I AE I nte rna t io na l J o urna l o f   Ro bo t ics a nd   Aut o m a t io n ( I J RA)   Vo l.  1 0 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 1 ,   p p .   1 0 ~ 2 3   I SS N:  2722 - 2586 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j r a . v 1 0 i 1 . p p 1 0 - 23     10       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij r a . ia esco r e. co m   Ana ly tical desig o the  fractiona l o rder c o nt ro ller an ro bustness  verifi c a tion       Sa t ee s h K .   Va v ila la Vino pra ba   T hiru m a v a la v a n   De p a rtme n o f   El e c tri c a a n d   El e c tro n ics   E n g in e e rin g ,   NIT   P u d u c h e rr y Ka ra ik a l,   In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Sep   1 3 ,   2 0 2 0   R ev i s ed   Dec   1 ,   2 0 2 0   A cc ep ted   Feb   1 2 ,   2 0 2 1       T h is  w o rk   d e sig n s   a   f ra c ti o n a o rd e c o n tr o ll e ( F OC)  f o th e   lev e c o n tr o p ro b lem   o f   th e   c o u p led   tan k   s y ste m ,   u sin g   th e   d e sire d   ti m e   d o m a in   sp e c if ic a ti o n s.  T h e   d i re c sy n th e s is  m e th o d   i e m p lo y e d   to   d e sig n   th e   F OC .   In   th e   d irec sy n th e sis  m e th o d ,   th e   Bo d e ' id e a lo o p   tran sf e fu n c ti o n   is   c h o se n   a th e   re f e r e n c e   c lo se d   lo o p   tran sf e f u n c ti o n   (CL T F ) .   Bo d e ' CLT F   h a th e   a d v a n tag e li k e   ro b u stn e ss   to   sy ste m   g a in   v a riatio n s,  c o n sta n p h a se   a n d   v e ry   h ig h   g a in   m a rg in .   P e rf o r m a n c e   o f   th e   p r o p o se d   c o n tro ll e r   is  c o m p a re d   w it h   th e   sta te  o f   th e   a rt   li tera tu re .   T h e   s im u latio n   re su l ts  sh o w e d   b e tt e ti m e   d o m a in   p e rf o rm a n c e   o f   th e   p r o p o se d   c o n tr o ll e r.   T h e   ro b u st  p e rf o r m a n c e   o f   th e   p ro p o se d   c o n tro ll e r   i a lso   t h e   b e st.   Ro b u st   sta b il it y   o th e   sy st e m   w it h   th e   p ro p o se d   c o n tro ll e is v e rif ied ,   a n d   th e   sy ste m   is f o u n d   t o   b e   ro b u stly   sta b le.   K ey w o r d s :   B o d e' s   id ea l tr an s f er   f u n c tio n   C o u p led   tan k   s y s te m   Dir ec t s y n t h esi s   Fra ctio n al  o r d er   co n tr o ller   R o b u s t s tab i lit y   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Satees h   K.   Vav ila la   Dep ar t m en t o f   E lectr ical  an d   E lectr o n ics E n g i n ee r in g   N atio n al  I n s tit u te  o f   T ec h n o lo g y   P u d u ch er r y   Kar aik al -   6 0 9 6 0 9 ,   I n d ia   E m ail:  v k s atee s h @ g m ai l.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N   T h c o u p led   tan k   s y s te m   ( C T S)   is   u s ed   in   th p r o ce s s   co n tr o in d u s tr y   f o r   s to r in g   t h liq u id   an d   p u m p i n g   th e   liq u id   to   n e x s tag es   o f   t h b atc h   p r o ce s s .   T h in ter ac ti n g   m o d co m p r i s es  t w o   c y li n d r ical   s h ap ed   tan k s   co n n ec ted   p h y s i ca ll y   t h r o u g h   v a lv e.   T h lev el  co n tr o p r o b lem   o f   th C T S   is   a n   in ter esti n g   p r o b lem   d u to   its   n o n li n ea r   n atu r e   an d   d ela y   i n v o l v ed .   J o h n   et  a l . ,   p r o p o s ed   b ac k s tep p in g   co n tr o ller   f o r   th e   C T S   [ 1 ] .   Sh ar m et  a l . ,   d is cu s s ed   th m o d eli n g   of   th C T S   an d   p r o p o s ed   f u zz y   lo g ic  co n tr o ller   f o r   th h eig h t   co n tr o p r o b lem   [ 2 ] .   S ath is h   K u m ar   et  a l . ,   d ev elo p ed   n o n li n ea r   m o d el  o f   t h t h r ee   tan k   s y s te m   a n d   d esig n ed   lin ea r   q u ad r atic  c o n tr o ller   [ 3 ] .   P atel   an d   Sh ah   d esig n ed   an   i n teg er   o r d er   p r o p o r ti o n al  in te g r al   d if f er e n tiato r   ( P I D)   an d   ar tif ic ial  in tel lig e n ce   b ased   co n tr o lle r s   f o r   th h ei g h t   co n tr o l o f   t h C T S   [ 4 ] .   Sin g la  et   a l. ,   p r o p o s ed   m o d if ied   P I co n tr o ller   f o r   th le v el  co n tr o o f   th C T S   [ 5 ] .   T h m o d i f ied   P I co n tr o ller   s h o w ed   b etter   p er f o r m a n ce   th an   th co n v e n tio n al  P I co n tr o ller .   Go u ta  et  a l. ,   d is cu s s ed   t h ad ap tiv co n tr o l   o f   co u p led   tan k   s y s te m   u s i n g   an   o b s er v er   [ 6 ] .   A   m u l tis ta g co s f u n ctio n   i s   o p ti m ized   to   o b tain   th co n tr o ller   p ar am eter s .   Ma h a p atr o   et  a l . ,   d esig n ed   d ec en tr alize d   p r o p o r tio n al  in teg r al   ( PI )   co n tr o ller   f o r   th h eig h t   co n tr o o f   C T S   u s in g   r ef er en ce   m o d el  [ 7 ] .   A   f r eq u e n c y   d o m ain   b ased   m o d eli n g   o f   th s y s te m   is   al s o   d is cu s s ed .   Naf ea   et   a l. ,   d is cu s s ed   n e u r al  n et w o r k   b ased   h eig ht   co n tr o o f   t h C T S   [ 8 ] .   T h ey   p r o p o s ed   p er tu r b ed   m o d el  o f   th s y s te m   f r o m   th n o n li n ea r   m o d el.   A p ar f r o m   th co n v en t io n al  co n tr o ller s f r ac tio n a l   o r d er   c o n tr o ller s   ( FOC )     ar em p lo y ed   f o r   th le v el  co n tr o o f   th ta n k s .   FOC ar f in d i n g   ap p licatio n s   i n   all  ar ea s   o f   co n tr o s y s te m s   b ec au s o f   ad v an ta g e s   lik e   i s o d a m p in g   p r o p er ty ,   ch o ice  o f   co n tr o ller   p ar am e ter s .   P o d lu b n y   p r o p o s ed   th f ir s f r ac tio n al  o r d er   p r o p o r tio n al  in teg r a l   d er iv ativ ( FOP I D)   co n tr o ller   [ 9 ] .   A f ter   F OP I is   d ev elo p ed ,   n u m er o u s   o t h er   f r ac tio n al  co n tr o ller s   ar e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2 722 - 2586       A n a lytica l d esig n   o f th fr a ctio n a l o r d er c o n tr o ller   a n d   r o b u s tn ess   ve r ifica tio n   ( S a teesh   K .   V a vila la )   11   d esig n ed   an d   im p le m e n ted .   Vin o p r ab et  a l . ,   d is cu s s ed   t w o   d eg r ee s   o f   f r ee d o m   ( 2 - D OF)   FOC   [ 1 0 ] .   T h e   p ar am eter s   ar tu n ed   an al y tic all y   u s i n g   t h d esire d   clo s ed   lo o p   b an d w id t h .   Sax e n an d   Ho te  d is cu s s ed   a n   in ter n a m o d el  co n tr o ller - p r o p o r tio n al  in teg r al  d if f er en tiat o r   ( I MC - P I D)   b ased   f r ac tio n al  co n tr o ller   f o r   th e   DC   s er v o m o to r   s p ee d   co n tr o l   [ 1 1 ] .   T h co n tr o ller   h as  less   tu n ab le  p ar a m eter s   an d   th co n tr o ller   p ar am eter s   ar o b tain ed   u s in g   f r eq u e n c y   d o m ai n   s p ec i f icatio n s .   B ar u ah   et  a l . ,   p r o p o s ed   f r ac tio n al  o r d er   p r o p o r tio n al   in te g r al  ( FOP I )   co n tr o ller   f o r   th C T S .   T h p ar am eter s   o f   th co n tr o ller   ar o b tain ed   an al y ticall y   u s i n g   in te g r al  p er f o r m an ce   in d e x   an d   b alan ce d   s tate  s p ac m eth o d s   [ 1 2 ] .   W alid   et  a l . ,   d ev elo p ed   FO P I D   co n tr o ller   f o r   th s p ee d   co n tr o o f   p er m an e n m a g n et   s y n ch r o n o u s   m ac h in [ 1 3 ] .   T h co n tr o ller   is   s y n t h esized   u s i n g   t h B o d e' s   i d ea o p en   lo o p   tr an s f er   f u n cti o n   ( OL T F ) .   L in o   et   a l.,   p r o p o s ed   f ee d   f o r w ar d   f r ac tio n al  co n tr o ller   f o r   t h s p ee d   an d   p o s itio n   co n tr o o f   DC   m o to r   [ 1 4 ] .   E m p ir ica f o r m u lae  f o r   th e   co n tr o ller   p ar am eter s   ar o b tain ed   u s i n g   th f r eq u en c y   d o m a in   s p ec i f icatio n s .   Z h e n lo g   et  a l. ,   d ev is ed   S m it h   p r ed icto r   b ased   FO PI  co n tr o ller   f o r   th h ig h er   o r d er   s y s te m   [ 1 5 ] .   T h co n tr o ller   g av g o o d   s er v o   an d   d is tu r b an ce   r e s p o n s es .   Vav i lal an d   Vi n o p r ab tu n ed   t h FO C   p ar a m eter s   u s in g   p ar ticle  s w ar m   o p ti m izatio n   ( P SO )   alg o r ith m   f o r   co n ical  tan k   s y s te m   lev e co n tr o [ 1 6 ] .   A   FO -   [ P I ] λ   co n tr o ller   is   d ev elo p ed   f o r   th t w o   in p u t w o   o u tp u ( T I T O)   C T S   u s in g   t h f r eq u e n c y   d o m ai n   s p ec if icat io n s   [ 1 7 ] .   Fr ac tio n al  p o w er s   ar ap p r o x im a ted   u s i n g   O u s talo u p   r ec u r s i v ap p r o x i m atio n   ( OR A ) .   T ep li j ak o v   p r o p o s ed   to o lb o x   ca lled   f r ac tio n al  o r d er   m o d eli n g   an d   co n tr o ( FOMCON)   i n   M A T L A B   f o r   i m p le m e n ti n g   f r ac tio n al  co n tr o ller s   a n d   m o d eli n g   th f r ac tio n a l o r d er   s y s te m s   [ 1 8 ] .   T h FOMCON t o o lb o x   is   u s ed   f o r   s i m u latio n s   in   th i s   w o r k .   T h FOC   p ar a m eter s   ca n   b tu n ed   u s in g   a n al y tical  p r o ce d u r e ,   ev o lu tio n ar y   a lg o r it h m s   a n d   e m p ir ical  f o r m u lae .   I n   t h i s   w o r k ,   co n tr o ller   s tr u ct u r is   s y n t h esized   an al y ticall y   u s i n g   th d ir ec s y n t h e s is   p r o ce d u r e w h ic h   is   co n v e n tio n al  a n al y tical  m et h o d   u s ed   f o r   th co n t r o ller   d esig n .   A   d esire d   m o d el  o f   th s y s te m   w ill   b s p ec if ied   a n d   u s i n g   th at   m o d el,   co n tr o ller   w ill   b s y n th e s ized .   Van a v il  e a l. ,   d is c u s s e d   th d esi g n   o f   P I co n tr o ller   u s i n g   th d ir ec s y n th e s i s   f o r   t h ti m d ela y   s y s te m s   [ 1 9 ] .   T h p ar am e ter s   o f   t h co n tr o ller   g o t   u s i n g   th e   m ax i m u m .   R av ik i s h o r et  a l . ,   u s ed   th d ir e ct  s y n t h esi s   m et h o d   to   d er iv th P I co n tr o ller   f o r   th u n s tab le  f ir s o r d er   an d   s ec o n d er   o r d e r   tim d ela y   s y s te m s   [ 2 0 ] .   C asti llo - Gar cia  et  a l . ,   p r o p o s ed   FO -   [ PI ] α   co n tr o ller   f o r   th au to m atio n   o f   th w ater   ca n als  [ 2 1 ] .   Ku m ar   an d   A n w ar   d is cu s s ed   p r ac tical  ap p licatio n   u s i n g   t h d ir ec s y n t h es is   [ 2 2 ] .   T h co n tr o ller   is   d esig n ed   u s i n g   t h e   m a x i m u m   s e n s i tiv it y .   D ir ec s y n t h esi s   b ased   co n tr o ller   d esig n   i s   d is cu s s ed   in   [ 2 3 - 2 5 ] .   An il  an d   P ad m a s r ee   u s ed   d ir ec s y n t h esi s   m et h o d   to   o b tain   th P I co n tr o ller   f o r   d if f er en in te g r ati n g   s y s te m s   w it h   ti m d ela y   [ 2 3 ] .   A n w ar   an d   P an   u til ized   th d ir ec s y n t h esi s   m et h o d   to   g et  th PID   co n tr o ller   p ar am eter s   f o r   th lo ad   f r eq u en c y   co n tr o ( L FC )   p r o b lem   [ 2 4 ] .   Ku m ar   an d   Sin g h   d esi g n ed   a   P I D   co n tr o ller   f o r   s ix   d if f er en ti m d ela y   s y s te m s   u s in g   t h d ir ec s y n t h es is   m et h o d   [ 2 5 ] .   T h is   w o r k   co n s id er s   B o d e' s   id ea OL T as  t h d esire d   r ef er en ce   m o d el  f o r   th clo s ed   lo o p   s y s te m .   B o d [ 2 6 ]   p r o p o s ed   th OL T F a s   r ef er en ce   m o d el .   Kasb an d   R ah ali  p r o p o s ed   FOP I   co n tr o ller   f o r   th w i n d   g en er atio n   s y s te m   u s i n g   th B o d e' s   id ea OL T [ 2 7 ] .   Ye  an d   B in g   d is cu s s ed   th e   d esi g n   o f   t h S m it h   p r ed icto r   b ased   2 - DOF   I MC  u s i n g   t h B o d e's   id ea OL T m et h o d   as  th d esire d   m o d el  [ 2 8 ] .   T h co n tr o ller   p ar am eter s   ar o p ti m ize d   u s in g   th in te g r al   ab s o lu te  er r o r .   Yu m u k   et  a l. p r o p o s ed   FO P I b ased   o n   th B o d e' s   id ea OL T f o r   th f r ac tio n a o r d er   s y s te m   [ 2 9 ] .   Fre q u en c y   d o m a in   s p ec i f icatio n s   ar u s ed   to   tu n t h co n tr o ller   p ar a m eter s .   I n   r ec en w o r k ,   Kez iz  et  a l. ,   d is cu s s ed   th d es ig n   o f   FO C   w it h   B o d e' s   id ea OL T as  r ef er en ce   m o d el  an d   p o le  p lace m e n tech n iq u f o r   co n tr o ller   t u n in g   [ 3 0 ] .   T h co n tr o ller   is   s i m p le  an d   r o b u s t.  Saf ae i   an d   T av ak o li   p r o p o s ed   an   an al y tica p r o ce d u r f o r   th FOC   d esi g n   u s i n g   d ir ec s y n th esi s   [ 3 1 ] .   T h co n tr o ller   p a r a m eter s   ar tu n ed   u s i n g   th ti m d o m ai n   s p ec if i ca tio n s   w it h   e m p ir ical  f o r m u l ae .   A r y an d   C h a k r ab ar t y   d esig n ed   FOI MC  f o r   th n o n m i n i m u m   p h ase   s y s t e m s   [ 3 2 ] .   T h co n tr o ller   p ar a m e ter s   ar o p ti m ized   u s i n g   t h ti m e   d o m ai n   s p ec if icatio n s   an d   i n teg r al  p er f o r m a n ce   in d ices.  P ali w al  et  a l . ,   d is cu s s ed   th d esi g n   o f   P I co n tr o ller   f o r   th L F C   p r o b lem   [ 3 3 ] .   P SO  alg o r ith m   is   u s ed   to   g et  th co n tr o ller   p ar am eter s   u s i n g   d if f er en p er f o r m a n ce   in d ices.  A   r o b u s co n tr o ller   h an d les  t h u n ce r tai n t y   in   t h s y s te m   p ar a m eter s ,   r ej ec ts   th d is tu r b an ce s ,   an d   p er f o r m s   w el f o r   ch a n g e s   i n   t h r ef er e n ce   i n p u t.  T h d esi g n ed   co n tr o ller   h a s   to   p er f o r m   r ea s o n ab l y   w e ll  f o r   ch an g in   t h o p er atin g   p o in t.  R o b u s p er f o r m a n ce   an d   r o b u s s tab ilit y   ar as s es s ed   w i th     n o r m   [ 3 4 ] .   I n   a   r ec en w o r k   b y   th a u t h o r s   d ir ec t s y n t h esi s   is   e m p lo y ed   f o r   o b tain in g   th co n tr o ller   [ 3 5 ] .   P u r p o s o r   m o ti v atio n   o f   t h e   w o r k Mo s o f   t h li ter atu r e   o n   t h co n tr o ller   d esi g n ,   b ased   o n   t h e   B o d e' s   id ea l   clo s ed   lo o p   tr a n s f er   f u n ctio n   ( C L T F) ,   tu n e d   th co n tr o ller   p ar a m eter s   u s i n g   t h f r eq u e n c y   d o m ai n   s p ec i f icatio n s .   B u [ 3 1 ]   p r o p o s ed   a   S m it h   p r ed icto r   b ased   FOC   u s in g   t h ti m d o m ai n   s p ec if icatio n s .   T h em p ir ical  f o r m u lae  ar d ev is ed   b ased   o n   th B o d e' s   id ea C L T F   s tep   r esp o n s e.   T h ese  f o r m u lae  ca n   b e   u s ed   f o r   an y   li n ea r   s y s te m   w it h   ti m d ela y .   T h co n tr o ller   is   d esi g n ed   u s i n g   t h d ir ec s y n t h e s is   ap p r o ac h .   Mo tiv ated   b y   t h s i m p le  d esi g n   p r o ce d u r b ased   o n   th t i m d o m ai n   s p ec i f icatio n s ,   a n   atte m p is   m ad to   d esig n   FOC   w i th o u th S m ith   p r ed icto r ,   f o r   th f ir s o r d e r   p lu s   d elay   ti m ( FOP DT )   m o d el  o f   th s y s te m .   T h p r o p o s ed   co n tr o ller   h an d led   th ti m d ela y   i n   t h s y s t e m   w i th o u t h S m it h   p r ed ict o r .   Fo r   th s y s te m s   w it h   lar g ti m d ela y   an d /o r   lar g ti m co n s ta n t s ,   th co n tr o ller   p ar am eter   tu n i n g   u s i n g   t h f r eq u en c y   d o m ai n   s p ec if icatio n s   w i ll n o g iv s at is f ac to r y   r e s u l ts ,   h e n ce   ti m d o m a in   s p ec if icat io n s   b ased   t u n in g   i s   m o r ap t.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
        I SS N :   2722 - 2586   I A E I n J   R o b   &   A u to m ,   Vo l .   1 0 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 1   :   ` 1 0     23   12   Ma in   co n tr ib u tio n s   a n d   n o v el t y A   n o v el  FO C   co n f ig u r ati o n   b ased   o n   th B o d e' s   id ea OL T is   o b tain ed   is   p r o p o s ed .   Ser v o   r esp o n s e,   d is tu r b an ce   r esp o n s e s   ar co m p ar ed   w it h   th s tate   o f   th e   ar t.  R o b u s t   p er f o r m a n ce   an d   r o b u s s tab il it y   o f   t h p r o p o s ed   FOC   ar an al y ze d   u s i n g     n o r m .   T h f r ag ilit y   i n d ices  o f   th c o n tr o ller s   ar co m p ar ed   t o   ch ec k   th f r ag i lit y   o f   t h co n tr o ller   to   ch an g es  i n   th co n tr o ller   p a r am eter s .   T h p r o p o s ed   co n tr o ller   h as  t h s i m p le  s tr u c tu r o f   a   P I   co n tr o ller   ca s ca d ed   w it h   f r ac ti o n al  o r d er   f ilter .   T h e   co n tr o ller   p ar am eter s   ar tu n e d   u s in g   t h d esire d   p ea k   o v er s h o o t   ( P O)   an d   s ettlin g   ti m ( t s )   f r o m   th d esire d   s tep   r esp o n s e.   No v elt y   i n   th co n tr o ller   d esig n   is FOC   is   an al y tical l y   s y n th e s ized   w it h o u th S m it h   p r ed icto r ,   f o r   FOP D T   m o d el  o f   th s y s te m .     Or g an iza tio n   o f   t h p ap er T h s ec o n d   s ec tio n   d escr ib es  th e   p r o b lem   f o r m u latio n   a n d   p r e li m i n ar ies   o f   t h f r ac tio n al  o r d er   co n tr o l.  I n   t h t h ir d   s ec tio n   a n al y tical  d esig n   o f   th e   p r o p o s ed   FOC   is   d is cu s s ed .   R o b u s t   s tab ilit y ,   r o b u s p er f o r m a n ce   an d   f r ag ili t y   an al y s is   m e th o d s   ar d is cu s s ed   in   th e   th ir d   s ec tio n .   T h f o u r th   s ec tio n   d is c u s s es t h s i m u latio n   r esu lts .   T h f i f t h   s ec tio n   co n clu d es t h p ap er .       2.   P RO B L E M   F O R M UL AT I O AND  P RE L I M I NARI E S   2 . 1 .     P r o ble m   f o r m ula t io n   State m e n t   o f   th e   p r o b lem   an d   th p r o p o s ed   s o lu tio n T h is   w o r k   i s   ai m ed   at  ad d r ess i n g   th h ei g h t   co n tr o of   C T S   b ased   o n   th ti m d o m ai n   s p ec i f icatio n s   lik PO   an d   t s .   T h w o r k   p r o v id es  th s o l u tio n   f o r   th is   p r o b lem   b y   p r o p o s in g   a   d esig n   b ased   o n   t h e m p ir i ca f o r m u lae   in v o l v in g   t h p ea k   o v er s h o o a n d   s ettli n g   ti m e.   M o d i f ied   B o d e' s   id ea l   C L T is   tak e n   a s   th e   d esire d   tr an s f er   f u n ctio n   an d   u s i n g   t h d ir ec t   s y n t h esi s   m et h o d ,   co n tr o ller   is   d er iv ed .   T h w o r k   also   v er if i es  w h eth er   th p er f o r m a n ce   o f   th p r o p o s ed   FOC   is   r o b u s e n o u g h   a n d   r o b u s tl y   s tab le.   T h s tu d y   al s o   d is cu s s es  th e   ex i s ti n g   lit er at u r o n   t h FOC   d esig n   u s in g   ti m d o m a in   s p ec if icatio n s .   F o r   th FOP DT   m o d el  o f   th e   C T S ,   FOC   i s   d esi g n ed   s u c h   th at  t h f o llo w i n g   co n tr o ller   o b j ec tiv es a r s atis f ied .     C o n tr o ller   o b j ec tiv es:   -   A c h ie v g o o d   tr an s ie n t a n d   s t ea d y   s tate  s tep   r esp o n s e s   ( M p < 10   % a n d   t s <=  1 5 0   s ec ) .   -   A c h ie v e   s atis f ac to r y   s et  p o in t   tr ac k in g   a n d   r ej ec t th d is tu r b an ce   s i m u l tan eo u s l y .   -   O b tain   s tab le  an d   r o b u s t c o n tr o ller .     Fig u r 1   s h o w s   th e   b lo ck   d ia g r a m   o f   t h f ee d b ac k   co n tr o ll er .   I n   Fi g u r e   1 ,   th s y s te m   G   ( s )   h as   th e   FOP DT   m o d el  g iv e n   b y   ( 1 ) ,   an d   th FO C   C   ( s )   d esi g n   is   d is cu s s ed   in   Sectio n   3 .           Fig u r 1 .   Feed b ac k   co n tr o ller       G ( s ) =    + 1   ( 1 )     2 . 2 .   P re lim ina ries o f   f ra ct io na c a lculu s   a nd   f ra ct io na co ntr o l   Fra ctio n al  ca lcu lu s   is   3 0 0   y e ar s   o ld .   I n   th last   th ir t y   y ea r s   f r ac tio n al  co n tr o l ler s   ar w i d ely   u s ed .   T h C ap u to   f r ac tio n al  d er iv at i v is   g iv e n   b y   ( 2 ) .     D ( ) = 1 Ґ ( ) ( ) ( ) + 1  0     ( 2 )     FO P I co n tr o ller   d ev elo p ed   b y   I .   P o d lu b n y   i s   r ep r esen ted   as   ( 3 ) .     ( ) = + +     ( 3 )     w h er K p , K i ,   a n d   K d   ar p r o p o r tio n al,   in te g r al  an d   d er iv ati v e   g ain s   r esp ec tiv e l y .   Af ter   FOP I D,   m a n y   o th er   f r ac tio n al  o r d er   co n tr o ller   co n f i g u r atio n s   ar p r o p o s ed   an d   a r w id el y   u s ed .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2 722 - 2586       A n a lytica l d esig n   o f th fr a ctio n a l o r d er c o n tr o ller   a n d   r o b u s tn ess   ve r ifica tio n   ( S a teesh   K .   V a vila la )   13   3.   RE S E ARCH   M E T H O D   3 . 1 .     Desig o f   t he  f ra ct i o na o rder   c o ntr o ller   B o d e' s   id ea OL T F   is   th r e f e r en ce   f o r   m a n y   d esi g n   p r o ce d u r es  i n   t h f r ac tio n al  co n tr o lle r s T h e   ( 4 )   s h o w s   t h B o d e' s   O L T F d en o ted   b y   L   ( s) .     ( ) = 1   ( 4 )     = 1 (  )     ( 5 )     w h er e ,   τ c   T im co n s ta n t   ω gc   Gain   cr o s s o v er   f r eq u en c y   α Fra ctio n al  o r d er   (1     α   2)   ( 5 )   g iv es t h r elatio n   b et w ee n   τ c   an d   ω gc .   T h C L T F   T   ( s)   w i th   L   ( s)   in   f o r w ar d   p ath   is ,     ( ) = 1 1 +   ( 6 )     T h e   ( 6 )   is   u s ed   to   g et  th s tep   r esp o n s es  ar o b tain ed   u s i n g   t h ( 6 )   f o r   d if f er en v al u es  o f   α   [ 3 1 ] .   T h e   f o llo w in g   (7 - 11)   r ep r esen t th r elatio n   a m o n g   PO   ( M p ) ,   f r ac ti o n al  o r d er   ( α ) ,   s ettlin g   ti m ( t s )   an d   GC F ( ω gc ):     = 73 . 9 ( 2 1 . 6739 + 0 . 6756 )   ( 7 )     2%  = 0 . 7885 0 . 2 6 93 0 . 8673 , 1 < < 1 . 078   ( 8 )     2%  = 3 . 003 2 . 98 1 2 2 . 012 + 1 . 056 , 1 . 078 < < 1 . 486   ( 9 )     5%  = 0 . 812 0 . 2036 0 . 8007 , 1 < < 1 . 15   ( 1 0 )     5%  = 7 . 156 7 . 9 2 1 . 303 + 0 . 2578 , 1 . 15 < < 1 . 5   ( 1 1 )     I n   th is   w o r k   ( 1 0 )   is   im p le m en ted   s in ce   it  h as  P O   less   th an   3 %.  ( 6 )   is   th m o d i f ied   w it h   t i m d ela y   in co r p o r ated   an d   g iv en   b y   ( 1 2 ) .   Fig u r 2   s h o w s   th b lo ck   d i ag r a m   r ep r esen ta tio n   o f   t h ( 1 2 ) .     ( ) = ( ( ) ( ) )   =  1 +   ( 1 2 )           Fig u r 2 .   Desire d   clo s ed   lo o p   r ef er en ce   tr an s f er   f u n ctio n       ( 1 3 )   s h o w s   th tr a n s f er   f u n cti o n   o f   an y   clo s ed   s y s te m   w it h   th co n tr o ller   C ( s)   an d   s y s te m   tr an s f er   f u n ctio n   G   ( s) .     ( ) ( ) = ( ) ( ) 1 + ( ) ( )   ( 1 3 )     I f   th d es ir ed   C L T F   o f   ( 1 2 )   d o es  n o in cl u d th ti m d ela y   ele m en e - Ls ,   th e n   t h s y n t h e s ized   co n tr o ller   C   ( s)   w il h a v a n   u n s tab le  p o le  at  1 /L ,   h e n c in clu d i n g   th ti m d ela y   ele m e n in   ( 1 2 )   is   m an d ato r y .   S u b s ti tu t in g   G   ( s)   f r o m   ( 1 )   in   ( 1 3 ) ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
        I SS N :   2722 - 2586   I A E I n J   R o b   &   A u to m ,   Vo l .   1 0 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 1   :   ` 1 0     23   14   ( ) ( ) = (   + 1 ) ( ) 1 + (   + 1 ) ( )   ( 1 4 )     C o m p ar in g   ( 1 3 )   an d   ( 1 4 )   an d   s o lv i n g   f o r   C   ( s) ,     ( ) = (  + 1 ) ( 1 1 +  )   ( 1 5 )     E x p an d in g   t h d ela y   ter m   e - Ls   in   th d e n o m i n ato r ,   u s i n g   th T ay lo r   s er ies  o f   f ir s o r d er   an d   s i m p li f y in g   f u r t h er ,     ( ) = (  + 1 ) ( 1 +  )   ( 1 6 )     R ea r r an g in g   ter m s   o f   ( 1 6 ) ,     ( ) = ( 1 + 1 ) ( 1 1 + ( / ) 1 )   ( 1 7 )     t h s tr u ctu r o f   C   ( s)   is   P I   ca s ca d ed   w it h   FO   f ilter   o f   o r d er   ( α - 1 )   w h er e,   K c   T/L K P r o p o r tio n al  g ai n   co n s ta n t   T i   T I n teg r al  t i m co n s ta n t   Fro m   th ch o s e n   v al u es   o f   M p t s   an d   u s in g   ( 7 )   an d   ( 1 0 )   α ,   τ c   ar o b tain ed .   T h d esig n   p r o ce d u r is   ex p lain ed   i n   th f o llo w i n g   s te p s :   -   Ob tain   FOP DT   m o d el  o f   t h s y s te m .   -   Dec id o n   th r eq u ir ed   ti m d o m a in   s p ec if icat io n s ,   PO   an d   t s .   -   Usi n g   t h e m p ir ical  f o r m u lae,   g et  th co n tr o ller   p ar am eter s   o f   FO C .   -   Usi n g   t h M A T L A B /   SIM U L I NK  s i m u lat io n ,   o b tain   th s t ep   r esp o n s e s   an d   v er i f y   if   t h e   ti m d o m ai n   s p ec if icatio n s   ar m e t ?     A d v an ta g es o f   th p r o p o s ed   FOC :   -   I s o d am p i n g   p r o p er ty .   -   I n f i n ite  g ai n   m ar g i n .   -   I n cr ea s ed   s tab ilit y   r a n g e.       3 . 2 .   Ro bu s t   s t a bil it y   a nd   r o bu s t   p er f o r m a nce  a na ly s is   Fo r   ch an g i n   t h s et   p o in t,  t h co n tr o ller   s h o u ld   g i v r ea s o n ab le  p er f o r m an ce T h e   ( 1 8 )   s h o w s   th e   cr iter ia  to   b s atis f ied   f o r   th c o n tr o lle r   to   b r o b u s [ 3 4 ] .     20 l og 10 ( | (  ) (  | ) < 0    ( 1 8 )     w h er T c   ( s )   is   t h co m p le m en tar y   s en s iti v it y .     ( ) = ( ) ( ) 1 + ( ) ( )   ( 1 9 )     e x p an d in g   te  s y s te m   tr a n s f er   f u n ct io n   G   ( s)   u s i n g   T a y lo r   s er ies o f   f ir s t o r d er ,     ( ) =  +  + 1   ( 2 0 )     s u b s t itu t in g   ( 1 6 )   an d   ( 2 0 )   in   ( 1 9 ) ,   an d   s im p li f y i n g ,     ( ) = 1  1 +   ( 2 1 )   t he   ( 2 2 )   s h o w s   th n e w   tr an s f e r   f u n ctio n   at  t h n e w   s et  p o in t.     1 ( ) = 1 1 1 + 1 = 1 1 + 1 1 + 1      ( 2 2 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2 722 - 2586       A n a lytica l d esig n   o f th fr a ctio n a l o r d er c o n tr o ller   a n d   r o b u s tn ess   ve r ifica tio n   ( S a teesh   K .   V a vila la )   15   u n ce r tai n t y   G Δ   ( s )   i s   o b tain ed   as,     ( ) = 1 ( ) ( ) ( )     ( 2 3 )     s u b s t itu t in g   ( 2 0 )   an d   ( 2 2 )   in   ( 2 3 ) ,   G Δ   ( s )   is   o b tain ed   as s h o w n   i n   ( 2 4 ) .     ( ) = (  1 1 1 ) 2 + ( ( 1 ) 1 ( 1 ) ) + 1 2 + ( 1  ) +   ( 2 4 )     t he   ( 2 5 )   is   to   b s atis f ied   b y   th co n tr o ller   f o r   g ettin g   r o b u s p er f o r m a n ce .     20 l og 10 ( | (  ) (  ) | + | (  ) (  ) | < < 0    ( 2 5 )     t h s e n s it iv i t y   tr a n s f er   f u n ctio n   S   ( s)   is   g i v en   b y ,     ( ) = ( ) ( ) = 1 1 + ( ) ( )   ( 2 6 )     s u b s t itu t in g   ( 1 6 )   an d   ( 2 0 )   in   ( 2 6 ) ,     ( ) =  + 1 +     ( 2 7 )     W   ( s)   is   lo w   f r eq u en c y   w ei g h t in g   f u n c tio n ,   s i n ce   S   ( s)   n ee d s   to   b m in i m ized   o n l y   in   th lo w   f r eq u en c y   d is tu r b an ce s .   In   th p r ese n wo r k ,   th w eig h t i s   s elec ted   as,     ( ) = 0 . 01 + 0 . 001     ( 2 8 )     T h B o d p lo o f   th w ei g h i s   s h o w n   i n   Fig u r e   3 .   I is   s ele cted   to   h av h i g h   m a g n it u d in   lo w er   f r eq u en c ies,  an d   lo w   m ag n it u d in   h i g h er   f r eq u en c ies           Fig u r 3 .   B o d p lo t o f   w e ig h f u n ctio n   W ( s)       3 . 3 .     F r a g ility   a na ly s is   A p ar f r o m   r o b u s t n es s   to   s y s t e m   p ar a m eter   v ar iatio n ,   r o b u s tn e s s   to   co n tr o ller   p ar am eter   v ar iatio n   n ee d s   atten tio n .   W h ile  a n alo g   co n tr o ller   i m p le m en tatio n   s u f f er s   f r o m   p h y s ical  p ar a m eter   ch an g es  [ 3 2 ] ,   d ig ital  co n tr o ller   i m p le m e n ta tio n   s u f f er s   f r o m   t h i n ac c u r ac ies  in   f i x ed   w o r d   len g t h   an d   r o u n d o f f s   i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
        I SS N :   2722 - 2586   I A E I n J   R o b   &   A u to m ,   Vo l .   1 0 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 1   :   ` 1 0     23   16   n u m er ical  ca lc u latio n .   T h r o b u s t n ess   o f   t h co n tr o ller   p ar a m eter   v ar iat io n   is   a n al y ze d   u s i n g   f r a g ilit y   i n d e x   RFI Δ 20   [ 3 2 ]   d ef in ed   b y   ( 2 9 ) .      20 = | 20 1 |   ( 2 9 )     w h er M s   is   th n o m i n al  m ax i m u m   s e n s i tiv it y   an d   M 20   is   t h n o m i n al  m a x i m u m   s e n s iti v it y   o b tain ed   w h en   all  th co n tr o ller   p ar am eter s   a r v ar ied   b y   +2 0   %.  T h co n tr o ller   is   s aid   to   b r e s ilien to   co n tr o ller   p ar am eter   ch an g es,  f o r   v alu es  o f   t h RFI Δ 20   0 . 1 ,   is   n o n f r ag ile  f o r   v alu es  o f   0 . 1 R F I Δ 2 0   0 . 5   an d   f r ag ile  f o r   v al u es  o f   RFI Δ 20   >0 . 5 .       4.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   4 . 1.     Ca s s t ud y :   Co up led  t a n k   s y s t e m   I n   th i s   w o r k   C T S   ca s s t u d y   i s   co n s id er ed   to   v er if y   t h e f f ec t iv en e s s   o f   th p r o p o s ed   FOC .   Fig u r e   s h o w s   t h b lo ck   d iag r a m   o f   t h C T S   an d ,   T ab le  1   g iv th n o m in al  p ar a m eter s   o f   t h C T S .   Q 1   F lo w   r ate  to   tan k   o n e   Q 12   Flo w   r ate  b et w ee n   th ta n k s   Q d1   Dis t u r b an ce   f lo w   r ate  o f   f ir s t ta n k   Q d 2   Dis t u r b an ce   f lo w   r ate  o f   s ec o n d   tan k   h 1   L ev el   o f   t h ta n k   o n e   h 2   L ev el  o f   ta n k   t w o   D   Dia m eter   ta n k   A   C r o s s   s ec tio n al  a r ea   o f   ta n k           Fig u r 4 .   C y li n d r ical  co u p led   tan k   s y s te m   co n tr o l       B y   v ar y in g   th f lo w   r ate   to   f i r s tan k   s ec o n d   ta n k   le v el  h as   to   b co n tr o lled .   T h o p er atin g   r eg io n   s elec ted   is   (5 - 1 5 )   cm .   Fi g u r e   5   s h o w s   t h o p en   lo o p   test   r esu lts   g o f r o m   t h t w o   tan k   s y s te m   b y   c h a n g in g   th e   f lo w   r ate  Q 1   f r o m   ( 5 0 - 2 2 5 )   L P H.   T h o p en   lo o p   in p u an d   o u tp u d ata  s h o w s   t h at  t h c o u p led   tan k   s y s te m   lev el  co n tr o in   th o p er atin g   h eig h o f   ( 5 - 1 5 )   cm   f o llo w s   f ir s o r d er   FOP D T   m o d el  ( in   th ( 5 - 1 5 )   cm   r an g e)   d y n a m ics.  Fro m   t h ex p er i m e n tal  o p en   lo o p   d ata,   FOP D T   m o d el  o f   t h s y s te m   i n   th o p er atin g   h ei g h o f   ( 5 - 1 5 )   cm   is   o b tain ed   as ,     ( ) = 2 ( ) 1 ( ) = 0 . 268 10 97 5 + 1   ( 3 0 )       T ab le  1 .   No m in a l ta n k   p ar a m e ter s   P a r a me t e r   V a l u e   H   10 0   c m   D   15   cm   A   1 7 6 . 7   c m 2   Q 1   1 7 5   L P H   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2 722 - 2586       A n a lytica l d esig n   o f th fr a ctio n a l o r d er c o n tr o ller   a n d   r o b u s tn ess   ve r ifica tio n   ( S a teesh   K .   V a vila la )   17       Fig u r 5 .   Op en   lo o p   test   r esu lt s   o f   lev el       4 . 2 .     T i m d o m a in  r e s ults   T h tim d o m ain   s p ec i f icat io n s   s elec ted   f o r   th co n tr o ller   d esig n   ar e,   M p <=  10   %   an d   t s <=  1 5 0   s ec I n   ( 7 )   b y   s u b s tit u ti n g   M p   w it h   0 . 1   an d   s o lv i n g   f o r   t h α ,   f r ac t io n al  o r d er   is   o b tain ed   1 . 1 5 .   I n   ( 1 0 ) ,   s u b s tit u ti n g   t s   w ith   1 5 0   an d   α   w it h   1 . 1 5   an d   ω gc   is   o b tain ed   as 0 . 0 2 0 8   r a d /s ec .   F in al l y   u s i n g   ( 5 )   an d   s u b s titu t in g   t h v a lu e s   o f   ω gc   an d   α ,   τ c   is   o b tain ed   as 8 5 . 5 6 .   T h f r ac tio n al  co n tr o lle r   d er iv ed   f o r   th C T S   is   s h o wn   in   ( 3 1 ) .      ( ) = ( 363 . 8 + 0 . 373 ) ( 1 1 + 8 . 55 0 . 15 )     (3 1 )     u s i n g   ( 2 1 )   an d   ( 2 7 ) ,   T C   ( s )   an d   S   ( s )   ar o b tain ed   as,       ( ) = 1 10 1 + 85 . 65 1 . 15      ( 3 2 )     ( ) = 10 + 2 93 1 . 15 1 + 2 93 1 . 15   ( 3 3 )     So m eti m es  th co n tr o ller   h as   to   ac co m m o d ate  t h ch a n g e s   ( b r o b u s t)   in   t h p lan t   p ar a m eter s ,   ch an g es  i n   th s etp o in t,  ch a n g es  i n   th o p er atin g   r eg io n .   T h tr an s f er   f u n ctio n   o f   t h n e w   o p er atin g   r eg io n   ( 1 6 - 3 0 )   cm   is   ( 3 4 ) .     1 ( ) = 0 . 3 20 1 0 95 + 1   ( 3 4 )     u s i n g   ( 2 3 )   G Δ   ( s )   is   o b tain ed   a s ,     ( ) = 2 91 5 . 4 2 4 . 28 + 0 . 032 2 93 4 2 + 2 90 . 78 + 0 . 268      (3 5 )     F OI MC d esi g n ed   f o r   th C T S   is   d en o ted   as R ef - 1   [ 3 2 ] .   T h co n tr o ller   o b tain ed   is ,        1 ( ) = 97 5 + 1 3 . 85 1 . 23 + 2 . 68     ( 3 6 )     i n te g er   o r d er   in ter n al  m o d el  co n tr o ller   ( I OI MC )   f o r   th C T S   is   tak e n   as R e f - 2   an d   is   o b tai n ed   as,        2 ( ) = 12 . 16 + 0 . 012   ( 3 7 )     T o   co m p ar th p er f o r m an ce   o f   th FOMCO to o lb o x ,   th s tan d ar d   C R ONE   to o lb o x   an d   co n tr o ller   i m p le m en ta tio n   is   co n s id er ed .   T o   h an d le  th ti m d ela y   in   th s y s te m ,   t h s ec o n d - g en er atio n   C R ON E   co n tr o ller   alo n g   w ith   S m i th   p r ed icto r   is   u s ed .   T h f r eq u en c y   d o m ai n   s p ec if icatio n s   u s ed   f o r   th C R ONE   co n tr o ller   d esig n   ar G C F   o f   0 . 0 8   r a d /s ec   an d   PM   o f   4 5   d eg r ee s .   T h FO C   o b tain ed   u s i n g   C R ONE   is   g i v e n   b y   ( 3 8 ) .       ( ) = 661 . 2 + 0 . 678 1 . 479   ( 3 8 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
        I SS N :   2722 - 2586   I A E I n J   R o b   &   A u to m ,   Vo l .   1 0 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 1   :   ` 1 0     23   18   Fo r   g ettin g   th s i m u la tio n   r es u lts ,   Fi g ur e   1   is   i m p le m en ted   in   th M A T L A B /SIM U L I N w it h   t h C   ( s)   g i v en   b y   ( 3 1 )   an d   G   ( s)   g iv e n   b y   ( 3 0 ) .   T h s et   p o in R   f o r   th tan k   2   h eig h t ,   is   s elec ted   as  1 0   cm .   FOMCO to o lb o x   p r o v id es  SIM UL I NK  b lo ck s   f o r   f r ac ti o n al  tr an s f er   f u n ctio n ,   F OP I co n tr o ller   tr an s f er   f u n ctio n s .   U s in g   t h ese  b lo ck s ,   th s tep   r esp o n s e s   o f   t h s y s te m   f o r   s et   p o in o f   1 0   c m   ar o b tain ed   w it h   d if f er e n co n tr o ller s   an d   ar s h o w n   in   Fi g u r e   6 .   Up p er   p o r tio n   o f   F ig u r e   6   s h o w s   t h s tep   r esp o n s es,  w h er ea s   b o tto m   p o r tio n   s h o w s   t h co r r esp o n d in g   co n tr o ef f o r ts   o f   ea ch   co n tr o ller   in   s ca le  o f   ( 0 - 100)   % Fig u r 6 ,   s h o w s   th a t h p r o p o s ed   FOC   h as  g o o d   tr an s ie n a n d   s tea d y   s tate   p er f o r m a n ce .   No v el t y   o f   th e s r es u lt s   i s   th at,   t h e y   ar o b tain ed   f r o m   t h ti m d o m a in   s p ec i f icatio n s   d ir ec tl y .   Fi g u r e   gi ve s   t h r e g u la to r y   r esp o n s es.  Fig u r e   7   s h o w s   t h at  t h d is t u r b an ce   ap p lied   at  5 0 0   s ec   s ettle s   at  6 0 0   s ec .   W h ile  th co n tr o l ler ,   FOI MC  s ettled   at  6 1 0   s ec   an d   I OI MC settl ed   at  6 2 0   s ec .   Hen ce   th p r o p o s e d   co n tr o ller   h as g o o d   d is tu r b an ce   r ej ec tio n .               Fi g u r 6 .   Step   r esp o n s es a n d   c o n tr o l e f f o r ts   Fig u r 7 .   R eg u lato r y   r esp o n s e s   an d   co n tr o l e f f o r ts       Fig u r e   g iv e s   t h s er v o   tr ac k in g   r esp o n s e s .   Fi g u r e   8   s h o w s   th at  th p r o p o s ed   co n tr o ller   g av e   g o o d   s tep   r esp o n s f o r   ch a n g es  i n   th s tep   i n p u t.  T h T ab le  2   s h o w s   t h ti m d o m ai n   s p ec if icatio n s   a n d   ti m e   d o m ai n   i n d ices.  C o n tr o ef f o r in d icate s   t h p o w er   co n s u m ed   in   o b tain in g   th d esire d   c o n tr o ac tio n .   T h e   C R O NE   co n tr o ller   h a s   t h l o w est   in teg r al  ab s o l u te  v al u e .   T h C R ONE   co n tr o ller   to o lb o x   co n s u m es  t h e   h ig h e s c o n tr o en er g y .   T h p ea k   o v er s h o o o f   t h C R O NE   to o lb o x   is   also   th h i g h est  a m o n g   all  t h e   co n tr o ller s .   B u t th C R O NE   co n tr o ller   h as t h least t s   a n d   th least r is ti m e.           Fig u r 8 .   Ser v o   r esp o n s es a n d   co n tr o l e f f o r ts   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:  2 722 - 2586       A n a lytica l d esig n   o f th fr a ctio n a l o r d er c o n tr o ller   a n d   r o b u s tn ess   ve r ifica tio n   ( S a teesh   K .   V a vila la )   19   T h T ab le   2 ,   s h o w s   t h co n tr o ller   s a tis f ie s   th co n tr o ller   o b j ec tiv es,  M p <=  10   %   an d   t s < 1 5 0   s ec w h ic h   p r o v es  th v al id it y   o f   t h d esig n   p r o ce d u r e .   Har d s h ip s   f ac ed   d u r in g   t h d esig n   o f   th p r o p o s ed   FOC   ar d if f ic u lt y   i n   c h o o s in g   p r o p er   w e ig h ti n g   f u n ctio n   W   ( s) ,   p r o p er   ti m d o m ai n   s p ec i f ica tio n s .   T h ti m e   d o m ai n   s p ec i f icatio n s   m u s n o b to o   m u c h   a m b it io u s   an d   th w ei g h t in g   f u n ctio n   s h o u ld   h av p r o p er   b an d w id t h .   T h p r o p o s ed   co n tr o ller   h as  t h lea s ti m d o m ain   s p ec i f icatio n s .   Fig u r 9   s h o w s   th r o b u s tn e s s   o f   th e   co n tr o ller s   to   s et   p o in t   ch an g f r o m   1 0   c m   to   2 0   c m .   T h p r o p o s ed   co n tr o ller   s h o w ed   a n   i n cr ea s o f   1 0 to   4 in   p ea k   o v er s h o o t.   Fo r   th FOI MC,  p ea k   o v er s h o o h as  i n cr ea s ed   b y   f r o m   2 5 to   7 5 %.  T h r is e   ti m r ed u ce d   f r o m   9 0 0   s ec   t o   5 0 0   s ec   an d   s ettli n g   ti m r ed u ce d   f r o m   3 6 0 0   s ec   to   2 6 0 0   s ec .   Fro m   th i s   d is cu s s io n ,   th p r o p o s ed   co n tr o ller   g av e   s u p er io r   r o b u s tn ess .   T h s y s te m   g ai n   is   v ar ied   b y   ± 2 0 %   to   v er if y   t h e   r o b u s tn es s   o f   t h co n tr o ller .   Fi g u r e   1 0   an d   Fig u r 1 1 ,   s h o w   t h at  th co n tr o ller   is   r o b u s t to   p ar a m eter   ch a n g e s .       T ab le  2 .   T im d o m ai n   p er f o r m an ce   s p ec if ica tio n s   o f   th co n tr o ller s   P a r a me t e r   C o n t r o l l e r   F O C   ( P r o p o se d )   F O I M C   I O I M C   C R O N E   I A E   6 2 8   2 6 9 . 3   3 0 3 4   6 2 . 3 6   I S E   3 . 5 6 2 X   1 0 3   1 . 7 X   1 0 4   1 . 6 1 2 X   1 0 4   2 7 3 . 5   I TA E   5 . 9 X   1 0 4   9 . 7 X   1 0 3   8 . 5 4 7 X   1 0 5   1 3 0 0   I TSE   4 . 9 X   1 0 6   2 . 4 5 X   1 0 6   2 . 2 5 7 X   1 0 7   5 . 4 6 9 X   1 0 5   t r   ( se c )   35   25   1 5 0   15   t s   ( se c )   4 0 0   1 0 0   1 2 0 0   35   M p   ( %)   10   25   0   27   e ss     0   0   0   0   2   1 . 7 5 9 X   1 0 7   7 . 8 6 8 X   1 0 7   5 . 0 2 6 X   1 0 6   4 . 2 3 X   1 0 8           Fig u r 9 .   Ver if icatio n   o f   r o b u s tn es s               Fig u r 1 0 .   Step   r esp o n s es to   g ain   ch a n g o f   + 2 0   %     Fig u r 1 1 .   Step   r esp o n s es to   g ain   ch a n g o f   - 2 0   %   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.