ISSN: 1693-6 930                                           23     Perba nding a n  Antara Algo ritm a Dekom posi s i Standa r Haa r …..(Riyad Muba ra k  A)  PERBANDINGAN ANTARA ALGO RITMA DEKOMPOSISI  STANDAR HAAR DAN ALGORITM A DEKOMPOSISI  STANDAR RIYAD UNTUK PEMAMPATAN DATA CITRA      Riy a d Mubarak Abd u llah  Jur u s an Te kn ik I n f o rmat i k a  Fakult a s  Te k n ik   Universita s Sanata Dharm a   Yogyaka r ta       A b st r a k  Dalam  naska h ini ditam p ilkan p e rb andi ngan a n tara  dua alg o ritm a dekom po sisi  stand a r   yan g  dig una kan  untu k  p e m a m patan data cit r a.  Dua alg o ritm a dekom posi s i stand ar  ya ng   dim a ksu d ad alah ya ng d i m iliki Haar  dan Ri yad.   Dalam  naskah ini, diperken a lkan su atu   algoritm a  ba ru  yan g  a k a n  digu na kan  untuk m e mam patkan  da ta citra. Alg o ritm a ini pa da   haki k atn y a a dalah m odifika si atas  al goritm a  deko m posisi  stan dar  yan g  di buat oleh  Haar.  Algoritm a   de kom posi s i st anda r Haa r  m e m iliki  kele m ahan  yang  han ya dapat  digun akan  u n tuk  citra - citra ya ng berukura n  2n (d enga n n = 1,2,3, …), ya ng be rart i cit r a-citra tersebut h a ru s  beru k u r a n  g enap. Algo ri tm a baru yang di seb u t denga n dkriya d20 02 (singkatan unt uk  dekom posi s i  stand ar  Riya d tahun 2 002 ) dap at m engatasi kelem a han terse but. Algoritm a  baru  ini da pat di g una kan  untu k   citra  be ru kuran  ge nap   dan  ga sal.  Dari  ha sil uji   cob a  di dap atkan  bah wa alg o ri tm a baru ini  dalam  pro s esn y a le bi h  hem at flops (floating p o int operation s ),  sehi ngg a wa ktu proses d e kom posisi n ya m enjadi lebih  sing kat.    Kata kunci  : Algoritm a  De kom posi s i Standa r Ha ar,  Algoritm a  De kom posi s i Standa r Ri yad 2 002       1. PENGANTAR    Citra seba gai  kelua r an su atu sistem p e re kam an da ta dapat bersifat optis berupa foto,  bersifat a nal og b e rupa  si nyal video  se perti  gamb a r pad a m onito r televi si, ata u  be rsifat dig i tal  yang d apat l ang sun g  di si mpan  pad a  pita mag neti s . Men u rut p r esi s i ya ng  d i guna ka n unt uk  menyatakan  titik-titik koordinat pa da d o main  sp asia l atau bid ang  dan  untu k   menyatakan  nila i   kea bua n ata u  wa rn a  suatu   citra, m a ka  seca ra  t eoretis citra d apat  di kelom p o k an   menjadi  em p a t  kela s citra, yaitu citra kontinu- ko ntin u, kontinu - di skret, diskret-ko ntinu, da n diskret - di skret;  deng an label  pertam a  men y atakan p r e s i s i titik-titik ko ordin a t pada  bidan g citra  sedan gkan lab e l  ked ua m enya t akan  presi s i  nilai  keab uan  atau  wa rna.  Kontinu di nya t akan  de nga n  pre s i s i a n g k a  tidak terhi ngg a, seda ng kan  diskret dinya t akan d enga n  presi s i an gka terhing ga. Komputer di g i tal  bekerja  deng an ang ka -an g ka p r e s i s i terhing ga, den gan de mikia n  hanya citra  dari  kela s di skret - diskret yang  dapat diol ah  deng an komp uter. Citra d a r i kela s terse but lebih di ke nal se bag ai citra  digital.  Citra digital  merup a kan  larika n du a-dim e n s i atau matri ks  yang un sur-unsurny a   menyatakan  tingkat  kea b uan u n sur g a mba r , jadi  i n forma s i yan g  terkand ung  bersifat di skret.   Citra digital ti dak  selalu m e rup a kan ha sil langsu ng d a ta rekaman  sistem. Kad a ng-kad ang h a sil  rekama n dat a bersifat ko ntinu se perti  gamba r pa da monito r televisi, foto sina r-X, dan  lain   seb agai nya. Den gan  de mikian  untu k  mend apat k an  citra  digi tal dipe rlu k a n  suatu p r o s e s   konve r si, sehi ngga  citra terseb ut sela nju t nya dapat di pro s e s  den ga n komp uter [4 ].      2. GELOM B A N G -SING K AT  (GS)   GS adalah  fungsi ma tematika ya ng memu ng kin k an p e m bagia n  data  menjadi  komp one n-ko mpone n yan g  freku e n s in ya berbe da, kemu dian m e mpelaj ari setiap kom p o nen   deng an resol u si yan g  cocok u n tuk setiap u k u r an  (scale ). GS di kemb ang ka n  se ca ra lu as di   bidan g mate matika, fisi ka  kuantu m , teknik ele k tro, dan geol ogi se ismik. Kem a j uan pa da bid ang  ini selam a  sepulu h  tahu n terakhir m engh as il kan  banya k  aplikasi GS baru  sepe rti untuk  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                    ISSN: 1 693-693 0   TELKOM NIKA   Vol. 2, No. 1, April 2004  :  23 - 30   24   pemam patan  citra, ma sal ah turb ulen s,  tiruan p engli hatan ma nu si a, sistem  ra d a r, dan  pre d i ksi  gempa b u mi [2].        3. TRANSF ORM  Tran sfo r m meru pa kan  sala h satu pro s e s   yan g   be rsifat pe metaan   ba ku  untu k   kemu dah an  dan keefe k tifan se su ai d enga n tuj uan  pemamp a ta n data yang  bersifat merugi.  Tran sfo r m ci tra bekerja t e rha dap blo k -bl o k pi ksel . Blok piksel  biasanya b e ru ku ran ke cil,  misalnya  da pat dipilih  4  X 4, 8 X  8, atau 1 6   X 16 ma upu n yang lai n , dan  bu kan  pada   ke selu ruh an cit r a se kaligu s .   Terd apat du a  alasa n  pemili han blo k -blo k yang beru k u r an ke cil, yaitu :    a.  Tran sfo r m bl ok b e ru ku ran  ke cil atas  ci tra tertentu l ebih mu dah  dihitung d an  dipro s e s   darip ada tran sform  citra d e ngan u k u r an  penu h.   b.  Korela si anta r a pi ksel-pi ksel berj auha n  y ang lebih  ke cil da ripad a piksel -pi k sel yang   berd e katan a k an me mpe r mudah p r o s e s  tran sform itu sen d iri.       4.  GELOMB ANG SIN G KA T  H AAR    4.1 Haar : Ba sis Gelomba ng-Singka t  Paling Sederh ana     Basis  Ha ar  meru pa kan b a si s GS pali ng se de rha n a , telaahnya  akan  dimula i denga n   menguji  bag a i mana fun g si  dimen s i tung gal da pat disusu n men ggu nakan GS  Ha ar. Aka n  dilih at   fungsi   ba si s Haa r  se ca ra rinci   da n bag aimana   pe nyusu nan   GS Haa r  dapat   d i guna ka n  u n tu k  pemam patan.  Selanjutnya  aka n  dicari b eberapa  a p likasi ba si s Ha a r  yang melip u t i pemampata n   citra, pen gedi tan citra, dan  pen cari an ( qu ery ) cit r a.     4.2 Trans f or m Gelomban g-Singka t  (T GS) Ha ar Di mensi Tung gal    Untu k dapat  mengerti b agaima na G S  beke r ja, dimulai den ga n contoh  se derh ana.   Terd apat citra dimen s i tun ggal den gan  resolu si 4 pi ksel, yang me mpunyai nilai  piksel beri k u t  [9   7 3 5]. Citra ini dapat disajika n  mengg una kan ba si s Haar, den ga n menghitu n g  TGS seba gai  beri k ut. Dim u lai de nga n  mere rata kan  piksel b e rp asa nga n unt uk m end apat kan  citra de ngan   resolu si lebih  rend ah, den g an nilai pi ksel  [8 4].    Jela sla h  ba h w a b ebe rap a  informa s i hil ang d a lam p r ose s   rerata d an pe ncupli k an turu n.  Untu k dap at mempe r ole h  keem pat nilai  piksel sem u l a  dari kedu a piksel re rata,  perlu di simp an   bebe rap a   ko efisien rin c i ( detail coeffi cient)  ya ng  menan gkap i n forma s i yan g  hilang.  Dal a m  conto h  ini a k an dipilih  1 u n tuk  koefi s ie n rin c i pe rta m a, pada  sa at rerata yan g  dihitun g  ad alah 1   kurang nya d a r i 9  dan  1  lebi hnya d a ri  7.  Jumlah tu ngg a l  ini me mun g k in kan  2  piksel pe rtama  d a ri  citra  4 pi ksel  sem u la di pe roleh  ke mbali .  Hal  yang  sama dila ku ka n dalam  pe n entuan  ko efisien  rinci ked ua,  yaitu  1, ka ren a  4+( 1) =3  da n  4 ( 1)  =  5.    Seca ra rin g kas, aka n  disu sun kemb ali citra ke dala m  versi re sol u si  yang lebih re ndah (2  piksel) d an koefisie n rin c i sep e rti be riku t :    Reso lu si Rer a ta Ko efisien   Rinci 4  [9 7 3 5 ]    2 [8  4]  [1  1]    Proses te rse but diulan gi p ada re rata re kursif yang m e mbe r ikan de komp osi s i se cara  penu h:  Reso lu si Rer a ta Ko efisien   Rinci 4  [9 7 3 5]    2 [8  4]  [1  1]  1 [6]  [2]      Akhirnya a k a n  did e finisi ka n TGS  (ju g a  disebut  de kompo s isi  GS )  citra  a s li 4  pikse l   menjadi  koef isien tun ggal  yang mewa kili re rata ke selu ruh an cit r a a s li, yang  diikuti den g a n   koefi s ien  rin c i dalam  uruta n  re solu si ya ng be rt amb a h .  Jadi untu k   basi s  Haa r  dimen s i  tung gal,  TGS citra pi ksel a s li 4 dibe rika n oleh [6  2 1  1].  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA  ISSN:  1693-6 930                       Perba nding a n  Antara Algo ritm a Dekom posi s i Standa r Haa r …..(Riyad Muba ra k  A)   25 Bank tapi s a dalah  suatu  cara untu k  menghitu ng  TGS deng an  mererataka n se cara  rekursif (be r ul ang) da n m e mperku ran g kan  koefi s i enn ya. Perlu  diin gat ba hwa tid a k  ada  inform asi  yang dipe role h atau hilan g  karena p r o s es ini. Ci tra a s li memp uny ai 4 koefi s ien ,  demikian j u ga   deng an tran sform n ya. Denga n dib e ri kan  tran sf o r m, dapat  di su sun  kemb ali citra m e njadi  semb arang resol u si den g an  me namb a h ka n  secara rekursif  da n mengu ra ngi koefisie n  ri nci dari  versi resolu si yang lebih re ndah.     Penyimpan an  TGS suatu  citra akan   lebih men guntun gkan  darip ada me laku ka n  penyimpa nan  citra  asli. S a lah  satu  ke untung an T G S adalah  ba hwa  se ring  sejumlah  be sa r  k   pemoton gan  ko efisie n rinci m e mp u n yai mag n itude  sa ngat  ke cil.  Den gan m e ma n g ka s  ( trunc a ting ) a t au peng hap usa n  ko efisie n ke cil ini p ada cit r a ya ng disajikan,  hanya terd a pat  sedi kit  kesal ahan dala m  citra  ya ng  di su sun ke mb ali,  membe r i k an bentu k  pemam patan   citra   yang hilang.  Pertama  kali aka n  disajika n  fungsi b a si s Haar di men s i tunggal.     GS yang berhubu ngan  de ngan b a si s kotak di ken a l deng an GS Haar, yang dib e rikan  oleh:   1 2 , , 0    , 2 =   j j j i i i x          deng an    luarnya   di      , 0    1 < 2 / 1 untuk       , 1 2 / 1 < 0 untuk        , 1    x x x     4.3 Pers y a ratan Fung si G e lombang-Si ngka t  Haa r   4.3.1 Ortog o nalitas dan  Normalisasi     Basis Haar  membe r ikan  sifat pentin g  yang di ken a l  deng an o r to gonalita s  yan g  tidak  selal u  dibe ri kan pad a ba si s GS lain. Su atu ba sis o r t ogon al meru pakan satu d a ri semua fu ngsi  basi s  pe rtam a dalam h a l i n i   0 0 0 0 1 0 1 1 ,,, , ,      yang be rsi f at saling o r to gonal. O r togo nalitas  lebih kuat da ripad a yang  diper l u kan d a lam defini s i  GS, bahwa  i j  hanya menj adi orto gon al   untuk  semu a fungsi  skala p ada aras  j  y a ng se ca ra hie r ar ki s sam a .     Sifat lain GS  adal ah  pen o r mala n. Suat u fung si  ba si s  u ( x ) dino rmalka n  ji ka uu | 1 .  Dap a t dinorm a lka nnya ba si s Ha ar dila ku kan  mel a lui p engg antian d e finisi sebelu m nya:        i jj i jj xi xi x= 2 x= 2 j j 2 2           deng an fa kto r  ko nsta nta  2 j  dipilih ag ar  d i penu hi  uu | 1  untuk ha sil k ali-da lam stan da r   ( stan da rd inn e r produ ct) .    Den gan d e fin i si yang diu b ah ini, ko efisi en no rmali s a s i ba ru dip e roleh de nga n memba g i  masin g -m asi ng koefi s ien   l a ma berpan g k at  j  de ngan   2 j . Ja di  cont oh  dari  bagi an  sebelum nya,  koefi s ien yan g  tidak din o rmalka n [6 2 1  1] menjadi  koefi s ien tern ormal k a n .    2 1     2 1     2     6      Sebagai  suat u alternatif u n tuk  meng hitung  ko efisie n  perta ma ya ng tida k  dino rmal kan   dan kemudi an pro s e s   meno rmal kan n ya, dapat dimasukka n  peno rmal an  dalam susun a n   algoritm a . Du a pro s e dur  sandi tersam a r   (p se udo cod e )  be rikut me nunju k kan d e k omp o si si ya ng  dinormal k an i n i dan men e ruskan p enyu s un an koefisi en dalam tem patnya:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                    ISSN: 1 693-693 0   TELKOM NIKA   Vol. 2, No. 1, April 2004  :  23 - 30   26     proced ure  Dek o mpos is i   ( c : array [1..2 j ] of  reals)  c     c / j 2       (Penorm a lan  koe f isien-ko efisie n masu ka n)  g    2 j   while  g    2 d o   Lang ka h De kompo s isi  ( c  [ 1 .. g ] )  g     g /2  end while   end proc edu r e        proced ure   L ang kah De kompo s isi ( c : array [1..2 j ] of  real s)  for  i  1 to 2 j /2 do       2 / 2 1 2 2 / 2 2 / 2 1 2 i c i c i c i c i c i c j   end for  cc   end proc edu r e       Setelah di da pat de kom p o s isi  nol, p e rl u disusun  ke mbali d a ta a w al m eng gun aka n  p r o s ed ur 2   san d i tersam ar be rikut.      proced ure  Reko nstruksi ( c :array [1..2 j ] of  reals)  g    2  while  g    2 j  Lang ka h Re konstruksi (c [1.. g ] )  g    2 g   end while   j c c 2 (pen gem balia n terhad ap p enormala n)  end proc edu r e      proced ure  L ang kah  Re ko nstru k si ( c : array [1..2 j ] of r eals)  for  i 1 to 2 j /2 do          ci c i c i ci c i c i j j 21 2 2 2 22 2 2 // //   end for  cc   end proc edu r e         Prosedu r  sa ndi tersam ar di ata s  me mung kin k an untuk pen gerjaan  b a si s  o r tonorm a l,   yaitu pengo rt ogon alan d a n  peno rmal a n . Penggu na an ba sis  ort onormal dihil ang kan d eng an  cep a t ketika memamp atka n suatu fun g si atau citra [5] .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA  ISSN:  1693-6 930                       Perba nding a n  Antara Algo ritm a Dekom posi s i Standa r Haa r …..(Riyad Muba ra k  A)   27                                                                   Gambar 1 . Di agra m  alir alg o ritma de kom posi s i sta nda r Haa r       5.  H A S IL UJI ALGOR I TMA   B ARU  Diag ram  alir  algoritm a  Riy ad sepe rti yang  dip e rlih atkan pa da G a mbar  2. Dal a m bagia n   ini, diguna kan beb era p a  conto h  u n tuk pe nguji an algo ritma  dkriyad 200 2 dan ha sil n ya   diban ding kan  den gan  ha si l algo ritma  Haar. Se bag ai   catata n, citra-cit r a  ya ng  digun akan akan  digamb a rkan seb agai citra yang  bersifat penu h,  berp u sat di tenga h  (tega k atau  mendata r), d a n   terse b a r  disel u ruh bi dan g p anda ng.   Den gan m e n g ingat  kemb a li bagian il ust r asi ya ng tel ah diba ha s sebelum nya, d i  mana  suatu  citra  a k an diu bah m e njadi  suatu m a triks be ro rd e n X n. Untu k mem uda hkan pe ngg una an  algoritm a  b a ru ini, di gun akan rumu s m a t e matika  yang  memb ukti ka n kemam pua n alg o ritma  b a ru   dalam mem a mpatka n citra  beru k u r an g enap ma upu n  gasal.   Matriks  den g an m udah  d apat di pah a m i seba gai   suatu p enata a n  ba ri s p e r b a ris ata u   kolom  per  kolom de ngan  tanda-ta nda  tertentu,  se hingg a matri ks te rsebut  dapat dig una ka n   untuk menyajik an t r ans f ormas i   dan  analis is nya. J i ka operas i   s e mac a m itu dilak u k a n pada  persam aan   Ax  =   b ,  setel a h ditra n sfo r m k an  a k an  dip e role h p e rsa m aan  WA x =   Wb . Dari s i ni,   dapat ditulis ( WAW -1 )( Wx ) =  Wb . Sebag ai contoh, unt uk tran sform a si orto gon al  W , denga n  W -1   =  W T  did apat  hub unga n  ( WAW T ) Wx  =  W b  atau b W A  [3]. Sifat umum y ang m ena rik  pada  metode ini ad alah ba hwa  suatu TGS ata s  matri ks  rap a t akan me ng hasil ka n matriks ja ran g  [1].          Ya      2 / 2 1 2 2 / 2 2 / 2 1 2 i c i c i c i c i c i c j   i  = 1,2 j /2  Mu lai  Baca Citra,  j   j j g c c 2 2 /     g    2  c c   g  = g /2  Selesai Tidak  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                    ISSN: 1 693-693 0   TELKOM NIKA   Vol. 2, No. 1, April 2004  :  23 - 30   28                                                                                         Con t oh 1:  Untuk cit r a yan g  bersifat pen uh.    Tabel 1 . Perb andin gan ant ara gel omb a n g -si n g k at Ha ar dan d k riya d 2002 u n tuk  bebe rap a   uku r an  citra y ang be rsifat p enuh   U k u r an  Citra   GELOMBANG-SINGKA T  dkri ya d20 02  Haar     8 X 8   F l ops  487 0   576 6   W a ktu 0.160 0   0.170 0     24 X  24   F l ops  994 74   NA  W a ktu 0.380 0   NA    32 X  32   F l ops  227 23 0   238 78 8   W a ktu 1.390 0   1.490 0     Se l esa i b  ( i  +1) =  ( a (1  +  i  *2 ) +  a (1 + i  *  2 +  1 ))/ 2   z = 1 , n Mu lai Baca Citra n  = m a x(size(c itra))  step = l o g( n )/lo g(2 )   a 1 ( k ,: ) = b   a = b a = citra ( z ,:) k  = 1, ste p   i  = 0,  n /( 2 * k ) -  1  j  = 0,  n /( 2 * k ) -  1  b  (( n / k ) /  2 +   j  +  1 )  =   a (1  +  j  *2 ) -  b ( j  + 1)  Hasil( z ,: )  =  a   Gambar 2 . Di agra m  alir alg o ritma Riya d.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA  ISSN:  1693-6 930                       Perba nding a n  Antara Algo ritm a Dekom posi s i Standa r Haa r …..(Riyad Muba ra k  A)   29 Ha sil pro s e s  dekom po sisi  untuk citra beru k u r a n  32  X 32 di atas dap at dilihat pada   Gamba r  3.                 Gambar 3 . Perba ndin gan  hasil d e komp osi s is  citra ya ng bersifat pe nuh   yang berukuran 32 X 32     Conto h  2: Citra den gan  sifat berpu sat di  tengah (teg a k  atau men d a t ar).     Tabel 2 . Perb andin gan ant ara gel omb a n g -si n g k at Ha ar dan d k riya d200 2   untuk b ebe ra pa ukura n  citra deng an sifa t berpu sat di tenga h   Ukur an   Citra   GELOMB ANG- SINGKAT  dkriy a d200 2  Haar     8 X 8  Flops 4958   5852   Wa ktu  0.1600   0.1700     12 X 12  Flops 1446 0   Gagal   Wa ktu  0.3200   NA    24 X 24  Flops 9673 8   NA  Wa ktu  0.4400   NA    32 X 32  Flops 2144 30   2394 72   Wa ktu  1.2300    1.2600     64 X 64  Flops 1527 342   1739 964   Wa ktu  5.1400    5.1700     Con t oh 3:   Ci tra yang terse bar di keselu ruhan bi dang  pand ang.     Tabel 3 . Perb andin gan ant ara gel omb a n g -si n g k at Ha ar dan d k riya d200 2 untu k  bebe rap a   uku r an  citra y ang terseb ar  di ke selu ruh a n  bidan g pan dang   Ukur an   Citra   GELOMB ANG- SINGKAT  dkriy a d200 2  Haar     8 X 8  Flops 4896   5792   Wa ktu  0.1600   0.1700     24 X 24  Flops 9953 2   NA  Wa ktu  0.3300   NA    72 X 72  Flops 2400 590   NA  Wa ktu  5.3600   NA    144 X 144   Flops 1857 8088   1864 0248   Wa ktu  19.140 0   19.170 0     d k r i yad2 002 H aar  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                    ISSN: 1 693-693 0   TELKOM NIKA   Vol. 2, No. 1, April 2004  :  23 - 30   30   Hasil dari  proses de komposisi  untuk  citra berukuran  32  X 32 di  at as dapat  dilihat  pada  Gamba r  4.                                 Gambar 4 . Perba ndin gan  hasil d e komp osi s is  citra ya ng terseba r di  keseluruha n bidan g  pand ang yan g  beru k u r a n  32 X 32      6. KESIMPULAN  Dari  uji dua  algoritm a  terseb ut dapat  diambil  ke si mpulan  bah wa algo ritma b a ru yan g   dise but dkriy ad20 02 yang  dapat me nga tasi kel e m a h an  algo ritma seb e lumnya yang  dimiliki oleh  Haa r , yaitu pro s e s nya le bih hemat flops (flo ating  point operations)  se hing ga wa ktu prose s   dekompo si sin y a menjadi le bih sin g kat      DAF TA R PU STAK A   [  1]  Bond, D.  M.  and S. A. Va vasis,  “Fa s t Wav e let Tra n sforms   fo r M a trices Ari s ing  fr om  Bound ary Element M e th ods”   Cente r  for Applied M a themat ics, Engine erin g, and Theo ry   Cente r , Co rn ell University, It haca, NY 1 4853, Ma rch 24, 1994.   [ 2]   [Graps ,  A.,  “An Introdu ction to Wavelets”   IEEE Computational Science and  Enginee ring,  USA, 1-5 and  7-8, 1995.   [  3]  [Morton, P. and Pete rsen A.,  “I mage Compression  Using the  Haar  Wavele t   Trans f orm”    Math 45, Coll ege of the Re dwo o d s , De cembe r  19, 1-9, 1997.   [ 4]   [Murni,  M.,  “Peng a ntar Pengolahan   Citra ”  Pe nerbit PT El ex Media K o mputind o   Kelompo k  Gramedia, Jaka rta, 5, 1992.   [  5]  Stollnitz, E. J., T.D. DeRose, a nd  D. H. Sale sin,  “Wavele t  fo r Compu t er  Graphic s   Theory  and  Applica t ion”   Morgan K a u f mann Publi s hers, In c., Sa n Fra n ci sco,  California,   9-25, 89 -9 0, and 97 -98, 1 996.   dkriya d20 02   Haa r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.