I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A p p l i e d   P o w e r   E n g i n e e r i n g   ( I J A P E )   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2 ,   p p .   4 7 ~ 6 4   I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2             4 7       J o u r n a l   h o m e p a g e :   h t t p : / / i a e s j o u r n a l . c o m / o n l i n e / i n d e x . p h p / I J A P E   D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   A u t o n o m o u s   W i n d D i e s e l   s y s t e m   w i t h   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e         N a j a f i   H a m i d   R e z a 1 ,   D a s t y a r .   F a r s h a d   2   1 F a c u l t y   o f   E l e c t r i c a l   a n d   Co m p u t e r   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t y   o f   Bi r j a n d ,   I RA N   2 M o n e n Co   I r a n   c o n s u l t i n g   e n g i n e e r s   ( M A P N A   G RO U P ) ,   I RA N       A r t i c l e   I n f o     A B S T R A C T   A r t i c l e   h i s t o r y :   R e c e i v e d   M a r   2 2 ,   2 0 1 2   R e v i s e d   J u l   1 0 ,   2 0 1 2   A c c e p t e d   J u l   1 6 ,   2 0 1 2       W i n d   t u r b i n e s   h a v e   o f t e n   c o n n e c t e d   t o   s m a l l   p o w e r   s y s t e m s ,   o p e r a t i n g   i n   p a r a l l e l   t o   d i e s e l   g e n e r a t o r s ,   a s   i s   t y p i c a l l y   t h e   c a s e   i n   a u t o n o m o u s   w i n d d i e s e l   i n s t a l l a t i o n s   o r   s m a l l   i s l a n d   s y s t e m s   w i t h   h i g h   w i n d   p o t e n t i a l .   H e n c e ,   t h e   m o d e l i n g   a n d   a n a l y s i s   o f   t h e   d y n a m i c   b e h a v i o r   o f   w i n d d i e s e l   p o w e r   s y s t e m s   i n   p r e s e n c e   o f   w i n d   p o w e r   w i l l   b e   i m p o r t a n t .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   s y s t e m   u n d e r   s t u d y   i s   m o d e l e d   b y   a   s e t   o f   d y n a m i c   a n d   a l g e b r a i c   e q u a t i o n s   ( D A E ) .   D y n a m i c   b e h a v i o r   o f   a   w i n d - d i e s e l   s y s t e m   i s   i n v e s t i g a t e d   b y   t h e   p r o p o s e d   d y n a m i c   m o d e l .   W i n d - d i e s e l   s y s t e m   c o n s i s t s   o f   w i n d   t u r b i n e s   t h a t   a r e   c o n n e c t e d   t o   s y n c h r o n o u s   d i e s e l   g e n e r a t o r   v i a   s h o r t   t r a n s m i s s i o n   l i n e   w i t h   l o c a l   l o a d .   D y n a m i c   s t a b i l i t y   o f   a u t o n o m o u s   w i n d d i e s e l   s y s t e m s   a r e   d i s c u s s e d   w i t h   e m p h a s i s   o n   t h e   e i g e n v a l u e   a n a l y s i s   a n d   t h e   e f f e c t i v e   p a r a m e t e r s   o n   s y s t e m   s t a b i l i t y .   I n   t h i s   r e g a r d s ,   s a d d l e   n o d e   b i f u r c a t i o n   a n d   h o p f   b i f u r c a t i o n   a r e   a l s o   i n v e s t i g a t e d .   K e y w o r d :   D y n a m i c   M o d e l i n g   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e   S a d d l e   n o d e   b i f u r c a t i o n   H o p f   b i f u r c a t i o n   p a r t i c i p a t i o n   f a c t o r   Co p y r i g h t   ©   2 0 1 2   I n s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e .     A l l   r i g h t s   r e s e r v e d .   C o r r e s p o n d i n g   A u t h o r :   N a j a f i   . H a m i d   R e z a   F a c u l t y   o f   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t y   o f   B i r j a n d ,   I R A N   E m a i l :   h . r . n a j a f i @ b i r j a n d . a c . i r       1 .   I N T R O D U C T I O N   A s   r e s u l t   o f   e n v i r o n m e n t a l   c o n c e r n ,   t h e   p e n e t r a t i o n   o f   r e n e w a b l e   p o w e r   i n   p o w e r   s y s t e m s   i s   i n c r e a s i n g .   W i n d   e n e r g y   i s   o n e   w a y   o f   e l e c t r i c a l   g e n e r a t i o n   f r o m   r e n e w a b l e   s o u r c e s   t h a t   u s e s   w i n d   t u r b i n e s   t o   c o n v e r t   t h e   e n e r g y   c o n t a i n e d   i n   f l o w i n g   a i r   i n t o   e l e c t r i c a l   e n e r g y .   W i n d   p o w e r   i s   t h e   w o r l d s   f a s t e s t   g r o w i n g   e n e r g y   s o u r c e   w i t h   a   a v e r a g e   g r o w t h   o v e r   t h e   p a s t   7   y e a r s   o f   2 6 %   a n d   a   f o r e s e e a b l e   p e n e t r a t i o n   1 2 %   o f   g l o b a l   e l e c t r i c i t y   d e m a n d   b y   2 0 2 0   [ 1 ] .   I n   m a n y   c o u n t r i e s   w i n d   p o w e r   e x p a n d s ,   a n d   c o v e r s   a   s t e a d i l y   i n c r e a s i n g   p a r t   o f   t h e s e   c o u n t r i e s   p o w e r   d e m a n d .   T h i s   d e v e l o p m e n t   i s   d u e   t o   s t r o n g   w o r l d w i d e   a v a i l a b l e   w i n d   r e s o u r c e s ,   e n v i r o n m e n t a l   c o n c e r n s ,   a n d   t h e   i m p r o v e d   c o s t   e f f i c i e n c y   o f   n e w   w i n d   t e c h n o l o g i e s .   A s   m o r e   a n d   m o r e   a t t e n t i o n   i s   p a i d   t o   t h e   i n c r e a s e   o f   w i n d   f a r m ,   a   n u m b e r   o f   p r o b l e m s   s h o u l d   b e   i n v e s t i g a t e d   i n   m o r e   d e t a i l   e s p e c i a l l y   i n   w e a k   s y s t e m s .   I n c r e a s i n g   o f   w i n d   f a r m s   p e n e t r a t i o n   i n   p o w e r   s y s t e m   j u s t i f i e s   t h e   n e e d   f o r   d e v e l o p m e n t   o f   a c c u r a t e   w i n d   t u r b i n e   m o d e l ,   e v a l u a t i n g   t h e i r   i n f l u e n c e   a n d   t h u s   i m p r o v i n g   t h e   p l a n n i n g   a n d   e x p l o i t a t i o n   o f   e l e c t r i c a l   n e t w o r k .   A c t u a l l y ,   o n e   o f   t h e   u s e d   w i n d   f a r m   c o n c e p t s   i n   p o w e r   s y s t e m s   i s   b a s e d   o n   f i x e d   s p e e d   w i n d   t u r b i n e s   w i t h   d i r e c t l y   g r i d   c o u p l e d   s q u i r r e l   c a g e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   c o n n e c t e d   t o   t h e   w i n d   t u r b i n e   r o t o r   t h r o u g h   g e a r b o x .   T h i s   g e n e r a t o r   p r e s e n t s   v e r y   s m a l l   r o t a t i o n a l   s p e e d   v a r i a t i o n s   b e c a u s e   o f   t h e   o n l y   s p e e d   v a r i a t i o n s   t h a t   c a n   o c c u r   a r e   c h a n g e s   i n   t h e   r o t o r   s l i p ,   a n d   t h e r e f o r e   t h e s e   w i n d   t u r b i n e s   a r e   c o n s i d e r e d   t o   o p e r a t e   a t   f i x e d   s p e e d .   A   s q u i r r e l   c a g e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   c o n s u m e s   r e a c t i v e   p o w e r ,   a n d   t h e r e f o r e   c o m p e n s a t i n g   c a p a c i t o r s   a r e   a d d e d   t o   g e n e r a t e   t h e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   m a g n e t i z i n g   c u r r e n t ,   t h u s   i m p r o v i n g   t h e   p o w e r   f a c t o r .   T h e   d y n a m i c   b e h a v i o r   o f   w i n d   f a r m s   h a s   b e e n   u s u a l l y   r e p r e s e n t e d   b y   a   s u i t a b l e   m o d e l ,   i n c l u d i n g   t h e   m o d e l i n g   o f   a l l   w i n d   t u r b i n e s   a n d   t h e   i n t e r n a l   e l e c t r i c a l   n e t w o r k   [ 2 4 ] .   B u t   W i n d   t u r b i n e s   a r e   o f t e n   c o n n e c t e d   t o   s m a l l   p o w e r   s y s t e m s .   T h e   o b j e c t i v e   i s   a l w a y s   t o   m a x i m i z e   t h e   w i n d   p e n e t r a t i o n ,   w h i l e   m a i n t a i n i n g   a n   a c c e p t a b l e   l e v e l   o f   s e r v i c e   q u a l i t y   t o   t h e   c o n s u m e r s   a n d   e n s u r i n g   g o o d   d y n a m i c   r e s p o n s e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I J A P E   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2   :     4 7     6 4   4 8 c h a r a c t e r i s t i c s   a n d   a   s u f f i c i e n t   s t a b i l i t y   m a r g i n   i n   c a s e   o f   d i s t u r b a n c e s .   A   v a r i e t y   o f   o p e r a t i n g   a n d   c o n t r o l   p r o b l e m s   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   w i n d d i e s e l   s y s t e m s   h a v e   b e e n   i d e n t i f i e d   a n d   s t u d i e d   i n   t h e   r e l e v a n t   l i t e r a t u r e .   E a c h   t y p e   o f   p r o b l e m   r e q u i r e s   a   d i f f e r e n t   m o d e l i n g   a p p r o a c h   a n d   p o s e s   w i d e l y   v a r y i n g   a n a l y s i s   r e q u i r e m e n t s   [ 5 ] .   T h e   m o d e l i n g   a n d   a n a l y s i s   o f   t h e   d y n a m i c   b e h a v i o r   o f   w i n d d i e s e l   p o w e r   s y s t e m s   h a s   b e e n   t h e   s u b j e c t   o f   n u m e r o u s   p u b l i c a t i o n s   ( e . g .   [ 6 1 5 ] ) ,   d e a l i n g   b o t h   w i t h   s m a l l   a u t o n o m o u s   i n s t a l l a t i o n s   a n d   r e l a t i v e l y   l a r g e r   s y s t e m s ,   c o m p r i s i n g   a   c o n v e n t i o n a l   p o w e r   s t a t i o n   a n d   m u l t i p l e   w i n d   t u r b i n e s   o r   w i n d   f a r m s .     D y n a m i c   m o d e l i n g   o f   w i n d - d i e s e l   s y s t e m   h a v e   n o t   c a r e f u l l y   d i s c u s s e d   i n   r e c e n t   l i t e r a t u r e s .   I n   t h i s   p a p e r   a   c o m p l e t e   d y n a m i c   m o d e l   i s   p r e s e n t e d   f o r   a n   a u t o n o m o u s   w i n d d i e s e l   s y s t e m   a n d   t h e   d y n a m i c   s t a b i l i t y   o f   a   s a m p l e   s y s t e m   i s   d i s c u s s e d   i n   d e t a i l   w i t h   e m p h a s i s   o n   t h e   m o d a l   a n a l y s i s .       T h e   r e s t   o f   t h i s   p a p e r   i s   o r g a n i z e d   a s   f o l l o w s :   s e c t i o n   2   d e s c r i b e s   s y s t e m   c o m p o n e n t s   m o d e l i n g .   S e c t i o n   3   e x p l a i n s   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   q u a n t i t i e s   t r a n s f o r m a t i o n   t o   t h e   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e .   D i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c   e q u a t i o n s   ( D A E )   o f   s y s t e m   a r e   p r e s e n t e d   i n   s e c t i o n   4   a n d   a f t e r   v e r i f i c a t i o n   o f   p r o p o s e d   m o d e l   b y   s i m u l a t i o n ,   d y n a m i c   s t a b i l i t y   o f   s t u d y   s y s t e m   a r e   s t u d i e d   i n   d e t a i l s .   C o n c l u s i o n s   a r e   f i n a l l y   m a d e   i n   s e c t i o n   5 .       2 .   S Y S T E M   C O M P O N E N T S   A N D   M O D E L I N G   T h e   s i n g l e   l i n e   d i a g r a m   o f   t h e   s a m p l e   s y s t e m   i s   d e p i c t e d   i n   F i g u r e   1 . T h e   c o m p l e t e   m o d e l   o f   s t u d y   s y s t e m   i s   c o n s t r u c t e d   f r o m   a   n u m b e r   o f   c o m p o n e n t s .   T h e   s a m p l e   s y s t e m   c o n s i s t s   o f   a   w i n d   f a r m   w i t h   f i x e d   s p e e d   w i n d   t u r b i n e s   i m p l e m e n t e d   w i t h   s q u i r r e l   c a g e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r s   t h a t   a r e   c o n n e c t e d   t o   a   1 . 5   M W   d i e s e l   g e n e r a t o r   t h r o u g h   a   s h o r t   t r a n s m i s s i o n   l i n e .   C o m p e n s a t i n g   c a p a c i t o r   b a n k   a n d   l o c a l   l o a d   a r e   c o n n e c t e d   t o   t h e   w i n d   f a r m   b u s   a n d   l o c a l   l o a d   b u s   r e s p e c t i v e l y .   M u l t i p l e   w i n d   t u r b i n e s   i n   t h e   w i n d   f a r m   a r e   r e q u i r e d   t o   a g g r e g a t e .   F o r   t h e   d y n a m i c   s t a b i l i t y   s t u d y ,   a n   a g g r e g a t e d   m o d e l   i s   s u f f i c i e n t   t o   r e p r e s e n t   t h e   e n t i r e   w i n d   f a r m   a t   p o i n t   o f   c o m m o n   c o u p l i n g .   T h e   s y s t e m   p a r a m e t e r s   a r e   g i v e n   i n   a p p e n d i x   A .   T h e   m o d e l s   o f   s y s t e m   c o m p o n e n t s   a r e   i l l u s t r a t e d   i n   t h e   f o l l o w i n g   s u b - s e c t i o n s .       F i g u r e   1 .   S i n g l e   l i n e   d i a g r a m   o f   t h e   s a m p l e   s y s t e m     2 . 1   W i n d   t u r b i n e   m o d e l   T h e   b e h a v i o r   o f   w i n d   t u r b i n e   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   b y   m o d e l i n g   t h e   r o t o r   a n d   d r i v e   t r a i n .   A p p l y i n g   t h e   a c t u a t o r   d i s k   t h e o r y   [ 1 6 ,   1 7 ] ,   t h e   r o t o r   m o d e l   p r o v i d e s   t h e   a e r o d y n a m i c   t o r q u e   e x t r a c t e d   f r o m   t h e   w i n d   b y   t h e   f o l l o w i n g   e q u a t i o n :   l b l p r ) , ( 2 1 2 3 P w w C V R T =                 ( 1 )   W h e r e   ρ   ( k g / m 3 )   i s   t h e   a i r   d e n s i t y ,   R   ( m )   i s   t h e   r o t o r   d i s k   r a d i u s   o r   b l a d e   l e n g t h ;   V w   ( m / s )   i s   t h e   w i n d   s p e e d   a n d   C p   ( λ ,   β )   i s   t h e   p o w e r   c o e f f i c i e n t   w h i c h   i s   a   f u n c t i o n   o f   t h e   t i p   s p e e d   r a t i o   λ   a n d   t h e   b l a d e   p i t c h   a n g l e   β   f o r   p i t c h   r e g u l a t e d   w i n d   t u r b i n e s   t h a t   i s   s u p p o s e d   i n   t h i s   p a p e r   a n d   C p   ( λ ,   β )   i s   [ 1 7 ] :     ( ) l b l b l l 6 5 4 3 2 1 , c e c c c c C i c i p + - - = -           ( 2 )     W h e r e :     1 0 3 5 . 0 0 8 . 0 1 1 3 + - + = b b l l i               ( 3 )     D i e s e l     G e n e r a t o r                   Ca p a c i t o r     B a n k   W i n d   F a r m   L o c a l     L o a d   B u s   V 2 θ 2     G r i d   B u s   V 3 θ 3     L o c a l   L o a d   T r a n s m i s s i o n   L i n e                 | V 1 | Ð q 1     W i n d   T r a n s f o r m e r   1   T r a n s f o r m e r   2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E     I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2       D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   A u t o n o m o u s   W i n d D i e s e l   s y s t e m   w i t h   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e   ( N a j a f i   H a m i d   R e z a )   4 9 R e p r e s e n t a t i v e   v a l u e s   o f   c i   c o e f f i c i e n t s   a r e :   . 0 0 6 8 . 0 , 2 1 , 5 , 4 . 0 , 1 1 6 , 5 1 7 6 . 0 6 5 4 3 2 1 = = = = = = c c c c c c   T h e   m a x i m u m   v a l u e   o f   C p   ( c p m a x   =   0 . 4 8 )   i s   a c h i e v e d   f o r   β = 0   d e g r e e   a n d   f o r   λ = 8 . 1 .   T h i s   p a r t i c u l a r   v a l u e   o f   λ   i s   d e f i n e d   a s   t h e   n o m i n a l   v a l u e   ( λ _ n o m )   . T h e   t i p   s p e e d   r a t i o   i s   d e f i n e d   a s :   w t V R w l =                   ( 4 )   w h e r e   ω t   ( r a d / s )   i s   t h e   b l a d e   a n g u l a r   s p e e d .     2 . 2   D r i v e   t r a i n   m o d e l   T h e   d r i v e   t r a i n   m o d e l   i s   u s u a l l y   r e p r e s e n t e d   b y   t w o   m a s s e s   [ 1 8 ,   1 9 ]   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   2 .     F i g u r e   2 .   D r i v e   t r a i n   m o d e l   T h e   f i r s t   m a s s   s t a n d s   f o r   t h e   w i n d   t u r b i n e   r o t o r   ( b l a d e s ,   h u b   a n d   l o w - s p e e d   s h a f t ) ,   w h i l e   t h e   s e c o n d   m a s s   s t a n d s   f o r   g e n e r a t o r   r o t o r   ( h i g h - s p e e d   s h a f t ) .   T h e   e q u a t i o n s   o f   t h e   t w o - m a s s   m o d e l   i n   p e r   u n i t   a r e   g i v e n   h e r e :   ) ) 1 ( ( ) ( ) ( 2 S t t g w t t S D K T d t d H w w q w - - - - =         ( 5 )     e S t t g s g T S D K S d t d H - - - + = - ) ) 1 ( ( ) ( ) ( 2 w w q w         ( 6 )   S t g t t g S d t d w w w w q ) 1 ( ) ( - - = - =             ( 7 )   W h e r e   θ tg   i s   t h e   a n g l e   b e t w e e n   t h e   t u r b i n e   r o t o r   a n d   t h e   g e n e r a t o r   r o t o r ,   ω t ,   ω g ,   H t   a n d   H g   a r e   t h e   t u r b i n e   a n d   g e n e r a t o r   r o t o r   a n g u l a r   s p e e d   a n d   i n e r t i a   c o n s t a n t ,   r e s p e c t i v e l y .   K   a n d   D   a r e   t h e   d r i v e   t r a i n   s t i f f n e s s   a n d   d a m p i n g   c o n s t a n t s ,   r e s p e c t i v e l y .   T w   i s   t h e   t o r q u e   p r o v i d e d   b y   t h e   w i n d   a n d   T e   i s   t h e   e l e c t r o m a g n e t i c   t o r q u e .   A l l   p a r a m e t e r s   a r e   i n   p e r   u n i t .     2 . 3   P i t c h   a n g l e   c o n t r o l   m o d e l   A   P r o p o r t i o n a l - I n t e g r a l   ( P I )   c o n t r o l l e r   i s   u s e d   t o   c o n t r o l   t h e   b l a d e   p i t c h   a n g l e   i n   o r d e r   t o   l i m i t   t h e   e l e c t r i c   o u t p u t   p o w e r   t o   t h e   n o m i n a l   m e c h a n i c a l   p o w e r .   T h e   p i t c h   a n g l e   i s   k e p t   c o n s t a n t   a t   z e r o   d e g r e e   w h e n   t h e   m e a s u r e d   e l e c t r i c   o u t p u t   p o w e r   i s   u n d e r   i t s   n o m i n a l   v a l u e .   W h e n   i t   i n c r e a s e s   a b o v e   i t s   n o m i n a l   v a l u e ,   t h e   P I   c o n t r o l l e r   i n c r e a s e s   t h e   p i t c h   a n g l e   t o   b r i n g   b a c k   t h e   m e a s u r e d   p o w e r   t o   i t s   n o m i n a l   v a l u e .   T h e   c o n t r o l   s y s t e m   i s   i l l u s t r a t e d   i n   t h e   F i g u r e   3 .     F i g u r e   3 .   C o n t r o l   s c h e m e   o f   p i t c h   r e g u l a t e d   w i n d   t u r b i n e s   M a t h e m a t i c a l   d e s c r i p t i o n   o f   p i t c h   c o n t r o l   b l o c k   i s   g i v e n   b e l o w :   i r e f m e a s P P P K b b + - = ) (               ( 8 )   - = d t P P K r e f m e a s i i ) ( b               ( 9 )   +   K p   P m e a s   P r e f   K i   β i   β   +   _   +   1   ¤   s   H g   q g   T e   H t   q t   T w   D   K   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I J A P E   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2   :     4 7     6 4   5 0 ) ( ) ( r e f m e a s i i P P K d t d - = b               ( 1 0 )   W h e r e   K P   a n d   K i   a r e   t h e   P I   c o n t r o l l e r   g a i n s ,   P r e f   a n d   P m e a s   a r e   t h e   r e f e r e n c e   p o w e r   a n d   o u t p u t   p o w e r   o f   w i n d   t u r b i n e   r e s p e c t i v e l y .     2 . 4   S C I G   m o d e l     T w o   m a i n   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   m o d e l s   a r e   u s e d   w h e n   p e r f o r m i n g   p o w e r   s y s t e m   d y n a m i c   s t u d i e s :   ·   A   d e t a i l e d   m o d e l   w h i c h   i n c l u d e s   e l e c t r o m a g n e t i c   t r a n s i e n t s   b o t h   i n   t h e   s t a t o r   a n d   t h e   r o t o r   c i r c u i t s ,   c o n t a i n i n g   f o u r   e l e c t r o m a g n e t i c   s t a t e   v a r i a b l e s .   ·   A   s i m p l i f i e d   m o d e l   t h a t   n e g l e c t s   s t a t o r   t r a n s i e n t s ,   c o n t a i n i n g   t w o   e l e c t r o m a g n e t i c   s t a t e   v a r i a b l e s .   T h e   l a t e r   m o d e l   i s   s o m e t i m e s   r e f e r r e d   i n   t h e   l i t e r a t u r e s   a s   t h e   t h i r d   o r d e r   m o d e l ,   a c c o u n t i n g   f o r   t h e   t w o   e l e c t r i c   s t a t e   v a r i a b l e s   a n d   t h e   g e n e r a t o r   s p e e d .   H e n c e ,   t h e   d e t a i l e d   m o d e l   i s   r e f e r r e d   a s   t h e   f i f t h   o r d e r   m o d e l .   T h i s   p a p e r   u s e s   a   w e l l - k n o w n   s i m p l i f i e d   m o d e l   b y   n e g l e c t i n g   s t a t o r   f l u x   l i n k a g e   t r a n s i e n t s   t h a t   i s   c o m m o n   w h e n   p e r f o r m i n g   s t a b i l i t y   s t u d i e s   [ 2 1 ,   2 2 ] .   T h u s   t h e   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n s   o f   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   m o d e l   c a n   b e   e x p r e s s e d   b y :   q S q s s i s i d o d e S i X X e T e d t d ¢ + ¢ - - ¢ ¢ - = ¢ w ] ) ( [ 1 ) (           ( 1 1 )   d S d s s i s i q o q e S i X X e T e d t d ¢ - ¢ - + ¢ ¢ - = ¢ w ] ) ( [ 1 ) (           ( 1 2 )   W h e r e :                                                                                       r i S m i r i o R X X T w + = ¢                 ( 1 3 )   m i r i m i m i s i s i X X X X X X + - + = ¢ 2 ) (             ( 1 4 )   T h e   g e n e r a t o r   e l e c t r i c a l   t o r q u e   i s   c a l c u l a t e d   a s :                                                                                                                           q s q d s d e i e i e T ¢ + ¢ =                 ( 1 5 )   w h e r e   d e ¢   a n d   q e ¢   a r e   t h e   d - q   c o m p o n e n t s   o f   t h e   i n t e r n a l   e q u i v a l e n t   t h e v e n i n   v o l t a g e ,   d s i   a n d   q s i   a r e   t h e   s t a t o r   c u r r e n t   c o m p o n e n t s   ,   o T ¢   i s   t h e   o p e n   c i r c u i t   t r a n s i e n t   t i m e   c o n s t a n t   ,   s i X ¢   i s   t h e   t r a n s i e n t   r e a c t a n c e   , s i X   a n d   r i X   a r e   t h e   s t a t o r   a n d   r o t o r   l e a k a g e   r e a c t a n c e ' s   a n d   m i X   i s   t h e   m a g n e t i z i n g   r e a c t a n c e .   T h e   s u b   i n d e x e s   s ,   r   a n d   i   s t a n d   f o r   t h e   r o t o r ,   s t a t o r   a n d   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   q u a n t i t i e s ,   r e s p e c t i v e l y ,   a n d   t h e   s u b   i n d e x e s   d ,   q   s t a n d   f o r   t h e   c o m p o n e n t s   a l i g n e d   w i t h   t h e   d -   a n d   q -   a x i s .   S   i s   t h e   s l i p   o f   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   d e f i n e d   a s   S   =   ( ω s -   ω g ) /   ω s   w h i l e   v a r i a b l e s   ω s   a n d   ω g   a r e   t h e   s y n c h r o n o u s   a n d   g e n e r a t o r   r o t o r   a n g u l a r   s p e e d ,   r e s p e c t i v e l y .   A l l   v a r i a b l e s   a r e   i n   p e r   u n i t   v a l u e .     2 . 5   D y n a m i c   m o d e l   o f   t h e   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   T h e   f u l l   d e t a i l e d   m a t h e m a t i c a l   m o d e l   o f   a   s y n c h r o n o u s   m a c h i n e   t a k e s   i n t o   a c c o u n t   s e v e r a l   e f f e c t s   i n t r o d u c e   b y   d i f f e r e n t   r o t o r   c i r c u i t s ,   a n d   c o n s i s t   o f   s e v e n   n o n l i n e a r   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n s   f o r   e a c h   m a c h i n e .   I n   s t a b i l i t y   s t u d y ,   t h e   c o m p l e t e   m a t h e m a t i c a l   d e s c r i p t i o n   i s   c o m p l i c a t e d ,   u n l e s s   s o m e   s i m p l i f i c a t i o n s   w e r e   u s e d   [ 2 1 ,   2 3 ,   2 4 ,   a n d   2 5 ] .     N e g l e c t i n g   t h e   s t a t o r   t r a n s i e n t   a n d   d a m p e r   w i n d i n g   a r e   c o m m o n   s i m p l i f i c a t i o n   a s s u m p t i o n s .   I n   t h i s   p a p e r   s u p p o s i t i o n s   a r e   u s e d ,   i n   o t h e r   w o r d s ,   t h e   t w o   a x i s   m o d e l   i s   e m p l o y e d   i n   t h e   m o d e l i n g   a n d   t h e   s a t u r a t i o n   e f f e c t   i s   n e g l e c t e d   [ 2 5 ] .   T h e   v o l t a g e   e q u a t i o n s   o f   a   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   i n   t h e   d - q   r e f e r e n c e   f r a m e   ( a s   s h o w n   i n   F i g u r e   4 )   a r e   g i v e n   b y :   ] ) ( [ 1 ) ( f d d d d q d o q E I x x E T E d t d + ¢ - - ¢ - ¢ = ¢           ( 1 6 )                                                                                                   ] ) ( [ 1 ) ( q q q d q o d I x x E T E d t d ¢ - + ¢ - ¢ = ¢             ( 1 7 )                                                                                                                       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E     I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2       D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   A u t o n o m o u s   W i n d D i e s e l   s y s t e m   w i t h   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e   ( N a j a f i   H a m i d   R e z a )   5 1 0 ) ] ) ( [ ) ) ( ( ) 2 ( ] 2 [ 3 3 = ¢ + ¢ + ¢ + ¢ - + ¢ + + - - p d p d q j q q d q d j q d d S j e E j I x x E e j I I x j R e V   ( 1 8 )       F i g u r e   4 .   D y n a m i c   e q u i v a l e n t   c i r c u i t   o f   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   ( t w o - a x i s   m o d e l )     D i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   o f   t h e   e x c i t a t i o n   s y s t e m   i s   d e r i v e d   d i r e c t l y   f r o m   F i g u r e   5 .   T h i s   f i g u r e   s h o w s   a   s i m p l e   s t a t i c   e x c i t e r .   f d re f e x f d e x E V V K E d t d T - - = ) ( ) ( 3             ( 1 9 )     F i g u r e   5 .   B l o c k   d i a g r a m   o f   a   s t a t i c   e x c i t e r   M e c h a n i c a l   e q u a t i o n s   a r e   g i v e n   b y :                           ) ( ) ( ) ( 2 S q d d q q q d d M S D I I x x I E I E T d t d H w w w w - - ¢ - ¢ - ¢ - ¢ - =     ( 2 0 )   S d t d w w d - = ) (                 ( 2 1 )   W h e r e ,   d E ¢ a n d   q E ¢   a r e   t h e   i n t e r n a l   v o l t a g e   c o m p o n e n t s   o f   t h e   e q u i v a l e n t   T h e v e n i n . d I   a n d   q I ,   t h e   s t a t o r   c u r r e n t   c o m p o n e n t s ,   d o T ¢ i s   t h e   d - a x i s   t r a n s i e n t   o p e n   c i r c u i t   t i m e   c o n s t a n t   ,   q o T ¢ i s   t h e   q - a x i s   t r a n s i e n t   o p e n   c i r c u i t   t i m e   c o n s t a n t   , f d E i s   t h e   e x c i t a t i o n   v o l t a g e , q d x x , a r e   t h e   r e a c t a n c e   c o m p o n e n t s   ,   d x ¢ a n d   q x ¢ a r e   t h e   t r a n s i e n t   r e a c t a n c e   c o m p o n e n t s   , S R   i s   t h e   s t a t o r   r e s i s t a n c e , 3 V a n d   r e f V a r e   t h e   t e r m i n a l   v o l t a g e   a n d   r e f e r e n c e   v o l t a g e   r e s p e c t i v e l y , e x e x T K ,   a r e   t h e   e x c i t a t i o n   s y s t e m   p a r a m e t e r s , D a n d   H a r e   t h e   d a m p i n g   c o n s t a n t   a n d   i n e r t i a   c o n s t a n t   r e s p e c t i v e l y ,   M T   a n d   w   a r e   t h e   i n p u t   m e c h a n i c a l   t o r q u e   a n d   s y n c h r o n o u s   m a c h i n e   s p e e d   r e s p e c t i v e l y .   I n   t h i s   p a p e r ,   l o c a l   l o a d   i s   m o d e l e d   b y   a   c o n s t a n t   i m p e d a n c e   l o a d .       3 .   T R A N S F O R M A T I O N   O F   S Y S T E M   V A R I A B L E S   T O   A   C O M M O N   R E F E R E N C E   F R A M E   S i n c e ,   s t u d y   s y s t e m   h a s   t w o   m a c h i n e s ,   a l l   s y s t e m   v a r i a b l e s   m u s t   b e   r e f e r r e d   t o   a   c o m m o n   r e f e r e n c e   f r a m e .   I n   t h i s   p a p e r ,   s t a t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   i s   c h o s e n   a s   a   c o m m o n   r e f e r e n c e   f r a m e .     3 . 1   S C I G   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   q u a n t i t i e s     T r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x   f r o m   S C I G   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   ( d - q )   t o   t h e   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e   ( D - Q )   a n d   t r a n s i t i o n   a n g l e   a r e   g i v e n   b y :   V r e f   E E s T K + 1   V t   +   -   E f d   S X   S R ) 2 ( ] ) ( [ p d - ¢ + ¢ + ¢ + ¢ j q q d q d e E j I X X E     ) 2 ( ) ( p d - + j q d e j I I   3 3 ) 2 ( ) ( q p d j j q d e V e j V V = + -   +   _   +   _   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I J A P E   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2   :     4 7     6 4   5 2 - = I M Q I M D I M q I M d F F F F , , , , ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) s i n ( q q q q           ( 2 2 )   - = d t S g ) ( w w q                 ( 2 3 )   A t   a b o v e   e q u a t i o n s , I M d F ,   a n d   I M q F ,   a r e   t h e   q u a n t i t i e s   o f   i n d u c t i o n   m a c h i n e   ( S C I G )   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e ,   I M D F ,   a n d   I M Q F , a r e   t r a n s f o r m e d   q u a n t i t i e s   a t   t h e   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e .   T h e   d i a g r a m   o f   s u c h   t r a n s f o r m a t i o n   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   6 .       F i g u r e   6 .   S c h e m a t i c   d i a g r a m   o f   S C I G   q u a n t i t i e s   t r a n s f o r m a t i o n     A f t e r   t h i s   t r a n s f o r m a t i o n ,   t h e   S C I G   d y n a m i c   e q u a t i o n s   c a n   b e   o b t a i n e d   a s   f o l l o w :     Q S Q S s i s i D o D e S I X X e T e d t d ¢ + ¢ - - ¢ ¢ - = ¢ w 2 ] ) ( [ 1 ) (           ( 2 4 )     D S D S s i s i Q o Q e S I X X e T e d t d ¢ - ¢ - + ¢ ¢ - = ¢ w 2 ] ) ( [ 1 ) (           ( 2 5 )   Q S Q D S D e I e I e T ¢ + ¢ =                 ( 2 6 )   E q u i v a l e n t   c i r c u i t   o f   S C I G   i n   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e   i s   d e p i c t e d   i n   F i g u r e   7 .     F i g u r e   7 .   E q u i v a l e n t   c i r c u i t   o f   S C I G   i n   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e     A l g e b r a i c   e q u a t i o n s   o f   e q u i v a l e n t   c i r c u i t   o f   S C I G   a r e   g i v e n   b y :   ) c o s ( 1 1 q V I X I R e Q S s i D S s i D + ¢ - = ¢             ( 2 7 )   ) s i n ( 1 1 q V I X I R e D S s i Q S s i Q + ¢ + = ¢             ( 2 8 )     W h e r e ,   s i R   i s   t h e   s t a t o r   r e s i s t a n c e   o f   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r .   O u t p u t   p o w e r   o f   w i n d   t u r b i n e   i s   g i v e n   b y :                                                                                                                                 s i R   s i X ¢ 1 1 q j e V   Q D e j e ¢ + ¢ Q s D s j I I + +   -   P m e a s   +   _   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E     I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2       D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   A u t o n o m o u s   W i n d D i e s e l   s y s t e m   w i t h   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e   ( N a j a f i   H a m i d   R e z a )   5 3 Q S D S Q S D S j m e a s I V I V j I I e V P ) s i n ( ) c o s ( } ) ( . R e { 1 1 1 1 * 1 1 q q q + = + =     ( 2 9 )     3 . 2   S y n c h r o n o u s   m a c h i n e   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   q u a n t i t i e s     T r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x   f r o m   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e   ( d - q )   t o   t h e   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e   ( D - Q )   f o r   s y n c h r o n o u s   m a c h i n e   ( S M )   a n d   t r a n s i t i o n   a n g l e   a r e   g i v e n   b y :   - = S M Q S M D S M q S M d F F F F , , , , ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) s i n ( d d d d           ( 3 0 )   - = d t S ) ( w w d                 ( 3 1 )   W h e r e   S M d F ,   a n d   S M q F ,   a r e   t h e   q u a n t i t i e s   o f   r o t o r   r e f e r e n c e   f r a m e , S M D F ,   a n d   S M Q F ,   a r e   q u a n t i t i e s   o f   t h e   s t a t o r - f l u x   o r i e n t e d   r e f e r e n c e   f r a m e .   T h e   d i a g r a m   o f   s u c h   t r a n s f o r m a t i o n   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   8 .       F i g u r e   8 .   S c h e m a t i c   d i a g r a m   o f   q u a n t i t i e s   t r a n s f o r m a t i o n     T h u s ,   t h e   s y n c h r o n o u s   m a c h i n e   d y n a m i c   e q u a t i o n s   a t   c o m m o n   r e f e r e n c e   f r a m e   a r e :   d o f d q o q q d o d d Q d o d d q o q q D d o q o Q q o d o D D T E T x x T x x I T x x T x x I T T E T T E E d t d ¢ + ¢ ¢ - + ¢ ¢ - + ¢ ¢ - - ¢ ¢ - + - ¢ - ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ - = ¢ ) c o s ( ) ] ( s i n ) ( c o s [ ) 2 s i n ( ] 2 2 [ ] ) 1 1 ( 2 ) 2 s i n ( [ ] ) ( s i n ) ( c o s [ ) ( 2 2 2 2 d d d d d d d d &         ( 3 2 )   d o f d q o q q d o d d Q q o d q d o d d D q o d o Q d o q o D Q T E T x x T x x I T x x T x x I T T E T T E E d t d ¢ + ¢ ¢ - - ¢ ¢ - + ¢ ¢ - + ¢ ¢ - - ¢ + ¢ ¢ - + ¢ - ¢ ¢ = ¢ ) s i n ( ) 2 s i n ( ] 2 2 [ ) ] ( c o s ) ( s i n [ ] ) ( c o s ) ( s i n [ ] ) 2 1 2 1 ) ( 2 [ s i n ( ) ( 2 2 2 2 d d d d d d d d &     ( 3 3 )   ) ( ) ] 2 c o s ( ) ( 2 ) 2 s i n ( ) [ ( ) ( 2 2 2 S Q D Q D d q Q Q D D M S D I I I I x x I E I E T d t d H w w d d w w - - - + ¢ - ¢ - ¢ - ¢ - =   ( 3 4 )   S d t d w w d - = ) (                 ( 3 5 )                                               A l g e b r a i c   e q u a t i o n s   o f   a b o v e   e q u a t i o n s   a r e   g i v e n   b y :   ) c o s ( 3 3 q V I x I R E Q d D S D + ¢ - = ¢             ( 3 6 )   ) s i n ( 3 3 q V I x I R E D d Q S Q + ¢ + = ¢             ( 3 7 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I J A P E   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2   :     4 7     6 4   5 4 4 .   D Y N A M I C   S T A B I L I T Y   O F   S T U D Y   S Y S T E M   P o w e r   s y s t e m   d y n a m i c s   a r e   c o m m o n l y   e x p r e s s e d   b y   a   d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c   e q u a t i o n   ( D A E )   f o r m   [ 2 4 ] ,   [ 2 6 ]   :   ) , , ( p y x f x = &                   ( 3 8 )   ) , , ( 0 p y x g =                     ( 3 9 )   W h e r e ,   t h e   p a r a m e t e r   p   d e f i n e s   s p e c i f i c   s y s t e m   c o n f i g u r a t i o n s   a n d   o p e r a t i o n   c o n d i t i o n s ,   s u c h   a s   l o a d s ,   g e n e r a t i o n ,   v o l t a g e   s e t t i n g   p o i n t s ,   e t c .   T h e   d y n a m i c   s t a t e   x   ( s l o w   m o d e s )   d e s c r i b e s   t h e   g e n e r a t i o n   d y n a m i c s   o f   p o w e r   s y s t e m s .   T h e   i n s t a n t a n e o u s   v a r i a b l e s   y   ( f a s t   m o d e s )   s a t i s f i e s   a l g e b r a i c   c o n s t r a i n t ,   s u c h   a s   p o w e r   f l o w   e q u a t i o n s ,   w h i c h   i s   i m p l i c i t l y   a s s u m e d   t o   h a v e   a n   i n s t a n t a n e o u s l y   c o n v e r g i n g   t r a n s i e n t .   W e   c a n   a n a l y z e   p o w e r   s y s t e m   d y n a m i c s   t h r o u g h   e i g e n v a l u e   s o l u t i o n s   [ 2 7 ] .   H o w e v e r ,   i t   i s   d i f f i c u l t   t o   a n a l y z e   a n d   s i m u l a t e   t h e   n o n l i n e a r   D A E   d u e   t o   t h e   i n s t a n t a n e o u s   d y n a m i c   n a t u r e   o f   a l g e b r a i c   c o n s t r a i n t s ,   w h i c h   i s   o n l y   t r u e   i n   t h e   a p p r o x i m a t i o n   s e n s e .   T r a d i t i o n a l l y ,   w e   u s e   i m p l i c i t   f u n c t i o n   t h e o r e m   t o   s o l v e   f o r   f a s t   v a r i a b l e s   y   t o   g e t   a   r e d u c e d   m o d e l   i n   t e r m s   o f   s l o w   d y n a m i c s   l o c a l l y   a r o u n d   x .   O r   w e   c o m p u t e   y   n u m e r i c a l l y   a t   e a c h   x .   T h e   r e d u c e d   J a c o b i a n   m a t r i x   o f   D A E   i s   o f t e n   u s e d   i n   t h e   a n a l y s i s   o f   p o w e r   s y s t e m   d y n a m i c s   [ 2 7 ] ,   [ 2 8 ] .   T h e   l i n e a r i z e d   d y n a m i c   e x p r e s s i o n   o f   D A E   i s   a s   b e l o w   [ 2 4 ] ,   [ 2 9 ] :   D D = D y x J x 0 &                   ( 4 0 )   = y x y x g g f f J                   ( 4 1 )     D A E   c a n   b e   r e d u c e d   t o   a n   O D E   ( o r d i n a r y - d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n )   w h e n   y g   i s   n o n s i n g u l a r ,   i . e . ,   t h e   a l g e b r a i c   v a r i a b l e y D c a n   b e   e l i m i n a t e d   f r o m   ( 4 0 )   [ 2 4 ] .   x x y y x g g f f x D - = D - ] [ 1 &                 ( 4 2 )     ] [ 1 x y y x x g g f f F A - - = =               ( 4 3 )   W h e r e A   i s   c a l l e d   t h e   r e d u c e d   J a c o b i a n   m a t r i x   ( R J M )   a s   o p p o s e d   t o   t h e   u n r e d u c e d   J a c o b i a n   m a t r i x   ( U J M )   J .   T h e   s t a b i l i t y   o f   a n   e q u i l i b r i u m   p o i n t   o f   t h e   D A E   s y s t e m   f o r   a   g i v e n   p   d e p e n d s   o n   t h e   e i g e n v a l u e s   o f   t h e   r e d u c e d   J a c o b i a n   m a t r i x A   [ 2 4 ] .   T h r o u g h   t r a c i n g   t h e   e i g e n v a l u e   o f   m a t r i x A ,   w e   c a n   s t u d y   t h e   l o c a l   d y n a m i c   s t a b i l i t y   o f   t h e   s y s t e m   [ 2 4 ] ,   [ 2 1 ] .   T h e r e   a r e   t w o   s t e p s   i n v o l v e d   t o   i d e n t i f y   t h e   d y n a m i c   s t a b i l i t y   o f   p o w e r   s y s t e m   a s   t h e   p a r a m e t e r   p   s l o w l y   c h a n g e s .   F i r s t ,   s o l v e   a n d   t r a c e   t h e   e q u i l i b r i u m   p o i n t   a l o n g   t h e   p a t h ,   t h e n   f o r m   R J M   a n d   a n a l y z e   t h e   e i g e n v a l u e s   a t   e a c h   e q u i l i b r i u m   p o i n t   [ 2 4 ] ,   [ 3 0 ] ,   [ 3 1 ] . I n   t h i s   r e s e a r c h   x   a n d   y   a r e   d e f i n e d   a s :   t t d w b q w ] , , , , , , , , , , [ ] , . . . . . . , , [ 1 1 2 1 f d Q D Q D i t g t E E E e e S x x x x ¢ ¢ ¢ ¢ = =   t t q b q l ] , , , , , , , , , , [ ] , . . . . . . , , [ 3 2 2 1 1 1 1 2 1 V V I I I I V y y y y Q D Q S D S = =     4 . 1   V e r i f i c a t i o n   o f   m o d e l   w i t h   s t u d y   s y s t e m   s i m u l a t i o n   M o d e l   v e r i f i c a t i o n   h a s   b e e n   p e r f o r m e d   u s i n g   a   R J M   e i g e n v a l u e   a n d   s t u d y   s y s t e m   s i m u l a t i o n   w i t h   M a t l a m - S i m u l i n k   s o f t w a r e .   S i m u l a t i o n   r e s u l t s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   1 0   t o   F i g u r e 1 6   t h a t   i n c l u d e   t h e   s q u i r r e l   c a g e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   s l i p ,   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   s p e e d ,   v o l t a g e   a t   1 ,   2 ,   3   b u s e s ,   a c t i v e   p o w e r   o f   w i n d   t u r b i n e ,   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   a n d   l o a d   d i a g r a m s .       F i g u r e   9 .   S y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   s p e e d   ( p . u )     0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 t i m e ( s ) R o t o r   S p e e d   o f   S G ( p . u ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J A P E     I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2       D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   A u t o n o m o u s   W i n d D i e s e l   s y s t e m   w i t h   F i x e d - S p e e d   W i n d   T u r b i n e   ( N a j a f i   H a m i d   R e z a )   5 5   F i g u r e   1 0 .   S q u i r r e l   c a g e   i n d u c t i o n   g e n e r a t o r   s l i p s   ( p . u )       F i g u r e   1 1 .   V o l t a g e   a t   w i n d   t u r b i n e   b u s   ( p . u )           F i g u r e   1 2 .   V o l t a g e   a t   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   b u s   ( p . u )       F i g u r e   1 3 .   V o l t a g e   a t   l o a d   b u s   ( p . u )   0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 - 0 . 2 - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 t i m e ( s ) S l i p   o f   w i n d   t u r b i n e 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 t i m e ( s ) V o l t a g e   a t   W i n d   t u r b i n e   t e r m i n a l   ( p . u ) 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 t i m e ( s ) V o l t a g e   a t   S G   B u s   ( p . u ) 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 t i m e ( s ) v o l t a g e   a t   L o a d   B u s   ( p . u ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I J A P E   V o l .   1 ,   N o .   2 ,   A u g u s t   2 0 1 2   :     4 7     6 4   5 6   F i g u r e   1 4 .   A c t i v e   p o w e r   o f   l o a d   ( p . u )       F i g u r e   1 5 .   A c t i v e   p o w e r   o f   s y n c h r o n o u s   g e n e r a t o r   ( p . u )     A l l   f i g u r e s   s h o w   s t a b l e   o p e r a t i o n   o f   s t u d y   s y s t e m   w i t h   p a r a m e t e r s   t h a t   a r e   p r e s e n t e d   i n   a p p e n d i x   A .   I n   F i g u r e   1 6   R J M   e i g e n v a l u e s   a r e   s h o w n   t h a t   a l l   e i g e n v a l u e s   a r e   i n   l e f t   o f   i m a g i n a r y   a x i s ,   t h e r e f o r e   s t u d y   s y s t e m   i s   s t a b l e .       F i g u r e   1 6   E i g e n v a l u e s   o f   s t u d y   s y s t e m     T h e   J a c o b i a n   m a t r i x   i s   o f   g r e a t   i m p o r t a n c e   t o   t h e   a n a l y s i s   o f   d y n a m i c a l   s y s t e m s .   W h e n   a n a l y z i n g   t h e   J a c o b i a n   m a t r i x ,   w e   n e e d   t o   o b t a i n   t h e   e q u i l i b r i u m   p o i n t s   o f   t h e   s y s t e m   b y   s o l v i n g   e q u a t i o n s   { ) , , ( 0 p y x f = , ) , , ( 0 p y x g = }   s i m u l t a n e o u s l y   a t   f i r s t .   A f t e r   t h e   e q u i l i b r i u m   p o i n t s   a r e   o b t a i n e d ,   t h e   J a c o b i a n   m a t r i x   o f   t h e   s y s t e m   e v a l u a t e d   a t   t h e   e q u i l i b r i u m   p o i n t s   t h a t   a r e   m e n t i o n e d .   A s   i s   w e l l   k n o w n ,   t h e   s t a b i l i t y   o f   t h e   e q u i l i b r i u m   p o i n t s   i s   d e t e r m i n e d   b y   t h e   e i g e n v a l u e s   o f   t h e   J a c o b i a n   m a t r i x   e v a l u a t e d   a t   t h e   0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 4 5 t i m e ( s ) A c t i v e   P o w e r   o f   L o a d   ( p . u ) 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 t i m e ( s ) A c t i v e   p o w e r   o f   s y n c h r o n o u s   G e n e r a t o r   ( p . u ) - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 1 0 - 5 0 - 1 0 - 5 0 5 1 0 R e a l   A x i s I m a g i n a r y   A x i s - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 - 2 - 1 0 1 2 R e a l   A x i s I m a g i n a r y   A x i s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.