T E L K O M N I K A ,   V o l . 9 ,   N o . 1 ,   A p r i l   2 0 1 1 ,   p p .   7 3 ~ 8 0   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           7 3       R e c e i v e d   J a n u a r y   6 th ,   2 0 1 1 ;   R e v i s e d   M a r c h   1 1 th ,   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   A p r i l   7 th ,   2 0 1 1   C u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   C o s i n e   F u n c t i o n s   f o r   M u l t i h o p   D o p p l e r   S p e c t r u m   M o d e l i n g         T i t i e k   S u r y a n i * 1   a n d   G a m a n t y o   H e n d r a n t o r o 2   1 , 2 D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   I n s t i t u t   T e k n o l o g i   S e p u l u h   N o p e m b e r   Su r a b a y a   Ka m p u s   I T Su k o l i l o ,   Su r a b a y a   6 0 1 1 1 ,   Ph o n e / F a x .   + 6 2   3 1   5 9 4 7 3 0 2 / 5 9 3 1 2 3 7   e - m a i l   :   t i t i k s @ e e . i t s . a c . i d * 1 ;   g a m a n t y o @ e e . i t s . a c . i d 2       A b s t r a k   Sa l a h   s a t u   k a r a k t e r i s t i k   k a n a l   y a n g   m e n c i r i k a n   k a n a l   w i r e l e s s   a d a l a h   s p e k t r u m   D o p p l e r .   Pa d a   d i v e r s i t a s   k o o p e r a t i f ,   s a l a h   s a t u   c a b a n g n y a   d i m u n g k i n k a n   t e r d i r i   d a r i   b e b e r a p a   r e l a y   b e r g e r a k   s e h i n g g a   m e m b e n t u k   l i n k   m u l t i h o p ,   d i m a n a   t i a p   h o p - n y a   m e m b e r i k a n   k o n t r i b u s i   p e r g e s e r a n   D o p p l e r .   Bi l a   d i g u n a k a n   r e l a y   a m p l i f y - a n d - f o r w a r d   ( A F ) ,   p e r g e s e r a n   D o p p l e r   t e r s e b u t   a k a n   d i t e r u s k a n   d a n   m a k i n   b e r t a m b a h   s a m p a i   u j u n g   a k h i r   l i n k .   Be s a r n y a   p e r g e s e r a n   D o p p l e r   m e m p e n g a r u h i   l a j u   p e r u b a h a n   k a n a l   t e r h a d a p   w a k t u   y a n g   m e r u p a k a n   t a n t a n g a n   d a l a m   d e s a i n   k o m u n i k a s i   b e r g e r a k   p i t a   l e b a r .   O l e h   k a r e n a   i t u ,   p a r a m e t e r   D o p p l e r   s a n g a t   p e n t i n g   d a n   h a r u s   d i p e r h a t i k a n   d a l a m   d i s a i n   d a n   a n a l i s a   s i s t e m   k o m u n i k a s i   b e r g e r a k   p i t a   l e b a r .   Sa y a n g n y a ,   p e r n y a t a a n   b e n t u k   t e r t u t u p   d a r i   s p e k t r u m   D o p p l e r   t e r s e b u t   s e c a r a   m a t e m a t i s   s u l i t   d i t u r u n k a n   k a r e n a   t e r d a p a t   f u n g s i   k h u s u s   d a l a m   i n t e g r a s i ,   y a i t u   f u n g s i   i n t e g r a l   e l i p t i k   l e n g k a p .   U n t u k   m e n g a t a s i   m a s a l a h   i n i ,   d i g u n a k a n   m e t o d e   c u r v e - f i t t i n g   b e r b a s i s   l e a s t - s q u a r e .   Pa d a   p r o s e s   i n i ,   d i u s u l k a n   d u a   f u n g s i   y a i t u   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   d a n   c o s i n e   s e b a g a i   f u n g s i   p e n d e k a t a n .   Se l a n j u t n y a ,   d a r i   u j i   d i v e r g e n s i   Ku l l b a c k - L e i b e r   j u g a   d a p a t   d i t u n j u k k a n   b a h w a   k e d u a   f u n g s i   y a n g   d i u s u l k a n ,   y a i t u   f u n g s i   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   d a n   c o s i n u s   m e m p u n y a i   p e n d e k a t a n   y a n g   b a i k   u n t u k   d i g u n a k a n   s e b a g a i   p e m o d e l a n   s p e k t r u m   D o p p l e r   d a r i   k a n a l   b e r g e r a k   m u l t i h o p   d e n g a n   a s u m s i   b a h w a   p e n g u a t a n   r e l a y   AF   d i n o r m a l i s a s i   b e r h a r g a   1   d a n   s e m u a   t e r m i n a l   b e r g e r a k   d i a s u m s i k a n   b e r p i n d a h   d e n g a n   k e c e p a t a n   y a n g   h a m p i r   s a m a .       K a t a   k u n c i :   s p e k t r u m ,   D o p p l e r ,   p e m o d e l a n ,   m u l t i h o p ,   b e r g e r a k         A b s t r a c t       W i r e l e s s   c h a n n e l s   a r e   c h a r a c t e r i z e d   a m o n g   o t h e r s   b y   t h e i r   D o p p l e r   s p e c t r u m .   I n   t h e   c o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y ,   o n e   o f   d i v e r s i t y   b r a n c h   m a y   c o n s i s t   o f   s e v e r a l   m o b i l e   r e l a y s   f o r m i n g   m u l t i h o p   l i n k   w h i c h   e a c h   h o p   i n t r o d u c e d   D o p p l e r   s h i f t .   W i t h   e m p l o y i n g   a m p l i f y - a n d - f o r w a r d   ( AF )   r e l a y s ,   t h e   D o p p l e r   s h i f t   k e e p s   a c c u m u l a t i n g   t o   t h e   e n d   o f   t h e   l i n k .   D o p p l e r   s h i f t   v a l u e   a f f e c t s   t h e   t i m e   v a r y i n g   c h a n n e l   r a t e ,   w h i c h   i s   a   c h a l l e n g e   i n   b r o a d b a n d   m o b i l e   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m .   H e n c e ,   t h e   D o p p l e r   p a r a m e t e r   i s   v e r y   i m p o r t a n t   a n d   m u s t   b e   c o n s i d e r e d   i n   b r o a d b a n d   m o b i l e   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m   d e s i g n   a n d   a n a l y s i s .   U n f o r t u n a t e l y ,   i t   i s   h a r d   t o   d e r i v e   t h e   e x p r e s s i o n s   o f   t h i s   D o p p l e r   s p e c t r u m   i n   a   c l o s e d   f o r m   s i n c e   a   s p e c i a l   f u n c t i o n   u n d e r   i n t e g r a t i o n   s u c h   a s   c o m p l e t e   e l l i p t i c   i n t e g r a l   e x i s t s .     T o   s o l v e   t h i s   p r o b l e m ,   c u r v e - f i t t i n g   m e t h o d   b a s e   o n   l e a s t - s q u a r e   i s   u s e d .   I n   t h i s   p r o c e s s ,   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   c o s i n e   f u n c t i o n s   a r e   p r o p o s e d   a s   a n   a p p r o x i m a t i o n   f u n c t i o n .   T h e n ,   f r o m   Ku l l b a c k - L e i b e r   d i v e r g e n c e   t e s t ,   i t   i s   s h o w e d   t h a t   b o t h   p r o p o s e d   f u n c t i o n s ,   i . e . ,   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   c o s i n e   f u n c t i o n s   h a v e   a   g o o d   a p p r o x i m a t i o n   a s   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l i n g   o f   M u l t i h o p   m o b i l e   c h a n n e l   w i t h   a l l   g a i n   r e l a y s   a s s u m e d   a s   1   a n d   a l l   m o b i l e   t e r m i n a l s   a r e   a s s u m e d   m o v e   w i t h   a l m o s t   s a m e   v e l o c i t y .             K e y w o r d s :   D o p p l e r ,   s p e c t r u m ,   m o d e l i n g ,   m u l t i h o p ,   m o b i l e           1 .   I n t r o d u c t i o n   M u l t i h o p   t r a n s m i s s i o n   w i t h   m o v i n g   r e l a y s   h a s   a t t r a c t e d   m a n y   r e s e a r c h e r s   r e c e n t l y   [ 1 ] - [ 8 ] ,   d u e   t o   i t s   u s e f u l   a p p l i c a t i o n s   t o   a c h i e v e   c o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y   f o r   m o b i l e   c e l l u l a r   c o m m u n i c a t i o n   n e t w o r k .   S u c h   m o b i l e - t o - m o b i l e   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m s   d i f f e r   f r o m   t h e   c o n v e n t i o n a l   c e l l u l a r   r a d i o     s y s t e m s ,     w h e r e     o n e     t e r m i n a l ,   i . e . ,   t h e     b a s e     s t a t i o n     ( B S ) ,   i s     s t a t i o n a r y ,     a n d     o n l y     t h e     m o b i l e     s t a t i o n     ( M S )     i s     m o v i n g .   A l t h o u g h   t h e   r e c e i v e d   s i g n a l   e n v e l o p e   i s   R a y l e i g h   f a d e d   u n d e r   n o n - l i n e - o f - s i g h t   ( N - L O S ) ,     b u t   t h e   m o b i l i t y   o f   b o t h   t h e   t r a n s m i t t e r   ( T x )   a n d   t h e   r e c e i v e r   ( R x )   r e s u l t   i n   d i f f e r e n t   s t a t i s t i c a l   p r o p e r t i e s   o f   t h e   w i r e l e s s   c h a n n e l s ,   a s   d e s c r i b e d   f i r s t   b y   A k k i   a n d   H a b e r   [ 9 ] ,   [ 1 0 ] .   T h e i r   a n a l y s i s   w a s   e x t e n d e d   b y   P a t e l   e t   a l   i n   [ 1 1 ]   b y   p r o p o s i n g     a     d o u b l e - r i n g     m o d e l ,   w h i c h   w a s   d e v e l o p e d   b a s e d   o n   s u m - o f - Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                  I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   1 ,     A p r i l   2 0 1 1   :     7 3     8 0   7 4 s i n u s o i d s       ( S o S )   m o d e l s     f o r     s i m u l a t i n g     s u c h   c h a n n e l s .   T h i s   c h a n n e l   m o d e l   w a s   u s e d   b y   P a t e l   a n d   S t u b e r   i n   [ 1 2 ]   t o   a n a l y z e   s t a t i s t i c a l   p r o p e r t i e s   o f   a m p l i f y - a n d - f o r w a r d   r e l a y   f a d i n g   c h a n n e l s .   T h e y   n o t i c e d   t h a t   t h e   c l o s e d   f o r m   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   f o r   d u a l - h o p ;   i . e .   a   m o b i l e - t o - m o b i l e   l i n k   i n   c a s c a d e   w i t h   a   m o b i l e - t o - f i x e d   l i n k ,   r e m a i n s   a n   o p e n   p r o b l e m .       I n   c o o p e r a t i v e   c o m m u n i c a t i o n s ,   t h e r e   a r e   d i f f e r e n t   s c h e m e s   o f   r e l a y   p r o c e s s i n g   n a m e l y   n o n - r e g e n e r a t i v e   a m p l i f y - a n d - f o r w a r d   ( A F )   a n d   r e g e n e r a t i v e   d e c o d e - a n d - f o r w a r d   ( D F )   s c h e m e .   T h e   A F   s c h e m e   i s   w i d e l y   u s e d   f o r   c o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y ,   b e c a u s e   i t   i s   e a s y   t o   i m p l e m e n t   a n d   y i e l d s   s a t i s f a c t o r y   p e r f o r m a n c e   [ 1 ] .   I t   a l s o   h a s   b e e n   s h o w n   i n   [ 1 ] ,   [ 1 3 ]   t h a t   t h e   A F   s c h e m e   h a s   a b o u t   t h e   s a m e   q u a l i t y   a s   t h e   D F   s c h e m e   a t   h i g h   S N R   i n   t e r m s   o f   i t s   d i v e r s i t y .     I n   t h e   c o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y ,   t h e   c o o p e r a t i o n   l i n k ,   w h i c h   i s   t h e   l i n k   t h a t   i n v o l v e s   t h e   u s e   o f   r e l a y s ,   i s   o f t e n   m o d e l e d   a s   d u a l - h o p ,   i . e .   u s i n g   a   s i n g l e   r e l a y .   W h e r e a s   i n   c e l l u l a r   n e t w o r k s ,   a   l o t   o f   m o b i l e   t e r m i n a l s   a r e   a v a i l a b l e   t o   p e r f o r m   t h e   r e l a y i n g   f u n c t i o n   a n d   a s s i s t   o t h e r   u s e r s   i n   d e l i v e r i n g   t h e   m e s s a g e   t o   r e m o t e   d e s t i n a t i o n .   T h e   e x i s t i n g   d u a l - h o p   m o d e l   c a n   b e   e x t e n d e d   t o   M u l t i h o p   w i t h   a l l   t h e   r e l a y s   a s s u m e d   t o   b e   m o b i l e .   T o   t h e   b e s t   o f   o u r   k n o w l e d g e ,   v e r y   l i t t l e   i s   k n o w n   a b o u t   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   o f   M u l t i h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   l i n k ,   b a s e d   u p o n   w h i c h   a   c o o p e r a t i v e   s y s t e m   c a n   b e   e v a l u a t e d .       O u r   c o n t r i b u t i o n   i s   t w o - f o l d :   f i r s t l y ,   a   n e w   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l s   f o r   m o b i l e - t o - m o b i l e   M u l t i h o p   c h a n n e l s   w i t h   A F   r e l a y s   a n d   s e c o n d l y ,   a   m a t h e m a t i c a l   a p p r o x i m a t i o n   o f   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l .     M o r e   s p e c i f i c a l l y ,   a s   m o t i v a t e d   b y   t h e   f a c t   t h a t   t h e   o v e r a l l   c h a n n e l   c o n s i s t s   o f   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l s   i n   c a s c a d e   a n d   c a n   b e   m o d e l e d   a s   t h e   p r o d u c t   o f   N   f a d i n g   a m p l i t u d e s ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   i s   a l s o   p r o p a g a t e d   a n d   a c c u m u l a t e d   f r o m   o n e   h o p     t o   t h e   n e x t   u p   t o   t h e   d e s t i n a t i o n .   C l o s e d - f o r m   e x p r e s s i o n s   o f   t h e   d e s i r e d   D o p p l e r   s p e c t r u m   s e e m   t o   b e   i n t r a c t a b l e   a n d   t h e r e f o r e ,   w e   u s e   c u r v e - f i t t i n g   m e t h o d   t o   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   c u r v e   w h i c h   w a s   o b t a i n e d   n u m e r i c a l l y .   W e   p r o p o s e   f u n c t i o n s   a s   s i m p l e   a n d   c l o s e   a s   p o s s i b l e   t o   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   a s   m o d e l s .         T h e   r e m a i n d e r   o f   t h e   p a p e r   i s   o r g a n i z e d   a s   f o l l o w s .   S e c t i o n   I I   i n t r o d u c e s   t h e   M u l t i h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l s   b a s e d   o n   d o u b l e - r i n g   s c a t t e r e r s   c h a n n e l   m o d e l   a n d   p r e s e n t s   n u m e r i c a l   r e s u l t s   o f   M u l t i h o p   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l s .   T h e   c u r v e - f i t t i n g   f o r m u l a t i o n   o f   t h e   m o d e l   i s   p r e s e n t e d   i n   s e c t i o n   I I I .   R e s u l t s   a n d   a n a l y s i s   a r e   p r e s e n t e d   i n   s e c t i o n   I V .   F i n a l l y ,   s e c t i o n   V   p r o v i d e s   s o m e   c o n c l u s i o n s .       2 .     P r o p o s e d   M e t h o d     I n   t h i s   s e c t i o n ,   M u l t i h o p   m o b i l e   t o   m o b i l e   f a d i n g     c h a n n e l     a n d     d o p p l e r     s p e c t r u m   a r e   e x p l o r e d .     2 . 1   M u l t i h o p   M o b i l e   t o - M o b i l e   F a d i n g   C h a n n e l   T h e   M u l t i h o p   u p l i n k   t r a n s m i s s i o n   i s   d e p i c t e d   i n   F i g u r e   1   i n   w h i c h   a   m o b i l e   s t a t i o n   ( M S )   s o u r c e   ( i . e .     n o d e   0 )   i s   s e n d i n g     d a t a     v i a     M S   r e l a y s     ( i . e .     n o d e   1     t o     n o d e   1 - n )   t o   t h e   b a s e   s t a t i o n   ( B S )   d e s t i n a t i o n   ( i . e .   n o d e   n ) .   T h e   M u l t i h o p   t r a n s m i s s i o n   m i g h t   c o n s t i t u t e   a   d i v e r s i t y   b r a n c h   i n   c o o p e r a t i v e   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m s   t h a t   c o n s i s t   o f   r e l a y i n g   c h a i n   p r o c e s s .     F o r   t h e   s c e n a r i o   o f   n - h o p   t r a n s m i s s i o n s ,   S ,   R 1 , . . , R n - 1 ,   a n d   D ,   d e n o t e   a   s o u r c e ,   r e l a y s ,   a n d   a   d e s t i n a t i o n ,   r e s p e c t i v e l y .   T h e   t r a n s m i t t e d   s i g n a l ,   ,   a f t e r   t r a v e l l i n g   t h r o u g h   - h o p   c h a n n e l   a n d   a m p l i f y   ( 1 )   t i m e s   b y   ( 1 )   w i l l   r e c e i v e d   a s   .     A n a l o g y   w i t h   r e c e i v e d   s i g n a l   ,   o f   t w o - h o p   a s   d e r i v e d   i n   [ 1 2 ] ,   t h e   r e c e i v e d   s i g n a l ,   ,   o f   - h o p s   c a n   b e   d e r i v e d   a s   f o l l o w :         1 = ( ) 1 + 1       2 = ( ) 2 1 + 2       3 = 3 2 + 3                                                           = 1 +       = 1 = 1 + 1 = 1 = + 1 +           ( 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   C o s i n e   F u n c t i o n s   f o r   M u l t i h o p   D o p p l e r   S p e c t r u m   .     ( T i t i e k   S u r y a n i )   7 5                                 F i g u r e   1 .     T h e   M u l t i h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   f a d i n g   c h a n n e l s       W h e r e     d e n o t e s     t h e     r e l a y     g a i n   w h i c h   i s   a s s u m e d   t o   b e   i d e n t i c a l   f o r   a l l   r e l a y s ;   ,   t h e     f a d i n g   f a c t o r     o f     t h e   - t h   c h a n n e l   t h a t   e n d s   a t   t h e   - t h   r e l a y   o r   t h e   B S   f o r   = ,     t h e     z e r o - m e a n     a d d i t i v e   w h i t e     G a u s s i a n     n o i s e   ( A W G N )   w i t h   p o w e r     s p e c t r u m   d e n s i t y     a t   n o d e   .   A l l   n o i s e s   i n t r o d u c e d   b y   r e l a y s   a n d   d e s t i n a t i o n   h a v e   i d e n t i c a l   s t a t i s t i c   p r o p e r t i e s .   F o r   f u r t h e r   d i s c u s s i o n s   a n d   s i m p l i c i t y ,   t h e   t i m e   i n d e x   i s   d r o p p e d .   A l l   a m p l i f i c a t i o n   f a c t o r s   a r e ,   ,   c o n s i d e r e d   f i x e d   a n d   n o r m a l i z e d   a s   1 .     F o r   t h e   m o b i l e - t o - m o b i l e   f a d i n g   c h a n n e l ,   t h e   c h a n n e l   m o d e l s   d e r i v e d   b y   P a t e l   i n   [ 1 1 ]     i s   u s e d   a n d   i s   g i v e n   a s :            = e x p 2 c o s + c o s + ,         ( 2 )     = /   a n d   = /   a r e   t h e   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t s   i n d u c e d   b y   t h e   m o t i o n   o f   t h e   s o u r c e   M S   w i t h   s p e e d     a n d   c a r r i e r   w a v e l e n g t h   o f     a n d   t h e   r e l a y   M S   w i t h   s p e e d     a n d   c a r r i e r   w a v e l e n g t h   o f   .   T h e   i n d e x     r e f e r s   t o   t h e   - t h   p r o p a g a t i o n   p a t h   f r o m   t h e   T x   t o   t h e   t h   o f   t h e       s c a t t e r e r s   l o c a t e d   o n   t h e   T x   e n d   r i n g ,   w h i l e   t h e   i n d e x     r e f e r s   t o   t h e   - t h   p a t h s   f r o m   t h e   t h   o f   t h e     s c a t t e r e r s   o n   t h e   R x   e n d   r i n g   t o   t h e   R x .   T h e   p h a s e s   , ~ ,   a r e   i n d e p e n d e n t   f o r   a l l   ,   p a i r s .   a n d   a r e   a n g l e s   o f   d e p a r t u r e   a n d   a r r i v a l     t o / f r o m   t h e   s c a t t e r e r s   a t   T x   a n d   R x ,   r e s p e c t i v e l y .   F o r   t h e   M u l t i h o p   l i n k ,   e a c h   m o b i l e - t o - m o b i l e   h o p   i s   m o d e l e d   b y   t h i s   c h a n n e l   m o d e l   w h i c h   i s   e s s e n t i a l l y   t h e   s a m e   m o d e l   f o r   a l l   h o p s   e x c e p t   t h e   l a s t   o n e .   T h e   l a s t   h o p   i s   a   m o b i l e - t o - f i x e d   c h a n n e l ,   f o r   w h i c h   a   s i n g l e - r i n g   s c a t t e r e r s   c h a n n e l   m o d e l   d e r i v e d   i n   [ 1 4 ]   i s   u s e d .   T h i s   c h a n n e l   m o d e l   i s   g i v e n   a s   f o l l o w :        = e x p 2 c o s +                                                             ( 3 )     T h e   d y n a m i c   b e h a v i o r   o f   t h e   r e l a y   c h a n n e l s   c a n   b e   d e s c r i b e d   b y   t h e   t i m e   a u t o c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n .   F o r   d u a l - h o p   t r a n s m i s s i o n   w i t h   f i x e d   g a i n   r e l a y ,   t h e   o v e r a l l   i m p u l s e   r e s p o n s e   i s   = ,   w h e r e   i s   a   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l   a n d     i s   a   m o b i l e - t o - f i x e d   c h a n n e l .   T h e   a u t o - c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   c a n   b e   d e r i v e d   a s   f o l l o w ,          ! = E " + ! + !                           = 2   !   !                   ( 4 )                         = 2 # 2 ! # 2 ! # 2 !       D   v 1     S   v 2   R 1     v n + 1   R n - 1               S c a t t e r e r s   1   P   p   Q   1     q   .   .   .   .   .   .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                  I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   1 ,     A p r i l   2 0 1 1   :     7 3     8 0   7 6 W h e r e   E " .   i s   t h e   s t a t i s t i c a l   e x p e c t a t i o n   o p e r a t o r ,   *   d e n o t e s   t h e   c o m p l e x   c o n j u g a t e   o p e r a t o r ,   # .   i s   t h e   z e r o t h   o r d e r   B e s s e l   f u n c t i o n   o f   t h e   f i r s t   k i n d .   I n   t h e   s e c o n d   l i n e   w e   e x p l o i t   t h e   i n d e p e n d e n c e   o f     a n d     a n d   s u b s t i t u t e   b o t h   a u t o c o r r e l a t i o n   v a l u e   o f     a n d     w i t h     a u t o c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   o f   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l   d e r i v e d   i n   [ 1 1 ]     a n d   a u t o c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   o f   m o b i l e - t o - f i x e d   d e r i v e d   i n     [ 1 4 ] ,   r e s p e c t i v e l y .     H e n c e   t h e   a u t o c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   c o n s i s t s   o f   t h e   p r o d u c t   o f   t h r e e   B e s s e l   f u n c t i o n s   w i t h   d i f f e r e n t   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t   i . e . ,     a s   s o u r c e   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t ,     a n d     a s   r e l a y   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t   a t   r e c e i v e d   a n d   t r a n s m i t t e d   s t a t e ,   r e s p e c t i v e l y .       F o r     n - h o p     l i n k ,     f r o m     ( 1 )     t h e     o v e r a l l     r e s p o n s e     i m p u l s e s   a r e   ,   w i t h   ,     $ = 1 , , 1 ,   b e i n g   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l s ,   m e a n w h i l e     i s   a   m o b i l e - t o - f i x e d   c h a n n e l .   A n a l o g o u s   t o   t h e   d u a l - h o p ,   t h e   a u t o - c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   c a n   b e   d e r i v e d   a s   t h e   p r o d u c t   o f     B e s s e l   f u n c t i o n s   w i t h   p o s s i b l y   d i f f e r e n t   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t s   a n d   a   s c a l e   f a c t o r   o f     2 .        ! = 2  # 2 !                   ( 5 )     F o l l o w i n g   t h e   e x p r e s s i o n   f o r   r m s   D o p p l e r   s p r e a d ,   ,   a s   d e f i n e d   i n   [ 1 5 ] ,   i t   c a n   b e   e a s i l y   s h o w n   t h a t   f o r   - h o p ,       & =                               ( 6 )       2 . 2   M u l t i h o p   M o b i l e   t o - M o b i l e   D o p p l e r   S p e c t r u m   M o t i o n   i n   t h e   w i r e l e s s   e n v i r o n m e n t   c a u s e s   t r a n s m i t t e d   s i g n a l s   t o   e x p e r i e n c e   D o p p l e r   s h i f t s   a s   a   f u n c t i o n   o f   t h e   a n g l e   b e t w e e n   t h e   s i g n a l   p a t h   a n d   t h e   d i r e c t i o n   o f   m o t i o n .   S i g n a l s   a r r i v e   a t   a   r e c e i v e r   f r o m   m o v i n g   m o b i l e   t e r m i n a l s   t h r o u g h   r e f l e c t i o n s   f r o m   s c a t t e r e r s   a t   a   v a r i e t y   o f   a n g l e s .   T h e   s u p e r p o s i t i o n   o f   t h e s e   m u l t i p a t h   c o m p o n e n t s   h a v i n g   v a r i o u s   D o p p l e r   s h i f t s   a n d   r e c e i v e d   p o w e r s   a p p e a r s   a s   t h e   D o p p l e r   s p r e a d   a t   t h e   r e c e i v e r .   T h e   e x a c t   f o r m   o f   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   d e p e n d s   o n   t h e   w i r e l e s s   e n v i r o n m e n t   a n d   i s   t h e   F o u r i e r   t r a n s f o r m   o f   a u t o - c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   o f   t h e   c h a n n e l   r e s p o n s e .   T h e   w e l l - k n o w n   U - s h a p e d   D o p p l e r   s p e c t r u m   o f   c e l l u l a r   c h a n n e l s   [ 9 ]   w i t h   n o r m a l i z e d   c h a n n e l   p o w e r   g a i n   i s   g i v e n   b y ,     '  =                                                                                                                                  ( 7 )     T h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   f o r   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l s   i s   o b t a i n e d   a s   f u n c t i o n   o f   t h e   c o m p l e t e   e l l i p t i c   i n t e g r a l   o f   t h e   f i r s t   k i n d   ( .   g i v e n   b y   [ 1 1 ] ,       '  = ( )  1  *                               ( 8 )     w h e r e   + = /   i s   d e f i n e d   a s   t h e   D o p p l e r   r a t i o   f o r   s i n g l e - h o p .   H e n c e   f o r   - h o p   t h a t   c o n s i s t s   o f   1 - h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   f a d i n g   c h a n n e l s   a n d   1 - h o p   o f   m o b i l e - t o - f i x e d   f a d i n g   c h a n n e l ,   t h e   c l o s e d - f o r m   o f   D o p p l e r   s p e c t r u m   m a y   b e   o b t a i n e d   b y     c o n v o l u t i o n   o p e r a t i o n   o f   1   D o p p l e r   S p e c t r u m   i n   ( 8 )   a n d   a   D o p p l e r   s p e c t r u m   i n   ( 7 )   a s   m e n t i o n e d   a b o v e   o r   b y   t a k i n g   t h e   F o u r i e r   T r a n s f o r m   o f   ( 5 ) ,   i . e .   p r o d u c t s   o f   2 1   B e s s e l   f u n c t i o n s .   U n f o r t u n a t e l y ,   f i n d i n g   a   c l o s e d   f o r m   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   u s i n g   e i t h e r   o f   t h e s e   t w o   o p e r a t i o n s   i s   r i g o r o u s   s i n c e   t h e y   b o t h   h a v e   a   s p e c i a l   f u n c t i o n   u n d e r   i n t e g r a t i o n   s u c h   a s   c o m p l e t e   e l l i p t i c   i n t e g r a l .   T o   o v e r c o m e   t h i s   d i f f i c u l t y ,   w e   u s e   n u m e r i c a l   m e t h o d   t o   f i n d   t h e   s h a p e   o f   D o p p l e r   s p e c t r u m .   F o r   s i m p l i c i t y ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   i s   e x p r e s s e d   a s   f u n c t i o n s   o f   t h e   s o u r c e   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t     a n d   t h e   D o p p l e r   r a t i o   +   d e f i n e d   a s ,       + = ;         $ = 1 , , ;   = 2 2                 ( 9 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   C o s i n e   F u n c t i o n s   f o r   M u l t i h o p   D o p p l e r   S p e c t r u m   .     ( T i t i e k   S u r y a n i )   7 7 W h e r e     i s   t h e   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t   o f   t h e   l a s t   h o p .   T h e r e f o r e ,   f o r   f i x e d   ,   d i f f e r e n t   s p e c t r u m   i s   o b t a i n e d   b y   v a r y i n g   t h e   D o p p l e r   r a t i o   + .   F o r   d u a l - h o p   c h a n n e l s ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   h a s   s e v e r a l   s h a p e s   w i t h   o n e   o r   t w o   d i s c o n t i n u i t y   p o i n t s   a n d   i s   m o r e   c o n c e n t r a t e d   n e a r   z e r o s   w h e n   t h e   t w o   m o b i l e   s t a t i o n s   m o v e   w i t h   a l m o s t   i d e n t i c a l   v e l o c i t y   v e c t o r s   [ 1 2 ] .   F o r   - h o p   l i n k ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   i s   o b t a i n e d   b y   t a k i n g   t h e   F o u r i e r   T r a n s f o r m   o f   t h e   t i m e s   a u t o c o r r e l a t i o n   f u n c t i o n   t h a t   c o n s i s t s   o f   t h e   p r o d u c t   o f   2 1   B e s s e l   f u n c t i o n s .   I f   +   h a s   a   v a l u e   n e a r   o n e   ( s u c h   a s ,   + = 1 ± 0 . 2 ) ,   i t   m e a n s   a l l   m o b i l e   s t a t i o n s   m o v e   w i t h   a l m o s t   i d e n t i c a l   v e l o c i t y .   T h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   h a s   a   s h a p e   a s   s e e n   i n   F i g u r e   2 .   T h i s   f i g u r e   s h o w s   t h a t   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   s h a p e   d o e s   n o t   c h a n g e   m u c h   a n d   i s   s t i l l   c o n c e n t r a t e d     n e a r   z e r o   a s   i n   d u a l - h o p   ( i n   t h i s   f i g u r e ,   a l l   D o p p l e r   r a t i o   i s   s e t   t o   1   a n d   1 f   =   7 0   H z )   a n d   t h e   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t ,   , m a x f   i s   d e f i n e d   a s :      = + +                                         ( 1 0 )       F i g u r e   2 .     D o p p l e r   s p e c t r u m   f o r   M u l t i h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l   w i t h   d o u b l e - r i n g   s c a t t e r e r s       3 .     R e s e a r c h   M e t h o d   C u r v e - f i t t i n g   m e t h o d   i s   a p p l i e d   t o   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   o f   M u l t i h o p   m o b i l e - t o - m o b i l e   c h a n n e l   f o r   g e t t i n g   t h e   a p p r o x i m a t i o n   m o d e l s .   S e v e r a l   f u n c t i o n s   t h a t   b e s t   f i t   t h e   n o r m a l i z e d   D o p p l e r   s p e c t r u m   i n   t h e   l e a s t - s q u a r e   s e n s e   a r e   u s e d .     B a s e d   o n   f i g u r e   2 ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   s h a p e   c a n   b e   a p p r o x i m a t e d   w i t h   a   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   a   c o s i n e   f u n c t i o n s   a s   t h e   M u l t i h o p   n u m b e r   i n c r e a s e d .   S o   w i t h   t h i s   r e a s o n ,   w e   c h o o s e   t h e s e   f u n c t i o n s   t o   e x p r e s s   t h e   m o d e l s .   A n o t h e r   r e a s o n   t h a t   s u p p o r t s   t h i s   i d e a   ( c h o o s i n g   t h e   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   f u n c t i o n   f o r   t h e   a p p r o x i m a t i o n )   i s   d e s c r i b e d   a s   f o l l o w :         G i v e n   t h e   p r o d u c t   o f   M   B e s s e l   f u n c t i o n s :     , ! = # 2 !                                      ( 1 1 )   T h e n   i t s   F o u r i e r   T r a n s f o r m   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s :       - = ' ' '                                                           ( 1 2 )               - 8 0 0 - 6 0 0 - 4 0 0 - 2 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 0 . 0 2 5 0 . 0 3 0 . 0 3 5 0 . 0 4 0 . 0 4 5 f ( H z ) D o p p l e r   S p e c t r u m     2 - h o p 3 - h o p 4 - h o p 5 - h o p Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                  I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   1 ,     A p r i l   2 0 1 1   :     7 3     8 0   7 8 '   i s   a s   d e f i n e d   i n   ( 7 )   a n d   ( 8 )   a n d   *   d e n o t e s   c o n v o l u t i o n   o p e r a t o r .   T h i s   f o r m   r e s e m b l e s   t h a t   o f   p d f   ( p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n )   o f   a   r a n d o m   v a r i a b l e ,   w h i c h   i s   t h e   s u m   o f   .   i n d e p e n d e n t   r a n d o m   v a r i a b l e s   o f   t h e   s a m e   s h a p e   b u t   w i t h   d i f f e r e n t   p a r a m e t e r s .   C o n s e q u e n t l y ,   b y   i n v o k i n g   t h e   C e n t r a l   L i m i t   T h e o r e m   [ 1 6 ] ,   t h e   F o u r i e r   t r a n s f o r m   o f   t h e   p r o d u c t   ( 1 2 )   a p p r o a c h e s   a   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   f u n c t i o n .   T h i s   i s   t r u e   w h e n   .   i s   s u f f i c i e n t l y   l a r g e ,   i . e .   t h e   n u m b e r   o f   h o p s   w i t h   m o v i n g   r e l a y s   i s   l a r g e .     C o s i n e   f u n c t i o n   a l s o   p r o p o s e d   a s   a l t e r n a t i v e   m o d e l s   b e c a u s e   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   c u r v e   i s   n o n l i n e a r   a n d   t h e   s h a p e   a l s o   c l o s e   t o   h a l f   c y c l e   c o s i n e   f u n c t i o n ,   c o s   ,   t h a t   h a s   m a x i m u m   v a l u e   a t   = 0   i n   t h e   i n t e r v a l   / 2 / 2 .   C u r v e   f i t t i n g   w i t h   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   c o s i n e   f u n c t i o n s   i s   d o n e   b y   c h o o s i n g   s e v e r a l   c o e f f i c i e n t s   a s s o c i a t e   w i t h   D o p p l e r   p a r a m e t e r   s u c h   a s   m a x i m u m   D o p p l e r   s h i f t   a n d   n u m b e r   o f   h o p s .   C u r v e - f i t t i n g   p r o c e d u r e s   c a n   d e s c r i b e   a s   f o l l o w ,   1 .   F i r s t ,   t h e   b a s i c   e q u a t i o n   i s   s e t   u p   f o r   e a c h   a p p r o x i m a t i o n   f u n c t i o n ,     C u r t a i l e d - G a u s s i a n   f u n c t i o n :     '   =   ! e x p /   ;     | |                                          ( 1 3 )     C o s i n e   f u n c t i o n :     ' " = 0 c o s 2 1 /  # . $ ;       | |                                                                                                                      ( 1 4 )       E a c h   f u n c t i o n   h a s   s e v e r a l   i n d e p e n d e n t   v a r i a b l e s ,   c o n s i s t s   o f   0 , , 2 ,   a n d      f o r   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   0 , , 1 ,     a n d      f o r   c o s i n e .      i s   r e l a t e d   t o       a n d   +   t h r o u g h   e q u a t i o n   ( 1 0 ) .     a n d   +   a r e   d e f i n e d   f i r s t   w i t h   s e v e r a l   v a l u e   o f     f r o m   1 0   t o   6 0 0   H z   ( c o m m o n l y ,   D o p p l e r   s h i f t   i n   c e l l u l a r   s y s t e m   i s   i n   t h i s   r a n g e )   a n d   +   s e t   a s   r a n d o m   w i t h   + ~ 3 = 1 . 4 = 0 . 1 .   2 .   D o p p l e r   s p e c t r u m   i s   c o m p u t e d   a n d   p l o t t e d   b a s e d   o n   n u m e r i c a l   c o m p u t a t i o n ,   f o r   e a c h   .   3 .   E a c h   o f   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   c o s i n e   f u n c t i o n   i n   s t e p   1   i s   f i t t e d   t o   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   i n   s t e p   2   b a s e d   o n   l e a s t   s q u a r e s   m e t h o d s .   M a t l a b   t o o l b o x   p r o g r a m   n l i n f i t   i s   u s e d   i n   f i t t i n g   p r o c e s s .   4 .   F r o m   s t e p   3 ,   c o e f f i c i e n t s   i n   ( 1 3 )   a n d   ( 1 4 )   a r e   o b t a i n e d   f o r   s e v e r a l     a n d     v a l u e s .     5 .   E a c h   c o e f f i c i e n t   i n   s t e p   4   ( i . e . ,   0 , , )   i s   p l o t t e d   a s   f u n c t i o n   o f       f o r   d i f f e r e n t   .   6 .   A p p r o x i m a t i o n   f u n c t i o n s   w i t h   i n d e p e n d e n t   v a r i a b l e     a r e   c r e a t e d   f o r   e a c h   c o e f f i c i e n t   c u r v e   i n   s t e p   5 .     E a c h   c o e f f i c i e n t   i s   r e l a t e d   t o   s e v e r a l   c o e f f i c i e n t s   ( i . e . ,   2 ,   2 ,   2 ,   1 , 1 , 1 ,   5   a n d   5 )   t h r o u g h   f o l l o w i n g   e q u a t i o n s ,     0 = 5 + %     ;       = +       ;   = 1 + &                                                                                                                   ( 1 5 )     7 .   S t e p   5     6   a r e   r e p e a t e d   f o r   ( 2 ,   2 ,   2 ,   1 , 1 , 1 ,   5   a n d   5 )   c o e f f i c i e n t   c u r v e   a s   f u n c t i o n   o f   .   8 .   F r o m   s t e p 7 ,   a g a i n   b y   u s i n g   c u r v e - f i t t i n g   m e t h o d ,   e v e r y   c o e f f i c i e n t :   2 ,   2 ,   2 ,   1 , 1 , 1 ,   5   a n d   5   a r e   p r e s e n t e d   a s   f u n c t i o n   o f         a s   g i v e n   i n   t a b l e   I .       4 .     R e s u l t s   a n d   D i s c u s s i o n   I n   F i g u r e   3 ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   c u r v e   o b t a i n e d   f r o m   n u m e r i c a l   m e t h o d   a n d   f r o m   t h e   p r o p o s e d   m o d e l s   ( c u r t a i l e d   G u a s s i a n   a n d   c o s i n e )   f o r   m u l t i h o p   m o b i l e   c h a n n e l   s e e m   h a v e   a   g o o d   a p p r o x i m a t i o n .   F o r   t h i s   r e a s o n ,   t h e   K u l l b a c k - L e i b e r   d i v e r g e n c e   ( d e n o t e d   b y   6 '( )   i s   u s e d   t o   v a l i d a t e   t h e   m o d e l s .   H e r e ,   t h e   6 '(   i s   u s e d   a s   a   m e a s u r e   o f   t h e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   r e f e r e n c e   ( n u m e r i c a l )   D o p p l e r   s p e c t r u m   c u r v e   a n d   D o p p l e r   s p e c t r u m   c u r v e   o b t a i n e d   f r o m   p r o p o s e d   m o d e l s .   F r o m   [ 1 7 ]   i s   d e f i n e d :     6 '( 7 9 = 7 : l n ) * + * *                                                                                                                                                                               ( 1 6 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   C o s i n e   F u n c t i o n s   f o r   M u l t i h o p   D o p p l e r   S p e c t r u m   .     ( T i t i e k   S u r y a n i )   7 9 7 :   a n d   9 :   a r e   D o p p l e r   s p e c t r u m   f r o m   t h e   r e f e r e n c e   ( n u m e r i c a l )   a n d   t h e   p r o p o s e d   m o d e l s ,   r e s p e c t i v e l y .   T h e   K u l b a c k - L e i b e r   d i v e r g e n c e   i s   a l w a y s   n o n - n e g a t i v e   a n d   e q u a l   t o   z e r o   i f   a n d   o n l y   i f     7 = 9 .   S o ,   t h e   c l o s e r   6 '(   i s   t o   0 ,   t h e   b e t t e r   i s   t h e   a p p r o x i m a t i o n   o f   t h e   m o d e l   w i t h   t h e   t h e o r y .   T h e   r e s u l t s   o f   t h i s   c o m p a r i s o n ,   p r e s e n t e d   i n   T a b l e   I I ,   s h o w   t h a t   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   o f   o u r   m o d e l s   p r o v i d e s   a   g o o d   a p p r o x i m a t i o n   t o   t h e   n u m e r i c a l   D o p p l e r   s p e c t r u m .         T a b l e   1 .   D o p p l e r   s p e c t r u m   c o e f f i c i e n t s   o f   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   &   c o s i n e   m o d e l                     2   2 0 . 4   2 . 4   0 . 4 5   1 9 . 1   1 . 8 5   0 . 0 8   0 . 2 6   6 . 1 0 - 4   3   1 2 . 4   2 . 2   0 . 3 3   1 5 . 0   2 . 4 4   0 . 1 1   0 . 3 2   6 . 1 0 - 4   4 ³     = 0 . 8 5 + 4 0 /       = 2 . 0 5         = 0 . 0 8 5 + 0 . 8 /       = 0 . 0 0 0 5 4 + 0 . 1 1 8 / 2     = 0 . 5 5 2 5 + 2 6 . 6 8 4 /       = 0 . 4 + 1 . 7         = 0 . 0 1 8 9 + 0 . 0 7 4       = 2 . 5 5 1 0  + 1 . 4 1 0          F u r t h e r   i n v e s t i g a t i o n   o n   n - M u l t i h o p   s h o w s   t h a t   i f   $   o u t   o f   1   m o b i l e   r e l a y s   a r e     n o t   m o v i n g   ( s t o p p i n g   d u r i n g   t r a v e l i n g ) ,   t h a n   t h e   n u m b e r   o f   B e s s e l   f a c t o r s   i s   d e c r e a s e d   b y   2 $   a n d   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   w i d t h   w i l l   r e d u c e   t o   $ - h o p   D o p p l e r   s p e c t r u m ,   b u t   t h e   p o w e r   r e m a i n s   h i g h ,   w h i c h   i s   c l o s e   t o   - M u l t i h o p   p o w e r .   I f   D o p p l e r   r a t i o   i s   a s s u m e d   a s   r a n d o m   w i t h   n o r m a l   d i s t r i b u t i o n ,   + ~ 3 = 1 , 4 = 0 . 1 ,   t h e   m o d e l s   s t i l l   p r o v i d e   a   g o o d   a p p r o x i m a t i o n .     T h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l s   c a n   b e   u s e d   t o   a n a l y z e   s y s t e m   p e r f o r m a n c e   w i t h   a d a p t i v e   m o d u l a t i o n   a p p l i c a t i o n s   [ 1 8 ] ,   b e c a u s e   M - a r y   m o d u l a t i o n   w i t h   h i g h   M   h a s   n a r r o w   b a n d w i d t h   a n d   m o r e   s e n s i t i v e   t o   s p e c t r a l   s p r e a d   d u e   t o   D o p p l e r .                                                             F i g u r e   3 .   V a l i d a t i o n   r e s u l t :   T h e   c o m p a r i s o n   o f   a p p r o x i m a t i o n   m o d e l s   t o   t h e   n u m e r i c a l   v a l u e   o f   D o p p l e r   s p e c t r u m   ( f 1 = 7 0   H z )   - 8 0 0 - 6 0 0 - 4 0 0 - 2 0 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 0 . 0 2 5 0 . 0 3 0 . 0 3 5 0 . 0 4 0 . 0 4 5 f ( H z ) D o p p l e r   S p e c t r u m     n u m e r i c a l c u r t a i l e d - G a u s s i a n c o s i n e 5 - h o p 4 - h o p 3 - h o p 2 - h o p Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                  I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   1 ,     A p r i l   2 0 1 1   :     7 3     8 0   8 0 T a b l e   2 .   K u l l b a c k   L e i b e r   D i v e r g e n c e   f o r   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   &   C o s i n e   M o d e l s   n u m b e r   o f   h o p   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   m o d e l   c o s i n e   m o d e l   n =   2   0 . 0 1 3 5   0 . 0 1 2 3   n =   3   0 . 0 0 3 5   0 . 0 0 1 6   n =   4   0 . 0 0 3 1   0 . 0 0 0 8   n =   5   0 . 0 0 1 0   0 . 0 0 0 5       5 .   C o n c l u s i o n s   F r o m   t h e   d i s c u s s i o n ,   t h e   D o p p l e r   s p e c t r u m   m o d e l s   o f   M u l t i h o p   c o m m u n i c a t i o n   w i t h   m o b i l e   a m p l i f y - a n d - f o r w a r d   r e l a y s   c a n   b e   a p p r o x i m a t e d   w i t h   t w o   s i m p l e   f u n c t i o n s ,   i . e . ,   c u r t a i l e d - G a u s s i a n   a n d   c o s i n e   f u n c t i o n s .   B o t h   m o d e l s   a r e   v a l i d   i f   a l l   m o b i l e   t e r m i n a l s   a r e   m o v i n g   w i t h   a l m o s t   i d e n t i c a l   v e l o c i t y .     I t   i s   s h o w n   t h a t   t h e   a p p r o x i m a t i o n   m o d e l s   c a n   b e   u s e d   t o   g e n e r a t e   m o b i l e   M u l t i h o p   c h a n n e l s   f o r   e v a l u a t i o n   o f   D o p p l e r   e f f e c t s   a n d   t o   d e t e r m i n e   t h e   d e l a y   s p r e a d   i n   t h e   s t u d y   o f   c o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y   s y s t e m s .   O u r   f u t u r e   w o r k   i s   e v a l u a t i n g   I C I   i n   c o o p e r a t i v e - O F D M   d u e   t o   h i g h   D o p p l e r   f r e q u e n c y   i n t r o d u c e d   b y   M u l t i h o p   m o b i l e   c h a n n e l   a n d   h o w   t o   m i t i g a t e   t h e   I C I   i n   s u c h   e n v i r o n m e n t .       R e f e r e n c e s   [ 1 ]   L a n e m a n   J N ,   T s e   D N C ,   W o r n e l l   G W .   C o o p e r a t i v e   d i v e r s i t y   i n   w i r e l e s s   n e t w o r k s :   Ef f i c i e n t   p r o t o c o l s   a n d   o u t a g e   b e h a v i o r .   I EEE  T r a n s .   I n f o r m .   T h e o r y ,   2 0 0 4 ;   5 0 ( 1 2 ) :   3 0 6 2 - 3 0 7 9 .   [ 2 ]   L a n e m a n   J N ,   W o r n e l l   G W .   E n e r g y - e f f i c i e n t   a n t e n n a   s h a r i n g     a n d     r e l a y i n g     f o r     w i r e l e s s     n e t w o r k s .   Pr o c .     I EEE  W C N C   O c t ,   2 0 0 0 :   7 - 1 2 .     [ 3 ]   H a s n a   M O ,   Al o u i n i   M .   A   p e r f o r m a n c e   s t u d y   o f   d u a l - h o p   t r a n s m i s s i o n s   w i t h   f i x e d   g a i n   r e l a y s .   I EE E   T r a n s .   W i r e l e s s   C o m m u n .   2 0 0 4 ;   3 ( 1 1 ) :   1 9 6 3 - 1 9 6 8 .   [ 4 ]   Ka r a g i a n n i d i s   G K,   Z o g a s   D A ,   N .   C .   Sa g i a s ,   T s i f t s i s   T A,   M a t h i o p o u l o u s   PT .   M u l t i h o p   c o m m u n i c a t i o n s   w i t h   f i x e d     g a i n     r e l a y s     o v e r     g e n e r a l i z e d     f a d i n g     c h a n n e l s .     Pr o c .   I EEE  G l o b a l   T e l e c o m m .   C o n f . ,   D e c .   2 0 0 4 :   3 6 - 4 0 .   [ 5 ]   H e r n a n d e z   O ,   Bo u c h e r e a u   F .   M a x i m u m   L i k e l i h o o d   P o s i t i o n   Es t i m a t i o n   i n Ad - H o c   N e t w o r k s   U s i n g   a   D e a d   R e c k o n i n g   Ap p r o a c h .   I E EE  T r a n s .   o n   W i r e l e s s   C o m m u n .   2 0 0 8 ;   7 ( 5 ) :   1 5 7 2 - 1 5 8 4 .   [ 6 ]   M a l k a w i   M ,   Ki m   I M .   H a r d / So f t   D e t e c t i o n   w i t h   L i m i t e d   C SI   f o r   M u l t i h o p   Sy s t e m s .   I EEE   T r a n s .   o n   W i r e l e s s   C o m m u n .   2 0 0 9 ;   8 ( 7 ) :   3 4 3 5 - 3 4 4 1 .     [ 7 ]   Sh a n   H ,   Z h u a n g   W ,   W a n g   Z .   C o o p e r a t i v e   a n d   R e l a y   N e t w o r k s :   D i s t r i b u t e d   C o o p e r a t i v e   M AC   f o r   M u l t i h o p   W i r e l e s s   N e t w o r k s .   I EEE  C o m m u n i c a t i o n s   M a g a z i n e .   F e b .   2 0 0 9 :   1 2 6 - 1 3 3 .   [ 8 ]   Kh o u z a n i   M H R ,   Sa r k a r   S .   Ec o n o m y   o f   Sp e c t r u m   A c c e s s   i n   T i m e   Va r y i n g   M u l t i - C h a n n e l   N e t w o r k s .   I EEE  T r a n s .   o n   M o b i l e   C o m p u t i n g .   2 0 1 0 ;   9 ( 1 0 ) :   1 3 6 1 - 1 3 7 6 .   [ 9 ]   Ak k i   AS,   H a b e r   F .   s t a t i s t i c a l   m o d e l   f o r   m o b i l e - t o - m o b i l e   l a n d   c o m m u n i c a t i o n   c h a n n e l .   I E EE  T r a n s .   Ve h .   T e c h n o l .   1 9 8 6 ;   3 5 ( 1 ) :   2 7 .   [ 1 0 ]     Ak k i   AS .   St a t i s t i c a l   p r o p e r t i e s   o f   m o b i l e - t o - m o b i l e   l a n d   c o m m u n i c a t i o n   c h a n n e l s .   I EEE  T r a n s .   V e h .   T e c h n o l .   1 9 9 4 ;   4 3 ( 4 ) :   8 2 6 8 3 1 .   [ 1 1 ]     Pa t e l   C S,   St u b e r   G L ,   Pr a t t   T G .   Si m u l a t i o n   o f   R a y l e i g h   F a d e d   M o b i l e - t o - M o b i l e   C o m m u n i c a t i o n   C h a n n e l s .   I EEE  T r a n s .   C o m m u n .   2 0 0 5 ;   5 3 ( 1 1 ) :   1 8 7 6 - 1 8 8 4 .   [ 1 2 ]   Pa t e l   C S ,   St u b e r   G L .   St a t i s t i c a l   Pr o p e r t i e s   o f   A m p l i f y   a n d   F o r w a r d   R e l a y   F a d i n g   C h a n n e l s .   I EEE   T r a n s .   Ve h .   T e c h n o l .   2 0 0 6 ;   5 5 ( 1 ) :   1 - 9   .   [ 1 3 ]   N a b a r   R U ,   Bo l c s k e i   H ,   Kn e u b ¨ u h l e r   F W .   F a d i n g   R e l a y   C h a n n e l s :   Pe r f o r m a n c e   L i m i t s   a n d   Sp a c e - t i m e   S i g n a l   D e s i g n .   I EEE  J .   S e l .   Ar e a s   C o m m u n .   2 0 0 4 ;   2 2 ( 6 ) :   1 0 9 9 1 1 0 9 .   [ 1 4 ]   J a k e s   W .   M i c r o w a v e   M o b i l e   C o m m u n i c a t i o n s .   Pi s c a t a w a y ,   N J :   I EEE  Pr e s s . 1 9 7 4 .   [ 1 5 ]   Pa t z o l d   M .   M o b i l e   F a d i n g   C h a n n e l s .   W e s t   S u s s e x ,   U n i t e d   Ki n g d o m :   J o h n   W i l e y .   2 0 0 2 .   [ 1 6 ]   Pr o a k i s   J G .   D i g i t a l   C o m m u n i c a t i o n s .   4 t h   e d .   N e w   Y o r k :   M c G r a w - H i l l ,   I n c .   2 0 0 1 .   [ 1 7 ]   Ku l l b a c k ,   S .   I n f o r m a t i o n   T h e o r y   a n d   St a t i s t i c s .   2 n d   e d .   D o v e r   Bo o k s .   N e w   Y o r k .   1 9 6 8 .   [ 1 8 ]   Su w a d i ,   H e n d r a n t o r o   G ,   W i r a w a n .   An   Ad a p t i v e   M o d u l a t i o n   i n   M i l l i m e t e r - W a v e   C o m m u n i c a t i o n   Sy s t e m   f o r   T r o p i c a l   R e g i o n .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 0 ;   8 ( 3 ) :   3 1 9 - 3 2 6 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.