I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   R o b o t i c s   a n d   A u t o m a t i o n   ( I J R A )   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2 ,   p p .   7 8 ~ 9 3   I S S N :   2 0 8 9 - 4 8 5 6             7 8       J o u r n a l   h o m e p a g e :   h t t p : / / i a e s j o u r n a l . c o m / o n l i n e / i n d e x . p h p / I J R A   K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   b y   M A T L A B / S i m u l i n k       B r a h i m   F e r n i n i   M a g i s t e r   i n   r o b o t i c   Bl i d a   U n i v e r s i t y .   A l g e r i a   D e p a r t m e n t   o f   m e c h a n i c a l ,   F a c u l t y   o f   E n g i n e e r i n g   T e c h n o l o g y ,   Bl i d a   U n i v e r s i t y ,   A l g e r i a .   L a b o r a t o r y   s t r u c t u r e ,   T e a c h e r   a t   K h e m i s   M i l i a n a   U n i v e r s i t y .   A l g e r i a       A r t i c l e   I n f o     A B S T R A C T   A r t i c l e   h i s t o r y :   R e c e i v e d   A p r   9 ,   2 0 1 2   R e v i s e d   M a y   2 2 ,   2 0 1 2   A c c e p t e d   M a y   2 9 ,   2 0 1 2       S i m u l a t i o n   o f   r o b o t   s y s t e m s   w h i c h   i s   g e t t i n g   v e r y   p o p u l a r ,   e s p e c i a l l y   w i t h   t h e   l o w e r i n g   c o s t   o f   c o m p u t e r s ,   c a n   b e   u s e d   f o r   l a y o u t   e v a l u a t i o n ,   f e a s i b i l i t y   s t u d i e s ,   p r e s e n t a t i o n s   w i t h   a n i m a t i o n   a n d   o f f - l i n e   p r o g r a m m i n g .   O b j e c t   s t a g i n g   m o d e l i s a t i o n   u s i n g   r o b o t s   h o l d s ,   w e t h e r   f o r   t h e   o b j e c t   o r   t h e   r o b o t ,   t h e   f o l l o w i n g   m o d e l s :   T h e   g e o m e t r i c   o n e ,   t h e   k i n e m a t i c s   o n e   a n d   t h e   d y n a m i c   o n e .   T o   d o   s o ,   t h e   m o d e l i s a t i o n   o f   a   2 - r o b o t   t y p e   i s   b e i n g   i m p l e m e n t e d .   Co m p a r i n g   b e t w e e n   t w o   r o b o t   p o s t u r e s   w i t h   t h e   s a m e   t r a j e c t o r y   ( p a t h )   a n d   f o r   t h e   s a m e   l e n g t h   o f   t i m e   a n d   e s t a b l i s h i n g   a   c o m p u t i n g   c o d e   t o   o b t a i n   t h e   k i n e m a t i c   a n d   d y n a m i c   p a r a m e t e r s   a r e   t h e   m a i n   t a s k s .   S o l i d W o r k s   a n d   M a t l a b / S i m u l i n k   s o f t w a r e s   a r e   u s e d   t o   c h e c k   t h e   t h e o r y   a n d   t h e   r o b o t   m o t i o n   s i m u l a t i o n .   T h e   v e r i f i c a t i o n   o f   t h e   o b t a i n e d   r e s u l t s   b y   b o t h   s o f t w a r e s   a l l o w s   u s   t o ,   q u a l i t a t i v e l y   e v a l u a t e   , u n d e r l i n e   t h e   r i g h t n e s s   o f   t h e   c h o s e n   m o d e l   a n d   t o   g e t   t h e   r i g h t   c o n c l u s i o n s .   T h e   r e s u l t s   o f   s i m u l a t i o n s   w e r e   d i s c u s s e d .   A n   a g r e e m e n t   b e t w e e n   t h e   t w o   s o f t w a r e s   i s   c e r t a i n l y   o b t a i n e d .     K e y w o r d :   2 - R   R o b o t   D y n a m i c   B e h a v i o u r   K i n e m a t i c   M o d e l   M a n i p u b a l i t y   M o d e l i s a t i o n   M u l t i b o d y   S y s t e m s   R o b o t i c s   S i m u l a t i o n   Co p y r i g h t   ©   2 0 1 2   I n s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e .     A l l   r i g h t s   r e s e r v e d .   C o r r e s p o n d i n g   A u t h o r :   F i r s t   A u t h o r   M a g i s t e r   i n   r o b o t i c   B l i d a   U n i v e r s i t y .   A l g e r i a   D e p a r t m e n t   o f   m e c h a n i c a l ,   F a c u l t y   o f   E n g i n e e r i n g   T e c h n o l o g y ,   B l i d a   U n i v e r s i t y ,   A l g e r i a .   L a b o r a t o r y   s t r u c t u r e ,   T e a c h e r   a t   K h e m i s   M i l i a n a   U n i v e r s i t y .   A l g e r i a   E m a i l :   f e r n i n i . b r a h i m 1 2 @ g m a i l . c o m       1 .   I N T R O D U C T I O N   R o b o t i c s   i s   a   s p e c i a l   e n g i n e e r i n g   s c i e n c e   w h i c h   d e a l s   w i t h   d e s i g n i n g ,   m o d e l i n g ,   c o n t r o l l i n g   a n d   r o b o t s '   u t i l i z a t i o n .   N o w a d a y s   r o b o t s   a c c o m p a n y   p e o p l e   i n   e v e r y d a y   l i f e   a n d   t a k e   o v e r   t h e i r   d a i l y   r o u t i n e   p r o c e d u r e s .   T h e   r a n g e   o f   r o b o t s '   u t i l i z a t i o n   i s   v e r y   w i d e ,   f r o m   t o y s   t h r o u g h   o f f i c e   a n d   i n d u s t r i a l   r o b o t s   f i n a l l y   t o   v e r y   s o p h i s t i c a t e d   o n e s   n e e d e d   f o r   s p a c e   e x p l o r a t i o n .   A   l a r g e   f a m i l y   o f   m a n u f a c t u r i n g   e q u i p m e n t   a m o n g   t h e   v a r i e t y ,   w h i c h   e x i s t s ,   i s   t h e   o n e   w h i c h   s u p p l i e s   t h e   m o t i o n   r e q u i r e d   b y   a   m a n u f a c t u r i n g   p r o c e s s ,   s u c h   a s :   a r c - w e l d i n g ,   s p r a y   p a i n t i n g ,   a s s e m b l y ,   p i c k   a n d   p l a c e ,   c u t t i n g ,   p o l i s h i n g ,   m i l l i n g ,   d r i l l i n g   e t c .   O f   t h i s   c l a s s   o f   e q u i p m e n t ,   a n   i n c r e a s i n g l y   p o p u l a r   t y p e   i s   t h e   i n d u s t r i a l   r o b o t .   D i f f e r e n t   m a n i p u l a t o r   c o n f i g u r a t i o n s   a r e   a v a i l a b l e   a s   r e c t a n g u l a r , c y l i n d r i c a l ,   s p h e r i c a l ,   r e v o l u t e   a n d   h o r i z o n t a l   j o i n t e d .   A   h o r i z o n t a l   r e v o l u t e   c o n f i g u r a t i o n   r o b o t ,   2 - R   R o b o t   h a s   t w o   d e g r e e s   o f   f r e e d o m   i n   w h i c h   t w o   h o r i z o n t a l ,   i s   g e n e r a l l y   s u i t e d   f o r   s m a l l   p a r t s   i n s e r t i o n   t a s k s   f o r   a s s e m b l y   l i n e s   l i k e   e l e c t r o n i c   c o m p o n e n t   i n s e r t i o n   [ 2 ] .   A l t h o u g h   t h e   f i n a l   a i m   i s   r e a l   r o b o t i c s ,   i t   i s   o f t e n   v e r y   u s e f u l   t o   p e r f o r m   s i m u l a t i o n s   p r i o r   t o   i n v e s t i g a t i o n s   w i t h   r e a l   r o b o t s .   T h i s   i s   b e c a u s e   s i m u l a t i o n s   a r e   e a s i e r   t o   s e t u p ,   l e s s   e x p e n s i v e ,   f a s t e r   a n d   m o r e   c o n v e n i e n t   t o   u s e .   B u i l d i n g   u p   n e w   r o b o t   m o d e l s   a n d   s e t t i n g   u p   e x p e r i m e n t s   o n l y   t a k e s   a   f e w   h o u r s .   A   s i m u l a t e d   r o b o t i c s   s e t u p   i s   l e s s   e x p e n s i v e   t h a n   r e a l   r o b o t s   a n d   r e a l   w o r l d   s e t u p s ,   t h u s   a l l o w i n g   a   b e t t e r   d e s i g n   e x p l o r a t i o n .   S i m u l a t i o n   o f t e n   r u n s   f a s t e r   t h a n   r e a l   r o b o t s   w h i l e   a l l   t h e   p a r a m e t e r s   a r e   e a s i l y   d i s p l a y e d   o n   s c r e e n   [ 3 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J R A     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   ( B .   F e r n i n i )   7 9 T h e   p o s s i b i l i t y   t o   p e r f o r m   r e a l - t i m e   s i m u l a t i o n s   b e c o m e s   p a r t i c u l a r l y   i m p o r t a n t   i n   t h e   l a t e r   s t a g e s   o f   t h e   d e s i g n   p r o c e s s .   T h e   f i n a l   d e s i g n   c a n   b e   v e r i f i e d   b e f o r e   o n e   e m b a r k s   o n   t h e   c o s t l y   a n d   t i m e   c o n s u m i n g   p r o c e s s   o f   b u i l d i n g   a   p r o t o t y p e   [ 4 ] .   T h e   n e e d   f o r   a c c u r a t e   a n d   c o m p u t a t i o n a l l y   e f f i c i e n t   m a n i p u l a t o r   d y n a m i c s   h a s   b e e n   e x t e n s i v e l y   e m p h a s i z e d   i n   r e c e n t   y e a r s .   M o d e l i n g   a n d   s i m u l a t i o n   o f   r o b o t   s y s t e m s   b y   u s i n g   v a r i o u s   p r o g r a m   s o f t w a r e s   w i l l   f a c i l i t a t e   t h e   p r o c e s s   o f   d e s i g n i n g ,   c o n s t r u c t i n g   a n d   i n s p e c t i n g   t h e   r o b o t s   i n   t h e   r e a l   w o r l d .   S i m u l a t i o n   i s   i m p o r t a n t   f o r   r o b o t   p r o g r a m m e r s   t o   e v a l u a t e ,   p r e d i c t   t h e   b e h a v i o r   o f   r o b o t ,   i n   a d d i t i o n   t o   v e r i f y   a n d   o p t i m i z e   t h e   p a t h   p l a n n i n g   o f   t h e   p r o c e s s   [ 5 ] .   M o r e o v e r ,   t h i s   w i l l   s a v e   t i m e   a n d   m o n e y   a n d   p l a y   i m p o r t a n t   r o l e   i n   t h e   e v a l u a t i o n   o f   m a n u f a c t u r i n g   a u t o m a t i o n   [ 6 ] .   B e i n g   a b l e   t o   s i m u l a t e   o p e n s   a   w i d e   r a n g e   o f   o p t i o n s   f o r   s o l v i n g   m a n y   p r o b l e m s   c r e a t i v e l y .   Y o u   c a n   i n v e s t i g a t e ,   d e s i g n ,   v i s u a l i z e ,   a n d   t e s t   a n   o b j e c t   o r   e v e n   i f   i t   d o e s   n o t   e x i s t s   [ 7 ] .   I n   t h i s   w o r k ,   t w o   a x i s   2 - R   r o b o t   s y s t e m s   f o r   o p e r a t i o n   p i c k   a n d   p l a c e   w i l l   b e   d e s i g n e d   a n d   d e v e l o p e d   u s i n g   S o l i d w o r k s   p r o g r a m   a s   s h o w n   i n   f i g u r e   1 .   T h e   s t r u c t u r e   w i l l   b e   b u i l t   d e p e n d i n g   o n   t h e   p r i n c i p l e s   o f   s o l i d   b o d i e s   m o d e l i n g   w i t h   S D   t e c h n o l o g y   [ 8 ,   9 ] . T o   e m p h a s i z e   t h e   o b t a i n e d   r e s u l t s   i n   S o l i d w o r k s   p r o g r a m ,   s i m u l a t i o n   b y   u s i n g   M A T L A B / S i m u l i n k   s o f t w a r e   w i l l   b e   c a r r i e d   o u t .   T h e   R e s u l t s   o f   b o t h   s o f w a r e s   w i l l   b e   p r e s e n t e d   a n d   d i s c u s s e d .   I n   t h e   p a p e r ,   t h e   e q u a t i o n s   o f   k i n e m a t i c s   f o r   2 - R   r o b o t   w i t h   t h e   r o b o t   d y n a m i c s   f o r   e a c h   j o i n t   w e r e   d e v e l o p e d   w i t h   D - H   f o r m u l a t i o n .   T h e   p a p e r   i s   o r g a n i z e d   a s   f o l l o w s :   F i r s t ,   a n   i n t r o d u c t i o n   t o   r o b o t i c s ,   r o b o t   k i n e m a t i c s   i s   p r e s e n t e d   i n   s e c t i o n   2 .   I n   s e c t i o n   3 ,   t h e   i n v e r s e   k i n e m a t i c s   o f   t h e   r o b o t   i s   p r e s e n t e d .   F o u r t h l y ,   t h e   d y n a m i c s   i s   p r e s e n t e d   i n   s e c t i o n   4 .   S e c t i o n s   5   a n d   6 ,   t h e   s i m u l a t i o n   a n d   r e s u l t s   a r e   p r e s e n t e d   f o l l o w e d   b y   t h e   c o n c l u s i o n s   a n d   t h e   r e f e r e n c e s .           F i g u r e   1 .   2 - R   r o b o t   u s i n g   S o l i d W o r k s         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 9 - 4 8 5 6   I J R A     V o l .   1 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     7 8     9 3   8 0       F i g u r e   2 .   2 - R   R o b o t   m o d e l e d   i n   M A T L A B / S i m u l i n k       2 .   R O B O T K I N E M A T I C S :   T h e   D e n a v i t - H a r t e n b e r g   ( D - H )   p a r a m e t e r s   f o r   2 - R   r o b o t   s p e c i f i e d   i n   f i g u r e   3   a r e   d e f i n e d   i n   t a b l e :             B F W e l d 2 B F W e l d 1 B F W e l d C S 3 C S 2 R o o t P a r t R o o t G r o u n d B F R e v o l u t e 1 B F R e v o l u t e C S 2 C S 3 P i è c e 4 - 3 C S 2 C S 3 P i è c e 2 - 1 C S 2 C S 3 P i è c e 1 0 0 0 - 2 C S 2 C S 3 C S 4 P i è c e 1 0 0 0 - 1 E n v B F C y l i n d r i c a l Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J R A     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   ( B .   F e r n i n i )   8 1     F i g u r e   3 .   D - H   P a r a m e t e r s   f o r   t w o -   j o i n t   2 - R   R o b o t       T a b l e   1 .   D - H   p a r a m e t e r s   o f   2 - R   R o b o t   L i n k   i a   i a   i d   i q   1   1 l   0   0   * 1 q   2   2 l   0   0   * 2 q       1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c s l c s c l s T - =                 ( 1 )   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c s l c s c l s T - =                 ( 2 )     A f t e r   m u l t i p l i c a t i o n   a n d   u s e   o f   a d d i t i o n   m a t r i c e s ,   o n e   g e t s   t h e   t o t a l   t r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x :     1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c s l c l c s c l s l s T - + + =               ( 3 )           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 9 - 4 8 5 6   I J R A     V o l .   1 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     7 8     9 3   8 2 3 .   I N V E R S E   K I N E M A T I C S   O F   T H E   R O B O T :   3 . 1   I n v e r s e   s o l u t i o n   f o r   p o s i t i o n :   D e s i r e d   l o c a t i o n   o f   t h e   2 - R   R o b o t :     0 0 0 1 X X X X y y y y R H z z z z n o a p n o a p T n o a p =               ( 4 )     T h e   j o i n t   v a r i a b l e 2 q   :   T h e   f i n a l   e q u a t i o n   r e p r e s e n t i n g   t h e   r o b o t   i s : [ 1 0 ] :   0 2 R H T T =                     ( 5 )   W e   g e t :   1 1 2 1 2 X p l c l c = +                     ( 6 )   1 1 2 1 2 y p l s l s = +                     ( 7 )     F r o m   e q u a t i o n   8   a n d   e q u a t i o n   9 :     2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 X y c p p l l l l = + - -                 ( 8 )   2 2 2 1 s c = ± -                         ( 9 )   2 2 2 t a n s a c q = ±                     ( 1 0 )   T h e   j o i n t   v a r i a b l e   1 q :   R e a r r a n g i n g   e q u a t i o n   ( 6 )   a n d   e q u a t i o n   ( 7 )   y i e l d s :   1 2 2 1 2 2 1 ( ) X p l l c c l s s = + -                 ( 1 1 )   2 2 1 1 2 2 1 ( ) y p l s c l l c s = + +                 ( 1 2 )   S o l v i n g   e q u a t i o n s   ( 1 1 )   a n d   ( 1 2 )   b y   K r a m e r ' s   r u l e   1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) l l c l s l l c l s l s l l c + - D = = + + +           ( 1 3 )   A n d   w e   h a v e :   2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) X y p p l l c l s + = + +               ( 1 4 )   1 2 2 1 2 2 x y l l c p s l s p + D =                   ( 1 5 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J R A       K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 2 2 1 1 2 2 x y p l s c p l l c - D = +     1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) y x X y l l c p l s p s s p p + - D = = D + 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) x y X y l l c p l s p c c p p + + D = = D + 2 2 2 1 s c = ± -   1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) t a n t a n ( ) l l c p l s p s a a c l l c p l s p q + = = + ± T h e   s i g n   ( ± )   i n d i c a t e s   t h e   t w o   p o s t u r e s   e l b o w   u p   a n d   e l b o w   d o w n .   E q u a t i o n   o f   e l b o w   u p :   2 2 2 t a n s a c q = -       2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) t a n ( ) ( ) x y x y p l s p l l c a p l l c p l s q + + + = + -   E q u a t i o n   o f   e l b o w   d o w n :   2 2 2 t a n s a c q = +       2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) t a n ( ) ( ) x y x y p l s p l l c a p l l c p l s q - + + = + +   I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n             1 2 2 2 2 y x l l c p l s p             1 2 2 2 2 x y l l c p l s p             1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) y x x y l l c p l s p c l l c p l s p + ± m             )   i n d i c a t e s   t h e   t w o   p o s t u r e s   e l b o w   u p   a n d   e l b o w   d o w n .               2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y p l s p l l c p l l c p l s + + +                         2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y p l s p l l c p l l c p l s - + +             F i g u r e   4 .   T h e   t w o   p o s t u r e s   o f   2 - R   R o b o t     R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   ( B .   F e r n i n i )   8 3   ( 1 6 )     ( 1 7 )     ( 1 8 )     ( 1 9 )     ( 2 0 )     ( 2 1 )     ( 2 2 )     ( 2 3 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 9 - 4 8 5 6   I J R A     V o l .   1 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     7 8     9 3   8 4 4 .   R O B O T   D Y N A M I C S :   4 . 1   K i n e t i c   e n e r g y :   2 2 1 1 1 1 1 2 K m l q = &                     ( 2 4 )   2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) c o s 2 2 K m l m l m l l q q q q q q q = + + + + & & & & & &         ( 2 5 )     4 . 2   P o t e n t i a l e n e r g y :   1 1 1 1 s i n V m g l q =                   ( 2 6 )   2 2 2 2 1 1 2 1 2 [ s i n s i n ( ) ] V m g y m g l l q q q = = + +           ( 2 7 )     4 . 3   J o i n t s   T o r q u e :   2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( ) m l m l l c m m l m l l s m l l s m l g c m m l g c t q q q q q q q q = + + + + + - - + + + & & & & & & & & & & & & &       ( 2 8 )   2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) m l l c m l l s m l g c m l t q q q q = + + + + & & & & & & &           ( 2 9 )       5 .   S I M U L A T I O N   A N D   R E S U L T S :   5 . 1   A p p l i c a t i o n :   T h i s   a p p l i c a t i o n   w i l l   b e a r   t h e   e n e r g e t i c   c o m p a r i s o n   d u r i n g   t h e   m o v e m e n t   o f   t h e   2 - R   R o b o t   w i t h   1 2 1 6 . 9 2 m m K g = = a n d 1 2 1 l l m = = ,   f o r   t h e   t w o   p o s t u r e s .   F r o m   t h e   s t u d y   o f   m o v e m e n t   o f   t h e   t w o   p o s t u r e s   «   e l b o w   d o w n »   a n d   «   e l b o w   u p »   f o r   t h e   s a m e   n a t u r e   o f   t h e   t r a j e c t o r y   ( p a t h )   ,   r e a c h i n g   t h e   s a m e   d e s i r e d   p o s i t i o n   d u r i n g   t h e   s a m e   i n t e r v a l   o f   t i m e   o f   1 s . a s   s h o w n   i n   t h e   f o l l o w i n g   d i a g r a m :     M a s s   p a r a m e t e r s :   T h e   m a s s   i s   s h o w n   F i g u r e   5 .     T h e   i n i t i a l   p o s i t i o n   ( h o m e   p o s i t i o n ) :   T h e   i n i t i a l   p o s i t i o n   w a s   o b t a i n e d   f r o m   t h e   m a t r i x   o f   t h e   h o m o g e n e o u s   t r a n s f o r m a t i o n   ( 3 )   w h e n 1 0 q = ° a n d 2 0 q = ° a s   i t s   s h o w n   i n   t h e   f o l l o w i n g   F i g u r e   6   a n d   7 .   S t a r t i n g   f r o m   t h e   i n i t i a l   p o s i t i o n :   2 X p = 0 y p =   T o   t h e   d e s i r e d   p o s i t i o n :   0 . 8 6 X p = 1 . 5 y p =   T h e   e q u a t i o n   o f   m o v e m e n t   f o r   ( e l b o w   d o w n )   f o r   t h e   i n i t i a l   a n d   d e s i r e d   p o s i t i o n :   T h e   e q u a t i o n   o f   m o v e m e n t   f o r   t h e   b o r r o w e d   p a t h   " e l b o w   d o w n "   t o   r e a c h   t h e   d e s i r e d   p o s i t i o n s   g i v e n   b y   t h e   r e l a t i o n s [ 1 1 ] :   4 3 2 1 ( 1 0 1 0 1 0 ) t t t q = + + °                 ( 3 0 )   4 3 2 ( 5 0 1 0 ) t t q = + °                   ( 3 1 )   T h e   e q u a t i o n   o f   m o v e m e n t   f o r   ( e l b o w   u p )   f o r   t h e   i n i t i a l   a n d   d e s i r e d   p o s i t i o n :   T h e   e q u a t i o n   o f   m o v e m e n t   f o r   t h e   b o r r o w e d   p a t h   " e l b o w   u p "   t o   r e a c h   t h e   d e s i r e d   p o s i t i o n   i s   g i v e n   b y   t h e   r e l a t i o n s [ 1 1 ] :   4 3 2 1 ( 6 0 2 0 1 0 ) t t t q = + + °                 ( 3 2 )   4 3 2 ( 5 0 1 0 ) t t q = - - °                   ( 3 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J R A     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   ( B .   F e r n i n i )   8 5     F i g u r e   5 .   m a s s   p a r a m e t e r s   o f   l i n k           F i g u r e   6 .   T h e   h o m e   p o s i t i o n   o f   2 - R   R o b o t ( t w o   p o s t u r e s ) : M a t l a b / S i m u l i n k .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 9 - 4 8 5 6   I J R A     V o l .   1 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     7 8     9 3   8 6       F i g u r e   7 .   t h e   h o m e   p o s i t i o n   o f   2 - R   R o b o t   ( t w o   p o s t u r e s ) :   S o l i d w o r k s .       T h e   c h o i c e   o f   e x p r e s s i o n s   o f   1 q a n d 2 q   m u s t   s a t i s f y   t h e   f o l l o w i n g   c o n d i t i o n s [ 1 1 ] :   - I n   t h e   m e a n t i m e   ( i n t e r v a l )   t i m e   m u s t   v e r i f y   t h e   i n i t i a l   a n d   t h e   d e s i r e d   p o s i t i o n .   -   A t   e v e r y   m o m e n t   t h e   t w o   p o s t u r e s   ( e l b o w   d o w n   a n d   u p )   m u s t   h a v e   t h e   s a m e   c o o r d i n a t e s   x P a n d y P .     5 . 2   C h e c k i n g   o f   p a t h :   A p p l y i n g   t h e   r e l a t i o n s   ( 3 0 ) ,   ( 3 1 ) ,   ( 3 2 )   a n d   ( 3 3 )   i n   ( 6 )   a n d   ( 7 )   , o b t a i n i n g   t h e   f o l l o w i n g   t a b l e       T a b l e   2 .   T h e   p o s i t i o n   o f   t h e   t w o   p o s t u r e s   d u r i n g   1 s .   t i m e   ( s e c )   E l b o w   d o w n   E l b o w   u p   T i t a 1   ( d e g )   T i t a 2   ( d e g )   X p ( m )   y p ( m )   T i t a 1   ( d e g )   T i t a 2   ( d e g )   X p ( m )   y p ( m )   0   0   0   2   0   0   0   2   0   0 . 1   0 . 1 1       0 . 0 1 5   1 . 9 9   0 . 0 0 4   0 . 1 2 6   - 0 . 0 1 5   1 . 9 9   0 . 0 0 4   0 . 2   0 . 4 9   0 . 1 6   1 . 9 9   0 . 0 2   0 . 6 5   - 0 . 1 6   1 . 9 9   0 . 0 2   0 . 3   1 . 2 5   0 . 6 7   2   0 . 0 5   1 . 9 2   - 0 . 6 7   2   0 . 0 5   0 . 4   2 . 4 9   1 . 9 2   1 . 9 9 6   0 . 1 2   4 . 4 1   - 1 . 9 2   1 . 9 9 6   0 . 1 2   0 . 5   4 . 3 7   4 . 3 7   1 . 9 8   0 . 2 1   8 . 7 5   - 4 . 3 7   1 . 9 8   0 . 2 1   0 . 6   7 . 0 5   8 . 6 4   1 . 9 5   0 . 3 9   1 5 . 6 9   - 8 . 6 7   1 . 9 5   0 . 3 9   0 . 7   1 0 . 7 3   1 5 . 4 3   1 . 8 8   0 . 6 2   2 6 . 1 6   -   1 5 . 4 3   1 . 8 8   0 . 6 2   0 . 8   1 5 . 6 1   2 5 . 6   1 . 7 1   0 . 9 2 7   4 1 . 2 1   - 2 5 . 6   1 . 7 1   0 . 9 2 7   0 . 9   2 0   4 0 . 0 9   1 . 4 4   1 . 2 0   5 9 . 0 4   - 4 0 . 0 9   1 . 4 4   1 . 2 0   1   3 0   6 0   0 . 8 6   1 . 5   9 0   - 6 0   0 . 8 6   1 . 5       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J R A     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       K i n e m a t i c   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n   o f   a   2 - R   R o b o t   b y   U s i n g   S o l i d   W o r k s   a n d   V e r i f i c a t i o n   ( B .   F e r n i n i )   8 7 5 . 3   C h e c k i n g   t h e   r e s u l t s   o f   t h e   t a b l e   b y   u s i n g   S o l i d W o r k s   a n d M a t l a b / S i m u l i n k         t = 0 . 5 s   E l b o w   d o w n ;     F i g u r e   9 .   E l b o w   d o w n ( M a t l a b / S i m u l i n k )       F i g u r e   1 0 .   E l b o w   d o w n ( S o l i d w o r k s )       E l b o w   u p   :     F i g u r e   1 1 .   E l b o w   u p ( M a t l a b / S i m u l i n k )       F i g u r e   1 2 .   E l b o w   u p ( s o l i d w o r k s )         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.