T E L K O M N I K A  T elec o m m un ica t io n,  Co m pu t ing ,   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.   18 ,   No .   2 ,  A p r il 2 0 2 0 ,   p p .   1 0 1 2 ~ 1 0 2 0   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   ac cr ed ited   First Gr ad e  b y   Kem en r is tek d i k ti,  Dec r ee   No :  2 1 /E/KPT /2 0 1 8   DOI : 1 0 . 1 2 9 2 8 /TE L KOM NI K A. v 1 8 i2 . 1 4 6 6 4     1012       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //jo u r n a l.u a d . a c. id /in d ex . p h p /TELK OM N I K A   Project iv e and hy brid proje ctive sy nchro niza tion o f  4 - D  hy percha o tic  sy st em v ia  nonli nea r   co ntroller st ra tegy       Z a ido o n   Sh .   Al - T a li b ,   Sa a d F a wzi  A l - Azz a wi   De p a rtme n t  o f  M a t h e m a ti c s,  Co ll e g e   o f  Co m p u ter S c ie n c e s a n d   M a th e m a ti c s,  Un iv e rsity   o f  M o su l ,   Ira q       Art icle  I nfo     AB S T RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   No v   2 3 ,   2 0 1 9   R ev is ed   J an   8 ,   2 0 2 0   Acc ep ted   Feb   1 2 ,   2 0 2 0     No n li n e a r  c o n tr o l  stra teg y   wa s  e sta b li sh e d   t o   re a li z e   th e   P ro jec ti v e   S y n c h ro n iza ti o n   (P S )  a n d   H y b ri d   P ro jec ti v e   S y n c h ro n iza ti o n   (HP S )  fo r  4 - D  h y p e rc h a o ti c   sy ste m   a t  d iffere n t  sc a li n g   m a tri c e s.  Th is strate g y ,   wh ich   is ab le   to   a c h iev e   p r o jec ti v e   a n d   h y b ri d   p ro jec ti v e   sy n c h ro n iza ti o n   b y   m o re   p re c ise   a n d   a d a p tab le  m e th o d   to   p ro v id e   a   n o v e l  c o n tro l  sc h e m e .   On   F irst  sta g e ,   th re e   sc a li n g   m a tri c e s  we re   g i v e n   i n   o r d e r  t o   a c h iev in g   v a rio u s   p ro jec ti v e   sy n c h r o n iza ti o n   p h e n o m e n a .   Wh il e   th e   HPS   wa s  imp lem e n ted   a t  sp e c ifi c   sc a l in g   m a tri x   i n   th e   se c o n d   sta g e .   Ulti m a tely ,   t h e   p re c isio n   o f  c o n tro ll e rs  we re   c o m p a re d   a n d   a n a l y z e d   th e o re ti c a ll y   a n d   n u m e rica ll y .   T h e   l o n g - ra n g e   p re c isio n   o f  t h e   p r o p o se d   c o n tro ll e rs are   c o n firme d   b y   th ird   sta g e .   K ey w o r d s :   Hy b r id   p r o jectiv e     Hy p er ch ao tic  s y s tem     L y ap u n o v   s tab ilit y     No n lin ea r   co n tr o l   s tr ateg y     Pro jectiv e   s y n ch r o n izatio n   s y n ch r o n izatio n   T h is i s  a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r  th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Saad   Fawzi  A l - Azzawi ,   Dep ar tm en t o f   Ma th em atics ,   C o lleg e  o f   C o m p u ter   Scien ce   an d   Ma th em atics,   Un iv er s ity   o f   Mo s u l ,   M o s u l,  I r aq .   E m ail:  s aa d _ f awz i7 8 @ y ah o o . co m ,   s aa d _ alaz awi@ u o m o s u l. ed u . iq       1.   I NT RO D UCT I O N     I n   n o n lin ea r   d y n am ic  s y s tem s ,   ch ao s   s y n ch r o n izatio n   is   t h e   f ir s t  p h e n o m e n o n   wh ich   d is co v er ed   b y   Fu jis ak a  an d   Yam ad a  in   1 9 8 3 ,   b u t d id   n o t r ec eiv e   g r ea t in ter est u n til 1 9 9 0   wh e n   Peco r a  a n d   C ar r o l d ev el o p ed   th is   p h en o m en o n   b etwe en   t wo   id en tical  ch ao tic  s y s tem s   with   d if f er en t  in itial  co n d itio n   [ 1 - 4 ] .   C h ao s   s y n ch r o n izatio n   h as  attr ac ted   co n s id er ab le  atten tio n   d u e   to   i ts   im p o r tan t   ap p licatio n s   in   p h y s ical  s y s tem s   [ 1 ] ,   b io lo g ical  s y s tem s   [ 5 ] ,  E n cr y p tio n   [ 6 ]   an d   s ec u r e  co m m u n i ca tio n s   [ 7 ] ,   etc.   Af ter   th en ,   s ev er al  attem p ts   wer e  m ad e  to   cr ea te  m an y   ty p es  o f   s y n ch r o n izatio n   p h en o m en a  s u ch   as  C o m p lete  Sy n ch r o n iz atio n   ( C S)  [ 2,   4,   8 ] ,   An ti - Sy n ch r o n izatio n   ( AS)   [ 9,   10 ] ,   Hy b r id   Sy n c h r o n izatio n   ( HS)   [ 11 ] ,   Ge n er alize d   Sy n ch r o n izatio n   ( GS)   [ 12 ] ,   Pro jectiv e  Sy n ch r o n izatio n   ( PS )   [ 1 3 ] ,   Hy b r id   Pr o jectiv e  Sy n ch r o n izatio n   ( HPS )   [ 1 4 ]   an d   Gen er alize d   Pro jectiv e  Sy n ch r o n izatio n   ( G PS )   [ 1 5 ] .   Am o n g s t  all  ty p es  o f   s y n ch r o n izatio n   s ch em es,  PS   an d   HPS  attr ac ted   lo ts   o f   atten tio n   b ec au s e  it  ca n   o b tain   f aster   co m m u n icatio n   in   ap p licatio n   to   s ec u r e  co m m u n icatio n   [ 1 3 ,   14] .  B o th   o f   th em   ar e   ch ar ac ter ize d   th at  th e  two   s y s tem s   co u ld   b e  s y n ch r o n ized   u p   to   a   c o n s t an t  d iag o n al  m atr ix ,   b u t  in   th e  f ir s t  f ea tu r e,   all  d iag o n al  elem e n ts   o f   s ca lin g   m atr ix   s h o u l d   b e   eq u al  wh er ea s   th ese  d iag o n al   elem en ts   ar e  d if f er e n t  in   th e  s ec o n d   f ea tu r e.   Ob v io u s ly ,   ch o o s in g   th e   co n s tan t   m atr ix   as  u n ity   will  lead   to   C S.   So ,   C S  an d   A S  ar e  th e  s p ec ial  ca s es  o f   PS   an d   HS  b elo n g   to   th e  s p ec ial  ca s e  o f   h y b r id   p r o jectiv e   s y n ch r o n izatio n .   HPS  g iv es   m o r e  co m p lex ity   to   th e   co n tr o ll er   an d   th e   m ess ag e  ca n n o t  b e   ea s ily   d ec o d ed   b y   th e  in tr u d e r .     I n   p r o jectiv e  an d   HPS  p r o ce s s es,  v ar io u s   s tr ateg ies   h av e  b e en   in tr o d u ce d   to   s tab ilize  d y n am ic  er r o r   s y s tem s ,   in clu d in g   ad ap tiv e  co n tr o l   [ 1 6 ] ,   ac tiv e  co n tr o l,   n o n lin ea r   co n tr o l  [ 17 - 20 ]   a n d   lin ea r   f ee d b ac k     co n tr o l   [ 2 1 - 23] .   Am o n g   m an y   co n t r o l  s tr ateg ies,  th e   n o n li n ea r   co n tr o l  s tr ateg y   h as  b ee n   co n ti n u o u s ly   f o r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         P r o jective   a n d   h y b r id   p r o jective   s yn ch r o n iz a tio n   o f  4 - D  h yp erch a o tic  s ystem ....   ( Za id o o n   S h .   A l - Ta lib )   1013   wh ich   g r ea t   in ter est  to   m an y   s cien tis ts ,   d u e  to   its   ef f ec tiv en ess ,   r eliab ilit y ,   an d   wid ely   h as  b ee n   u s ed   as    a  s in g le  p o wer f u l  s tr ateg y   f o r   s y n ch r o n izin g   d if f er en t  cl ass   o f   th e  n o n lin ea r   d y n am i c  s y s tem s   [ 24,   25 ] .     B u t,  th e  co n tr o l  in p u t  d esig n   s h o u ld   b e  b ased   o n   th e  f u n ctio n s   o f   th e   co n tr o lled   s y s te m   ac co r d i n g   to   th e   tr ad itio n al  n o n lin ea r   c o n tr o l.   I n   o r d er   to   s im p lify   t h e  co n tr o l  in p u t,  ad a p tiv e  n o n lin e ar   co n tr o l  h as  b ee n   d esig n ed   to   f ac ilit ate  th e  c o n tr o l  in p u t  p r o ce s s .   T o   e n s u r e   th at  th e  d esig n ed   co n tr o ller   h as  a  g o o d   c o n tr o l  ef f ec t,  th e  co n tr o ller   is   d esig n ed   f o r   a  n o n - lin ea r   co n tr o l  s y s tem   b ased   o n   th e  th eo r y   o f   s tab ilit y   L y ap u n o v   with   k n o wn   a n d   u n k n o wn   p a r am eter s .   T h en ,   c o n tr o ller s   d es ig n ed   to   s y n ch r o n ize  a  h y p er c h ao tic  s y s tem   wer e  u s ed .   T h e s e  f in d in g s   m ay   b e  im p o r tan t  in   u n d er s tan d in g   an d   co n t r o llin g   p r o b lem s   in   m o d er n   s o ciety .     Als o   th e  ef f ec tiv en ess   an d   s tr e n g th   o f   co n t r o ller s   ar e  v e r if ied   b y   n u m er ical  s im u latio n   r esu lts .       2.   P RO J E CT I VE   AN D   H YB R I D   P RO J E CT I V E   SYNCH R O NIZ A T I O N   T h e  PS   an d   HPS  ar e   illu s tr ated   in   th is   s ec tio n .   T h er e   ar e   tw o   n o n lin ea r   d y n am ical  s y s tem s ,   th e  f ir s t  is   ca lled   d r iv e  s y s tem ,   wh er ea s   th e  s ec o n d ,   is   ca l led   r es p o n s e  s y s tem ,   an d   th e  r esp o n s e  s y s tem   co n tr o ls     th e  d r iv e  s y s tem .   T h e  d r iv e   s y s tem   an d   r esp o n s e  s y s tem   y iel d s   th e  ( 1 )   a n d   ( 2 ) ,   r esp ec tiv ely   [ 1 8 ]   a n d   [ 2 1 ].     ̇ =  + ( )   ( 1 )     ̇ =  + ( ) +   ( 2 )     w h er e  ,   ar e  a  ×   p ar a m eter s   m atr ices,  = [ 1 , 2 , … , ] ∈ × 1 ,   = [ 1 , 2 , … , ] ∈ × 1   ar e  s tate  v ec to r ,   ( )   an d   ( )   ar e  th e  n o n lin ea r   f u n ctio n s   f o r   s y s tem   1   an d   s y s tem   2 ,   r esp ec tiv ely .   Als o ,     = [ 1 , 2 , … , ] ∈   is   a  co n tr o l in p u t v ec to r .   W h e r ea s   th e  er r o r   d y n am ical  s y s tem   is   d ef in ed   as       = −    ( 3 )       w h er e  = [ 1 , 2 , … , ] ∈ × 1   in   g en er al,     is   n - or d er   d iag o n al  m atr ix   i.e .   =   ( 1 , 2 , … . , ) ,     is   ca lled   s ca lin g   m atr ix   an d   1 ,  2 , … ,   ar e  ca lled   s ca lin g   f ac to r .   Ou r   g o al  is   to   p r o p o s e  a   s u itab le  co n tr o ller     to   m ak e  th e  r esp o n s e  s y s tem   asy m p to tically   ap p r o ac h es   th e  d r iv e  s y s tem ,   an d   f in ally   th e   s y n ch r o n izatio n   p h en o m en a   will b e  ac h ie v ed   i n   th e  s en s e  th at  th e  lim it o f   th e  er r o r   d y n a m ic al  s y s tem   ap p r o ac h es z er o   i.e .      → ∞ ‖ ‖ =  → ∞ ‖ −  ‖ = 0   ( 4 )     T h e  s ca lin g   m atr ix     p lay   an   im p o r tan t  r o le  to   d eter m in e   th e  p h en o m en o n   o f   s y n c h r o n izatio n ,   s u ch   as if     is   co n s tan t m atr ix   an d     −   1 = 2 = ⋯ = ,   th en   th is   p h e n o m e n o n   is   ca ll ed   PS   −   1 ≠ 2 ≠ ⋯ ≠ ,   th en   th is   p h e n o m e n o n   is   ca ll ed   HPS   −   ∀ = 1 ,   th en   th is   p h e n o m e n o n   is   ca ll ed   C S   −   ∀ = − 1 ,   th en   th is   p h e n o m e n o n   is   ca ll ed   AS   −   ∀ = ± 1 ,   th en   th is   p h e n o m e n o n   is   ca ll ed   HS       3.   A P P L I CA T I O N S   I n   th is   s ec tio n ,   we  tak e  4 - D  n o n - lin ea r   d y n am ical  s y s tem   wh ich   d is co v er   b y   Z h an g   et  al     in   2 0 1 7   [2 6 ] ,   f o r   e x am p le   to   s h o w  h o w  to   u s e   th e  r esu lts   o b t ain ed   in   th is   p ap er   to   an aly s e  t h e  s y n c h r o n izatio n   class   o f   h y p er ch ao tic  s y s tem s .   T h e  m ath em atica l m o d el  is   r e p r esen tin g   b y   th e  f o llo win g :     {   ̇ = ( − ) −  ̇ =  −                            ̇ = −  −              ̇ =  −                        ( 5 )     w h er e  , ,   an d     ar e  s tate  v ar iab le,      an d      ar e  two   n o n lin ea r   ter m s   an d   , , , , ,   an d     ar e  p o s itiv e   p ar am eter s .   An d   th e  s y s tem   ( 5 )   is   h y p er ch a o tic  attr ac to r s   d u e  to   h as  p o s s ess   two   p o s itiv e  L y ap u n o v   ex p o n e n ts   as   1 = 0 . 24 ,  2 = 0 . 23   at  = 5 , = 20 , = 1 , = 0 . 1 , = 20 . 6 , = 0 . 1   an d   = 1 .  T h e  p r o jectio n s   o f   h y p er c h ao t ic  attr ac to r   o f   th e  ab o v e  s y s tem   ar e  s h o wn   in   Fig u r e  1 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l ,  Vo l.  18 ,   No .   2 ,  Ap r il 2 0 2 0 :    1 0 1 2   -   1 0 2 0   1014     ( a)     ( b )     Fig u r e  1 .   T h e  attr ac ter s   o f   t h e  s y s tem   ( 1 )   in :   ( a )   y - w  p la n e,   ( b )   x - z - y   s p ac e       Acc o r d in g   t o   ( 1 )   an d   ( 2 ) ,  s y s tem   ( 5 )   ca n   b e  r ep r esen t a s     [ ̇ 1 ̇ 2 ̇ 3 ̇ 4 ] = [ − 0 − 0 − 0 0 0 0 − 0 0 0 − ] ⏟                             [ 1 2 3 4 ] + [ 0 0 0 ] + [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 3 1 2 0 ] ⏟                                     ( )   ( 6 )     [ ̇ 1 ̇ 2 ̇ 3 ̇ 4 ] = [ − 0 − 0 − 0 0 0 0 − 0 0 0 − ] ⏟                             [ 1 2 3 4 ] + [ 0 0 0 ] + [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 3 1 2 0 ] ⏟                                     ( ) + [ 1 2 3 4 ]   ( 7 )     w h er e   = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]     is   th e  co n tr o ller   to   b e  d esig n ed       4.   P RO J E CT I VE   S YNCH RO NIZ A T I O N   ( P S)   T h is   p h en o m en o n   tak e   p lace   u n d e r   th e  c o n d itio n   “th at  al l  d iag o n al   elem en ts     o f   th e   co n s tan t   s ca lin g   m atr ix   ( ) ,  p o s s ess   th e  s a m e  v alu e” .   Her ein ,   th r ee   ca s es   ar e  co n s id er e d   as   −   ∀   = 3   −   ∀   = 1   −   ∀   = − 1     4 . 1 .   T he  Co ntr o llers a t   s ca lin g   f a ct o r  ∀   =   Acc o r d in g   t o   ( 3 ) ,   th e  e r r o r   o f   PS   ̇ ∈ 4   b etwe en   th e  s y s tem   ( 6 )   an d   th e  s y s tem   ( 7 )   is   d e p ict  b y :      ̇ = − 3   ,               =  [ 1 , 1 , … , 1 ] ,       = 1 , 2 , 3 , 4       an d   lead   to       {     ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 + 1                                                                 ̇ 2 = − 2 + 3 1 + 3 ( 1 − 1 ) 3 + 2                         ̇ 3 = − 3 − 2 1 + 3 ( 1 − 1 ) 2 − 2 + 3 ̇ 4 = − 4 + 2 + 4                                                                                       ( 8 )     T heo re m   1 .   I f   d esig n   co n tr o l  = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]     as:     {     1 =   0                                                                                                 2 = −  1 − 4 + 3 ( 1 − 1 ) 3 3 = 2 + 3 ( 1 − 1 ) 2                                 4 = 1                                                                                             ( 9 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         P r o jective   a n d   h y b r id   p r o jective   s yn ch r o n iz a tio n   o f  4 - D  h yp erch a o tic  s ystem ....   ( Za id o o n   S h .   A l - Ta lib )   1015   T h en   th e  s y s tem   ( 8 )   ca n   b e  co n tr o lled   i.e . ,   PS   b etwe en   s y s te m   ( 6 )   a n d   s y s tem   ( 7 )   is   ac h iev ed .   P ro o f :   By   i n s er tin g   th e  c o n tr o ller   ( 9 )   in   t h e  er r o r   s y s tem   ( 8 )   we  g et :     { ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4                                 ̇ 2 = − 2 − 4 − 1 + 3 1 ̇ 3 = − 3 − 2 1                                                 ̇ 4 = − 4 + 2 + 1                             ( 1 0 )       C o n s tr u ct  th e  L y ap u n o v   f u n ctio n   as th e  f o ll o win g :     ( ) =   ,         =   (   1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2   )   ( 1 1 )                 an d   d er i v ativ e    ( )   alo n g   tim e  o f   ( 1 0 )   is :     ̇ ( ) = 1 ( ( 2 − 1 ) − 4 ) + 2 ( − 2 − 4 − 1 + 3 1 )     + 3 ( − 3 − 2 1 ) + 4 ( − 4 + 2 + 1 )       Ab o v e  eq u atio n   ca n   r ed u ce   as :     ̇ ( ) = − 1 2 − 2 2 −  3 2 −  4 2 = −   ,               =   [       ]         th e  m atr ix     is   p o s itiv e  d e f in ite .   So ,   ̇ ( )   is   n eg ativ e   d ef i n ite .   T h e  L y a p u n o v ' s   d ir ec t  m eth o d   is   s atis f ied .   T h er ef o r e,   th e  r esp o n s e  s y s tem   ( 7 )   is   PS   with   th e  d r iv e   s y s tem   ( 6 )   asy m p to tically ,   th e  p r o o f   is   co m p lete.     4 . 2 .   T he  Co ntr o llers a t   s ca lin g   f a ct o r  ∀   =   Fo r   all  s ca lin g   f ac to r   ar e   eq u al  1 ,   th e  er r o r   o f   PS   b etwe en   th e  d r iv e  s y s tem   ( 6 )   an d   th e   r esp o n s e  s y s tem   ( 7 )   is   g iv en   b y :      { ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 + 1                                       ̇ 2 = − 2 + 1 3 + 3 1 + 1 3 + 2   ̇ 3 = − 3 − 1 2 − 2 1 − 1 2 + 3 ̇ 4 = − 4 + 2 + 4                                                             ( 1 2 )     T heo re m   2 .  T h e  s y s tem s   ( 6 )   &   ( 7 )   will b e  asy m p to tically   s tab le,   if   th e  co n tr o ller   is   d esig n ed   as f o llo ws:     { 1 = − 2 3 + 3 2 2 = −  1 − 4       3 = 0                                             4 = 1                                       ( 1 3 )     P ro o f :   B y   s u b s titu tin g   th e  co n tr o ller s   ( 1 3 )   i n   th e  s y s tem   ( 1 2 ) ,   we  ca n   o b tai n :     { ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 − 2 3 + 3 2                                 ̇ 2 = − 2 + 1 3 + 3 1 + 1 3 −  1 − 4 ̇ 3 = − 3 − 1 2 − 2 1 − 1 2                                                 ̇ 4 = − 4 + 2 + 1                                                                                   ( 1 4 )     th e   L y ap u n o v   f u n ctio n   an d   its   d er iv ativ e  ar e  y ield s   E q s .   ( 1 5 )   an d   ( 1 6 ) ,   r esp ec tiv ely       ( ) = 1 2 ∑   2 4 = 4 = 1 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 )   ( 1 5 )     ̇ ( ) = − 1 2 − 2 2 −  3 2 −  4 2 < 0   ( 1 6 )     s in ce   ( )   is   a  p o s i tiv e  f u n ctio n   a n d   ̇ ( )   is   n eg ativ e.   So ,   th e  r esp o n s e  o f   s y s tem   ( 7 )   is   P S  with   th e  d r iv e   s y s tem   ( 6 )   asy m p to tically .   T h e  p r o o f   is   co m p lete.         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l ,  Vo l.  18 ,   No .   2 ,  Ap r il 2 0 2 0 :    1 0 1 2   -   1 0 2 0   1016   4 . 3 .   T he  Co ntr o llers a t   s ca lin g   f a ct o r  ∀   = −   Fo r   all  s ca lin g   f ac to r   ar e  tak e n   th e  v alu es  - 1 ,   th e  er r o r   o f   P S  b etwe en   th e  s y s tem   ( 6 )   an d   th e  s y s tem   ( 7 )   is   g iv en   b y :      {   ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 + 1                                                                                                                   ̇ 2 = − 2 + 1 3 + 3 1 + ( 1 − 1 ) ( 3 − 3 ) + 2                     ̇ 3 = − 3 − 1 2 − 2 1 − ( 1 − 1 ) ( 2 − 2 ) + 2 + 3 ̇ 4 = − 4 + 2 + 4                                                                                                                                         ( 1 7 )     T heo re m   3 .   C h o o s e  th e  c o n tr o ller     as:     {   1 =   4 − 2 3 + 3 2                                                       2 = −  1 − 4 − ( 1 − 1 ) ( 3 − 3 ) 3 = ( 1 − 1 ) ( 2 − 2 )   − 2                               4 =   0                                                                                                                         ( 1 8 )     T h e  er r o r   d y n am ic  s y s tem   ( 1 7 )   ca n   b e  c o n tr o lled .   P ro o f :   W ith   th is   co n tr o l,  ( 1 7 )   ca n  b e  r ewr itten   as:     { ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 2 3 + 3 2                             ̇ 2 = − 2 − 4 − 1 + 1 3 + 3 1 ̇ 3 = − 3 − 1 2 − 2 1                                                 ̇ 4 = − 4 + 2                                                                                 ( 1 9 )     T h e  tim e  d er iv ativ e   o f   t h e  L y a p u n o v   f u n ctio n   is :     ̇ ( ) = − 1 2 − 2 2 −  3 2 −  4 2 < 0       w h ich   is   n eg ativ e  d e f in ite  So ,   ̇ ( ) < 0 .   T h er ef o r e,   PS   o f   t h e  two   s y s tem s   ca n   b e  ac h iev e d   s im u ltan eo u s ly .       5.   H YB RID P RO J E CT I VE   SY NCH RO NIZ AT I O N  ( H P S)   I f   at  least  o n e  o f   s ca lin g   f ac t o r   is   d if f er en t ,   th is   p h e n o m en o n   is   ca lled   HPS.   Her ein ,   tw o   ca s es  ar e  co n s id er ed   as   −   1 = 1 , 2 = 2 ,   3 = 3 , 4 = 4   −   1 , 3 = − 1   , 2 , 4 = 1     5 . 1 .   T he  Co ntr o llers a t   s ca lin g   f a ct o r  = , = , = , =   I f   th e  m atr ix     is   ch o s en   as   =   ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , i .e.      = [ 1 2 3 4 ] − [ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 4 ] ⏟                 [ 1 2 3 4 ]         ( 2 0 )     Acc o r d in g   t o   th e  ( 20 ) ,   th e  er r o r   o f   HPS   s y s tem   b etwe en   th e  s y s tem   ( 6 )   an d   th e  s y s tem   ( 7 ) ,   i s   g iv en   as     {   ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 + 2 − 3  4 + 1               ̇ 2 = − 2 + 1 3 + ( 3 − 2 3 ) 1 + 2                             ̇ 3 = − 3 − 2 1 − ( 2 1 − 3 1 ) 2 − 2 + 3 ̇ 4 = − 4 + 2 − 2 2 + 4                                                               ( 2 1 )     T heo re m   4 .   I f   t h e  f o llo win g   c o n tr o ller   is   d esig n e d   as:     {             1 =   − 2 + 3 4 − 2 3                                                                       2 = − 5  1 + ( 2 3 − 3 ) 1 + 3 1 − 1 200 4 3 = 2 + ( 2 1 − 3 1 ) 2                                                                           4 = 206 1 + 2 2                                                                                               ( 2 2 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         P r o jective   a n d   h y b r id   p r o jective   s yn ch r o n iz a tio n   o f  4 - D  h yp erch a o tic  s ystem ....   ( Za id o o n   S h .   A l - Ta lib )   1017   T h en   th e  s y s tem   ( 2 1 )   will b e  c o n tr o lled .   P ro o f :   I n s er t a b o v e  co n tr o l in   ( 2 1 ) ,   we  g et :     {             ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 − 2 3                                                 ̇ 2 = − 2 − 5 1 − 1 200 4 + 1 3 + 3 1 ̇ 3 = − 3 − 2 1                                                                                               ̇ 4 = − 4 + 2 + 206 1                                                             ( 2 3 )     T h e  tim e  d er iv ativ e   o f   t h e  L y a p u n o v   f u n ctio n   is :     ̇ ( ) = − 1 2 − 2 2 −  3 2 −  4 2 + ( − 5 ) 1 2 + ( − 1 200 ) 2 4 + ( 206 − ) 1 4   ( 2 4 )     So ,   ̇ ( )   is   n eg ativ e  d e f in ite,   th e  s y s tem   ( 2 1 )   was c o n tr o lled   b ase d   o n   c o n tr o l sy s tem   ( 2 2 ) .     5 . 2 .   T he  Co ntr o llers a t   s ca lin g   f a ct o r  = , = − , = , = −   I f   th e  m atr ix     is   ch o s en   as   =   ( 1 , − 1 , 1 , − 1 ) ,   i.e .         = [ 1 2 3 4 ] − [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 ] ⏟                         [ 1 2 3 4 ]       Acc o r d in g   to   t h e  ab o v e  eq u at io n ,   th e  er r o r   o f   h y b r id   p r o jec tiv e  s y n ch r o n izatio n   s y s tem   b etwe en   th e  s y s tem   ( 6 )   an d   th e  s y s tem   ( 7 ) ,   is   g iv e n   as     {   ̇ 1 = ( 2 − 1 ) − 4 − 2 +  4 + 1 ̇ 2 = − 2 + 3 1 + ( 1 + 1 ) 3 + 2               ̇ 3 = − 3 − 2 1 + ( 1 + 1 ) 2 + 3           ̇ 4 = − 4 + 2 + 4                                                                       ( 2 5 )     T heo re m   5 .   I f   d esig n   th e  f o llo win g   co n tr o ller   ( 2 6 ) :     {       1 =   2 − 4                                                           2 = − ( 1 + 1 ) 3 − 1 − 4 3 = ( − 1 − 1 ) 2                                                 4 = 1                                                                                         ( 2 6 )     T h en   th e  s y s tem   ( 2 5 )   will b e  c o n tr o lled .   P ro o f :   T h e  tim e  d e r iv ativ e  o f   th e  L y ap u n o v   f u n ctio n   is :     ̇ ( ) = − 1 2 − 2 2 −  3 2 −  4 2   ( 2 7 )     So ,   ̇ ( )   is   n eg ativ e  d e f in ite,   th e  s y s tem   ( 2 5 )   was c o n tr o lled   b ase d   o n   c o n tr o l  ( 2 6 ) .       6.   NUM E RIC AL   S I M UL A T I O N   Fo r   s im u latio n ,   th e  MA T L AB   v er s io n   R 2 0 1 7 a  is   ad o p ted   to   s o lv e  th e  d if f e r en ti al  eq u atio n     o f   co n tr o lled   e r r o r   d y n am ical   s y s tem   ( 8 ) ,   s y s tem   ( 1 2 )   an d   s y s tem   ( 1 7 )   f o r   PS   an d   co n t r o l led   er r o r   d y n am ical   s y s tem   ( 2 1 ) ,   s y s tem   ( 2 5 )   f o r   HPS  b ased   o n   f o u r th - o r d er   R u n g e - Ku tta  s ch em e  with   tim e  s tep   ℎ = 0 . 01     an d   th e  an d   th e  in itial  v alu es   o f   th e  d r iv e  s y s tem   an d   th e  r esp o n s e  s y s tem   ar e  f o llo win g   ( 3 . 2 , 8 . 5 , 3 . 5 , 2 . 0 )   an d   ( − 3 . 2 , − 8 . 5 , − 3 . 5 , − 2 . 0 )   r esp ec tiv ely .   W e  ch o o s e   th e  p ar am eter s   = 5 , = 20 , = 1 , = 0 . 1 , = 20 . 6 , = 0 . 1   an d   = 1 .    −   Fo r   s ca lin g   f ac to r   ∀   = 3 .   Fig u r e  2   s h o w  th e  PS   o f   th e   s y s tem s   ( 6 )   an d   ( 7 )   with   co n t r o l ( 9 ) .     −   Fo r   s ca lin g   f ac to r   ∀   = 1 .   Fig u r e  3   s h o w  th e  PS   o f   th e   s y s tem s   ( 6 )   an d   ( 7 )   with   co n t r o l ( 1 3 ) .     −   Fo r   s ca lin g   f ac to r   ∀   = − 1 .   Fig u r e  4   s h o w  th e  PS   o f   th e   s y s te m s   ( 6 )   an d   ( 4 )   with   co n t r o l ( 1 8 ) .     −   Fo r   s ca lin g   f ac to r   1 = 1 , 2 = 2 ,   3 = 3 , 4 = 4 .   Fig u r e  5   s h o w  th e  HPS  o f   th e  s y s tem s   ( 1 )   an d   ( 4 )   with   co n tr o l ( 2 2 ) .     −   Fo r   s ca lin g   f ac to r   1 , 3 = − 1   , 2 , 4 = 1 .   Fig u r e  6   s h o w  th e  HPS  o f   th e  s y s tem s   ( 1 )   an d   ( 4 )   with     co n tr o l ( 2 6 ) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l ,  Vo l.  18 ,   No .   2 ,  Ap r il 2 0 2 0 :    1 0 1 2   -   1 0 2 0   1018       Fig u r e  2 .   T h e   PS   f o r   th e   s tate  v ar iab les with   co n tr o l  ( 9 )   at  s c alin g   f ac to r s   ∀   =           Fig u r e  3 .   T h e   PS   f o r   th e   s tate  v ar iab les with   co n tr o l  ( 1 3 )   at  s ca lin g   f ac to r s   ∀   =           Fig u r e  4 .   T h e   PS   f o r   th e   s tate  v ar iab les with   co n tr o l  ( 1 8 )   at  s ca lin g   f ac to r s   ∀   = −   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         P r o jective   a n d   h y b r id   p r o jective   s yn ch r o n iz a tio n   o f  4 - D  h yp erch a o tic  s ystem ....   ( Za id o o n   S h .   A l - Ta lib )   1019       Fig u r e  5 .   T h e   HPS   f o r   th e  s tat e  v ar iab les with   co n tr o l ( 2 2 )   a t  s ca lin g   f ac to r s   = , = ,   = , =           Fig u r e  6 .   T h e   HPS   f o r   th e  s tat e  v ar iab les with   co n tr o l ( 2 6 )   a t  s ca lin g   f ac to r s   = ±       7.   CO NCLU SI O N   B ased   o n   th e  s ca lin g   m atr ix   ,   two   ty p es  o f   s y n ch r o n izatio n   p h en o m e n a  ar e  ac h iev ed ,  n a m ely   PS   an d   HPS.   T h r ee   er r o r   s y s tem s   o f   PS   an d   two   er r o r   s y s te m s   o f   HPS  with   co n tr o ller   h av e  b ee n   p r o p o s ed     f o r   o b tain in g   PS   an d   HPS  b et wee n   two   id e n tical  4 - D   h y p er ch ao tic  s y s tem s   with   u n k n o w n   p ar a m eter s   b ased   o n   L y ap u n o v ' s   m eth o d   an d   th e  n o n lin ea r   co n tr o l  s tr at eg y .   C er tai n ly ,   th e   p r o jecti v e  s y n ch r o n izatio n ,     wer e  ac h iev ed   C S,  AS  as  well  as  P S  v ia  th is   p h en o m en o n .   W h er ea s ,   th e  HPS,  was  ac h iev ed   HS.    T h e  ef f ec tiv en ess   o f   th ese  p r o p o s ed   co n tr o l stra teg ies wa s   v alid ated   b y   n u m er ical  s im u lati o n   r esu lts .       ACK NO WL E DG M E N T   T h e  au t h o r s   ar e  v er y   g r ate f u l  to   Un iv er s ity   o f   Mo s u l / C o lleg e  o f   C o m p u ter   Scien ce s   an d   Ma th em atics f o r   th eir   p r o v i d e d   f ac ilit ies,  wh ich   h elp ed   t o   i m p r o v e   th e  q u ality   o f   t h is   wo r k .       RE F E R E NC E S     [1 ]   X.  S .   Li ,  e t  a l. ,   “ An a ly sis  a n d   S i m p li fica ti o n   o f  Th re e - Dim e n sio n a l  S p a c e   Ve c to r  P WM   fo r  Th re e - P h a se   F o u r - Le g   In v e rters , ”   IEE E  T ra n sa c ti o n s o n   In d u stria l  El e c tro n ics ,   v o l .   5 8 ,   n o .   2 ,   p p .   4 5 0 - 4 6 4 ,   F e b ru a r y   2 0 1 1 .   [2 ]   H.  K.  Ch e n ,   “ G lo b a l  Ch a o s  S y n c h ro n iza ti o n   o f  Ne w  Ch a o ti c   S y st e m s  v ia  No n li n e a r  Co n tro l, ”   Ch a o s,  S o li t o n s  &   Fra c ta ls ,   v o l .   2 3 ,   n o .   4 ,   p p .   1 2 4 5 - 1 2 5 1 ,   F e b ru a r y   2 0 0 5 .   [3 ]   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ S ta b il it y   a n d   Bifu rc a ti o n   o f  P a n   C h a o ti c   S y ste m   b y   Us in g   R o u th - Hu rwi tz  a n d   G a rd a n   m e th o d , ”   Ap p li e d   M a t h e ma ti c s   a n d   C o mp u ta ti o n ,   v o l.   2 1 9 ,   n o .   3 ,   p p .   1 1 4 4 - 1 1 5 2 ,   Oc t o b e r   2 0 1 2 .   [4 ]   J .   H.  P a rk ,   “ Ch a o s   S y n c h r o n iza ti o n   o f   a   C h a o ti c   S y ste m   v ia  N o n l i n e a r  Co n tro l , ”   Ch a o s   S o li t o n s   Fr a c ta ls ,   v o l.   2 5 ,   p p .   5 7 9 - 5 8 4 ,   2 0 0 5 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l ,  Vo l.  18 ,   No .   2 ,  Ap r il 2 0 2 0 :    1 0 1 2   -   1 0 2 0   1020   [5 ]   M .   A.   A.   Alh a fe d h   a n d   O.   S .   Qa sim ,   “ Two - S tag e   G e n e   S e lec ti o n   in   M icr o a rra y   Da tas e t  Us in g   F u z z y   M u t u a l   In fo rm a ti o n   a n d   Bin a ry   P a rti c le S wa rm   Op ti m iza ti o n , ”   I n d ia n   J o u r n a l   o f   F o re n sic   M e d icin e   &   T o x ic o lo g y ,   v o l .   1 3 ,   n o .   4 ,   p p .   1 1 6 2 - 1 1 7 1 ,   2 0 1 9 .   [6 ]   Z.   N.   Al - k a tee b   a n d   M .   R .   Al - B a z a z ,   “ S teg a n o g ra p h y   i n   Co l o re d   Im a g e s  Ba se d   o n   Bio m e tri c s, ”   T ikr it   J o u r n a l   o f   Pu re   S c ien c e ,   v o l.   2 4 ,   n o .   3 ,   p p .   1 1 1 - 1 1 7 ,   M a y   2 0 1 9 .   [7 ]   R.   Ha o ,   e t  a l .,  “ Re se a rc h   o n   4 - d ime n si o n a l  S y ste m s  with o u t   Eq u il ib ria  wit h   Ap p li c a ti o n ,”   T EL KOM NIK A   T e lec o mm u n ica ti o n   Co mp u ti n g   E lec tro n ics   a n d   C o n tr o l ,  v o l .   1 6 ,   n o .   2 ,   p p .   8 1 1 - 8 2 6 ,   Ap r il   2 0 1 8 .   [8 ]   S .   F .   A l - Az z a wi  a n d   M .   M .   Az iz,  “ Ch a o s  S y n c h ro n iza ti o n   o f  No n l in e a r  Dy n a m ica l  S y ste m s  v ia  a   No v e l  An a l y ti c a l   Ap p ro a c h , ”   Al e x a n d ria   En g in e e ri n g   J o u rn a l ,   v o l.   5 7 ,   n o .   4 ,   p p .   3 4 9 3 - 3 5 0 0 ,   De c e m b e r   2 0 1 8 .   [9 ]   M .   M .   Az iz  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ An ti - s y n c h r o n iza ti o n   o f   N o n li n e a r  D y n a m ica l  S y ste m s  Ba se d   o n   G a rd a n o ’s  M e th o d , ”   Op t ik ,   v o l.   1 3 4 ,   p p .   1 0 9 - 1 2 0 ,   Ap r il   2 0 1 7 .   [1 0 ]   M .   S ri v a sta v a ,   e t  a l. ,   “ An ti - S y n c h ro n iza ti o n   b e twe e n   Id e n ti c a l  a n d   No n - i d e n ti c a l  F ra c ti o n a l - Ord e r  C h a o ti c   S y ste m s  Us in g   Ac ti v e   C o n t ro l  M e th o d , ”   N o n li n e a r Dy n a mic s ,   v o l  7 6 ,   n o .   2 ,   p p .   9 0 5 - 9 1 4 ,   A p r il   2 0 1 4 .   [1 1 ]   M .   M .   Az iz  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ Hy b rid   C h a o s  S y n c h ro n iza ti o n   b e twe e n   Two   Diffe re n t   Hy p e rc h a o ti c   S y ste m s   v ia T wo   A p p r o a c h e s, ”   Op ti k ,   v o l .   1 3 8 ,   p p .   3 2 8 - 3 4 0 ,   J u n e   2 0 1 7 .   [1 2 ]   Y.  W.   Wan g   a n d   Z.   H.  G u a n ,   “ G e n e r a li z e d   sy n c h ro n iza ti o n   o f  c o n ti n u o u s  c h a o ti c   sy ste m , ”   Ch a o s ,   S o l it o n s  &  Fra c ta ls ,   v o l .   2 7 ,   n o . 1 ,   p p .   97 - 1 0 1 ,   Ja n u a ry   2 0 0 6 .   [1 3 ]   A.  S .   Al - Ob e id i  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ P ro jec ti v e   S y n c h r o n iza ti o n   fo r   a   Clas s  o f   6 - D   Hy p e rc h a o ti c   L o re n z   S y ste m , ”   In d o n e sia n   J o u r n a l   o f   El e c trica l  E n g in e e rin g   a n d   Co mp u ter   S c ien c e ,   v o l.   1 6 ,   n o .   2 ,   p p .   6 9 2 - 7 0 0 ,     No v e m b e r   2 0 1 9 .   [1 4 ]   Y.  D.  Ch u ,   e t  a l . ,   “ F u l l  S tate   H y b ri d   P r o jec ti v e   S y n c h ro n iza ti o n   in   Hy p e rc h a o ti c   S y ste m s, ”   Ch a o s ,   S o li t o n s   &   Fra c ta ls ,   v o l .   4 2 ,   n o .   3 ,   p p .   1 5 0 2 - 1 5 1 0 ,   N o v e m b e r   2 0 0 9 .   [1 5 ]   C.   Li   a n d   J.   Ya n ,   “ G e n e ra li z e d   P ro jec ti v e   S y n c h r o n iza ti o n   o f   C h a o s:  Th e   Ca sc a d e   S y n c h ro n iza ti o n   Ap p ro a c h , ”   Ch a o s ,   S o li t o n s &   Fr a c ta ls,   v o l.   30 ,  n o .   1 ,   p p .   1 4 0 - 1 4 6 ,  Oc t o b e r   2 0 0 6 .   [1 6 ]   S .   Va id y a n a t h a n ,   e t  a l .,  “ A  Ne w  Ch a o ti c   S y ste m   with   Ax e - S h a p e d   Eq u i li b ri u m ,   Its  Circu it   Im p l e m e n tatio n   a n d   Ad a p ti v e   S y n c h ro n iza ti o n , ”   Arc h i v e s o f  Co n tro l  S c ien c e s ,   v o l.   2 8 ,   n o .   3 ,   p p .   4 4 3 - 4 6 2 ,   2 0 1 8 .   [1 7 ]   M.   T.   Ya ss e n ,   “ Ch a o s  S y n c h ro n i z a ti o n   Be twe e n   Two   Diffe re n t  C h a o ti c   S y ste m s  Us in g   Ac ti v e   Co n tro l , ”   Ch a o s,   S o li t o n s   &   Fra c ta ls ,   v o l.   23 ,   n o .   1 ,   p p .   1 3 1 - 1 4 0 ,   Ja n u a ry   2 0 0 5 .   [1 8 ]   M .   M .   Az iz  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ Co n tr o l  a n d   S y n c h ro n iza ti o n   with   Kn o wn   a n d   U n k n o w n   P a ra m e ters , ”   Ap p li e d   M a t h e ma ti c s,  v o l.   7 ,   n o .   3 ,   pp.   292 - 3 0 3 ,   F e b r u a ry   2 0 1 6 .   [1 9 ]   A.  S .   Al - Ob e id i  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi ,  “ Co m p lete   S y n c h r o n iza ti o n   o f  a   No v e l  6 - D  Hy p e rc h a o ti c   Lo re n z   S y ste m   w it h   Kn o wn   P a ra m e ters , ”   In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  E n g i n e e rin g   &   T e c h n o l o g y ,   v o l.   7 ,   n o . 4 ,   p p .   5 3 4 5 - 5 3 4 9 ,   2 0 1 8 .   [2 0 ]   A.  S .   Al - Ob e i d i  a n d   S .   F .   A l - A z z a wi,   “ Ch a o s  S y n c h r o n iza ti o n   o f  a   Clas s  6 - D  Hy p e rc h a o ti c   L o re n z   S y ste m , ”   M o d e ll in g ,   M e a su re me n t  a n d   Co n tro l  B ,   v o l.   8 8 ,   n o . 1 ,   p p .   17 - 2 2 ,   S e p tem b e r   2 0 1 9 .     [2 1 ]   M .   M .   Az iz   a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ S o m e   P ro b lem s  o f   F e e d b a c k   C o n tr o l  S trate g ies   a n d   Its  Trea tme n t, ”   J o u rn a l   o f   M a t h e ma ti c s R e se a rc h ,   v o l .   9 ,   p p .   3 9 - 4 9 ,   F e b ru a ry   2 0 1 7 .   [2 2 ]   M.   T.   Ya ss e n ,   “ Co n tro ll in g   C h a o s  a n d   S y n c h r o n iza ti o n   f o r  Ne w  C h a o ti c   S y ste m   Us in g   L in e a r  F e e d b a c k   Co n tro l , ”   Ch a o s ,   S o li t o n s  &  Fr a c ta ls ,   v o l.   2 6 ,   n o .   3 ,   p p .   9 1 3 - 9 2 0 ,   No v e m b e r   2 0 0 5 .   [2 3 ]   S.   F .   A l - Az z a wi  a n d   M .   M .   Az i z ,   “ S trate g ies   o f   Li n e a r  F e e d b a c k   Co n tr o l  a n d   it s  c las sifica ti o n ,”   T EL KO M NIKA   T e lec o mm u n ica ti o n   Co mp u ti n g   E lec tro n ics   a n d   C o n tr o l ,   v o l .   1 7 ,   n o .   4 ,   p p .   1 9 3 1 - 1 9 4 0 ,   Au g u st   2 0 1 9 .   [2 4 ]   M .   M .   Az iz  a n d   a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ Ch a o s  Co n tr o l  a n d   S y n c h ro n iza ti o n   o f  a   N o v e l  5 - D  H y p e r c h a o ti c   Lo re n z   S y ste m   v ia  N o n li n e a r  Co n tro l , ”   In ter n a t io n a l   J o u r n a l   o f   M o d e rn   P h y sic s  a n d   A p p l ica ti o n ,   v o l.  2 ,   n o . 6 ,     p p .   1 1 0 - 1 1 5 ,   Ja n u a ry   2 0 1 5 .   [2 5 ]   A.  S .   Al - Ob e i d i  a n d   S .   F .   A l - Az z a wi,   “ Ch a o s  S y n c h ro n iza ti o n   i n   a   6 - D  Hy p e rc h a o ti c   S y st e m   wit h   S e lf - E x c it e d   Attrac to r, ”   T EL KO M NIKA  T e lec o mm u n ic a ti o n   C o mp u ti n g   El e c tro n ics   a n d   C o n tr o l ,   v o l .   1 8 ,   N o   3 ,   J u n e   2 0 2 0 .   [2 6 ]   G .   Zh a n g ,   e t  a l . ,   “ On   th e   D y n a m ics   o f  Ne w  4 D  Lo re n z - t y p e   C h a o s  S y ste m s, ”   A d v a n c e s  in   Diff e r e n c e   Eq u a ti o n s ,  v o l.   2 0 1 7 ,   n o .   1 ,   De c e m b e r   2 0 1 7 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.