I SSN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0                                                                         2 2 5       H y b r i d   M e t h o d s   i n   D e s i g n i n g   Si e r p i n s k i   G a s k e t   A n t e n n a s   ( M u d r i k   Al a y d r u s )   H y b r i d   M e t h o d s   i n   D e s i g n i n g   S i e r p i n s k i   G a s k e t   A n t e n n a s         M u d r i k   A l a y d r u s   D e p a r t m e n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t y   o f   M e r c u   Bu a n a ,   J a l a n   M e r u y a   R a y a   Se l a t a n ,   J a k a r t a ,   1 1 6 5 0 ,   Ph :   + 6 2   2 1   2 8 0 4 1 0 0 3   e - m a i l :   m u d r i k a l a y d r u s @ m e r c u b u a n a . a c . i d       A b s t r a k   An t e n a   Si e r p i n s k i   g a s k e t   s e b a g a i   s e b u a h   c o n t o h   d a r i   k e l o m p o k   a n t e n a   f r a k t a l   m e n u n j u k k a n   k a r a k t e r   p i t a   j a m a k .   Si m u l a s i   d e n g a n   k o m p u t e r   d a r i   s e b u a h   a n t e n a   k u t u b   t u n g g a l   Si e r p i n s k i   g a s k e t   m e m b u t u h   m e m o r i   k o m p u t e r   y a n g   b e s a r   d a n   w a k t u   p e r h i t u n g a n   y a n g   l a m a .   M e t o d a   h y b r i d   y a n g   t e r d i r i   d a r i   m e t o d a   p e r s a m a a n   i n t e g r a l   p e r m u k a a n   d a n   o p t i k   f i s i k a   a t a u   t e o r i   d i f r a k s i   g e o m e t r i   s e r a g a m   b i s a   m e l e w a t i   h a l a n g a n   k o m p u t a s i   i n i .   H i b r i d i s a s i   p e n u h   d e n g a n   m e m o d i f i k a s i   g e l o m b a n g   e l e k t r o m a g n e t i k a   y a n g   d a t a n g   p a d a   k a s u s   m e t o d a   h y b r i d   p e r s a m a a n   i n t e g r a l   d a n   o p t i k   f i s i k a   a t a u   m o d i f i k a s i   f u n g s i   G r e e n   p a d a   k a s u s   m e t o d a   h y b r i d   p e r s a m a a n   i n t e g r a l   d a n   t e o r i   d i f r a k s i   g e o m e t r i   s e r a g a m   m e m a i n k a n   p e r a n   u t a m a   p a d a   p e n g a m a t a n   d i   s i n i .   Pe r b a n d i n g a n   h a s i l - h a s i l   y a n g   d i d a p a t   d e n g a n   m e t o d a - m e t o d a   i n i   a k a n   d i b e r i k a n   j u g a   d e n g a n   h a s i l   p e n g u k u r a n   d i   l a p a n g a n   t e r h a d a p   t i g a   a n t e n a   Si e r p i n s k i   g a s k e t .   Ka r a k t e r   p i t a   j a m a k   m a s i h   t e r l i h a t ,   w a l a u p u n   r e s o n a n s i   y a n g   t e r j a d i   m e m b e s a r   d a n   m e n g e c i l .       K a t a   k u n c i :   a n t e n a   f r a c t a l ,   d i f r a k s i ,   k o m p u t a s i ,   m e t o d a   p e r s a m a a n   i n t e g r a l ,   Si e r p i n s k i   g a s k e t         A b s t r a c t     Si e r p i n k i   g a s k e t   a n t e n n a s   a s   e x a m p l e   o f   f r a c t a l   a n t e n n a s   s h o w   m u l t i b a n d   c h a r a c t e r i s t i c s .   T h e   c o m p u t e r   s i m u l a t i o n   o f   Si e r p i n k s i   g a s k e t   m o n o p o l e   w i t h   f i n i t e   g r o u n d   n e e d s   p r o h i b i t i v e l y   l a r g e   c o m p u t e r   m e m o r y   a n d   c o m p u t a t i o n a l   t i m e .   H y b r i d   m e t h o d s   c o n s i s t   o f   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   a n d   p h y s i c a l   o p t i c s   o r   u n i f o r m   g e o m e t r i c a l   t h e o r y   o f   d i f f r a c t i o n   i s   e x p e c t e d   t o   a l l e v i a t e   t h i s   c o m p u t a t i o n a l   b u r d e n s .   T h e   f u l l   h y b r i d i z a t i o n   o f   t h e   d i f f e r e n t   m e t h o d s   w i t h   m o d i f y i n g   t h e   i n c o m i n g   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   i n   c a s e   o f   h y b r i d   m e t h o d   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   a n d   p h y s i c a l   o p t i c s   a n d   m o d i f i c a t i o n   o f   t h e   G r e e n s   f u n c t i o n   f o r   h y b r i d   m e t h o d   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   a n d   u n i f o r m   g e o m e t r i c a l   t h e o r y   o f   d i f f r a c t i o n   p l a y s   t h e   c e n t r a l   r o l e   i n   t h e   o b s e r v a t i o n .   c o m p a r i s o n   o f   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   o f   t h e s e   d i f f e r e n t   m e t h o d s   a n d   a r e   g i v e n   m e a s u r e m e n t s   o f   a   g r o u p s   o f   t h r e e   Si e r p i n k s i   g a s k e t   a n t e n n a s   a r e   p r e s e n t e d .   T h e   m u l t i b a n d   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   a n t e n n a s   a r e   o b s e r v e d   w i t h   s o m e   r e d u c t i o n   a n d   e n h a n c e m e n t   o f   r e s o n a n c e s .       K e y w o r d s :   c o m p u t a t i o n ,   d i f f r a c t i o n ,   f r a c t a l   a n t e n n a ,   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d ,   Si e r p i n s k i   g a s k e t         1 .   I n t r o d u c t i o n   T h e   f a s t   t r a n s m i s s i o n   o f   d a t a   i n   t o d a y   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m s   r e q u i r e s   a   r e l i a b l e   a n d   s t a b l e   c o m m u n i c a t i o n   l i n k   b e t w e e n   t r a n s m i t t e r   a n d   r e c e i v e r .   An t e n n a s   a s   a   p a r t   o f   t h i s   c o m m u n i c a t i o n   l i n k   c a n   d e c i d e   t h e   s u c c e s s   o f   t h i s   t a r g e t .   T h e   d e m a n d   o n   h i g h   p e r f o r m a n c e   w i r e l e s s   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m s   p r e s u p p o s e s   h i g h   p e r f o r m a n c e   a n t e n n a   c a p a b i t i l i e s   t o o .   I n   d e s i g n i n g   o f   a n t e n n a s ,   i t   i s   f a c e d   w i t h   s e v e r a l   i m p o r t a n t   q u a n t i t i e s   w h i c h   m u s t   b e   f u l f i l l e d   f o r   e a c h   s p e c i f i c   a p p l i c a t i o n .   T h e s e   a n t e n n a   c h a r a c t e r i s t i c s   a r e   r e t u r n   l o s s ,   r a d i a t i o n   d i a g r a m ,   a n d   g a i n .   T h e y   m u s t   c o n f o r m   w i t h   c e r t a i n   s p e c i f i c a t i o n s   g i v e n   t o   t h e   a n t e n n a   d e s i g n e r .   I n   o r d e r   t o   m e e t   t h e   s p e c i f i c a t i o n s ,   m a n y   n e w   a n t e n n a s   a r e   d e s i g n e d .   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   w h i c h   b e l o n g s   t o   t h e   g r o u p   o f   f r a c t a l   a n t e n n a s   i s   a n   e x a m p l e .   Pu e n t e - Ba l i a r d a   e t   a l   [ 1 ]   r e p o r t e d   t h e   m u l t i b a n d   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   f r a c t a l   Si e r p i n s k i   a n t e n n a s .   T h e   Si e r p i n s k i   g a s k e t   i s   c o n s t r u c t e d   b y   s u b t r a c t i n g   a   c e n t r a l   i n v e r t e d   t r i a n g l e   f r o m   a   m a i n   t r i a n g l e   s h a p e .   O n e   c a n   i t e r a t e   t h e   s a m e   s u b t r a c t i o n   p r o c e d u r e   o n   t h e   r e m a i n i n g   t r i a n g l e s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S SN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     T E L K O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 0   :     2 2 5     2 3 4   2 2 6   I n   t h e   r e c e n t   t i m e s   t h e r e   a r e   n u m e r o u s   i n v e s t i g a t i o n s ,   f o r   e x a m p l e   [ 2 ] ,   [ 3 ] ,   [ 4 ] ,   [ 5 ] ,   a r e   p e r f o r m e d   t o   i m p r o v e   t h e   r e f l e c t i o n   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   a n d   t o   c h a n g e   t h e   p o s i t i o n s   o f   t h e   r e s o n a n c e s   ( c o n d i t i o n s   w i t h   m i n i m a l   r e f l e c t i o n s ) .   I n   t h e s e   i n v e s t i g a t i o n s   t h e   r e s e a r c h e r   p e r t u r b e d   t h e   s e l f - s i m i l a r i t y   o f   t h e   Si e r p i n s k i   f r a c t a l   s t r u c t u r e .   I n   [ 6 ]   a   t h r e e   d i m e n s i o n a l   c o n i c a l   a n t e n n a   i s   a n a l y z e d .   T h i s   a n t e n n a   i s   b u i l d   b y   w r a p p i n g   a   m o d i f i e d   Si e r p i n s k i   g a s k e t .   T h e   r e s u l t   g i v e s   a n   i n c r e a s e   i n   t h e   i m p e d a n c e   b a n d w i d t h   a n d   i m p r o v e m e n t   o f   t h e   r a d i a t i o n   d i a g r a m   p e r f o r m a n c e .   Al a y d r u s   [ 7 ]   e x t e n d s   t h e   o b s e r v a t i o n   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   t o   i t s   t h r e e   d i m e n s i o n a l   v e r s i o n ,   h e   s h o w e d ,   t h e   o p e r a t i n g   b a n d w i d t h   o f   t h e   a n t e n n a   i s   w i d e n e d .   I n   a l l   o f   t h e   w o r k s   m e n t i o n e d   b e f o r e ,   t h e   t h e o r e t i c a l   a p p r o a c h   i s   m a d e   b y   u s e   o f   n u m e r i c a l   m e t h o d s   b a s e d   o n   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   ( SI EM ) ,   f i n i t e   d i f f e r e n c e   t i m e   d o m a i n   ( F D T D )   o r   f i n i t e   e l e m e n t   m e t h o d   ( F E M ) .   T h e s e   n u m e r i c a l   m e t h o d s   b e l o n g   t o   e x a c t   c a l c u l a t i o n   m e t h o d s   [ 8 ] .   T h e   w o r d   e x a c t   s h o u l d   b e   u n d e r s t o o d ,   t h a t   t h e   d e r i v a t i o n   o f   t h e   m e t h o d s   f r o m   t h e   M a x w e l l s   e q u a t i o n s   t o   s p e c i a l   e x p r e s s i o n s   i n   e a c h   m e t h o d   i s   c a r r i e d   o u t   w i t h o u t   a n y   a p p r o x i m a t i o n s .   T h e   c o m m o n   c h a r a c t e r   o f   t h e s e   m e t h o d s   i s   t h e   l a r g e   d e m a n d   o n   c o m p u t e r   m e m o r y   i f   t h e   s t r u c t u r e s   u n d e r   c o n s i d e r a t i o n   a r e   l a r g e   c o m p a r e d   t o   t h e   w a v e l e n g t h .     T h i s   c o n d i t i o n   i s   m e t ,   i f   t h e   f i n i t e   m e t a l l i c   g r o u n d   b e n e a t h   t h e   a n t e n n a   m u s t   b e   t a k e n   i n t o   a c c o u n t   d u r i n g   t h e   c a l c u l a t i o n .   I n   t h i s   w o r k ,   t w o   h y b r i d   m e t h o d s   b a s e d   o n   c o m b i n a t i o n   b e t w e e n   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   ( SI EM )   a n d   t w o   h i g h   f r e q u e n c y   m e t h o d s ,   t h e   p h y s i c a l   o p t i c s   ( PO )   a n d   t h e   u n i f o r m   g e o m e t r i c a l   t h e o r y   o f   d i f f r a c t i o n   ( U T D )   a r e   a p p l i e d .   PO   a n d   U T D   a r e   a p p r o x i m a t e d   m e t h o d s ,   w h i c h   b e c o m e   b e t t e r ,   t h e   l a r g e r   t h e   s t r u c t u r e s   c o m p a r e d   t o   t h e   w a v e l e n g t h .   I n   i m p l e m e n t i n g   SI EM + PO ,   t h e   d i m e n s i o n   o f   t h e   s y s t e m   m a t r i x   d o e s   n o t   a f f e c t e d   b y   t h e   e x t e n t   o f   t h e   P O   s t r u c t u r e s ,   w h i c h   l e a d s   t o   s m a l l   c o m p u t e r   m e m o r y   r e q u i r e m e n t   a n d   s h o r t   c o m p u t a t i o n a l   t i m e .   I t   j u s t   n e e d s   t o   c o m p u t e   a d d i t i o n a l   i n t e g r a l s .   I n   SI EM + U T D ,   i t   d o e s   n o t   n e e d   e v e n   a n y   i n t e g r a t i o n   o n   t h e   U T D   s t r u c t u r e s ,   s o   t h a t ,   t h e   h y b r i d   m e t h o d s   p r o v i d e   a   v e r y   e f f i c i e n t   a l t e r n a t i v e   t o   s o l v e   s c a t t e r i n g   p r o b l e m s   c o n s i s t i n g   o f   e l e c t r i c a l l y   l a r g e   s t r u c t u r e s .   T h e   s o f t w a r e   i s   d e v e l o p e d   i n   G N U   C .   I n   s e c t i o n   2 ,   s o m e   f u n d a m e n t a l   t h i n g s   o f   t h r e e   m e t h o d s ,   SI EM ,   P O   a n d   U T D   a r e   d e s c r i b e d   s e p a r a t e l y .   T h e   c o m b i n a t i o n   o f   SI EM   w i t h   P O   a n d   SI EM   w i t h   U T D   i s   e x p l a i n e d   i n   s e c t i o n   3 ,   e s p e c i a l l y   w h e r e   t h e   i n t e r f a c e   i s   d o n e .   So m e   c a l c u l a t i o n   r e s u l t s   c o n c e r n i n g   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   w i l l   b e   s h o w n   i n   s e c t i o n   4 ,   a n d   a r e   c o m p a r e d   w i t h   m e a s u r e m e n t s .       2 .   N u m e r i c a l   M e t h o d s   2 . 1 .   Su r f a c e   I n t e g r a l   Eq u a t i o n   M e t h o d   ( SI E M )   I n   s o l v i n g   m a n y   a n t e n n a s   a n d   s c a t t e r i n g   p r o b l e m s ,   t h e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   s h o w s   i t s   s u p e r i o r i t y   i n   t h e   d i r e c t   f u l f i l l i n g   o f   t h e   r a d i a t i o n   b o u n d a r y   c o n d i t i o n   [ 9 ] ,   [ 1 0 ] .   T h i s   b o u n d a r y   c o n d i t i o n   i s   i n h e r e n t l y   i n c l u d e d   i n   t h e   k e r n e l   o f   t h e   i n t e g r a l s ,   t h e   G r e e n   f u n c t i o n s .   T h e r e   a r e   s e v e r a l   f o r m u l a t i o n s   f o r   G r e e n   f u n c t i o n s   d e r i v e d   f o r   d i f f e r e n t   e n v i r o n m e n t s .   I n   t h i s   w o r k ,   t h e   p e r f e c t l y   c o n d u c t i n g   m e t a l l i c   a n t e n n a   s t r u c t u r e s   l o c a t e d   i n   f r e e   s p a c e   a r e   t h e   m a i n   f o c u s .   F o r   s o l v i n g   s u c h   s t r u c t u r e s   i t   i s   a d v a n t a g e o u s   t o   u s e   t h e   s u r f a c e   i n t e g r a l   e q u a t i o n   m e t h o d   ( SI EM ) .   SI EM   u s e d   i n   t h i s   p a p e r   b e g i n s   w i t h   t h e   f o r m u l a t i o n   o f   e l e c t r i c   f i e l d   i n   a n   a r b i t r a r y   o b s e r v a t i o n   p o i n t   r   t h r o u g h   i n t e g r a t i o n   o f   t h e   e l e c t r i c   c u r r e n t   d e n s i t y   ) ' ( r J S r r f l o w i n g   o n   t h e   s u r f a c e   o f   m e t a l l i c   s t r u c t u r e s   S ,             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) × × Ñ Ñ - × - = ∫∫ ∫∫ S S o S S d S r J r r G j d S r J r r G j r E ' ' ' , ' ' ' , r r r r r r r r r r m e w w o   ( 1 )     ω = 2 π f   i s   t h e   r a d i a n   f r e q u e n c y ;   ε o   a n d   µ o   a r e   p e r m i t t i v i t y   a n d   p e r m e a b i l i t y   o f   t h e   f r e e   s p a c e ,   r e s p e c t i v e l y .   ) ' , ( r r G r r i s   t h e   G r e e n   f u n c t i o n   i n   f r e e   s p a c e ,   w h i c h   g i v e n   b y     ( ) ' 4 ' , ' r r e r r G r r j k o r r r r r r - = - - p m   ( 2 )     k   i s   t h e   w a v e   n u m b e r .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I SSN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         An a l y s i s   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   b y   h y b r i d   m e t h o d s   ( M u d r i k   Al a y d r u s )   2 2 7   T h e   c a l c u l a t i o n   o f   t h e   i n t e g r a l s   i n   e q u a t i o n   ( 1 )   i s   a   c o m p u t e r - i n t e n s i v e   p r o c e s s ;   h o w e v e r ,   m o r e   c h a l l e n g i n g   i s   t h e   d e t e r m i n a t i o n   o f   t h e   u p   t o   n o w   s t i l l   u n k n o w n   d i s t r i b u t i o n   o f   t h e   t h e   e l e c t r i c   c u r r e n t   d e n s i t y .   T h i s   i s   t h e   c o r e   o f   t h e   SI EM .   I n   l i t e r a t u r e ,   t h e r e   a r e   t h r e e   d i f f e r e n t   f o r m u l a t i o n s   u s e d   t o   s o l v e   t h e   p r o b l e m s   b y   m e a n s   o f   SI EM .   T h e y   a r e   t h e   e l e c t r i c   f i e l d   i n t e g r a l   e q u a t i o n   ( E F I E) ,   t h e   m a g n e t i c   f i e l d   i n t e g r a l   e q u a t i o n   ( M F I E)   a n d   t h e   c o m b i n e d   f i e l d   i n t e g r a l   e q u a t i o n   ( C F I E)   [ 9 ] ,   [ 1 0 ] .   I n   EF I E,   t h e   r e q u i r e m e n t ,   t h a t   t h e   t a n g e n t i a l   c o m p o n e n t   o f   t h e   e l e c t r i c   f i e l d   o n   i d e a l l y   c o n d u c t i n g   s u r f a c e   m u s t   v a n i s h ,   l e a d s   t o   t h e   f o l l o w i n g   i n t e g r a l   e q u a t i o n       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' ' , ' ' ' , ˆ = + × × Ñ Ñ - × - ´ ∫∫ ∫∫ r E d S r J r r G j d S r J r r G j n i n c S S o S S r r r r r r r r r r m e w w o   ( 3 )     T h e   s u r f a c e   e l e c t r i c   c u r r e n t   f l o w i n g   o n   t h e   m e t a l l i c   s t r u c t u r e s   c a n   s h o w   c o m p l i c a t e d   d i s t r i b u t i o n .   I n   t h e   e a r l i e r   t i m e ,   t h e   r e s e a r c h e r s   t r i e d   t o   u s e   s o m e   c o m p l e x   f u n c t i o n   t o   d e s c r i b e   t h e   e l e c t r i c   c u r r e n t .   N o w ,   a l m o s t   a l l   p r o b l e m s   a r e   t a c k l e d   b y   d i s c r e t i z i n g   t h e   s t r u c t u r e s   i n t o   s m a l l   e l e m e n t s ,   h e r e   t r i a n g l e s   ( a s   s h o w n   i n   F i g u r e   1 ) ,   s o   t h a t   t h e   c u r r e n t   d e n s i t y   i s   d e s c r i b e d   b y   c e r t a i n   s i m p l e   b a s i s   f u n c t i o n s ,   w i t h   n   u n k n o w n   a m p l i t u d e s   o n   e a c h   t r i a n g l e   ( o r   o n   e d g e s   o f   t h e   t r i a n g l e s ) .   T h e   m o s t   w i d e l y   u s e d   b a s i s   f u n c t i o n s   a r e   t r i a n g u l a r   R a o - W i l t o n - G l i s s o n   ( R W G )   v e c t o r   b a s i s   f u n c t i o n   [ 1 0 ] ,   w h i c h   i s   j u s t   a   l i n e a r   f u n c t i o n .   I t   i s   d i s t i n g u i s h e d   b e t w e e n   e x t e r n a l   a n d   i n t e r n a l   e d g e s .   I n   t h e   R W G   f o r m u l a t i o n ,   o n l y   i n t e r n a l   e d g e s   a r e   t a k e n   i n t o   a c c o u n t   a s   u n k n o w n   a m p l i t u d e s .                               F i g u r e   1 .   D i s c r e t i z a t i o n   o f   a   h o r n   a n t e n n a   i n t o   s m a l l   t r i a n g l e s .       I n   o r d e r   t o   s o l v e   t h e   e q u a t i o n   c o n s i s t i n g   n   v a r i a b l e s ,   i t   i s   a p p l i e d   t h e   m e t h o d   o f   m o m e n t   b y   m e a n s   o f   G a l e r k i n   p r o c e d u r e ,   w h i c h   r e s u l t s   i n   a   s y s t e m   o f   l i n e a r   e q u a t i o n s .     T h e   e l e m e n t s   o f   t h e   m a t r i x   i n   t h i s   l i n e a r   s y s t e m   d e s c r i b e   t h e   m u t u a l   c o u p l i n g   o f   e a c h   e l e m e n t .   F i g u r e   1   s h o w s   a   c o u p l i n g   b e t w e e n   e l e m e n t   1   a n d   3 .   T h e   s o l u t i o n   o f   t h i s   m a t r i x   p r o b l e m   g i v e s   u s   t h e   a m p l i t u d e s   o f   t h e   b a s i s   f u n c t i o n s ,   s o   t h a t   t h e   c u r r e n t   o n   t h e   r a d i a t i n g   s t r u c t u r e s   i s   d e t e r m i n e d .   O t h e r   a n t e n n a   c h a r a c t e r i s t i c s ,   l i k e   i n p u t   i m p e d a n c e ,   r a d i a t i o n   d i a g r a m   c a n   b e   c a l c u l a t e d   w i t h   t h e s e   c u r r e n t   d e n s i t i e s .     2 . 2 .   U n i f o r m   G e o m e t r i c a l   T h e o r y   o f   D i f f r a c t i o n   ( U T D )   T h e   b a s i s   o f   u n i f o r m   g e o m e t r i c a l   t h e o r y   o f   d i f f r a c t i o n   ( U T D )   i s   g e o m e t r i c a l   o p t i c s   ( G O ) .   I n   t h i s   t h e o r y ,   t h e   c o m p l e x   m e c h a n i s m   o f   s c a t t e r i n g   i n t o   s e p a r a t e   s i m p l e r   m e c h a n i s m ,   l i k e   d i r e c t   p r o p a g a t i o n ,   r e f l e c t i o n s ,   d i f f r a c t i o n s ,   a n d   c o m b i n e d   m e c h a n i s m s   i s   s u b d i v i d e d .   F i g u r e   2   s h o w s   a   s o u r c e   o f   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   l o c a t e d   i n   f r e e   s p a c e ,   a n d   t h e r e   a r e   s e v e r a l   s t r u c t u r e s   i n   t h e   v i c i n i t y .   O b s e r v a t i o n   o f   t h e   w a v e s   i n   a n y   p o i n t   i n   t h e   r e g i o n   l e a d s   t o   s u p e r p o s i t i o n   o f   a n y   p o s s i b l e   c o n t r i b u t i o n s   f r o m   t h e   s o u r c e ,   s c a t t e r e d   b y   t h e   s t r u c t u r e s ,   a n d   r e c e i v e d   i n   t h e   o b s e r v a t i o n   p o i n t .   I n   g e o m e t r i c a l   o p t i c s ,   t h e   p r o p a g a t i o n   o f   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   i s   g o v e r n e d   b y   t h e   F e r m a t s   l a w .   T h e   F e r m a t s   l a w   s t a t e s ,   t h e   w a v e s   t a k e   t h e   p r o p a g a t i o n   p a t h   t h a t   c a n   b e   p a s s e d   i n   s h o r t e s t   t i m e .   I n   h o m o g e n e o u s   r e g i o n ,   t h e   p r o p a g a t i o n   p a t h   i s   a   l i n e .   T h e   c h a n g e   o f   p r o p a g a t i o n   p a t h   d u e   t o   r e f l e c t i o n   o f   w a v e s   o n   s t r u c t u r e s ,   a n d   a l s o   d i f f r a c t i o n   a t   a   b o u n d a r y   o f   a   1   2   3   e x t e r n a l     e d g e     i n t e r n a l     e d g e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S SN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     T E L K O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 0   :     2 2 5     2 3 4   2 2 8   s t r u c t u r e ,   f o l l o w s   t h i s   l a w   t o o .   S o   t h a t ,   t h e   p r o c e s s   o f   r a y   t r a c i n g   c a n   b e   p e r f o r m e d   b y   f o l l o w i n g   t h e   F e r m a t s   l a w .   T h e   s e c o n d   i m p o r t a n t   l a w   i n   G O   i s   t h e   l a w   o f   t h e   c o n s e r v a t i o n   o f   t h e   e n e r g y .                               F i g u r e   2 .   Sc a t t e r i n g   m e c h a n i s m s   i n   U T D                     F i g u r e   3 .   R a y   t u b e   e n s u r i n g   e n e r g y   c o n s e r v a t i o n                         ( a )                                                                                                                                                             ( b )     F i g u r e   4 .   Vi s u a l i z a t i o n   o f   t h e   t w o   m e c h a n i s m s   i n   U T D   ( a )   r e f l e c t i o n   o n   a   p l a n e ,     ( b )   d i f f r a c t i o n   a t   a n   e d g e       F i g u r e   3   s h o w s   a   r a y   t u b e   a s   t h e   m o d e l   f o r   w a v e   p r o p a g a t i o n   i n   G O .   T h e   d i r e c t i o n   o f   r a y   o r   p r o p a g a t i o n   i s   d e s i g n a t e d   b y   t h e   a r r o w ;   i t   i s   a   l i n e   i n   h o m o g e n e o u s   m e d i a .   T h e   e n e r g y   i s   c o n f i n e d   i n s i d e   t h e   t u b e ,   i . e .   t h e   e l e c t r o m a g n e t i c   e n e r g y   t h r o u g h   t h e   s h a d e d   a r e a s   i n   F i g u r e   3   i s   t h e   s a m e .   I n   t h e   c a s e   t h e   w a v e   d i v e r g e s ,   t h e   s h a d e d   a r e a   A 2   i s   b i g g e r   t h a n   A 1 ,   t h e   Po y n t i n g   v e c t o r   S   o n   A 2   i s   c o n s e q u e n t l y   s m a l l e r   t h a n   o n   A 1 .   W i t h   t h i s   c o n s i d e r a t i o n ,   t h e   e l e c t r i c   f i e l d   a t   d i s t a n c e   s   f r o m   a   c e r t a i n   r e f e r e n c e   p o i n t   s 1 ,   c a n   b e   c a l c u l a t e d   w i t h   t h e   e q u a t i o n   ( 4 )       j k s e s s s s E s s s E - × + × = + = 1 1 1 1 2 ) ( ) ( r r   ( 4 )     T h e   e x p r e s s i o n   i n   t h e   e q u a t i o n   ( 4 )   i s   i n c l u d e d   i n   t h e   f a r - f i e l d   c a l c u l a t i o n   o f   a n y   k i n d   o f   a n t e n n a s .   F i g u r e   4   v i s u a l i z e s   t h e   t w o   o t h e r   s i n g l e   i m p o r t a n t   m e c h a n i s m s   i n   U T D .   F i g u r e   4 a   g i v e s   i n f o r m a t i o n   a b o u t   r e f l e c t e d   w a v e   o n   a   w a l l   o r   p l a n e   a t   t h e   p o i n t R r r .   T h e   e x a c t   p o s i t i o n   o f   r e f l e c t i o n   p o i n t   R r r c a n   b e   l o c a l i z e d   b y   r a y   t r a c i n g   p r o c e s s .   T h e   r e f l e c t e d   e l e c t r i c   f i e l d   a t   t h e   o b s e r v a t i o n   p o i n t   c a n   b e   t h e n   d e t e r m i n e d   b y   e q u a t i o n   ( 5 )     j k s R e s s s r E R r E - × + × × = 1 1 ) ( ) ( r r t r r   ( 5 )     s 1   a n d   s   a r e   d i s t a n c e s   b e t w e e n   a n t e n n a   a n d   r e f l e c t i o n   p o i n t ,   a n d   b e t w e e n   r e f l e c t i o n   p o i n t   a n d   o b s e r v a t i o n   p o i n t ,   r e s p e c t i v e l y .   R t   i s   t h e   d y a d i c   r e f l e c t i o n   c o e f f i c i e n t .   T h e   r e f l e c t i o n   c o e f f i c i e n t   o f   i d e a l l y   c o n d u c t i n g   m e t a l l i c   p l a n e   i s   + 1   a n d   - 1   f o r   p a r a l l e l   a n d   p e r p e n d i c u l a r   p o l a r i z a t i o n ,   r e s p e c t i v e l y .   T h e   d y a d i c   c o e f f i c i e n t   c a n   b e   c a l c u l a t e d   w i t h   r e s p e c t   t o   t h e   o r i e n t a t i o n   o f   t h e   p l a n e .   s 1   s 2   s   s o u r c e   a n t e n n a   o b s e r v a t i o n     p o i n t   a n t e n n a   o b s e r v a t i o n   p o i n t   ' r r   r r   R r r   a n t e n n a   o b s e r v a t i o n   r r ' r r D r r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I SSN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         An a l y s i s   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   b y   h y b r i d   m e t h o d s   ( M u d r i k   Al a y d r u s )   2 2 9   W h e r e a s ,   F i g u r e   4 b   s h o w s   t h e   d i f f r a c t i o n   o f   w a v e s   a t   a n   e d g e   o f   a   p l a n e .   I f   a n   i n c i d e n t   w a v e   h i t s   a n   e d g e ,   d i f f r a c t e d   w a v e s   e m e r g e s .   J u s t   a   d i f f r a c t e d   w a v e   w i l l   r e a c h   t h e   o b s e r v a t i o n   p o i n t   r r .   Ag a i n ,   t h e   e x a c t   p o s i t i o n   o f   t h e   d i f f r a c t i o n   p o i n t   D r r c a n   b e   d e t e r m i n e d   b y   r a y   t r a c i n g   p r o c e s s .   T h e   d i f f r a c t e d   e l e c t r i c   f i e l d   c a n   b e   t h e n   c a l c u l a t e d   b y     ( ) j k s D e s s s s r E D r E - × + × × × = 1 1 ) ( ) ( r r t r r   ( 6 )     D t   i s   t h e   d y a d i c   d i f f r a c t i o n   c o e f f i c i e n t .   T h e   d e t a i l   c a l c u l a t i o n   o f   t h i s   c o e f f i c i e n t   d o c u m e n t e d   v e r y   w e l l   i n   [ 1 1 ] .     2 . 3 .   Ph y s i c a l   O p t i c s   ( PO )   T h e   s c e n a r i o   i n   F i g u r e   2   c a n   b e   r e c a l l e d   h e r e .   T h e   a n t e n n a   r a d i a t e s   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   i n   i t s   e n v i r o n m e n t .   T h e   w a v e s   i l l u m i n a t e   s o m e   o f   t h e   s t r u c t u r e s .   T h e   o t h e r s   a r e   n o t   d i r e c t l y ,   b e c a u s e   o f   s h a d o w i n g   b y   a n o t h e r   s t r u c t u r e .   T h e   p h y s i c a l   o p t i c s   ( PO )   m a k e s   u s e   a l s o   t h e   e q u a t i o n   ( 1 )   f o r   c a l c u l a t i n g   t h e   e l e c t r i c   f i e l d   l i k e   i n   SI EM .   T h e   i n t e g r a t i o n   i s   i n d e e d   t h e   m o s t   t i m e - c o n s u m i n g   p r o c e s s   i n   PO .   I f   t h e   d i s t a n c e   f r o m   t h e   s t r u c t u r e   t o   t h e   o b s e r v a t i o n   p o i n t   i s   l a r g e ,   s o m e t i m e s   t h e   f a r - f i e l d   a p p r o a c h   i s   u s e d .   I t   c a n   r e d u c e   t h e   c a l c u l a t i o n   c o m p l e x i t y .   T h e   f u n d a m e n t a l   d i s t i n c t i o n   b e t w e e n   PO   a n d   SI EM   i s ,   i n   SI EM   t h e   c u r r e n t   d i s t r i b u t i o n   i s   u n k n o w n ;   i n   PO   i t   i s   c a n   b e   a p p r o x i m a t e d   t h e   c u r r e n t   d i s t r i b u t i o n   o n   t h e   s c a t t e r i n g   s t r u c t u r e s   b y   p h y s i c a l   o p t i c a l   a p p r o a c h   [ 1 2 ] .     ( ) ( ) ´ = r e g i o n s h a d o w                     r e g i o n   l i t 0 ˆ 2 , r H n r J i nc P O S r r r r   ( 7 )     n ˆ   i s   t h e   n o r m a l   v e c t o r   o f   t h e   s c a t t e r i n g   s t r u c t u r e   a n d   i n c H r i s   a n y   i n c i d e n t   m a g n e t i c   f i e l d   p r o d u c e d   b y   t h e   a n t e n n a .   As   e q u a t i o n   ( 7 )   s t a t e s ,   o n l y   l i t   s t r u c t u r e s   c a n   r a d i a t e   e l e c t r o m a g n e t i c   f i e l d s .   T h e r e f o r e ,   i t   i s   v e r y   i m p o r t a n t   t o   k n o w ,   w h e t h e r   t h e   s t r u c t u r e s   u n d e r   c o n s i d e r a t i o n   a r e   s h a d o w e d   o r   n o t .     3 .   H y b r i d   M e t h o d   SI EM   i s   i n   r e s p e c t   t o   t h e   m o d e l i n g   c e r t a i n l y   a n   e x a c t   m e t h o d .   T h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   SI EM   r e p r e s e n t   t h r u s t w o r t h y   d a t a .   H o w e v e r ,   a s   m e n t i o n e d   i n   t h e   p r e v i o u s   s e c t i o n ,   i f   t h e   s t r u c t u r e s   u n d e r   c o n s i d e r a t i o n   a r e   l a r g e   e n o u g h   c o m p a r e d   t o   t h e   w a v e l e n g t h ,   t h e   c o m p u t a t i o n a l   e f f o r t ,   i . e .   t h e   m e m o r y   r e q u i r e m e n t   a n d   t h e   c o m p u t i n g   t i m e ,   b e c o m e s   p r o h i b i t i v e l y   l a r g e .   I n   t h i s   w o r k   i t   i s   u s e d   t h e   c a l c u l a t i o n   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   SI EM   a s   r e f e r e n c e .                         ( a )                                                                                               ( b )     F i g u r e   5   ( a )   Si e r p i n k s i   g a s k e t   f r a c t a l   a n t e n a   d i p o l e   ( t h i r d   i t e r a t i o n ) ,     ( b )   Si e r p i n s k i   g a s k e t   f r a c t a l   a n t e n a   m o n o p o l e   w i t h   f i n i t e   g r o u n d         F i g u r e   5 a   a n d   5 b   s h o w   t h e   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   o f   t h i r d   i t e r a t i o n   w i t h   d i p o l e   v e r s i o n   a n d   m o n o p o l e   v e r s i o n ,   r e s p e c t i v e l y .   I n   t h i s   w o r k   i t   i s   m a k e   c o m p u t e r   c a l c u l a t i o n s   f o r   b o t h   v e r s i o n s ,   h o w e v e r   j u s t   t h e   m o n o p o l e s   a r e   b u i l t   a s   p r o t o t y p e s .   I n   c a l c u l a t i o n ,   t h e   d i p o l e s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S SN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     T E L K O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 0   :     2 2 5     2 3 4   2 3 0   a r e   c o m p u t e d   w i t h   SI EM ,   a n d   t h e   m o n o p o l e s   a r e   m o d e l e d   b y   SI EM ,   h y b r i d   m e t h o d   SI E M + U T D   a n d   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + PO .     3 . 1 .   H y b r i d i z a t i o n   o f   SI EM   a n d   PO   ( SI EM + PO )   T h e   m o s t   i m p o r t a n t   e q u a t i o n   i n   SI EM   i s   e q u a t i o n   ( 3 ) .   T h i s   e q u a t i o n   d e s c r i b e s   e x p l i c i t l y   t h e   c o u p l i n g   m e c h a n i s m s   b e t w e e n   e a c h   e l e m e n t .   T h i s   i n t e r a c t i o n   s h a p e s   t h e   c u r r e n t   d i s t r i b u t i o n   i n   o n e   o r   a n o t h e r   w a y .   Be c a u s e   t h e   i n t e r a c t i o n   o c c u r s   b e t w e e n   a l l   e l e m e n t s ,   t h e   m a t r i x   o b t a i n e d   b y   SI EM   i s   a   f u l l y   o c c u p i e d   o n e .   T h e   e x i s t e n c e   o f   l a r g e   s t r u c t u r e ,   i n   c a s e   t h e   f i n i t e   g r o u n d   o f   t h e   a n t e n n a ,   w i l l   b e   t a k e n   i n t o   a c c o u n t   w i t h   PO ,   s o   t h a t   t h e   g r o u n d   i s   d e s i g n a t e d   a s   PO   s t r u c t u r e .   T h e   S I EM   s t r u c t u r e   g e n e r a t e s   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   a s   s t a t e s   i n   e q u a t i o n   ( 1 ) ,   t h e   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   i n d u c e   e l e c t r i c   c u r r e n t   d e n s i t y   o n   t h e   PO   s t r u c t u r e .   T h i s   i n d u c e d   c u r r e n t   d e n s i t y   g e n e r a t e s   i n   t u r n   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s .   T h e   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   p r o d u c e d   b y   PO   s t r u c t u r e   c o n s i d e r e d   a s   i n c i d e n t   w a v e s   i n   e q u a t i o n   ( 3 ) .   T h e   c o u p i n g   m e c h a n i s m   b e t w e e n   SI EM   a n d   P O   i s   v i s u a l i z e d   i n   F i g u r e   6   [ 1 3 ] .                         F i g u r e   6   C o u p l i n g   i n   h y b r i d   m e t h o d   SI E M + PO       I n   t h i s   w a y ,   t h e   p r e s e n c e   o f   t h e   PO   s t r u c t u r e   m o d i f i e s   t h e   e l e m e n t s   o f   t h e   m a t r i x .   T h e   d i m e n s i o n   o f   t h e   m a t r i x   s e l f   i s   u n c h a n g e d .     3 . 2 .   H y b r i d i z a t i o n   o f   SI EM   a n d   U T D   ( SI EM + U T D )   As   d e s c r i b e d   i n   s e c t i o n   2 ,   U T D   d o e s   n o t   n e e d   a n y   i n t e g r a t i o n .   An y   a v a i l a b l e   i n c o m i n g   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   c a n   b e   r e f l e c t e d   a n d   d i f f r a c t e d .   F i g u r e   7   v i s u a l i z e d   t h e   c o n d i t i o n   i n   c o u p l i n g   b e t w e e n   e l e m e n t s   i n   t h e   h y b r i d   m e t h o d   S I EM + U T D .   N o t   o n l y   d i r e c t   c o u p l i n g   b e t w e e n   t h e   e l e m e n t s   e x i s t s ,   a s   d e s c r i b e d   i n   e q u a t i o n   ( 3 ) ,   i t   i s   o b s e r v e d   a l s o   c o u p l i n g   v i a   r e f l e c t i o n s   o n   p l a n e s   a n d   d i f f r a c t i o n s   a t   e d g e s   o f   U T D   s t r u c t u r e s .                             F i g u r e   7   C o u p l i n g   i n   h y b r i d   m e t h o d   SI E M + U T D       M a t h e m a t i c a l l y ,   i t   m u s t   b e   m o d i f i e d   t h e   G r e e n   f u n c t i o n   u s e d   i n   e q u a t i o n   ( 3 ) ,   t o   t h e   d y a d i c   G r e e n   f u n c t i o n     ( ) ( ) ( ) ( ) L r r r t r r r t r r t r r t + + + = D d i f R r e f r r r G r r r G r r G I r r G , ' , , ' , ' , ' , m o d   ( 8 )   SI EM   PO   s t r u c t u r e   G e n e r a t i o n   o f     i n c E r   ( e q u a t i o n   1 ) ,     c a l c u l a t i o n   o f   i n c H r   ( M a x w e l l   e q u a t i o n s ) ,   c a l c u l a t i o n   P O S J , r   ( e q u a t i o n   7 )     W i t h   P O S J , r ,   c a l c u l a t i o n     E r ,   u s i n g   t h i s   e l e c t r i c   f i e l d   a s   i n c i d e n t   w a v e   i n c E r   i n   e q u a t i o n   3   SI EM   U T D   s t r u c t u r e   Ea c h   e l e m e n t   r a d i a t e s   e l e c t r o m a g n e t i c   w a v e s   i n t o   s p a c e .     T h e   w a v e s   r e a c h   t h e   m u t u a l   e l e m e n t   d i r e c t l y   ( a )   o r   v i a   a   r e f l e c t i o n   ( b )   a n d   d i f f r a c t i o n   ( c )   ( a ( b ( c Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I SSN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         An a l y s i s   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   b y   h y b r i d   m e t h o d s   ( M u d r i k   Al a y d r u s )   2 3 1   ( ) ' , r r G r r   i s   t h e   G r e e n   f u n c t i o n   i n   e m p t y   f r e e   s p a c e   a s   i n t r o d u c e d   i n   e q u a t i o n   ( 2 )   w i t h   t h e   u n i t   d y a d i c   I t .   ( ) R r e f r r r G r r r t , ' ,   i s   t h e   a d d i t i o n a l   G r e e n   f u n c t i o n   d u e   t o   r e f l e c t i o n   [ 1 4 ] ,   w h i c h   s t a t e d   a s   ( ) ( ) j k s R R r e f e s s s r r G I R r r r G - × + × × × = 1 1 ' , , ' , r r t t r r r   ( 9 )     An d   ( ) D d i f r r r G r r r t , ' ,   f o r   d i f f r a c t i o n   ( ) ( ) ( ) j k s D D d i f e s s s s r r G I D r r r G - × + × × × = 1 1 ' , , ' , r r t t r r r t   ( 1 0 )     Eq u a t i o n   ( 8 )   c o n s i d e r s   a l s o   h i g h e r   o r d e r   m e c h a n i s m s   l i k e   d o u b l e   r e f l e c t i o n s ,   d o u b l e   d i f f r a c t i o n s ,   r e f l e c t i o n   f o l l o w e d   b y   d i f f r a c t i o n   a n d   s o   o n   [ 1 5 ] .   T h e   m o d i f i e d   G r e e n   f u n c t i o n s   i n   e q u a t i o n   ( 3 )   c h a n g e s   t h e   e l e m e n t   o f   t h e   s y s t e m   m a t r i x   a n d   s h a p e s   c e r t a i n   c u r r e n t   d i s t r i b u t i o n   o n   t h e   SI EM   s t r u c t u r e .       4 .   C a l c u l a t i o n   R e s u l t s   a n d   M e a s u r e m e n t s   As   s p e c i a l   c a s e   i t   i s   c a l c u l a t e d   t h e   r e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   w i t h   a   s i d e   l e n g t h   1 0 c m .   T h e   f e e d i n g   m e c h a n i s m   i s   c a r r i e d   o u t   b y   a   w i r e   w i t h   r a d i u s   o f   1   m m   a n d   l e n g t h   o f   1 c m .   I n   t h i s   w o r k   i t   i s   o b s e r v e d   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   u p   t o   t h i r d   i t e r a t i o n   ( a s   s h o w n   F i g u r e   5 ) .   T h e   f i r s t   i t e r a t i o n   o f   Si e r p i n s k e   g a s k e t   i s   a   t r i a n g l e   w i t h   s a m e   s i d e   l e n g t h   o f   1 0 c m .   T h e   g e n e r a t i o n   o f   t h e   n e x t   i s   b y   s c a l i n g   d o w n   t h e   s i d e   l e n g t h   w i t h   f a c t o r   0 . 5   a n d   a r r a n g i n g   t h r e e   s u c h   t r i a n g l e s .   I n   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + U T D ,   j u s t   d i r e c t ,   s i n g l e   r e f l e c t i o n   o n   t h e   g r o u n d   a n d   s i n g l e   d i f f r a c t i o n s   o n   t h e   f o u r   e d g e s   o f   t h e   g r o u n d   a r e   t a k e n   i n t o   a c c o u n t .   C o r n e r   d i f f r a c t i o n s   o n   t h e   t i p s   o f   t h e   g r o u n d   a n d   d o u b l e   a n d   m o r e   d i f f r a c t i o n   a r e   n e g l e c t e d .   I n   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + P O ,   a n y   v i s i b i l i t y   p r o o f   i n   t h i s   w o r k   d o   n o t   p e r f o r m e d ,   b e c a u s e   w e   h a v e   j u s t   o n e   PO   s t r u c t u r e ,   s o   t h a t   o v e r a l l   p a r t   o f   t h e   g r o u n d   i s   l i t   b y   t h e   m o n o p o l e .     4 . 1 .   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   d i f f e r e n t   m e t h o d s   I n   t h i s   s u b   s e c t i o n ,   i t   i s   o b s e r v e d   t h e   c a l c u l a t i o n   o f   t h e   a n t e n n a s   b y   d i f f e r e n t   m e t h o d s .   F i g u r e   8 ,   F i g u r e   9   a n d   F i g u r e   1 0   s h o w   r e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n k i   g a s k e t   a n t e n n a   o f   f i r s t ,   s e c o n d   a n d   t h i r d   i t e r a t i o n ,   r e s p e c t i v e l y .   I n   a l l   f i g u r e s ,   t h e   f o u r   c u r v e s   a s   r e s u l t s   o f   d i f f e r e n t   a p p r o a c h e s   a r e   s h o w n .   T h e   s o l i d   l i n e   i s   t h e   r e s u l t   f o r   Si e r p i n k s i   g a s k e t   a n t e n n a   d i p o l e   ( l e f t   s i d e   o f   F i g u r e   5 ) ,   o r   i t   c a n   b e   m o d e l e d   b y   m e t a l l i c   g r o u n d   o f   i n f i n i t e   e x t e n t ,   t h e   c a l c u l a t i o n   i s   c a r r i e d   o u t   b y   p u r e   SI EM .   T h e   r e s u l t s   c l e a r   m u l t i b a n d   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   Si e r p i n k s i   g a s k e t   a n t e n n a s   c a n   b e   s h o w n .   I t   i s   f o u n d   t h a t   m i n i m a   a t   a b o u t   0 . 5 G H z ,   1 . 8 G H z   a n d   3 . 4 G H z .         0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] i n f i n i t e f i n i t e - S I E M f i n i t e - S I E M + U T D f i n i t e - S I E M + P O     F i g u r e   8   R e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   o f   f i r s t   i t e r a t i o n   0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] i n f i n i t e f i n i t e - S I E M f i n i t e - S I E M + U T D f i n i t e - S I E M + P O     F i g u r e   9   R e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   o f   s e c o n d   i t e r a t i o n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S SN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     T E L K O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 0   :     2 2 5     2 3 4   2 3 2   I n   t h i s   p a r t ,   t h e   g r o u n d   w i t h   f i n i t e   s i z e   ( 4 0 x 4 0 c m )   i s   a l s o   o b s e r v e d   a n d   c a l c u l a t e d   w i t h   p u r e   SI EM   ( d o t - d a s h e d   l i n e ) ,   h y b r i d   m e t h o d   S I EM + U T D   ( d a s h e d   l i n e )   a n d   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + PO   ( d o t t e d   l i n e ) .   I t   i s   s h o w n   i n   a l l   i t e r a t i o n   t h a t   t h e   f i n i t e   g r o u n d   c a u s e s   a l m o s t   d i s a p p e a r a n c e   o f   t h e   m i n i m u m   a t   0 . 5 G H z ,   o n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   m i n i m a   a t   1 . 8 G H z   a n d   3 . 4 G H z   a r e   s t r o n g e r .   T h e   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + P O   ( d o t t e d   l i n e )   s h o w s   n o t   s o   g o o d   a g r e e m e n t   w i t h   t h e   f i n i t e   SI EM   ( d o t - d a s h e d   l i n e )   i n   b o t h   f i r s t   i t e r a t i o n s ,   b u t   s h o w s   v e r y   w e l l   s i m i l a r i t y   f o r   t h e   s t r u c t u r e   o f   t h i r d   i t e r a t i o n .   I n   SI EM + PO ,   t h e   c u r r e n t   o f   t h e   t h e   f i n i t e   g r o u n d ,   e s p e c i a l l y   n e a r   t h e   e d g e s ,   i s   j u s t   a n   a p p r o x i m a t i o n   d e r i v e d   f r o m   t h e   i n c i d e n t   w a v e .   I n   s o m e   i n s t a n c e s ,   t h e   c u r r e n t   c a n   b e   i n a c c u r a t e   a n d   d e l i v e r s   w r o n g   f e e d b a c k   t o   t h e   SI EM   s t r u c t u r e s .   I n   a l l   i t e r a t i o n s   s h o w n   i n   F i g u r e   8 ,   F i g u r e   9   a n d   F i g u r e   1 0 ,   t h e   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + U T D   ( d a s h e d   l i n e s )   d e l i v e r s   v e r y   g o o d   r e s u l t s   c o m p a r e d   t o   t h e   SI EM   ( d o t - d a s h e d   l i n e ) .   T h e   o n l y   s m a l l   d e v i a t i o n s   b e t w e e n   b o t h   m e t h o d s   a r e   s h o w n .       0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] i n f i n i t e f i n i t e - S I E M f i n i t e - S I E M + U T D f i n i t e - S I E M + P O   F i g u r e   1 0   R e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   o f   t h i r d   i t e r a t i o n   c a l c u l a t e d     T a b l e   1 .   M e m o r y   r e q u i r e m e n t   ( R A M )   a n d     c o m p u t a t i o n a l   t i m e   p r o   f r e q u e n c y .     C a s e   M e m o r y   r e q .   C o m p . t i m e /   f   1 : i n f i n i t e   8 . 2 2 9   M B   3 . 9 7   s   1 : f i n i t e   4 1 6 . 5 8   M B   2 7 7 . 4 7   s   1 : f i n i t e   + PO   3 3 . 0 6 4   M B   3 9 . 4 7   s   1 : f i n i t e   + U T D   0 . 4 3 2   M B   3 . 3 4   s   2 : i n f i n i t e   1 . 0 1 8   M B   0 . 5   s   2 : f i n i t e   4 1 3 . 9 9   M B   2 8 5 . 0   s   2 : f i n i t e   + PO   2 8 . 7 2   M B   2 7 . 2 2   s   2 : f i n i t e   + U T D   0 . 3 5 8   M B   2 . 6 4   s   3 : i n f i n i t e   0 . 9 4 4   M B   0 . 6 2 5   s   3 : f i n i t e   4 1 3 . 7 7   M B   2 8 2 . 5 6   s   3 : f i n i t e   + PO   2 7 . 4 1   M B   3 1 . 2 5   s   3 : f i n i t e   + U T D   0 . 3 3 9   M B   2 . 0 9   s           T a b l e   1   g i v e s   i n f o r m a t i o n   o n   t h e   r e q u i r e d   c o m p u t e r   m e m o r y   ( R A M )   a n d   t h e   c o m p u t a t i o n a l   t i m e   f o r   e v e r y   f r e q u e n c y   p o i n t .   T h e   h y b r i d   m e t h o d   SI EM + U T D   o f f e r s   i n d e e d   t h e   m o s t   e c o n o m i c a l   a l t e r n a t i v e   i n   t h e   c a l c u l a t i o n .   T h e   m e m o r y   r e q u i r e m e n t   f o r   h i g h e r   i t e r a t i o n   i s   s m a l l e r   t h a n   f o r   l o w e r ,   b e c a u s e   m o r e   h o l e s   i n   h i g h e r   i t e r a t i o n   i s   h a v e d ,   s o   t h a t   l e s s   e l e m e n t   t o   b e   c o n s i d e r e d .   T h e   c a l c u l a t i o n   i s   c a r r i e d   o u t   i n   a   d u a l   c o r e   p r o c e s s o r   ( P 8 4 0 0   2 . 2 6 G H z )   w i t h   o p e r a t i n g   s y s t e m   M i c r o s o f t   W i n d o w s   XP   Pr o f e s s i o n a l   Se r v i c e   Pa c k   2   ( Bu i l d   2 6 0 0 ) ,   Ve r s i o n   5 . 1 . 2 6 0 0 .     4 . 2 .   Ef f e c t s   o f   f i n i t e   g r o u n d s     M o r e o v e r   i t   i s   a l s o   c a l c u l a t e d   g r o u n d   w i t h   d i f f e r e n t   d i m e n s i o n s ,   t h e   l a r g e   o n e s   a s   s h o w n   i n   p r e v i o u s   s u b s e c t i o n   ( 4 0 x 4 0 c m )   a n d   s m a l l e r   g r o u n d   ( 2 0 x 2 0 c m ) .   T h e   c a l c u l a t i o n   i s   d o n e   w i t h   SI EM + U T D   h y b r i d   m e t h o d .   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   F i g u r e   1 1   a n d   F i g u r e   1 2   s h o w   t h a t   t h e   m i n i m a   a t   1 . 8 G H z   a n d   a t   3 . 4 G H z   b e c o m e   w e a k e r   t h a t   m e a n s   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   m u l t i b a n d   a n t e n n a s   g o e s   w o r s e .   I t   i s   c l e a r   t o   u n d e r s t a n d ,   i f   t h e   d i m e n s i o n   o f   t h e   g r o u n d   i s   s m a l l e r ,   t h e   g r o u n d   a s   m o d e l   o f   t h e   s y m m e t r y   p l a n e   b e c o m e s   w o r s e ,   t h e   b e s t   m o d e l   o f   t h e   a n t e n n a ,   i . e .   t h e   Si e r p i n s k i   g a s k e t   d i p o l e   c a n n o t   b e   m o d e l e d   e f f e c t i v e l y   w i t h   t h i s   c o n d i t i o n .     4 . 2 .   M e a s u r e m e n t s     I n   t h i s   w o r k   i t   i s   b u i l t   t h e   p r o t o t y p e   f o r   a l l   t h r e e   i t e r a t i o n s .   T h e   p h o t o g r a p h   o f   t h e   Si e r p i n k s i   g a s k e t   m o n o p o l e s   o n   f i n i t e   g r o u n d   a r e   d e p i c t e d   i n   F i g u r e   1 3 .   T h e   b r a s s   o f   1   m m   t h i c k   f o r   t h e   a n t e n a   a n d   f o r   t h e   g r o u n d   a n d   a   5 0 o h m   N - c o n n e c t o r s   f o r   f e e d i n g   p u r p o s e s   a r e   u s e d .     T h e   m e a s u r e m e n t   o f   t h e   r e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   t h e   a n t e n n a   b y   m a k i n g   u s e   o f   a   v e c t o r   n e t w o r k   i s   a n a l y z e d   b y   An r i t s u   M S 2 0 2 6 A .   F i g u r e   1 4 ,   F i g u r e   1 5   a n d   F i g u r e   1 6   s h o w   t h e   c o m p a r i s o n   b e t w e e n   s i m u l a t i o n   ( F i g u r e   1 2 )   a n d   m e a s u r e m e n t s .   I t   i s   s h o w n   h e r e ,   a s   p r e d i c t e d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I SSN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         An a l y s i s   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   b y   h y b r i d   m e t h o d s   ( M u d r i k   Al a y d r u s )   2 3 3   b y   c o m p u t e r   c a l c u l a t i o n ;   t h e   m i n i m u m   a t   0 . 5 G H z   a l m o s t   d i s a p p e a r s .   Pr o b a b l y ,   d u e   t o   t h e   s m a l l   f r e q u e n c y ,   t h e   w a v e l e n g t h   a t   t h e   f i r s t   m i n i m u m   i s   l a r g e r   t h a n   t h e   d i m e n s i o n   o f   t h e   g r o u n d ,   s o   t h a t   t h e   g r o u n d   h a s   l e s s   e f f e c t   t o   p r o d u c e   a n y   m i n i m u m   a t   t h i s   f r e q u e n c y .       0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] f i r s t   i t e r a t i o n s e c o n d   i t e r a t i o n t h i r d   i t e r a t i o n     F i g u r e   1 1   R e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   f o r   l a r g e r   g r o u n d   ( 4 0 x 4 0 c m )   0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] f i r s t   i t e r a t i o n s e c o n d   i t e r a t i o n t h i r d   i t e r a t i o n     F i g u r e   1 2   R e f l e c t i o n   f a c t o r   o f   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a   f o r   s m a l l e r   g r o u n d   ( 2 0 x 2 0 c m )           F i g u r e   1 3   Ph o t o g r a p h   o f   t h e   b u i l t   p r o t o y p e s   0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] S I E M + U T D m e a s u r e m e n t     F i g u r e   1 4   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   s i m u l a t i o n   a n d   m e a s u r e m e n t   w i t h   g r o u n d   ( 2 0   2 0 c m ) ,   c a s e   i t e r a t i o n   1       0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] S I E M + U T D m e a s u r e m e n t     F i g u r e   1 5   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   s i m u l a t i o n   a n d   m e a s u r e m e n t   w i t h   g r o u n d   ( 2 0 x 2 0 c m ) ,   c a s e   i t e r a t i o n   2   0 1 2 3 4 5 6 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 f r e q u e n c y   [ G H z ] r e f l e c t i o n   f a c t o r   [ d B ] S I E M + U T D m e a s u r e m e n t     F i g u r e   1 6   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   s i m u l a t i o n   a n d   m e a s u r e m e n t   w i t h   g r o u n d   ( 2 0 x 2 0 c m ) ,   c a s e   i t e r a t i o n   3   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S SN :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     T E L K O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 0   :     2 2 5     2 3 4   2 3 4   T h e   s e c o n d   m i n i m u m ,   p r e d i c t e d   i s   a b o u t   1 . 8 G H z ,   i s   s h i f t e d   t o   a b o u t   2 . 0 G H z .   I t   i s   n o t   c l e a r   w h a t   t h e   c a u s e   o f   t h i s   s h i f t i n g   i s ,   p r o b a b l y   d u e   t o   t h e   i n a c c u r a c y   d u r i n g   t h e   f a b r i c a t i o n   o f   t h e   a n t e n n a s   o r   d u e   t o   t h e   a n t e n n a   t h i c k n e s s   o f   1   m m ,   w h i c h   w a s   n o t   c o n s i d e r e d   i n   t h e   s i m u l a t i o n .   I n t e r e s t i n g l y   i t   i s   f o u n d   f o r   t h e   t h i r d   i t e r a t i o n   t h i r d   m i n i m u m   a t   a b o u t   3 . 6 G H z ,   a n d   f o u r t h   m i n i m u m   a t   a b o u t   4 . 4 G H z ,   b o t h   a l s o   s h i f t e d   t o   h i g h e r   f r e q u e n c i e s .   Sh i f t i n g   t o   h i g h e r   f r e q u e n c i e s   m e a n s   t h e   a c t u a l   s t r u c t u r e s   s e e m   s h o r t e r   t h a n   t h e   s i m u l a t e d   o n e s .         5 .   C o n c l u s i o n   T h e   Si e r p i n s k i   g a s k e t   a n t e n n a s   o b s e r v e d   i n   t h i s   w o r k   s h o w   t h e   m u l t i b a n d   c h a r a c t e r i s t i c s .   Al l   n u m e r i c a l   a p p r o a c h s   a r e   a b l e   t o   p r e d i c t   t h i s   c h a r a c t e r .   T h e   m e a s u r e m e n t s   d e l i v e r   a l s o   t h e   s i m i l a r   r e s u l t s .   N u m e r i c a l   a p p r o a c h   s h o w s ,   t h a t   s u b s t i t u t i n g   t h e   d i p o l e   b y   m o n o p o l e   w i t h   f i n i t e   g r o u n d   l e a d s   t o   d i s a p p e a r a n c e   o f   o n e   o f   t h e   m i n i m u m s ,   i . e .   a t   0 . 5 G H z .   T h i s   c o n d i t i o n   i s   a l s o   v e r i f i e d   b y   t h e   m e a s u r e m e n t s .     H y b r i d   m e t h o d   SI EM + U T D   i n t r o d u c e d   i s   a   v e r y   g o o d   a l t e r n a t i v e   b e c a u s e   t h e   m e t h o d   g i v e s   a l m o s t   s a m e   r e s u l t s   a s   d e l i v e r e d   b y   t h e   e x a c t   m e t h o d   SI EM .   T h e   m e m o r y   r e q u i r e m e n t s   f o r   e x a m p l e s   i n   t h i s   w o r k   a r e   l e s s   t h a n   1   M B   a n d   t h e   c o m p u t a t i o n a l   t i m e   s h o r t e r   t h a n   5   s e c o n d s   p r o   f r e q u e n c y   p o i n t .   T h i s   s m a l l   c o m p u t a t i o n a l   e f f o r t   c a n   l e a d   t o   m o r e   e x p l o r a t i o n   o f   t h e   s t r u c t u r e s   t o   g e t   s a m e   o p t i m i z e d   c o n d i t i o n   b y   v a r y i n g ,   f o r   e x a m p l e   o n e   o f   t h e   d i m e n s i o n s   o f   t h e   a n t e n n a .         R e f e r e n c e s   [ 1 ]   Pu e n t e - Ba l i a r d a   C ,   R o m e u   J ,   Po u s   R ,   C a r d a m a   A.   O n   t h e   Be h a v i o r   o f   t h e   Si e r p i n s k i   M u l t i b a n d   F r a c t a l   An t e n n a .   I EEE  T r a n s c .   O n   An t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   1 9 9 8 ;   1 5 ( 4 ) : 5 1 7 - 5 2 4 .   [ 2 ]   So n g   C T P,   H a l l   P S,   G h a f o u r i - Sh i r a z   H .   P e r t u r b e d   S i e r p i n s k i   M u l t i b a n d   F r a c t a l   An t e n n a   w i t h   I m p r o v e   F e e d i n g   T e c h n i q u e .   I EEE  T r a n s c .   O n   An t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   2 0 0 3 ;   5 1 ( 5 ) : 1 0 1 1 - 1 0 1 7 .   [ 3 ]   Kr z y s z t o f i k   W J .   M o d i f i e d   Si e r p i n s k i   F r a c t a l   M o n o p o l e   f o r   I SM - Ba n d s   H a n d s e t   A p p l i c a t i o n s .   I EEE  T r a n s c .   O n   An t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   2 0 0 9 ;   5 7 ( 3 ) :   6 0 6 - 6 1 5 .   [ 4 ]   Pu e n t e - Ba l i a r d a   C .   An   I t e r a t i v e   M o d e l   f o r   F r a c t a l   A n t e n n a s :   Ap p l i c a t i o n   t o   t h e   Si e r p i n s k i   G a s k e t   An t e n n a .   I EEE  T r a n s c .   O n   An t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   2 0 0 0 ;   4 8 ( 5 ) :   7 1 3 - 7 1 9 .   [ 5 ]   H w a n g   KC ,   M o d i f i e d   Si e r p i n s k i   F r a c t a l   An t e n n a   f o r   M u l t i b a n d   A p p l i c a t i o n .   I EEE   An t e n n a s   W i r e l e s s   Pr o p a g a t i o n   L e t t e r s .   2 0 0 7 ;   6 ( 1 ) :   3 5 7 - 3 6 0 .   [ 6 ]   Be s t   SR .   A   M u l t i b a n d   C o n i c a l   M o n o p o l e   An t e n n a   D e r i v e d   f r o m   a   M o d i f i e d   Si e r p i n s k i   G a s k e t .   I EEE  An t e n n a s   W i r e l e s s   Pr o p a g a t i o n   L e t t e r s .   2 0 0 3 ;   2 ( 1 ) :   2 0 5 - 2 0 7 .   [ 7 ]   Al a y d r u s   M .   An a l y s i s   o f   T h r e e   D i m e n s i o n a l   Si e r p i n s k i   G a s k e t   An t e n n a s ,   I n d o n e s i a - M a l a y s i a   M i c r o w a v e   An t e n n a   C o n f e r e n c e .   D e p o k .   2 0 1 0 .   1 0 1 - 1 0 4 .   [ 8 ]   Sa d i k u   M N O .   N u m e r i c a l   T e c h n i q u e s   i n   El e c t r o m a g n e t i c s   w i t h   M a t l a b .   T h i r d   Ed i t i o n .   Bo c a   R a t o n :   C R C   Pr e s s .   2 0 0 9 .   [ 9 ]   M o r i t a   N ,   Ku m a g a i   N ,   M a u t z   J R .   I n t e g r a l   Eq u a t i o n   M e t h o d s   f o r   El e c t r o m a g n e t i c s .   Bo s t o n :   Ar t e c h   H o u s e   Pu b l i s h e r s .   1 9 9 1 .   [ 1 0 ]   Pe t e r s o n   AF ,   R a y   S L ,   M i t t r a   R .   C o m p u t a t i o n a l   M e t h o d s   f o r   El e c t r o m a g n e t i c s .   N e w   J e r s e y :   I EEE  Pr e s s .   1 9 9 7 .   [ 1 1 ]   M c N a m a r a   D A,   P i s t o r i u s   C W I ,   M a l h e r b e   J AG ,   I n t r o d u c t i o n   t o   t h e   U n i f o r m   T h e o r y   o f   D i f f r a c t i o n .   M a s s a c h u s e t t s :   Ar t e c h   H o u s e   Pu b l i s h e r s .   1 9 9 0 .   [ 1 2 ]   Kn o t t   EF ,   S h a e f f e r   J F ,   T u l e y   M T .   R a d a r   c r o s s   s e c t i o n .   Se c o n d   Ed i t i o n .   R a l e i g h :   Sc i T e c h   Pu b l i s h i n g .   2 0 0 4     [ 1 3 ]   D j o r d j e v i c   M ,   N o t a r o s   BM .   H i g h e r   O r d e r   H y b r i d   M e t h o d   o f   M o m e n t s - Ph y s i c a l   O p t i c s   M o d e l i n g   T e c h n i q u e   f o r   R a d i a t i o n   a n d   S c a t t e r i n g   f r o m   L a r g e   Pe r f e c t l y   C o n d u c t i n g   Su r f a c e s .   I E EE  T r a n s c .   O n   An t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   2 0 0 5 ;   5 3 ( 2 ) : 8 0 0 - 8 1 3 .     [ 1 4 ]   Al a y d r u s   M ,   H a n s e n   V,   Ei b e r t   T F .   H y b r i d 2 :   C o m b i n i n g   t h e   T h r e e - D i m e n s i o n a l   H y b r i d   F i n i t e - El e m e n t - Bo u n d a r y   I n t e g r a l   T e c h n i q u e   f o r   Pl a n a r   M u l t i l a y e r e d   M e d i a   w i t h   t h e   U n i f o r m   G e o m e t r i c a l   T h e o r y   o f   D i f f r a c t i o n ,   I EEE  T r a n s a c t i o n s   A n t e n n a s   Pr o p a g a t i o n .   2 0 0 2 ;   5 0 ( 1 ) :   6 7 - 7 4 .   [ 1 5 ]   Al a y d r u s   M ,   H a n s e n   V.   H i g h e r   O r d e r   M e c h a n i s m s   a n d   C o u p l i n g   i n   t h e   H y b r i d 2   M e t h o d   f o r   C a l c u l a t i n g   N e a r   a n d   F a r   F i e l d s   o f   C o m p l e x   C o m p o s i t e   R a d i a t i n g   St r u c t u r e s .   An t e n n a s   a n d   Pr o p a g a t i o n   I n t e r n a t i o n a l   Sy m p o s i u m .   U t a h .   2 0 0 0 .   1 :   4 8 0 - 4 8 3 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.