / / m m PR PR = =   (7)     1 12 12 11 L P DD RR = − + + +   (8)     Wh e re ,     11 1 22 2 1 1 BD R BD R  =+   =+     (9)     21 2 12 12 12 1 11 L DP R P DD RR  +   = − + + +   (10)     In   norm al   op erati ng   c onditi on  po wer   syst e m   is  op erated   so   that  dem a nd   of   a reas  is   sat isfie d  at   no m inal fr e que ncy.  A  sim ple co nt ro l st rateg y shoul d  incl ude the  foll owin g functi ons:   ‐   Fr e qu e ncy a pproxim at e l y at  n om inal value.   -   Ma intai nin g t he  ti e - li ne  fl ow  at  ab out sc he dule .   -   Each a rea s houl d  ab sorb  it s own loa d  c hang es.     2.1.    Tie - li ne b ias c on tr ol   Conve ntion al   LFCs  a re  base d  on  ti e - li ne   bias  c ontrol   w her e   eac h  a rea   te nds   to   co nt ro l   it s  area   con t ro l   er ror   ( ACE)   to   ze ro.   T he  co ntr ol  error  c onsist s  of  li nea r  c ombinati on   of   f r equ e ncy   an d  ti e - li ne     error   [2 ].   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J   R ob  &  A uto m   IS S N:  20 89 - 4856       Op ti miz atio n o f PID co ntr oller p arameters  usi ng PSO f or  t wo... (B rij esh K . Dubey)   259     1 n i j i j i A C E P K = = +   (11)     The  area  bias   factor   K i   determ ines  the  am ou nt  of   i nteracti on   duri ng  the  distu rb a nc es  in  th e   neig hbori ng   ar ea. In  orde r  to   get sati sfacto ry  p e rfor m ance a rea  bias f act or  is sel ect ed  as :     1 () ii i KD R =+   (12)     1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 A C E P B A C E P B = + = +   (13 )     12 P   an d  21 P   are   the   de viati on s   f r om  the   sc heduled   intercha nges.   ACEs   are   the   a ct uating  sig na ls  that  a r e   us e d  to  c hang e  the  ref e re nce   set   po i nts ,   an d  w he n  the  ste ady  sta te   is  reached   a nd   will   be  zer o.   T he  blo c k  diag ram  o f  tw o area sy ste m  LFC w it h i nteg r al  co nt ro l i s  shown i n  Fi gure  4.       1 ( 1 + T g 1 s ) 1 ( 1 + T t 1 s ) 1 ( 2 H 1 s + D 1 ) 1 ( 1 + T g 2 s ) 1 ( 1 + T t 2 s ) 1 ( 2 H 2 s + D 2 ) 1 / R 1 1 / R 2 P s / s - +           ∆ P L 2   ∆ P L 1 - - + - ∆ P 1 2 ∆ P v 1 ∆ P m 1 ∆ P v 2 ∆ P m 2 ∆ ѡ 1     ∆ ѡ 2 K I 1 / s K I 2 / s B 1 B 2 - + - - + +               +             A C E 1 + A C E 2     Figure  4. Bl oc k d ia gram  o f  t wo area  syst em  LFC w it h  in te gr al  c on t ro l a ct ion       In   t his  pa per  the  inte gr al   c ontrol  bl ock   is  re placed  by  PID   con t ro ll er  a nd   sta t e  sp ace  m od el   of   t he   syst e m   Ẋ = AX  is  obta ine d.  S ta te   m at rix  of  order  11 ⨯ 11  i s  f or m ed  with   sta te   var ia bles 1 g P , 1 v P ,   1 m P ,   1 ,   1 A C E , 12 P , 2 g P , 2 v P , 2 m P , 2 , 2 A C E res pecti ve ly .  The  pa ram e te rs  of   t he  syst e m   wh ic h  ar e   to  be  optim iz e d  us i ng  PS O   ar e 1 p K ,   1 l K ,   1 D K ,   1 R , 1 B ,   2 p K ,   12 K ,   2 D K ,   2 R ,   2 B   r e sp ect ively   [ 3].   Bl oc k  diag ram  o f  tw o area sy ste m  w it h  PID c ontrol le r  is s how n  in   Figure  5.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                IS S N : 2089 - 4856   I nt  J   R ob  &  A uto m ,   Vo l.   8 ,   No.  4 ,   Decem ber   2019  :   256   –   268   260   1 ( 1 + T g 1 s ) 1 ( 1 + T t 1 s ) 1 ( 2 H 1 s + D 1 ) 1 ( 1 + T g 2 s ) 1 ( 1 + T t 2 s ) 1 ( 2 H 2 s + D 2 ) 1 / R 1 1 / R 2 P s / s - +           ∆ P L 2   ∆ P L 1 - - + - ∆ P 1 2 ∆ P v 1 ∆ P m 1 ∆ P v 2 ∆ P m 2 ∆ ѡ 1     ∆ ѡ 2 P I D 1 ( s ) P I D 2 ( s ) B 1 B 2 - + - - + +               +             A C E 1 + A C E 2     Figure  5. Bl oc k diag ram  o f  t wo area  syst em  LFC w it h  PID c on t ro l act io n       PI D 1(s)   = 1 11 l pD K K K s s ++   (14)     PI D 2(s)   = 2 22 l pD K K K s s ++   (15)       3.   PAR TI CLE S WA RM OPTI MIZ ATION   The  P SO  al gor it h m   was  fir st  introd uced  by  Dr .   Russ el   C.  Eberha rt  a nd  Dr .   Jam es  Kenned y  (19 95) ,   insp ire d  by  soc ia l  beh avi or   of  bir d  fl oc king   or   fish  sc hool ing .  The  syst e m   is  init ializ ed  with  a  po pu la ti on   of  rand om   so luti on s   a nd  sea rc hes   f or  op ti m a   by   up dating  ge ner at io ns  [4 ] .   H oweve r ,   un l ike  GA ,   PS O  has   no   evo l ution   oper a tors  s uch   as  cro ss over  a nd   m utati on .  I n  PSO ,   the  pote ntial   so luti ons ,   cal le d  par ti cl es ,   fly   thr ough  the   pr ob le m   sp ace  by   fo ll owin g  t he   cu rr e nt  opti m u m   par ti cl es .  Eac h  par ti cl e  kee ps   trac k  of   it s   coor din at es  in  the  pro blem   sp ace  wh ic h  are  associat ed  with  th e  best  so l ut ion   ( fitness )  it   has  ac hieve d  so   fa r.  ( The   fitness   va lue  is  al so   st ored )  t his  val ue  i s  cal le d  pbest .  Anothe r  " best"   value  t hat  is  tr acked  by  the   pa rtic le   swar m   op ti m i zer  is  t he  best   val ue ,   obta in ed  s o  far  by  a ny  pa rtic le   in  the  neig hbors  of  the   pa rtic le .  T his  locat ion  is  cal l ed  l best.   W he n  a  par ti cl e  ta ke s  al l  the   popula ti on   a s  it s  t opologica l  nei gh bors ,   the   best  va lue  is  a g lo bal  best a nd is cal le d g be st.   In   t he  nu m erical   i m ple m entation   of   t his  sim plifie d  s ocial   m od el ,   each  pa rtic le   has  th re e  a tt ribu te s ;   the  posit ion  ve ct or   in   the  sea r ch  s pace ,   t he  c urren t  directi on  vector ,   the   be st  posit ion   i n  it s  track  a nd   t he   best   po sit io n of t he swarm . Th e  pr ocess  ca n be  outl ined  a s foll ows  [5 ] :   Step  1.     Gen e rate t he  in it ia l swar m  inv olv in g N  pa rtic le s at ra nd om .   Step  2.     Ca lc ulate  the new  directi on  ve ct or   for  eac h partic le  b a sed   on it s att rib utes.   Step  3.     Ca lc ulate   the   new  sea rc h  po sit ion   of  eac h  pa rtic le   f r om  the   c urren t   s earch   posit ion  an d  it s  ne w    directi on  vecto r.   Step  4.     If  te rm inati on  co ndit ion i s sa t isfie d ,   sto p.   Ot herwise ,   go to   ste p 2.   As  t he   pa rtic le   can   fly   in   D - dim ension  searc h  sp ace ,   t he  po sit ion   a nd  velo ci ty   of  i - t h   par t ic le   can   be   represe nted  as:     Xi=[ x i1 , x i2 , x i3 , x i4 , …… .x iD ]   (16)     Vi=[ vi1 , vi2 , vi 3 , vi4 , …… viD]     (17)     W it h  incre ased   it erati on ,   th e   swar m   will   m ov e   t ow a rds  it s  global  best   posit ion  by  kee ping   track   of   their  per s onal   best.  In D -   dim ensio nal sea rch sp ace  the  pbes t of i - th   pa rtic le  can be  re pr es ented  a s:     Pb est =[ p i1 , p i2 , p i3 , p i4 , …… ..p iD ]   (18)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J   R ob  &  A uto m   IS S N:  20 89 - 4856       Op ti miz atio n o f PID co ntr oller p arameters  usi ng PSO f or  t wo... (B rij esh K . Dubey)   261     and gbest  of th e who le   swa rm  is prese nted  as :     gb e st= [g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , ……… ..g D ]   (19)     T he  ne w  dire ct ion   vecto r  o f  the   i - th   par t ic le   at   tim e  t ,   is  cal culat ed   by  t he  fo ll owin g  sc hem e   i ntrod uced by  Sh i a nd E berha rt.     1 1 2 1 ( ) 2 ( ) t t t t t t i d i d i d i d t t t d i d V v c R p b e st x c R g b e st x + = + − +−   (20)     1 t R   an d  2 t R   are  ra ndom   nu m ber s  be tween   0  a nd  1.  t id v   an d  t id x   is  t he   vel ocity   an d  po sit io n  of  t he   i - th  par ti cl e  in d - t h  dim ension   at   i ts  tim e  track  t.  t id p b e st   is  the  be st  pos it ion   of  the   i - th   par ti cl e  ( per sonal   best )  in   d - t h  dim ension  in  it s  track  at   tim e  t  and   t d g b e st   is  the  best  posit ion   of   the  swa rm   i n  d - th  dim ensi on   at   ti m e  t.  Ther e a re three  p aram et ers  suc h  as the i ner ti a o f  t he  pa rtic le t   ,   an d  tw o  pa r a m et ers   c1  an d c2.  c 1  an d  c 2 are  the  le ar ning  fa ct or s  w hich  de te rm ines  the  re la ti ve  influ e nc e  of  the  c ogniti ve  a nd   so ci al   c om po ne nts  to  updat e   the posit io n  a nd  velocit y com pone nt.    The n ,   ne w po si ti on   of the i - th  par ti cl e at t i m e t ,   1 t id X +   ,   is   cal culat ed fr om :     11 t t t id id id X X V ++ =+   (21)     Wh e re  t id X   is  t he  current   posit io n  of  the   i - th   pa rtic le   at   tim e  t.  A fter  t he  i - th  par ti cl e  cal c ulate s  the   ne xt   search   di recti on  vecto r  1 t i V +   in  co ns ide rati on  of  the  cu rr e nt  sea rch   directi on  ve ct or   t id v   , the  dire ct ion   vecto r   go i ng   from   the  current  sea rch  po sit io n  t id X   to  th e  best  searc h  posit ion   i n  it s  track  t id p b e st   and   the  di recti on  vecto r  goin g  f ro m   t he  c urre nt  sea rch  posit ion  t id X   to  t he  be st  searc h  posit ion  of  t he   swa rm   t d g b e st ,   it   m ov es  from   t he  c urre nt  pos it ion   t id X   to  th e  ne xt  sea rch  pos it ion   1 t id X +   cal culat ed  by  Eq uati on  (21) .  In   gen e ral  t he   pa r a m et er  t is  set   to  la rg e   values   in  t he  ea rly   sta ge  f or  global  s earch ,   w hile  it   is  set   to   a   sm al l  value  i n  th e las t st age fo r  loca l search .   The  ine rtia   we igh t  is  use d  t o  con t ro l  the   im pact  of   the  previ o us   vel ociti es  on   t he  c urr ent  vel ocity ,   influ e ncin g  the   trade - off  bet ween   t he  glob al   and   l ocal  ex per ie nce.  Alth ough  Z heng  cl aim ed  that  PS O  with  increasin g  ine r ti a  weig ht  pe rfor m s  bette r ,   li near  decr easi ng  of  t he   ine rtia   wei ght  is   rec om m end ed   by   S hi  a nd  Eber ha rt.     m a x m i n m a x m a x * ww w w i t e r i t e r  − =−     ( 22 )     Wh e re m a x w and m i n w are  m axi m u m   and  m ini m u m   of   inerti a  weig ht  value   res pecti ve ly ,   m a x i t e r is  m axi m u m   it erati on   num ber   a nd  it er   is  th e  cu rr e nt  it erat ion .   A  s o - cal le d  c onstric ti on  f act or  K ,   is   fact or  that  i ncr ea s es  the  al gorithm ’s  ab il ity  to  co nv e rg e  t o  a  good   so luti on  a nd   can  ge ner at e   higher   qual it y  so luti on  tha n  the   conve ntion al  P SO  a ppr oac h.   I n  this  case ,   t he e xpressi on u se d  to  up date the  p a rtic le ’s  vel oc it y b ecom es     1 1 2 * [ 1 ( ) 2 ( ) ] t t t t t t i d i d i d i d t t t d i d V K v c R pbe st x c R gbe st x + = + − +−   ( 23 )     Wh e re     ( ) 1 2 2 2 24 K = − − −   12 cc =+ ,      > 4     (24)         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                IS S N : 2089 - 4856   I nt  J   R ob  &  A uto m ,   Vo l.   8 ,   No.  4 ,   Decem ber   2019  :   256   –   268   262   4.   PROBLE M  F ORMUL ATI ON   Pr ovi de  a   sta t e m ent  that  w ha t  is  e xpect ed ,   as   sta te d  in   t he  " I ntrod uction"   c hap te r   ca n  ulti m a te l y  resu lt   in  "R es ults  an d  Disc ussi on "  c ha pter ,   so   the re  is  c om patibil ity.  More ov e r ,   it   c an  al so   be  a dded  t he  pros pect  of  th e  de velo pm ent  of  resea rch  r esults  a nd  a ppli cat ion   pr os pe ct s  of  furthe r  stud ie s   into   th e  ne xt   (b ase d o n resu l t and disc us si on) .     4. 1.     Ob jecti ve  f unc tio n   Accor ding  to  a pp e ndix B  the  equ at io n o f D - con t our   is  giv e n by     F( z)  = Re (z ) – m in[ - ζ ⃓ Im g( z ) ⃓ ,   a]  =  0   (25)     Wh e re z   ϵ   A  is  a point  on th e  D - c onto ur   a nd  A  r ep rese nts th e com plex  pla ne .   Def i ning J  a s :     J=m ax[ Re ( i ) – m in( - ζ |Im i | , a)]    (26)     i = 1 , 2 , 3...... n     Wh e re  n  is  th e  num ber   of  E igen   val ues . i is  the  i - th  E ige n  value   of  t he  s yst e m   at   an  operati ng  point.   A   neg at ive   value   of  J   im plies  t hat  al l  the   E ig en  values   li e  on  the   le ft  of  the  D - c on t our.  If  J   is  po sit iv e  that   i m plies  E igen value is  ly ing   on the  r i gh t  of c on t our.   On   these  f act s  obj ect ive  fun ct ion   F ca n be  de fine d  as :     F=  0 0 J if J if J   (27)     Wh e re  ⍺   is a la rg e  posit ive  num ber .     The o pti m iz ati on pr ob le m  can now  be  sta te d  as:     Mi ni m iz e F S ubj ect  t o ,     m i n m a x m i n m a x m i n m a x m i n m a x p i p i p i l i l i l i D i D i D i i i i K K K K K K K K K R R R       (28)     1 ii i BD R =+   (29)     Wh e re  K pi ,   K li ,   K Di   are   PID   con t ro ll er   pa ra m et ers  R i   an d  B i   are  s pee d  c har ac te risti cs  a nd  area   bias  f act or   resp ect ively .   i= 1 ,   2 f or  c ontr ol ar ea  f irst  an d  sec ond res pe ct ively .     4.2.    Al go ri thm   Step1.   In it ia li ze  the  se t  of  p a rtic le s  w it h  posit ion  v al ue  ( popula ti on ) ,   it s u pper   lim it   and   l ow e r  li m it ,   ran dom     velocit ie s ,   ine r ti a w ei gh t ,   acc el era ti on  c onst ants ,   it erm ax ,   e tc .   Step2.    Linearize  syst e m  an d  cal culat e the eig en  v al ues for eac h pa rtic le  f r om  the system   m od el lin g.   Step3.    Ca lc ulate  the obj ect iv e f unct ion J.   Step4.    Set  al l  po sit io n  va lues  as   loc al   best  val ues  and  fitness   val ues  of   obj ect iv e  functi on  as  l ocal  fitness .     Find gl ob al   fitness a nd it s c orrespo nd i ng pos it ion  v al ue.   Step5.    Set i te r= 1  a nd  com pu te  iner ti a w ei ght  by     m a x m i n m a x m a x * ww w w i t e r i t e r  − =−       (30)       Update  velocit y usin g velocit y update e qu at i on for al l pa rtic le s b y     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J   R ob  &  A uto m   IS S N:  20 89 - 4856       Op ti miz atio n o f PID co ntr oller p arameters  usi ng PSO f or  t wo... (B rij esh K . Dubey)   263   1 1 2 1 ( ) 2 ( ) t t t t t t i d i d i d i d t t t d i d V v c R p b e st x c R g b e st x + = + − +−     (31)       A lso  chec k  it s  uppe r  a nd lo w er lim it s.   Step6.    Update  posit ion   value o f parti cl es b y     11 t t t id id id X X V ++ =+     (32)       Also   chec k  it s  uppe r  a nd lo w er lim it s.   Step7.    Linearize   syst e m   and   cal culat e  E igen   val ues   for  eac h  par ti cl e  and   c orres pondin g  fitne s s  value s  of    obj ect ive  fun ct ion .   Step8.    Now  c om par e  these  fitness  va lues  to  the  previo us   fitne ss  values .  Mi nim um   fitness  values  will   be     sel ect ed  as  l oc al   fitness  val ues  a nd  it s  c orres pondin g  posit ion  val ues   as  local   best   valu es.  Fin d     m ini m u m  o f  al l fit nesses ,   e. g .   global  fitness  value  a nd it s c orres pondin g p os it ion val ue.   Step9.   If   num ber  of ite rati on r eac hes  it erm ax  go  t o st ep 10 ,   oth er w ise  go to st ep 5 .   Step10.     Partic le  w it h  m ini m u m  f it ness  v al ue  is the  op tim u m  p arti cl e.     4.3.    Re s ult     PI D  p a ram et ers  an d  s pee d  c ha racteri sti cs of  bo t h  a reas a re  al lowed to  va r y wit hin   f ollo wing  ranges :     5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 8 p l D K K K R − − −    (33 )     Ti m e con sta nts of diffe ren t m od el  c om po ne nt s asso ci at ed  wi th both  a reas  a re  giv e n  in  app end i x A.     The   de sired   P S O  pa ram et ers  are  giv e n  in   T a ble   1.  w it h  t he   desire d  set ti ng  of  dam pin g  rat io  ‘ζ’  ( 0.5 )  and  re fer e nce   li ne  value   ‘a ’  ( - 1.5)  al gorithm   is  r un  se ver al   t i m es.  Am on g  al l  the  r uns  m os t  optim um   ru n  a n d  it s  corres ponding  pa ram et ers  are  sel ect ed .   O pti m iz ed  pa ra m et ers  an d  c orrespo nd i ng  E ig en   values   as   show n  i n  Table  1 - 3.       Table  1 .   O pti m iz ed  pa ram et ers   K p1   - 1.8 787   K l1   - 2.3 640   K D1   - 0.9 364   R 1   0.065 2   B 1   15.93 01   K p2   - 0.1 353   K l2   - 0.5 873   K d2   - 0.5 212   R 2   0.065 3   B 2   16.20 87       Table  2.   O pti m iz ed   Eige n val ues   ( o s ci ll at or y  m od e)   Eigen values   Dam pin g   - 1.4 953 +  2.4192 i ,   - 1.4 953  -   2.419 2 i   0.525 8   - 1.4 934 +  1.3570 i ,   - 1.4 934  -   1.357 0i   0.740 1   - 1.4 762 +  0.8555 i ,   - 1.4 762  -    0.855 5i   0.865 2   - 1.4 887 +  0.5015 i ,   - 1.4 887  -   0.501 5i   0.947 7   - 0.2 653 ,    - 0.0 600 ,   - 0.1 125   1         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                IS S N : 2089 - 4856   I nt  J   R ob  &  A uto m ,   Vo l.   8 ,   No.  4 ,   Decem ber   2019  :   256   –   268   264   Table  3.   PS O p arm et ers   C1     2   C2     2   Wmax     0.9 0   Wmin     0.1 0   Vm ax   100%  o f  P m a x   Vmin   100%  o f   pmin   Po pu l ation     500   Iteratio ns     1000   C1     2       5.   SIMULATI O N  ST UDY   The   syst em   is  si m ulate d  in   MATLAB   e nviro nm ent  for  s te p  c ha ng e   in   load   ( 0.2   pu )  i n  a rea   fir st ,   giv e n  at  one se cond  a nd  is c he cked   out for  50 seco nds.  C om par ison  of r e sp onses  of 1 w , 12 P , AC E1 ,   1 m P , 2 w ,   ACE 2 ,   2 m P between  c onve ntion al   i nteg ral  co ntr ol  a nd  PI D PS O  is   c arr ie d  ou t   as   sho wn  i n     Figure  6 - 12.           Figure  6. Fr e quency  de viati on  respo ns e  of a rea f i rst w it h i nt egr al  c on t ro l  ( das hed li ne)  a nd P ID co ntr ol    (so li d l ine)           Figure  7. P ow e r  interc ha nge  r esp on se  of a re a first  with i ntegr al  c ontrol  ( da sh e d  li ne) an d PI D  c on t ro l    (so li d l ine)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J   R ob  &  A uto m   IS S N:  20 89 - 4856       Op ti miz atio n o f PID co ntr oller p arameters  usi ng PSO f or  t wo... (B rij esh K . Dubey)   265       Figure  8.   A rea  con t ro l  e rror ( ACE)   res pons e  of ar ea  f ir st wi th integ ral c on t ro l  (d a sh e d  li ne )  a nd PID c on trol  (so li d l ine)           Figure  9. De vi at ion  in  m echan ic al  pow e r res pons e  of a rea fi rst w it h  i nteg r al  co nt ro l  (das hed li ne) an d P ID   con t ro l  (s olid l ine)           Figure  10.   Fr e qu e n cy   dev ia ti on r es ponse   of   area sec ond  wi th integ ral c on t ro l  (d a sh e d  li ne )  a nd PID c on trol  (so li d l ine)       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.