I nte rna t io na l J o urna l o f   Appl ied P o w er   E ng ineering   ( I J AP E )   Vo l. 7 ,   No . 1 ,  A p r il   201 8 ,   p p .   7 3 ~8 6   I SS N:  2252 - 8792  DOI :  1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ap e. v 7 . i1 . pp 73 - 8 6          73       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ia e s co r e. co m/jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JA P E   Lo ca liz ed T ra nsie nt  Stabili ty (LTS )  Metho d  for Real - ti m e  Lo ca liz ed  Co ntro l       Abdu l M a lek   M ia h   De p a rtme n t  o f   In d u str ial  &   El e c tr ica l  En g in e e rin g   T e c h n o lo g y ,   S o u th   Ca r o li n a   S tate   Un iv e rsity ,   USA       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Oct  5 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Ma r   8 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Ma r   30 ,   2 0 1 8       V e ry   re c e n tl y ,   a   n e w   m e th o d o l o g y   w a s  in tro d u c e d   s o lely   f o r  th e   p u r p o se   o f   re a l - ti m e   lo c a li z e d   c o n tr o l   o f   tran sie n t  sta b il i ty .   T h e   p ro p o se d   n e w   m e th o d   is  b a se d   o n   th e   l o c a li z e d   tran sie n t  sta b il it y   o f   a   p o w e r  s y ste m .   T h is  is   c o m p lete l y   a   n e w  id e a   in   tran sie n t  sta b il it y .   In   th is  m e th o d ,   th e   p o st - f a u lt   p o w e r  s y st e m   is  re p re s e n ted   b y   a   tw o - g e n e ra to r  lo c a li z e d   p o w e r  s y ste m   a t   th e   site o f   e a c h   in d iv id u a l  g e n e ra to r.   If   e a c h   o f   th e se   lo c a li z e d   p o we r  s y ste m s   re a c h e s  it s  re sp e c ti v e   sta b le  e q u il ib ri u m ,   th e n   t h e   f u ll   p o w e r  s y ste m   a lso   re a c h e s  it s  sta b le  e q u il i b riu m .   T h e re f o re ,   in   term s  o f   re a l - ti m e   lo c a li z e d   c o n tro l  o f   tran sie n t  sta b il it y ,   if   e a c h   o f   th e   lo c a li z e d   p o w e r  s y ste m s  is  d riv e n   to   it s  re sp e c ti v e   sta b le  e q u il i b r iu m   b y   lo c a l  c o n tro l   a c ti o n s  w it h   lo c a l  c o m p u tatio n s  u sin g   th e   lo c a ll y   m e a su re d   d a ta,  th e n   th e   f u ll   p o w e r   s y ste m   is   d riv e n   to   it s  sta b le  e q u il i b riu m .   T h u s  th e   m e th o d   c a n   b e   e a sily   i m p le m e n ted   f o r  re a l - ti m e   lo c a li z e d   c o n tro l  o f   tran sie n t  sta b il it y .   In   th is  p a p e r,   th e   d e tails  o f   th e   m a th e m a ti c a l  f o rm u latio n s  a re   p re se n ted .   S o m e   in tere stin g   tes t  re su lt s  o n   th e   w e ll - k n o w n   Ne w  En g la n d   3 9 - b u s  1 0 - g e n e ra to r  sy ste m   a re   a lso   p re se n ted   in   th is  p a p e r  to   d e m o n stra te  th e   p o ten ti a l  o f   th e   p ro p o s e d   m e th o d   f o r  u se   in   re a l - ti m e   lo c a li z e d   c o n t ro l  o f   tran sie n t   sta b il it y .   K ey w o r d :   L o ca lized   p o w er   s y s te m   L o ca lized   tr an s ien t  s tab ilit y   P o w er   s y s te m   d y n a m ic s   R ea l - ti m e  lo ca lized   co n tr o l   T r an s ien t stab ilit y   co n tr o l   Co p y rig h t  ©   201 8   In s t it u te o f  A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e .    Al l  rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   A b d u l M ale k   Mia h ,     Dep ar t m en t o f   I n d u s tr ial  &   E lectr ical  E n g i n ee r i n g   T ec h n o lo g y ,   So u t h   C ar o lin a  State  Un iv er s it y ,   3 0 0   C o lleg e  Stre et  NE ,   Or an g eb u r g ,   SC   2 9 1 1 7 ,   USA .   E m ail: a m ia h @ s cs u . ed u       1.   I NT RO D UCT I O N   T r an s ien t  s tab il it y   a s s e s s m e n t  an d   co n tr o l  ar e  cr u cial  f o r   th e  s ec u r ed   o p er atio n   o f   p o w er   s y s te m s .   I n   th e  co n tex t   o f   o n - lin e   ap p licatio n s ,   a  n u m b er   o f   co m p u tati o n all y   f a s t  tr a n s ie n t  s tab ilit y   ass es s m en t   m e th o d s   h av e  b ee n   r ep o r ted   in   th e   lite r atu r e.   Am o n g   th e s e,   th e   d ir ec t  m et h o d s   s u c h   as  t h e  tr a n s i en t  e n er g y   f u n ctio n   m et h o d   [ 1 ]   an d   ex te n d ed   eq u al  ar ea   cr iter io n   ( E E A C )   [ 2 ]   ar e  th e  i m p o r tan t  o n e s   w h ic h   h av e   b ee n   i m p le m en ted   at  s o m e  u ti lit y   c o m p a n ies  [ 3 ] .   Ho w ev er ,   a l l   t h e   f a s t   m e t h o d s   u s e   c l a s s i c a l   r e p r e s e n t a t i o n   o f   p o w e r   s y s t em s   a n d   h e n c e   t h ey   a r e   l i m i t e d   t o   s h o r t   t e r m   a s s e s s m e n t   l ik e   t h e   f i r s t   s w in g   s t a b i l i t y .   A ll  t h e s e   f a s t   m e t h o d s   a r e   f a s t e r   t h a n   t h e   s t a n d a r d   s t e p - by - s t e p   ( S B S )   n u m e r i c a l   i n t e g r a t i o n   m e t h o d   w h i ch   i s   c o n s i d e r e d   a s   t h e   m o s t  a c c u r a t e   m e t h o d   o f   t r a n s i e n t   s t a b i l i t y   a s s e s s m e n t   s i n c e   t h i s   m e t h o d   c a n   a c c o m m o d a t e   a n y   d e g r e e   o f   m o d e l i n g   o f   t h e   p o w e r   s y s t em s .   T h e   f a s t   m e th o d s   c a n   b e   m a d e   e v e n   f as t e r   b y   c o u p l i n g   w i t h   t h em   t h e   d y n am i c   e q u i v a l e n t  r e d u c t i o n   t e c h n i q u e s   [ 4 - 6 ] .   So m e  r ec e n t  d e v elo p m e n ts   in   tr a n s ie n t   s tab ilit y   ass e s s m e n t  ar e   r ep o r ted   in   [ 7 - 1 3 ] .   T h er e  ar e  also   r esea r ch   e f f o r ts   in   u s i n g   p ar allel  p r o ce s s in g   [ 1 4 - 1 6 ]   to   s p ee d   u p   th e  tr an s ie n t     s tab ilit y   s i m u latio n s .     B esid es  th e  n at u r al  ca u s es  ( h u r r ican e,   to r n ad o ,   ice  s to r m ,   e ar th q u a k e,   etc. ) ,   tr an s ien t  i n s t ab ilit y   h a s   b ee n   k n o w n   to   b e  a  m aj o r   ca u s e  f o r   w id esp r ea d   p o w er   b lack o u t s .   P o w er   b lack o u t   d o es  n o t  o cc u r   f r eq u e n tl y ,   b u t  w h e n   it  d o es,  t h e  i m p ac ts   ca n   b e  d ev astat in g   i n   ter m s   o f   h u m an   s u f f er in g s   an d   f i n a n cial  lo s s es.  Si n ce   a   v ast   m aj o r it y   o f   U.   S.  a g r ic u l tu r al  f ar m s   r el y   o n   t h e  elec tr icit y   f r o m   p o w er   g r id s   f o r   t h ei r   p r o p er   o p er atio n ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   7 ,   No .   1 ,  A p r il 2 0 1 8 :   73   –   86   74   p o w er   b lack o u ts   ca n   h a v e  d i s astro u s   e f f ec ts   in   ter m s   o f   s ig n if ican t   lo s s e s   o f   cr o p s   a n d   liv es to ck .   P o w er   b lack o u ts   ca n   al s o   ca u s e  s u b s tan tial  s p o ilag e  o f   r e f r i g er ated   ag r icu lt u r al  p r o d u cts.  I n   ad d itio n ,   p o w e r   b lack o u ts   ca n   h av e   s er io u s   i m p a cts  i n   ter m s   o f   h u g e  f i n an ci al  lo s s e s   b y   t h e  o t h er   b u s i n ess es.  T h er ef o r e,   w it h   th e  s tr e s s ed   tr an s m is s io n   s y s t e m s   o f   to d a y ,   r ea l - ti m e  co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab ilit y   is   cr it icall y   i m p o r tan t  to   av o id   w id esp r ea d   p o w er   b lac k o u t s   d u e   to   tr an s ien t  i n s tab il it y .   Ho w e v er ,   all  t h e  tr an s ien t  s tab ilit y   m et h o d s   r eq u ir e  s y s te m - w id e  tr an s f er   o f   m ea s u r e m en t  d ata  to   th e  s y s te m   co n tr o l  ce n ter   f o r   u s e  i n   r ea l - ti m e  co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab ilit y .   D u e   to   t h e  d ev elo p m en t   o f   p h a s o r   m ea s u r e m en t   u n it   ( P MU ) ,   th er e  ar e   r esear ch   e f f o r t s   f o r   r ea l - ti m e  tr a n s ie n t   s tab ilit y   a s s ess m e n t  [ 1 7 - 2 1 ]   u s i n g   P MU   m ea s u r e m e n t s .   T h er e  ar e  also   r esear ch   e f f o r ts   f o r   r ea l - ti m e  ce n tr alize d   co n tr o l  o f   tr an s ien t  s tab il it y   [ 2 1 - 2 3 ]   u s i n g   co n tr o l  ac tio n s   lik e   tr ip p in g   o f   g en er ato r s ,   tr ip p in g   o f   tr a n s m is s io n   li n e s ,   etc.   Ho w e v er ,   s i n ce   r ea l - ti m e  lo c alize d   co n tr o l  o f   tr an s ien t   s ta b ilit y   ca n   b e  m u ch   s i m p ler ,   f aster   a n d   ch ea p er   co m p ar ed   to   th e  r ea l - ti m e  ce n tr alize d   co n tr o l,  th er e   ar e  r esear ch   ef f o r ts   f o r   lo ca li ze d   co n tr o ls .   T h ese   lo ca lized   co n tr o ls   u s e  lo ca l  co m p u tati o n s   w it h   lo ca l  in f o r m atio n   a n d   m ea s u r e m e n t s .   T o   av o id   th e  s y s te m - w id e  tr an s f er   o f   r ea l - ti m e  m e asu r e m en t  d ata,   L o ca l  E q u ilib r iu m   Fra m e  ( L E F)  w a s   s u g g e s ted   in   [ 2 4 ]   f o r   th e  p u r p o s e  o f   lo ca lized   co n tr o l.  Ho w e v er ,   th e  eq u il ib r iu m   s tate  in   L E F  r ef er s   to   a  s tate   at  w h ic h   all  t h e  g en er ato r s   r u n   at  s y n ch r o n o u s   s p ee d .   T h is   s y n ch r o n o u s   s p ee d   eq u ilib r iu m   co n d itio n   i s   s u f f icie n t,  b u t  n o t   n ec es s ar y ,   as  it  i s   to o   r estrict iv e.   T h is   i s   a  s er io u s   d r a w b a ck   o f   L E F.  T h e  ce n ter - of - an g le  ( C O A )   f r a m e  o f   r ef er en ce   i n   w h ic h   t h e  g e n e r ato r   an g les  ar e  w it h   r esp ec t  to   th e  ce n ter   o f   a n g les  o f   all  t h e  g en er ato r s ,   an d   t h e   m ac h in e  f r a m e  o f   r ef er en ce   i n   w h ich   t h e  g e n er ato r   an g les  ar e  w it h   r esp ec t  to   th e  an g le  o f   a  ch o s en   co m m o n   g en er ato r   d o   n o t  s u f f er   f r o m   s u ch   d r a w b ac k .   T h e  eq u i lib r iu m   s tate   in   t h ese  r e f er en ce   f r a m es   r ef er s   to   a   s tat e   at  w h ic h   all  th e  g e n er ato r s   r u n   at  th e  s a m e  s p ee d   th at  is   n o t   n ec ess ar il y   th e  s y n c h r o n o u s   s p ee d .   Fu r th er ,   L E F  ca n n o t  p r o v id e  an y   d y n a m ic  eq u atio n   f o r   th e  e x ter n al  s y s t e m .   T h is   is   an o t h er   d r a w b ac k   o f   L E F.  T h er e  a r e   also   a  n u m b er   o f   s tr ate g ies   [ 2 5 - 3 0 ]   th at  h a v e  b ee n   s u g g es te d   in   t h e  liter at u r e  f o r   lo ca lized   co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab ilit y   u s i n g   d i f f er e n t   co n tr o l  m ea n s   li k e  b r ak i n g   r es is t o r s ,   s er ies  ca p ac ito r s ,   f a s t  v alv i n g   an d   F AC T S  d ev ices.  Ho w e v er ,   th ese  s tr at eg ie s   ar e  d ev elo p ed   u s in g   v er y   s i m p l if ied   m o d els  f o r   th e  ex ter n al  s y s te m s   lik e   th e  i n f i n ite  b u s .   T h er ef o r e,   i n   ea ch   o f   t h ese   s tr ate g ies,  eq u i lib r iu m   r ef er s   to   s y n ch r o n o u s   s p ee d   eq u ilib r iu m   w h ic h   is   a  s er io u s   d r a w b ac k .   A   co n tr o l  s tr ate g y   b ased   o n   s i m p li f ied   m o d el  m a y   w o r k   o n l y   f o r   s o m e  s p ec ial   f au lts   i n   a  m u lti - m ac h i n e  p o w er   s y s te m   [ 2 9 ] .   I n   all  t h ese  s tr ateg ie s ,   s i m p li f ied   m o d els  ar e  u s ed   d u e  to   th e   lack   o f   av ailab ili t y   o f   a  s u itab le  d y n a m ic  m o d el  f o r   th e  r e m ain i n g   g en er ato r s   an d   a  m et h o d o lo g y   th at  ca n   b e   i m p le m en ted   f o r   lo ca lized   co n tr o l o f   tr an s ie n t stab ilit y   i n   m u lti - m ac h i n e  p o w er   s y s te m s .   T o   o v er co m e  t h e  d r a w b ac k s   o f   lo ca lized   co n tr o l,  a   n e w   m eth o d o lo g y   r e f er r ed   to   as   th e   L o ca lized   T r an s ien t  Stab ilit y   ( L T S)  Me th o d   is   p r o p o s ed   h er e  s o lely   f o r   th e  p u r p o s e  o f   r e al - ti m e  l o ca lized   co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab ili t y .   T h e  p r o p o s ed   m et h o d   is   b ased   o n   lo ca lized   tr an s ien t  s tab ilit y   o f   a  p o w er   s y s te m .   T h is   i s   co m p lete l y   a  n e w   id ea .   T h e  m et h o d   ca n   b e  ea s il y   i m p le m en ted   f o r   r ea l - ti m e  lo ca lized   co n tr o l  o f   tr an s ie n t   s tab ilit y .   T h e  s y s te m   eq u ilib r i u m   s tate  i n   t h e  p r o p o s ed   m et h o d   r ef er s   to   a  s tate  at  w h ic h   al l  th e  g en er ato r s   r u n   at  th e   s a m e  s p ee d   th at  is   n o t  n ec ess ar il y   t h e  s y n ch r o n o u s   s p ee d .   T h e  m e th o d   al s o   p r o v id es   d y n a m ic   eq u atio n s   f o r   th e  r e m ain in g   g en er ato r s ,   w h ic h   ar e  n ec es s a r y   to   d esi g n   e f f ec ti v e  lo ca lized   co n tr o l   s tr ateg ie s   t h at  ca n   d r iv e  th e   p o w er   s y s te m   to   it s   ap p r o p r iate  eq u ilib r iu m .   V er y   r ec en t l y ,   th e   p r o p o s ed   m et h o d   w as  b r ie f l y   in tr o d u ce d   i n   [ 3 1 ] .   Ho w e v er ,   in   t h e  p r ese n t  p ap er ,   t h e  d etails  o f   t h e  m at h e m atica l  f o r m u latio n s   o f   t h e   p r o p o s ed   m eth o d   ar e  p r ese n te d .   So m e  i n ter esti n g   te s t  r es u lt s   o n   th e   v er y   w ell - k n o w n   Ne w   E n g la n d   3 9 - b u s   10 - g en er ato r   s y s te m   ar e  also   p r esen ted   to   d e m o n s tr ate  t h e  p o ten tial  o f   t h e  p r o p o s ed   m et h o d   f o r   u s e  i n   r ea l - ti m e  lo ca lized   co n tr o l o f   tr an s i en t  s tab ili t y .       2.   M E T H E M AT I CAL F O RM UL A T I O NS O F   T H E   P RO P O SE D  M E T H O D   I n   th e  p r o p o s ed   m et h o d ,   tr an s ien t  s tab ili t y   i s   v ie w ed   as  t h e  in ter ac tio n   o f   ea ch   in d i v id u a l  g en er ato r   w it h   its   r esp ec ti v e  r e m ai n i n g   g en er ato r s .   T h er ef o r e,   th e   m e th o d   u s e s   t w o - g en er ato r   lo ca l ized   m o d els  o f   th e   p o w er   s y s te m   a s   it   is   s ee n   f r o m   t h e  s ites   o f   d i f f er en t  in d i v i d u al  g e n er ato r s .   Ho w e v er ,   th e   d ev elo p m e n t  o f   a   lo ca lized   p o w er   s y s te m   m o d el  in v o lv e s   t h e  d er iv atio n   o f   a  s i m p le   d y n a m ic   eq u i v ale n t  f o r   th e  r e m ai n i n g   g en er ato r s .   T h is   d y n a m ic  eq u iv ale n t  is   o b tai n ed   b y   s ati s f y in g   th e  n ec es s ar y   n o d al  eq u a tio n   an d   g en er ato r   s w in g   eq u atio n s .   Ho w e v er ,   i n   th e   p r esen ce   o f   a   f a u lt   li k e  t h e  s h o r t  cir c u it  f a u lt   o n   t h e  s y s te m ,   t h i s   d y n a m ic   eq u iv ale n t  i s   n o t  av a ilab le.   T h er ef o r e,   th e  p r o p o s ed   m e th o d   u s e s   t h e  p o s t - f a u lt  s y s te m .   No te  th at   t h e   t r a n s i e n t   s t a b i l i t y   a s s e s s m en t   a n d   c o n t r o l   a r e   a c t u a l l y   t h e  a s s e s s m en t   an d   c o n t r o l   o f   t h e   p o s t - f a u l t   s y s t e m .   T o   d e v e l o p   t h e   p r o p o s e d   m e t h o d ,   a   p o w e r   s y s t e m   o f   n   g en e r a t o r s   w i t h   c l a s s i c a l   r e p r e s e n t a t i o n   i s   c o n s i d e r e d .   H o w e v e r ,   s i n c e   t h e  c l a s s i c a l   m o d e l   i s   u s e d ,   t h e   p r o p o s e d   m e t h o d   i s   l i m i t e d   t o   s h o r t   t e r m   r e a l - t i m e   c o n t r o l .     2 . 1 .   A  s i m p le  dy na m ic  equiv a lent   f o r  t he  re m a i nin g   g ene ra t o rs   T o   d ev elo p   a   s i m p le  d y n a m ic   eq u iv ale n t  f o r   th e  r e m ai n i n g   g en er ato r s ,   at  th e  s ite  o f   an   in d iv id u al   g en er ato r   r ef er r ed   to   as  lo ca l  g en er ato r ,   s a y   t h e  n th   lo ca l  g en er ato r ,   th e  p o s t - f au lt  p o w er   s y s te m   n et w o r k   i s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     Lo ca liz ed   Tr a n s ien t S ta b ilit y  ( LT S )   Me th o d   fo r   R ea l - time  Lo ca liz ed   C o n tr o l ( A b d u l Ma lek  Mia h )   75   p ar titi o n ed   in to   t w o   s u b s y s te m s   at  t h e  in ter n al  b u s   o f   t h e  l o ca l  g en er ato r :  s u b s y s te m   C   co n tain i n g   th e  lo ca l  g en er ato r ,   an d   s u b s y s te m   D   c o n tain i n g   t h e  r e m a in i n g   s y s te m .   T h ese  t w o   s u b s y s te m s   ar e   co n n ec ted   to   ea c h   o th er   o n l y   at  th e  i n ter n al  b u s   o f   th e  lo ca l  g en er ato r .   Her e,   th e  in ter est  is   to   f o r m   a  d y n a m ic  eq u iv ale n t  f o r   th e   s u b s y s te m   D   co n tai n in g   th e   r e m ai n i n g   g e n er ato r s   w h ic h   m a y   o r   m a y   n o t  b e  co h er e n t.  T h er ef o r e,   t h is   eq u iv ale n t  is   a  n e w   k i n d   o f   d y n a m ic  eq u i v ale n t  an d   is   d i f f er en t  f r o m   t h e  co h er en c y - b a s ed   eq u iv alen t s .   T h e  f o llo w in g   s et s   o f   i n d ices a r e  d ef i n ed .     )} 1 ( , , 2 , 1 { }; { n D n C I I     w h er e  C I   is   th e  i n d ex   f o r   th e  lo ca l  g en er ato r   in ter n al  b u s ,   a n d   D I   ar e  th e  in d ices  f o r   all  t h e  ( n - 1 )   r em ai n i n g   g en er ato r   in ter n al  b u s es.  Af t er   th e  p o w er   s y s te m   n et w o r k   is   r ed u ce d   to   th e  g en er ato r   in ter n a l  b u s es,  th e   p o w er   s y s te m   e x ter n a l  to   th e   lo ca l  g en er ato r   in ter n al  b u s   ap p ea r s   as  in   Fig u r e  1 .   Her e,   I n =p h aso r   cu r r en t   in j ec ted   in to   ar ea   D   at   th e   lo c al  g e n er ato r   in ter n al  b u s ,   y k   is   a  s h u n t  ad m itta n ce   at  a n   in ter n a l  b u s   k   t h at   ap p ea r s   d u e  to   n et w o r k   r ed u c t io n ,   Y ik = Y ki = G ik + jB ik =G ki + jB ki =e le m e n ts   o f   t h e  r ed u ce d   ad m ittan ce   m atr i x ,   an d   E i = E i i =p h a s o r   v o lta g e  o f   a  g e n er ato r   in ter n al  b u s .   F u r th er ,   M i ,  i   an d  P mi   ar e  r esp ec tiv el y   t h e  i n er tia  co n s ta n t,  r o to r   an g le  a n d   m ec h an ica l  in p u t  p o w er   o f   a  g e n e r ato r .   Ho w e v er ,   f r o m   th e  elec t r ical  n et w o r k   p o in t   o f   v ie w ,   o n l y   t h e  n et w o r k   s h o w n   i n   Fi g u r e  2 ( a)   is   s ee n   b y   t h e  lo ca l g en er ato r   in ter n a l b u s .           Fig u r e  1 .   R e m ai n i n g   s y s te m   D   ( th e  p o w er   s y s te m   ex ter n al  to   th e  lo ca l g e n er ato r   in ter n al  b u s )       Fo r   th e  p u r p o s e  o f   tr an s ie n t  s tab ilit y ,   ar ea   D   in   Fi g u r e  2 ( a)   ca n   n o w   b e  d escr ib ed   b y   o n e  n o d al  eq u atio n   at   t h e  lo ca l  g e n er ato r   in ter n al  b u s   a n d   ( n - 1 )   s w i n g   e q u atio n s   f o r   t h e  r e m ai n i n g   g e n er ato r s .   T h e  n o d al   eq u atio n   is   w r it ten   a s     I D k k nk n nn n E Y E Y I                 ( 1 )     w h ic h   ca n   al s o   b e  r ew r i tten   a s     I D k n k nk n n n ) ( E E Y E y I               ( 2 a)     w h er e     I D k nk nn n Y Y y                 ( 2 b )     T o   s atis f y   t h e  d y n a m ic  b e h av i o r   o f   a  r em ai n i n g   g en er ato r   i   i n   Fi g u r e  2 ( a) ,   it  is   co n s id er ed   th at  t h is   g en er ato r   h as  it s   o r ig in a l  in er tia  co n s ta n t  M i .   Ho w ev er ,   its   elec tr ical   o u tp u t  p o w er   as  s ee n   i n   Fig u r e  1   is   d ec o m p o s ed   in to   t w o   co m p o n e n ts :  f ir s t  co m p o n en t  is   t h e  p o w er   f lo w i n g   to w ar d s   t h e  lo ca l  g e n er ato r ;  s ec o n d   co m p o n e n t  i s   th e  co m b i n atio n   o f   t h e  p o w er   f lo w i n g   i n to   t h e  s h u n t  ad m itt an ce   at  t h e  in ter n al  b u s   o f   th i s   g e n er ato r   an d   th e   p o w er   f lo w i n g   to w ar d s   t h e  o t h er   r e m ai n i n g   g en er ato r s .   No w   a n   eq u i v alen t  m ec h a n ical  in p u t  p o w er   P i   o f   t h i s   g en er ato r   is   d e f i n ed   as  it s   o r ig in al  m ec h an ical  i n p u t  p o w er   P mi   m i n u s   t h e  s ec o n d   co m p o n en t   o f   t h e   d ec o m p o s ed   p o w er .   T h is   P i   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   2 ( a)   p r o d u ce s   th e  o r ig i n al  p o s t - f a u lt   tr aj ec t o r y   o f   th i s   g en er ato r .   Ho w e v er ,   th is   m ath e m atica l  m a n ip u latio n   m a k es  P i   a  ti m e  v ar y i n g   q u a n tit y   u n le s s   all  th e   r e m ain in g   g e n er ato r s   ar e  co h er en t.  T h e  s w i n g   eq u atio n s   o f   th e  r e m ai n i n g   g en er ato r s   i n   Fig u r e  2 ( a)   a r e  n o w   w r itte n   i n   s y n c h r o n o u s   f r a m e  o f   r ef er en ce   as :     E n - 1   δ n - 1   L o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   - Y 1,   2   y 2   E 2   δ 2     - Y n , 2   M 2   P m2   - Y n , n - 1   E n   δ n   M n - 1   P m ,   n - 1   I n     E 1   δ 1     - Y n , 1   M 1   P m1   y n   y 1   y n - 1   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   7 ,   No .   1 ,  A p r il 2 0 1 8 :   73   –   86   76   L o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   y n   E T   δ T   y T   E n     δ n   I n   P T   M T   I n i in n i in n i in i i i i D i B G E E G E P dt d M )] s i n ( ) c o s ( [ 2 2 2     ( 3 )     T o   ag g r eg ate  th e  g en er ato r s   o f   Fig u r e  2 ( a)   to   o n e  eq u iv alen t  g en er ato r ,   th e  n et w o r k   en c lo s ed   b y   th e  d as h ed   lin es   is   r ep lace d   b y   i ts   T h e v en i n   eq u iv a len t.  Fi g u r e  2 ( b )   n o w   b ec o m es  th e  s i n g le - g en er ato r   d y n a m ic   eq u iv ale n t o f   Fig u r e  2 ( a) .   I n   Fig u r e  2 ( b ) ,   E T ,  δ T ,  M T ,   an d   P T   ar e  r esp ec tiv el y   t h e  i n ter n al  b u s   v o ltag e  m a g n i tu d e,   r o to r   an g le,   in er tia  co n s ta n t,  a n d   m ec h a n ical  i n p u t  p o w er   o f   t h e  eq u iv ale n t  g e n er ato r .   T h e  n o d al  eq u atio n   ( 2 )     n o w   b ec o m e s     ) ( n T T n n n E E y E y I                 ( 4 a)     w h er e     I I D k D k kn nk T T T jb g Y Y y ) (             ( 4 b )     i s   t h e   T h e v e n i n   a d m i t t a n c e   t h a t   a p p e a r s   b e t w e e n   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   a n d   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s .   T o   d e t e r m i n e   t h e   i n t e r n a l   v o l t a g e   E T   a n d   t h e   r o t o r   a n g l e   δ T   f r o m   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   q u a n t i t i e s ,   ( 4 a )   c a n   b e   w r i t t e n   a s     T n T n n n T y E y E y I E / ) (               ( 5 )       ( a)                     ( b )     Fig u r e  2 .   ( a)   E q u iv alen t o f   r e m ai n in g   s y s te m   D   a s   s ee n   b y   t h e  lo ca l g e n er ato r ,   ( b )   Sin g le - g en er ato r   d y n a m ic  eq u iv ale n t o f   r e m ai n in g   s y s te m   D       Ho w e v er ,   b y   co m p ar i n g   ( 2 a)   an d   ( 4 a) ,   E T   is   g iv e n   b y     ) /( ) ( I I D k nk D k k nk T T T E Y E Y E             ( 6 )     w h i c h   i s   t h e   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   T h e v e n i n   p h a s o r   v o l t a g e .   E q u a t i o n   ( 6 )   c l e a r l y   i n d i c a t e s   t h a t   E T   i s   a n   a d m i t t a n c e - w e i g h t e d   a g g r e g a t e d   a v e r a g e   p h a s o r   v o l t a g e   o f   a l l   t h e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   p h a s o r   v o l t a g e s   w i t h   th e   w e i g h t in g   a d m i t t a n c e s   b e i n g   t h e   o n e s   w h i c h   c o n n e c t   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   w i t h   t h e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s e s .   T h u s   t h e   a n g l e   o f   t h i s   a g g r e g a t e d   a v e r a g e   p h a s o r   v o l t a g e   i s   t a k e n   a s   t h e   r o t o r   a n g l e   T .   U s i n g   ( 6 ) ,   i t   c a n   b e   s h o w n   t h a t   E T     i s   a   t i m e   v a r y i n g   q u a n t i ty   u n l e s s   a l l   t h e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r s   a r e   c o h e r e n t .   T h e   e q u i v a l e n t   s h o w n   i n   F ig u r e   2 ( b )   c a n   a l s o   b e   i n t e r p r e t e d   a s   t h e   r e s u l t   o f   a s s i g n i n g   t h e   s am e   a g g r e g a t e d   a v e r a g e   p h a s o r   v o l t a g e   E T = E T T   t o   a l l   t h e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s e s   i n   F i g u r e   2 ( a )   a n d   t h e n   f o r m i n g   t h e  T h e v e n i n   e q u i v a l e n t .   I t   c a n   b e   e a s i l y   s h o w n   t h a t   t h e   T h e v e n i n   e q u i v a l e n t   r e m a in s   u n a l t e r e d   w h e n   a l l   th e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s e s   a r e   a s s i g n e d   t h e   s a m e  a g g r e g a t e d   a v e r a g e   p h a s o r   v o l t a g e   E T = E T T .  T h e r e f o r e ,   t h e   s w i n g   e q u a t i o n   f o r   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r   i s   o b t a i n e d   b y   r e p l a c i n g   a l l   t h e   r e m a i n in g   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   v o l t a g e s   i . e .   E i = E i i   I D i b y   E T = E T T   i n   t h e   s w in g   e q u a t i o n s   ( 3 )   a n d   t h e n   s u m m in g   t h em .   T h e   r e s u l t i n g   s w i n g   e q u a t i o n   f o r   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r   i s   t h u s   g i v e n   b y     L o c a l   g e n e r a t o r   i n t e r n a l   b u s   E 1   δ 1   E 2   δ 2   E n - 1   δ n - 1   y n     - Y n , 1     - Y n , 2   - Y n , n - 1   E n   δ n   I n   M 1   M n - 1   M 2   P 1   P 2   P n - 1   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     Lo ca liz ed   Tr a n s ien t S ta b ilit y  ( LT S )   Me th o d   fo r   R ea l - time  Lo ca liz ed   C o n tr o l ( A b d u l Ma lek  Mia h )   77   )] s i n ( ) ( ) c o s ( ) [( ) ( 2 2 2 n T D i in n T D i in n T D i in T D i i T D i i I I I I I B G E E G E P dt d M   ( 7 )     w h ic h   ca n   b e  w r itte n   as     )] s i n ( ) c o s ( [ 2 2 2 n T T n T T n T T T T T T b g E E g E P M dt d         ( 8 a)     w it h   t h e  in er t ia  co n s ta n t  M T   a n d   m e c h a n i c a l   i n p u t   p o w e r   P T   o f   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r   g i v e n   b y     I I D i i T D i i T P P M M ,                 ( 8 b )     I n   th is   a g g r e g atio n ,   s in ce   t h e  in ter n al  p h a s o r   v o ltag e s   o f   th e  r e m ain in g   g e n er ato r s   ar e  r ep l ac ed   b y   a  co m m o n   ag g r e g ated   av er ag e  p h aso r   v o ltag e,   th e  r ea l  p o w er   at  t h e  in t er n al  b u s   o f   t h e  eq u i v ale n t  g e n er ato r   is   ex p ec ted   to   b e  a p p r o x i m atel y   eq u al  t o   th e  s u m   o f   th e  r ea l  p o w er s   at  th e  in ter n al  b u s es  o f   all  th e  r em a in i n g     g en er ato r s ,   i.e .     )] s i n ( ) c o s ( [ )] s i n ( ) c o s ( [ 2 2 n i in n i D i in n i D i in i n T T n T T n T T T B G E E G E b g E E g E I I         ( 9 )     T h e  eq u iv ale n t  p r ese n ted   h er e  is   a  lo ca lized   m o d el  th at   r ep r esen ts   t h e  d y n a m ic  b e h av io r   o f   th e   r e m ain in g   g e n er ato r s   as   s ee n   at  th e   s ite   o f   th e   lo ca l  g e n er ato r ,   b u t  P T   a n d   E T   i n   t h i s   m o d e l   a r e   i n   g e n e r a l   t i m e  v a r y i n g   q u a n t i t i e s .     2 . 2 .   P o s t - f a ult  lo c a lized  po wer   s y s t e m   m o del   T h e   p o w e r   s y s t em   a s   s e e n   a t   t h e   s i t e   o f   t h e   n t h   l o c a l   g e n e r a t o r   n o w   c o n s i s t s   o f   th e   s u b s y s t em   C   a n d   t h e   d y n am i c   e q u i v a l e n t   o f   F i g u r e   2 ( b ) .   T h e r e f o r e ,   t h e   l o c a l i z e d   p o w e r   s y s t em   ( L PS )   m o d e l   t a k e s   t h e   f o r m   s h o w n   i n   F i g u r e   3 .   H e r e ,   δ n ,  M n ,   an d   P mn   ar e  r esp ec tiv el y   th e  r o to r   an g le,   in er tia  co n s tan t,  an d   m ec h an ica l  in p u t  p o w er   o f   th e  lo ca l g e n er ato r .   T h e   s w i n g   eq u atio n   o f   t h e  lo ca l g e n er ato r   is   g iv e n   b y     n n                     ( 1 0 a )     )] s i n ( ) c o s ( [ , , , 2 T n T n T n T n T n n n n m en mn n n B G E E G E P P P M     ( 1 0 b )     a n d   t h a t   o f   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r   i s   g i v e n   b y     T T                     ( 1 1 a )     )] s i n ( ) c o s ( [ , , , 2 n T n T n T n T n T T T T T eT T T T B G E E G E P P P M     ( 1 1 b )           Fig u r e   3.   L o ca lized   p o w er   s y s te m   ( L P S)  m o d el  at  t h e  s ite  o f   n th   g en e r ato r   P mn   E T   δ T   y n   y T   E n   δ n   P T   M T   M n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   7 ,   No .   1 ,  A p r il 2 0 1 8 :   73   –   86   78   H e r e ,   P en   a n d   P eT   a r e   r e s p e c t i v e l y   t h e   o u t p u t   e l e c t r i c a l   p o w e r s   o f   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r   a n d   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r .   F u r t h e r ,   ( G' n ,   n +   j   B ' n ,   n ) ,   ( G' T ,   T   + j   B ' T ,   T ) ,   ( G' n , T   + j   B ' n , T )   a n d   ( G' T , n   + j   B ' T , n )   a r e   e l e m e n t s   o f   t h e   a d m i t t a n c e   m a t r i x   o f   t h e   l o c a l i z e d   p o w e r   s y s t em   s h o w n   i n   F i g u r e   3 ,   a n d   ω n   a n d   ω T   a r e   r e s p e c t i v e l y   t h e  s p e e d s   o f   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r   a n d   t h e   e q u i v a l e n t   g e n e r a t o r .   T h e   d y n am i c s   o f   t h e   s y s t em   d e s c r i b e d   b y   ( 1 0 )   a n d   ( 1 1 )   c a n   b e   p u t   i n   t h e   tw o - s t a t e   f o r m   o f   r e p r e s e n t a t i o n   a s :                   ( 1 2 a )     ) ( ) ( 1 1 eT T T en mn n P P M P P M               ( 1 2 b )     w h e r e     ] s i n c o s [ , , , 2 T n T n T n n n n en B G E E G E P             ( 1 2 c)     ] s i n c o s [ , , , 2 n T n T n T T T T eT B G E E G E P             ( 1 2 d )     T n               ( 1 2 e )     w i t h   δ   a n d   ω   as  th e  s tate  v ar ia b les.  T h e   l o c a l i z e d   t w o - g e n e r a t o r   s y s t em   d e s c r i b e d   b y   ( 1 2 )   i s   r e f e r r e d   t o   a s   t h e   n t h   l o c a l i z e d   p o w e r   s y s t em .   S i n c e  δ   a n d   ω   r e s p e c t i v e l y   r e p r e s e n t   t h e   s e p a r a t i o n   a n g l e   a n d   s p e e d   o f   a n   i n d i v i d u a l   g e n e r a t o r   w i t h   r e s p e c t   t o   i t s   r e s p e c t i v e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r s ,   t h e   t r a je c t o r i e s   o f   a   l o c a l i z e d   p o w e r   s y s t em   ( L PS )   c a n   a l s o   b e   r e f e r r e d   t o   a s   t h e   s e p a r a t i o n   t r a j e c t o r i e s   o f   t h e   c o r r e s p o n d i n g   i n d i v i d u a l   g e n e r a t o r .   N o t e   t h a t   t h e   tw o - g e n e r a t o r   l o c a l i z e d   m o d e l   a t   t h e   s i t e   o f   a   l o c a l   g e n e r a t o r   d e s c r i b e s   t h e   d y n am i c  b e h a v i o r   o f   t h e   f u l l   p o w e r   s y s te m   a s   i t   i s   s e e n   a t   th e   s i t e   o f   th e   l o c a l   g e n e r a t o r .   T h e r e f o r e ,   t h e s e   l o c a l i z e d   p o w e r   s y s t em   m o d e l s   a r e   n o t   s u b s y s te m s   l i k e   th e   i n t e r c o n n e c t e d   s u b s y s t em s   i n   a   p o w e r   s y s t em   w h e r e   t h e   e n t i r e   p o w e r   s y s t em   c a n   b e   u n s t a b l e   e v e n   t h o u g h   e a c h   s u b s y s t em   i s   s t a b l e .     2 . 3 .   T ra ns ient   s t a bil it y   o f   f ul l sy s t e m   a nd   t he  lo ca lized   po w er   s y s t e m s   C o n s id er   th at  t h e  f u ll  p o w e r   s y s te m   af ter   a  m aj o r   d is t u r b an ce ,   r ea ch e s   its   ap p r o p r iate  s tab le  eq u ilib r iu m   p o in t  in   t h e  p o s t - f au lt  co n f i g u r atio n .   T h en   al l  th e  g en er ato r s   ar e  co h er e n t  i.e .   t h e y   o p er ate  at  t h e   s a m e  s p ee d   w h ich   i s   n o t  n ec es s ar il y   t h e  s y n c h r o n o u s   s p ee d .   T h is   ca n   b e  w r itte n   as     n 2 1                   ( 1 3 )     No w   co n s id er   th e  b eh a v io r   o f   th e  L P S  co r r esp o n d in g   to   th e  n th   lo ca l  g en er ato r ,   as  th e  f u ll  s y s te m   r ea c h es  t h e  eq u ilib r iu m   s tate.   B y   ( 1 3 ) ,   th e   r em a in i n g   g e n er ato r s   ar e  co h er en t i. e.     ( s a y ) 1 2 1 n               ( 1 4 a)     w h er e is   th e  s p ee d   o f   th e  r e m ain i n g   g en er ato r s .   Si n ce   t h e  an g u lar   d if f er en ce   b et w ee n   an y   t w o   r e m ai n i n g   g en er ato r s   is   co n s ta n t,  it c a n   b e  s h o w n   u s in g   ( 6 )   th at  E T   is   a  co n s ta n t q u a n tit y   i.e .     0 T E                     ( 1 4 b )     E q u atio n   ( 6 )   ca n   also   b e  w r itt en   as     ) /( ) ( I I k T D k nk D k j k nk j T e E e E Y Y               ( 1 5 )     Dif f er en t iatio n   o f   ( 1 5 )   lead s   to     ) /( ) ( I I k T D k nk D k k j k nk T j T e E e E Y Y             ( 1 6 )     Use o f   ( 1 4 a)   in   ( 1 6 )   lead s   to     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     Lo ca liz ed   Tr a n s ien t S ta b ilit y  ( LT S )   Me th o d   fo r   R ea l - time  Lo ca liz ed   C o n tr o l ( A b d u l Ma lek  Mia h )   79   ) /( ) ( I I k T D k nk D k j k nk T j T e E e E Y Y             ( 1 7 )     Fro m   ( 1 5 )   an d   ( 1 7 ) ,   it c an   b e  e asil y   s h o w n   t h at   T                     ( 1 8 )     w h ic h   in d icate s   th a t th e  s p ee d   o f   th e  eq u i v ale n t  g en er ato r   is   s a m e  as t h e  s p ee d   o f   t h e  r e m ai n in g   g en er ato r s .     Ho w e v er ,   at  s tab le  eq u ilib r iu m   p o in t  o f   t h e  f u ll  s y s te m ,   t h e  s p ee d   o f   th e   n th   g e n er ato r   is   also   eq u a l   to   th e  s p ee d   o f   th e  r e m a in i n g   g e n er ato r s   as i n d icate d   in   ( 1 3 ) .   T h is   lead s   to   th e  f o llo w in g .     T n                   ( 1 9 a)     i.e .     0 T n                 ( 1 9 b )     Sin ce   t h e  L P S sp ee d   ω   is   ze r o ,   th e  L P S a cc eler atio n   i s   also   z er o   i.e .       0                     ( 1 9 c)     Dif f er en t iatio n   o f   ( 1 2 c)   an d   ( 1 2 d )   lead s   to     0 en P , 0 eT P                   ( 1 9 d )     Use o f   ( 1 9 c)   in   ( 1 2 b )   an d   th en   its   d if f er en tia tio n   lead s   to     0 T P                     ( 1 9 e)     Ho w ev er ,   e q u ati o n   ( 1 9 b )   co m b in e d   w ith   ( 1 9 c)   i . e .   ) 0 , 0 ( d ef in es   th e  s ta b l e  eq u i li b r iu m   o f   th e  L P S.  T h e r ef o r e,   w h en   th e  f u ll  s y s te m   r ea ch es  its   s ta b l e  e q u ili b r iu m ,   th en   th e  n th   L P S   als o   r e ac h es  its   s t a b le   eq u il ib r iu m .   B u t   th is   is   tr u e   f o r   ea ch   o f   th e   l o c aliz e d   p o w er   s y s tem s .   T h e r ef o r e,   all  t h e  lo ca l iz ed   p o w er   s y s te m s   r ea ch   th eir   r esp ec tiv e  s tab le  e q u ili b r iu m s   as  th e  f u ll  s y s te m   r ea ch es  its   ap p r o p r i ate   s tab l e  eq u i li b r iu m   in   th e  s en s e  th at  all   th e   g en e r at o r s   r u n   at   th e  s am e  s p e e d   th at  is   n o t   n ec ess a r i ly   th e  s y n ch r o n o u s   s p e ed .   I n   o th e r   w o r d s ,   it  c an   b e  s ai d   th at  if   ea ch   o f   th e  lo c ali ze d   p o w er   s y s t em s   is   at  its   r es p e ctiv e  s t ab le  e q u ili b r iu m ,   th en   th e  f u ll  s y s te m   is   at  i ts   ap p r o p r i at e  s ta b l e  eq u i li b r iu m .   T h is   is   th e  b asis   o f   th e  p r o p o s e d   t r an s ie n t  s ta b il ity   m eth o d .   T h is   b asis   is   als o   s u p p o r te d   b y   th e  in v esti g ativ e  t est  r esu lts .   T h er ef o r e ,   in   te r m s   o f   lo ca li ze d   c o n t r o l  o f   tr an s i en t  s t ab ili ty   b y   th e  p r o p o s e d   m eth o d ,   if   e ac h   o f   th e  lo ca li ze d   p o w er   s y s te m s   is   d r iv en   in d ep en d en tly   b y   lo c al  co n t r o l  ac t io n s   to   its   r es p e ctiv e   s t a b l e  e q u ili b r iu m ,   th en   th e   f u ll  p o w er   s y s tem   is   d r iv en   t o   i ts     s tab le   e q u ili b r iu m .   As  i n d icate d   h er e,   i f   ea c h   L P S  is   s tab le,   t h e n   t h e  f u ll  s y s te m   i s   s tab le.   Ho w ev er ,   t h e  s ta b ilit y   o f   a n   L P S  also   m ea n s   t h e  s tab ilit y   o f   its   lo ca l  g e n er ato r   w it h   r esp ec t  to   th e  r e m ai n i n g   g e n er ato r s .   T h er ef o r e,   ac co r d in g   to   th e  p r o p o s ed   m et h o d ,   if   ea ch   o f   t h e  i n d iv id u al  g en er ato r s   i s   s tab le  in   ter m s   o f   its   co r r esp o n d in g   L P S  tr aj ec to r ies,  th e n   th e   f u l l  s y s te m   i s   s tab le.   Si n ce   ea c h   o f   t h e  L P S   tr aj ec to r ies  is   i n v o l v ed   i n   t h e  tr an s i en t   s tab ilit y   s t u d ies,  t h e  p r o p o s ed   m et h o d   ca p tu r es a ll  th e  tr a n s ie n t s tab ilit y   p h e n o m e n a  o f   th e  f u ll  s y s te m .   T h is   i s   also   s u p p o r ted   b y   th e   tes t  r es u lts   b ased   o n   t h e  co m p ar i s o n   o f   tr a n s ie n t   s tab ili t y   ass e s s m en t  r es u lt s   b y   t h e   p r o p o s ed   m e th o d   w it h   t h o s e   b y   th e   SB S  m et h o d .   T h er ef o r e,   in   t h e  p r o p o s ed   L T S  m et h o d ,   th e  L P S   tr aj ec to r ies  ca n   b e  u s ed   to   ass ess   tr an s ie n t  s tab il it y   o f   t h e  f u ll  s y s te m   i n   ter m s   o f   cr it ical  cl ea r in g   t i m e  ( C C T ) .   T h is   h as   b ee n   d is c u s s ed   i n   [ 3 1 ] .   Ho w e v er ,   as  i n d icate d   e ar lier ,   th e  p r o p o s ed   m e th o d   i s   n o t  i n te n d ed   f o r   tr an s ie n t stab il it y   a s s es s m en t.  I t is in te n d ed   s o lel y   f o r   r ea l - ti m e  lo ca lized   co n tr o l o f   tr an s ie n t stab ili t y .       3.   RE A L - T I M E   L O CA L I Z E D  CO NT RO L   O F   T RANS I E N T   ST AB I L I T Y  B Y  L T S M E T H O D   T h e  u s e  o f   th e  p r o p o s ed   m et h o d   f o r   r ea l - ti m e  lo ca liz ed   co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab ilit y   is   d escr ib ed   h er e.   I n   ter m s   o f   lo ca l  co n tr o l,  if   ea ch   L P S  is   d r iv e n   to   i ts   r esp ec tiv e  s tab le  eq u ilib r i u m   i.e .   if   ea c h   L P S  tr aj ec to r y   is   s tab ilized   b y   lo ca l  co n tr o l  ac tio n s ,   th e n   th e  f u ll   s y s te m   i s   d r iv en   to   its   s tab le   eq u i lib r iu m .   W it h   th e  k n o w n   p o s t - f a u lt  p as s iv e  n et w o r k   m o d el  o f   t h e  ex ter n a l   s y s te m   ( th e  s y s te m   e x ter n a l  to   th e  n et w o r k   at  th e   lo ca l g en er ato r   s ite)   an d   t h e  to tal  in er tia  co n s ta n t o f   t h e  r e m a in i n g   g e n er ato r s ,   all  t h e  u n k n o w n   v ar iab les o f   an   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   7 ,   No .   1 ,  A p r il 2 0 1 8 :   73   –   86   80   L P S  ca n   b e  est i m a te d   f r o m   lo ca l  i n f o r m atio n   a n d   r ea l - ti m e  m ea s u r e m e n t  d ata  t ak en   s o lel y   at  th e   co r r esp o n d in g   lo ca l  g e n e r ato r   s ite  as  d is cu s s ed   later .   T h er e f o r e,   i t   i s   a s s u m e d   t h a t   t h e  l a t e s t   u p d a t e d   p r e - f a u l t   p a s s i v e   n e t w o r k   m o d e l   o f   t h e   e x t e r n a l   s y s t em ,   f au l t   i n f o r m a t i o n   i n c l u d i n g   t h e   f a u l t   c l e a r i n g   t i m e ,   a n d   t o t a l   i n e r t i a   c o n s t a n t   o f   t h e   r e m a i n in g   g e n er a t o r s   a r e   k n o w n   a t   t h e   s i t e   o f   a n y   i n d i v i d u a l   g e n e r a t o r .   A l l   t h e s e   c a n   b e   o b t a i n e d   d i r e c t l y   f r o m   t h e   m a i n   c o m p u t e r   o f   t h e   s y s t em   c o n t r o l   c e n t e r .   W ith   th e  k n o w led g e  o f   t h e  p r e - f a u l t   p a s s i v e   n e tw o r k   m o d e l   o f   t h e   e x t e r n a l   s y s t em ,   f a u l t   i n f o r m a t i o n ,   a n d   t h e   l o c a l   n e t w o r k ,   t h e   p o s t - f a u l t   r e d u c e d   a d m i t t a n c e   m a t r i x   c a n   b e   o b t a i n e d   e a s i l y .   T h e n   t h e   a d m i t t a n c e   p a r a m e t e r s   y n   an d   y T   o f   th e  L P S  m o d el  c an   b e  d eter m in ed .   Ho w e v er ,   to   ap p ly   t h i s   m et h o d ,   as  d escr ib ed   in   [ 3 1 ] ,   it  is   e s s e n tial  th a t  th e  lo ca l  co n tr o l  ac tio n s   ( if   an y )   at  d i f f er en t  g en er ato r   s i te s   ar e  ap p lied   d u r in g   t h e  s a m e  t i m e  s tep   s u c h   t h at  t h er e  is   n o   l o ca l c o n tr o l a ctio n   p r esen t  in   t h e  f u ll  s y s te m   at  t h e  b eg in n i n g   o f   an y   p ar ti c u la r   ti m e  s tep .   T h is   is   n ec ess ar y   to   en s u r e  th at  t h e  p o s t - f a u lt  s y s te m   r et u r n s   to   th e  o r ig i n al  p o s t - f a u lt  s y s te m   at  th e  b eg i n n i n g   o f   a n y   p ar ticu lar   ti m e  s tep .   T h er ef o r e,   it  is   as s u m ed   t h at  ea ch   g e n er ato r   s ite   u s es  t h e  f au lt  clea r i n g   ti m e  as   a  co m m o n   r ef er en ce   ti m e  s o   th at  th e  b eg in n i n g   a n d   en d in g   o f   th e  ti m e  s tep s   u s ed   b y   ea c h   g e n er ato r   s ite  ar e  s a m e.   As  s u c h ,   th e  p o s t - f a u lt   s y s te m   r etu r n s   to   t h e  o r ig i n al   p o s t - f a u lt  s y s te m   at  t h e  b eg i n n i n g   o f   ea c h   ti m e  s tep .   A t  t h e  b eg i n n in g   o f   a  p ar ticu lar   ti m e  s tep ,   n ec e s s ar y   lo ca l  co m p u tat io n s   ar e  d o n e  in d ep en d en tl y   at  ea c h   lo ca l   g en er ato r   s ite  u s i n g   th e  r esp ec ti v e  o r ig i n al  p o s t - f au lt  p as s i v e  n et w o r k   m o d el.   Ho w e v er ,   th e  n ec e s s ar y   lo ca l   co n tr o l  ac tio n s   ( if   an y )   at  d if f er e n t  g e n er ato r   s it es  ar e  ap p lied   d u r in g   th e  s a m e  ti m e   s tep .   No te  th at  t h e  d if f er en t  lo ca l  co n tr o l  m ea n s   in cl u d i n g   t h e  F A C T S  d ev ices  ca n   b e  ea s il y   i n teg r at ed   in to   th e  n et w o r k   m o d el  o f   th e  lo ca l  g en er ato r   s ite  f o r   th e  p u r p o s e  o f   co n tr o l.  W ith   th e  ad m itta n ce   p ar am eter s   y n   an d   y T   o f   an   L P S  m o d el  k n o w n ,   th e   d if f e r e n t u n k n o w n   v ar iab le s   o f   th e  L P S c an   b e  esti m ated   f r o m   r ea l - t i m e  lo ca l  m ea s u r e m en t d ata  as f o llo w s .   C o n s id er   th e  n th   L P S.  W ith   k n o w n   r esi s ta n ce   an d   d ir ec t  ax is   tr an s ien t  r ea ctan ce   o f   n th   lo ca l   g en er ato r ,   v o ltag e   E n ,   r ea l  p o w er   P en ,   an d   t h e  r ea ct iv e   p o w er   Q en   at  th e   in ter n al  b u s   ca n   b e  d eter m in ed   u s in g   m ea s u r e m e n t  d ata  lik e  t h e  r ea l  p o w er ,   r ea ctiv e  p o w er ,   an d   v o ltag e  m ag n it u d e  tak e n   at  its   ex ter n al  b u s .   Ho w e v er ,   P en   an d   Q en   in   ter m s   o f   th e  L P S q u an ti ties   ar e  g i v e n   b y     ] s i n c o s [ , , , 2 T n T n T n n n n en B G E E G E P             ( 2 0 a)     ] c o s s i n [ , , , 2 T n T n T n n n n en B G E E B E Q           ( 2 0 b )     w h ic h   ca n   b e   s o lv ed   to   y ie ld     ) / ( t a n 1 P Q                 ( 2 1 a)     w h er e     n n n en n n n en B E Q Q G E P P , 2 , 2 ,             ( 2 1 b )     ) / ( t a n , , 1 T n T n G B                 ( 2 1 c)     So ,   th e   L P S  an g le   δ   ca n   b e  d eter m i n ed   b y   ( 2 1 )   w it h   P en   a n d   Q en   o b tain ed   f r o m   m ea s u r em en t  d ata.   Ho w e v er ,   th e  an g le  o b tain ed   f r o m   ( 2 1 )   m u s t  b e  ad j u s ted   b y   t h e  ad d itio n   o r   s u b tr ac ti o n   o f   an   i n teg er   n u m b er   ti m e s   2 π  elec tr ical  r ad ian s   f o r   p o le  s lip p ag e  to   o b tain   th e  L P S  an g u lar   tr aj ec to r y   c o r r esp o n d in g   to   th e  lo ca l  g en er ato r .   T h er ef o r e,   th e  L P S  an g le  δ   ca n   b e  d eter m in ed   b y   ( 2 1 )   w ith   p r o p er   ad j u s t m e n t  o f   as   in d icate d .   W ith   k n o w n   v al u e s   o f   δ   a t  s o m e  s u itab le   ti m e  s tep s ,   δ   ca n   b e  ap p r o x i m ated   b y   a  t h ir d   d eg r ee   p o ly n o m ia l  an d   t h en   b o th     an d     ca n   b e  esti m ated   f r o m   its   d er iv ativ e s .   Mo r e  d etails  ar e  p r o v id ed   later .   E q u atio n s   ( 2 0 a)   an d   ( 2 0 b )   ca n   also   b e  s o lv ed   to   y ield     ) /( ) ( ) / 1 ( 2 , 2 , 2 2 T n T n n T B G Q P E E             ( 2 2 )     T h er ef o r e,   E T   ca n   b e  d eter m i n ed   u s i n g   ( 2 1 b )   an d   ( 2 2 ) .   P eT   ca n   n o w   b e  o b tain ed   f r o m   ( 1 2 d ) .   P mn   ca n   b e   o b tain ed   f r o m   th e  p r e - f a u lt  s t ea d y - s tate  r ea l  p o w er   P en   s i n c e  th e y   ar e  eq u al.   P T   ca n   n o w   b e  d eter m i n ed   f r o m   ( 1 2 b )   b y   m atc h i n g   th e  e s ti m at ed   v alu e  o f   L P S a cc eler atio n .   T h er ef o r e,   P T   is   g iv e n   b y       eT T en mn n T T P M P P M M P ) )( / (             ( 2 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792     Lo ca liz ed   Tr a n s ien t S ta b ilit y  ( LT S )   Me th o d   fo r   R ea l - time  Lo ca liz ed   C o n tr o l ( A b d u l Ma lek  Mia h )   81     w i t h   k n o w n   l o c a l   g e n e r a t o r   i n e r t i a   c o n s t a n t   M n   a n d   t o t a l   i n e r t i a   c o n s t a n t   M T   o f   t h e   r e m a i n i n g   g e n e r a t o r s .     I t   c a n   b e   s e e n   h e r e   t h a t   w i t h   t h e   k n o w n   p o s t - f a u l t   p a s s i v e   n e tw o r k   m o d e l   o f   t h e   e x t e r n a l   s y s t e m   a n d   t h e  t o t a l   i n e r t i a   c o n s t a n t   o f   t h e   r e m a in i n g   g e n e r a t o r s ,   a l l   t h e   u n k n o w n   v a r i a b l e s   ( E T ,  δ   a n d   P T )   o f   t h e   L PS   m o d e l  s h o w n   in   F i g u r e   3   c a n   b e   c o m p u t e d   f r o m   m e a s u r e d   d a t a   t a k e n   s o l e l y   a t   t h e   e x t e r n a l   t e r m i n a l   o f   t h e   l o c a l   g e n e r a t o r .   T h e r e f o r e ,   t h i s   L PS   m o d e l   c a n   b e   u s e d   t o   d e s i g n   an d   im p l e m en t   r e a l - t im e   l o c a l i z e d   c o n t r o l   s t r a t e g i e s   t h a t   c a n   d r i v e   t h e   L PS   t o   i t s   s t a b l e   e q u i l i b r i u m   p o i n t .   A t   an y   i n s tan t   o f   ti m e,   a  s tab le  eq u ilib r iu m   p o i n t  o f   t h e  L P S  d escr ib ed   b y   ( 1 2 )   ca n   b e  d ef in ed   b y   h o ld in g   E T   an d   P T   f i x ed   at  th e ir   cu r r en t  esti m ated   v al u e s .   T h is   s tab le  eq u ilib r iu m   s tate  ( δ e ,   0 )   is   r ef er r ed   to   as  th e  i n s ta n ta n eo u s   s tab le  eq u i li b r iu m   s tate.   Her e,   δ e   is   t h e  i n s tan ta n eo u s   s tab le  L P S  a n g le  t h at  ca n   b e  o b tain ed   f r o m   ( 1 2 b )   b y   s etti n g   its   le f t s i d e  eq u al  to   z er o   an d   u s in g   ( 1 2 c)   an d   ( 1 2 d ) .   Ho w e v er ,   if   t h e  v alu e s   o f   E T   a n d   P T   s u s tai n ,   th e  i n s ta n ta n eo u s   s ta b le  eq u ilib r iu m   b ec o m es  t h e  s tab le  eq u ilib r iu m   o f   th e  L P S .   No te  th at  s i n ce   E T   an d   P T   ar e  h eld   f i x ed ,   δ e   is   als o   f ix ed   i.e .   e   is   ze r o .   I n   ter m s   o f   lo ca l  co n tr o l,  if   ea c h   o f   th e  l o ca lized   p o w e r   s y s te m s   is   d r iv e n   f r o m   it s   cu r r en t  s tate  ( δ ,  )   to   th e  in s ta n t an eo u s   s tab le  eq u ilib r iu m   p o in t  ( δ e ,   0 )   o f   its   r esp ec tiv e  s tate - s p ac e,   th e n   t h e  f u ll  s y s t e m   i s   d r iv en   to   its   s tab le  eq u ilib r iu m .   T h er ef o r e,   th e  r ea l - ti m e  lo ca l   co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s tab il it y   b y   t h e  p r o p o s ed   m et h o d   ca n   b e  ea s il y   i m p le m e n ted   at  th e  s ite  o f   ea ch   lo ca l   g en er ato r   in d ep en d e n tl y   w it h o u t r eq u ir in g   a n y   co o r d in atio n .       4.   RE SU L T S  O N  RE A L - T I M E   L O CA L I Z E D  CO NT RO L   O F   T RANSI E N T   ST AB I L I T Y  US I N G   B RAK I NG   R E S I S T O RS A S   T H E   L O CA L   CO N T RO L   M E ANS   T h e  p o ten tial  o f   th e  L T S  m e th o d   f o r   u s e  in   r ea l - ti m e  lo c alize d   co n tr o l  o f   tr an s ien t  s ta b ilit y   w as   in v e s ti g ated   o n   th e  w ell - k n o w n   Ne w   E n g la n d   3 9 - b u s   1 0 - g en er ato r   s y s te m .   I n   th i s   in v esti g a tio n ,   b r ak in g   r esis to r s   w er e  u s ed   as  t h e   lo ca l  co n tr o l  m ea n s .   A  n u m b er   o f   t h r ee - p h ase   s h o r t  cir cu it   f au l ts   w er e  co n s id er ed .   T h ese  r esu lts   o n   r ea l - ti m e  lo ca lized   co n tr o l  o f   tr an s ie n t  s t ab ilit y   ar e  p r esen ted   h er e.   I n   th is   i n v e s ti g at io n ,   lo ca l  co m p u tatio n s   w it h   SB S   s i m u lated   lo ca l  m ea s u r e m e n t   d ata  w er e  u s ed   to   co m p u te  t h e  n ec e s s ar y   lo ca l   co n tr o ls .   T h ese  lo ca l  co n tr o ls   w er e  th e n   ap p lied   to   im p r o v e  th e  C C T   r an g es.  I n   all  th e  SB S  s i m u latio n s ,   a   ti m e - s tep   s ize  o f   0 . 0 1   s   h as   b ee n   u s ed .   Ho w e v er ,   to   d eter m in e  t h e  lo ca l  co n tr o ls   r e q u ir ed   to   d r iv e  th e  lo ca lized   p o w er   s y s te m s   to   t h eir   r esp ec ti v e  eq u i lib r iu m s   i . e.   to   s tab ilize  t h e  L P S  tr aj ec to r ies,  o p ti m al  ai m   co n tr o l  s tr ateg y   [ 3 2 ]   w a s   c h o s en   d u e  to   its   s u itab ilit y   f o r   t w o - g en er ato r   s y s te m s .   W ith   r ef er en ce   to   lo ca l   co n tr o l  o f   p o w er   s y s te m s ,   th is   o p tim al  ai m   s tr ateg y   ( O A S)  is   d escr ib ed   in   d etail  in   [ 2 5 ]   w h er e  th is   s tr ate g y   i s   r ef er r ed   to   as  a  L o ca lized   A i m i n g   S tr ateg y   ( L AS) .   W ith   r esp ec t  to   a  t w o - g e n er ato r   s y s te m ,   th i s   s tr ate g y   h a s   also   b ee n   d escr i b ed   in   [ 3 3 ] .   Fo r   th e  p u r p o s e  o f   lo ca lized   c o n tr o l  b y   t h e  L T S  m et h o d   u s i n g   O AS,  th e  co n tr o l  d ep en d en t  d y n a m ic   eq u atio n s   o f   th e  n t h   lo ca lized   p o w er   s y s te m   ar e  w r itte n   i n   th e  f o r m   as     , M t U P P n e m / )] ( [             ( 2 4 )     w h er e ), /( T n T n M M M M M ) /( ) ( T n T n T mn m M M P M M P P an d   ) ( ) /( ) ( f M M P M M P P T n eT n T en e .   Her e,   U n ( t)   r ep r esen t s   an   ad d itiv e  p o w er   co n tr o l  in   t h e  lo ca lized   p o w er   s y s te m .   Ho w e v er ,   th e   ad d itiv e  p o w er   u n  t h at  is   r e q u ir ed   b y   t h e  n th   lo ca l  g e n er ato r   to   p r o d u ce   th e  ad d itiv e  p o w er   U n   in   t h e  lo ca li ze d   p o w er   s y s te m   i s   g i v e n   b y     n n n M t MU t u / ) ( ) (                 ( 2 5 )     T h is   p o w er   is   in   ad d itio n   to   P mn .   Ho w ev er ,   s i n ce   t h is   ad d iti v e  p o w er   is   a  n e g ati v e  q u an t it y ,   it   also   m ea n s   t h at  ) ( t u P n en   is   a n   eq u i v ale n t  ad d itio n al   el ec tr ical  o u tp u t   p o w er   o f   th e   l o ca l  g en er ato r .   T h er ef o r e,   th e   n e w  elec tr ical  o u tp u t p o w er   r eq u ir ed   b y   th e  lo ca l  g en er ato r   to   s ta b ilize  its   r esp ec tiv e   L P S is   g i v en   b y     en en n e w en P P P                   ( 2 6 )     Oth er   d etails ca n   b e  f o u n d   in   [ 2 5 ] ,   [ 3 3 ] .   I n   t h is   in v e s ti g atio n ,   th e   v al u e   o f   r eq u ir ed   to   esti m ate   P T   a n d   th e  v al u e  o f     r eq u ir ed   in   O AS  at  th e  b eg i n n in g   o f   a  ti m e - s tep   h av e  b ee n   d eter m i n ed   f r o m   th e  d er iv ativ e s   o f   a  th ir d   d eg r ee   p o ly n o m ial   ap p r o x im a tio n   o b tai n ed   b y   m atch i n g   th e   L P S  an g le  a t  c u r r en t  ti m e  a n d   t h e  L P S  a n g le s   at  t h r ee   p r ev io u s   ti m e s .   No te  th at  t h i s   esti m at io n   p r o ce s s   h a s   n o t  b ee n   u s ed   f o r   esti m atio n   at  f u t u r e  ti m es.  Ass u m in g   t h at  t h e   m ea s u r e m e n t  d ata  an d   h en ce   th e  L P S  an g le  δ   w a s   av ailab l e  at  th e  b eg i n n i n g   o f   t h e  p o s t - f au lt  co n f ig u r atio n ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N :   2252 - 8792   IJ A P E    Vo l.   7 ,   No .   1 ,  A p r il 2 0 1 8 :   73   –   86   82   th er e  w a s   a  d elay   o f   th r ee   ti m e - s tep s   to   in i tiate  th e  co n tr o l.  A t  t h e  b eg i n n i n g   o f   a  cu r r en t  t i m e  s tep   af ter   t h r ee   p r ev io u s   t i m e - s tep s   i n   t h e  p o s t - f a u lt  co n f ig u r atio n ,   th e   ad d itio n al  elec tr ical  o u tp u t   p o w er s   r eq u ir ed   b y   t h e   d if f er e n t  lo ca l  g e n er ato r s   w er e  co m p u ted   b y   O A S  a n d   th e y   w er e  th e n   ap p lied   o v er   th e  en tire   len g t h   o f   t h e   c u r r en t  ti m e - s tep .   Ho w e v er ,   th e  ad d itio n al  elec tr ical  o u tp u t  p o w er   r eq u ir ed   b y   a  lo ca l  g en er ato r   w as  o b tain ed   b y   ap p l y i n g   b r ak in g   r esi s to r s   at  an   ar b itra r ily   c h o s e n   b u s   o f   th e  lo ca l  g e n er ato r   s ite.   F o r   th e  lo ca l  s ites   o f   g en er ato r s   1 - 9 ,   b r ak in g   r esi s t o r s   w e r e  ap p lied   at  th e  h i g h   t en s io n   s id es  o f   t h e  s tep - u p   tr a n s f o r m er s   a s   s h o w n   in   Fi g u r e  4 .   Ho w ev er ,   f o r   t h e  lo ca l  s ite  o f   g e n er ato r   1 0 ,   b r ak in g   r esis to r s   w er e  ap p lied   at  th e  g e n er ato r   ex ter n al  b u s .           Fig u r e  4 .   P o w er   s y s te m   at  t h e  s ite  o f   n th   lo ca l  g en er ato r   w it h   s h u n t b r ak in g   r esis to r       T h e  test   r esu lts   f o r   s ev e n   d if f er en t  f a u lt  ca s e s   ar e  p r esen te d   h er e.   T h e  cr itical  clea r in g   ti m e  ( C C T )   r an g e s   f o r   th e s e  f au l t  ca s e s   w e r e  d eter m in ed   b y   SB S  m et h o d   u s in g   t h e  C O A  f r a m e  o f   r ef er en ce .   I n   ea ch   f a u l t   ca s e,   th e  C C T   r an g es  w er e  o b tain ed   w ith o u t  lo ca l  co n tr o l s   ap p lied   as  w ell  a s   w it h   lo ca l  co n tr o ls   ap p lied .   Ho w e v er ,   as  in d icate d   ea r lier ,   b r ak in g   r es is to r s   w er e  u s ed   in   ea ch   o f   th e  f a u lt  ca s e s   a s   th e  lo ca l  co n tr o l  m ea n s .   F u r th er ,   t h e  SB S  tr aj ec to r ies  co r r esp o n d in g   to   t h e   cr iticall y   s tab le  co n d itio n s   w it h   lo ca l  co n tr o ls   ap p lied   ar e  p r esen ted   f o r   th e  f i r s t six   f a u lt c ase s .   F a u lt  C a s e  I :  A   t h r ee - p h ase   s h o r t  cir cu i t  f a u lt  o n   b u s   2 9   w as  clea r ed   b y   r e m o v i n g   l in e  2 9 - 2 6 .   W ith o u t  a n y   lo ca l  co n tr o l  ap p lied ,   th e  s y s te m   w a s   f o u n d   t o   b e  s tab le  at  a  f au lt  clea r in g   ti m e  o f   0 . 0 7   s   an d   u n s tab le  at  a  f a u lt  clea r i n g   ti m e  o f   0 . 0 8   s .   So   th e  C C T   r an g e  w it h o u t  lo ca l   co n tr o ls   ap p l ied   w as  ( 0 . 0 7   s - 0 . 0 8   s ) .   Ho w e v er ,   w it h   lo ca l  co n tr o ls   ap p lied ,   th e  s y s te m   w as  f o u n d   to   b e  s tab le  at  a  f a u lt  clea r in g   t i m e  o f   0 . 1 5   s   an d   u n s tab le  at  a  f au lt  clea r in g   ti m e  o f   0 . 1 6   s .   T h er ef o r e,   th e  C C T   r an g e  w it h   lo ca l  co n tr o l s   ap p lied   im p r o v ed   to   ( 0 . 1 5   s - 0 . 1 6   s ) .   T h is   is   a  v er y   s ig n i f ica n t  i m p r o v e m e n t.  T h e  SB S tr aj ec to r ies co r r esp o n d in g   to   t h e  cr it icall y   s tab le  co n d itio n   f o r   th i s   f a u lt  ( i.e .   at  th e  f a u lt  clea r i n g   ti m e  o f   0 . 1 5   s )   w it h   lo ca l  co n tr o ls   ap p lied   ar e  s h o w n   i n   Fig u r e  5.   F a u lt  C a s e  I I :  A   th r ee - p h a s e   s h o r t  cir cu it  f a u lt  o n   b u s   2 5   w as  clea r ed   b y   r e m o v in g   lin e  2 5 - 2 .   W ith o u t  a n y   lo ca l  co n tr o l  ap p lied ,   th e  s y s te m   w a s   f o u n d   t o   b e  s tab le  at  a  f au lt  clea r in g   ti m e  o f   0 . 1 3   s   an d   u n s tab le  at  a  f a u lt  clea r i n g   ti m e  o f   0 . 1 4   s .   So   th e   C C T   r an g e  w it h o u t  lo ca l  co n tr o ls   ap p l ied   w as  ( 0 . 1 3   s - 0 . 1 4   s ) .   Ho w e v er ,   w it h   lo ca l  co n tr o ls   ap p lied ,   th e  s y s te m   w as  f o u n d   to   b e  s tab le  at  a  f a u lt  clea r in g   t i m e  o f   0 . 2 0   s   an d   u n s tab le  at  a  f au lt  clea r in g   ti m e  o f   0 . 2 1   s .   T h er ef o r e,   th e  C C T   r an g e  w it h   lo ca l  c o n tr o ls   ap p lied   im p r o v ed   to   ( 0 . 2 0   s - 0 . 2 1   s ) .   T h is   is   also   a  v er y   s i g n if ica n t  i m p r o v e m en t.  T h e  SB S  tr a j ec to r ies  c o r r esp o n d in g   to   th e  cr iticall y   s tab le  co n d itio n   f o r   t h is   f a u lt   ( i.e .   at  t h e  f a u lt  clea r i n g   ti m e  o f   0 . 2 0   s )   w it h   lo ca l  c o n tr o ls   ap p lied   ar e   s h o w n   in   F ig u r e  6 .       E n    δ n   P mn   I n t e r n a l   B u s   L o c a l   G e n e r a t o r   Ex t e r n a l   B us   S t e p - u p   T r a n sf o r me r   M n   B o u n d a r y   B u s   B r a k i n g   R e si st o r     R e st   o f   t h e   S y st e m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.