I nte rna t io na l J o urna l o f   Appl ied P o w er   E ng i neer ing   ( I J AP E )   Vo l. 7 ,   No . 3 Dec em b er   201 8 ,   p p .   2 3 5 ~2 5 0   I SS N:  2 2 5 2 - 879 2   DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ap e. v 7 . i3 . p p 2 3 5 - 250          235       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e. co m/jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JA P E   Ro bust   Spe ed - sen so rless   Vect o Co ntrol o Do ubly  F ed  Indu ction M o tor  Driv e Using  Sli di ng  Mo de    Ro tor Flux  O bser v er       Dj am ila   Cher if i Ya hi a   M ilo ud   F a c u lt y   o f   T e c h n o lo g y ,   De p a rt m e n o f   El e c tri c a En g in e e ri n g ,   Dr.  M o u lay   T a h a r   Un iv e rsit y ,   A lg e ri a       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   1 5 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   A u g   2 0 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Sep   8 ,   2 0 1 8       T h is  p a p e p re se n ts  a   ro b u st  o b se rv e f o se n so rles sp e e d   c o n tro o f   Do u b ly   F e d   In d u c ti o n   M o to r   (DFIM ),   b a se d   o n   th e   slid in   m o d e .   In   th e   f irst  ste p ,   a   m o d e l   o f   th e   d o u b ly   f e d   in d u c ti o n   m o to f e d   b y   tw o   P W M   in v e rters   w it h   se p a ra te  DC  b u li n k   is  d e v e lo p e d .   In   th e   se c o n d   ste p   a n d   in   o rd e to   p ro v id e   a   ro b u st  se p a ra te  c o n tro b e tw e e n   f lu x   a n d   m o to sp e e d   a   v e c to c o n tro b y   f ield   o rien ted   stra teg y   a p p ly in g   a   sli d in g   m o d e   re g u lato w a im p lem e n ted .   F in a ll y ,   sp e e d   e stim a ti o n   o f   a   d o u b ly   f e d   in d u c ti o n   m o to b a se d   o n   slid in g   m o d e   o b se rv e is  p re se n ted .   T h e   sim u latio n   tes ts  sc h o w   th e   e f f e c ti v e n e ss   o f   th e   p ro p o se d   m e th o d   e sp e c ially   in   th e   lo a d   d istu rb a n c e s ,   th e   c h a n g e   o f   th e   re f re n c e   sp e e d   a n d   lo w   sp e e d A lso   th e   in f lu e n c e   o f   p a ra m e ter  v a riatio n w ill  b e   stu d ied   b y   sim u latio n .   K ey w o r d :   Do u b le - Fed   I n d u ctio n   Ma c h i n e   Field   o r ien ted   co n tr o l     R o b u s t c o n tr o l   Sen s o r les s   co n tr o l     Sli d in g   m o d o b s er v er   Co p y rig h ©   2018   In s ti t u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Dj am ila  C h er if i   Facu lt y   o f   T ec h n o lo g y ,   Dep ar t m en t o f   E lectr ical  E n g i n ee r in g ,   Dr .   Mo u la y   T ah ar   Un i v er s it y ,   A l g er ia .   E m ail:  d _ ch er i f i @ y a h o o . f r       1.   I NT RO D UCT I O N     No w ad a y s ,   s ev er al  w o r k s   h av b ee n   d ir ec ted   to w ar d s   t h s t u d y   o f   t h d o u b le - f ee d   in d u ctio n   m ac h in ( DFI M) ,   d u to   its   s ev er al  ad v an ta g e s   as  w ell  as  m o to r   ap p licatio n   in   h i g h   p o w er   ap p licatio n s   s u c h   as  tr ac tio n ,   m ar in p r o p u ls io n   o r   as  g e n er ato r   in   w i n d   e n er g y   co n v er s io n   s y s te m s   lik w i n d   tu r b i n e,   o r   p u m p ed   s to r ag s y s te m s   [1 - 2 ] .   T h DFI h a s   s o m d i s ti n ct  ad v an ta g es   co m p ar ed   to   th e   c o n v e n tio n al   s q u ir r el - ca g m ac h in e.   T h DFI ca n   b f ed   an d   co n tr o lled   s tato r   o r   r o to r   b y   v ar io u s   p o s s ib le  co m b i n atio n s .   I n d ee d ,   th in p u t - co m m a n d s   ar d o n b y   m ea n s   o f   f o u r   p r ec is d eg r ee s   o f   co n tr o f r ee d o m   r elati v el y   t o   th s q u ir r el  ca g in d u ctio n   m ac h i n w h er it s   c o n tr o l a p p ea r s   q u ite  s i m p ler   [3 - 4 ] .   Ho w e v er ,   th ese  ad v a n tag e s   h a v lo n g   b ee n   i n h ib ited   b y   th co m p le x it y   o f   th co n tr o l,  [ 5 ] .   I n   o r d e r   to   o b tain   a n   DFI M   h a v i n g   s i m ilar   p er f o r m a n ce   to   DC   m ac h in e   w h er t h er is   n at u r al  d ec o u p lin g   b et w ee n   th m a g n i tu d co n tr o llin g   t h f l u x   ( th e   ex c itatio n   cu r r e n t )   an d   t h m ag n it u d r elate d   to   th to r q u e   ( th e   ar m atu r e   cu r r en t)   [ 6 ] ,   s ev er al   m et h o d s   ar e   u s ed .   S u ch   as   t h v ec to r   co n tr o ( f ield   o r ie n ted   co n tr o l)   w h ich   g iv e s   t h d ec o u p lin g   b et w ee n   th to r q u an d   th f l u x   l ik D C   m o to r ,   [ 7 ] .   T h co n tr o law s   u s in g   th P I ty p r eg u lato r s   g iv g o o d   r esu lts   in   th ca s o f   lin ea r   s y s tem s   w ith   co n s tan t   p ar am eter s ,   b u f o r   n o n lin ea r   s y s tem s ,   th ese  co n v en tio n al  co n tr o law s   m ay   b in s u f f icien b ec au s th ey   ar n o r o b u s esp ec ially   w h en   th r eq u ir em en ts   o n   th s p ee d   an d   o th er   d y n am ic  ch ar ac ter is tics   o f   th s y s tem   ar s tr ict.   T h er ef o r   r o b u s co n tr o law s   m u s b u s ed ,   s u ch   as  s lid in g   m o d s p ee d   co n tr o ller   w ich   is   in s en s itiv to   p ar am eter   v ar iatio n s ,   d is tu r b an ce s ,   an d   n o n lin ea r ities ,   [ 8 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8792   I J A P E    Vo l.   7 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 8 :   2 3 5     2 5 0   236   B u t,  th k n o w led g o f   th r o to r   s p ee d   is   n ec ess ar y ,   t h is   n e ce s s it y   r eq u ir es  ad d itio n al  s p ee d   s en s o r   w h ic h   ad d s   to   th e   co s t   an d   th e   co m p lex it y   o f   t h d r iv e   s y s te m .   O v er   t h p a s f e w   y ea r s ,   o n g o i n g   r esear c h   h a s   co n ce n tr ated   o n   t h el i m in at i o n   o f   t h s p ee d   s e n s o r   at  t h m ac h in s h af t   w it h o u d eter io r atin g   th d y n a m ic   p er f o r m a n ce   o f   t h d r iv e   co n tr o s y s te m .   T h ad v a n ta g e s   o f   s p ee d   s en s o r less   DFI M   d r iv es  ar r ed u ce d   h ar d w ar co m p le x it y   an d   lo w er   co s t,  r ed u ce s   s ize  o f   th e   d r iv m ac h i n e,   eli m i n atio n   o f   th s e n s o r   ca b le,   b etter   n o is i m m u n it y ,   i n cr ea s ed   r eliab ilit y   a n d   les s   m ai n te n an ce   r eq u ir e m e n t s ,   [ 5 ] ,   [ 9 ] .   I n   o r d er   to   ac h iev g o o d   p er f o r m an ce   o f   s en s o r less   v ec to r   co n tr o l,  d if f er en s p ee d   esti m atio n   s ch em es  h av b ee n   p r o p o s ed ,   an d   v ar iety   o f   s p ee d   esti m ato r s   ex is n o w d ay s   [ 1 0 ] ,   s u ch   as  d ir ec ca lcu latio n   m eth o d ,   m o d el  r ef er en ce   ad ap tiv s y s tem   ( MRA S),   E x ten d ed   Kalm an   Fil ter s   ( E KF ) ,   E x ten d ed   L u en b er g er   o b s er v er   ( E L O) ,   s l id in g   m o d o b s er v er   ec t,  [ 1 1 - 1 2 ] .   Am o n g   v ar io u s   ap p r o ac h es,  s lid in g   m o d o b s er v er   b ased   s p ee d   s en s o r les s   esti m atio n   h as  b ee n   r ec en tl y   u s ed ,   d u to   its   g o o d   p er f o r m a n ce   a n d   ca s e   o f   i m p l e m en tatio n .   T h s lid i n g   m o d e   ( S MO )   b elo n g s   to   th g r o u p   o f   clo s ed   lo o p   o b s er v er s .   I t i s   a   d eter m i n is tic  t y p o f   o b s er v er   b ec au s it   is   b ased   o n   d et er m i n is t ic  m o d el  o f   th s y s te m   [ 1 3 ] .   T h is   p ap er   is   o r g an ized   as  f o llo w s s ec tio n   2   d y n a m ic  m o d el   o f   DFI is   r ep o r ted p r in cip l o f   f ield - o r ien ted   co n tr o ller   is   g iv e n   i n   s ec tio n   3 .   T h p r o p o s ed   s o lu tio n   is   p r ese n ted   in   s ec tio n   4 .   I n   s ec tio n   5 ,   r esu l ts   o f   s i m u la tio n   te s ts   ar r ep o r ted .   Fin all y ,   s ec tio n   6   d r a w s   co n clu s io n s .         2.   DO UB L F E I NDUC T I O M O DE L     T h ch ain   o f   en er g y   co n v er s io n   ad o p ted   f o r   th p o w er   s u p p ly   o f   th DFI co n s is ts   o f   tw o   co n v er ter s ,   o n o n   th s tato r   an d   th o th er   o n o n   th r o to r .   A   f ilter   is   in s er ted   b etw ee n   th tw o   co n v er ter s ,   as  s h o w n   in   Fig u r e   1.           Fig u r 1 .   Gen er al  s ch e m o f   DFI d r iv in s tallatio n       T h s tr u ctu r o f   DFI is   v er y   co m p lex .   T h er ef o r e,   in   o r d er   to   d ev elo p   m o d el,   it  is   n ec ess ar y   to   co n s id er   th f o llo w in g   s im p lif y in g   ass u m p tio n s th m ac h in is   s y m m etr ical  w ith   co n s tan air   g ap th m ag n etic  cir cu it  is   n o s atu r ated   an d   it  is   p er f ec tly   lam in ated ,   w ith   th r esu lt  th at  th ir o n   lo s s es  an d   h y s ter esis   ar n eg lig ib le  an d   o n ly   th w in d in g s   ar d r iv en   b y   cu r r en ts th f . m . m   cr ea ted   in   o n p h ase  o f   s tato r   an d   r o to r   ar s in u s o id al  d is tr ib u tio n s   alo n g   th g ap   [ 1 4 ] .   B y   th is   m ea n s ,   d y n am ic  m o d el  o f   th d o u b ly   f ed   i n d u ctio n   m o to r   in   s tatio n ar y   r ef er en ce   f r am ca n   b ex p r ess ed   b y :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792       Ro b u st S p e e d - se n so rle ss   Vec to Co n tro o DFIM   Dr ive   Us in g   S li d in g   M o d e   Ro t o r F l u x   Ob se rv e r …  ( Dj am il a   Ch e rifi )   237   J C J f i i L L p dt d v T i T L dt d v T i T L dt d v K v L T K K i i i dt d v K v L K T K i i i dt d r sd rq sq rd r m rq rq r rd sq r m rq rd qr rd r sd r m rd rq sq s rq r rd sq sq s sq rd sd s rq rd r sq s sd sd ) ( 1 . . 1 1 . 1 . 2                                  ( 1 )   w it h :                        . ; 1 ; ; . 1 ; ; 2 . p L L L L L L K T R L T R L T r s m r s m r s s s r r r     T h elec tr o m a g n et ic  to r q u is   ex p r ess ed   b y :                 ) . . ( sd rq sq rd r m em i i L L p T                                                              ( 2 )       3.   VE C T O CO NT RO L   B DIRE C T   RO T O F L UX  O RI E NT AT I O N   T h m ain   o b j ec tiv o f   th v ec to r   co n tr o o f   DFI is   as  in   DC   m ac h in es,  to   in d ep en d en tly   co n tr o th to r q u an d   th f lu x th is   is   d o n b y   u s in g   d - r o tatin g   r ef er en ce   f r am s y n ch r o n o u s ly   w ith   th r o to r   f lu x   s p ac v ec to r .   T h d - ax is   is   th en   alig n ed   w ith   th r o to r   f lu x   s p ac v ec to r   [ 6 ] .   Un d er   th is   co n d itio n   w g et:      0 rq rd r                                           ( 3 )     F ig u r e   2   s h o w s   th s tr u ct u r f o r   th r o to r   f ield   o r ien tatio n   o n   th d - a x is .                                     Fig u r 2 .   R o to r   f ield   o r ien tati o n   o n   th d - a x i s         So ,   w ca n   w r ite  :                   ) . ( sq rd r m em i L L p T                                                      ( 4 )     d   Stato r   ax is     R o to r   ax is   q   rd r   0   θ s         θ r     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8792   I J A P E    Vo l.   7 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 8 :   2 3 5     2 5 0   238   Fo r   th d ir ec r o to r   f lu x   o r ien tatio n   ( DFOC )   o f   DFI M,   ac cu r ate  k n o w led g o f   th m ag n itu d an d   p o s itio n   o f   th r o to r   f lu x   v ec to r   is   n ec ess ar y .   I n   DFI m o to r   m o d e,   as  s tato r   an d   r o to r   cu r r en ts   ar m ea s u r ab le,   th r o to r   f lu x   ca n   b esti m ated   ( ca lcu lated ) .   T h f lu x   esti m ato r   ca n   b o b tain ed   b y   th f o llo w in g   eq u atio n s ,   [ 1 5 ]:     22 1     a n d     t a n rs r β r α r β r α φθ                                               ( 5 )     3 . 1 .   Sli di ng   m o de  s peed  co ntr o l   A   Sli d in g   Mo d C o n tr o ller   ( SMC )   is   Var iab le  Stru ctu r C o n tr o ller   ( VSC ) .   SMC   m eth o d   is   k in d   o f   r o b u s co n tr o tech n iq u w h ich   is   ex ten s iv ely   u tili ze d   in   n o n lin ea r   s y s tem s   w h er p ar am eter   u n ce r tain ties   ex is t.  B asically ,   VSC   in clu d es  s ev er al  d if f er en co n tin u o u s   f u n ctio n s   th at  ca n   m ap   p lan s tate  to   co n tr o s u r f ac e,   w h er ea s   s w itch in g   am o n g   d if f er en f u n ctio n s   is   d eter m in ed   b y   p lan s tate  r ep r esen ted   b y   s w itch in g   f u n ctio n   [ 1 6 ].   T h d esig n   o f   th co n tr o l sy s tem   w ill  b d em o n s tr ated   f o r   f o llo w in g   n o n lin ea r   s y s tem ,   [1 7 ]:     ) , ( ). , ( ) , ( t x u t x B t x f x                                                                                    ( 6 )     w h er e :   n x is   th s t a te  v ec to r   m u is   th co n tr o l v ec to r   m n t x f ) , (   T h co n tr o l la w   s ati s f ies t h p r ec ed en t c o n d itio n s   i s   p r esen t ed   in   th f o llo w in g   f o r m :     n u u u eq )) ( s g n ( x S k u f n                                                                        ( 7 )     w h er u   is   th co n tr o v ec to r ,   eq u is   th eq u iv alen co n tr o v ec to r ,   n u is   th s w itch in g   p ar o f   th co n tr o ( th co r r ec tio n   f ac to r ) ,   f k is   th co n tr o ller   g ain .   eq u ca n   b o b tain ed   b y   co n s id er in g   th co n d itio n   f o r   th s lid in g   r eg im en ,   0 ) ( x S   T h eq u iv alen t c o n tr o l k ee p s   t h s tate  v ar iab le  o n   s lid i n g   s u r f ac e,   o n ce   th e y   r ea ch   it.   Fo r   d ef in ed   f u n ct io n ,   [ 18 ]     0 ) ( , 1 0 ) ( , 0 0 ) ( , 1 )) ( s g n ( x S if x S if x S if x S                                                ( 8 )     3 . 1 . 1 .   Sp ee co ntr o l   Sp ee d   ad j u s t m e n t i s   d o n b y   co n tr o llin g   th s tato r   cu r r en sq I .   So ,   th co m m an d   la w   ca n   b ex p r ess ed   as:     n sq eq sq r ef sq I I I                                                                                               ( 9 )     T h ex p r ess io n   o f   t h s p ee d   co n tr o l su r f ac h as t h f o r m :     r ef S ) (                                                                  ( 1 0 )     T h d er iv ativ o f   t h s u r f ac i s     r e f S ) (                                                                                        ( 1 1 )     W ith   th m ec h an ica l e q u atio n   eq u al  to :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792       Ro b u st S p e e d - se n so rle ss   Vec to Co n tro o DFIM   Dr ive   Us in g   S li d in g   M o d e   Ro t o r F l u x   Ob se rv e r …  ( Dj am il a   Ch e rifi )   239   J f C J p I L J L P r r ef rd sq r m . . .                                               ( 1 2 )     B y   r ep lacin g   th m ec h an ical  eq u atio n   in   th eq u atio n   o f   th s w itch in g   s u r f ac e,   th d er iv ativ o f   th   s u r f ac b ec o m es:     J f C J p I L J L P S r r e f rd sq r m r e f . . . ) (                                   ( 1 3 )     B y   r ep lacin g   th cu r r en sq I   b y   th cu r r en n sq eq sq r ef sq I I I ,   it  is   f o u n d   th at  th co m m an d   ap p ea r s   ex p licitly   in   th d er iv ativ o f   th s u r f ac e,   th latter   w ill  b w r itten   in   th f o llo w in g   f o r m :     J f C J p I L J L P I L J L P S r n sq r r e f rd m eq sq r r e f rd m r e f . . . . . . ) (                   ( 1 4 )     Du r in g   t h s lip   m o d an d   i n   s t ea d y   s tate,   w h a v e:     0 , 0 ) ( , 0 ) ( n sq I S S                                                                  ( 1 5 )     Fro m   w h ic h   o n d er iv e s   th m ag n i tu d o f   eq u iv ale n t   co m m a n d ,   eq sq I   is   w r i tten :     J f C J P L P L J I r r e f r e f rd m r eq sq . . .                                          ( 1 6 )       Du r in g   th co n v er g en ce   m o d e,   co n d itio n   0 ) ( ). ( ) ( S S V   m u s b v er if ied .   B y   r ep lacin g   th ex p r ess io n   o f   th eq u iv alen co m m an d   in   th ex p r e s s io n   o f   th d er iv ativ o f   th s u r f ac e,   w o b tain :     n sq r r ef rd m I L J L P S . . . ) (                                         ( 1 7 )       I n   w h ic h   )) ( ( S s i g n K I sq i n sq   T o   ch ec k   th s tab ilit y   co n d itio n   o f   t h s y s te m ,   th sq i K   co n s ta n m u s t b p o s itiv e.       4.   SL I D I N G   M O DE S O B SE R VE R   Her e,   s lid in g   m o d o b s er v er   is   s tu d ied   f o r   th esti m atio n   o f   th s p ee d   o f   r o tatio n   o f   th DFI M,   th is   o b s er v er   u s ed   th m ea s u r em en t s   o f   th s tato r   v o ltag an d   cu r r en t,  [ 1 9 ] .     B ased   o n   th eq u atio n s   o f   th s tato r   cu r r en ts   an d   th eq u atio n s   o f   th r o to r   f lu x   o f   th m ac h in in   th f ix ed   r ef er en ce   f r am (  ,   ) ,   w ca n   w r ite,   [ 2 0 ] :     r r r r s r m r r r r r s r m r r s s r r r s s s s r s s r r r s s s s v T i T L dt d v T i T L dt d v K v L T K K i i i dt d v K v L K T K i i i dt d 1 . . 1 1 . 1 .                     ( 1 8 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8792   I J A P E    Vo l.   7 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 8 :   2 3 5     2 5 0   240   w it h :                      r s m r s m r s s s r r r L L L L L L K T R L T R L T 2 . 1 ; ; . 1 ; ;     A   s lid in g   m o d o b s er v er   is   an   o b s er v er   w h o s g ain - co r r ec tin g   ter m   co n tain s   th d is co n tin u o u s   f u n ctio n s ig n .   T h s lid in g   m o d es  ar co n t r o tech n iq u es  b ased   o n   th th eo r y   o f   s y s tem s   w ith   v ar iab le  s tr u ctu r e,   [ 17 ].   T h d y n am ics  o f   o b s er v er s   b y   s lid in g   m o d es  co n ce r n in g   th o b s er v atio n   er r o r   o f   s tate  x x e ˆ T h eir   ev o lu tio n   is   im p o s ed   o n   v ar iety   o f   s u r f ac es,  o n   w h ich   th er r o r   o f   esti m atin g   th o u tp u t y y e ˆ   ten d in g   to w ar d s   ze r o ,   [ 18 ].   T h u s ,   th d y n am ics  o n   th is   s u r f ac v ar iety   w ill  b s tab ilized ,   o r   ass ig n ed ,   s o   as  to   lim it  o r   ca n ce th esti m atio n   er r o r .   Ho w ev er ,   s lid in g   m o d o b s er v er   is   w r itten   in   th f o r m:     ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ) , ˆ ( ˆ x h y y y s i gn G u x f x g                                                  ( 1 9 )     W ith , ˆ x : E s ti m ated   s tate   u : O b s er v er   in p u t o r   co m m a n d y an d   y ˆ :   Me asu r ed   an d   esti m ated   o u tp u t s ,   r esp ec tiv el y .   Or )] ˆ ( ) . . . . . . . . ˆ ( ) ˆ ( [ ) ˆ ( 2 2 1 1 p p y y s i g n y y s i g n y y s i g n y y s i g n   g G   : M atr ix   o b s er v er   g ai n           Fig u r 3 .   State  s p ac f o r m   o f   an   s lid i n g   m o d o b s er v er       L et  u s ,   4 3 2 1 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ x x x x   th esti m ates  o f   th 4 3 2 1 , , , x x x x   r esp ec tiv ely   w h ich   ar th s ta te  v ar iab les  o f   , , , s s r r ii  .   T h o b s er v er   is   o n ly   co p y   o f   th o r ig in al  s y s tem   to   w h ich   o n ad d s   th co n tr o g ain s   w ith   th ter m s   o f   co m m u tatio n th u s ,   [ 19 ] :       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792       Ro b u st S p e e d - se n so rle ss   Vec to Co n tro o DFIM   Dr ive   Us in g   S li d in g   M o d e   Ro t o r F l u x   Ob se rv e r …  ( Dj am il a   Ch e rifi )   241   s r r r m s r r r m s r s s r s s r s s r s I g v x T x x T L x I g v x x T x T L x I g v K v L x T K x K x x x I g v K v L x K x T K x x x 4 4 3 2 4 3 4 3 1 3 2 4 3 2 2 2 1 4 3 2 1 1 ˆ 1 ˆ . ˆ ˆ ˆ . ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ . ˆ ˆ ˆ 1 ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ                    ( 20 )     w h er g 1 ,   g 2 ,   g 3 ,   g ar o b s er v er   g ain s ,   12 j j j g g g   f o r   4 , 3 , 2 , 1 j   T h v ec to r   s I is   g iv e n   b y :     ) ( ) ( 2 1 S s i g n S s i g n I s                                                                               ( 2 1 )     W ith       s s s s ob i i i i x x x x S S S ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 1 1 2 1                               An d                                                                                                                                                   r r T K K t K t T K t ) ( ) ( ) ( 1                                                                        ( 2 2 )     W ith               2 2 2 ) ( ) ( K t T K t r                                                                         ( 2 3 )     T h ch o ic o f     is   m ad in   o r d er   to   f ac ilit ate  th ca lcu latio n   o f   g ain s   o b s er v er .   L et  i j j ˆ e x - x     f o r   { 1 , 2 , 3 , 4 } j th d y n am ics  o f   esti m atio n   er r o r   ar g iv en   b y :     s r s r s r s r I g e e T e I g e e T e I g e K e T K e I g e K e T K e 4 3 4 4 3 4 3 3 2 3 4 2 1 4 3 1 1 1                                                            ( 24 )     T h an aly s is   o f   s tab ilit y   co n s is ts   in   d eter m in in g   th g ain s   g 1   a n d   g 2   in   o r d er   to   en s u r th attr ac tiv ity   o f   th s lid in g   s u r f ac e 0 S ob .   T h en   3 g   an d 4 g   ar g iv en   s u ch   as  th r ed u ce d   s y s tem   o b tain ed   w h en 0 S S ob is   lo ca lly   s tab le.   T h f o llo w in g   r esu lt  is   o b tain ed .   L et  u s   s u p p o s th at  th s tate  v ar iab les  x 3 ( t)   an d   x 4 ( t)   ar b o u n d ed s   an d   let  u s   co n s id er   th s y s tem   ( 2 3)   w ith   th f o llo w in g   g ain s :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8792   I J A P E    Vo l.   7 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 8 :   2 3 5     2 5 0   242   2 1 1 22 21 12 11 2 1 0 0 , g g g g g g     2 2 1 2 1 1 42 41 32 31 1 ) ( ) ( 1 r r T q t t T q g g g g                                      ( 25 )     w h er       2 m a x 1 m a x 4 2 2 m a x 1 m a x 3 1 ˆ ˆ e a e b e b e a r r       W ith :   2 1 2 m a x 2 K p T a r 2 1 2 2 2 m ax 2 1 p K T p b r               3 3 ) ( t x 4 4 ) ( t x 0 2 1 q q     T h v ar iet y   w it h   t w o   d i m e n s io n s   0 S ob   is   attr ac tiv a n d   e 1   ( t) ,   e 2   ( t )   co n v er g es to w ar d s   ze r o .   T h d y n a m ic s   o f   r ed u ce d   o r d er   o b tain ed   w h e n   0 S S ob   is   g i v e n   b y :     4 2 4 3 1 3 e q e e q e                                                                                      ( 26 )       W h er q 1 ,q 2   >0     th at  co r r esp o n d s   to   an   ex p o n e n tia l stab ilit y   o f   e 3   an d   e 4 .     4 . 1 .   E s t i m a t io n o f   s peed  by   s l idi n g   m o de      C o n s id er   th er r o r   d y n am ics   o f   th f lu x   o b s er v er   g iv en   b y   E q u atio n   ( 24 ) ,   th is   eq u atio n   ca n   b r ew r itten   in   th f o llo w in g   f o r m ,   [ 17 ]:                         ) ( ). ( ). ( ) ( sg g I C e A e                                               ( 2 5 )     W ith     4 3 2 1 ) ( e e e e e   r r r r T T T K K K T K A 1 0 0 1 0 0 . 0 0 . 0 0 ) ( 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 . 1 . . . 1 . . . . . . ) ( r r r r r r g T q T q T K T K T K T K G       Su p p o s n o w   th a t th r o to r   s p ee d   is   r ep lace d   b y   it s   esti m ate d ˆ ,   th E q u atio n   ( 2 5 )   b ec o m es:     ) ˆ ( ). ˆ ( ). ˆ ( ) ˆ ( sg g I G e A e                                        ( 26 )     W ith      ) ( ) ˆ ( A A                                                                  ( 27 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E   I SS N:  2252 - 8792       Ro b u st S p e e d - se n so rle ss   Vec to Co n tro o DFIM   Dr ive   Us in g   S li d in g   M o d e   Ro t o r F l u x   Ob se rv e r …  ( Dj am il a   Ch e rifi )   243   g g g G G G ) ( ) ˆ (                                                                          ( 28 )     . . . . 1 2 2 1 e T K S e T K S s i g n I r r sg                                                          ( 29 )     An d       0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 . 0 0 0 K K A 0 . . 0 0 . . . . 0 1 2 1 2 r r g T K T K G     T h id ea   is   to   ap p ly   t h cr iter i o n   o f   s tab ilit y   o f   l y ap u n o v   to   s ee   th co n v er g e n ce   o f   th er r o r   to w ar d s   ze r o ,   f o r   th is   o n ch o o s es t h f u n ctio n   o f   l y ap u n o v   o f   th f o llo w i n g   f o r m   [ 1 9 ] :     2 ) ( 2 1 . 2 1 T e e v                                                                         ( 30 )     T h d er iv ativ o f   E q u atio n   ( 3 0 )   w ith   r esp ec t to   ti m is :     ˆ . 1 ) ˆ ( . e e v T ˆ . 1 ˆ . e e v T                         ( 3 1 )     L et  u s   r ep lace   ˆ () e b y   its   v alu e,   t h e n   E q u atio n   ( 3 1 )   b ec o m es :     ˆ . 1 . . . . ) ( ). ( ). ) ( ( sg g T sg g T sg g g T I G e I G e I G G e A A e v          ( 3 2 )        Fin all y   w w il l h a v e:     e A e I G G I G I G e A e v T sg g g sg g sg g T . . ˆ . 1 ) ( ). ( ) ( . ) ( . ) (      ( 3 3 )     W ith                           4 1 3 2 3 2 4 1 . . . . ˆ . ˆ . . . . . . x e x e K p x e x e K p e A e T                                            ( 3 4 )     w d o   th f o llo w in g   eq u ali t y   :     0 ˆ . ˆ . . . . ˆ . 1 3 2 4 1 x e x e K p                                                                ( 3 5 )     Fro m   E q u atio n   ( 35 )   an d   if   0 ,   an   ad ap tatio n   la w   f o r   th r o to r   s p ee d   is   d ed u ce d :     3 2 4 1 ˆ . ˆ . . . . ˆ x e x e p K                                                                         ( 3 6 )     r s s r s s i i i i p K ˆ . ˆ ˆ . ˆ . . . ˆ                                               ( 3 7 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8792   I J A P E    Vo l.   7 ,   No .   3 Dec em b er   2 0 1 8 :   2 3 5     2 5 0   244   E q u atio n   ( 3 3 )   th en   b ec o m es:     4 1 3 2 . . . . . ) ˆ ( ). ( ) ˆ ( . . . x e x e K p I G G I G e e e v sg g g sg g T T               ( 3 8 )     T h ter m   e T   . b ein g   d ef in ed   n eg ativ b y   th s lid in g   m o d es ,   th er ef o r e,   th s y s tem   is   g lo b ally   s tab le  if   an d   o n ly   if   th f o llo w in g   eq u atio n   is   s atis f ied :                                0 . . . . . ) ˆ ( ). ( ) ˆ ( . . 4 1 3 2 x e x e K p I G G I G e sg g g sg g T                           ( 3 9 )     T h is   eq u atio n   r ep r esen ts   th d o m ain   o f   s tab ilit y ,   s o   it  is   en o u g h   to   r esp ec th is   co n d itio n   s o   th at  th er r o r s   ' e '   an d     co n v er g asy m p to ticall y   to w ar d s   ze r o .       5.   SI M UL AT I O R E S UL T AND  DIS CUSS I O N   T o   d em o n s tr ate  th f aisab ilit y   o f   th p r o p o s ed   esti m atio n   alg o r ith m ,   an d   in co r p o r ated   in to   s p ee d   co n tr o s y s tem   o f   DFI w ith   d ir ec o r ien ted   r o to r   f lu x ,   th s im u latio n   o f   th co m p lete  s y s tem ,   f ig u r 4   w as  ca r r ied   o u u s in g   d if f er en o f   ca s es  th at  w il  b p r esen ted   an d   d is cu s s ed   n ex t.   T h f ir s test   co n ce r n s   n o - lo ad   s tar tin g   o f   th m o to r   w ith   r ef er en ce   s p ee d   Ω ref = 1 5 0   r ad /s .   an d   n o m in al  lo ad   d is tu r b an ce   to r q u ( 1 0   N. m )   is   s u d d en ly   ap p lied   b etw ee n   1 s ec   an d   2 s ec ,   f o llo w ed   b y   co n s ig n   in v er s io n   ( - 1 5 0 r ad /s )   at  2 . 5   s .   th is   test   h as  f o r   o b j ec th s tu d y   o f   co n tr o ller   b eh av io r s   in   p u r s u it  an d   in   r eg u latio n .   T h test   r esu lts   o b tain ed   ar s h o w n   i F ig u r 5 .   a.   I is   f o u n d   th at  th esti m atio n   o f   s p ee d   r o tatio n   is   alm o s p er f ec t.  T h o b s er v ed   s p ee d   p er f ec tly   tr ac k s   th m esu r m ed   s p ee d   w ith   alm o s ze r o   s tatic  er r o r .   Go o d   s en s itiv ity   to   lo ad   d is tu r b an ce s   is   o b s er v ed   w ith   r elativ ely   lo w   r ej ec tio n   tim e,   A n   ex ce llen o r ien tatio n   o f   th r o to r   f lu x   o n   th d ir ec ax is   is   also   o b s er v ed .   b.   Du r in g   th ch an g es  o f   th r ef er en ce ,   an d   esp ec ially   d u r in g   th r ev er s al  o f   r o tatio n ,   th ch an g o f   th d ir ec tio n   o f   th to r q u d o es  n o d eg r ad th o r ien tatio n   o f   th f lu x es.  T h er is   also   p er f ec co n tin u atio n   o f   th co m p o n en ts   o f   th r o to r   f lu x es  esti m ated   at  th eir   co r r esp o n d in g   r ea l c o m p o n en ts .     I n   o r d er   to   s tu d y   th in f lu en ce   o f   p ar am etr ic  v ar iatio n s   o n   th b eh av io r   o f   th v ec to r   co n tr o w ith o u s p ee d   s en s o r   b ased   o n   s lid i n g   m o d o b s er v er ,   w in tr o d u ce d   v ar iatio n   o f +5 0 o f   R r   in   th f ir s test ,   th en   v ar iatio n   o f +5 0 o f   R s .   W o b tain ed   th r esu lts   as  s h o w n   in   Fig u r es  6   an d   7 ,   r esp ec tiv ely .   I w ill  b n o ted   th at  at  ea ch   in s tan o f   v ar iatio n   in   r o to r   r esis tan ce ,   th s p ee d   o b s er v atio n   is   alm o s p er f ec t.  A n   ex ce llen o r ien tatio n   o f   th r o to r   f lu x   o n   th d ir ec ax is   is   also   o b s er v ed .   Du r in g   th ch an g es  o f   th r ef er en ce ,   an d   esp ec ially   d u r in g   th r ev er s al  o f   r o tatio n ,   th ch an g o f   th d ir ec tio n   o f   th to r q u d o es  n o d eg r ad t h o r ien tatio n   o f   th f lo w .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.