I nte rna t io na l J o urna l o f   Appl ied P o w er   E ng ineering   ( I J AP E )   Vo l. 6 ,   No . 3 Dec em b er   201 7 ,   p p .   1 7 1 ~1 9 2   I SS N:  2252 - 8 7 9 2   DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ap e. v 6 . i3 . p p 1 7 1 - 192          171       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I J APE   Stead y  St a te   a nd  Tra nsient Analy si o G rid Conn ect ed   Do ubly  F ed I ndu ction  G enerato r   U nder   Diff eren O pera ti ng   Co ndition s       Su k hw ind er   Sin g h Dh illo n 1 ,   J a g deep  Sin g h L a t her 2 ,   Sa nja y   M a rwa ha 3   1, 3 El e c tri c a a n d   I n stru m e n tatio n   En g g ,   S L IET ,   L o n g o wa l,   S a n g ru r,   P u n jab ,   In d ia   2 El e c tri c a En g in e e rin g   De p a rtm e n t,   NIT ,   Ku r u k sh e tra,  Ha ry a n a ,   In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Sep   1 9 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Oct  2 7 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   No v   11 ,   2 0 1 7       T h is  p a p e p re se n ste a d y   sta te an d   d y n a m i c   (T r a n sie n t)  m o d e ls  o f   th e   d o u b ly   f e d   in d u c ti o n   g e n e ra to c o n n e c t e d   to   g rid .   T h e   ste a d y   sta te  m o d e o f   th e   DFIAG   ( d o u b ly   f e d   a s y n c h ro n o u in d u c ti o n   g e n e ra to r h a b e e n   c o n stru c te d   b y   r e fe rrin g   a ll   th e   ro to q u a n t it ie to   sta to sid e .   W it h   th e   h e lp   o f   M AT LAB   p ro g ra m m in g   si m u latio n   re su lt s   a re   o b tain e d   to   d e p ict  t h e   ste a d y   sta t e   re sp o n se   o f   e lec tro m e c h a n ica to rq u e ,   ro to sp e e d ,   sta to a n d   r o t o c u rre n ts,   sta to a n d   ro t o f lu x e s,  a c ti v e   a n d   re a c ti v e   d ra w n   a n d   d e li v e re d   b y   Do u b l y   F e d   A s y n c h ro n o u In d u c ti o n   M a c h in e   (DFA IM a it   is  o p e ra ti n g   in   tw o   m o d e i. e .   g e n e ra to a n d   m o to r.   T h e   m a th e m a ti c a ste a d y   sta te  a n d   tran sie n t   m o d e o f   th e   DFI A M   is  c o n stru c ted   f o th re e   b a sic   re f e r e n c e   f ra m e su c h   a s   ro to r,   sta t o a n d   sy n c h ro n o u sly   r e v o lv in g   re f e r e n c e   f ra m e   u sin g   f irst  o rd e d e f e re n ti a e q u a ti o n s.  T h e   e ff e c t   o f   u n sa tu ra ted   a n d   sa tu ra ted   re s u lt a n f lu x   o n   th e   m u tu a in d u c tan c e   is  a lso   tak e n   in to   a c c o u n to   d e e p ly   u n d e rsta n d   th e   d y n a m ic   re sp o n se   o th e   m a c h in e .   T h e   st e a d y   sta te  a n d   d y n a m ic   r e sp o n se   o f   th e   DFA I a re   c o m p a re d   f o d iff e r e n ro to v o lt a g e   m a g n it u d e s.   A lso ,   th e   e ffe c o f   v a riatio n in   m e c h a n ica in p u to rq u e ,   sta to v o lt a g e   v a ri a ti o n a re   sim u late d   to   p re d ict  t h e   sta to r   a n d   ro to r   c u rre n ts,   a c ti v e   a n d   re a c ti v e   p o w e r,   e lec tro m a g n e ti c   to rq u e   a n d   ro to sp e e d   v a riatio n s.   K ey w o r d :   DFI AG   R ef er e n ce   f r a m an d   co n ti n o u s   m o d el s   Stead y   s tate   T r an s ien t   Co p y rig h ©   201 7   In s t it u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Su k h w in d er   Si n g h   D h illo n   E lectr ical  an d   I n s tr u m e n tat io n   E n g g ,   SL I E T ,   L o n g o w al ,   Sa n g r u r ,   P u n j ab ,   1 4 8 1 0 6 ,   I n d ia.   E m ail: s u k h w in d er 2 @ r ed i f f m ail. co m       1.   I NT RO D UCT I O N   Do u b l y   f ed   in d u ctio n   g e n er at o r s   is   also   k n o w n   as   Do u b l y   Fed   As y n c h r o n o u s   Ma c h in e   ( DFI A M)   w it h   w o u n d   r o to r   co n s tr u ctio n .   No w   d a y s   D FIA Ms  ar m o s t   p o p u lar   m ac h in e s   f o r   w i n d   tu r b in es  as  g e n er ato r   d u to   th ap p licab ilit y   i n   t h w id r an g o f   s p ee d   v ar iatio n s .   T h f ix ed   s p ee d   i.e .   s y n ch r o n o u s   g en er ato r   th e   p o w er   co n tr o ( ac tiv an d   r ea ctiv e)   elec tr o n ic  eq u ip m e n r eq u ir ed   s h o u ld   b o f   1 0 0 r ati n g   o f   s y n ch r o n o u s   g en er ato r .   T h p o w er   co n tr o eq u ip m e n is   g en er all y   i n s tall ed   to   th s tato r   s id to   co n tr o l   th v o lta g p r o f ile   p er tain in g   to   t h co n t in g e n cie s   d u to   o n   lo ad   an d   o f f   lo ad   v ar iatio n s .   T h v o lta g s tab ili t y   co n tr o i s   m ai n l y   lin k ed   w ith   t h r ea cti v p o w e r   co n tr o l.  I m a y   b p r o v id ed   eith er   b y   t h co n tr o o f   t h r ea ctiv p o w er   g i v e n   b y   ca p ac ito r   b an k s   o n   th b a s is   o f   er r o r   s ig n al  g e n er ated   th r o u g h   co m p ar ato r   b et w ee n   s p ec if ied   v o ltag e   r ef er en ce   an d   t h m ea s u r ed   v o ltag o f   t h g r id   s id p h ase  t o   p h ase  o r   p h ase  to   g r o u n d   p er   u n it  v o ltag e.   So ,   th p o w er   co n tr o eq u ip m e n t   e m p lo y ed   f o r   s y n c h r o n o u s   f ix ed   s p ee d   g e n er ato r   is   s till   v er y   co s t lier   w h ic h   w o u ld   tak e   m aj o r   p ar o f   th e   t o tal  co s o f   t h S y n c h r o n o u s   g en er ato r   b ased   w i n d   t u r b in in s ta llatio n .   On   th e   o th er   h a n d   in   th ca s o f   d o u b l y   f ed   as y n c h r o n o u s   i n d u ctio n   g en er ato r   h as  t h w id er   co n tr o o p tio n s   i.e .   f r o m   s tato r   an d   r o to r   s id co n tr o l.  I also   h a s   p itc h   an g le  co n tr o o f   t h w i n d   t u r b in e   w h ic h   c o n tr o ls   t h an g u lar   b lad m o v e m en d ep en d s   o n   t h er r o r   s ig n al  g e n er ated   d u t h d if f er e n ce   b et w ee n   t h p r eset  r ef er e n ce   s p ee d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   6 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 7 :   1 7 1     1 9 2   172   an d   g e n er ato r s   s h a f s p ee d   w h en   w in d   t u r b in u n d er g o   d if f er en w i n d   p atter n s   w i th   r e s p ec to   v ar iab le  ti m e   d u r atio n s .   T h m ain   ad v a n tag o f   th e   DFI A i s   t h at  n ea r   ab o u 7 0 o f   p o w er   co n tr o is   d ir ec tl y   th r o u g h   s tato r   s id w it h   F A C T   ( f le x i b le  AC   tr a n s m is s io n )   d e v ices  s u c h   as   s tatic   s y n c h r o n o u s   co m p e n s ato r   ( ST A T C OM ) - co n tr o ls   v o lta g e ,   s tatic   V A R   co m p e n s ato r   ( SVC ) C o n tr o ls   v o lt ag e.   T h o p er atio n al  d if f er en ce   b et w ee n   ST A T C OM   an d   a n   SVC   i s   t h at  ST A T C OM   wo r k s   as  co n v e n ien u n d er   co n tr o v o lta g s o u r ce   o n   t h o th er   h a n d   SV C   wo r k s   o n   th e   p r in cip le  o f   d y n a m icall y   r e g u lated   t h m ag n itu d o f   r ea ctan c e   co n n ec ted   i n   p ar allel  w it h   DI A M s   Stato r .   ST A T C OM   h a s   th p r o v is io n   o f   m a x i m u m   r ea ctiv p o w er   f ee d   to   g r id   at  u n d er   v o lta g co n d itio n s   [ 1 ,   2 ] .   T h r est  o f   th 3 0 p o w er   is   f ed   to   th g r id   w it h   th h elp   o f   p o w er   elec tr o n ic  co n v er ter   co n n ec te d   to   r o to r   s id s o its   r atin g   is   o n l y   2 5 % - 3 0 o f   DF A I G s   1 0 0 p o w er   r atin g   an d   as c o m p ar ed   to   f ix ed   s p ee d   s y n c h r o n o u s   g e n er ato r   [ 2 - 5 ] .   As  th DFI o r   DFI A is   an   i m p o r tan co m p o n e n o f   w i n d   tu r b in b ased   p o w er   s y s te m   s o   it  r eq u ir v er y   s tea k   an d   an   ac cu r ate  d y n a m ic  m at h e m a tical   m o d el  to   s tu d y   an d   p r ed ict  th r esp o n s o f   t h e   DFI AM   u n d er   ab n o r m al  lo ad in g   co n d itio n s   a n d   at  s w itc h in g   i n s ta n t s .   D y n a m ic  m o d e to   g lo b al  r o tatin g   r ef er en ce   f r a m o f   th D FIG   s y s te m   b y   d   ( d ir ec t)   an d   q   ( q u ar d r atu r e) - a x is   r o tatin g   at  th e   an g u lar   f r eq u e n c y   o f   ω s   [ 6 ] .   T h cla s s ical  d q   m ag n etiza tio n   o f   th s q u ir r el  ca g i n d u ctio n   g e n er ato r   w a s   m o d eled   w i th   n o n   ze r o   r o t o r   v o ltag in   th P ar k   r ef er en ce   f r a m [ 7 ] .   P r esen ted   s tead y   s tate  an d   d y n a m ic  m o d el s   an d   co n tr o l   s tr ateg ie s   o f   w i n d   tu r b in g en er ato r s .   [ 8] [ 9 ] .   Dy n a m ic   ti m d o m ai n   DFI m o d el  w it h   s y n ch r o n o u s l y   r o tatin g   r e f er en ce   f r a m w as   m ad [ 10] [ 1 1 ] .   A   b r u s h les s   m o d el  o f   D FIG   w as  u s ed   [ 1 2 ] .   Ho w e v er   th er ar e   m an y   tec h n iq u e s   to   d ev elo p   d y n a m ic  m o d els  o f   DFI A b u s ti ll  t h er is   n ee d   to   s t u d y   a n d   e x p lo r th e   d y n a m ic  m o d el s   w it h   ti m d o m ai n   a n d   z - d o m ai n   b y   c o n s id er atio n   o f   e f f ec o f   m ag n et ic  s at u r atio n .   I m p le m e n tatio n   o f   d i f f er e n d is cr ete  m o d els  to   s h o w   t h e   s i m u lat io n   w o r k   m u ch   n ea r   to   th p r ac tical  co n d itio n .   I n   th is   p ap er   s tead y   s tate  a n d   d y n a m ic  m o d el s   ar im p le m e n ted .   D is cr ete  d y n a m ic  m o d els  ar e   i m p le m en ted   b ased   o n   v ar io u s   z - d o m ai n   m et h o d s .   T h m at h e m a tical  s tead y   s tate  an d   tr an s ie n m o d el  o f   t h e   DFI AM   is   co n s tr u cted   f o r   th r ee   b asic  r ef er en ce   f r a m es   s u ch   as   r o to r ,   s tato r   an d   s y n ch r o n o u s l y   r ev o l v i n g   r ef er en ce   f r a m u s i n g   f ir s t   o r d er   d ef er en tial  eq u atio n s .   T h e   s tead y   s tate   an d   d y n a m ic   r es p o n s o f   th e   DF A I G   ar co m p ar ed   f o r   d i f f er e n t r o t o r   v o ltag m a g n i tu d es.  Als o ,   t h e f f ec t o f   v ar iatio n s   i n   m ec h an ical  i n p u t   to r q u e,   s tato r   v o lta g v ar iat io n s   ar s i m u lated   in   M A T L A B   s i m u lat o r   to   p r ed ict  th s tato r   an d   r o to r   cu r r en ts ,   ac ti v e   an d   r ea ctiv p o w er ,   elec tr o m a g n et ic  to r q u an d   r o to r   s p ee d   v ar iatio n s .       2.   ST E A D Y  ST A T E  MO D E L  O F  D F IAM   T h s tead y   s tate   m o d el  o f   th e   th r ee   p h a s DFI A m ac h i n is   o b tain ed   f r o m   a n   eq u i v al en cir cu it   d iag r a m   a s   s h o w n   i n   t h Fig u r 1 - 3.   T h m u tu a r ea ctan ce   X m   is   m o v ed   to   s tato r   v o ltag e   s u p p l y   s o u r ce   V s   an d   th s i m p li f ied   m o d el  o f   t h in d u ctio n   m ac h i n is   s h o wn   b y   t h Fi g u r 3 .   T o   o b tain   th to r q u eq u atio n   f r o m   t h eq u i v alen t c ir cu it,  t h r o to r   cu r r en t I r   is   e x p r ess ed   as th f o llo w in g   s et  o f   eq u atio n s   as  [ 8 ] .       s r s l i p r s t d s t d s t d ' ' r s l s l r s l i p V V / s I R ( R ) j ( X X ) s   ( 1 )       T h elec tr o m a g n et ic  to r q u in   an   in d u ctio n   m ac h in i s   t h s u m   o f   air   g ap   p o w er   a n d   r o to r   f ed   p o w er .     w h er e;   V s   std = Sta to r   s tead y   s tate  v o lta g ( p . u ) ; X ls =Stato r   r ea ctan ce   ( p . u ) ;   V r   std = Stato r   s tead y   s tate  v o lta g ( p . u ) ; X lr = R o to r   r ea ctan ce   ( p . u ) ;   R s =Stato r   r esis ta n ce   ( p. u ) ;   R r = Stato r   r esis tan ce   ( p . u ) ;   S slip = s= S lip   ( Stato r s   f l u x   s p ee d - R o to r s   s p ee d ) / Stato r s   f lu x   s p ee d   T _ e sator std = E lectr o m ec h a n ical  t o r q u f r o m   s tato r   s id ( p . u ) .     Ѱ s flux = Stato r   s id f lu x   ( p . u . )   Ѱ s flux =Ro to r   s id f l u x   ( p . u . )   P R =Ro to r   f ed   ac tiv p o w er .     ' s r 2 r e _ s t d s t d s R s l i p R T ( I ) * R P s            ( 2 )     R o to r   f ed   ac tiv p o w er .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     S tea d S t a te  a n d   Tr a n s ien t A n a lysi s   o f G r id   C n ec ted   Do u b ly  F ed   I n f u d ctio n …  ( S u k h w in d er S in g h   Dh illo n )   173   ' r r R s t d p s t d V P * I * c o s s    ( 3 )             Fig u r 1 .   E q u iv ale n t Ci r c u it o f   DFI A w it h   S tato r   an d   R o to r   s id e               Fig u r 2 .   E q u iv ale n t Ci r c u it o f   DFI A as r o to r   s id is   r ef er r ed   to   s tato r               Fig u r 3 .   Stead y   s tate  eq u i v al en t c ir cu i o f   DFI A as r o to r   is   r ef er r ed   to   s tato r       ' s 2 r s s l i p ' s s t d s t d s t d s r e _ s t d ' 2 s l i p 2 ' 2 s r l s l r { s * ( V ) V * V } * ( s * R R ) T ( s * R R ) ( s ) ( X X )        ( 4 )       s s s t d m m V I X   ( 5 )     s s s s td m r I I I    ( 6 )     s s s r m l s s td m s td s td L * I L * ( I I )   ( 7 )     Stato r s   ac ti v p o w er     s s s s td s td s td s P V * I c o s    ( 8 )     W h er e     s l i p ' 2 s l i p ' ' m r s r m s r 1 s s l i p ' r - { X * ( s * R s R ) s ( X X ) * X ( X X ) 1 } c o s s * R s R          ( 9 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   6 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 7 :   1 7 1     1 9 2   174   A lter n ati v el y   elec tr o m a g n e tic  to r q u is   g i v en   b y   [ 8 ]   th f o llo w i n g   eq u atio n :     ' ' 2 p a i r r r s em s l i p s y n p R I T3 s   ( 1 0 )       w h er e;   L ls    =   Stato r   leak ag s el f   in d u ctan ce   ( p . u ) ;   L m   =   Mu t u al  in d u cta n ce   f r o m   Stato r   s id ( p . u ) ;   Ѡ syn   =   S y n ch r o n o u s   o r   an g u lar   s p ee d   at  s u p p l y   f r eq u en c y   ( p . u ) ;   S slip = s   =   Sli p   ( Stato r s   f l u x   s p ee d - R o to r s   s p ee d ) Stato r s   f l u x   s p ee d   T _ e sator std   =   E lectr o m ec h a n ical  to r q u f r o m   s tato r   s id ( p . u ) .   Ѱ s flux   =   Stato r   s id f l u x   ( p . u . )   Ѱ s flux = R o to r   s id f lu x   ( p . u . )   Ѱ m flux   =   E q u iv ale n m ag n etic  f l u x   f r o m   s tato r .   s   =   p o w er   f ac to r   o f   th eq u iv ale n t   ck t.  A s   s h o w n   i n   Fi g u r 3 .     Stead y   s tate  s i m u lat io n   an al y s is   p er tain i n g   to   th ab o v g iv en   m at h e m atica eq u at io n s   o f   1 . 5   M W   DFI AM   w h o s cir cu it  co n s ta n v a lu e s   ar tab u lated   i n   A p p en d ix - A .   T h f o llo w i n g   f i g u r es  s h o w   t h s tead y   s tate  r esp o n s o f   t h in d u ctio n   m ac h i n f o r   ( 1 ) - ( 1 0 ) .   Fig u r 4   s h o w s   t h s tead y   s tate  v a r iatio n s   o f   e lectr o -   m ag n etic   to r q u co r r esp o n d in g   to   d if f er en r o to r   f ed   v o lta g e s   an d   s lip   f ac to r s .   Op er ati n g   r eg io n   o f   t h d o u b l y   f ed   As y n c h r o n o u s   m ac h i n lie s   b et w ee n   t h s lip   f ac to r s   0 . 2   an d   - 0 . 2 .           Fig u r 4 .   Stead y   s tate  elec tr o m ag n etic  to r q u v er s u s   s l ip   cu r v es f o r   d if f er en t r o to r   v o ltag e s       F ig u r s h o w s   t h r o to r   cu r r en v ar iat io n s   f o r   d if f er en v o ltag es  co r r esp o n d s   to   th d i f f er en s li p   f ac to r s .   T h r o to r   cu r r en t f o llo w s   ( 1 ) .           Fig u r 5 .   R o to r   cu r r en t v er s u s   s lip   to   d if f er e n t r o to r   v o ltag es  ( p . u . )       T h v ar iatio n s   o f   r o to r   ac ti v an d   r ea ctiv e   p o w er   a s   p er   r o to r   v o ltag e   m a g n it u d es  f o r   s lip   f ac to r s   ar s h o w n   in   F ig u r 6   an d   Fig u r 7 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     S tea d S t a te  a n d   Tr a n s ien t A n a lysi s   o f G r id   C n ec ted   Do u b ly  F ed   I n f u d ctio n …  ( S u k h w in d er S in g h   Dh illo n )   175       Fig u r 6 .   R o to r   ac tiv p o w er   ( I 2 *R r )   v er s u s   s lip   to   d if f er en t r o to r   v o ltag es           Fig u r 7 .   R o to r   r ea ctiv p o w e r   ( I 2 *X lr )   v er s u s   s lip   to   d if f er en t r o to r   v o ltag es       Fig u r 8   s h o w s   t h at  m ag n etiz i n g   c u r r en t   r e m ai n s   co n s ta n o v er   s lip   a n d   r o to r   v o ltag v ar iatio n s .   T h e   m ag n eti z in g   r ea cta n ce   co n s id er ed   to   b co n s tan t   i.e .   u n s at u r ated   2 . 9 ( p . u . ) .   T h an g u lar   s p ee d   is   co n s id er ed   to   b 1 ( p . u ) .           Fig u r 8 .   Ma g n etiz in g   cu r r e n v er s u s   s l ip   f o r   d if f er e n t v o lta g es a n d       T h s tato r s   f l u x   v ar iat io n s   c o r r esp o n d   to   d if f er en t   r o to r   f ed   v o ltag e s   an d   s lip   v alu e s   ar s h o w n   i n   Fig u r e   9 .         Fig u r 9 .   Stato r s   f lu x   v er s u s   s lip   f o r   d if f er e n t r o to r   v o ltag es   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   6 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 7 :   1 7 1     1 9 2   176   3.   T RANS I E NT   M O DE L   O F   DF I AM   WI T H   VARIO U S REFE R E NC E   F RAM E S.   T h p er   u n it  d y n a m ic   m o d el  o f   t h t h r ee   p h ase   d o u b l y   f ed   as y n ch r o n o u s   m ac h i n i s   d er i v ed   b y   t h e   tr an s f o r m atio n   o f   th r ee   v ar iab l p h ase  q u an ti ties   to   s et  o f   tw o   s tatio n ar y   v ec to r s   k n o w n   a s   α - ax i s   an d   β - ax i s   ( clar k s   tr an s f o r m a tio n ) .   T h en   th ese  s tatio n ar y   v ec to r s   ar tr an s f o r m ed   to   r o tatin g   f r a m w it h   d - ax i s   a n d   q - ax is   co o r d in ates.  T h e   th r ee   p h ase  s u p p l y   v o ltag e s   ar alter n a tin g   q u an titi es  w h ic h   ar tr an s f o r m ed   to   α   an d   β - ax is   w i th   t h h e lp   o f   C lar k s   tr an s f o r m atio n   ( s tatio n ar y   r ef er en ce   f r a m e)   is   as  f o llo w s .   a.   ab to   α βo   ( s tatio n ar y ) :     0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3                    a b c vv vv v v     ( 1 1 )             Fig u r 1 0 .   Stato r s   p h ase  v o lta g es a lo n g   d q   an d   α β a x is       b.   α βo ( s tatio n ar y )   to   d q o   r ef er en ce :     0 s i n c o s 0 c o s s i n 0 ( 1 2 ) 0 0 1                  d q o w t w t w t w t vv vv v v     ( 1 2 )     c.   α βo ( s tatio n ar y )   to   d q o   r ef er en ce :     0 s in c o s 1 s in ( 2 / 3 ) c o s ( 2 / 3 ) 1 ( 1 3 ) s in ( 2 / 3 ) o s ( 2 / 3 ) 1                   ad bq c w t w t w t w t w t w t vv vv v v     ( 1 3 )     Ass u m p t io n s   f o r   th D y n a m ic  Mo d el:   a.   No   m ag n etic  f l u x   s a tu r atio n   s o   th e   m u tu a l in d u ctan ce   i s   co n s tan t   i.e   u n s at u r ated .   b.   Ma ch i n w in d i n g s   ar co n n ec t ed   in   s tar   co n f ig u r atio n   o n   s tat o r   an d   r o to r   h en ce   n o   ( 0 )   co m p o n en t.   c.   Va = Vp h   s i n w t ( i) ,   Vb =V p h s i n   ( w t - 1 2 0 )   ( ii),   Vc= Vp h   s in   ( w t +1 2 0 )   b alan ce d   th r ee   p h ase  v o ltag es.     As  p er   p ar k s   tr an s f o r m atio n   t h t h r ee   p h ase  s tato r   an d   r o to r   v o ltag e s   tr an s f o r m ed   to   d q o   r o tatin g   f r a m i s   g i v e n   th f o llo w i n g   e q u atio n s :     a qs s ss b s s s ds c ss s 0s v s i n c o s 1 v s i n ( 2 / 3 ) c o s ( 2 / 3 ) 1 ( 1 3 ) s i n ( 4 / 3 ) c o s ( 4 / 3 ) 1 v v v v                      ( 1 4 )       I n   ter m s   o f   lin v o lta g es     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     S tea d S t a te  a n d   Tr a n s ien t A n a lysi s   o f G r id   C n ec ted   Do u b ly  F ed   I n f u d ctio n …  ( S u k h w in d er S in g h   Dh illo n )   177     s s s s ss d s s a b s b c q s s a b s b c ( 3 s i n c o s ) v 2 c o s v 1 / 3 ( 1 5 ) ( 3 c o s s i n ) v 2 s i n v v v           ( 1 5 )       ' rr ' rr r a b b c d r q a b b c ( 3 s i n c o s ) v 2 c o s v v 1 / 3 ( 1 6 ) v ( 3 c o s s i n ) v 2 s i n v           ( 1 6 )       sr ( 1 7 )   ( 1 7 )     s an g le  o f   r ef er en ce   f r a m a n d   is   th an g le  b et w ee n   r ef er en ce   f r a m a n d   p o s itio n   o f   r o to r .   A s   w s   is   t h s p ee d   o f   s tato r   f lu x   a n d   w s - w r   i s   t h r elati v s p ee d   b et w ee n   s ta to r s   f l u x   a n d   r o to r s   ac t u al  a n g u lar   s p ee d .   So   th W   s p ee d   ( p . u . )   m atr i x   f o r   s tato r   an d   r o to r   ck t is g i v e n   b y   ( 1 8 ) :     0 0 0 0 0 0 ( 1 8 ) 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0        s s sr sr w w W ww ww     ( 1 8 )           Fig u r 1 1 .   Stato r   an d   r o to r   p h ase  v o lta g es a lo n g   d q - a x is   f o r   r o to r   r ef er en ce   f r a m e       4.   RO T O RE F E RE NCE F R AM E   I n   th i s   r ef er e n ce   f r a m s = r rr 0 s tato r   an d   r o to r   d q   co m p o n en t   co r r esp o n d s   to   lin v o lta g g iv e n   b y   eq u at io n   ( 1 9 )   an d   ( 2 0 ) .   r = th p o s itio n   o f   p h ase  a   o f   r o to r   ab f r am in   elec tr ica d eg r ee   w . r . t p h ase  a   o f   s tato r   ab r ef er en ce   f r a m e.   Stato r   v o ltag eq u a tio n s :     s S S s SS d r r a b r b c q r r a b r b c ( 3 s i n c o s ) v 2 c o s v 1 / 3 ( 1 9 ) ( 3 c o s s i n ) v 2 s i n v v v           ( 1 9 )     R o to r   v o ltag eq u atio n s :     ' Rr ' r a b b c dr qr ab v 2 v v 1 / 3 ( 2 0 ) v ( 3 ) v             ( 2 0 )     Fo r   r o to r   r ef .   f r a m (w s =w r )   f o r   p u   s y s te m   w s =1   p . u .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   6 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 7 :   1 7 1     1 9 2   178   0 0 0 0 0 0 ( 2 1 ) 0 0 0 0 0 0 0 0       r r w w W     ( 2 1 )     I n   g e n er al  s tato r s   d q o   co m p o n en t s   i n   ter m s   o f   v o lta g d r o p s   ar as f o llo w s :       ds s q s S d s ds qs s d s S q s qs 0s S 0 s qs d Ri dt d R i ( 2 2 ) dt d Ri dt v v v               ( 2 2 )     A l s o ,   r o to r   d q o   c o m p o n e n t s   in   ter m s   o f   v o ltag d r o p s   ar as f o llo w s :     ' d r ' s r r ' d r ' d r ' qr q r ' s r d r ' r ' q r ' q r ' 0 r ' r ' 0 r ' q r ' d ( ) R i dt d ( ) R i ( 2 3 ) dt d Ri dt v v v               ( 2 3 )     Fro m   ( 2 1 )   -   ( 2 3 )   s tato r   an d   r o t o r   v o ltag es  f o r   R o to r   r ef er en ce   f r a m ar as  f o llo w s     Stato r   an d   r o to r   d q o   v o ltag es a r e:     ds r q s S d s ds qs r d s S q s qs 0s S 0 s qs d Ri dt d R i ( 2 4 ) dt d Ri dt v v v               ( 2 4 )     d r ' r ' d r ' d r ' q r ' r ' q r ' q r ' 0 r ' r ' 0 r ' 0 r ' d Ri dt d R i ( 2 5 ) dt d Ri dt v v v                 ( 2 5 )     ds ds rs qs qs rs d r ' r ' d r ' r' q r ' q r ' ( t ) ds ( t ) 0 0 0 R 0 0 0 ( t ) 0 0 0 0 R 0 0 ( t ) qs 0 0 0 0 ( t ) 0 0 R 0 0 0 0 0 0 0 0 R ( t ) ( t ) d r ' ( t ) q r ' v v v v                                             ds qs d r ' q r ' i ( t ) i ( t ) ( 2 6 ) i ( t ) i ( t )                         ( 2 6 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     S tea d S t a te  a n d   Tr a n s ien t A n a lysi s   o f G r id   C n ec ted   Do u b ly  F ed   I n f u d ctio n …  ( S u k h w in d er S in g h   Dh illo n )   179   Whe r e t he r el at i on be t w ee n  f l ux  and  cur r en t  i s g i v en by :     '' '1 1 d s d s l s M M q s q s l s M M M l r ' M d r d r M l r ' M q r q r i ( t ) ( t ) L L 0 L 0 i ( t ) ( t ) 0 L L 0 L ( 2 7 ) i ( t ) ( t ) L 0 L L 0 i ( t ) ( t ) 0 L 0 L L           ( 2 7 )     B y   p u tti n g   ( 2 7 )   in to   ( 2 6 )   g iv es   r elatio n   o f   f l u x   th at      Flu x es:  ( t ) dq sr = [ V dq r , s ] +( - [ W] - [ L - 1 * R ] ) Sr dq ( t )   sr dq ( t ) = [ V dq r , s ] +( - [ W] - [ L - 1 * R ] ) RS dq ( t ) dt     ( 2 8 )     Flu x   is   d er iv ed   f r o m   t h eq u a tio n   ( 2 8 ) ,   E lectr o m a g n etic   to r q u an d   m ec h an ica m o d el  ar g iv e n   b y   th s a m s et  o f   eq u atio n s   ( 4 3 ) - ( 4 5 ) .       5.   ST A T O O ST AT I O NAR RE F E R E NC E   F RAM E   Fo r   s tatio n ar y   f r a m p h a s A   o f   th s tato r   v o lta g is   i n   p h as w it h   th d - a x i s   s o ,   s = 0,  r   an d   s tato r   an d   r o to r   v o ltag es  to   d q   co m p o n en ar e   g i v en   b y   eq u atio n   ( 2 9 )   an d   eq u atio n   ( 3 0 ) .   r = th p o s itio n   o f   p h ase  a o f   r o to r   ab f r a m in   elec tr ical  d eg r ee   w . r . t   p h a s e   a’   o f   s tato r   ab r ef er en ce   f r a m e.   Stato r   v o ltag e   eq n s :     SS s S s a b b c d ab q v 2 v 1 / 3 ( 2 9 ) ( 3 ) v v v         ( 2 9 )     R o to r   v o ltag ar g i v e n   b y   eq u atio n   ( 3 0 )   as :     rr r rr d r r a b r b c r q r r a b r b c ( 3 s i n c o s ) v 2 c o s v 1 / 3 ( 3 0 ) ( 3 c o s s i n ) v 2 s i n v v v           ( 3 0 )     As  w s   i s   t h s p ee d   o f   s tato r   f l u x   a n d   w s - w is   t h r elat iv s p ee d   b et w ee n   s tato r s   f l u x   a n d   r o to r s   ac tu al  s p ee d .   So   th W   s p ee d   m a tr ix   f o r   s tato r   an d   r o to r   c k is   g i v e n   b y   eq u atio n   ( 3 1 ) .   Fo r   s tatio n ar y   r ef .   f r a m ( w s =0 )   f o r   p u   s y s te m         V S C   V r C     Fig u r 1 2 .   Stato r   an d   r o to r   p h ase  v o lta g es a lo n g   d q   ax is   f o r   s tatio n ar y   r e f er en ce   f r a m e       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   6 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 7 :   1 7 1     1 9 2   180   r r 0 0 0 0 0 0 0 0 W ( 3 1 ) 0 0 0 ( w ) 0 0 ( w ) 0           ( 3 1 )     T h s tato r   d q o   v o ltag es:     ds S d s ds qs S q s qs 0s S 0 s 0s d Ri dt d R i ( 3 2 ) dt d Ri dt v v v               ( 3 2 )     d r ' r q s r ' d r ' d r ' q r ' r d r ' r ' q r ' q r ' 0 r ' r ' 0 r ' 0 r ' d Ri dt d ( ) R i ( 3 3 ) dt d Ri dt v v v                ( 3 3 )           Stato r   an d   r o to r   f lu x e s   ar g iv en   b y :     ds ds s qs qs s q r ' r ' d r ' r r ' d r ' q r ' ( t ) ds ( t ) 0 0 0 0 R 0 0 0 ( t ) 0 0 0 0 0 R 0 0 ( t ) qs 0 0 0 w r ( t ) 0 0 R 0 0 0 w 0 0 0 0 R ( t ) ( t ) d r ' ( t ) q r ' v v v v                                            ds qs d r ' q r ' i ( t ) i ( t ) (34) i ( t ) i ( t )                         ( 34)     Fro m   ( 2 7 )     ds ds s qs qs s r q r ' r ' d r ' r r ' d r ' q r ' ( t ) ds ( t ) 0 0 0 0 R 0 0 0 ( t ) 0 0 0 0 0 R 0 0 ( t ) qs 0 0 0 w ( t ) 0 0 R 0 0 0 w 0 0 0 0 R ( t ) ( t ) d r ' ( t ) q r ' v v v v                                            1 qs l s M M ds l s M M M l r ' M q r ' M l r ' M d r ' ( t ) L L 0 L 0 ( t ) 0 L L 0 L L 0 L L 0 ( t ) 0 L 0 L L ( t )              ( 3 5 )       Flu x   is   d er i v ed   f r o m   ( 2 8 ) ,   E lectr o m a g n etic   to r q u m o d el  ar g iv e n   b y   t h s a m s et  o f   eq u atio n s   ( 4 3 ) - ( 4 5 ) .       6.   SYNCH RO NO US L RO T AT I N G   F RAM E   I n   th is   f r a m s = e er s tato r   an d   r o to r   d q   co m p o n en co r r esp o n d s   to   lin v o ltag g i v e n   b y   t h s et  eq u atio n   ( 3 7 )   an d   ( 3 9 ) .   r = th p o s itio n   o f   p h ase  a’ o f   r o to r   ab f r am i n   elec tr i ca d eg r ee   w . r . t   p h ase  a   o f   s tato r   ab r ef er en ce   f r a m e.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.