T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 ,   p p .   4 0 0 ~ 4 0 8   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           4 0 0       R e c e i v e d   A p r i l   3 0 ,   2 0 1 2 ;   R e v i s e d   M a y   3 1 ,   2 0 1 2 ;   A c c e p t e d   J u n e   8 ,   2 0 1 2   L i m i t a t i o n   o f   S m a l l - w o r l d   T o p o l o g y   f o r   A p p l i c a t i o n   i n   N o n - d o m i n a t e d   S o r t i n g   D i f f e r e n t i a l   E v o l u t i o n       J u n - f a n g   L i ,   B u - h a n   Z h a n g   St a t e   Ke y   L a b o r a t o r y   o f   Ad v a n c e d   E l e c t r o m a g n e t i c   En g i n e e r i n g   a n d   T e c h n o l o g y / H u a z h o n g   U n i v e r s i t y   o f   Sc i e n c e   a n d   T e c h n o l o g y ,   W u h a n   4 3 0 0 7 4 ,   C h i n a   e - m a i l :   j f l i i @ 1 2 6 . c o m ,   z h a n g b u h a n @ m a i l . h u s t . e d u . c n       A b s t r a k   D a l a m   k o n t e k s   t e o r i   j a r i n g a n   k o m p l e k s ,   j a r i n g a n   d u n i a - k e c i l   a d a l a h   t e r k e n a l   u n t u k   f e n o m e n a   d u n i a - k e c i l ,   y a i t u   e n a m   d e r a j a t   p e m i s a h a n .   Be r b e d a   d e n g a n   a p l i k a s i   y a n g   l u a s   d a l a m   j a r i n g a n   s o s i a l ,   a n a l i s i s   j a r i n g a n   f i s i k   d a n   t e k n o l o g i ,   d a p a t   d i k o m b i n a s i k a n   d e n g a n   a l g o r i t m a   o p t i m a s i   m a t e m a t i k a   b a r u - b a r u   i n i .   P a d a   m a k a l a h   i n i ,   k e t e r b a t a s a n   d a r i   t o p o l o g i   j a r i n g a n   d u n i a - k e c i l   u n t u k   a p l i k a s i   p a d a   a l g o r i t m a   o p t i m a s i   m u l t i - o b y e k   a d a l a h   d i u s u l k a n .   Al g o r i t m a   o p t i m a s i   i n i   b e r d a s a r k a n   t o p o l o g i   j a r i n g a n   d u n i a - k e c i l   y a n g   p a l i n g   c o c o k   u n t u k   m e m e c a h k a n   m a s a l a h   o p t i m a s i   o b y e k - t u n g g a l ,   t e t a p i   m e m i l i k i   k e t e r b a t a s a n   d a n   e f e k t i v i t a s   y a n g   t i d a k   t e r l a l u   j e l a s   u n t u k   m e n a n g a n i   b a n y a k   m a s a l a h   o p t i m a s i   m u l t i - o b y e k .   M a k a l a h   i n i   m e n i t i k b e r a t k a n   a l g o r i t m a   e v o l u s i   n o n   d i f e r e n s i a l   p e n y o r t i r a n   t a k   d o m i n a n   ( N SD E)   b e r d a s a r k a n   t o p o l o g i   d u n i a - k e c i l   u n t u k   m e m e c a h k a n   d e l a p a n   m a s a l a h   o p t i m a s i   m u l t i - o b y e k   ( M O PS) ,   s e b a g a i   c o n t o h y a .   D i b a n d i n g k a n   d e n g a n   a l g o r i t m a   N SD a w a l ,   k e t e r b a t a s a n   e f i s i e n s i   t o p o l o g i   d u n i a - k e c i l   d i   N SD d i v a l i d a s i   d e n g a n   h a s i l   s i m u l a s i   M a t l a b   u n t u k   d e l a p a n   u j i   f u n g s i   M O E d a r i   a w a l   t a h u n   2 0 0 7 .   H a s i l n y a   m e m b u k t i k a n   b a h w a   t o p o l o g i   d u n i a - k e c i l   m e m i l i k i   k e t e r b a t a s a n   d a n   t i d a k   t e r l a l u   j e l a s   u n t u k   m e n i n g k a t k a n   e f e k t i v i t a s   a l g o r i t m a   o p t i m a s i   m u l t i - o b y e k ,   t i d a k   s e b a g u s   u n t u k   m e n i n g k a t k a n   a l g o r i t m a   o p t i m a s i   o b y e k   t u n g g a l .     K a t a   k u n c i :   j a r i n g a n   d u n i a - k e c i l ,     j a r i n g a n   k o m p l e k s ,   M O P,   N SD E,   t e o r i   j a r i n g a n       A b s t r a c t     I n   t h e   c o n t e x t   o f   c o m p l e x   n e t w o r k   t h e o r y ,   t h e   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   i s   f a m o u s   f o r   t h e   s m a l l - w o r l d   p h e n o m e n o n ,   n a m e l y   s i x   d e g r e e s   o f   s e p a r a t i o n .   D i f f e r e n t   f r o m   i t s   w i d e   a p p l i c a t i o n   i n   t h e   s o c i a l ,   p h y s i c a l   a n d   t e c h n o l o g i c a l   n e t w o r k   a n a l y s i s ,   i t   c a n   b e   c o m b i n e d   w i t h   t h e   m a t h e m a t i c a l   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   r e c e n t l y .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   l i m i t a t i o n   o f   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   t o p o l o g y   f o r   a p p l i c a t i o n   i n   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   i s   p r o p o s e d .   T h e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   b a s e d   o n   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   t o p o l o g y   m a y   b e   s u i t a b l e   f o r   s o l v i n g   a   f e w   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s ,   b u t   h a s   l i m i t a t i o n   a n d   u n o b v i o u s   e f f e c t i v e n e s s   t o   d e a l   w i t h   m a n y   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s .   T h i s   p a p e r   t a k e s   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   a l g o r i t h m   ( N SD E)   b a s e d   o n   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   t o   s o l v e   e i g h t   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   ( M O Ps )   f o r   e x a m p l e .   C o m p a r e d   w i t h   e a r l y   N SD a l g o r i t h m ,   t h e   l i m i t a t i o n   o f   t h e   e f f i c i e n c y   o f   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   i n   N SD i s   v a l i d a t e d   w i t h   t h e   M a t l a b   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   o f   e i g h t   M O EA  t e s t   f u n c t i o n s   o f   e a r l y   2 0 0 7 .   T h e   r e s u l t s   p r o v e   t h a t   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   h a s   l i m i t a t i o n   a n d   u n o b v i o u s   e f f e c t i v e n e s s   t o   i m p r o v e   a   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m ,   n o t   a s   g o o d   a s   t o   i m p r o v e   a   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m .       K e y w o r d s :   c o m p l e x   n e t w o r k ,   M O P ,   n e t w o r k   t h e o r y ,   N SD E,   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k         1 .     I n t r o d u c t i o n   T h e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   c a n   b e   c l a s s i f i e d   i n t o   t w o   c a t e g o r i e s :   t h e   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   a s   i n   [ 1 - 2 ]   a n d   t h e   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   [ 3 ] .   M a n y   r e a l - w o r l d   p r o b l e m s   w i t h   s e v e r a l   c o n f l i c t i n g   o b j e c t i v e s   t o   b e   o p t i m i z e d   a t   t h e   s a m e   t i m e   a r e   c a l l e d   t h e   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   ( M O P ) .   T h e   m u l t i - o b j e c t i v e   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m s   ( M O E A s )   h a v e   b e e n   r e c o g n i z e d   t o   b e   t h e   e f f i c i e n t   a l g o r i t h m s   t o   s o l v e   t h e   M O P   p r o b l e m s .   R e s e a r c h e r s   i m p r o v e   t h e   M O E A s   a i m i n g   t o   f i n d   t h e   m o s t   a p p r o x i m a t e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t   c l o s e   t o   t h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t .   S o m e   p r e v i o u s   M O E A s   i n c l u d e   t h e   v e c t o r - e v a l u a t e d   g e n e t i c   a l g o r i t h m   ( V E G A )   b y   S c h a f f e r   [ 4 ] ,   t h e   m u l t i - o b j e c t i v e   g e n e t i c   a l g o r i t h m   ( M O G A )   b y   F o n s e c a   a n d   F l e m i n g   [ 5 ] ,   t h e   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g   g e n e t i c   a l g o r i t h m   ( N S G A )   b y   S r i n i v a s   a n d   D e b   [ 6 ] ,   t h e   n i c h e d   P a r e t o   g e n e t i c   a l g o r i t h m   ( N P G A )   b y   H o r n   a n d   N a f p l i o t i s   [ 7 ] ,   t h e   s t r e n g t h   P a r e t o   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m   ( S P E A )   b y   Z i t z l e r   e t   a l .   [ 8 ]   a n d   S P E A 2   [ 9 ] ,   t h e   P a r e t o   a r c h i v e d   e v o l u t i o n   s t r a t e g y   ( P A E S )   [ 1 0 ]   a n d   P E S A   [ 1 1 ]   b y   K n o w l e s   a n d   C o r n e ,   t h e   P a r e t o   e n v e l o p e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       L i m i t a t i o n   o f   S m a l l - w o r l d   T o p o l o g y   f o r   A p p l i c a t i o n   i n   N o n - d o m i n a t e d   .   ( J u n - f a n g   L i )   4 0 1   b a s e d   s e l e c t i o n   a l g o r i t h m   ( P E S A - I I )   [ 1 2 ] ,   N S G A - I I   b y   D e b   e t   a l .   [ 1 3 ] ,   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   ( N S D E )   b y   I o r i o   a n d   L i   [ 1 4 ]   a n d   n o n - d o m i n a t e d   n e i g h b o r   I m m u n e   A l g o r i t h m   ( N N I A )   b y   M a o g u o   G o n g   [ 1 5 ] .   A m o n g   t h e m ,   t h e   l a s t   t h r e e   a l g o r i t h m s   a t t r a c t   m a n y   r e s e a r c h e r s   a t t e n t i o n .   T h e   i d e a   o f   N S D E   c o m b i n e s   t h e   a d v a n t a g e s   o f   D i f f e r e n t i a l   E v o l u t i o n   ( D E )   w i t h   m e c h a n i s m s   o f   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g   a n d   c r o w d i n g   d i s t a n c e   d e r i v e d   f r o m   t h e   N S G A - I I ,   e n a b l i n g   N S D E   a   f a s t   c o n v e r g e n c e   t o w a r d   t h e   t r u e   P a r e t o   f r o n t   [ 1 6 ] .   T h e   s t a t e - o f - t h e - a r t   D E   t e c h n i q u e s   a r e   s u m m a r i z e d   i n   [ 1 6 ] .   T h e s e   D E   t e c h n i q u e s   c a n   b e   c l a s s i f i e d   i n t o   t w o   c a t e g o r i e s   a c c o r d i n g   t o   d i f f e r e n t   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y ,   n a m e l y   r a n d o m   t o p o l o g y   a n d   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y .   D e s p i t e   t h e   g o o d   p e r f o r m a n c e   a n d   s i m p l e   d e s i g n   d e r i v e d   f r o m   D E ,   m o s t   o f   t h e   e x i s t i n g   w o r k s   i n   t h e   l i t e r a t u r e   i m p l e m e n t   D E   w i t h   p a n m i c t i c   p o p u l a t i o n   [ 1 7 ] .   T h e   p o p u l a t i o n   s t r u c t u r e   h a s   a   m a j o r   i n f l u e n c e   o n   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   D E   a l g o r i t h m s .   S m a l l - w o r l d   t o p o l o g i e s   w e r e   a d o p t e d   f o r   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m   f i r s t l y   b y   G i a c o b i n i   e t   a l .   i n   2 0 0 5   [ 1 8 ]   i n   o r d e r   t o   s h o w   t h a t   s p a t i a l l y   s t r u c t u r e d   p o p u l a t i o n s   h a v e   d i s t i n c t i v e   a d v a n t a g e s   o v e r   p a n m i c t i c   o n e s .   T h e   c l a s s i c a l   D E   f o r   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   w i t h   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   t h e o r y   [ 1 9 ]   w a s   i n t r o d u c e d   i n   [ 1 7 ] .   I t s   e f f e c t i v e n e s s   w a s   t e s t e d   o n   t h e   s i n g l e   o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   [ 2 0 ] - [ 2 1 ]   w i t h   3 0   o r   5 0   d e c i s i o n   v a r i a b l e s .   E v e n   t h o u g h   t h e   p e r f o r m a n c e s   o f   a l l   D E   a l g o r i t h m s   a r e   t a s k - d e p e n d e n t ,   D E   b a s e d   o n   t h e   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   s e e m s   t o   b e   o n e   o f   t h e   b e s t   a n d   f a s t e s t   a l g o r i t h m s   f o r   a   l a r g e   a m o u n t   o f   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   c a s e s .   H o w e v e r ,   r e c e n t l y ,   n o   p a p e r   d e m o n s t r a t e s   w h e t h e r   t h e   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   c o m b i n e d   w i t h   s o m e   M O E A s   t o   s o l v e   M O P   p r o b l e m   h a s   h i g h   e f f i c i e n c y .   T h e   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   i s   d i f f e r e n t   f r o m   t h e   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m .   T h e   f o r m e r   a i m s   t o   f i n d   t h e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t   f o r m e d   b y   m a n y   n o n - d o m i n a t e d   s o l u t i o n s ,   w h i l e   t h e   l a t t e r   a i m s   t o   f i n d   o n l y   o n e   b e s t   s o l u t i o n .   I f   t h e   l i m i t a t i o n   o f   a   t e c h n i q u e   i s   n o t   i n t r o d u c e d   c l e a r l y ,   m i s u s e   o f   t h i s   t e c h n i q u e   m a y   n o t   g e t   a n   e x p e c t e d   e f f e c t .   D u e   t o   t h e   d i s c u s s i o n   o f   c o m b i n i n g   t h e   c o m p l e x   n e t w o r k   t h e o r y   w i t h   p r e v i o u s   m a t h e m a t i c a l   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   i s   s t i l l   s e l d o m   s e e n ,   t h i s   p a p e r   t a k e s   N S D E   b a s e d   o n   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   t o   s o l v e   e i g h t   M O P   p r o b l e m s   f o r   e x a m p l e .   T h e   l i m i t a t i o n   o f   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   t o p o l o g y   f o r   a p p l i c a t i o n   i n   N S D E   i s   p r o p o s e d .   T h e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   b a s e d   o n   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   t o p o l o g y   m a y   b e   s u i t a b l e   f o r   s o l v i n g   a   f e w   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s ,   b u t   h a s   l i m i t a t i o n   a n d   u n o b v i o u s   e f f e c t i v e n e s s   t o   d e a l   w i t h   m a n y   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s .   I n   t h i s   p a p e r ,   N S D E   a l g o r i t h m   w i t h   t h e   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   i s   c a l l e d   N S D E - S W .   T o   t e s t   t h e   e f f e c t i v e n e s s   f o r   s o l v i n g   t h e   M O P   p r o b l e m s ,   t h i s   p a p e r   c o m p a r e s   N S D E - S W   w i t h   c l a s s i c a l   N S D E   o n   e i g h t   k n o w n   M O E A   t e s t   f u n c t i o n s   o f   e a r l y   2 0 0 7   [ 2 2 ] ,   i n c l u d i n g   t h r e e   l o w - d i m e n s i o n a l   p r o b l e m s ,   o n e   D T L Z   p r o b l e m   a n d   f o u r   Z D T   p r o b l e m s .     T h e   p a p e r   i s   o r g a n i z e d   a s   f o l l o w s .   I n   s e c t i o n   2 ,   t h e   d e s i g n   o f   N S D E - S W   i s   d e s c r i b e d .   I n   s e c t i o n   3 ,   t h e   c a s e   s t u d i e s   w i t h   t h e   m a t l a b   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   a r e   t a k e n   f o r   e x a m p l e .   S e c t i o n   4   c o n c l u d e s   t h i s   p a p e r .       2 .   R e s e a r c h   M e t h o d   2 . 1 .   T h e o r y   B a c k g r o u n d   o f   N S D E - S W     T h e   r e l a t e d   b a c k g r o u n d   a n d   t h e   m o d e l   o f   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   c a n   b e   f o u n d   i n   [ 1 4 ] ,   [ 2 2 ] .   I n   t h e   c o n t e x t   o f   n e t w o r k   t h e o r y ,   a   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   i s   a   t y p e   o f   m a t h e m a t i c a l   g r a p h   i n   w h i c h   m o s t   n o d e s   a r e   n o t   n e i g h b o r s   o f   o n e   a n o t h e r ,   b u t   m o s t   n o d e s   c a n   b e   r e a c h e d   f r o m   e a c h   o t h e r   b y   a   s m a l l   n u m b e r   o f   s t e p s .   A c c o r d i n g   t o   t w o   i n d e p e n d e n t   s t r u c t u r a l   f e a t u r e s ,   n a m e l y   t h e   c l u s t e r i n g   c o e f f i c i e n t   a n d   a v e r a g e   n o d e - t o - n o d e   d i s t a n c e   ( o r   c a l l e d   a v e r a g e   s h o r t e s t   p a t h   l e n g t h ) ,   t h e   g r a p h s   c a n   b e   c l a s s i f i e d   i n t o   t h r e e   c a t e g o r i e s ,   n a m e l y   r e g u l a r   g r a p h ,   r a n d o m   g r a p h   a n d   s m a l l - w o r l d   g r a p h .   I n   1 9 9 8 ,   W a t t s   a n d   S t r o g a t z   [ 1 9 ]   p r o p o s e d   a   s m a l l - w o r l d   W a t t s - S t r o g z t z   ( W S )   m o d e l   w h i c h   i n t e r p o l a t e s   b e t w e e n   r e g u l a r   a n d   r a n d o m   g r a p h s .   T h e   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   c a n   b e   h i g h l y   c l u s t e r e d ,   l i k e   r e g u l a r   l a t t i c e s ,   y e t   h a v e   s m a l l   c h a r a c t e r i s t i c   p a t h   l e n g t h s ,   l i k e   r a n d o m   g r a p h s   [ 1 9 ] .   T h e   s y s t e m   w i t h   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   c h a r a c t e r i s t i c s   a l s o   h a s   a   g r e a t e r   d e p t h   a n d   w i d e r   b r e a d t h .   T h i s   f e a t u r e   m a k e s   t h e   p o p u l a t i o n   i n d i v i d u a l s   f r o m   a   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   c o m b i n e d   w i t h   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   f a s t   c o n v e r g e   t o   t h e   o b j e c t i v e   v a l u e .   T h u s ,   m o d e l s   o f   s y s t e m s   w i t h   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   s h o w   e n h a n c e d   c o m p u t a t i o n a l   p o w e r   a n d   f a s t   s p r e a d   a b i l i t y .   I n   t h i s   p a p e r ,   N S D E - S W   a l g o r i t h m   i s   b a s e d   o n   t h e   s m a l l - w o r l d   W S   t o p o l o g y .   T h e   r e g u l a r   n e t w o r k   w i t h   1 0   n o d e s   a n d   e a c h   n o d e   h a v i n g   4   n e i g h b o r s ,   c h a n g i n g   i n t o   t h e   s m a l l - w o r l d   g r a p h   a n d   r a n d o m   g r a p h   a r e   s h o w n   i n     F i g u r e   1 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     4 0 0     4 0 8   4 0 2   F i g u r e   1 .   S m a l l - w o r l d   n e t w o r k   c o n s t r u c t i o n       I n   F i g u r e   1 ,   t h e   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k   c o n s t r u c t i o n   h a s   r e l a t i o n   w i t h   t h e   r e w i r i n g   p r o b a b i l i t y   p .   T h e   r e w i r i n g   p r o b a b i l i t y   p   o f   W S   m o d e l   i s   b e t w e e n   r e g u l a r i t y   ( p = 0 )   a n d   r a n d o m   ( p   = 1 ) .   W h e n   p   i s   c h a n g e d   f r o m   z e r o   t o   o n e ,   t h e   g r a p h   i s   c h a n g e d   f r o m   a   r e g u l a r   g r a p h   t o   a   r a n d o m   g r a p h .   W h e n   0 < p < 1 ,   t h e   g r a p h   i s   a   s m a l l - w o r l d   g r a p h .   W e l l   e x p l a i n   h o w   t h e   n e t w o r k   i s   r e l a t e d   w i t h   t h e   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   i n   a n   e v o l u t i o n   a l g o r i t h m   a s   f o l l o w s .   I n   a   n e t w o r k ,   e a c h   n o d e   c a n   b e   s e e n   a s   a n   i n d i v i d u a l .   A l l   n o d e s   f o r m   a   p o p u l a t i o n .   T h e   a m o u n t   o f   n o d e s   i s   t h e   s i z e   o f   t h e   p o p u l a t i o n .   T h i s   s i t u a t i o n   i s   s i m i l a r   t o   a   p o p u l a t i o n   f o r   a n   e v o l u t i o n   a l g o r i t h m .   I n   t h e   i n i t i a l i z a t i o n   s t e p ,   w e   n e e d   s e t   a   p o p u l a t i o n   s i z e .   I n   t h e   m u t a t i o n   a n d   c r o s s o v e r   p r o c e s s ,   t h e   p o p u l a t i o n   s i z e   i s   k e p t   u n c h a n g e d .   A   p a i r   o r   t w o   p a i r s   o f   p a r e n t   i n d i v i d u a l s   a r e   s e l e c t e d   t o   p r o d u c e   o n e   o r   t w o   p a i r s   o f   o f f s p r i n g   i n d i v i d u a l s .   H o w   t o   s e l e c t   t h e   p a r e n t   i n d i v i d u a l s   i s   a   m a i n   p r o b l e m   t h a t   m a y   i n f l u e n c e   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a n   a l g o r i t h m .       T h e   c o m m o n   w a y   i s   t o   r a n d o m l y   s e l e c t   t w o   p a r e n t s .   T h e   p a r e n t   i n d i v i d u a l s   a r e   r e p r e s e n t e d   b y   t h e   n o d e s   i n   t h e   n e t w o r k .   A c c o r d i n g   t o   t h e   c o m p l e x   n e t w o r k   t h e o r y ,   t h e   r a n d o m   s e l e c t i o n   o f   p a r e n t s   i s   s i m i l a r   t o   f o r m i n g   a   r a n d o m   g r a p h   f o r   t h e   p o p u l a t i o n .   I n   t h e   r a n d o m   g r a p h   i n   F i g u r e   1 ,   w e   c a n   s e e   t h a t   n o d e   1   i s   l i n k e d   t o   t h r e e   n o d e s ,   i . e .   n o d e s   2 ,   5   a n d   8 .   I f   u s i n g   t h i s   r a n d o m   g r a p h   i n   a n   e v o l u t i o n   a l g o r i t h m ,   t h e r e   a r e   t h r e e   p a i r s   o f   p a r e n t s   s e l e c t e d   t o   p r o d u c e   t h e   o f f s p r i n g   i n d i v i d u a l s ,   n a m e l y   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   2 ,   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   5 ,   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   8 .   I f   t a k i n g   t h e   s m a l l - w o r l d   g r a p h   a s   e x a m p l e ,   w e   c a n   s e e   t h a t   n o d e   1   i s   l i n k e d   t o   n o d e s   3 ,   5   a n d   1 0   i n   F i g u r e   1 .   I f   u s i n g   t h i s   s m a l l - w o r l d   g r a p h   i n   a n   e v o l u t i o n   a l g o r i t h m ,   t h e r e   a r e   t h r e e   p a i r s   o f   p a r e n t s ,   n a m e l y   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   3 ,   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   5 ,   p a r e n t   1   a n d   p a r e n t   1 0 .   I n   F i g u r e 1 ,   a l l   t h r e e   g r a p h s   h a v e   2 0   e d g e s ,   n a m e l y   2 0   d i f f e r e n t   c o n n e c t i o n s .   D u e   t o   d i f f e r e n t   w a y s   o f   c o n n e c t i o n ,   t h e   g r a p h s   h a v i n g   t h e   s a m e   a m o u n t   o f   n o d e s   a n d   s a m e   a m o u n t   o f   e d g e s   h a v e   d i f f e r e n t   n e t w o r k   s t r u c t u r a l   f e a t u r e s .   I f   u s e d   i n   t h e   m u t a t i o n   a n d   c r o s s o v e r   o p e r a t o r s   i n s t e a d   o f   r a n d o m l y   s e l e c t i n g   p a r e n t s ,   t h e   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   m a k e s   t h e   p o p u l a t i o n   h a v e   t w o   a d v a n t a g e s ,   n a m e l y   h i g h   c l u s t e r i n g   c o e f f i c i e n t   a n d   s m a l l   c h a r a c t e r i s t i c   p a t h   l e n g t h s .     2 . 2 .   D e s c r i p t i o n   o f   N S D E   w i t h   S m a l l - w o r l d   T h e   d e s c r i p t i o n   o f   N S D E   c a n   b e   f o u n d   i n   [ 1 4 ] .   T h i s   a p p r o a c h   i s   a   s i m p l e   m o d i f i c a t i o n   o f   t h e   N S G A - I I .   T h e   o n l y   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   N S D E   a n d   N S G A - I I   i s   i n   t h e   m e t h o d   f o r   g e n e r a t i n g   n e w   o f f s p r i n g   i n d i v i d u a l s   [ 2 3 ] .   I n   t h e   N S D E ,   D E   o p e r a t o r   r e p l a c e s   o f   a   r e a l - c o d e d   c r o s s o v e r   a n d   m u t a t i o n   o p e r a t o r   a s   i n   N S G A - I I .   A c c o r d i n g   t o   t h e   d i f f e r e n t   D E   o p e r a t o r s ,   a   s u r v e y   o f   t h e   p r e v i o u s   D E   t e c h n i q u e s   a n d   t h e i r   v a r i a n t s   w h i c h   h a v e   b e e n   e x t e n d e d   t o   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   i s   p r e s e n t e d   i n   [ 2 3 ] ,   i n c l u d i n g   D E / r a n d / 1 / b i n ,   D E / r a n d / 1 / e x p ,   D E / b e s t / 1 / b i n ,   D E / b e s t / 1 / e x p ,   e t   a l . .   T h e s e   D E   o p e r a t o r s   a n d   t h e   p o p u l a t i o n   s t r u c t u r e   a r e   t w o   d i f f e r e n t   a s p e c t s .   F o r   e x a m p l e ,   a   b a s i c   v a r i a n t   o f   D E / r a n d / m / b i n   i s   g i v e n   a s   [ 2 3 ] :     3 1 2 , , , 1 , , i f o r o t h e r w i s e ( ) ( 0 , 1 ) m m m r j j r r j r j k i j i j   x F x x     U C R     j = j u x                                                           = + × - < =                                   ( 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       L i m i t a t i o n   o f   S m a l l - w o r l d   T o p o l o g y   f o r   A p p l i c a t i o n   i n   N o n - d o m i n a t e d   .   ( J u n - f a n g   L i )   4 0 3   W h e r e ,   x = [ x 1 ,   x 2 ,   ,   x n ] T   i s   t h e   v e c t o r   o f   d e c i s i o n   v a r i a b l e s ,   j r   i s   a   r a n d o m   i n t e g e r   n u m b e r   g e n e r a t e d   u s i n g   a   u n i f o r m   d i s t r i b u t i o n   b e t w e e n   [ 0 ,   n ] ,   a n d   n   i s   t h e   n u m b e r   o f   v a r i a b l e s   o f   t h e   p r o b l e m .   U j ( 0 ,   1 )   i s   a   r e a l   n u m b e r   r a n d o m l y   g e n e r a t e d   u s i n g   a   u n i f o r m   d i s t r i b u t i o n   b e t w e e n   [ 0 ,   1 ] .   m   i s   t h e   n u m b e r   o f   p a i r s   o f   p a r e n t s   u s e d   t o   c a l c u l a t e   t h e   d i f f e r e n c e s   i n   t h e   m u t a t i o n   o p e r a t o r .   u i ,j   i s   t h e   o f f s p r i n g ,   x r 3 , j   i s   t h e   d o n o r   s o l u t i o n   r a n d o m l y   s e l e c t e d ,   x r 1 m   a n d   x r 2 m   a r e   t h e   m t h   p a i r   t o   c a l c u l a t e   t h e   m u t a t i o n   d i f f e r e n t i a l .   T h e r e   a r e   t w o   c o n t r o l   p a r a m e t e r s :   t h e   s c a l e   f a c t o r   F   a n d   t h e   c r o s s o v e r   r a t e   C R .   T h e   e l e m e n t s   o f   v e c t o r   x   a r e   i n d i v i d u a l s   t h a t   c a n   b e   s e e n   a s   n o d e s   i n   t h e   n e t w o r k .   W e   a i m   t o   f i n d   s e v e r a l   a p p r o p r i a t e   c o n n e c t i o n s   f o r   x r 1 m   a n d   x r 2 m   t o   f o r m   t h e   m t h   p a i r .   T h u s ,   e a c h   D E   o p e r a t o r   c o m b i n e d   w i t h   r a n d o m   o r   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   s t r u c t u r e   h a s   n o   c o n f l i c t .   I n   t h i s   s e c t i o n ,   w e   d e s c r i b e   t h e   r e w i r i n g   p r o c e s s   o f   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   c o m b i n e d   w i t h   N S D E .     F o r   t h e   m a t i n g   o p e r a t o r   i n   t h e   c l a s s i c a l   E A s ,   t h e   p o p u l a t i o n   m o d e l   t h a t   a l l   s e l e c t e d   p a r e n t s   c a n   i n t e r a c t   w i t h   o n e   a n o t h e r   i s   k n o w n   a s   p a n m i c t i c .   A l l   n o n - d o m i n a t e d   s o l u t i o n s   i n   e a c h   g e n e r a t i o n   h a v e   a   c l o s e   r e l a t i o n s h i p   w i t h   n e i g h b o r i n g   n o n - d o m i n a t e d   s o l u t i o n s   a f t e r   t h e   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g ,   b e c a u s e   t h e   o b j e c t i v e   v a l u e s   o f   t h e   n e i g h b o r s   a r e   c l o s e r   t h a n   t h o s e   o f   t h e   o t h e r   s o l u t i o n s .   W e   c a n   d e a l   w i t h   t h i s   c l o s e   r e l a t i o n s h i p   a s   n e i g h b o r i n g   c o n n e c t i o n   i n   t h e   n e t w o r k .   I n   t h e   c r o s s o v e r   a n d   m u t a t i o n   o p e r a t o r s ,   d i f f e r e n t   s e l e c t i o n s   o f   p a r e n t   c h r o m o s o m e s   t o   g e n e r a t e   t h e   o f f s p r i n g   c h r o m o s o m e s   h a v e   m a i n   i n f l u e n c e   o n   t h e   e f f e c t i v e n e s s   o f   a l g o r i t h m s .   I n   o r d e r   t o   f a s t   c o n v e r g e   t o   t h e   a p p r o x i m a t e   P a r e t o   f r o n t   w h e n   t h e   p o p u l a t i o n   s i z e   i s   l a r g e ,   p r e s e r v i n g   m o r e   p a r e n t   c h r o m o s o m e s   w i t h   t h e   b e s t   f i t n e s s   s e e m s   t o   e n a b l e   t h e   a l g o r i t h m   a   b e t t e r   p e r f o r m a n c e   t h a n   r a n d o m   s e l e c t i o n .   H o w e v e r ,   o n l y   s e l e c t i n g   n e i g h b o r i n g   p a r e n t   r e g u l a r l y ,   s i m i l a r   t o   a   r e g u l a r   n e t w o r k   t o p o l o g y ,   m a k e s   t h e   a l g o r i t h m   r e l a t i v e l y   p o o r   p o p u l a t i o n   d i v e r s i t y .   T h e   m a t c h i n g   o f   t h e   p a r e n t   c h r o m o s o m e s   b a s e d   o n   t h e   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   i s   b e t w e e n   t h e   r a n d o m l y   s e l e c t i o n   a n d   r e g u l a r   s e l e c t i o n .   I n   t h e   W S   m o d e l ,   t h e   r a n d o m   r e w i r i n g   p r o c e d u r e   i s   s t a r t e d   f r o m   a   r i n g   g r a p h   w i t h   n   n o d e s   a n d   k   e d g e s .   O n e   n o d e   o f   e a c h   e d g e   i s   l o c a t e d   u n c h a n g e d ,   w h i l e   t h e   o t h e r   n o d e   i s   r e w i r e d   a t   r a n d o m   w i t h   t h e   p r o b a b i l i t y   p .     T h e   W S   m o d e l   w i t h   a   s u i t a b l e   p r o b a b i l i t y   p   i s   c o m b i n e d   i n t o   N S D E   a l g o r i t h m   t o   g e t   f a s t   e x p l o r a t i o n   c a p a b i l i t y .   W e   g i v e   i t s   p s e u d o - c o d e   i n   F i g u r e   2 ( a ) .   T h e   p s e u d o - c o d e   i s   t h e   p r o c e s s   o f   b u i l d i n g   t h e   W S   m o d e l .   A c c o r d i n g   t o   [ 1 9 ] ,   t h e r e   a r e   t w o   s t e p s   t o   b u i l d   t h e   W S   m o d e l .   F i r s t l y ,   a   r e g u l a r   g r a p h   w i t h   a   r i n g   o f   n   v e r t i c e s   i s   b u i l t .   I n   t h e   g r a p h ,   e v e r y   n o d e   i s   c o n n e c t e d   t o   i t s   k   n e a r e s t   n e i g h b o r s   w i t h   t h e   s a m e   n u m b e r   ( i . e .   k / 2 )   o f   n e i g h b o r s   o n   b o t h   s i d e s   b y   u n d i r e c t e d   e d g e s .   A n   n - b y - n   s t a t e   m a t r i x   A = [ A 1 ,   A 2 , , A n ] T   i s   c o n s t r u c t e d   t o   r e p r e s e n t   t h e   r e g u l a r   g r a p h .   E a c h   r o w   o r   c o l u m n   i n   A   r e p r e s e n t s   a   n o d e .   T h e   e l e m e n t   a i j   o f   t h e   r o w   v e c t o r   A i =   [ a i 1 ,   a i 2 , , a i n ] ,   i = 1 , ,   n ,   r e p r e s e n t s   t h e   s t a t e   o f   c o n n e c t i o n .   T h e   n o d e   i   c o n n e c t e d   w i t h   t h e   n o d e   j   i s   e x p r e s s e d   b y   a i j = 1 ,   i f   n o t ,   a i j = 0 .   T h u s ,   a l l   t h e   d i a g o n a l   e l e m e n t s   a r e   z e r o   b e c a u s e   a   n o d e   c a n t   b e   c o n n e c t e d   t o   i t s   o w n .   S e c o n d l y ,   a s   s h o w n   i n   t h e   r a n d o m l y   r e w i r i n g   p r o c e s s   i n   F i g u r e   2 ( a ) ,   w e   c h o o s e   a   n o d e   a n d   r e c o n n e c t   i t s   e d g e   t o   a n o t h e r   n o d e   a t   r a n d o m   a r o u n d   t h e   e n t i r e   r i n g   w i t h   p r o b a b i l i t y   p .   T h e   d u p l i c a t e   e d g e s   a r e   f o r b i d d e n .   E a c h   n o d e   a n d   e a c h   e d g e   i n   t h e   o r i g i n a l   r e g u l a r   g r a p h   n e e d   t o   b e   c o n s i d e r e d   o n c e   i n   t h e   r e w i r i n g   p r o c e s s   a c c o r d i n g   t o   [ 1 9 ] .   A   v e c t o r   B   i s   f o r m e d   t o   l o c a t e   a l l   o f f - d i a g o n a l   z e r o   e l e m e n t s   i n   r o w   v e c t o r   A i .   T h e   f l o w   c h a r t   o f   N S D E - S W   i s   g i v e n   i n   F i g u r e   2 ( b ) .   I n   F i g u r e   2 ( b ) ,   G   i s   t h e   t o t a l   e v o l u t i o n   g e n e r a t i o n .     2 . 3 .   P e r f o r m a n c e   E v a l u a t i o n     T h e   c r i t e r i a   t o   e v a l u a t e   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   a r e   d i f f e r e n t   f r o m   t h o s e   t o   e v a l u a t e   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   [ 1 4 ] .   B e c a u s e   a   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   p r o v i d e s   a   s e t   o f   s o l u t i o n s   n o t   o n l y   o n e   b e s t   s o l u t i o n ,   t h e   f i n a l   s o l u t i o n s   n e e d   t o   b e   a s s e s s e d   i n   t e r m s   o f   u n i f o r m   c o v e r a g e   o f   t h e   a p p r o x i m a t i n g   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t ,   c o n v e r g e n c e   t o   t h e   t r u e   f r o n t   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   a l g o r i t h m .   W e   u s e   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   i n t r o d u c e d   b y   D e b   e t   a l .   i n   [ 2 4 ]   a n d   s p a c i n g   m e t r i c   i n t r o d u c e d   b y   S c h o t t   i n   [ 2 5 ] .     ( 1 )   C o n v e r g e n c e   m e t r i c   T h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   i s   u s e d   f r e q u e n t l y   i n   p r e v i o u s   l i t e r a t u r e   a n d   c a n   a s s e s s   t h e   c o n v e r g e n c e   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   a l g o r i t h m s .   T h e   b o x   p l o t s   a r e   a d o p t e d   t o   d i s p l a y   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c .   T h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   v a l u e   C   f o r   a   p o p u l a t i o n   w i t h   t h e   n o n - d o m i n a t e d   s e t   P   i s   c a l c u l a t e d   a s   E q u a t i o n   ( 2 ) .   P   i s   t h e   a p p r o x i m a t i n g   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t .   P *   i s   t h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t .   | P |   i s   t h e   n u m b e r   o f   t h e   a p p r o x i m a t i n g   P a r e t o - o p t i m a l   s o l u t i o n s .   | P * |   i s   t h e   n u m b e r   o f   t h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   s o l u t i o n s .   T h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t s   o f   a l l   t e s t   f u n c t i o n s   c a n   b e   f o u n d   a t   ( w w w . c s . c i n v e s t a v . m x / ~ e m o o b o o k / ) .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     4 0 0     4 0 8   4 0 4     ( a )   S m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   p s e u d o - c o d e       ( b )   F l o w   c h a r t   o f   t h e   N S D E - S W       F i g u r e   2 .   P s e u d o - c o d e   o f   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   a n d   f l o w   c h a r t   o f   t h e   N S D E - S W   a l g o r i t h m       2 m a x m i n 1 1 1 ( ) ( ) m i n P P i j m k k j i k k k f f C P f f * = = = - = - x x                                                                           ( 2 )   W h e r e ,   m   i s   t h e   n u m b e r   o f   o b j e c t i v e s ,   a n d   f k m a x   a n d   f k m i n   a r e   t h e   m a x i m u m   a n d   t h e   m i n i m u m   v a l u e s   o f   t h e   k t h   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   i n   P * ,   r e s p e c t i v e l y .   f k i ( x )   i s   t h e   k t h   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   v a l u e   o f   v e c t o r   o f   t h e   i t h   d e c i s i o n   v a r i a b l e .   T h e   m a t h e m a t i c a l   e x p l a n a t i o n   f o r   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   i s   t h e   a v e r a g e   E u c l i d   d i s t a n c e   o f   t h e   e v e r y   s o l u t i o n   i n   t h e   a p p r o x i m a t i n g   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t   r e l a t i v e   t o   t h e   c l o s e s t   s o l u t i o n   i n   t h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t .   G e n e r a l l y ,   t h e   m e t r i c   C   t h a t   i s   l e s s   t h a n   0 . 0 1   r e p r e s e n t s   g o o d   c o n v e r g e n c e .     ( 2 )   S p a c i n g   m e t r i c   T h e   s p a c i n g   m e t r i c   i s   u s e d   f o r   m e a s u r i n g   h o w   e v e n l y   t h e   s o l u t i o n s   i n   t h e   a p p r o x i m a t i o n   s e t   a r e   d i s t r i b u t e d   i n   t h e   o b j e c t i v e   s p a c e .   T h i s   m e t r i c   i s   g i v e n   b y   [ 2 5 ] :     2 1 1 S P ( ) 1 n i i d d n = = - -                                                                                                         ( 3 )   W h e r e   m a x m i n 1 ( ) ( ) m i n { } , , 1 , 2 , . . . , i j m k k i j k k k f f d i j n f f = - = = - x x                                                                   ( 4 )     W h e r e   d ¯     i s   t h e   m e a n   o f   a l l   d i ,   a n d   n   i s   t h e   s i z e   o f   t h e   a p p r o x i m a t i n g   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t .       3 .   C a s e   S t u d i e s   3 . 1 .   E x p e r i m e n t s   a n d   P a r a m e t e r   S e t t i n g s   T o   c o m p a r e   N S D E - S W   w i t h   c l a s s i c a l   N S D E ,   e x p e r i m e n t s   w e r e   c o n d u c t e d   o n   t h r e e   l o w - d i m e n s i o n a l   p r o b l e m s ,   o n e   D T L Z   p r o b l e m   a n d   f o u r   Z D T   p r o b l e m s   [ 2 2 ] .   T h e   a l g o r i t h m   p r o g r a m   w a s   w r i t t e n   u s i n g   M a t l a b   p l a t f o r m   u t i l i z i n g   a n   D u a l   C o r e   2 . 7 1 G H z   P C   w i t h   1 . 7 5 G B   m e m o r y .   T h e   t r u e   P a r e t o - f r o n t s   o f   t h e   e i g h t   f u n c t i o n s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   3 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       L i m i t a t i o n   o f   S m a l l - w o r l d   T o p o l o g y   f o r   A p p l i c a t i o n   i n   N o n - d o m i n a t e d   .   ( J u n - f a n g   L i )   4 0 5       F i g u r e   3 .   T h e   t r u e   P a r e t o - f r o n t s   o f   t h e   e i g h t   f u n c t i o n s       T a b l e   1 .   E i g h t   M O P   n u m e r i c   u n c o n s t r a i n e d   t e s t   f u n c t i o n s   T e s t s     D   D e f i n i t i o n   C o n s t r a i n t s   D e b   2   1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , ( , ) ( ) ( ) , a n d : ( ) 1 1 0 , ( ) 1 ( ( ) ) ( ( ) ) s i n ( 1 2 ) F f f f x f g g h g x h g g f f f p = = = × = + × = - - × x x x x x x x x x x   0 1 , 1 , 2 i x i £ £ =   S C H   1   1 2 1 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , i f   1 ,                                                                                                                   = 2 , i f   1 < 3 ,                                                                                                                   = 4 , i f   3 < 4 ,                                     F f x f x f x x x x x x x = = - £ - + £ - £ 2 2                                                                               = 4 , i f     4 , ( ) ( 5 ) x x f x x - + > = -   5 1 0 - £ £ x   K U R   3   2 2 1 ( 0 . 2 ) 1 1 1 2 1 0 . 8 3 1 2 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) ( 1 0 ) ( ) ( ) 5 s i n ( ) i i n i n i i i x x F f f f e f x x + - ´ - = = + = = - = + x x x x   5 5 , 1 , 2 , 3 , 3   i x i n - £ £ = =   Z D T 1   3 0   1 1 2 1 1 2 2 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , ( , ) ( ) ( 1 ) , a n d :   ( ) 1 ( ) 9 ( 1 ) n i i F f f f x f g g g f g n x = = = = × - = + × - x x x x x x x   3 0 , 0 1 , 1 , 2 , . . . , 3 0 i n x i = £ £ =   Z D T 2   3 0   2 1 2 1 1 2 2 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , ( , ) ( ) ( 1 ( ) ) , a n d :   ( ) 1 ( ) 1 9 ( 1 ) n i i F f f f x f g g g f g n x = = = = × - = + × - x x x x x x x   3 0 , 0 1 , 1 , 2 , . . . , 3 0 i n x i = £ £ =   Z D T 3   3 0   1 2 1 1 2 2 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , ( , ) ( ) ( 1 ( ) s i n ( 1 0 ) ) 1 1 a n d :     ( ) 1 ( ) 1 9 ( 1 ) n i i F f f f x f g g f g f g f g n x p = = = = × - × = + × - - x x x x x x x x   3 0 , 0 1 , 1 , 2 , . . . , 3 0 i n x i = £ £ =     Z D T 4   1 0   1 2 1 1 2 2 2 ( ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) , ( , ) ( ) ( 1 ) , a n d :   ( ) 1 1 0 ( 1 ) 1 0 c o s ( 4 ( ) 1 ( ) ) n i i i F f f f x f g g g n x x f g p = = = = × - = + × - + - x x x x x x x   1 1 0 , 0 1 , 5 5 , 2 , . . . , 1 0 i n x x i = £ £ - £ £ =     D T L Z 4   1 2   1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 1 2 3 ( ( ) , ( ) , ( ) ) , w h e r e :   ( ) c o s ( ) c o s ( ) ( 1 ( ) ) 2 2 ( ) c o s ( ) s i n ( ) ( 1 ( ) ) , ( ) s i n ( ) ( 1 ( ) ) 2 2 2 a n d :   ( ) 0 . 5 ( ) n i i F f f f f x x g f x x g f x g g x a a a a a p p p p p = = = + = + = + = - x x x x x x x x x x   1 2 , 1 0 0 , 0 1 , 1 , . . . , 1 2 i n x i a = = £ £ =       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     4 0 0     4 0 8   4 0 6 T h e   e i g h t   M O P   n u m e r i c   u n c o n s t r a i n e d   t e s t   f u n c t i o n s   a r e   g i v e n   i n   T a b .   1 .   E a c h   e x p e r i m e n t   w a s   r u n   3 0   t i m e s .   T h e   p o p u l a t i o n   s i z e   i s   1 0 0   a n d   e v o l u t i o n   g e n e r a t i o n   i s   5 0 0 .   T h e   c r o s s o v e r   p r o b a b i l i t y   C R   i s   0 . 8 .   T h e   s c a l e   f a c t o r   F   i s   0 . 8 .   F o r   N S D E - S W ,   t h e   r e w i r i n g   p r o b a b i l i t y   p   o f   W S   m o d e l   i s   0 . 0 5 .   B a s e d   o n   m a n y   t i m e s   o f   t e s t s   o n   d i f f e r e n t   D E   s t r a t e g i e s ,   w e   a d o p t   t h e   m o s t   s u i t a b l e   s t r a t e g y   f o r   a l l   t h e   e i g h t   p r o b l e m s ,   n a m e l y   D E / r a n d / 1 / b i n ,   i n   N S D E   a n d   N S D E - S W .     3 . 2 .   R e s u l t s   a n d   A n a l y s i s       T h e   s t a t i s t i c a l   r e s u l t s   a b o u t   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   v a l u e s   o b t a i n e d   b y   N S D E   a n d   N S D E - S W   i n   s o l v i n g   e i g h t   t e s t   p r o b l e m s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   4 .   T h e   c o m p u t a t i o n   t i m e   f o r   t h e s e   t e s t   p r o b l e m s   i s   g i v e n   i n   T a b .   2 .   T h e   n o t c h e d   b o x   p l o t   r e p r e s e n t s   t h e   r o b u s t n e s s   o f   t h e   u n c e r t a i n t y   a b o u t   t h e   m e d i a n   f o r   b o x - t o - b o x   c o m p a r i s o n   [ 1 5 ] .   S y m b o l   +   d e n o t e s   o u t l i e r s .   T h e   u p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d   r e p r e s e n t   2 5 %   q u a n t i l e   a n d   7 5 %   q u a n t i l e ,   r e s p e c t i v e l y .   T h e   m i d d l e   o f   b o x   p l o t   i s   t h e   m e d i a n   v a l u e ,   n a m e l y   5 0 %   q u a n t i l e .   T h e   s p a c i n g   m e t r i c   S P   u s i n g   N S D E   a n d   N S D E - S W   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   5 .   W i t h   a   h i g h   p r e c i s i o n   s t r i c t l y   a c c o r d i n g   t o   t h e   m e t r i c   v a l u e s ,   w e   c a n   c o n c l u d e   t h a t :   ( 1 )   I n   F i g u r e   4 ,   f o r   t h e   t h r e e   l o w - d i m e n s i o n a l   p r o b l e m s   ( i . e .   D E B ,   S C H ,   K U R )   a n d   f i v e   h i g h - d i m e n s i o n a l   p r o b l e m s   ( i . e .   Z D T 1 ,   Z D T 2 ,   Z D T 3 ,   Z D T 4   a n d   D T L Z 4 ) ,   N S D E - S W   i s   c a p a b l e   o f   a p p r o x i m a t i n g   t h e   t r u e   P a r e t o - o p t i m a l   f r o n t s .   ( 2 )   I n   F i g u r e   4 ,   f o r   D E B ,   S C H ,   K U R ,   Z D T 2 ,   Z D T 4   a n d   D T L Z 4   p r o b l e m s ,   N S D E - S W   d o e s   b e t t e r   t h a n   N S D E   i n   t h e   a s p e c t   o f   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c .   I n   t h e   a s p e c t   o f   t h e   m e a n   v a l u e   o f   t h e   c o n v e r g e n c e   m e t r i c ,   N S D E   d o e s   b e t t e r   t h a n   N S D E - S W   f o r   Z D T 1   a n d   Z D T 3   p r o b l e m s .   ( 3 )   I n   F i g u r e   5 ,   t h e   s p a c i n g   m e t r i c   s h o w s   t h a t   N S D E - S W   c a n   g e t   a   l i t t l e   m o r e   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   s o l u t i o n   f r o n t   f o r   D E B ,   K U R ,   Z D T 2 ,   Z D T 3 ,   Z D T 4   a n d   D T L Z 4   t h a n   N S D E .   B u t ,   f o r   S C H   a n d   Z D T 1 ,   N S D E - S W   i s   n o   b e t t e r   t h a n   N S D E .   ( 4 )   C o n s i d e r i n g   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   a n d   s p a c i n g   m e t r i c ,   w e   c a n   f i n d   t h a t   f o r   D E B ,   K U R ,   Z D T 2 ,   Z D T 4 ,   a n d   D T L Z 4 ,   N S D E - S W   i s   b e t t e r   t h a n   N S D E .   O t h e r   t e s t   f u n c t i o n s ,   N S D E - S E   i s   n o   b e t t e r   t h a n   N S D E .     W i t h   a   l o w   l e v e l   o f   p r e c i s i o n ,   f o r   e x a m p l e ,   a s s u m i n g   t h a t   g a p   o f   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   l e s s   t h a n   0 . 0 0 1   a n d   t h e   g a p   o f   s p a c i n g   m e t r i c   l e s s   t h a n   0 . 1   i s   a c c e p t a b l e ,   w e   c a n   s e e   t h a t   f o r   m o s t   f o l l o w i n g   f u n c t i o n s ,   N S D E - S W   h a s   s i m i l a r   p e r f o r m a n c e   a s   N S D E ,   n a m e l y   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   h a s   a n   u n o b v i o u s   e f f e c t   o n   i m p r o v i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   N S D E .           F i g u r e   4 .   B o x   p l o t s   o f   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   b a s e d   o n   3 0   i n d e p e n d e n t   r u n s   u s i n g   N S D E   a n d   N S D E - S W     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       L i m i t a t i o n   o f   S m a l l - w o r l d   T o p o l o g y   f o r   A p p l i c a t i o n   i n   N o n - d o m i n a t e d   .   ( J u n - f a n g   L i )   4 0 7         F i g u r e   5 .   B o x   p l o t s   o f   s p a c i n g   m e t r i c   b a s e d   o n   3 0   i n d e p e n d e n t   r u n s   u s i n g   N S D E   a n d   N S D E - S W       4 .     C o n c l u s i o n   T h e   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   c a n   i m p r o v e   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m ,   b u t ,   i t   h a s   l i m i t a t i o n   t o   i m p r o v e   t h a t   o f   a   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m .   T h i s   p a p e r   c o m b i n e s   t h e   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   w i t h   N S D E   t o   f o r m   a   h y b r i d   a l g o r i t h m   c a l l e d   N S D E - S W .   E i g h t   t e s t   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   a r e   t a k e n   f o r   e x a m p l e s .   T h e   v a l u e s   o f   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   a n d   s p a c i n g   m e t r i c   s h o w   t h e   f o l l o w i n g   c o n c l u s i o n s .   ( 1 )   I f   w i t h   a   h i g h   p r e c i s i o n ,   f o r   m o s t   c a s e s ,   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   c a n   i m p r o v e   N S D E   a   l i t t l e   i n   t h e   a s p e c t s   o f   t h e   c o n v e r g e n c e   a n d   s p a c i n g   d i s t r i b u t i o n .   ( 2 )   I f   w i t h   a   l o w   p r e c i s i o n ,   f o r   e x a m p l e ,   a s s u m i n g   t h e   g a p   o f   c o n v e r g e n c e   m e t r i c   l e s s   t h a n   0 . 0 0 1   a n d   t h e   g a p   o f   s p a c i n g   m e t r i c   l e s s   t h a n   0 . 1   i s   s e e n   a s   n o   d i f f e r e n c e ,   s m a l l - w o r l d   t o p o l o g y   h a s   a n   u n o b v i o u s   e f f e c t   o n   i m p r o v i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   N S D E .   I t   s h o w s   t h a t   t h e   s m a l l - w o r l d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g y   d e s i g n e d   f o r   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   h a s   l i m i t a t i o n   f o r   a p p l i e d   i n   a   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m .       A c k n o w l e d g e m e n t s   T h i s   p a p e r   i s   s u p p o r t e d   b y   t h e   N a t i o n a l   H i g h   T e c h n o l o g y   R e s e a r c h   a n d   D e v e l o p m e n t   o f   C h i n a   ( 8 6 3   P r o g r a m )   ( 2 0 1 1 A A 0 5 A 1 0 1 ) .       R e f e r e n c e s   [ 1 ]   .   C h a n d a   S,   D e   A.   C o n g e s t i o n   r e l i e f   o f   c o n t i n g e n t   p o w e r   n e t w o r k   w i t h   e v o l u t i o n a r y   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 2 ;   1 0 ( 1 ) :   1 - 8 .   [ 2 ]   .   T a h a m i   F ,   N a d e m i   H ,   R e z a e i   M .   M a x i m u m   t o r q u e   p e r   a m p e r e   c o n t r o l   o f   PM S M   u s i n g   g e n e t i c   a l g o r i t h m .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 1 ;   9 ( 2 ) :   2 3 7 - 2 4 4 .   [ 3 ]   .   Se n   S,   R o y   P,   C h a k r a b a r t i   A ,   Se n g u p t a   S .   G e n e r a t o r   c o n t r i b u t i o n   b a s e d   c o n g e s t i o n   m a n a g e m e n t   u s i n g   m u l t i o b j e c t i v e   g e n e t i c   a l g o r i t h m .   T E L KO M N I KA .   2 0 1 1 ;   9 ( 1 ) :   1 - 8 .   [ 4 ]   .   Sc h a f f e r   J D .   M u l t i p l e   o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   w i t h   v e c t o r   e v a l u a t e d   g e n e t i c   a l g o r i t h m s .   Pr o c e e d i n g s   o f   t h e   1 s t   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   G e n e t i c   Al g o r i t h m s   a n d   T h e i r   Ap p l i c a t i o n s .   Pi t t s b u r g h .   1 9 8 5 :   9 3 - 1 0 0 .   [ 5 ]   .   F o n s e c a   C M ,   F l e m i n g   P J .   G e n e t i c   a l g o r i t h m   f o r   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n :   F o r m u l a t i o n ,   d i s c u s s i o n   a n d   g e n e r a l i z a t i o n .   Pr o c e e d i n g s   o f   t h e   5 t h   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   G e n e t i c   A l g o r i t h m s .   S a n   M a t e o .   1 9 9 3 :   4 1 6 - 4 2 3 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,     J u n e   2 0 1 2   :     4 0 0     4 0 8   4 0 8 [ 6 ]   .   Sr i n i v a s   N ,   D e b   K.   M u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   u s i n g   n o n - d o m i n a t e d   s o r t i n g   i n   g e n e t i c   a l g o r i t h m s .   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   1 9 9 4 ;   2 ( 3 ) :   2 2 1 - 2 4 8 .   [ 7 ]   .   H o r n   J ,   N a f p l i o t i s   N ,   G o l d b e r g   D E.   n i c h e d   P a r e t o   g e n e t i c   a l g o r i t h m   f o r   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n .   Pr o c e e d i n g s   o f   t h e   1 s t   I EEE  W o r l d   C o n g r e s s   o n   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   P i s c a t a w a y .   1 9 9 4 ;   1 :   8 2 - 8 7 .   [ 8 ]   .   Z i t z l e r   E,   T h i e l e   L .   M u l t i o b j e c t i v e   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m s :   c o m p a r a t i v e   c a s e   s t u d y   a n d   t h e   s t r e n g t h   Pa r e t o   a p p r o a c h .   I EEE  T r a n s .   o n   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n ,   1 9 9 9 ;   3 ( 4 ) :   2 5 7 - 2 7 1 .   [ 9 ]   .   Z i t z l e r   E,   L a u m a n n s   M ,   T h i e l e   L .   SPEA2 :   I m p r o v i n g   t h e   s t r e n g t h   P a r e t o   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m   f o r   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n .   Pr o c e e d i n g s   o f   EU R O G EN   2 0 0 1   Ev o l u t i o n a r y   M e t h o d s   f o r   D e s i g n ,   O p t i m i z a t i o n   a n d   C o n t r o l   w i t h   Ap p l i c a t i o n s   t o   I n d u s t r i a l   Pr o b l e m s .     At h e n s .   2 0 0 1 :   9 5 - 1 0 0 .   [ 1 0 ]   .   Kn o w l e s   J D ,   C o r n e   D W .   Ap p r o x i m a t i n g   t h e   n o n - d o m i n a t e d   f r o n t   u s i n g   t h e   Pa r e t o   a r c h i v e d   e v o l u t i o n   s t r a t e g y .   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   2 0 0 0 ;   8 ( 2 ) :   1 4 9 - 1 7 2 .   [ 1 1 ]   .   C o r n e   D W ,   Kn o w l e s   J D ,   O a t e s   M J .   T h e   Pa r e t o   e n v e l o p e - b a s e d   s e l e c t i o n   a l g o r i t h m   f o r   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n .   Pa r a l l e l   Pr o b l e m   So l v i n g   f r o m   N a t u r e   ( PPS N )   VI   C o n f .   L e c t u r e   N o t e s   i n   C o m p u t e r   Sc i e n c e .   2 0 0 0 ;   1 9 1 7 :   8 3 9 - 8 4 8 .   [ 1 2 ]   .   C o r n e   D W ,   J e r r a m   N R ,   Kn o w l e s   J D ,   O a t e s   M J .   PESA - I I :   R e g i o n - b a s e d   s e l e c t i o n   i n   e v o l u t i o n a r y   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n .   Pr o c e e d i n g s   o f   t h e   G e n e t i c   a n d   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n   C o n f .   ( G EC C O ) .   Sa n   F r a n c i s c o .   2 0 0 1 :   2 8 3 - 2 9 0 .   [ 1 3 ]   .   D e b   K,   Pr a t a p   A,   Ag a r w a l   S,   M e y a r i v a n   T .   f a s t   a n d   e l i t i s t   m u l t i o b j e c t i v e   g e n e t i c   a l g o r i t h m :   N SG A - I I .   I EEE  T r a n s .   o n   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   2 0 0 2 ;   6 ( 2 ) : 1 8 2 1 9 7 .   [ 1 4 ]   .   A.   W .   I o r i o   a n d   X .   L i .   So l v i n g   r o t a t e d   m u l t i o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   u s i n g   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n .   Pr o c e e d i n g s   o f   1 7 t h   Au s t r a l i a n   J o i n t   C o n f e r e n c e   o n   Ar t i f i c i a l   I n t e l l i g e n c e :   Ad v a n c e s   i n   Ar t i f i c i a l   I n t e l l i g e n c e .   2 0 0 4 ;   3 3 3 9 :   8 6 1 - 8 7 2 .   [ 1 5 ]   .   G o n g ,   M .   G . ,   J i a o ,   L .   C . ,   D u ,   H .   F . ,   Bo ,   L .   F .   M u l t i - o b j e c t i v e   i m m u n e   a l g o r i t h m   w i t h   n o n d o m i n a t e d   n e i g h b o r - b a s e d   s e l e c t i o n .   E v o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   2 0 0 8 ;   1 6 ( 2 ) :   2 2 5 - 2 5 5 .   [ 1 6 ]   .   S.   D a s ,   P.   N .   Su g a n t h a n .   D i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n :   s u r v e y   o f   t h e   s t a t e - o f - t h e - a r t .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   2 0 1 1 ;   1 5 ( 1 ) :   4 - 3 1 .   [ 1 7 ]   .   Be r n a b é   D o r r o n s o r o ,   Pa s c a l   Bo u v r y .   I m p r o v i n g   c l a s s i c a l   a n d   d e c e n t r a l i z e d   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   w i t h   n e w   m u t a t i o n   o p e r a t o r   a n d   p o p u l a t i o n   t o p o l o g i e s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n .   2 0 1 1 ;   1 5 ( 1 ) :   6 7 - 9 8 .   [ 1 8 ]   .   M .   G i a c o b i n i ,   M .   T o m a s s i n i ,   A.   T e t t a m a n z i .   T a k e o v e r   t i m e   c u r v e s   i n   r a n d o m   a n d   s m a l l - w o r l d   s t r u c t u r e d   p o p u l a t i o n s .   Pr o c e e d i n g s   o f   G e n e t i c   a n d   Ev o l u t i o n a r y   C o m p u t a t i o n   C o n f e r e n c e   ( G EC C O ) .   W a s h i n g t o n   D C .   2 0 0 5 :   1 3 3 3 - 1 3 4 0 .   [ 1 9 ]   .   D .   J .   W a t t s   a n d   S.   H .   St r o g a t z .   C o l l e c t i v e   d y n a m i c s   o f   s m a l l - w o r l d   n e t w o r k s .   N a t u r e .   1 9 9 8 ;   3 9 3 :   4 4 0 - 4 4 2 .   [ 2 0 ]   .   S.   G a r c í a ,   D .   M o l i n a ,   M .   L o z a n o ,   F .   H e r r e r a .   s t u d y   o n   t h e   u s e   o f   n o n - p a r a m e t r i c   t e s t s   f o r   a n a l y z i n g   t h e   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m s   b e h a v i o r :   A   c a s e   s t u d y   o n   t h e   C EC 0 5   s p e c i a l   s e s s i o n   o n   r e a l   p a r a m e t e r   o p t i m i z a t i o n .   J .   H e u r i s t i c s .   2 0 0 9 ,   1 5 ( 6 ) :   6 1 7 - 6 4 4 .   [ 2 1 ]   .   Su g a n t h a n ,   P.   N . ,   H a n s e n ,   N . ,   L i a n g ,   J .   J . ,   D e b ,   K. ,   C h e n ,   Y .   P. ,   Au g e r ,   A . ,   T i w a r i ,   S.   Pr o b l e m   d e f i n i t i o n s   a n d   e v a l u a t i o n   c r i t e r i a   f o r   t h e   C EC   2 0 0 5   S p e c i a l   Se s s i o n   o n   R e a l   Pa r a m e t e r   O p t i m i z a t i o n .   N a n y a n g   T e c h n o l o g i c a l   U n i v e r s i t y .   R e p o r t   n u m b e r :   2 0 0 5 0 0 5 .   2 0 0 5 .   [ 2 2 ]   .   C o e l l o   C o e l l o   C A,   v a n   Ve l d h u i z e n   D A,   L a m o n t   G B.   Ev o l u t i o n a r y   Al g o r i t h m s   f o r   So l v i n g   M u l t i - O b j e c t i v e   Pr o b l e m s   ( 2 n d   e d . ) .   N e w   Y o r k :   Sp r i n g e r - Ve r l a g ,   2 0 0 7 .   [ 2 3 ]   .   E.   M e z u r a - M o n t e s ,   M .   R e y e s - Si e r r a ,   C .   A.   C o e l l o   C o e l l o .   M u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n   u s i n g   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n :   a   s u r v e y   o f   t h e   s t a t e - o f - a r t .   Ad v a n c e s   i n   D i f f e r e n t i a l   Ev o l u t i o n :   St u d i e s   i n   C o m p u t a t i o n a l   I n t e l l i g e n c e .   2 0 0 8 ;   1 4 3 :   1 7 3 - 1 9 6 .   [ 2 4 ]   .   D e b   K,   J a i n   S.   R u n n i n g   p e r f o r m a n c e   m e t r i c s   f o r   e v o l u t i o n a r y   m u l t i - o b j e c t i v e   o p t i m i z a t i o n .   I n d i a n   I n s t i t u t e   o f   T e c h n o l o g y   Ka n p u r .   R e p o r t   n u m b e r :   2 0 0 2 0 0 4 .   2 0 0 2 .   [ 2 5 ]   .   Sc h o t t ,   J R .   F a u l t   t o l e r a n t   d e s i g n   u s i n g   s i n g l e   a n d   m u l t i c r i t e r i a   g e n e t i c   a l g o r i t h m   o p t i m i z a t i o n .   M S.   T h e s i s .   C a m b r i d g e :   M a s s a c h u s e t t s   I n s t i t u t e   o f   T e c h n o l o g y ;   1 9 9 5 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.