I nte rna t io na J o urna l o f Appl ied P o w er   E ng ineering   ( I J AP E )   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 ,   p p .   1 1 3 ~1 2 6   I SS N:  2 252 - 8 7 9 2 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ap e. v 9 . i2 . p p 1 1 3 - 126     113       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij a p e. ia esco r e. co m   Po w er sy ste m  f a u lt  iden tif ica tion a nd loca li z a tion us ing   m ul tiple   linea r re g ress io o principa co m p o nent  dista nc e in dices       Alo k   M u k herj ee 1 ,   P a la s h K r.   K un du 2 ,   Ara bin da   Da s 3   1 G o v t.   Co ll e g e   o f   En g in e e rin g   a n d   Ce ra m ic  T e c h n o lo g y ,   In d ia   2, 3 De p a rtem e n o f   El e c tri c a En g i n e e rin g ,   Ja d a v p u Un iv e rsit y ,   In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u l 2 5 ,   2 0 1 9   R ev i s ed   Feb   1 9 ,   2 0 2 0   A cc ep ted   Ma r   3 ,   2 0 2 0       T h is  p a p e is   f o c u se d   o n   th e   a p p li c a ti o n   o f   p ri n c ip a l   c o m p o n e n a n a ly sis   (P CA to   c las sify   a n d   lo c a li z e   p o w e s y ste m   fa u lt in   a   th re e   p h a se ,   ra d ial,   lo n g   tran sm issio n   li n e   u sin g   re c e iv in g   e n d   li n e   c u rre n ts  tak e n   a lm o st  a t     th e   m id p o in o f   th e   li n e   len g th .   T h e   P CA   sc o re a re   a n a l y z e d   to   c o m p u te   p rin c i p a c o m p o n e n t   d istan c e   i n d e x   (P CDI)  w h ich   is  f u rth e a n a ly z e d   u sin g     a   ra ti o   b a se d   a n a ly sis  to   d e v e lo p   ra ti o   i n d e x   m a tri x   (R)  a n d   ra ti o   e rro m a tri x   (RE)  a n d   ra ti o   e rro i n d e x   (REI)   w h ich   a re   u se d   to   d e v e lo p   a   f a u lt   c las si f ier,   w h ich   p ro d u c e a   1 0 0 %   c o rre c p re d icti o n .   T h e   late p a rt  o f   th e   p a p e r     d e a ls  w it h   th e   d e v e lo p m e n o a   fa u lt   lo c a li z e u sin g   th e   sa m e   P CDI  c o rre sp o n d in g   to   six   in term e d iate   train i n g   lo c a ti o n s,   w h ich   a re   a n a ly z e d   w it h   to o l   li k e   m u lt ip le  li n e a re g re ss io n   (M L R)  i n   o r d e to   p re d ic th e   f a u lt   lo c a ti o n   w it h   sig n if ica n tl y   h ig h   a c c u ra c y   o f   o n l y   8 7   m   f o a   1 5 0   k m   lo n g   ra d ial  tran sm issio n   li n e .   K ey w o r d s :   Mu ltip le  li n ea r   r eg r atio n   P C A   s co r es   P C DI   R atio   an al y s i s   R atio   er r o r   an al y s i s   R atio   in d ices   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   A r ab in d Da s ,   Dep ar te m en t o f   E lectr ical  E n g in ee r in g ,   J ad av p u r   Un iv er s it y ,   1 8 8 ,   R a j S.  C .   Mu llick   R o ad ,   Ko lk ata  7 0 0 0 3 2 ,   I n d ia .   E m ail:  ad as_ ee _ j u @ y ah o o . co m       1.   I NT RO D UCT I O N   E lectr ical  p o w er   tr an s m i s s io n   s y s te m   i s   o n o f   th m o s s p atiall y   e x te n d ed   tech n ica s y s te m s ,   d ir ec tl y   ex p o s ed   to   t h e n v ir o n m e n a n d   f a ir l y   o f ten   s u b j ec ted   to   at m o s p h er ic  h az ar d s   l ea d in g   to   d i f f er en t   t y p es  o f   f a u lts .   He n ce ,   p o w er   s y s te m   s tab ilit y ,   r eliab i lit y ,   p r o tectio n   as  w ell  as  r eg u lated   p o w er   f lo w   h as  b ee n   p r im to p ics  o f   r esear ch .   I d en tif icat io n   an d   cla s s i f icatio n   an d   lo ca lizatio n   o f   f a u lt s   h a v b ee n   u n d er   in   d ep th   r esear ch   s i n ce   lo n g .   P r ed ictio n   o f   f a u lt   lo ca tio n ,   e s p ec iall y   in   lo n g   tr an s m i s s io n   s y s te m s   w it h   h i g h   a n d   v er y   h ig h   v o ltag a n d   lar g p o w er   s y s te m s   i s   o n o f   t h m o s ch alle n g i n g   w o r k s   i n   t h r esear ch   ar ea   f o r     th d ev elo p m e n o f   r o b u s p o w er   s y s te m   p r o tectio n   alg o r ith m .   He n ce ,   p r o m p d etec tio n   o f   f a u lts     an d   class i f icatio n   alo n g   w ith   p r ec is f au lt  lo ca tio n   d eter m i n atio n   h a s   b ee n   p r ac ticed   b y   s cien t is t s   in   o r d er   to   en s u r s y s te m   s af et y   a n d   s tab ilit y .   Su p er v i s ed   lear n i n g   al g o r ith m s   li k t h ar tific ial  n eu r al  n et w o r k   ( A NN)   alo n g   w it h   p r o b ab ilis tic  n e u r al  n et w o r k   ( P NN)   h a v g r ea i m p ac i n   t h ar ea   o f   id en tific atio n     an d   lo ca lizatio n   o f   t h f au l t [ 1 - 4 ] .   ANN  s o m eti m es  is   co m b i n ed   w it h   o th er   to p o lo g ies   lik e   f u zz y   lo g ic  i n   f au lt   tr ea t m e n [ 5 ] .   W av elet  tr an s f o r m atio n   a n d   w a v elet  en tr o p y   h as  b ee n   ex ten s iv e l y   i m p le m e n ted   s u cc e s s f u ll y   i n   f au lt a n a l y s is   [ 6 - 7 ] .   W av elet  tr an s f o r m atio n   h a s   o f ten   b ee n   c o m b i n ed   w it h   o th er   m et h o d s   l ik A d ap tiv n e u r o   f u zz y   i n f er e n ce   s y s te m   [ 8 ] ,   g e n etic  al g o r ith m   ( G A )   [ 9 ] ,   p r in cip al  co m p o n e n t a n al y s is   ( P C A )   [ 1 0 ]   etc.   Oth er   a n al y tical  tec h n iq u e s   i n clu d s u p p o r v ec to r   m ac h i n e s   w h ich   h a v s ig n i f ica n co n tr ib u tio n   to   th d esi g n   o f   p o w er   s y s te m   p r o tect io n   alg o r ith m   [ 1 1 - 1 2 ] .   D y n a m ic  p h a s o r s   is   an o t h er   ap p r o ac h   u s ed   f o r     t h an a ly s is   o f   f au lt s   in   p o w e r   s y s t em   [ 1 3 ] .   Pr in c i p al   c o m p o n e n t   an aly s is   ( P C A ) ,   o n   t h o th e r   h an d ,   is   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
      I SS N :2 2 5 2 - 8792   I n t J A p p l P o w er   E n g ,   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 :   1 1 3     1 2 6   114   u s ef u l s tat is tical   an d   a n al y tical   tech n iq u f o r   m u l tiv ar iate   s t atis tical  a n al y s i s .   I r ed u ce s   m u lti  d i m e n s io n al   d ata  s et  to   s et  o f   d ir ec tio n s ,   ca lled   p r in cip al  co m p o n e n ts   ( P C ) ,   in   t h d ec r ea s in g   o r d er   o f   i m p o r tan ce ,   r etain i n g   v a r i a b i l ity   o f   th e   d at a n d   t h e i r   m u tu al   v a r i a ti o n s ,   h ig h l ig h ti n g   b r o a d ly   th e   s im il a r i ti e s   an d   d i f f e r e n c es  [ 1 4 - 1 7 ] .   Hen ce ,   P C A   h a s   b ee n   u s ed   ex te n s i v el y   in   p o w e r   s y s te m   a n al y s i s ,   esp ec iall y   in   f a u lt  d etec tio n ,   class i f icatio n   an d   d is tan ce   p r ed ictio n   w h er m u l tip le  d im en s io n a d ata  ar o b ta in ed   r eg ar d in g   v o lta g e,   cu r r en t,  p o w er ,   f r eq u e n c y   e t an d /o r   co m b in atio n   o f   t h ese  p ar a m e ter s   [ 1 8 - 2 2 ] .   Hen ce ,   f a u lt  a n al y s i s   b ec o m e s   an   i m p o r tan is s u in   p o w er   s y s te m   r esear ch .   C lass if icatio n   an d   d etec tio n   o f   f a u lt   is   th u s   ab s o lu tel y   ess e n tial  to   s av v i tal   ti m a n d   ef f o r o f   t h w o r k in g   p er s o n n el.   C lo s ap p r o x i m atio n   o f   t h f au l lo ca tio n   m ak e s   it  ea s ier   to   d etec an d   r e m o v o f   t h f a u lt.  He n ce ,   f au lts   ar r eq u ir ed   to   b d etec t ed   f ast,  an d   lo ca ted   ac cu r atel y   to   r esto r n o r m al  p o w er   f lo w   at  t h ea r lies t.   T h p r o p o s ed   w o r k   i s   in te n d ed   to   d ev elo p   a   s i m p le  P C A   b ased   p o w er   s y s te m   p r o tectio n   alg o r ith m   s u itab le  f o r   th class if ica tio n   an d   lo ca lizatio n   o f   d if f er en t y p es  o f   p o w er   s y s te m   f au l ts   in   th r ee   p h ase  r ad ial   lo n g   tr a n s m i s s io n   s y s te m ,   u s in g   p atter n   i n d ices   a n d   f a u lt   s ig n at u r es  d ev elo p ed   b y   ap p licatio n   o f   P C A ,   lead in g   to   th e   d ev elo p m e n o f   p r in cip al  co m p o n en t   d is ta n ce   i n d ex   ( P C DI )   [ 2 2 ] .   Si m ilar it y   a n al y s i s   o f     th P C DI   b ased   f a u lt  s i g n atu r es  id en ti f ies  t h m ax i m u m   p r o x i m it y   o f   t h test   d ata  w i th   an y   o f   t h f au l t   p r o to ty p es  u s i n g   m i n i m u m   s q u ar er r o r   ( MSE )   c r iter ia,   th u s   class i f y in g   t h u n k n o w n   f a u lt .   Fau lt  lo ca lizatio n   h as  b ee n   ca r r ied   o u u s in g   s tat is tical  an al y s is   lik m u ltip le  li n ea r   r eg r ess io n   ( M L R )   [ 2 3 ]   o v er   th th r ee   p h ase   P C DI .   T h is   h elp s   i n   d ev elo p i n g   g e n er al  r eg r es s io n   m o d el  w h ic h   is   f u r th er   u s ed   to   tes t   u n k n o w n   d ata  f o r   f au lt  lo ca lizatio n .   tr an s m is s io n   lin e   p r o to ty p h as  b ee n   m o d eled   in   E MT P - A T P   s i m u lat io n   [ 2 4 ] ,   f o llo w ed   b y   a n al y s i s   o f   q u ar ter   c y cl p r e - f au l an d   h al f   c y cle  p o s t - f a u lt  r ec ei v in g   e n d   cu r r en w a v e f o r m s   in     th M A T L A B   en v ir o n m e n t,  u s i n g   ten   d if f er en f au lt  p r o to t y p es  co n d u cted   at  v ar y i n g   f a u lt  lo ca tio n s   alo n g     th li n s p an   a n d   h ea lt h y   co n d itio n ,   u s in g   P C A   b ased   p r o p o s ed   p r o tectio n   s ch e m e       2.   SYST E M   DE SI G N   A   s i n g l e   e n d   f e d   4 0 0   k V ,   1 5 0   k m   l o n g ,   s i n g l e   c i r c u i t ,   t h r e e   p h a s e ,   r a d i a l ,   o v e r h e a d   t r a n s p o s e d   A C   t r a n s m i s s i o n   l i n e   h a s   b e e n   d e s i g n e d   i n   e l e c t r o m a g n e t i c   t r a n s i e n t   p r o g r a m m i n g   ( E M T P )   j o i n i n g   f i f t e e n   t h r e e   p h a s e   l i n e   c a b l e   c o n s t a n t s   ( L C C )   b l o c k s ,   e a c h   o f   1 0   k m   i n   c a s c a d e   a n d   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   1 .   T e n   d i f f e r e n t   t y p e s   o f   f a u l t s   v i z . ,   S L G - A ,   S L G - B ,   S L G - C ,   D L - A B ,   D L - B C ,   D L - C A ,   D L G - A B ,   D L G - B C ,   D L G - CA ,   a n d   L L L   h a v e   b e e n   c o n d u c t e d   a t   f i f t e e n   d i f f e r e n t   l o c a t i o n s ,   1 0   k m   a p a r t ,   t h r o u g h o u t   t h e   e n t i r e   l e n g t h   o f   1 5 0   k m .   T h e   r e s i s t a n c e     a n d   i n d u c t a n c e   o f   t h e   b u n d l e d   l i n e   a r e   t a k e n   a s   0 . 0 5 8 5   Ω / k m   ( D C   r e s i s t a n c e )   a n d   0 . 2   m H / k m .   T h e   i n t e r - s p a c i n g     o f   t h e   t h r e e   l i n e s   i s   k e p t   a t   o f   1 7 . 5   c m   b e t w e e n   t w o   a d j a c e n t   h o r i z o n t a l   l i n e s .           Fig u r 1 .   Si m u latio n   m o d el  o f   th r ad ial,   s in g le  en d   f ed ,   lo n g   tr an s m i s s io n   li n e       3.   DATA P R E P ARA T I O N   T h p r o p o s ed   alg o r ith m   is   tr ain ed   w it h   o n l y   o n s et  o f   tr ain i n g   f au l d ata  o f   ten   d if f e r en t y p es     o f   f au l ts   co n d u cted   at  al m o s th m id p o in o f   th li n e,   i.e . ,   at  7 0   k m   f r o m   s e n d in g   en d   o f   th 1 5 0   k m   lo n g   tr an s m is s io n   li n an d   h ea l th y   co n d itio n   d ata.   Qu ar ter   cy cle  p r e - f a u lt  an d   h alf   c y c le  p o s t - f au lt  r ec eiv i n g   en d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J A p p l P o w er   E n g   I SS N:  2252 - 8792       P o w er sys te fa u lt id en tifi ca tio n   a n d   lo ca liz a tio n   u s in g   mu lt ip le  lin ea r   r eg r ess io n   o f… ( A lo Mu kh erjee )   115   lin f au lt  c u r r en i s   co llected   at  s a m p li n g   f r eq u e n c y   o f   1 0   k Hz,   i.e . ,   2 0 0 0   s am p les/ c y c le,   th u s   th s a m p le   v ec to r   b ec o m e s   an   ar r a y   co n tain i n g   1 5 0 0   d ata  p o in ts   f o r   ea ch   t y p an d   f o r   ea ch   p h as e.   Hen ce ,   th t h r ee   p h ases   tr ain in g   d ata  m atr ix   c o r r esp o n d in g   to   ea ch   f au lt  t y p an d   ca r r ied   o u at  7 0   k m ,   tak es  t h d i m en s io n     o f   1 5 0 0 ×3 ,   i.e . ,   w it h   1 5 0 0   r o w s   an d   3   co lu m n s ,   f o r   o n t y p o f   tr ain i n g   f a u lt a n d   illu s tr ated   as:     X i   [ I a i   Ib Ic i   1 I a i   Ib i   Ic i   2 ; …; I a i   1500 i   1500  Ic i 1500 1500× 3     w h er I a,   I b   an d   I a r r ec eiv in g   en d   lin cu r r en ts   u n d er   f au lt  co n d itio n   f o r   th r ee   d if f e r en p h ase  an d   i   is     th in d ex   d ef in i n g   f a u lt  p r o to t y p e,   w h ich   co u n t s   u p   to   t w el v e.   i = 1   r ep r esen ts   h ea l th y   o r   n o   f au l co n d itio n ,     i =2   to   1 1   r e p r esen ten   d if f er en f au l p r o to ty p es  an d ,   i =1 2   s tan d s   f o r   th test   d ata   o r   u n k n o w n   t y p e.     Hen ce ,   th to tal  d ata  m atr ix   ta k es t h d i m e n s io n   [ 1 5 0 0 ×( 3 × 1 2 ) ]   i.e .   1 5 0 0 ×3 6 .   Hen ce ,       [ X    X    X …  X 12 1500× 36     Fu r t h er   m o d i f icatio n   h a s   b ee n   ca r r ied   o u b y   g r o u p in g   t h in d iv id u al  p h a s es  to   co n s tr u ct  t h r ee   in d i v id u a l   p h ase  id en ti f ied   m atr ices [ Xa] ,   [ Xb ] ,   an d   [ Xc]   g iv e n   b y :     Xai  [     Ia 1   Ia …      Ia 12  1   Ia   Ia …      Ia 12  2 ;     …          …      ;   Ia 15 00   Ia 1500   …  I a 12  1500 1500× 12     Xb an d   Xci  ar al s o   co n s tr u cted   in   s i m ilar   w a y ,   ea ch   o f   w h ic h   i s   1 5 0 0 ×1 2   m atr i x   Hen ce   t h m o d i f ied   d ata  m a tr ix   ta k es t h f o r m   as:     Xi  [ Xai   Xb i   Xci]   1500× 36       [ Xa] ,   [ Xb ]   an d   [ Xc]   f o r   ea ch   p r o ty p i ,   ar p r o ce s s ed   b y   t h P C A   al g o r it h m   s ep ar atel y   t o   o b tain   th P C s co r es o f   ea ch   o f   p h a s i n d iv i d u all y ,   h e n ce   p r o d u cin g   P r in cip al  C o m p o n e n t D i s ta n ce   I n d ices ( P C DI )   m atr i x   o f   th e   o r d er   1 ×3 .   T w el v s u c h   p r o to t y p es  ar an a l y ze d   i n   s eq u en ce   to   f o r m   t h co m p le te  P C DI   m atr i x   o   th d i m e n s io n   1 2 ×3 ,   d en o ted   b y   P ,   ea ch   r o w   o f   w h ich   co r r esp o n d   to   th t w el v f a u lt  ca s e s   an d   test   co n d it io n   an d   ea ch   co lu m n   r ep r ese n ts   t h r ee   in d i v id u al  p h a s es.  As  m en tio n ed   b ef o r e,   P C A   r ec o n s t r u cts  d ata  s et  i n     th asce n d i n g   o r d er   o f   i m p o r tan ce   a n d   f o r   t h s a k o f   ea s e   o f   a n al y s is ,   o n l y   t w o   m o s i m p o r ta n d ir ec tio n s   ( P C s )   an d   th co r r esp o n d in g   s co r d ata  a r co n s id er ed   f o r   th p r esen p u r p o s e,   h en ce   u s ed   to   co n s tr u ct  P C DI   m atr i x .   T h ese  P C DI   v alu es  ar ap p r o x i m ate  esti m atio n   o f   th d ev iatio n   o f   ea ch   f au l cu r r en f r o m   h ea lt h y   co n d itio n .   T h d ir ec tio n s   o f   v ar iatio n   is   g iv e n   b y   th eig e n v ec to r s   o b tain ed   f r o m   th c o v ar ian ce   m atr i x   o f     th tr an s f o r m ed   d ata  p o in ts   o r   s co r es  an d   th m a g n itu d e s   o f   d ev iatio n   f r o m   t h o r ig i n   ( o r ig i n   is   as s ig n ed   to   th n o   f au l t c o n d itio n )   ar g i v en   b y   th co r r esp o n d in g   ei g en v alu e s .       4.   P CA  AL G O RI T H M   4 . 1 .   G ener a lized  P C a lg o rit h m   I n p u t: N  x   d   d ata  m a tr ix   ( ea ch   r o w   co n ta in   d   d i m e n s io n a l d ata  p o in t )     C o m p u m ea n   N i i x N 1 ) ( 1     Su b tr ac m ea n   f r o m   r o w s   o f   X X X ~     C o m p u te  co v ar ian ce   m atr i x X X N T ~ ~ 1     C alcu late  eig e n v alu e s   an d   ei g en v ec to r s   o f       P ick   f e w   ei g en v ec to r s   ( d <d )   co r r esp o n d in g   to   th lar g est  eig en v al u es  an d   p u th e m   i n   th co lu m n   o f   A   i n   d escen d i n g   o r d er   o f   e i g en v al u e s   i.e .   ] , . . . . . , [ ' ' 2 1 d V V V A ,   w h er V ,   V 2   ar th 1 st   , 2 nd   P C s   an d   s o   o n .     C o m p u te  th n e w   d ata  m atr i x   ( P C   s co r es)  in   r ed u ce d   d im e n s io n X A X T ~       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
      I SS N :2 2 5 2 - 8792   I n t J A p p l P o w er   E n g ,   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 :   1 1 3     1 2 6   116   4. 2   P CA  a lg o rit h m   a pp lie d f o t he  pro po s ed  w o rk   Step   1 A s s i g n   i n p u d ata:  th e   in p u d ata  is   ta k e n   as  t h p h a s id en ti f ied   m a tr ices [ Xa] ,   [ Xb ] ,   an d   [ Xc]   eac p h ase  d ata  in   co m p u ted   in d i v i d u all y ,   s a y ,   d en o ted   b y   j k   w h e r k   tak es t h i n d ices a , b ,   an d   c.   Step   2 C o m p u m ea n   o f   X f o r   ea ch   o f   th co lu m n s   in d i v i d u all y   a s :   ( µ k) n ] ) ( 1 [ 1 ) ( N i i n j N w h er in d e x es   r o w s   a n d   tak es t h v a lu e s   1   to   1 5 0 0   an d   n   in d ex es c o lu m n s   a n d   tak es t h v alu e s   1   to   1 2 .   Step   3 Su b tr ac m ea n   o f   e ac h   co r r esp o n d in g   co l u m n   f r o m   ea c h   o f   th r o w s   o f   J k   f o r   ea ch   co lu m n   in d ep en d en t l y   to   f o r m   th m o d if ied   j o in m atr i x   as:  J k   MOD  n = J n - ( µ k ) n .   Hen ce   th d im e n s io n   r etain s   th s a m as 1 5 0 0 ×1 2 .   Step   4 C o m p u te  co v ar ia n ce   m atr i x N 1   ( J k   MOD  n ) T ( J k   MOD  n )   Step   5 C alcu late  ei g e n v al u e s   an d   eig e n v ec to r s   o f     Step   6 P ick   f e w   ei g e n v ec to r s   ( d   <d )   co r r esp o n d in g   to   th e   lar g est  ei g en v al u es  a n d   p u th e m   i n   t h co lu m n     o f   A   in   d escen d i n g   o r d er   o f   eig en v al u es  i.e . ] , . . . . . , [ ' ' 2 1 d V V V A ,   w h er V 1 V 2   ar e   th 1 st ,   2 nd   P C s   an d   s o   o n .   Fo r   th p r o p o s ed   w o r k ,   w h a v ta k en   o n l y   t h t w o   lar g e s t e ig e n v ec to r ,   h en ce ,   V an d V 2 .   Step   7 C o m p u te  t h n e w   d at m atr ix   ( P C   s co r es)  in   r ed u ce d   d im e n s io n J k   MOD  n   (new) = A T J k   MOD  n .   Hen ce ,     th d i m e n s io n   o f   t h s co r m atr ix   J k   MOD  n   (new s h o u ld   b ec o m th s a m a s   1 2 ×1 5 0 0 .   T h p r o p o s ed   w o r k   u s es o n l y   t h t w o   m o s s ig n if ican t   d ir ec tio n s .   Hen ce ,   t h w o r k i n g   J k   MOD  n   (new)   d i m e n s io n   r ed u ce s   to   1 2 × 2   w h ic h   ac ts   a s   th P C   s co r m atr i x   f o r   th p r o p o s ed   w o r k .   Step   8 Fo r m i n g   P C DI   m at r ix P C A   di s tan ce   i s   f o r m e d   b y   f i n d i n g   o u th v ec to r   d is tan ce   o f   ea ch     o f   th tr ain i n g   an d   th test   s c o r ( 2 D)   f r o m   th n o - f a u lt  s c o r ( 2 D)   w h ich   is   th o r ig i n ,   th u s   f o r m i n g   P C DI   m atr i x   f o r   ea ch   p h ase  a n d   p r o d u cin g   1 2 ×1   P C DI   v ec t o r   f o r   ea ch   p h a s a n d   t h to tal   P C DI   1 2 ×3   m atr i x   co n s id er in g   a ll  t h t h r ee   p h ases ,   s a y ,   d en o ted   b y   S 1 3 .   T h to p   elev en   r o w s   o f   S   co r r esp o n d     to   th ele v e n   d i f f er e n tr ai n i n g   co n d itio n s   a n d   ea ch   co lu m n   r ep r esen t s   t h t h r ee   i n d i v id u al   p h ase s     an d   th t w el f t h   r o w   i n d icate s   t h at  o f   t h test   co n d it io n ,   g i v e n   b y ,     S =[ P C DI - A i   P C DI - B i     P C DI - C i ] 12 × 3     w h er i =1   to   1 2   in   th s eq u en ce   as  NO - FL T   ( h ea lth y ) ,   SLG - A ,   S L G - B ,   SL G - C ,   D L - AB ,   DL - B C ,   DL - C A ,   DL G - A B ,   D L G - B C ,   D L G - C A ,   L L L ,   an d   T E ST .   T h p r o p o s ed   alg o r ith m   d is c u s s ed   s o   f ar   an d   th f o r m atio n   o f   P C DI   f o llo w s   t h f lo w c h ar t   as g i v en   i n   F i g u r 2 .         Fig u r 2 .   Flo w c h ar t ill u s tr ati n g   th f o r m atio n   o f   P C DI   m a tr ix   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J A p p l P o w er   E n g   I SS N:  2252 - 8792       P o w er sys te fa u lt id en tifi ca tio n   a n d   lo ca liz a tio n   u s in g   mu lt ip le  lin ea r   r eg r ess io n   o f… ( A lo Mu kh erjee )   117   Fu r t h er ,   th to tal  P C DI   m atr i x   is   s eg m e n ted   in to   t w o   m a tr ices,  v iz.   tr ain i n g   P C DI   m atr i x   ( d en o ted   b y   P )   an d   test   P C DI   m atr i x   o r   v ec to r   ( d en o ted   b y   Q) ,   h e n c r ed u cin g   t h 1 2 ×3   m atr i x   i n to   t w o   m atr ices   as  g iv e n   h er e:     P i =[ P C DI - A i   P C DI - B i     P C DI - C i ] 11 × 3     Q i =[ P C DI - A TE S   P C DI - B TE S   P C DI - C TE ST ] 3     S = [ P   ; Q   ] 12× 3     Fu r t h er ,   s i m i lar it y   a n al y s i s   h as  b ee n   ca r r ied   o u in   o r d er   to   c o m p ar th e x p er im en tal  d ata     ( v ec to r )   w it h   t h tr ai n in g   f a u lt  s ig n at u r es  ( P   m atr i x )   f o r   ea ch   in d i v id u a p h ase s   an d   f i n d   o u th m ax i m u m   s i m ilar it y   w i th   a n y   o f   t h elev en   d i f f er e n p atter n s ,   t h u s   class i f y in g   th f au lt.  I is   o b s er v ed   th at  P C DI s   v a r y   f o llo w in g   ce r tain   p atter n   w h e n   co m p u ted   f o r   f au lt s   co n d u cted   at  in cr ea s in g   g eo m etr ic  d is tan ce   f r o m     th s e n d in g   en d ,   b u t h p atter n   f o r   th t h r ee   in d iv id u al  p h ases   o f   P C DI   r e m ai n   id en tica l.  E . g . ,   f o r   DL - AB   f au lt,  th m a g n itu d e s   o f   P C DI   o f   p h ase  A   an d   B   ar v er y   h ig h ,   in   co m p ar is o n   to   p h as C   w h ic h   r e m ai n s   al m o s ze r o   f o r   b ein g   th u n d is tu r b ed   p h ase.   T h is   p atter n   r e m ai n s   al m o s th s a m ev e n   w it h   ch a n g in g   f a u lt   lo ca tio n .   B esid es,  th is   r ate  o f   ch a n g i n   m ag n it u d o f   P C DI   o f   ea c h   p h a s is   v er y   m u c h   id e n tical  w i t h   in cr ea s i n g   o r   d ec r ea s in g   f au lt   lo ca tio n s .   I n   o r d er   to   estab lis h   t h ab o v i n f er en ce   m at h e m atica ll y ,   t h P C DI   o f   ea ch   p h ase  i s   d iv id ed   w ith   th P C DI   o f   th o th er   p h a s w h ic h   s h o u ld   r e m ai n   al m o s t h s a m r eg ar d les s     o f   th g eo m etr ic  d i s tan ce   o f   t h f a u lt  a s   all  t h 3   p h ase  P C DI   v ar y   al m o s i n   t h s a m r at io   o n   ch an g i n g   f a u lt   d is tan ce s .   T h 3 R at io   Ma tr ix   ( R )   is   h e n ce   f o r m ed   u s in g   th 3 P C DI   v ec to r   t h u s   f o r m ed   f o r   ea ch   t y p e     o f   tr ain i n g   f a u lt   a n d   th test   d a ta,   th ele m e n t s   o f   w h ich   ar f o r m ed   as  f o llo w s   [ 2 2 ]     [ R ] = [ ( P C DI - A i / P C DI - B i )         ( PC DI - B i / P C DI - C i )         ( P C DI - C i / P C DI - A i ) ] 12× 3        = [ R atio   1 i R atio   2 i R atio   3 i ] 11× 3     w h er e   i   r ep r esen th s a m in d ex in g   p atter n .   I is   to   b n o t ed   h er th at  f o r   n o - f a u lt  co n d itio n ,   P C DI   o f   all   th p h a s es   ar ze r o   an d   a s s i g n ed   as  o r ig i n .   He n ce   n o - f a u lt  c o n d itio n   i s   id e n ti f ied   b y   co m p ar is o n   o f   t h P C DI   d ir ec tl y   w it h   v er y   lo w   co n s t an v alu a s   m en tio n ed   later   a n d   th r e s ar u s ed   f o r   t h r at io   an al y s is   p u r p o s e.   [ R ]   is   f u r th er   s e g m e n ted   in to   t r ain in g   a n d   test   m a tr ices,  as  g i v en   b y :     [ R atio TR AI N I NG ] 10 × 3 = [ R ( i   =   to  11)× an d   [ R atio TE S T ] 3 = [ R ] ( i   = 12)×     T h [ R atio   TE S T ] v ec to r   w i ll  b s i m ilar   t o   a n y   o f   th e   te n   f au lt  p r o to t y p es  d e f i n es  b y   t h ten   r o w s     o f   [ R atio   TR AI N I NG ] . I n   o r d er   to   m o d el  th is   i n f er en ce   m at h e m atica ll y ,   3 r atio   er r o r   m atr ix   ( R E )   is   f o r m ed   u s i n g   th [ R a tio TR AI N I NG ] a n d   [ R atio TE S T ]   as:     [ R E ] =[ ( R a t i o   T R A I N I N G   1   ~ R a t i o   T E S T   1 )   ( R a t i o   T R A I N I N G   2   ~ R a t i o   T E S T   2 )   ( R a t i o   T R A I N I N G   3   ~ R a t i o   T E S T   3 )] 1 1 × 3     Fin all y ,   co lu m n   v ec to r   o f   r atio   er r o r   in d ex   ( R E I )   is   f o u n d   co m p ar in g   t h r atio   er r o r   v alu es  o f   ea ch   t y p e,     th ele m en t s   o f   w h ic h   is   g iv e n   as:     R atio   er r o r   in d ex   ( R E I ) i = R atio   E r r o r   1 i +Ratio   E r r o r   2 i +Ratio   E r r o r   3 i ;     Q u i t e   u n d e r s t a n d a b l y ,   t h e   [ R E I ] i   w i l l   b e   m i n i m u m   w h e n   t h e   t e s t   a n d   t h e   c o r r e s p o n d i n g   t r a i n i n g   p a t t e r n   m a t c h   i d e n t i c a l l y   a n d   t h i s   m a t r i x   i s   u s e d   t o   c l a s s i f y   t h e   f a u l t   b y   i d e n t i f y i n g   t h e   i n d e x   i   w i th     t h e   m i n i m u m   p o s s i b l e   R E I   v a l u e . A p a r t   f r o m   t h e s e ,   t w o   o t h e r   t h r e s h o l d   v a l u e s   Ɛ 1   a n d   Ɛ 2   a r e   s e l e c t e d ,   o n e   b e i n g     t h e   u p p e r   t h r e s h o l d   a n d   t h e   o t h e r   b e i n g   t h e   l o w e r   o n e ,   b a s e d   o n   t h e   t e s t   d a t a   s e t   f o u n d .   T h e   n o   f a u l t   c o n d i t i o n   is   d e t e c t e d   b y   d i r e c t   c o m p a r i s o n   PC D I   s u m m a t i o n   o f   t h e   t e s t   d a t a   w i t h   t h e   l o w e r   t h r e s h o l d   a s   f o l l o w s :     P C DI TES T   s u m = P C DI - A   TE S T + P C DI - B   TES T +P C DI - C   TE S T ;     I f   P C DI TE S T   s u m   is   le s s   th a n   th lo w er   t h r es h o ld   Ɛ 1 ,   it  is   i d en tifie d   as  n o   f a u lt   d u to   t h ab s e n ce     o f   an y   m aj o r   d is tu r b an ce   in   a n y   p h ase,   t h u s   d etec ti n g   no - f a u lt.  O n   th o t h er   w a y ,   f a u lt  is   d etec ted   f o r   th e   s a m P C DI TE S T   s u m   b ein g   h i g h er   t h an   Ɛ 1 .   DL   f a u lts   ar s i m ilar l y   f o u n d   b y   co m p ar in g   t h r atio   er r o r   in d ex   w it h   t h at  o f   t h u p p er   th r es h o l d   Ɛ 2   f o llo w ed   b y   d ir ec a n al y s is   o f   [ P C DI ]   an d   [ R ] .   T h en t i r a n al y s is   is   w ell   u n d er s to o d   f r o m   t h ca s s t u d y   d is c u s s ed   in   t h n e x s e ctio n .   I is   f u r t h er   o b s er v ed   th at  f o r   DL   f au l ts ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
      I SS N :2 2 5 2 - 8792   I n t J A p p l P o w er   E n g ,   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 :   1 1 3     1 2 6   118   th d ir ec tl y   u n a f f ec ted   p h ase  r e m ain s   al m o s u n d is t u r b ed ,   w h er ea s   i n   ca s o f   D L f a u lt s ,   s o m d is t u r b an ce   o cc u r   ev en   in   th d ir ec tl y   u n a f f ec ted   lin d u to   th in v o l v e m en o f   g r o u n d   an d   f lo w   o f   ze r o   s eq u en ce   cu r r en th r o u g h   th g r o u n d   an d   th g r o u n d ed   n eu tr al   o f   t h tr a n s m i s s io n   s y s te m ,   th u s   m a k i n g   d i f f er e n tiatio n   b et w ee n   t h t w o   t y p es   v er y   cl ea r .   T h is   in f er en ce   is   a ls o   o b s er v ed   f r o m   t h e   P C DI   m atr ix   d is cu s s ed   i n   t h ca s e   s tu d y   m o d el.   Fi g u r 3   elab o r ates th p r o p o s ed   alg o r ith m   i n   d etail.           Fig u r 3 .   Flo w c h ar t o f   t h p r o p o s ed   P C A   b ased   f au l t c lass if i er   alg o r ith m       5.   RE SU L T S AN AN AL Y SI S   A   s a m p le  d ata  s et  f o r   an y   ar b itra r y   f au lt  is   ta k en   h er f o r   th p u r p o s o f   ca s s t u d y   a n d   th s a m e     is   p r o ce s s ed   th r o u g h   th p r o p o s ed   P C A   alg o r it h m   to   p r o d u ce   P C DI   m atr ix   as  s h o w n   i n   th in itia co lu m n s     o f   T ab le1   w h ich   i s   co m b i n ed   v ie w   o f   t h [ P C DI ] ,   [ R ] ,   an d   [ R E ] .   T h [ P C DI ]   is   f u r t h er   r ep r esen ted   g r ap h icall y   in   th f o r m   o f   th r ee   d i m en s io n al  p lo in   F ig u r 4 . C lo s o b s er v atio n   o f   F ig u r 4   r ev ea ls   th a t     th P C I   v ec to r   o f   th u n k n o wn   t y p i.e .   leg en d   9   is   clo s est  to   th SL G - B f a u lt  i.e . ,   leg en d   3   co m p ar ed   t o   an y   o t h er   t y p w it h   m in i m u m   E u clid ian   d i s tan ce ,   w h ic h   i s   f u r t h er   ascer tai n ed   b y   f o r m i n g   [ R ]   as  s h o w n   i n     th m id d le  co lu m n s   o f   th s a m T ab le   1 .   [ R ]   is   ag ain   r ep r esen ted   g r ap h icall y   in   F i g u r 5 . C lo s o b s er v atio n   o f   [ P C DI ]   an d   [ R ]   r ev ea c er tain   d is ti n g u is h i n g   f ea t u r f o r   ea ch   p ar ticu lar   ty p o f   f a u l t,  i.e . ,   th test   f au lt   P C DI   v alu e s   clo s el y   r ese m b le  th at  o f   S L G - B   an d   th is   s i m ilar it y   i s   f u r t h er   b o o s ted   f r o m   R atio   v al u e s     o f   th e   s a m e,   m ar k ed   i n   b o ld   le tter s .   T h s a m is   o b s er v ed   f r o m   F i g u r 5   as  w el w h er th e   E u clid ia n   d is ta n ce   b et w ee n   leg e n d   3   an d   9   is   m u ch   less   a s   co m p ar ed   to   th s am in   F ig u r 4 ,   th u s   ascer tai n i n g   t h test   p atter n   to   b SL G - B   w i th   M SE  cr iter ia.   T h u s ,   f o r m at io n   o f   R   g r ea tl y   e m p h a s izes  o n   t h s i m ilar i t y   b e t w ee n   t h te s d ata  an d   an y   o n o f   t h elev e n   s et s   o f   f a u lt p r o to t y p es a n d   th is   is   also   test ed   w ith   v ar y in g   f a u lt l o ca tio n .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J A p p l P o w er   E n g   I SS N:  2252 - 8792       P o w er sys te fa u lt id en tifi ca tio n   a n d   lo ca liz a tio n   u s in g   mu lt ip le  lin ea r   r eg r ess io n   o f… ( A lo Mu kh erjee )   119   T ab le  1 .   P C DI ,   r atio   m atr i x   an d   r atio   er r o r   m atr ix   f o r m ed   f r o m   th d ata s et   F a u l t   t y p e   [ P C D I ]   [ R ]   [ R E]   R a t i o   e r r o r   i n d e x   ( R E I )   P C D I A   P C D I - B   P C D I - C   R a t i o   1   R a t i o   2   R a t i o   3   R a t i o   e r r o r   1   R a t i o   e r r o r   2   R a t i o   e r r o r   3   H EA L TH Y   0   0   0   N a N   N a N   N a N   NA   NA   NA   NA   S L G - A   1 6 . 1 0   3 . 5 1   3 . 5 0   4 . 5 9   1 . 0 0   0 . 2 2   4 . 3 2 5   2 . 7 8 1   0 . 7 8 2   7 . 8 8 8   S L G - B   3 . 8 7   1 4 . 8 7   3 . 8 7   0 . 2 6   3 . 8 4   1 . 0 0   0 . 0 0 4   0 . 0 5 8   0 . 0 0 1   0 . 0 6 3   S L G - C   4 . 3 1   4 . 3 1   1 4 . 6 6   1 . 0 0   0 . 2 9   3 . 4 0   0 . 7 3 7   3 . 4 8 9   2 . 3 9 9   6 . 6 2 5   DL - AB   1 3 . 9 9   1 3 . 1 0   3 . 6 E - 15   0 . 9 9   3 . 9 E+ 1 5   2 . 6 E - 16   0 . 7 3 5   3 . 8 7 7 e + 1 5   0 . 9 9 9   3 . 8 7 7 E + 1 5   DL - BC   3 . 6 E - 15   1 1 . 4 4   1 1 . 4 3   3 . 1 E - 16   1 . 0 0   3 . 2 E+ 1 5   0 . 2 6 5   2 . 7 8 2   3 . 1 6 5 e + 1 5   3 . 1 6 5 E + 1 5   DL - CA   1 3 . 9 5   2E - 15   1 3 . 9 5   6 . 9 E+ 1 5   1 . 5 E - 16   1 . 0 0   6 . 8 3 9 e + 1 5   3 . 7 8 3   0 . 0 0 1   6 . 8 4 E+ 1 5   D L G - AB   1 5 . 2 7   1 6 . 5 8   3 . 5 5   0 . 9 2   4 . 6 7   0 . 2 3   0 . 6 5 7   0 . 8 8 2   0 . 7 6 7   2 . 3 0 6   D L G - BC   2 . 8 6   1 2 . 4 6   1 5 . 1 4   0 . 2 3   0 . 8 2   5 . 2 9   0 . 0 3 5   2 . 9 6 0   4 . 2 8 8   7 . 2 8 3   D L G - CA   1 7 . 9 7   3 . 1 8   1 3 . 5 5   5 . 6 6   0 . 2 3   0 . 7 5   5 . 0 8 9   3 . 5 4 8   0 . 2 0 2   8 . 8 3 9   L LL   1 7 . 0 0   1 4 . 2 8   1 4 . 2 2   1 . 1 9   1 . 0 0   0 . 8 4   0 . 9 2 6   2 . 7 7 8   0 . 1 6 3   3 . 8 6 7   T EST   D A TA   3 . 5 1   1 3 . 2 8   3 . 5 1   0 . 2 6   3 . 7 8   1 . 0 0   NA   NA   NA   NA           Fig u r 4 .   3 p lo t o f   th r ee   p h ase  P C DI   v alu e s   f o r   tr ain in g   ( te n   d if f er en t t y p es o f   f a u lts   a n d   h ea lt h y   co n d it io n )   an d   test   d ata           Fig u r 5 .   3 p lo t o f   th th r ee   p h ase  R atio   I n d ice s   f o r   s e v en   d if f er e n t t y p e s   o f   f a u lt s   ( D L   f au lt e x c lu d ed )     an d   test   d ata       I is   f u r th er   o b s er v ed   th at  s i n ce   th u n af f ec ted   p h ase  is   least  d is tu r b ed   in   ca s o f   DL   f a u lt,   ac co r d in g l y   i n d icate d   in   th c o r r es p o n d in g   P C DI   v al u es,  h en ce ,   th R atio   in d e x   o f   a n y   o n o f   th r atio s   i s   ab r u p tl y   h i g h   f o r   th D L   f au lt s .   T h is   is   r ea d il y   o b s er v ed   f r o m   T ab le  1   th at,   e. g . ,   P C DI - C   f o r   DL - A B   f a u lt  i s   v er y   m u ch   lo w   s in ce   p h ase  C   is   th u n af f ec ted   p h a s h er e,   w h ic h   w h e n   i s   u s e d   to   f o r m   [ R ] ,   R atio   2   b ec o m e s   ab r u p tl y   h ig h   a n d   th i s   is   r ef lec ted   in   [ R E ]   as  w ell  as  in   t h R atio   E r r o r   I n d ex   ( R E I )   s o   f o r m ed   an d   is   s h o w n   in   th f in al  co l u m n   o f   T ab le  I .   I s h o w s   th at  R E I   is   h u g el y   la r g er   f o r   DL   f a u lts   i n   co m p ar i s o n   to   all  th o t h er   p r o t o ty p es.  T h is   k e y   f ea t u r is   u s ed   e f f ec t iv el y   to   id en ti f y   t h DL   f a u lts   f r o m   th r es an d   t h u p p er   th r es h o ld   v alu Ɛ 2   i s   s et  co m p ar i n g   all  o th er   f au lt  t y p e s .   Fo r   th g i v e n   s et  o f   P C DI ,   it  i s   w ell  o b s er v ed   th at  r atio   er r o r   in d e x   f o r   f au lts   o t h er   t h an   D L   f a u lts   is   w ell  b elo w   1 0 0   an d   th at  f o r   D L   f a u lts   is   w a y   ab o v it.  Hen ce ,   Ɛ 2   f o r   th is   ca s ca n   s a f el y   b s et  at  1 0 0 .   Hen ce ,   f o r   th s a m r ea s o n s   li s ted   ab o v e,   DL   f au l ts   ar n o in clu d ed   to   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
      I SS N :2 2 5 2 - 8792   I n t J A p p l P o w er   E n g ,   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 :   1 1 3     1 2 6   120   f o r m   f a u lt  s i g n at u r es  in   F i g u r e   5 .   I is   f u r th er   o b s er v ed   th at  ev en   o n   v ar y i n g   t h g eo m etr ic  f au lt  d is tan ce   f r o m   th s en d i n g   en d ,   t h P C I   v ar y   f o llo w in g   a   p ar ticu lar   p att er n   as  d e s cr ib ed   b y   t h P C D I   o f   T ab le2   w h er e     ty p ical  f a u lt  d ata  f o r   SL G - B f au lt,  f o r   ex a m p le,   is   tak en   at  d i f f er en d is tan ce s   1 0   k m   a p ar all  th r o u g h o u th en tire   s p an   o f   1 5 0   k m   lo n g   l in e.   Mo r i m p o r tan t l y ,   it  is   o b s er v ed   th at  t h eir   m u t u al  r atio   r em ai n s   v er y   m u c h   s i m ilar ,   e v en   w it h   v ar y in g   g eo m etr ic  d i s tan ce   ( k m )   o v er   th e   en tire   s p an   o f   t h tr an s m i s s io n   li n a s   d escr ib ed   b y   t h t h r ee   R I   v ec to r   v alu e s   o f   t h s a m tab le.   T h ab o v f ac is   al s o   r ep r esen ted   i n   Fi g u r 6   w h ic h   is   co n s tr u c ted   u s i n g   th th r ee   p h ase  [ P C DI ]   an d   [ R ]   v alu e s   o f   T ab le  1   w h er e,   as  d escr ib ed   ea r lier ,   SL G - B   f a u lt i s   tak e n   f o r   ex a m p le  f o r   d if f er e n t f a u lt lo ca tio n s .         T ab le  2 R atio   m atr i x   f o r m ed   b y   t h P C   d is ta n ce s   w it h   v ar iatio n   in   g eo m etr ic  f a u lt d is ta n c es   F a u l t   l o c a t i o n ( k m)   P C I - A   P C I - B   P C I - C   R a t i o   1   R a t i o   2   R a t i o   3   10   1 . 4 3 8 2   5 . 0 6 7 3   1 . 4 3 8   0 . 2 8 3 8   3 . 5 2 3 9   0 . 9 9 9 9   20   2 . 3 3 5 6   8 . 4 3 9 5   2 . 3 3 4 5   0 . 2 7 6 7   3 . 6 1 5 1   0 . 9 9 9 5   30   2 . 8 8 5 4   1 0 . 6 4   2 . 8 8 3 4   0 . 2 7 1 2   3 . 6 9 0 2   0 . 9 9 9 3   40   3 . 2 5 0 9   1 2 . 1 5 9   3 . 2 4 8 4   0 . 2 6 7 4   3 . 7 4 3 2   0 . 9 9 9 2   50   3 . 5 1 3 5   1 3 . 2 8 2   3 . 5 1 1   0 . 2 6 4 5   3 . 7 8 2 8   0 . 9 9 9 3   60   3 . 7 1 4 1   1 4 . 1 5 8   3 . 7 1 1 9   0 . 2 6 2 3   3 . 8 1 4 1   0 . 9 9 9 4   70   3 . 8 7 6 6   1 4 . 8 7 2   3 . 8 7 5 4   0 . 2 6 0 7   3 . 8 3 7 5   0 . 9 9 9 7   80   4 . 0 0 6 3   1 5 . 4 4 2   4 . 0 0 5 5   0 . 2 5 9 4   3 . 8 5 5 2   0 . 9 9 9 8   90   4 . 1 1 4 7   1 5 . 9 3 4   4 . 1 1 3 7   0 . 2 5 8 2   3 . 8 7 3 4   0 . 9 9 9 8   1 0 0   4 . 2 1 0 9   1 6 . 3 7 8   4 . 2 0 9 8   0 . 2 5 7 1   3 . 8 9 0 5   0 . 9 9 9 8   1 1 0   4 . 2 9 8 3   1 6 . 7 8 3   4 . 2 9 7 6   0 . 2 5 6 1   3 . 9 0 5 1   0 . 9 9 9 8   1 2 0   4 . 3 7 5 6   1 7 . 1 5 4   4 . 3 7 4 8   0 . 2 5 5 1   3 . 9 2 1 1   0 . 9 9 9 8   1 3 0   4 . 4 5   1 7 . 5 0 2   4 . 4 4 9 8   0 . 2 5 4 3   3 . 9 3 3 3   1   1 4 0   4 . 5 2 6   1 7 . 8 3 2   4 . 5 2 6 9   0 . 2 5 3 8   3 . 9 3 9 1   1 . 0 0 0 2           Fig u r 6 .   Var iatio n   o f   th r ee   p h ase  P C DI   an d   r atio   in d ices  w it h   d if f er en g eo m e tr ic  f a u lt d is t an ce s       I is   w ell  o b s er v ed   f o r m   F i g u r 6   th at  th v ar iatio n s   o f   [ R ]   v alu e s   ar r e m ar k ab l y   le s s er   t h an   t h at  o f   [ P C DI   v alu e s   f o r   d if f er en g e o m e tr ic  d is ta n ce s   o v er   t h li n s p an   f o r   all  t h t h r ee   p h ase s ,   r ig h tl y   j u s ti f y in g   th r o le  o f   [ R ]   an d   its   u s e f u ln e s s   i n   f in d i n g   o u th u n k n o w n   f au lt  p atter n ,   t h er ef o r e,   is   tak e n   a s     th F u n d a m en tal  Go v er n i n g   F ac to r   in   th d eter m i n atio n   o f   t h u n k n o w n   f a u lt  p atter n .   T h is   co n clu s io n   i s   also   j u s tif ied   f r o m   T ab le3   w h ic h   s h o w s   t h r esu lt s   o f   s ev er al  u n k n o w n   f a u lt  p atter n s   f o r   f au lts   co n d u cted   at  v ar io u s   d is ta n ce s   alo n g   t h 1 5 0   k m   li n s p an   a n d   clas s i f ier   ac cu r ac y   is   1 0 0 u s i n g   t h p r o p o s ed   P C A - R atio   b ased   class if ier   alg o r ith m .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J A p p l P o w er   E n g   I SS N:  2252 - 8792       P o w er sys te fa u lt id en tifi ca tio n   a n d   lo ca liz a tio n   u s in g   mu lt ip le  lin ea r   r eg r ess io n   o f… ( A lo Mu kh erjee )   121   T ab le  3 .   F au lt  class i f ier   r es u lt s   w ith   o n l y   o n s et  o f   tr ai n i n g   d ata   F a u l t   t y p e   P U R E   AG   BG   CG   AB   BC   CA   A B G   BCG   C A G   A B C   P U R E   13   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   AG   0   13   0   0   0   0   0   0   0   0   0   BG   0   0   13   0   0   0   0   0   0   0   0   CG   0   0   0   13   0   0   0   0   0   0   0   AB   0   0   0   0   13   0   0   0   0   0   0   BC   0   0   0   0   0   13   0   0   0   0   0   CA   0   0   0   0   0   0   13   0   0   0   0   A B G   0   0   0   0   0   0   0   13   0   0   0   BCG   0   0   0   0   0   0   0   0   13   0   0   C A G   0   0   0   0   0   0   0   0   0   13   0   A B C   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   13   O v e r a l l   a c c u r a c y :   1 0 0   %       6.   F AULT   D I S T ANC E   E ST I M AT I O   T h later   an d   an o th er   v i tal  s ec tio n   o f   t h p r o p o s ed   r esea r ch   is   p r ed ictio n   o f   t h f a u lt   lo ca tio n .     T h p r o p o s ed   f au lt  d is tan ce   p r ed icto r   alg o r ith m   is   d esi g n ed   u s i n g   m u ltip le  li n ea r   r eg r ess i o n   ( ML R )   a n al y s is .   ML R   ta k es  i n to   ac co u n t h t r en d s   an d   c u r v at u r es  o f   m o r e   th a n   o n d ata  s e an d   e f f ec ti v el y   co m p u te  o n e   p r im ar y   d ir ec tio n   o f   v ar iat io n   u s i n g   t h m u lt ip le  d ata  s et.   T h p r o p o s ed   w o r k   u t ilizes  t h is   i m p o r tan f ea t u r o f   M L R   a n d   u s es  th t h r ee   p h ase  f ea tu r e s   i n   ter m s   o f   P C DI   to   f o r m   o n k e y   cu r v at u r e,   in co r p o r atin g     th f ea t u r es  o f   all  th P C DI .   Fo r   th is   p u r p o s e,   s ix   in ter m e d iate  n o n - eq u id is ta n lo ca tio n s   at  1 0 ,   2 0 ,   5 0 ,   9 0 ,   130 ,   an d   1 4 0   k m   d is ta n ce   f r o m   th s en d i n g   e n d   o f   th 1 5 0   k m   lo n g   li n h a v b ee n   c h o s e n   as  th s ix   tr ai n i n g   poi n ts   f o r   th p r o p o s ed   f au lt   l o ca lizer   alg o r ith m .   T en   d if f er en t y p e s   o f   f a u lt s   h a v b ee n   co n d u cted   at  t h ese  s ix   tr ai n i n g   lo ca tio n s   a n d   r ec eiv i n g   e n d   cu r r en w a v e f o r m s   h av b ee n   r ec o r d ed   as  th tr ain i n g   d ata,   ea ch   o f   w h ic h   is   f ed   to   u n d er g o   t h p r o p o s ed   f au l cla s s i f ier   al g o r ith m   d is c u s s ed   in   th p r ev io u s   s e ctio n   an d   t h t h r ee   p h ase  P C DI   ar f o u n d   f o r   ea ch   o f   t h s i x   tr ai n i n g   p o in t s .   T h is   3 tr ain in g   d ata  s et  f o r   ea ch   f au lt  p r o to t y p is   s av ed   as  lo o k   u p   tab le   a n d   is   s ca led   to   u n it y   f o r   g en er aliza tio n   an d   p r o v id in g   u n i f o r m it y .   He n ce ,     th tr ai n in g   d ata  m atr ix ,   f o r   ea ch   f a u lt  p atter n   tak e s   t h d im en s io n   o f   6 ×3 ,   ca lled   as  tr ain in g   d is tan ce   P C D I   m atr i x   af ter w ar d s   a n d   is   g i v e n   b y   D i   a s :     D i = [ P C DI - A ij    P C DI - B ij    P C DI - C ij ] 6 × 3     w h er e,   i= 1   to   1 0   d ef in ea ch   o f   th te n   tr ai n in g   f au lt  p r o to ty p es  m en tio n ed   b ef o r an d   j = 1   to   6   d ef in es  t h s i x   tr ain i n g   g eo m e tr ic  d is ta n ce s   at   1 0 ,   2 0 ,   5 0 ,   9 0 ,   1 3 0 ,   an d   1 4 0   k m   r esp ec ti v el y .   Hen ce   f o r   t h ten   t y p e s   o f   f a u lt s ,   th er ar ten   s u ch   tr ain i n g   d is tan ce   P C D I   m atr ices,  to g et h er   w h ic h   f o r m s   th to tal  tr ain in g   d is ta n ce   P C DI   m atr i x   g i v e n   b y   D TR AI N II N G   as:     D TR AI N II NG =[ D     D    D    ….     D 10 ] 30     P o s class if icatio n   o f   th f a u lt,  th test   P C DI   m atr i x   as  f o u n d   in   th ea r lier   s ec tio n   is   s av ed .     Nex t h D i   m atr i x   co r r esp o n d in g   to   t h p ar ticu lar   id en ti f i ed   t y p w ith   in d e x   i is   tak e n   u p   f r o m   D TR AI N II NG f o llo w ed   b y   in ter p o latio n   o f   th tes v ec to r   f r o m   t h co r r esp o n d in g   D i   u s i n g   t h Mu ltip le  L in ea r   R eg r es s io n   ( M L R )   m et h o d   in   o r d er   t o   p r e d ict  th g eo m etr ic  d i s tan ce   o f   t h co r r esp o n d in g   f au lt.       7.   CASE   S T UD AND  ANA L YSI S   A   ca s s t u d y   i s   s h o w n   h er w it h   S L G - A   f a u lt.  T h v ar iat io n   o f   r ec eiv i n g   en d   li n c u r r en ts   w it h   v ar y i n g   g eo m etr ic  f au lt  d is tan ce   f o r   SL G - A   f a u lt  is   s h o w n   in   F i g u r 7 .   T h s am d ata  is   p r o ce s s ed   th r o u g h   th P C A   a lg o r it h m   to   p r o d u ce   [ P C DI ]   an d   co n s eq u en ce   c alcu latio n s .   T ab le4   d escr ib es  th ab s o l u te  P C DI   v alu e s   an d   t h co r r esp o n d in g   s ca led   v alu e s   f o r   S L G - A   f au l t   at  s ix   tr ain in g   lo ca tio n s .   T h SL G - A   m atr i x   is   f o r m ed   u s in g   t h P C DI   v al u es   as r ec o r d ed   in   T ab le  u s in g   v alu e s   f r o m   co lu m n   2 ,   3 ,   an d   4 .   Si m i lar l y ,   s ca led   SL G - A   m atr ix   is   f o r m ed   u s in g   v al u es  f r o m   co lu m n   5 ,   6 ,   an d   7   w h ic h   o n   p lo ttin g   ag ain s th r esp ec tiv f au l g eo m etr ic  lo ca tio n s ,   r ev ea a   cu r v ili n ea r   n atu r as  s h o w n   in   F ig u r 8 .   I is   o b s er v ed   th at  ea ch   o f   t h f a u lt  t y p e s   s h o w   d i f f er en ce   i n   cu r v at u r f o r   th r ee   in d i v id u al  p h ases .   He n ce ,     th p r o p o s ed   s ch e m h as   b ee n   d esi g n ed   w it h   m u ltip le   lin ea r   r eg r es s io n   ( M L R )   f o r   ea ch   p r o to ty p e   in d iv id u all y ,   w h ic h   ta k e s   in to   ac co u n all  th th r ee   p h ase  P C DI s   to   p r o d u ce   a   f air l y   ac cu r ate  esti m ate  o f   th e   f au lt  lo ca tio n .   T h m at h e m ati ca an al y s is   o f   th M L R   s c h e m ad o p ted   h er is   ex p lain ed   f ir s f o llo w in g   it s   ap p licatio n   in   d esi g n in g   t h f a u lt lo ca tio n   p r ed ictio n   al g o r it h m   [ 2 3 ] .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
      I SS N :2 2 5 2 - 8792   I n t J A p p l P o w er   E n g ,   Vo l.   9 ,   No .   2 A u g u s t 2 0 2 0 :   1 1 3     1 2 6   122       F ig u r e 7 .   R e ce iv in g   en d   l in e   cu r r e n t   v s .   s am p le d   t im e   p l o t   f o r   d i f f e r en t   g e o m et r i c   f au lt   l o c a tio n s   f o r   SL G - A   f au lt       T ab le  4 .   P C DI   f o r   A   p h ase  to   g r o u n d   f au lt a t si x   d if f er en t lo ca tio n s   F a u l t   l o c a t i o n   (k m)   P C D I   P C D I   ( s c a l e d )   P h a se   A   P h a se   B   P h a se   C   P h a se   A   P h a se   B   P h a se   C   10   7 . 4 4 9   1 . 6 8 0 4   1 . 6 8 1 6   0   0   0   20   1 1 . 2 0 4 6   2 . 4 3 6 5   2 . 4 3 6 5   0 . 3 4 2 1   0 . 3 0 3 4   0 . 3 0 3 9   50   1 4 . 9 9 3 1   3 . 2 3 0 7   3 . 2 3 0 7   0 . 6 8 7 3   0 . 6 2 2 1   0 . 6 2 2 3   90   1 6 . 7 9 2 5   3 . 7 1 7 2   3 . 7 1 7 2   0 . 8 5 1 2   0 . 8 1 7 4   0 . 8 1 7 2   1 3 0   1 8 . 1 0 9 5   4 . 0 7 8 1   4 . 0 7 8 1   0 . 9 7 1 2   0 . 9 6 2 2   0 . 9 6 2 2   1 4 0   1 8 . 4 2 6 1   4 . 1 7 2 3   4 . 1 7 2 3   1   1   1           Fig u r 8 .   Geo m e tr ic  f a u lt d is t an ce   v s .   P C DI   ( s ca led )   p lo t f o r   th r ee   p h ase  r ec eiv i n g   en d   li n cu r r en ts   f o r     SL G - A   f a u lt a t si x   tr ai n in g   lo c atio n s       8.   AP P L I CA T I O O F   M UL T I P L E   L I N E AR  R E G RE SS I O ( M L R)   P r in cip al  co m p o n en t   an al y s is   ( P C A )   as  e x p lai n ed   s o   f ar ,   its elf   i s   an   i m p o r ta n a n d   ef f ec ti v to o i n   o r d er   to   r e d u ce   lar g n u m b e r   o f   m u lti v ar iate  d ata  to   f e p r i m ar y   d ir ec tio n s   o f   m aj o r   v ar iatio n .   T h th r ee   d if f er e n p h ase s   o f   P C DI   h av e   d if f er en ce   i n   c u r v a tu r w h ich   is   w ell  o b s er v ed   f r o m   F i g u r 1 0 .   T h is   is   f u r t h er   ex ten d ed   f o r   all  te n   d i f f er en f a u lt  p atter n s .   T h t h r ee   p h ase  P C DI   f o r   ea ch   p atter n ,   is   p r o ce s s ed   b y     th p r o p o s ed   ML R   b ased   s c h e m to   ac h ie v s in g le  co m p u ted   d ir ec tio n   o f   v ar iatio n ,   ta k i n g   in to   ac co u n all   th th r ee   cu r v at u r es  f r o m   t h th r ee   p h ases   w h ic h   is   f i n all y   tak en   as  th tr ain in g   d ata  f o r   th p r o p o s ed   f au lt   d is tan ce   p r ed icto r   alg o r ith m .   R eg r es s io n   a n al y s is   i s   an   i m p o r tan s tati s tical  to o to   d eter m in t h r elatio n s h ip ,   ca lled   th r eg r ess io n   f u n ctio n ,   b et w ee n   d ep en d en v ar iab le  y ,   an d   s in g le  o r   s e v er al  in d ep en d en t   v ar iab les  x i .   R eg r es s io n   f u n ctio n   also   in v o lv e s   s et  o f   u n k n o w n   p ar a m eter s   b i ,   c alled   th r eg r ess io n   co ef f icie n t s .   A   s i m p le  lin ea r   r eg r ess io n   m o d el  is   d escr ib ed   as :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.