Int ern at i onal  Journ al of  R obot ic s  and  Autom ati on (I JR A)   Vo l.   7 , No .   3 ,  Septem ber   201 8 , p p.   185 ~ 196   IS S N:  20 89 - 4856,  DOI: 10 .11 591/ i jra . v 7 i 3 . pp18 5 - 196          185       Journ al h om e page :  http: // ia escore.c om/j ourn als/i ndex. ph p/IJRA/i ndex   Linea r a nd  No n - l inear Co ntrol D es ign  of  S kid  Steer Mobil e  Robot  on  a n Em bedd ed   Board       Jharn a Maju mda r ,  Su dip  C  G upta ,  B P rass an n a  P ras at h   Cent re   for   Robo t ic s Re se arc h ,   Ni t te   Me ena kshi   In stit ute of Te chno log y ,   P.   B.   No.   6 429 ,  Yel aha nk a,  Banga lor e, I ndia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   Feb  12, 201 8   Re vised  Ju l  18 ,  201 8   Accepte d Aug  13 , 201 8       A  det ailed  app roa ch  for  a  l in ea r  Proportion a l - Inte gr al - Der ivative   (PID )  cont roller   and   a   non - l ine ar   controlle r - Li ne ar   Quadra t ic  Regu la to r  (LQR)   i s   discussed  in   this   pape r .   B y   an aly z ing  sev era l   m at hemat ic a l  designs  fo r     the  Skid  St ee r   Mobile  Robot   ( SS MR),  the  con trol lers   ar e   impl emente d   in     an  embedde d  m ic roc ontroller - Mbed  LPC1768.  To  v eri f y   the  cont rol le rs,   M atlab - Sim uli n k  is  used   for   the  sim ulatio n  of   b oth   the  controll ers     invol ving  m otor s - Maxon  RE40.   Thi s  pape r   compare s  be twee n  PI D  and  LQR   cont roller   al ong   with  th e  p erf orm anc e   compari son   bet we en   Hom ogenous  and   Non - Hom ogeno us L QR c ontro llers.   Ke yw or d:   LQR   Ma xon  RE 40   Mbed  LPC  17 68   PI D   SSMR   Copyrigh t  ©   201 8   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Jh ar na  Ma jum dar ,    Ce ntre fo r  R obotics R esearc h ,   Nitt e Me enak s hi Insti tute  of   Tech no l og y ,   P.B.No. 6429,   Yelaha nk a , Ba ng al or e , In dia .   Em a il :  j harna. m aju m dar @ n m it .ac.in 1 , s idi sh ere .s ud i p@g m ai l.co m 2 , p ra ssan na4r obo@gm ail.co m 3       1.   INTROD U CTION     The  i nterest  i n  the  dom ai n  of   m ob il e  r obot s  an d  it s  a utom at ion   has   gr own  i n  t he  pa st  few  ye ars .  Ther e   are  l ots   of  resea rc h  on  the  kin em at ic s  and   dynam ic   m od el li ng ,  a nd  f or  t he   co ntr ol  syst e m   fo r     the  m ob il iz at ion   of  the   r obot,   w hich   sho uld  sat isfy  it s  pe r form ance  base d  on  ti m e  and   accu racy.  Althou gh   sever al   researc h  we re con du ct ed  on the c ontr ol syst e m   [1] , th e im ple m entat ion  on a n  em bed de d bo a r d  ha s n ot   been  m entione d  i nvolv i ng  m em or y  m anag e m ent  an d  lo w  redu nd a ncy.   T her e   wer e   se ve ral  r esearc h  rel at ed  t o  var i ou s   ap proa ches  t o  ac hiev e  the  op ti m u m   co ntr ol  syst em   and   their  re sp ect ive  sim ulati on   resu lt s  pr ov e d  t o  be op ti m u m   [1 - 6 ] , b ut whe n u sed  i n  a syst em  or a  rob ot,  the   ou t pu t  de te rm i nes   al l t hese  m od el s  to be s pa rse.   Sk id   Stee r   Mo bile  Ro bo ts   ( S SMR )  are   the   veh ic le s  t hat  c an  tract   on  al l  te rr ai n  co ndit ion.  T o  m ov e   the  SSMR   on  al l  te rr ai n  ther e  m us t  be  a  f eedb ac k  deter m ining   the  e rror s  i n  it s  pr e di ct ed  par am et e rs  an d    the  outp ut  pa r a m et ers,   w hich  m us t  be  do ne  a utono m ously   by  the  em bedde d  c on tr ol le r,   w hich  prov i de s     the  act uation  s ign al s  to  al l  th e  wh eel s  in  te r m s   of   pulse - width   m od ulati on  (PWM ) .  Thi s  can  be  ac hie ved   by   i m ple m enting  the tw o  c ontr ol  al gorithm s ( PID a nd L QR)  i n t he  em bed de d  con t ro ll er M be d  L PC1 768.       2.   SSMR  MO DE LING   The  S kid   Stee rin g  Mo bile  Robot  is  a  f our - wh eel e d  hi gh   tract ion   m ob il e  rob ot,  w hich   are  ste ere d    by  dif fe ren ti al   dr i ve.   A  str ong  co ntr oller  is  r equ i red  to  c ompu te   al l  the   val ues  of  the  m obil e  robo t  a nd  he nce   Mbed  L PC1 76 8  is  prefe rr e d  t akin g  co st  eff e ct iveness  a nd  s peed   of  operati on   i nto   c onsid erati on.  T he  S SMR  Mod el  is  obser ved th rou gh 3D CA D  C AT I A  is s how n  i n Fi g ure   1.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2089 - 4856   IJRA ,  V ol.  7 ,   No.  3 ,  Septem ber 2 01 8 :    185   –   196   186       Fig ure   1 .   CAT IA  m od el   of  S SMR       A  m at he m at ic a l  desc riptio n  of  the   dynam ic s   of  a n  SSMR   m ov ing   on  a   pl anar  surface   i s  intr oduce d  in  this   sect io n.  T he  m at he m atical   m od el   of  t he  ve hicle   ca n  be  div i de d  i nto  th ree  pa rts:  ki nem atics,  dy na m ic s  and  dr i ve  s ubs yst e m s.  Her e ,  we  f ocu s   on  th e  fir st  tw o  bl oc ks ,   i.e. ,  t he  dr ive  a nd  dynam ic s  subsyst em s ,  a nd  we  us e  them   fo r  ref e ren ce  t r ackin g  co ntr ol  of   both  the  li ne ar  an d  a ngula r  vel ociti es.   SS MR   m od el   as  sh ow n  in Figu re  2.           Fig ure   2 .   SSM R M od el       2.1.   D ynamic   m od el li ng   This  proces s  a ll ow ed   a   th oro ugh  stu dy  for   the  desi gn  a nd  the  loa d  car ryi ng  ca pacit y  of   the   SSM R   and  the  optim i zat ion   in   it s  w ei gh t,  w hich  is   ver y  be nef ic ia l  for  it s  co ntr ol.   I n  Fi gure  3  is   schem at ic   m o del  of   SSMR   in   glob al   co ordinate   s yst e m .   The   m a in  e quat ion  tha t  desc ribes   the   dy nam ic   su bsy stem   of  the   S SMR   m ov ing   on a  planar su rf ace  as  shown i n fig ure is gi ven b y   ( 1) :       M ( q)  ̇ η  +  C  (̇ q)  η +  R  (̇ q) =   B (q)  τ   (1)           Fig ure   3 .   Sc he m at ic  Mod el  of S SMR  i n Glo bal Co ordinate  Syste m       2.2.   Dri ve  m odel   In  Fi gure   4  is   dr i ve  m od el .   F our   DC   m oto r s  c oupled   with   m echan ic al   ge ars  finall y  t o  the  w heels   dr i ve  the  SSM R.  Con si der i ng  on ly   one  of  the  dr i ves  (M otor)  a nd   ass um ing   rem ai nin g  al l  m oto rs  to  ha ve   sam e p ara m et e rs,  t he rel at ion   betwee n  to r qu e   τ an d v oltage  u va can  be  writ te n  as  sh i wn in (2 - 3) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJRA   IS S N:  20 89 - 4856       L inea r  a nd N on - Li ne ar  C on tr ol D e sig n  o f Sk id S te er  Mobil e Rob ot  o n  … ( Jharn a  M ajum da r)   187       Fig ure   4 .   D rive  Model       τ = n K i i a   (2)     u va =  L a d dt ( i a ) +  R a i a +  n K e wi   (3)     Wh e re,   i a is t he  arm at ur e  curre nt,    K i is t he  m oto r  t orqu e  consta nt,   N  is t he gear  ra ti o  ( n  >  1),    L a and   R a   de note  the   series in duct an ce an d resist an ce o f  the  roto rs  r es pecti vely ,    K e is t he  el ect r omoti ve fo rce c oe ff ic ie nt, a nd    W   =  [ w l   w r ]  T.   The   le ft  w l   an d  r igh t  w r   si des  a ng ular   vel ociti es  can  be   obta ine d  from   the  fo l lowing   f or m ulas   as     sh ow n  in   (4 - 5)     w l = vx − pr e sent   e rr or r ;   (4)     w r = vx − pr e sent   e rr or r   ;   (5)     The  Ma tl ab   m od el li ng  of the  dr i ve  is s how n belo w  in  the  Figure   5           Fig ure .  5 D rive   m od el  in  Ma tl ab       3.   CONTR OLL ER A L GO RI THM   3.1.     PI D  c ont rolle r   PI D   is  t he   basi c  li near  co ntr ol   al gorithm   us e d  i n   a   syst em ,  wh ic h  i nvolv e d  a   co ns ta nt  fe edb ac k  gai n  fed  to   the   in put. A  PID  c ontr ol le r  dete rm ines   er ror   val ues  a s   a d if fer e nce   be tween   re quire d  value   a nd  m e asur e   process v a riabl es.  P ID  in vo l ve s  three   pa ram et ers  i.e. Pro portion al  ( P ),  I nt egr al  ( I )  a nd  D eriva ti ve  (D) wher e   P   is  acco un ta ble  for  pr e sent  val ues,  I   f or  past  values   an d  D   f or  f uture  value s.   Bl oc k  diag ra m   of   PID  co nt ro ll er   as sho wn in Fi gure  6.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2089 - 4856   IJRA ,  V ol.  7 ,   No.  3 ,  Septem ber 2 01 8 :    185   –   196   188       Fig ure   6 .   Bl oc k  d ia gram  o f  P ID   c ontr oller       The basic   gove rn i ng equati on  of PID c ontr oller is  giv e n by   ( 6) :     u (t)= K p e ( t ) + K i ∫ e ( t ) dt   +  K p de dt   (6)     The   val ues  of  P ,  I,  D  we re  m anu al ly   tun e d  to   obta in  t he  best   re sp onse   with  t he  help   of   m at la bs i m ulati on,  wh ic h  was   then   fe d  i nto   t he  act ual  c ontr oller  desig n  for  the  SSMR   as   C  pro gr am .   Ma tl ab   si m ula ti on   m o del  of  the  c ontr oller  desi gn  an d  it s  r es pons e can  be   obse rv e d  in  t he  F ig ur e   7  an d  8   belo w  wh e re   PI D  contr oller  is at ta ched  t o d rive  m od el , w hi ch  is  der ive d e arli er.           Figure  7.  Flo w  D ia gram   of  P I D  Co ntr oller           Fig ure   8.   Re spon s e  of   PID C on t ro l le r       3.1.1 .   I mple m e ntation  of LQR on  N X P L PC 1 768  m ic r o co nt r oller   LPC 1 768 co nt ro ll er  has  a  32 - bit ARM  C or te x - M 3  c or e  runnin g  at   96 M Hz . I t al s o has  51 2K B  flas h,   32KB R AM and lots  of  I/O pi ns , w hich  are r equ i red f or the  op e rati on  of   S SMR .   Pin  d ia gram  o f  Mb e d  LPC1 768  a s s how n  i n  Fi gure  9.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJRA   IS S N:  20 89 - 4856       L inea r  a nd N on - Li ne ar  C on tr ol D e sig n  o f Sk id S te er  Mobil e Rob ot  o n  … ( Jharn a  M ajum da r)   189       Figure  9.   Pin   Diag ram  o f  M bed LPC 1768       Algori th m   St ep 1   In it ia li ze the  pin s  of th e m ic ro co ntr oller.   St ep  2   De fine param et ers  li ke  gain s, K,  P, I,  D   St ep  3   I nput th e d esi re d spee d   St ep  4 -   Ca lc ul at e the c ount  pe r  sec ond  “t ”  f or the  desire d  s peed in  one  revoluti on   St ep  5 -   Assign  interru pts fo r  t he  c ounts   St ep  6 -   Re cei ve  the  feedbac k from  the en co de r  f or ti m e “t”   St ep  7 -   C om par e the  d esi red s peed an d fee dback  for  ti m e “t ”   St ep  8 -   Ca lc ul at e the err or   usi ng  t he  P I D ge ner al   form ula   St ep  9 -   c om par e the  er ror wit h  the  set  gain   St ep  10 -   Ge ne rate P W M  usi ng  resp ect ive  ga ins a nd er rors  a s b ase  P WM   St ep  11 -   Ru n  t he  e ntire ste p  i n  lo op.     3.2.   LQ R  c ont rolle r   Althou gh  the  PI D   co ntr oller   wor ked   on  t he  SSMR   a nd   showe d  a n  a ccepta ble  m obil ity ,  it   was   flawe d.   The   i dea  of  li nea r  feedbac k  pro ve d  t o  m ake  th e  SSMR   una bl e  to  m ov e   unde r  va ryi ng  t err ai n  conditi ons.   T o  ove rco m e  this   pr ob le m ,  LQ R  co ntr oller  w as  im ple m ente d  on  t he   SSM R.  L QR  is   a n  op ti m al  con t ro ll er   as   it   pro vid es   th e   sm al le s t  poss ible  er ror   in   it s  ou t pu t   w he n  com par e d  t o  the  in put.   The   la te r   con t ro ll er   desi gn  wa s  op ti m a ll y  in  pa per   [1] .  By   ta king  al l  the  par am et ers  nee de d  for  fe edb ac k  m od el ,   dri ve  m od el   and   dy nam ic   m od el   as  de rive d  in   pa per   [1 ] [ 2]   f urt her   a naly sis  wer e  im bu e d  i n  the   Mbe d  L PC176 8  m ic ro co ntro ll e r.   T he bloc k di agr am  o f LQR  con t ro ll er  as s how n  i n  Fi gure  10.           Fig ure   10.   Bl oc k Diag ram  o f LQR C on tr oller       3.2.1 .   D ynami c  m odel   The dynam ic  m od el  co ns ist s  of the  stat e spa ce eval uation  of M, C, R , a nd B a re  form ul at ed   (7 - 10)     ̅ = [ 0 0  2 ]   ( 7)     ̅ = [ 0  ̇ −   ̇    ̇ ]   (8)     ̅ = [  ( ̇ )   ( ̇ ) + ]   (9)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2089 - 4856   IJRA ,  V ol.  7 ,   No.  3 ,  Septem ber 2 01 8 :    185   –   196   190   ̅ = [ 1 1 − ]   (10)     Her e ,  m   is  the   m ass  of  th e  body,     is  t he   or ie ntati on  of   th e  r obot   with   r espect  t o  t he   global  c oor dina te s.    Using all  these  v al ue s, we s ub sti tute t hem  in  the stat e eq uation   ( 11) .     ̇ = ̅ − 1 ( ) ̅ ( ) − ̅ − 1 ( ) ̅ − ̅ − 1 ( ) ̅ ( ̇ )   (11)     Wh e re,   M  is   the  i ner ti al   f or c e  bei ng  e xp e r ie nced  by   the   body  of  the   r obot,   B  is   the   input  tr ans form at ion  m at rix,     is t he  s ta te   m at rix  for a ny insta nce a nd     is t he  torq ue  on th e  syst em .     3.2.2 .   Ov er all  state s pa ce  m od el   Althou gh  t he  dy nam ic   an d  dri ve   m od el   are  re al iz ed,   t he   ent ire  syst em   cal culat ion hav e   t o be don e  b y  involvin g  bo t h  the   dynam ic   and  dr i ve  e quat ion s .   This   idea   was   well   e xpla ined   in   the   paper  [1 ] ,   wh il e   tr yi ng  to d e vice a n o pt i m u m  stat e sp ace f or   sim ulatio n   a s s how n  i n (12) .     [ ̇ ̇ 1 ̇ 2 ̇ ] = 1 [ 1 2 ] + 1 [ 1 2 ] +   (12)     Her e ,  A 1   is  a  4x4  m at rix  representin g  the  Wh eel   L oa d  Con sta nts,  B 1   is  a  4x2  m at rix  represe nting   V oltag e   Conver sio n  C on sta nt  a nd  D   is  a   dist urba nc e,  wh ic h  is   of  th e  orde r  4x1.  T he  c on sta nt s  are   in   the   f or m   of    a stat e sp ace , whic h keep  cha ng i ng w it h re sp ect  to  x ICR   as  shown i n (13 - 15) .     1 = [             0 −      2 + 0 −  (  2 + )  (  2 + ) − −  − − 0 0 − ]               (13)     1 = [       0 0 0 0 1 0 0 1 ]         (14)     = [         −  −   −  2 + 0 0 ]           (15)     These 4xN   m atr ic es  are r ed uc ed  to 2xN   m at rix  by  ass um ing     to  be  z er o  sin ce  it   do es not  m ake  any  cha nge s   for  the  ar gum e nts   as s how n  i n ( 16 - 20) .       = +   (16)     ( ̇ ̇ ) = ( ) + ( 1 2 ) + −   (17)     = [ 2 2 2 −    2  + − 2 2 2 2 ( 2  + ) ]   (18)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJRA   IS S N:  20 89 - 4856       L inea r  a nd N on - Li ne ar  C on tr ol D e sig n  o f Sk id S te er  Mobil e Rob ot  o n  … ( Jharn a  M ajum da r)   191   = [     −   (   2 + )   (   2 + ) ]   (19)     = [       −  −   −  2 + ]         (20)     Gen e ral f orm  o f  the  stat e sp ac e re pr ese ntati on is as   sho wn i n (21) :     X=  A(X) X  +  BU +  D(X)   (21)     Wh e re t he  syst e m  stat es are repr ese nted  b y   ( 22) :     X  =  [vx    w] T   (22)     The  c ontrol i nput  vecto r U is  r e pr ese nted  b y   ( 23) :     U  =  [V1 V 2] T   (23)     D(X) i s consi de red as a  distu r ban ce .     3. 2.3 .   Desi gn   of LQ R  c ontr ol le r   The  LQR   co nt ro ll er  ca n  be   desi gn e d  f or  a  syst em   in  two  dif fer e nt  ways.   H om og enous   L Q R   Con tr oller:   T hi s  ty pe  of  LQ R  co ntr ol  does   not  ta ke   distu rb a nce  i n  fact or.  T his  is   hel pful  as   it   gi ve s  faste r  respo ns e  wh e n  the  syst e m   is  des ig ne d  to  m ov e  e ve n  te r ra in.   N on  H om og en ous  L QR  c on t ro ll er:  T his   LQR  con t ro ll er  c ons iders  distu rb a nc es  an d  it   is  a  appr oach   t hat  is  m or e  pr act ic al .  It  hel ps   the   SSMR   or  a  s yst e m   m ov e in une ve n  te r rains .   I n F igure  11 is d e sign o f  c ontrolle r.           Figure   1 1 .   Des ign   of  c on tr oll e r       3.2.4 .   Hom oge no us  LQ R  des i gn   Con si der the st at e sp ace  re pr e sentat ion o f  a  s yst e m   (24 - 25):     x ˙  =  A x  +  Bu,   (24)     y  =  Cx   (25)     W it h  x   ( t )  ∈ R n,   U   ( t )  ∈ R m  a nd  the init ia l co ndit ion  is x   ( 0).     Assum ing  that  al l t he  sta te s are  m easur able a nd see k  to  f in d a st at e - va riabl e fee db ac k  c on trol law  as   s ho wn in  (26) :     u  =  − Kx   (26)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2089 - 4856   IJRA ,  V ol.  7 ,   No.  3 ,  Septem ber 2 01 8 :    185   –   196   192   Her e , K is the  fe edb ac k gai n v ect or .  Th e  qua dr at ic  c os t f un ct ion   def i ned by   (27) :     J= ( 1 2 ) ∫ ( x T Qx ∞ 0 + u T Ru ) dt   (27)     The o pti m al  f eedb ac k g ai n v e ct or  ca n be cal culat ed by ( 28) :     K  =  R − 1 B T P   (28)     Wh e re  P  is t he  so l ution o f  the  A lge brai c Ri ccat i Equ at io n ( ARE)  d e fine d by   (2 9) :     P  +  P A  +  Q  –   PB R − 1 B T P = 0   (29)     3.2.5 .   N on   hom ogen ou s L Q R  desi gn   The  cl os ed  lo op syst em  eq uation o f  the  contr oller is  ̇   =  A x  +  Bu.   ̇ =(A - B K)x .   T he  f unct io n i s g ive n  by  (30 - 34):     V(x) = x T Px     (30)     V ̇ = x ̇ T Px + x T P x ̇ ̇   (31)     V ̇ = [ ( A − BK ) x ] Px + [ ( A − BK ) x ]   (32)     V ̇ = x T [ ( A T P  +  P A  +  Q  –   PBR − 1 B T P ) - Q –   PBR − 1 B T P ]x   (33)     V ̇ = x T [ - Q  –   PBR − 1 B T P ]x   (34)     Fr om   ̇   it  is cle ar th at  R > 0, P  >0  a nd h e nce    PBR − 1 B T P >0.   Als o  Q  >0.   He nce  (Q +   PBR − 1 B T P ) > 0.   Ther e f or e  ̇ < 0.  Hen ce  the cl ose d  lo op syst em  is stable.   C ontrol  So l ution   (35 - 37) :     u = -   R − 1 B T λ   (35)     u = -   R − 1 B T (P x+ K)   (36 )     u=  - R − 1 B T Px   - R − 1 B T K   (37)     It  is   obse rv e d  from   the  e qu at ion  that   eve n  a fter  t he   prese nt   sta te   x  te nd s   to  ze ro  the re   is  a   resi du al   con t ro ll er  act in g wh ic h  te nds  to red uce t he dist urban ce .      3.2.6 .   I mple m ent at io n  of LQR on  N X P L PC 1 768  mi cr ocontr oller   LPC  1768  co nt ro ll er  has  a  32 - bit  ARM  Corte x - M 3  co re  r unning  at   96MHz .  It  al so   ha s  51 2K B  flash,   32KB R AM and lot s  of  I/O pi ns , w hich  are r equ i red f or the  op e rati on  of   S SMR .   Algori th m   St ep  1 In it ia li ze the  pin s  of th e m ic ro co ntr oller.   St ep  2   De fine param et ers  li ke  gain s, A,  B, C , D,  K   St ep  3   I nput th e d esi re d spee d   St ep  4   Ca lc ulate  the cou nt  pe r  sec ond  “t ”  f or the  d es i red spe ed   St ep  5   Assi gn  interr up ts  for t he  c ounts   St ep  6   Re cei ve  the  feedbac k f ro m  the en c od er fo r  ti m e “t”   St ep  7   C om pare t he desire d  s peed an d fee dback  for  ti m e “t ”   St ep  8   Ca lc ulate  the g ai n  m atr ic es A, B,  C,  D,   K, Q , R   St ep  9   Ca lc ulate  the contr ol  unit   u= (f+ v) - Kx   St ep  10   Ge nerat e P W M  us in g resp ect ive  ga ins a nd er rors  a s b ase  P WM   St ep  11   R un th e entire ste p  i n l oop.   * N ote -   D  is  ta ken  as  z ero in   case  of h om ogenou s  LQ R  c ontr oller .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJRA   IS S N:  20 89 - 4856       L inea r  a nd N on - Li ne ar  C on tr ol D e sig n  o f Sk id S te er  Mobil e Rob ot  o n  … ( Jharn a  M ajum da r)   193   4.   RESU LT S   Desig n  Re s ults   of   t he  S kid   St eer  Mo bile  Ro bo t.  Table  1  s hows  t he   fin al   Ele ct rical   and   Me chan ic al   par am et ers  of  the  S SMR   r obot.   Detai l  Ca lc ulat ion   of  SSMR is  give n  in  AP PE N DIX – 1.   Ta ble  2  show s     the f i nal r es ults o f  the  p a ram e te rs  of  SSMR .       Table  1 .   Ele ct r ic al  an d  Me c ha nical  Par am et e rs of  t he  R obot   Para m e ters   Va lues (Di m e nsio n)   R (r ad iu s o f  wheel )   0 .10 7 5  ( m )   M  ( Mass o f  Ro b o t )   4 6  ( k g )   I  ( Mo m en t of  I n ert ia abo u t COM)   0 .00 6 2 8 8  ( Kg   m 2 )   R a   (Ar m atu re  Resi stan ce)   0 .31 7  ( Oh m s )   K i   ( Torq u e Co n stan t)   0 .03  ( N m /A )   K e (E MF  Co n stan t)   0 .03  ( Vs/rad )   a ( L atera l  dis tan ce  o f  r ear  wh eel   cent e r  f ro m  CO M)   0 .22 7 5  ( m )   b  ( Late ral  d istan ce  of  f ron t wheel center f ro m  C OM )   0 .22 7 5 ( m )   c ( L atera l  dis tan ce  b etween COM  and  the sid e wheel)   0 .22 7 5 ( m )   x I C R   ( X coo rdin ate  o f  I n stan tan eo u s C en tre  o f  Ro tatio n )   - 0 .15       Table  2 .   Final  cal culat ed  Pa ra m et ers   of SSM R   Para m e ters   Va lue   A   1 .24 8   B   1 0 .83   C   1   D   0   F   6 .17 3  N   K   1 .54   V   2 4  V       4.1.   Perf orm ance   co mp ariso n r esult   In  Fig ure   11   is   (a) ,   ( b)  and  (c )   sho w s  the   res pons e  of  PID  a nd  L QR - H om og ene ous  an d    non - H om og en eous Co ntr oller.           (a)  Res ponse   of P I D  Co ntr ol   (b)   Re s pons e  of Hom og e nous LQR C ontroll er         c)  Re s pons e  of  Non H om og e nous   LQR  cont ro ll er     Fig ure   11 .   (a),  (b)  a nd ( c )  s ho ws  th e re spo nse  of PID  and  L QR - Ho m og e ne ou s  a nd no n - H om og ene ous  Con tr oller   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2089 - 4856   IJRA ,  V ol.  7 ,   No.  3 ,  Septem ber 2 01 8 :    185   –   196   194   Fr om   the  res ul ts  in  Table  3,  it   isob se r ved  t hat  the  L Q R  with  Ho m og ene ous  C on tr oller  gi ve s     the b et te r  p e rfo rm ance in  set tl ing  ti m e, p eak   a m plit ud e a nd  ov e rs hoot.       Table  3 .   Per for m ance Com pari so n               5.   HARD WA RE  IM PLE MEN TATION  OF   LQR  ON SS MR U SING  N X P  LP C 1 768   Both  PID  an d  LQR   Co ntr ol le rs  are   im plem ented  on  the   N XP  LPC   1768   f or  the   S kid  Stee ri ng  Mob il e Ro bot  and the  pe rform ance co m par ison i s m ade.   T he result i n Ta ble  4 dem on str at es the foll ow ing :   a.   The  L QR C on t ro ll er  of the  SSM R R obot  has l arg er  v el ocity  than  t he  tra diti on al   PID c ontr oller .   b.   The  re fer e nce  velocit y  of   the   syst e m   was  set   at   20   m /s,  Th e  LQR  co ntr ol  gav e  pr act ic al ly   ver y  le ss  loss in  co m par i so n t o t he PI D C on t r oller.   c.   Fu rt her o bs e rvat ion  s hows  th at  the v el ocity  o f  all  the  wh ee ls are the  sam e  for   LQR C ontrolle r.   Hen ce   ba sed   on  our  t heoreti cal   m od el in g  s uppo rted  by  E xperim ental   resu lt s,  it   can   be   con cl ud e d  that LQR   Con tr oller   is  a n  O pti m al   Con tr oller.   Per for m ance  C om par iso n  with  Em bedde d  B oard   N XP  LPC   17 68  as   sh ow n  in  Ta ble 4 .       Table  4 .   Per for m ance Com pari so n wit h Em bed de d  B oard  N XP  L PC  1768   Q4  E n co d ers   CONTRO LL ER S   W H EE L S   LE FT   FRONT   LE FT   REAR   RIGHT   FRONT   RIGHT   REAR   VEL OC IT Y   PID   13   1 3 .3   1 4 .6   1 4 .7   LQR   1 5 .9   1 5 .9   16   16   COUNTS   PID   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0   LQR   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0   2 9 0 0 0       ACKN OWLE DGE MENT   Our  since re  th anks  goes  to  t he  Visi on   Gro up   of  Scie nce   and   Tech nolo gy  (VGS T),   K arn at a ka  t o  ackno wled ge  our   re searc h  a nd   pr ov i de  us  the   fi nan ci al   s upport   to   car ry o u t   the   resea rc h  at   NM IT. We  e xpress   our  sincere   tha nk s   to   our  c ollea gu e s  at   t he  Roboti cs  Re se arch  Ce nte r,   N MIT  for  pro vid in g  s uppo rt.   Finall y ,   our  si ncer e  gr at it ud e  goes  t o  Prof .  N   R  S he tt y,  Director  NMIT  a nd  Dr .   H  C  Nagara j ,   Pr inci pal  NM IT  f or  pro vid in g  t h e i nfrastr uctu re supp or t a nd  wholehea rted  e nc oura gem ent to car ry  ou t t he re search  at NM I T.       REFERE NCE S     [1]   Os ama  El shaz l y ,   Ahm ed  Abo - Ism ai l,   Hos sam   S.  Abbas  and  Za k ar y aZy a daD,   “ Skid - steering  m obil e  ro bo t   Modeli ng  and  C ontrol , ”2014  UK A CC.,   978 - 1 - 47 99 - 5011 - 9/1 4  © 2014.   [2]   K.  Kozlowski   a nd  D.   Pazde rski ,   “ Modeli ng   and   control   of  a  4 - whee l   Skid - steering  m obil e   rob ot, ”   Int .   J.  App l .   Math.   Com put .   Sci. ,   vol .   14 ,   no .   4,   pp .   477 – 496 ,   2004 .   [3]   A.  Mandow,  J.   L.   Mar ti n ez ,   J.  Morale s,  J .   L .   B l anc o,   A.  G .   Cer e zo,   and  J.   Gonza le z ,   “ Expe r iment al   k ine m at i cs  for   whee le d   skid - ste er  m obile  robo ts,”  in   In   Proc.   of   the  IEEE/RSJ  In te rna ti ona l  Conf ere nc e   onIntelli g ent  Robots  an d   S y stems ,   US A, 2007,  pp .   1222 – 1227.   [4]   L.  Car ac c iol o ,   A .   D.   Luca,  and   S .   I anni t ti,  “ Tr aj e ct or y   tracki ng   c ontrol  of  a   f our - whee l   diff ere nt i al l y   driv en   m obil e   robot, ”   in   In  Pro c.   of   IE EE In te rn at ion al   Conf ere n ce   on   Roboti cs  a nd  Autom at ion,  US A,  1999,   pp. 2 632 – 2638.   [5]   K.  Ogat a, Mode r n  Control Engi n ee ring ,   5 th  ed .   Pear son Prent ice - Hall ,   2010.   [6]   O.   D.   I .   Nw okah   and  Y .   Hurm uzlu,  Th e  Me cha n ical  S y s te m s Desi gn  Handbook, C RC Pre ss ,   2002,   ch  26.                     Ti m e  Speci ficatio ns   PID   LQR( H )   LQR  (N H )   Settlin g  T i m e   1 .09   0 .59 6   0 .69 2   Peak  A m p litu d e   1 .95   0 .71   0 .99 6   Ov ersh o o t   1 3 .1%   0 .13 6 6   6 .13 6 6 %   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.