I n t e r n at ion al   Jou r n a l   of   Robot ics   an d   Au t om at ion   ( I JRA )   Vo l . 9 ,   No. 1 ,  M a r c h   2020,   pp.   26 ~ 33   I S S N:  2089 - 4856,   DO I :   10 . 11591/ i j r a . v 9 i 1 . pp 26 - 33     26       Jou r n al  h o m e page :  ht tp: // ij r a. iaes c or e . c om   E st i m at io n  of  n o n li n e ar  sy st e m s p ar a m e t e r s       M .   B e n yas s i 1 ,   A .   B r ou r i 2   1 D e p art men t   o f  E l ec t ri c a l   E n g i n ee r i n g ,   L E M2 A ,   E ST M,   Mo u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y ,   Mo r o cc o   2 A E E E   D e p art me n t ,   L 2 MC,   I MSM,   E N S A M,   M o u l a y   Is m ai l   U n i v e rs i t y ,   M o ro cco       Ar t ic l e   I n f o     AB S T RA CT     A r ti c le  h is tor y :   R e c e i ve d   A pr   23 ,   201 9   R e vi s e d  J u l   5 ,   201 9   A c c e pt e d  Oc t   6 ,   201 9       I n   t h i s   p ap e r,   an   i d e n t i f i c at i o n   me t h o d   i s   p ro p o s ed   t o   d et e rmi n e  t h e   n o n l i n e ar   s y s t em s   p arame t e rs .   T h e   p ro p o s e d   n o n l i n e ar  s y s t em s   c an   b e   d e s c r i b ed   b y   W i e n e r  s y s t em s .   T h i s   s t ru c t u r e   o f  mo d el s   co n s i s t s   o f  s e r i e s   o f  l i n e ar  d y n a mi c  e l emen t   an d   a  n o n l i n e ari t y   b l o c k .   B o t h   t h e   l i n e ar  a n d   n o n l i n e ar  p art s   are   n o n p arame t ri c .   I n   p art i cu l ar ,   t h e   l i n e ar  s u b s y s t em   o f  s t ru c t u r e   en t i r e l y   u n k n o w n .   T h e   c o n s i d e r e d   n o n l i n e ar i t y   fu n c t i o n   i s   o f  h ard   t y p e.   T h i s   l at t e r   c an   h a v e   a  d e ad   zo n e   o r  w i t h   p r e l o ad .   T h e s e  n o n l i n e a r  s y s t em s   h av e  b ee n   c o n fi r med   b y   s e v e ra l   p rac t i c al   ap p l i c at i o n s .   T h e   s u g g e s t e d   ap p ro a c h   i n v o l v e s   e as i l y   g e n e rat e d   e x c i t at i o n   s i g n a l s .   K e y w o r d s :   F r e que n c y   s y s t e m   i de n t i f i c a t i o n   Ha r d  n o nl i ne a r i t y   No nl i ne a r   s y s t e m   i de n t i f i c a t i o n   No nl i ne a r   W i e n e r   m o de l s   No n pa r a m e t r i c   l i ne a r   bl o c k   Th i s   i s   a n   o p en   a c ces s   a r t i c l e  u n d e r   t h e  CC  B Y - SA   l i cen s e.     C or r e s pon din g  A u th or :   M o h a m e d  B e ny a s s i ,   De pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i ne e r i n g  E S T M ,   M o ul a y   I s m a il   U ni ve r s i t y ,   R o u t e   d’ A go ur a y ,   km   5,   B . P .   3103 ,   T o ul a l ,   M e k n è s ,   50000,   M o r o c c o.   E m a i l :  b e ny a s s im o h a m e d @y a h o o . f r       1.   I NT RODU C T I ON   T h e   W i e n e r   m o de l   i s   a   s e r i e s   c o n ne c t i o n   o f   a   l i n e a r   d y n a mi c   bl o c   a n d  a   m e m o r y l e s s   n o nli ne a r i t y   ( F i gur e   1) .   No nl i ne a r   s y s t e m s   s t r uc t u r e d  i n   bl o c k   a r e   w i de ly   s t udi e d  i n  t h e   l a s t   de c a de s   [ 1 - 10] .   W h e n   b o t h   pa r t s   a r e   pa r a m e t r i c ,   t h e   i de n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   ha s   b e e n   de a l t   w i t h  us i ng  s to c h a s t i c   m e t h o ds ,   e . g.   [ 1 ,  2]   a s   we l l   a s   de t e r m i n i s t i c   m e t h o ds ,   e . g.   [ 11 ,  12] .   T h e   s t o c h a s t i c   m e t h o ds   e nj o y   l o c a l   o r   gl o ba l   c o nve r ge n c e   pr o pe r t i e s   u n de r   v a r i o us   a s s u m pt i o n s   e . g.   t h e   s y s te m   i nput s   s h o u l d  b e   pe r s i s t e n t l y   e x c i t i ng  ( P E )   o r   Ga us s i a n  a n d  t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   i s   i nve r t i bl e .   T h e   l a s t   li mi t a t i o n   h a s   r e c e n t l y   b e e n   o v e r c o m e   i n   [ 1 2 ] .   M ul t i - s t a ge   m e t h o ds ,   i nv o l vi ng  t wo   o r   s e v e r a l   s t a ge s ,   h a v e   b e e n  pr o p o s e d  i n  e . g.   [ 1 3 ,  1 4 ]   a n d   t h e i r   c o n s i s t e n c y   wa s   e ns ur e d  i f   t h e   i n put s   a r e   Ga us s i a n   a n d  t h e   n o nl i ne a r i t y   i s   o dd.   De t e r m i ni s t i c   pa r a m e t e r   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o ds   c o n s i s t   i n   r e f o r m u l a t i n g  t h e   pr o bl e m   a s   a n   o p t i mi z a t i o n   t a s k,   ge n e r a l ly   c o pe d  w i t h   us i ng  va r i o us   r e l a x a t i o n  t e c h ni q ue s .   T h e n ,   l o c a l   c o nv e r ge n c e   pr o pe r t i e s   e ns ur e d  i n  pr e s e nc e   o f   P E   i nput s .   I n   No n p a r a m e t r i c   W i e n e r   s y s t e m s   ( w h e r e   n o n e   o f   t h e   l i ne a r   s u b s y s t e m   o r   t h e   n o nli ne a r   e l e m e n t   a s s u m e s   a   pr i o r i   kn o w n   s t r uc tur e )   h a v e   b e e n   de a l t   w i t h   us i ng  b o t h   s to c h a s t i c   a n d  f r e que n c y   m e t h o ds .   I n   t h e   s to c h a s t i c   m e t h o ds   e . g.   [ 1 5 ] ,     t h e   n o nl i ne a r i t y   i s   ge n e r a ll y   de t e r m i ne d  us i ng  va r i a n t s   o f   t h e   ke r n e l   r e gr e s s i o n   e s t i m a t i o n   t e c h ni qu e   whil e   t h e   ( un k n o wn )   c o e f f i c i e n t s   o f   a   F I R /I I R   a ppr o xi m a t i o n   o f   t he   li ne a r   pa r t   a r e   e s t i m a t e d  us i ng   c r o s s - c or r e l a t i o n  a n a ly s i s .   S e v e r a l   a s s u m pt i o ns   a r e   n e e de d  e . g.   Ga us s i a n   i n put s ,   F I R   l i ne a r   d y n a mi c s ,   L i p s c hi t z i a n  n o nli ne a r i t y .   I n  f r e que n c y   m e t h o ds ,   t h e   l i ne a r   s u b s y s t e m   f r e que n c y   r e s po n s e   a n d   t h e   n o nli ne a r i t y  m a p   a r e   de t e r m i ne d  i n   t wo   o r   s e v e r a l   s t a ge s ,   e . g.   [1 6 ,  1 7 ] .   T h e   f r e que n c y   i de n t i f i c a t i o n   o f   n o nl i ne a r   s y s t e m   h a s   be e n   w i de ly   de a l t   by   B r o ur i   f o r   s e v e r a l   s t r uc t ur e s   a n d  m o de l s   [ 1 6 - 19 ] .   P r e s e n t l y ,   t h e   c o n s i de r e d  n o nl i ne a r   s y s t e m   i s   c h a r a c t e r i z e d  by   n o n pa r a m e t r i c   li ne a r   bl o c k  a n d  c a n  b e   o f   u n k n o wn   s t r uc t ur e .   F ur t h e r m o r e ,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   i s   o f   h a r d  t y pe   ( F i gur e   2) .   T hi s   l a tt e r   m a y   h a v e   s e v e r a l   p h e n o m e n a ;   e . g.   s a t ur a t i o n ,   pr e l o a d,   de a d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       E s ti mation  o f   non li ne ar   s y s tem s   par am e ter s   ( M .   B e ny as s i )   27   z o n e .   P r e s e n t l y ,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   c o n s i de r e d  i n  W i e n e r   m o de l s   i s   v e r y   d i f f i c u l t   t o   b e   m o de l e d   o r   a ppr o xi m a t e d  by   po l y n o mi a l   f u n c t i o n   o r   a ny   o t h e r   b a s i s   f u nc t i o ns .   T h e   a im   i n   t hi s   wo r k  i s   to   de v e l o p  a n   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o d  a l l o w i ng  t o   e s t i m a t e   t h e   h a r d  s y s t e m   n o nli ne a r i t y ,   a s   we ll   a s   a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e   o f   l i n e a r   bl o c k  p a r a m e t e r s .   T h e   pr o p o s e d  i de n t i f i c a t i o n   a ppr o a c h  c a n   be   de v e l o pe d  i n  t wo   s t a ge s .   I n   t h e   f i r s t   s t a ge ,   us i n g  s i m p l e   c o n s t a n t   i n put s   a n   a c c ur a t e   e s t im a t e   o f     t h e   n o nl i ne a r i t y   f u n c t i o ns   f ( . )   c a n   b e   g i ve n .   I n   t h e   s e c o n d  s t a ge ,   t h e   f r e que n c y   m o du l u s   ga i n   |   (    ) |   a n d     t h e   a r gum e n t   ( t h e   ph a s e )       (    )   o f     (     ) ,  f o r   a   s e t  o f   f r e que n c ies       *                     + .   T h e   o ut l i ne   o f   t h e   r e m a i n i ng  pa r t   o f   t hi s   pa pe r   c o n s i s t s   o f   3  s e c t i o ns .   T h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   i de n t i f i c a t i o n   i s   c o pe d  w i t h   i n  S e c t i o n  2 .   T h e   d e ter m i na t i o n   o f   t h e   li ne a r   s u b s y s t e m   f r e que nc y   r e s po n s e   is   i nve s t i g a t e d  i n   S e c t i o n   3 .  S e c t i o n   4  i s   de v o t e d  to  th e   c o n c l us i o n .               F i gur e   1.   W i e ne r   M o de l   s t r uc t u r e   F i gur e   2.   N o nl i ne a r i t y   h a r d  w i t h   pr e l o a d  a n d  de a d  z o n e       2.   I DE NT I F I CA T I ON  OF   S YST E M   NONL I NE A RI T Y   S t a n da r d  W i e ne r   m o de l s   c o n s i s t   o f   a   l i ne a r   e l e m e n t   o f   t r a n s f e r   f u nc t i o n     (   )   f o l l o we d  i n   s e r i e s   by    a   s t a t i c   n o nl i ne a r   f u n c t i o n     (   ) .   T h e   W i e ne r   s y s t e m s   c o n s i de r e d  i n  t hi s   wo r k  i s   c ha r a c t e r i z e d  by   s e t   o f   i n t e r n a l   s i g n a l s     (   )   a n d    (   ) ,   a n d    (   )   (F i gur e   1) ,   whi c h   a r e   i n a c c e s s i bl e   to  m e a s ur e m e n t .   T h e   e x t e r n a l   s i g na l s     (   )   a n d    (   )   r e s pe c t i v e ly   de n o t e   t h e   c o n t r o l   i npu t   a n d  t h e   m e a s ur e d  o ut pu t.   T h e   i nn e r   s i g n a l     (   )   a c c o un t s   f o r   m e a s ur e m e n t   n o i s e   a n d   o t h e r   m o de li ng  e f f e c t s .   I t   i s   s uppo s e d  t o   b e   z e r o - m e a n   e r go di c   a n d   un c o r r e l a t e d  wi t h   t h e   c o n t r o l   i n put     (   ) .   A c c o r di n g ly,   l e t     (   )   de n ot e s   t h e   i m pu l s e   r e s po ns e   o f   t h e   l i ne a r   bl o c k  o f   t r a n s f e r   f u n c t i o n     (   ) .   M o r e   s pe c i f i c a l ly ,   t h e   W i e n e r   s y s t e m   u n de r   s t ud y   i s   a n a ly t i c a ll y   de s c r i b e d  by   t h e   f o l l o w i ng   e qua t i o ns :       (   )     (   )     (   )   ( 1 )       (   )     (   (   ) )   ( 2 )       (   )     (   )       (   )   ( 3 )     wh e r e     (   )         (   (   ) )   a n d          de s i g n a t e s   t h e   i nv e r s e   L a p l a c e   t r a n s f o r m .   T h e   s ym b o l   *  i n   ( 1)   r e f e r s   to    t h e   c o n v o l ut i o n   pr o duc t.   P r e s e n t l y ,   t h e   c o n s i de r e d  l i ne a r   bl o c k  c a n   b e   o f   un k n o wn   s t r uc t ur e ,   b ut  i t   i s   j us t   s uppo s e d  to   b e   a s ym ptot i c a l ly   s t a bl e .   T hi s   a s s u m pt i o n   m a ke s   po s s i b l e   o pe n - l o o p  s y s t e m   i de n t i f i c a t i o n .   I n   t hi s   s e c t i o n ,   a n  i de n t i f i c a t i o n   s c h e m a   i s   pr o p o s e d  to  e s t i m a t e   t h e   h a r d  s y s t e m   n o nli ne a r i t y   ( F i gur e   2) .   T h e n ,   t h e   W i e n e r   s y s t e m   i s   e xc i t e d  by   a   s e t   o f   c o n s t a n t   i n put s :       (   )   {                 }   ( 4 )     wh e r e   t h e   n u m be r   o f   i nput   e x c i t a t i o n s   n   i n   ( 1)   i s   a r bi t r a r i ly   c h o s e n   by   t h e   us e r .   I n   t hi s   pr o bl e m   i de n t i f i c a t i o n ,   t h e   c o m p l e xi t y   a l s o   l i e s   i n   t he   f a c t   t h a t   t h e   i n t e r n a l   s i g n a l     (   )   i s   n o t  uni que ly   de f i ne d  f r o m   a n   i n put - o u t pu t   v i e wpo i n t   ( s e e   e . g.   [ 1 6 - 19 ] ) .   T h e n ,   w i t h o u t   l o s s   o f   ge n e r a l i t y ,   o n e   c a n  a s s u m e   t h a t   t h e   l i ne a r   bl o c k  t o  b e   i de n t i f i e d  i s   c h a r a c t e r i z e d  by   u ni t   s t a t i c   ga i n:       (   )       ( 5 )     I n de e d,   i f   t h e   c o up l e   (   (   )       (   ) )   i s   s o l ut i o n   o f   t hi s   n o nli n e a r   i d e n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   ( 1) - ( 3) ,   t h e n   a ny  n o nli ne a r   s y s t e m   h a vi ng  t h e   f o l l o w i ng  li ne a r   s u b s ys t e m   bl o c k:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m ,  Vo l .   9 ,   N o .   1 ,  M a r c h   2020  :    26   –   33   28       (   )     (   )     ( 6 a )     a n d   t h e   f o l l o w i ng  s y s t e m   l i ne a r i t y :         (   )     (    )   ( 6b )     i s   a l s o   s o l ut i o n  o f   t h e   a b o v e   n o nli ne a r   i d e n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   ( 1) - ( 3) ,   wh e r e   i s   a ny   n o n z e r o   r e a l   n u m be r .   A c c o r d i n g ly ,   t h e   j ud i c i o u s   c h o i c e   o f   t h e   d i s t r i b ut i o n   f a c to r   i n   t h e   pr e s e n t   pa pe r   i s :           (   )   ( 6c )     F i na ll y ,   o n e   i mm e d i a t e l y   ge t s   f r o m   ( 6a )   a n d  ( 6c )   t h a t ,   t h e   l i ne a r   bl o c k      (   )   to  b e   i de n t i f i e d  i s   o f   uni t     s t a t i c   ga i n :         (   )       ( 6d )     On   t h e   ot h e r   h a n d,   i t   i s   r e a d il y   s e e n   us i ng  ( 1)   a n d  ( 4) - ( 5)   t h a t :       (   )   {                 }   ( 7 )     E qua t i o n   ( 7)   m e a n s   t h a t ,   f o r   a ny   c o n s t a n t   i n put         th e   s t e a d y   s t a t e   o f   i nn e r   s i g na l     (   )   i s   a l s o   c o n s t a n t   a n d  c o n v e r ge s   to wa r ds         ( i . e .   o f   kn o wn   v a l ue s ) .   A c c o r d i n g ly ,   o n e   c a n   i mm e d i a t e ly   ge t s   f r o m   ( 2)   a n d  ( 7)   t h a t    t h e   un d i s t ur b e d  s y s t e m   o u t pu t     (   )   c o n v e r ge s   to wa r ds   s e t   c o n s t a n t   v a l ue s .   S pe c i f i c a ll y ,   o n e   ha s :       (   )   {   (     )             }   ( 8 )     F i na ll y ,   i t   f o l l o w s   f r o m   ( 3)   a n d  ( 8)   t h a t,   f o r   a ny   in put       ,   t h e   s y s t e m   o ut pu t     (   )   c o n v e r ge s   t o   a   c o n s t a n t   up   to  n o i s e :       (   )   {   (     )     (   )             }   ( 9 )     T h e n ,   us i n g  t h e   f a c t   t h a t ,   t h e   e x t r a - i n put   ( n o i s e )   s i g n a l     (   )   i s   z e r o - m e a n ,   a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e   o f     (     )     ( f o r               )   c a n   b e   o b t a i n e d  by   a v e r a g i ng  t h e   s y s t e m   o u tput     (   ) .   T o   t h i s   e n d,   l e t     ̂   (             )   de n o t e s   t h e   e s t i m a t e   o f     (   )   f o r     (   )       .   T h e n ,   t h e   e s t i m a t o r   o f     (   )   f o r   a ny       *           +   i s   a s   f o l l o ws :       ̂         ∑   (   )           ( 10 )     A c c o r d i n g ly ,   i t   r e a d i ly   f o l l o w s   f r o m   ( 3) ,   ( 9 )   a n d  ( 1 0)   t h a t :       ̂       (     )       ∑   (   )           ( 11 )     On e   c a n   s e e   t h a t   t h e   l a s t   t e r m   i n  ( 11)   v a ni s h e s   w i t h   pr o b a bi li t y   e qua l   t o   1 .   A c c o r di n g ly ,   t h e   e s t i m a t e     ̂     c a n   b e   e x pr e s s e d  a s   ( w. p. 1) :   t h a t :       ̂       (     )   f o r               ( 12 )     F o r   m o r e   i nf o r m a t i o n ,   s e e   e . g.   [ 1 6 - 19 ] .   A c c o r di n g ly ,   a   s e t  o f   po i n t s   b e l o n g i ng  to   n o nl i ne a r i t y   f u n c t i o n       (   )   c a n   b e   de t e r m i ne d.       3.   RE S E AR CH  M E T HO D   T h e   a i m   i n   t hi s   s e c t i o n   i s   to   de v e l o p  a n   i de n t i f i c a t i o n   s o l ut i o n   a l l o w i ng  e s t i m a t e s   o f   l i ne a r   bl o c k   pa r a m e t e r s .   P r e s e n t l y ,   t h e   pr o po s e d  W i e ne r   m o de l   i s   c ha r a c t e r i z e d  by   n o n pa r a m e t r i c   li ne a r   e l e men t .   T hi s   l a t t e r   c a n   be   o f   u n k n o wn   s t r uc t ur e .   A c c o r di n g ly ,   t h e   o bj e c t i v e   o f   t hi s   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d  pr o vi de s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       E s ti mation  o f   non li ne ar   s y s tem s   par am e ter s   ( M .   B e ny as s i )   29   t h e   f r e que n c y   c o m p l e x   ga i n   o f   l i ne a r   s ubs y s t e m ,   i . e .   f o r   a ny   f r e que n c y       *                 +   we   s e e k  a n   e s t i m a t e   o f   t h e   m o du l us   ga i n   |   (    ) |   a n d  t h e   ph a s e     (   )       (    )         (   (    ) ) .   T o  d o   t h i s ,   t h e   W i e n e r   m o de l   ( F i gu r e   1)   i s   e xc i t e d  by   a   s i ne   i n put   s i g n a l :       (   )                (    ) ,   wi t h       *                 +   ( 13 )     T h e n ,   i t   f o l l o w s   f r o m   ( 1) ,   ( 5)   a n d  ( 13)   t h a t ,   t h e   s t e a d y   s t a t e   o f   i nne r   s i g n a l   v ( t )   i s   a l s o   s i ne   s i g n a l   a nd  c a n   be   e x pr e s s e d  a s   f o l l o w s :       (   )           |   (    ) |      (        (   ) )   ( 14 )     On   t h e   ot h e r   h a n d,   r e c a l li ng  t h a t  t h e   s y s t e m   n o nli n e a r i t y     (   )   i s   o f   h a r d  f u n c t i o n   a n d  i s   a l r e a d y   de t e r m in e d   ( S e c t i o n   2) .   T h e n ,   t h e   c h o i c e   o f         a n d      c a n   b e   d o n e   s uc h   t h a t  t h e   s i g na l     (   )   s pa ns   o nl y   o n e   s e g m e n t  o f     (   ) .   I n   t h a t  c a s e ,   t h e   s t e a dy - s t a t e   o f   un d i s t ur b e d  s y s t e m   o u t pu t    (   )   i s   a l s o   s i n e   s i g n a l .   S pe c i f i c a ll y ,   w( t)   c a n   b e   e x pr e s s e d  a s :       (   )                |   (    ) |      (        (   ) )   ( 15 )     wh e r e   a   a n d  b   a r e   t h e   s e g m e n t   pa r a m e t e r s .   A   j ud i c i o us   c h o i c e   o f         a n d      c a n   b e   m a de   pr a c t i c a ll y   by   o b s e r vi ng  t h e   s y s t e m   o ut pu t     (   ) .   T h e n ,   a d j u s t i n g  t h e   o f f s e t   a n d  t h e   a m p l i t ud e   un t i l     (   )   b e c o m e s   c l o s e   to   a   s i n us o i da l   s i g n a l   up  t o  n o i s e .   A c c o r d i n g ly ,   i t   r e a d i ly   f o l l o w s   f r o m   t h e   ( 3)   a n d  ( 1 5)   t h a t ,   t h e   s y s t e m   o u t pu t    (   )   c a n   b e   e x pr e s s e d  a s :       (   )                |   (    ) |      (        (   ) )     (   )   ( 16 )     F ur t h e r m o r e ,   t h e   que s t i o n   i n   t hi s   s t a ge   i s   h o w  to   e s t i m a t e   t h e   i nn e r   s i g n a l     (   )   us i n g  i nput   a n d   o u t pu t   s y s t e m ?   T he   a n s we r   t o   t hi s   que s t i o n   c a n  b e   f o u n d  i n  [ 2 0 ] .   K n ow   t h a t   t h e   i n put   s i g n a l     (   )   a n d     t h e   s y s t e m   o u t pu t     (   )   a r e       –   pe r i o d i c   ( o f   s a m e   pe r i o d  T ) .   T h e n ,   a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e     ̂ (   )   o f     (   )   c a n   b e   o b t a i n e d  by   t r a n s - a v e r a g i ng    (   )   ( s e e   [ 2 0 ]):       ̂ (   )       ∑   (        )           ( 17 )     F ur t h e r m o r e ,   i t   f o l l o ws   f r o m   ( 16)   a n d  ( 17)   t h a t,   t h e   o u t pu t  e s t i m a t e     ̂ (   )   c a n   be   e x pr e s s e d  a s :       ̂ (   )                |   (    ) |      (        (   ) )       ∑   (        )           ( 18 )     B e a r   i n   mi nd  t h a t ,   t h e   s i g n a l     (   )   i s   a   whi t e   n o i s e   pr oc e s s   w i t h   z e r o   m e a n .   T h e n ,   t h e   e x pr e s s i o n   o f     ̂ (   )   i n  ( 18)   c a n   b e   r e duc e d  to  t h e   f o l l o w i ng  e qua t i o n   a s :       ̂ (   )                |   (    ) |      (        (   ) )   ( 19 )     E qua t i o n   ( 19)   s h o ws   t h a t  t h e   e s t i m a t e     ̂ (   )   o f   i n t e r n a l   s i g n a l     (   )   c o n v e r ge s   t o  i t s   tr ue   v a l ue   ( w. p. 1) .   S pe c i f i c a ll y ,   o n e   ha s :       ̂ (   )     (   )           w . p. 1   ( 20 )     L e t     ̂ (   )   a n d    ̂ (   )   r e s pe c t i v e ly   de n o t e   t h e   a m p li t ude   a n d  ph a s e   o f   t h e   s i n u s o i da l   t e r m   o f     ̂ (   ) .  T h e n ,   t h e   f r e que n c y   ga i n   e s t i m a t e   ( m o du l us   ga i n   |   ̂ (    ) |   a n d  p h a s e     ̂ (   )       ̂ (    ) )  c a n   b e   g i ve n   a s :     |   ̂ (    ) |     ̂ (   )      ( 21a )       ̂ (   )     ̂ (   )           ( m o du l o   2   )   ( 21b )     T hi s   e x pe r i e n c e   c a n   b e   r e pe a t e d  f o r   a ny   o t h e r   f r e q ue n c y       *                 + .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m ,  Vo l .   9 ,   N o .   1 ,  M a r c h   2020  :    26   –   33   30   4.   S I M UL AT I ON   T h e   W i e ne r   s y s t e m s   c o n s i de r e d  i n   s i m u l a t i o n   i s   de s c r i b e d  li ne a r   s u b s y s t e m   o f   t r a n s f e r   f u n c t i o n :       (   )         (           ) (           )   ( 22 )     T h e n ,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y     (   )   c o n s i de r e d  i n  s im u l a t i o n   s h o wn   by   F i gur e   3.   Ac c o r di n g ly ,   t o   o v e r c o m e   t h e   m u l t i p li c i t y   o f   s o l ut i o n s   pr o bl e m   s e e n   i n  s e c t i o n   2,   we   ha v e   s h o wn   t h a t   i t   i s   j ud i c i o us   t o   f o c us   to   n o nli ne a r   s y s t e m   de s c r i be d  by   ( 6a - c ) .   T h e n ,   t h e   no nl i ne a r   s y s t e m   t o   b e   i de n t i f i e d  i s   a na l y t i c a l ly   de s c r i b e d  by   li ne a r   e l e m e n t   o f   f o l l o w i ng  t r a n s f e r   f u n c t i o n :         (   )          (           ) (           )   ( 23 )     F ur t h e r m o r e ,   i t   i s   r e a d il y   s e e n   f r o m   ( 23)   t h a t   t h e   li ne a r   e l e m e n t   o f   W i e ne r   n o nli ne a r   s y s t e m   to   b e   i de n t i f i e d  s a t i s f i e s   t h e   pr o pe r t y   ( 5) ,   i . e .       (   )   i s   o f   uni t   s t a t i c   ga i n   (     (   )     ) .   I n   t h e   f i r s t   s t a ge ,   t h e   W i e n e r   s y s t e m   i s   e x c i t e d  by   a   s e t   o f   c o n s t a n t   i n pu t s   ( F i gur e   4) .   T h e   r e s ul t i n g  s y s t e m   o ut pu t    (   )   a n d  t h e   un d i s t ur b e d   o u t pu t  e s t i m a t e s     ̂     a r e   s h o wn   by   F i gur e   5.   F o r   c onv e ni e n c e ,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y     (   )   a n d  t h e   s e t  o f   e s t i m a t e d  po i n t s   (         ̂   )   (           )   a r e   pl o tt e d  i n   F i gur e   6.   F i n a ll y ,   t h e   o b t a i ne d  s i m u l a t i o n   va l ue s   a n d  g i v e n   i n   T a bl e   1  s h o wn   t h a t   t h e   e s t i m a t e d  po i n t s   a r e   v e r y   c l o s e   to   t h e i r   tr ue   v a l ue s .           F i gur e   3 .   T h e   n o nl i ne a r i t y   c o n s i de r e d  i n   s im u l a t i o n       F i gur e   4 .   T h e   i n put   s i g n a l     (   )           F i gur e   5 .   T h e   o u t pu t     (   )   a n d  t h e   e s t i m a t e s     ̂         F i gur e   6.   T h e   NL     (   )   a n d  t h e   e s t i m a t e s   (         ̂   )       T a bl e   1.   N o nl i ne a r   po i n t s   e s t i m a t e s     ̂ (     )   J   4   5   7         - 0 . 25   0   0,5     (     )   - 0 . 87   0   0,25   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       E s ti mation  o f   non li ne ar   s y s tem s   par am e ter s   ( M .   B e ny as s i )   31     ̂ (     )   - 0 . 88   0.02   0,27   I n   t h e   s e c o n d  s t a ge   ( s e e   s e c t i o n   3) ,   t h e   W i e n e r   no nl i ne a r   s y s t e m   i s   e x c i t e d  by   t he   s i ne   s i g n a l   ( 13) .   F o r   a n   a r bi t r a r i ly   o f f s e t         a n d  a m p li t ude     ,   t h e   s y s t e m   o ut pu t    (   )   o v e r   o n e   pe r i o d  i s   s h o wn   by   F i g ur e   7.   T h e n ,   i t   i s   c l e a r   t h a t   t h e   s i g n a l     (   )   i s   d i f f e r e n t   f r o m   a   s i nus o i da l   s i g n a l .   A c c o r d i n g ly ,   by   a d j us t i n g  t h e   v a l ue s   o f         a n d      i n   ( 13)   a n d  us i n g  t h e   n o nli ne a r i t y   e s t i m a t e .   F ur t h e r m o r e ,   us i n g  t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   e s t i mat e   ( F i gur e   6) ,   us e f u l   v a l ue s   f o r         a n d      i n   ( 13)   c a n   be   e a s il y   do n e .   T h e n ,   a n o t h e r   e x a m p l e   f o r                  a n d              i s   d i s p l a y e d  by   F i gur e   8.   T hi s   r e s u l t   s h o w ed   t h a t   t h e   s y s t e m   o ut pu t   i s   n o t   y e t   a   s i n e   s i g n a l .   I n d e e d,   t h e   f il t e r e d  ve r s i o n   us i ng   t h e   e s t i m a t o r   ( 17 )   i s   pr e s e n t e d  i n   F i gur e   9.   I t  i s   s e e n   t h a t   t h e   s i g n a l     (   )   i s   d i f f e r e n t   f r o m   a   s i n e   s i g n a l .   T h e n ,   a d j u s t i n g  t h e   pa r a m e t e r s   o f   i n put   s i g n a l     (   )   ( i . e .   t h e   v a l ue s   o f   o f f s e t         a n d  a m p l i t ude     )  un t i l   t h e   s y s t e m   o u t pu t     (   )   b e c o m e s   s i ne   s i g n a l   ( up  to   n o i s e ) .   T h e   o b s e r v e d  s y s t e m   o ut pu t     (   )   i n   t hi s   c a s e   i s   i ll u s t r a t e d  b y   F i gur e   10.           F i gur e   7.   T h e   s y s t e m   o ut pu t    (   )   o v e r   o n e   pe r i o d       F i gur e   8.   T h e   o u t pu t     (   )   o v e r   o n e   pe r i o d           F i g ur e   9 .   T h e   f il t e r e d  o u t pu t    ̂ (   )   o v e r   o n e   pe r i o d       F i gur e   10 .   T h e   o u t pu t     (   )   o v e r   o n e   pe r i o d       T hi s   r e s u l t   s h o ws   t h a t  t h e   s i g n a l     (   )   i s   c l o s e   to  a   s i n e   s i g na l   ( up  to  n o i s e ) .   T h e   c o l l e c t e d  s a m p l e   o f     (   )   is   us e d  t o  ge n e r a t e   t h e   un d i s t ur b e d  o u t pu t   e s t i m a t e     ̂ (   )   us i n g  t h e   e s t i m a t o r   ( 17) .   T hi s   l a t t e r   i s   p l o tt e d  by   F i gur e   11.   I t  i s   r e m a r ka bl e   t h a t     ̂ (   )   i s   c l o s e   t o   a   s i ne   s i g n a l .   T he n ,   f o r   t h e   f r e que nc y              (        ) ,    t h e   o b t a i n e d  a m p li t ude   a n d  pha s e   o f     ̂ (   )   a r e   a s   f o l l o w s :       ̂ (   )            ( 24a )       ̂ (   )            (    )   ( 24b )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m ,  Vo l .   9 ,   N o .   1 ,  M a r c h   2020  :    26   –   33   32   T h e n ,   b a s e d  upo n   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   i de n t i f ica t i o n ,   t h e   f r e que n c y   c o m p l e x   ga i n   ( m o du l us   ga i n   |   ̂ (    ) |   a n d  p h a s e     ̂ (   )       ̂ (    ) )  o f   l i ne a r   bl o c k  c a n   b e   g i ve n   us i ng  ( 21a - b ) .   B e a r   i n   m i nd  t h a t     ̂            ,   t h e n   i t   r e a d i ly   f o l l o w s   f r o m   ( 2 1a - b )   a n d  ( 24a - b )   t h a t,   t h e   pa r a m e t e r s   e s t i m a t e   ( m o du l us   ga i n   a n d  p h a s e )   o f   f r e que n c y   c o m p l e x   ga i n   f o r              (        )   a r e   ( r e s pe c t i v e ly ) :     |   ̂ (    ) |     ̂ (   )               ( 25a )       ̂ (   )                        (    )   ( 25b )     R e pe a t   t hi s   m e t h o d  f o r   ot h e r   f r e que n c i e s       *                 + .s   I t   f o l l o w s   ( 13a - b )   a n d  us i ng  t h e   a m p li t ude   a n d  p ha s e   o f     ̂ (   ) ,   c a n   b e   o b t a i ne d  f o r   a ny   f r e que n c y     .  T h e   o b t a i n e d  e s t i m a t e   v a l ue s   o f   t h e   m o du l us   ga i n   |   ̂ (    ) |   a n d  ph a s e     ̂ (   )   o r   t h r e e   f r e que nc i e s       *                 +   a r e   gi v e n   i n   T a bl e   2.   F i na ll y ,   t h e   o b t a i ne d  r e s u l t s   g i v e n   i n   T a bl e   2  s h o w  t h a t ,   t h e   c o m p l e x   ga in  pa r a m e t e r s   e s t i m a t e   a r e   v e r y   c l o s e   to  t h e i r   t r ue   v a l ue s .           F i gur e   11.   T h e   un d i s t ur b e d  o u t pu t  e s t i m a t e     ̂ (   )   o v e r   o n e   pe r i o d   T a bl e   2.   F r e que n c y   ga i n   e s t i m a t e s     ̂ (       )       1   2   3         ( r d/ s )   0.01   0.05   0.1     (     )   ( r d)   - 0.12   - 0.59   - 1.03     ̂ (     )   ( r d)   - 0.1   - 0.62   - 1.06   |   (       ) |   0.99   0.89   0.68   |   ̂ (       ) |   1.01   0.87   0.71         5.   CONC L USI ON   I n   t hi s   pa pe r ,   a   n e w  f r e que n c y   i de n t i f i c a t i o n   met h o d  i s   pr o p o s e d  to  de a l   w i t h   W i e n e r   m o de l .   P r e s e n t l y ,   t h e   i de n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   i s   a ddr e s s e d  i n  pr e s e n c e   o f   h a r d  n o nli ne a r i t y   a n d   li ne a r   d y n a mi c   e l e m e n t   o f   un k n o wn   s t r uc t u r e .   I n   t h e   f i r s t   s t a ge ,   a n   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o d  i s   pr e s e n t e d  to   e s t i m a t e   t h e   h a r d   n o nli ne a r i t y .   T he n ,   a   f r e que nc y - do m a i n  i de n t i f i c a t i o n   s o l ut i o n   i s   de v e l o pe d  a ll o w i ng  t h e   de t e r m in a t i o n   o f   f r e qu e n c y   c o m p l e x  ga i n  ( i . e .   m o du l us   g a i ns   e s t i mat e ,   a s   we l l   a s   t h e   p h a s e )   e s t i m a t e   o f   li ne a r   bl o c k. P r e s e n t l y ,   t h e   l i ne a r   e l e m e n t   i s   n o n pa r a m e t r i c   a n d  c a n   b e   o f   un k n o wn   s t r uc t u r e .   F ur t h e r m o r e ,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   c a n   b e   d i s c o n t i n uo us .       RE F E R E NC E S   [1 ]   T .   W i g r en ,   “ Recu rs i v e   p r e d i c t i o n   e rro r  i d en t i fi c at i o n   u s i n g   t h e   n o n l i n e ar  W i e n e r  mo d el , ”  A u t o m a t i c a ,   v o l .   29,   p p .   1 0 1 1 - 1 0 2 5 ,   1 9 9 3 .   [2 ]   T .   W i g r en ,   “ Co n v e rg en ce   a n al y s i s   o f  r ecu rs i v e   i d en t i f i c at i o n   al g o r i t h m   b as e d   o n   t h e   n o n l i n e ar  W i en e r  mo d e l , ”  IE E E   Tr a n s .   A u t o m a t i c  Co n t r o l ,   v o l .   3 9 .   p p .   2 1 9 1 - 2 2 0 5 ,   1 9 9 4 .   [3 ]   A .   Br o u r i ,   F .   G i r i ,   “ Mo d el i n g   o f   n o n l i n e ar  s y s t em s   w i t h   b a c k l as h   memo r y   o p e rat o rs , ”  i n   1 0 t h   In t e r n a t i o n a l   Co n f er e n ce  o n   M o d el i n g ,   O p t i m i z a t i o n   a n d   S i m u l a t i o n   ( M O S IM ’1 4 ) ,   N an cy ,   Fra n ce ,   N o v em b e r  5 - 7,   2014 .   [4 ]   A .   Bro u ri ,   “ Fre q u en cy   Id e n t i f i c at i o n   o f  W i en e r - H a mme rs t e i n   S y s t em s , ”  i n   S IA M   Co n f er e n ce  on   Co n t r o l   &   It s   A p p l i ca t i o n s ,   Pari s ,   Fran ce ,   J u l y   8 - 10,   2 0 1 5 .   [5 ]   A .   Br o u ri ,   “ Fre q u e n cy   Id e n t i f i c at i o n   O f  N o n l i n e ar  S y s t em s , ”  i n   1 8 t h   In t e r n a t i o n a l   C o n f er e n ce  o n   A u t o m a t i c   Co n t r o l ,   M o d e l l i n g   &   S i m u l a t i o n ,  V e n i ce ,   I t al y ,   J an u ar y   2 9 - 3 1 ,   2 0 1 6 .   [6 ]   A .   W i l l s   an d   L .   L j u n g ,  W i en er   s y s t em   i d en t i f i c a t i o n   u s i n g   t h e  m a x i m u m   l i ke l i h o o d   m et h o d .   In   B l o ck - o r i e n t ed   n o n l i n e a r   s y s t em   i d en t i f i c a t i o n ,   U . K . :   Sp ri n g e r,   2010 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       E s ti mation  o f   non li ne ar   s y s tem s   par am e ter s   ( M .   B e ny as s i )   33   [7 ]   L .   V a n b ey l en ,   R .   Pi n t el o n ,   a n d   J .   S c h o u k e n s ,   “ Bl i n d   max i m u m - l i k e l i h o o d   i d en t i fi c at i o n   o f  w i en e r  s y s t em s , ”  I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   S i g n a l   P r o ces s i n g ,   v o l .   5 7 ,   n o .   8 ,   p p .   3 0 1 7 – 3 0 2 9 ,   2 0 0 9 .   [8 ]   L.   V a n b ey l en   an d   R.   P i n t e l o n ,  B l i n d   m a xi m u m - l i kel i h o o d   I d en t i f i c a t i o n   o f   W i en e r   a n d   H a m m er s t e i n   n o n l i n ea r   b l o ck  s t r u c t u r es .   B l o ck - o r i en t ed   n o n l i n e a r   s y s t em   i d en t i f i ca t i o n ,  U . K . :   Sp ri n g e r ,  2010 ,   p p   2 7 3 - 2 9 1 .   [9 ]   A .   Br o u r i ,   “ W i en e r - H a mme rs t ei n   M o d el s   I d en t i fi c at i o n , ”  I n t .   Jo u r n a l   o f   M a t h .   M o d .   &   M e t h .   i n   A p p l i ed   S c. ,   v o l .   1 0 ,   p p .   2 4 4 - 2 5 0 ,   2 0 1 6 .   [1 0 ]   A .   Bro u r i ,   “ N o n l i n e ar  S y s t em   Id e n t i f i c at i o n , ”  i n   In t er n a t i o n a l   Co n f e r en ce   o n   A p p l i ed   M a t h em a t i cs   &   Co m p u t er   S ci e n ce  ( ICA M CS ),   Ro me ,   I t al y ,   J an u ar y   2 7 - 29,   2 0 1 7 .   [1 1 ]   J .   V ö rö s ,   “ Param e t e r  i d e n t i f i c at i o n   o f  W i en e r  s y s t em s   w i t h   d i s c o n t i n u o u s   n o n l i n e ar i t i e s , ”  S ys t em s   a n d   C o n t r o l   Let t e r s ,   v o l .   4 4 ,   p p .   3 6 3 - 3 7 2 ,   1 9 9 7 .   [1 2 ]   J .   Bru l s ,   C . T .   Ch o u ,   B. R . J .   H ev e rk a m p   an d   M .   V e rh ae g en ,   “ L i n e ar  a n d   n o n l i n e ar  s y s t em  i d e n t i f i c at i o n   u s i n g   s e p arab l e   l e as t   s q u are s , ”  E u r o p e a n   J o u r n a l   o f   Co n t r o l ,  v o l .   5 ,   p p .   1 1 6 - 1 2 8 ,   1 9 9 9 .   [1 3 ]   D .   W e s t w i c k   a n d   M.   V e rh a eg e n ,   “ Id e n t i f y i n g   M I M O   W i en e r  s y s t em s   u s i n g   s u b s p ace   mo d el   i d e n t i f i c at i o n   me t h o d s , ”  S i g n a l   P r o ces s i n g ,   5 2 ,   p p .   2 3 5 – 2 5 8 ,   1 9 9 6 .   [1 4 ]   M.   L o v e ra,   T .   G u s t afs s o n ,   an d   M.   V e rh a eg e n ,   “ Re cu rs i v e   s u b s p ac e   i d e n t i fi c at i o n   o f  l i n e ar  an d   n o n - l i n e ar  W i en e r   s t a t e - s p ac e  m o d e l s , ”  A u t o m a t i ca ,   v o l .   3 6 ,   p p .   1 6 3 9 - 1 6 5 0 ,   2000.   [1 5 ]   W .   G re b l i c k i   a n d   M .   Pa w l ak ,   No n p a r a m et r i c   S y s t em   Id e n t i f i ca t i o n .   Cam b ri d g e  U n i v e rs i t y   Pr e s s ,   2008.   [1 6 ]   A .   Br o u r i ,   F.   G i ri ,   F. Z .   C h ao u i ,   A .   A md o u ri ,   " Id en t i fi c a t i o n   o f  H a mme rs t e i n - W i en e r  S y s t em s   w i t h   Ba c k l as k   In p u t   N o n l i n e ari t y   B o rd e r ed   B y   St rai g h t   L i n e s , ”  in  1 9 t h   IF A C   W o r l d   C o n g r e s s ,  Ca p e   T o w n ,   So u t h   A fri c a,   A u g u s t   2 4 - 2 9 ,   2 0 1 4 ,   p p .   4 7 5 - 4 8 0 .   [1 7 ]   A .   Bro u ri ,   L .   K a d i ,   S .   Sl as s i ,   “ Fre q u en cy   i d en t i fi c at i o n   o f  H a mme rs t e i n - W i e n e r  s y s t em s   w i t h   Ba c k l as h   i n p u t   n o n l i n e ari t y , ”  In t .   J.   o f   Co n t r o l ,   A u t o m a t i o n   &   S ys t em s ,  v o l .   15 ,   n o .   5 ,   p p .   2 2 2 2 - 2 2 3 2 ,   2 0 1 7 .   [1 8 ]   A .   Bro u r i ,   F. Z .   Ch ao u i ,   A .   A m d o u r i ,   F.   G i ri ,   “ Fre q u e n cy   I d e n t i f i c at i o n   o f  H a mme rs t ei n - W i e n e r  S y s t em s   w i t h   Pi e cew i s e   A ffi n e   In p u t   N o n l i n e ari t y , ”   i n   1 9 t h   IF A C  W o r l d   C o n g r e s s ,   Cap e   T o w n ,   S o u t h   A fr i c a ,   A u g u s t   2 4 - 29 ,   2 0 1 4 ,   p p .   1 0 0 3 0 - 1 0 0 3 5 .   [1 9 ]   A .   Br o u r i ,   S .   S l as s i ,   " Id e n t i f i c at i o n   o f  N o n l i n e ar   S y s t em s   St ru c t u r e d   b y   W i en e r - H a mme rs t ei n   Mo d el " ,   In t e r n a t i o n a l   Jo u r n a l   o f   E l ect r i c a l   a n d   Co m p u t er   E n g i n eer i n g ,  v o l .   6 ,   n o .   1 ,   p p .   167 - 1 7 6 ,   2 0 1 6 .   [2 0 ]   A .   Bro u ri ,   F r eq u en cy  Id e n t i f i ca t i o n   o f   No n l i n e a r   S ys t em s ,   L A P   L A MBE RT   A c a d em i c   P u b l i s h i n g ,   S e p t emb e r,   2 0 1 6 ,   I SBN :   9 7 8 - 3 -   6 5 9 - 9 4 9 9 1 - 3 .       B I OG RA P H I E S   OF   AU T HO RS       M o h a m ed  Be n y a s s i   h as   c o m p l e t e d   h i s   Mas t e r  d eg r ee   i n   Ph y s i c s   an d   Mat h em at i c s   fro m   Fa c u l t y   o f  Sci e n ce   an d   Mat h em at i c s   Ru s s i an   U n i v e rs i t y   Mo s c o w   U SSR  i n   1 9 9 1 .   I n   1 9 9 5   h e   recei v ed   t h e   Ph .   D .   d eg r ee   i n   t h e o r e t i c a l   Ph y s i c s   fro m   t h e   s a me   U n i v e rs i t y .   S i n ce   2 0 0 4   h e   j o i n ed   t h e   H i g h   Sch o o l   o f  T ech n o l o g y   E ST M,   M o u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y   i n   M e k n e s   Mo ro cco .   Pr o f.   B e n y as s i   j o i n e d   t h e   L E M2 A   L ab   as   a  p e rm an en t   mem b e r  i n   Mo u l a y   I s m a i l   U n i v e rs i t y .   H i s   re s e ar ch   i n t e r e s t s   n o n l i n e ar  a n d   i n v e rs e   s y s t em s .   E - m a i l :   b e n y as s i m o h amed @ y ah o o . fr         A di l   Bro u ri   o b t ai n ed   t h e   A g ré g at i o n   o f  E l ec t ri c a l   E n g i n ee r i n g   i n   2 0 0 0 .   I n   2 0 1 2 ,   h e   o b t ai n e d   a   Ph . D .   i n   A u t o m at i c   Co n t ro l   fro m   t h e   U n i v e rs i t y   o f  Mo h a mme d   5 ,   Mo r o cc o .   H e   h as   b e en   Pro fe s s eu r -   A g ré g é   f o r  s e v e ra l   y ears .   Si n ce   2 0 1 3   h e  j o i n e d   t h e   E N S A M,   M y   I s m a i l   U n i v e rs i t y   i n   Me k n e s -   Mo ro cco .   H e   o b t ai n e d   h i s   H D R  d eg r ee   i n   2 0 1 5   at   t h e   E N SA M - M ek n e s   (M y   I s m a i l   U n i v e rs i t y ).   H i s   re s e ar c h   i n t e r e s t s   i n c l u d e  n o n l i n e ar   s y s t e m  i d e n t i f i c at i o n   an d   n o n l i n e ar   co n t ro l .  H e  p u b l i s h ed   s e v e ra l   p ap e rs   o n   t h e s e   t o p i c s .   Pro f.   Bro u ri   j o i n e d   t h e   r e s e ar c h   t e a m   “ I MSM”   an d   t h e   L 2 MC  L ab o rat o r y   as   a  p e rm a n e n t   mem b e r.   E - m a i l :   a. b ro u r i @ en s am - u m i . a c . m a  &   b ro u ri _ ad i l @   y a h o o . fr     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.