TE LKOM NI KA  Te le c om munica tion,  C omp u tin g,  El e ctroni cs and  Contr ol   Vo l.   18 ,  No.   1 ,  Febr uar y   2020 , pp.  365 ~ 375   IS S N: 16 93 - 6930, acc red it ed   First G ra de by  Kem enr ist ekd i kti, D ec ree  N o: 21/E/ KP T/ 2018   DOI: 10. 12 928/ TELK OMN I KA.v1 8i1 . 14108     365       Journ a l h om e page :  http: // jo ur nal. uad.ac .id /i nd ex. php/TE LKOMNIKA   Buck c on verter contr olled  with Z AD and  FPIC fo r    DC - DC  signal r egulati on       Fredy  E. H oy os   Velasc o 1 ,  Yei so n  Albert o Garcés  G omé z 2 , a nd J oh n  E. Candel o - B ecer ra 3   1 Univer sidad  Na ci ona l  de   Colom bia ,   Sede   Mede llín,  Fa cul t ad  d e Cie ncias,   Escuel a  de   Fís ica, Med el l ín ,   Co lombi a   2 Unidad  Aca d é m ic a  de   Form ac i ón  en  C ie n ci as  Natur ales  y   Ma t emáti c as,   Univ er sidad  Ca tól i ca d e  Mani za l es,   Col om bia   3 Uni ver sidad  Na ci ona l  de   Colom bia ,   Sede   Mede llín,  Fa cul t ad  d e M ina s,    Depa rta m ent o   d e  En erg í a  E léctr i ca   y   Autom át i ca,   Colom bia       Ar ticl e In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Sep  15 , 201 9   Re vised  N ov 14 ,   2019   Accepte d  Dec  24 , 201 9       Thi s  pape r   pre s ent s  the   p erf or m anc e  of  a   fix ed - point   induc t i on  cont rol   (FP IC)  te chni q ue  working  in   conj unc ti on  with  the   non - linear   con trol  te chn ique   c alled   ze ro  ave r age  d y nami cs  (ZAD)  to  con trol   cha o s  in  a  bu ck   conve rt er.  The  cont rol  techniq ue  consists  of  a  slidi ng   surfac e  in  whi ch     the   err or  te nds  t o  ze ro  at   each  sam pli ng  per iod.  A  sw it ch  is  cont roll ed  b y   using  ce n te r ed   pulse  wid th   m odula ti on   (CPW M)  co ntrol   signa l.     The   conv erter  c ontrol le d   with  Z AD - FP IC  has  be en  sim ula te d  in  Matl ab  and   implemente d  us ing  rap id  cont r ol  prototy p ing  (RCP )  in  a  DS P  to  m ake   compari sons   bet wee n  sim ula ti o n  and  expe rime nta l  t ests.   To  p erf orm   thi s  compari son,  so m e  var iations  i n  the   cont ro l  par amete r   and   the   vol ta g e  ref ere n ce   are  m ade   in   orde r  to   eva lu ate  th e  p erf orm anc e  of   t he  s y st em.  Result s  are  obt ained  with  err ors  l ower  tha n   1  %  w hic h  demons trat es  the   good   per form anc e   of t he  con trol techni ques.   Ke yw or d s :   Buck  con ver te r   DC - DC  co nver te r   Fixed - po i nt in du ct io n  c ontr ol   Sign al   re gu la ti on   Zero ave ra ge d ynam ic s     This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Fr e dy E. H oyos Vela sc o   Faculta d de Ci encias,    Un i ver si dad Na ci on al   de  C olo m bia,    Sede  Me dellí n, Escuela  de Fí s ic a, Medell ín, C olo m bia .   Em a il :  feh oyosve@ unal .edu.c o       1.   INTROD U CTION   The  va riable  s tructu re  syst e m s  switc hed   via  ce ntere d  pulse   width  m od ulati on  (CP WM)  prese nt    a  gr eat   nu m ber  of   dynam ic   beh avi or s  wh e n  the  co ntr ol  par a m et ers  are  chan ge d.   S om e  st ud ie s  of  the  D C - DC   bu c k  c onver te r   [1 ,  2]   are  obta ined  with  anal yt ic al   [3 ,  4]   num erical   [5]   and   ex per im ental   resu lt s  [ 6,   7]   a ll   that  f or  certai n  val ues  of  the  para m et ers  wh ere   instabil it y,  st range  phen ome na,   cha os   [ 8]   per io d  ba nd s ,   and  su bha rm on ic s  are  pr ese nted .  Be sides,  one - pe rio d  orbits  an d  a bove   we re  stud ie d  in   [ 9] ,   by  us in g  num erical   si m ulati on   al gorithm s.   D ue  t o  the   disc on ti nuous  a ct io ns   of   t he  c on t ro ll er  in  c onju nction  with  t he  gl ob al   syst e m ,  "chattering"  ap pears   increasin g  ri pple   an d  disto rt ion   at   the  ou t pu t  [ 10] .  W it h  the  aim   of   re du ci ng  these  pr ob le m s  an d  ob ta ini ng  re gula te d  si gn al s  at   t he  outp ut,  the   ZA D  c on tr ol  te c hn i qu e   ( ze ro  aver a ge  dynam ic s)  was   pro posed   [ 5,   11 - 13 ]   wh e reby   us in g  a  sli di ng  surface   that   is  force d  to  ha ve  a  ze ro  ave rag e  i n  each  it erati on .   Her ei n,  i t  consi der s  the  r efe ren ce  sig nal,  t he  real  value  at   the  ou tp ut,  and   it s  de rivat ives  to  cal culat e  the  duty   cy cl e.  This  te chn iq ue  co m bin es  adv ant ages  suc h  as  fi xed   s witc hing  fr e qu e ncy,  r ob us tness ,   and lo w  e rror.   The  c on t ro ll er  with  Z AD  te ch nique  has  s hown   go od   pe rfo rm ance  in  num erical   res ults  as  in  [14 - 16]   and   i n  ex pe rim ental   resu lt s  as  in   [ 13,  15,  17 - 21 ] .  Howev e r,   m os t  of   th e  im ple mentat ion s  c ontem plate     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   1693 - 6930   TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l ,  V ol.  18 ,  No.  1 ,  Fe bruary  2 02 0:    365   -   375   366   a  centere d  pul se  width   m odul at or   (CP WM) ,  m a inly   du e  to  te ch nical   rea so ns  relat ed  t o  current  a nd   volt age  m easur em ent  i n  areas  w her e  they   are  no t  so  aff ect ed  by  s witc hing  transi ent  prob le m s.   In   stu dies  carri ed  out     in   [16] ,  wh e re   the  con ve rter   is  con trolle d  by  the  ZAD   te chn i qu e ,  a  ne w  co ntro l  te chn i qu e  cal le d  FPI C   ( c ontr ol  by  in duct ion  to  th e  fi xed  point)   is  pr op os ed   [ 22 - 24] ,  w hich   is  use fu l  for  c on tr ol li ng   unsta ble  and / or   chao ti c  syst em s.   In   the  present  w ork,   it   is   pr opose d  to  con t ro l  the  conver te r   stud ie d  exte ns ively    by   [ 10,  13 - 15,   25]   wh ic h  wil l  be  co ntr olled   at   the  sam e  tim e  by  the  ZA D  an d  F PI C  te chn i qu e s  i n  order   of  regulat e D C  sign al s  at the  outpu t  with l ow st eady sta te  er ror.       2.   MO DEL FO R  C P WM  WIT H Z AD   AND F PIC   This  sect io n  sh ows   the   Z AD  an d  FP I C  co ntr ol  al gorithm s  with  CP W M  for  a n  a uton om ou s    non - li near  S ISO  syst e m   def i ned  by  (1),  where  x   ∈   R n   with   f   a nd  g   vect or  fiel ds  def i ned  ON  R n .   Figure   1  sh ows   the  el ec tric   ci rcu it   that   corres ponds  t o  the   po wer   c onve rter,   w hich   consi ders  an   in du ct or   L ,  a n  inte rn al   resist ance  of  th e  inducto r  r L   ,  a   capaci tor   C ,  a nd  a  resist ance     R .   W it h  the   a bove   eq uations  a  n on - li near  m od el  is  obta ined   in  syst e m   sta te   var ia bles  as   sho wn  in  ( 4) .   T he  sta te   var ia bles  are  the   volt age   in  the   cap aci tor  ( υ c )  and   t he  c urren t   in  the  in duct a nce  ( i L ).   T he  c ontr ol  va riable  ( u )  ta kes  discrete   values  + 1   an d  − 1 .  This  syst em   can  be  re pr ese nted  as  x ̇ = Ax + Bu .  As  t he   con t ro l  sig na l  u   ta kes  value s   + 1   or  − 1   show n  in   F igure  2 ,  t w o  diff e re nt  to po l og ie s   are   pres ented   in  eac h  sam pling   pe rio d.   This   syst em   will   be   c on tr olled  by  a   CP WM  in   wh ic h  the  syst e m   can b e  m odel ed  as  pr e sent ed  in   ( 5).     ̇ = ( ) + ( ) ⋅   (1)           Figure  1. Ele ct ric ci rcu it  c ons idere d  in  the  stud y       By  co ns i der i ng the circ uit  pre sented  in Fi gur e   1,   ( 2) an d ( 3) are  obta ined  a s foll ow s:                 =  +   (2)              =  + +   ( 3 )               [ ̇ ̇ ] = [ − 1  1 − 1 − ] [ ] + [ 0 ]   ( 4 )               ̇ = {          + ,  ℎ   = + 1 ,       0 < < 2  − ,  ℎ   = − 1 , 2 < < − 2  + ,  ℎ   = + 1 , − 2 < <   ( 5 )     Bi el ,  Fo ssas  a nd   G riñ o   [ 13] ,  pro po se d  t he  ZAD  co ntr ol  te chn i qu e ,  wh i ch  gua ran te es  rob us tnes s ,   fixe d  switc hing  f reque ncy,  a nd   l ow  er ror.   The  a ver a ge  functi on  s ( x )   express ed  in  (6),   cal le d  sli ding  s urfa ce,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l         Buck c onvert er  controll ed  wi th Z AD  an d  FP IC for   DC - DC  signal re gu l ation   ( Fredy  E. H oyos Vela sco )   367   requires  ze r o  a t  each  switc hing  pe rio d  a nd  th at   the  outp ut  volt age  ( υ c )  fo ll ows  the r ef ere nc e  ( υ ref ).   N um erical   resu lt s  f or  CP WM,  pr ese nte d  in  [14,   17,  15] ,  a nd   al so   exp e rim ental   resu lt s  presente d  in   [19 - 21] ,  hav e  dem on strat ed  t he  good  op e rat ion   of  this  te c hn i qu e .   In   ( 6),   υ c   is  the   real  volt age  m easur ed   in  the   loa d  or  in     the  capaci to r,  υ ref   is  the  re fer e nce   volt age g ive n  by  the u se r,   a n d  K s   is  the  ti m e  c on sta nt  ass ocia te d  to  t he  fi rst   order   dyna m ic  in  the  sli di ng  su r face.  N ow,   the  so l utio n  f or   t he  no n  hom og eneous  ca se  of  the  sta te   sp ace   syst e m   def ined   in  (7 )  is  pr e se nted  in  ( 8).   Th en  the  syst e m   i s  so lve d  for  th e  three  sect ions  sh ow n  i n  Fig ur e  3;  wh e re t he  c on t ro l si gn al   u   is  obser ve d for a  sing le   pe rio d  ( T ).             ( ) = ( −  ) + ( ̇ − ̇  )   ( 6 )             ̇ =  +    ( 7 )             ( ) =  ( 0 ) + ∫ 0 ( − )  ( )    ( 8 )             Figure  2. Co ntr ol sig nal  u   obta ined  w it h t he c e ntere d pu lse   width m od ulat or ( CP WM)     Figure  3. Th re e co ntr ol sig na l condit ions    per pe rio d ( T )       Fo r   the  fi rst  interval,  Ax + B , wi t h   u = + 1 ,       0 < t < d 2 ,  the   so luti on  in  functi on  of  ti m e  is   represe nted  i n (9):     ( ) ( u = + 1 ) =  ( 0 ) − − 1 [ I −  ]   (9)     ne xt ,  t he  in it ia l  value   ( x ( d / 2 ) )  is   cal culat ed  with  ( 10)  a nd  that  will   be  the  inti al   conditi on   for     the sec ond  i nterv al .     ( / 2 ) = ( / 2 ) ( 0 ) − − 1 [ I − ( / 2 ) ]   ( 10 )     Now,  f or  t he  s econd   inter val,   Ax − B , wi t h   u = − 1 , a nd   d 2 < t < T − d 2 ;  a  ne w   s olu ti on  in   ti m e  is  obta ined   as ex pr e ssed  in  (11):     ( ) ( u = − 1 ) =  ( 0 ) − − 1 [ I −  ]   (11 )     and  the i niti al  co ndit ion f or t he  thi rd inte r va l i s d efi ned as  expresse d  i n   ( 12):     ( − / 2 ) = ( − ) ( / 2 ) + − 1 [ I − ( − ) ]   (12 )     finall y , for the  la st i nterv al ,   Ax + B , wi t h   u = + 1 , T − d 2 < t < T , th e ti m e so luti on  is  def i ned as  in   ( 13):   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   1693 - 6930   TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l ,  V ol.  18 ,  No.  1 ,  Fe bruary  2 02 0:    365   -   375   368   ( ) =  ( − / 2 ) − − 1 [ I −  ]   (13 )     so luti on  for  t = T   is  eq ual t o  th e e xpress ed  in   (14 ) :     ( ) = ( / 2 ) ( − / 2 ) − − 1 [ I − ( / 2 ) ]   (14 )     Substi tuti ng (1 0) an d (12 )  in   ( 14), a  gen e ral s olu ti on is  obta ined  as s how n  i n   (15) :     ( ) = T ( 0 ) + [ − 2 ( T − d / 2 ) + 2 ( / 2 ) +  − I ] A − 1   (15 )     A discret e ti m e  so l ution,  wh ic h  a re m ulti p le s for  t he values   of  T , is obtai ned w it h   ( 16):     ( ( + 1 ) )   =  (  ) + [ − 2 ( − / 2 ) + 2 ( / 2 ) +  − ] − 1   (16 )     2.1.  Z AD and  FPIC   c ontr ol   To  co ntr ol  the   conver te r  in  r eal   tim e,  it   is  necessa ry  to  cal culat e  the  duty   cy cl e  ( d ) ,  to  de te rm ine     the   tim e  of   the   switc hing  per i od   ( T ) .  T his  ti m e  is  relat ed  to  t he   intervals  t hat   the  s witc h  wil l  be  O N  ( d )   an d  OF F   ( T − d ) .  Th us ,   th e  eq uatio n  that   de fines   the  du ty   cy cl e  ( d )  t o  be   ap plied  at   ea ch  it erati on  ac cordin g  t o  the  ZA D  a nd  F PI C  te c hniq ues   is  giv e n  by   ( 17) .   By   us i ng   x 1 ,  x 2 ,  the  pa ram et ers  of   t he  filt er  LC ,  t he  par am et er   K s ,   the   ref e ren ce   sig nal,   an d  th e  s ource  volt age  ( E );  the   e xpr essions  s ( x ( kT ) ) ,  s ̇ + ( x ( kT ) ) ,  s ̇ − ( x ( kT ) ) ,  a nd   dss   are calc ulate d as sh own  in  (18 - 22 ) .       (  ) = _  (  ) + ∗  + 1   (17 )     _  (  ) = 2 ( (  ) ) + ̇ − ( (  ) ) ̇ − ( (  ) ) − ̇ + ( (  ) )   (18 )      = [ 1  ( ℎ −  ) + ̇ 1  ( + ) − ̈ 1  − ℎ ] − 2 ℎ   ( 1 9)     wh e re:     ( (  ) = ( 1 + ) 1 (  ) + ℎ 2 (  ) − 1  − ̇ 1    (20 )     ̇ + ( (  ) ) = ( + 2 + ℎ ) 1 (  ) + ( ℎ + ℎ + ℎ ) 2 (  ) + ℎ − ̇ 1  − ̈ 1    (21 )       ̇ − ( (  ) ) = ( + 2 + ℎ ) 1 (  ) + ( ℎ + ℎ + ℎ ) 2 (  ) − ℎ − ̇ 1  − ̈ 1    (22)       3.   SOFTW AR E   The  im ple m en ta ti on   of  Z AD  and  FP IC  te chn i qu e s  in  ord er  to  c on t ro l  t he  co nverte r  r e qu i res  t o  config ur e   the   a lgorit hm   in  a  pl at fo rm   that  pr ov i des  good   ch aracte risti cs  in   te rm s  of   handling  the   sig nals  with   pr eci sio n.   The  plata form   has  high  sam pling   sp ee d  an d  is  c om pu ta ti on al ly   eff ect ive,  t hus   al lowing  the  c on t ro l  to  be  e xecu te d  in  real  ti m e .  The refor e ,  f or   the  im ple m entat ion   of   th ese  con t ro l  te chn i qu e s,  the  DS110 4  DS P ACE  boar d  is  us e d.   This   de vice  is  pro gram m ed  in  Si m ul ink - Ma tl ab   platf or m   and  there   is  a  visu al iz at ion  interface  t hat  can  be  pr ogra m m ed  dep e nd i ng  on  the   nee d,   t his  platf orm   is  c al le d  Con t ro l Desk.  B el ow   i n  Figure  4, it  is s how n on e  b y  one the  stages  c arr ie d o ut in  si m ul ink  to  c onf igure the  co m plete  co ntr ol sys tem .     3.1. An alogue   signa l  sampl in g ( ,  , iR a nd  E )   Fo r   the  im ple m entat ion   of  the  Z AD   a nd  FPI C  c on t ro l  t echn i q ue s,  it   is  necessa ry  to   know  s om e   values   of  c onsta nt  pa ram et ers  su c h  as:   L ,  C ,  rL ,  Fs ,  Fc ,  K s   an d  N .  In  a dd it ion ,   s om e  syste m   var ia bles   m us t  b e   known   in   real  t i m e  su ch  a s:  c apacit or  volt ag e  ( υ c ),   s upply  vo l ta ge  ( E ),  in du ct or  c urren t  ( i L ),   a nd  the   loa d  ( R ),  wh ic h  is   li near  an d  can   be   est i m at ed  us in g  t he  O hm' s  la w,   so   it   is   nece ssa ry  to   m easur e  t he  l oad  c urren t   ( i R ).   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l         Buck c onvert er  controll ed  wi th Z AD  an d  FP IC for   DC - DC  signal re gu l ation   ( Fredy  E. H oyos Vela sco )   369   The  D S11 04 M UX_ AD C  blo c k  sho wn   i n  Fig ur e  5  is  us e d  t o  car ry  out  this  first  sta ge.   T hi s  blo c k  has  i ntern a l   acce ss  to  4  m ulti plexed   cha nnel s  ( AD C H1,  AD C H2,  A DC H3,  an d  A DC H4)  f or   data  sa m pl ing   an d  ea ch  one  has  16 - bit  res ol ution .   I n  this  c ase,  c hannel  A DCH 1  is   use d  for  sam pling  ( υ c ) ,  c hannel  AD C H2  f or  the   c urr ent   in  the  in duct or  ( i L ),   c ha nn el   AD C H3  f or   c urren t  i n  the  l oad  ( iR )  an d  c ha nn el   A DCH 4  for  the   sou rc e    vo lt age  ( E ).   Fig ur e  5  sho ws  a m pl ific at ion s  of  10  tim es  the  sign al   f or   t he  f our  in pu ts  ( gai n1,  gai n2,  gai n3,  a nd  gai n  3)   be caus e  the  blo c k  m a kes  an  inte rn al   div isi on  by  10 .  The n,   in  orde r  to  ha ve  the  si gn al s  with  thei r  real  values , it i s ne cessary t o m ult iply  b y t he gai ns   av ,  ai ,  aR   a nd  aE ; and the  final si gn a ls are  se ns e d.           Figure  4. Ge ne ral outl ine  of the c on t ro l sy st e m  w it h  Z AD  and FP IC           Figure  5. Ac qu isi ti on  of si gn a ls at  the  DS P  input       3. 2 .  Re ference  signal  gener ati on   To  exe cute  the   con tr ol  te ch ni qu e s,  it   is  nece ssary  to  ha ve  t he  re fer e nce  si gn al ,  beca us e  t he  co ntr oller   needs  to  ha ve   the  re fer e nce   that  the  us er   wan ts  at   t he  outp ut.  Fi gure  6  s hows  t he  bl ock   pro gr am m ed  in   s i m ulink   that   intr oduces  t he  r efere nce  si gn al   an d  t he  cal cul at ion   of  it s  fir s t  and  sec ond  de rivati ve.  T he  blo c k  is  com piled  in to  the   D SP   an d  by  us in g  t he   Co ntr olDes k  so ft war e  [ 26]   t he  ref e ren c e  sign al ,  am plit ud e,  an d  fr e qu e ncy  valu es can  b e  ch a nged  m anu al ly .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   1693 - 6930   TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l ,  V ol.  18 ,  No.  1 ,  Fe bruary  2 02 0:    365   -   375   370   3. 3 .   Z AD an d  FPIC  contr ol   These  tw o  te chn i qu e s  wer e  i m ple m ented  us ing   an  em bedded   f unct io n  bl ock .  T he  co nt ro l  bloc k  is  sh ow n  in  Fig ure  7,   in  w hich  the  values  of   c on sta nt  par am et ers  and   th os e   acqu ire d  f ro m   the  real  syst e m   are   entere d.  T hus,   the duty  cyc le  is cal culat e d  i n t his b l ock b y i m ple m enting  t he (1 7 - 20) .           Figure  6. Re fere nce si gn al s           Figure  7. Exec ution bl ocks  f or c on tr ollers  (Z AD   an d FPIC )       4.   RESU LT S   A ND AN ALYSIS     The  res ults  pr e sented  belo w  are  ta ken   f r om   an  ex per im ental   pr ot otype  con sist in g  of  a  sing le - phase   inv e rter  as  de scribe d  ab ov e ,   power e d  by  a  du al   source   BK  PREC ISIO N  1761  co nf i gured   to  prov i de     ±30  V olts.  T he   par am et ers  of   the  co nv e rter  a nd   t he  co ntr ollers  are  s how n  in  Table  1.   I n  c ase  of   regulat ion,  it  is  ver y  im po rtant  that  the  va lue  of   t he  cap aci tor  us e d  in  the  filt er  be  la rg e  for  sm al le r   ripp le .  The refor e ,  i n    DC - DC  sig nal  regulat ion   t he  value  of  C = 229   μ F   was  us e d.   T he  perf or m ance  of  the   ZA D  an d  FPIC   con t ro l   te chn iq ues  a pp li ed  to  the  dri ve   wh e n  se ns in g  the  s upply  volt age  ( ± E )  is  show n  belo w.   T he   con tr ol  pa ra m et er   with  Z AD   f or  this  case  is  K s = 2 ).   Fig ur e  8   (a)  shows  t he  e xperim ental   beh avi or   w hen   t he  sig nal  ha s     a  po sit ive  valu e  in  the  re fer e nc e  vo lt age  ( υ ref = 80   V olts  DC).   This  F igure  s hows  t he  cu rr e nt  in  t he  in du ct or   ( i L )  (purple) ,  w hich  has  tria ngula r  be ha vior  an d  sim il ar   switc hing  frequ e ncy  to  t he   CP W M  sig nal.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l         Buck c onvert er  controll ed  wi th Z AD  an d  FP IC for   DC - DC  signal re gu l ation   ( Fredy  E. H oyos Vela sco )   371   Additi on al ly ,   t his  F ig ure  sho ws  the  c urre nt  in  the  loa d,  w hich  is  pro port ion al   to  t he  volt age  in  the  ca pacit or  and   without  ri pp le .  Fi gure  8   (b )  s hows  the   exp e rim ental  beh a vior  w he n  the  sign al   has   a  neg at ive  va lue  in     the  ref e re nce  vo lt age  ( υ ref = − 80   Vo lt s  DC).   T his  F igure  s hows  that   the  curre nt  in  the  i nduc tor  a nd     the curre nt i n  t he  loa d  a re  ne ga ti ve.   Figure  9  sho w s  four   sig nals  m easur ed  with   the  Tektronix   TDS 20 14   os c il loscop e .  The   first  sign al   (CH 1)   co rr e spond  to  the  cu rrent  in  the  load  with  a  value  ap pro xim a te ly  130  m A,   becau se   th e  load  i m ped ance   is  151 . 3Ω .  T he   sec ond  si gn al   (C H2)   prese nts  the   s upply  vo lt age s   with   +   E   an d  –   E   values;  t his  c ha nn el   ha s     a  gain  of   50   V/ div .  In   c ha nn el   CH3 ,  t he  os ci l losco pe  s hows  the  outp ut  volt age  at   the  loa d,  regulat ed  to  20   V;  no te   that  t his  c hannel  has   a  ga in  of  5V/di v.   Finall y,  cha nn el   CH4  the   cu r ren t  i n  t he  i nductance   is  m ea su re d;   this  cha nnel   ha s  a  gain   of  500   m V/div .   Fi gur e  10  s how s  the   be ha vio r   of   t he   co nverter   w he n  t he  ref e ren c e  of   20  Vo lt s  is   gi ve n  by  t he  us e r  wh e n  pa ram eter   K s = 2 .  T hese   sig na ls  we re  obta ined   by  us in g  t he  ac quisi ti on  interface   desi gned   with   the   D S1104 board.  Th is  z on e   c orr esp onds   t o  the  stable  sta te   w he re  the   dri ve   re gu la te s  with lo w v oltage e rror s  of a ppr oxim a te ly  ± 0. 5 % a nd the  duty  cyc le  f luct uates  betwee n 0.82 an d 0.8 5.       Table  1.   Param et er s of t he  c onver te r  and c ont ro ll ers   Para m eter  and  Des criptio n   Valo r   R   = L o ad  r esis tan ce   151 . 3   Ω   C = Cap acitance   229   μ f   L   = I n d u ctan ce   3 , 945   mH   r L = I n ternal  resistan c e   4   Ω   E   = I n p u t vo ltag e   ± 3 0  V  (Dual So u rce )   Fc= Swit ch in g  f requ en cy   5  kHz   Fs= Sa m p l e  r at e   2 5  kHz   N   = Co n trol p ara m et er  with  F PIC   1         (a)       (b)     Figure  8. V oltage m easur ed  in  the loa d o btained  for t he  e xp erim ental  r esults :   (a)   with a  posit ive  value  i n    the r e fer e nce  volt age  ( υ ref = 80   V) ,   an d (b)  with a  ne gative  value  in t he  re fer e n ce  volt age  ( υ ref = − 80   V)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   1693 - 6930   TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l ,  V ol.  18 ,  No.  1 ,  Fe bruary  2 02 0:    365   -   375   372       Figure  9. O utputs at  the  o sci ll os c op e           Figure  10. O utp ut  volt age,  er r or an d d uty ci cl e w it h  K s = 2       Nex t,  a  va riat ion   of  the  c on t r ol  pa ram et er  K s   f ro m   0  to  2  is  c arr ie d  out,  hav i ng   t he  c on tr ol  par am et er   N = 1   fixe d.   T hi s  is   perform ed  in  order   t o  deter m ine  the  dyna m ic s  pr esent  i n  the  syst em   var ia bles  w he n    the  par am et er  K s   is  cha nged .  Figure   11   sho ws   the   dy nam ic s  pr ese nt  i n  t he  con t ro ll ed   var i able  υ c   f or  a   ra nge   of  K s   val ues  between  0  a nd  2.   Figure  11  (a )  s hows  t he  sim ulate d  res ults  an d  Fi gure  11   ( b)  sho ws  th e  res ults  ob ta ine d  ex pe r i m ental ly .   In   this  Figure,  f rom   1. 2  to  2  the   syst e m   is   regulat ed  an d  the   err or  pr e sent  in  this   zon e  is  le ss  th an  ± 0.5  %.  F or  valu es  of  the   par am et er  K s   less  than  1.2,  th e  syst e m   do es   no t  re gula te   w el l,   chaos  is  pr ese nted,   a nd  the  error   inc reases   un ti l  the  syst em   is  switc hed   OF F .   I n  the  sim ula te d  bifurc at ions   diag ram s,  ther e  are   nT   per i od ic   orbits  w hen  t he  c ontrol   pa ra m et er  K s   is  c hanged,  w hich  a re   not  obser ved  i n  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l         Buck c onvert er  controll ed  wi th Z AD  an d  FP IC for   DC - DC  signal re gu l ation   ( Fredy  E. H oyos Vela sco )   373   the  ex pe rim en ta l  resu lt s,  as   the  sam pling  w ou l d  ha ve   to  be   sync hro nized  i n  th e  real  m od el   as  i n    the  sim ulatio n.  H ow e ver,  there  a re  nois es  that  are  a dd e d  to  t he  r eal   sign al s.  F igure  11   ( b)   sh ow s     the  bi furcati on  diag r am   ob ta ined   with   the  e xp e rim ental   test  on  a  Te ktr onix  TDS2 014  os ci ll os co pe,  c hanne l   on e   (C H1)  with  a   gai n  of  5  volt s  pe r  div isi on.  The refo re,  t he  si gn al   has   low  er ror  i n  t he   ste ady  sta te   operati on   for  values  cl os e  to 2 .  Figure 12 show s   the er r or  obtai ne d  i n  the experim ental  test . Th is imag e w as obtai ne d  by  us in g  the  ac quisi ti on   interfac e  with  boar d  DS110 4.   T h e  error   ob ta i ned  is  le ss  than  3 %  for  al l  K s   value s   gr eat er  tha n 0.7; t hus,  w e  can  conclu de  th at  the c on t ro ll er  r e gu la te s  well  th e outp ut volt ag e of  the  circ uit.         (a)       (b)     Figure  11. Bif urcat ion s   dia gr a m   in  υ c   vs.  K s :  (a) s i m ulati on  test ,   and ( b) ex pe rim ental  test   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   1693 - 6930   TELK OMN IKA   Tel ec omm u n   C om pu t El  Con t ro l ,  V ol.  18 ,  No.  1 ,  Fe bruary  2 02 0:    365   -   375   374       Figure  12. E xp erim ental  b ifurcat ion s  diag ra m  err or   vs   K s       5.   CONCL US I O N   The  Z A D  a nd   FP IC  co ntr ollers  im ple m ent ed  dig it al ly   in  a  D SP  m eet   the  re quirem e nts  of   fix e d  fr e qu e ncy  s witc hing,  r obus tn ess  an d  good  perform ance  in  DC  sig nal  re gu la ti on  ta s ks .   Bi furcati on  di agr am s   of  the   ou t pu t   volt age   υ c   are   sho wn  for  a   range   of   the   co ntr ol  par am et er  K s   bet ween  (0  a nd  2),  it   is   co ncl ude d  that  the  sim ulate d  a nd  the  exp e rim ental   resu lt s  are   qua li ta ti vely   and   qu a ntit at ively   si m il ar.  Bi fu rc at ion  diag ram s  ob ta i ned  e xperim ental ly   fo r   re gul at ion  of  DC   si gn al s   with  N = 1 ,   it   is  c oncl uded   that  f or  la r ge  values   of  K s   the  syst e m   regulat es  well   with   er rors  i n  volt age   le ss  t han  0.5 %.   If  the   va lu e  of  K s   is   re du c e d,     an  a rea  is   reac hed  w he re  t he  syst e m   beg ins   to  re gula te   wit h  gr eat e r  e rror,   sho wing  nT   pe ri od ic   os ci ll at io ns .  The n,   when  re du ci ng  the  pa r a m et er  K s   furthe r  s om e  chao ti c  dynam ic s  are  pr e sente d  a nd  there fore  gr ea te r   instabil it y.  Th e  crit ic al   value  o f  sta bili ty   cal culat ed  nu m erical ly   was  ver ifie d  exp e rim ental l y,   bei ng     an  im po rtant  pa rt of the  d e sig n  in  the e xperi m ental  p r oto ty pe.       ACKN OWLE DGE MENT S   This  w ork  w as  suppo rted  by  the  Un i ve rsida d  N aci on al   de  Col ombia - Se de  Me de ll ín,  unde r    the  pr oj ect s  H ERM ES - 3467 1  a nd  HERM ES - 36911  an d  the  Un i ver si da d  Ca tóli ca  de   Ma nizal es  ( A cadem i c   Trainin g  Un it   in  Natur al   S ci ences  an d  Ma them a ti cs)  with  the  Re se arch   Group  on  Tech nolo gical   and  En vironm ental   De velo pm ent s  G ID T A.  T he   auth ors  tha nk  the   Sc hool  of   Ph ysi cs,   th e  So i l  Mi cr obiolog y   Lab or at ory   of  t he  Fac ulty   of   Agrar ia n  Scie nc es,  an d  the  D epar tm ent  of   E le ct rical   Energ y  and   Au t om ation   of   the Unive rsida d Naci onal  d e   Colom bia f or t he valua ble  help  to  con du ct  t hi s r esearc h.       REFERE NCE S   [1]   J.  H.  B.   Dea ne   a nd  D.  C.   H amill ,   “ Anal y sis,  Sim ula ti on   and  Exp eri m ent a l  Stud y   of  Chaos   in  th e  Buck  Converter, ”  in  21st  Annua l  I EE E   Confe ren ce on  Pow er  E le c tronic s Spe ci al ists ,   pp .   491 – 498 ,   1 990.   [2]   E.   Fos sas  and  G .   Oliva r ,   “ Stud y   of  Chaos   in  the   Buc k  Convert er ,”  IEEE  Tr ans.   Circ uit s  S y st .   I  Fundam .   The or y   Appl. ,   vol. 43, n o.   1 ,   pp .   13 – 25 ,   1996.   [3]   A.  El  Aroudi,   F.  Angulo,   G.  Ol iv ar,   B .   G.   M.  Rob ert ,   and   M.  Feki ,   “ Stabi lizing  a  T wo - ce ll  DC - DC  Buck  Conver ter   b y   Fixed  Poin t  I nduce d  Con trol, ”  Int .   J. B i furc .   Chaos,   vol. 19,  no.   06 ,   pp .   2043 – 2057,   Jun.   200 9.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.