TELKOM NIKA , Vol.14, No .4, Dece mbe r  2016, pp. 12 17~121 9   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v14i4.4789    1217      Re cei v ed  Jul y  22, 201 6; Revi sed Aug u st  31, 2016; Accepted Sept em ber 14, 20 16   Editorial      Power Synthesis of Mask-Constrained Shaped Beams  Through Maximally-S parse P l anar Arrays      Andre a  Fran cesco M o rab i to  Univers i t y   of Regg io Ca la bria,  DIIES Department, Regg io  Cala bri a , Ital y   Cons orzio N a zi ona le Interu niv e rsitario  per le  T e lecomunic a z i oni, Parm a, Ital y   e-mail: a ndre a .morabit o @u nir c .it      A b st r a ct   A new  appro a c h to the opti m a l  synthes is  of pl an ar arr a ys abl e to ra diate  mask-c o nstrain e d   shap ed b e a m s  by expl oiti ng t he  min i mu m n u mber of ra di ating e l e m ents is  prese n ted. By  taking  adva n ta ge   from b o th th e recent the o ry of  Co mpr e ssive  Sensi ng  a nd t he  mu ltipl i city  of equ ival ent s o luti ons av ai la bl e   for the gen era t ion of an u n i que sh ap ed-b e a m  pow er p a ttern, the synthesis res u lts e x treme l y fast and   effective. In particul a r, the overall d e si gn i s  reduc e d  to a Conv ex Progra m min g  opti m i z at io n, w i th  the   inh e rent a d van t ages in ter m of solutio n s  o p t ima lity an d co mp utatio nal  bu rden.     Ke y w ords : Array anten nas, c o mpress ed se nsin g, pow er synthesis, sha p ed be a m s.      Copy right  ©  2016 Un ive r sita s Ah mad  Dah l an . All rig h t s r ese rved .       Maximally-sparse arrays,  i.e., array anten nas  able to fulfill as signed radiation  requi rem ents by recu rri ng  to the minimum po ssi bl e numb e r of  element s, re pre s ent a top i c of   high inte re st in many ap plicatio ns  (e. g ., phase d  a rray rada rs,  satellite com m unication s, and  multiple-i nput -multiple - outp u t system s). In fact,  they  may offer rel e vant advant age s in te rm s of  size, weig ht, co st, and bea m forming net work’ s  co mpl e xity [1-6].    Re cently, in t he case of  maximally-sp a rs e lin ear a rray s  radiatin g sh ape d b e a ms, the  approa ch  introdu ced  in [1]   outpeformed   all techniq u e s  publi s h ed i n   [2-5]. Thi s   ha s b een  po ssi b le   by jointly exploiting the the o ry of Comp ressive Se n s i ng (CS) [7] a nd the m u ltipl i city of equiva lent  solutions generally available to generat e  a si ngle shaped power pattern  [8],[9].  Moreover,  by  avoiding exploitation  of Global Optm ization  (G O) algorith m and relying  only to Co n v ex  Programmin g  (CP )  tool s,  the a pproa ch i n  [1 ] p r ovided  relev ant adva n ta ges in te rm s of  comp utationa l times.  Due to the  relevan c e of the outcome s achieve d  by  the pro c ed u r e in [1], the pre s ent  work i s   aime d at extendi n g  it to the  ca se  of pl an ar  arrays. To  prese n t the  re sulting ap proa ch, it  is wo rth first recalli ng the p r ocedu re in [1 ], which is  co mposed by the followin g  st eps:   1.  Assig n  the  p o we r ma sk, i . e., the lowe r and  upp er  b ound fu nctio n req u ire d  t o  sh ape  a s   desi r ed the  ra diated po we r pattern;   2.  Synthesize, b y  means of t he app roa c pre s ent e d  in  [9], a ‘virtual’ linear a r ray radiatin g a   power pattern fulfilling the mask of  step 1.  Notabl y, such a  st ep provides  a number of  different po ssible field solut i ons [8];  3.  Identify, amongst all th different far-field di stributio ns  comin g  o u t from ste p   2, the one   leadin g  to the minimum  1 -no r m of the ‘virtual’ array excita tion s. By virtue of th e theory in   [7], this far-field distrib u tion  is the one a s so ciated to m a ximum amo unt of ‘sparsit y ’;  4.  Synthesize a  ‘new’  equi spa c ed li nea r a r ray by  perfo rming a  CS-b ase d  re co nst r uction. T h is  step  con s i s ts in solving t he follo wi ng  CP problem s in the un kn own  b =[ b 1 ,…, b N ], whic rep r e s ent s the vector of th e ‘new’ a r ray’s excitation s:     Minim i ze:  ≔ | |    (1)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 14, No. 4, Dece mb er 201 6 :  1217 – 121 9   1218 subj ect to: | | g α ∀ | |    (2)     with:  β  α    (3)     Whe r ein  N  is the numbe r of element s,  f r  is the far field comi ng o u t from step  2,   α  is the  elevation an gle with  resp ect  to bo re si ght,  β  is the  wave numb e r , an x =[ x 1 ,… , x N ] is the   vector contai ning the ‘ne w ’ array’ s equi spa c e d  locations. By so d o ing, while th e obje c tive  function (1) will  induce  a minimization of  the  active element number, convex   constraints  (2)  will ensure that the synthesi z ed power pattern:  a.  Fulfills an user-define d  up per bo und co nstr ai nt in the sidelo b e s  region de note d  with  τ 1   ( g  bein g  an a r bitra r y real a nd po sitive function );  b.  Fits the refe rence field  f r  with a preci s io ε  in the regi on den oted b y   τ 2 5.  Furthe r re du ce the overall  numbe r of array elements  by:  a.  Disca r din g  the element s h a ving a negli g ible excitatio n  amplitude;   b.  Re cursively substituting ea ch co uple of   remainin g el ements  who s e distan ce is lower  than a  thre sh old  σ  with  a  singl e ele m e n t pla c ed i n  t he mid d le  poi nt between t hem a n d   excited with t he sum of the  two origin al excitation s;  6.  Perform  a  ref i nement  of th e solution  by  m ean s of a   local  optimi z ation p r o c ed ure: id entify  slight  shifts o n  a rray  locations an d ex citations  so as to recover  f r om poss ible los s es on the  radiatio n pe rforma nce indu ced by ste p  5 .   In orde r to exented the  above pro c edure to the  planar a r ra ys ca se, we  tried to  synthe size a   beam  having  a flat-to p  b e havior  alon the a z imuth  angle  an d a   squ a re -co s e c ant  behavio r al on g the  elevati on a ngle  (se e  Fig u re  1 ) wh i c h i s   of in terest  in  rad a r  a pplication s  as  well as  for  ra dio-b a se stati ons.  In  so do ing,  we   to ok as a refe ren c the   pattern gene rated   fro m   the facto r ization of the fi elds  re spe c ti vely depi cte d  in blue  col o r in  sub p lots (b)  and  (c) of    Figure 1.                                       (a)                                                                (b)                                                        (c   Figure 1. Power p a ttern of  the array vie w  in the sp ect r al plan e [sub plot (a)], and  plot of the main  cuts al ong th e ordin a te [su bplot (a )] and  the abscissa  [subpl ot (b)]. The refe ren c e and  synthe sized d i stributio ns a r e respe c tive ly depicte d  in b l ue col o r an d red colo     Then, the pro c ed ure in [1] has b een ext ende d to the two-dime nsio nal ca se a s  follows.   First,  we fa ctorize d  the separate one -dimen sion al  solutio n s a c h i eved by app lying step s 1 - above to ea ch of the reference po wer p a ttern’s m a in  cuts.    Second,  we discarded th o s e ele m ent s having an ex citation am pli t ude lower th an  υ =0.0 4 an achi eved the  array layout d epicte d  in Fig u re 2  [ s ub plot  (a), bl ue  circl e s], whi c h i s   comp osed  by 94 elemen ts.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Power Synthesi s of Mask-Con strai ned  Shaped Beam s Through...  (Andrea F r ancesco Morabito)  1219 Third,  by a d a p ting  step  6  a bove to  the t w o-dime nsio nal  ca se  (in  such  a  way to  jo i n tl y  refine  bo th   the  x  an y  a r ray lo cation s), we fin a lly a c hieved th la yout depi cted  in Fig u re 2  [subplot  (a ),  red dot s] and  the corre s p o n d ing optimal  excita tion s de picted in Fig u r e 2 [su bplot (b)].  The a c hi eved  power  pattern is  sh own in  Figu re 1,  wh erein   θ  a nd  ϕ  re sp ec tive ly r e pr e s e n t  th elevation and  azimuth angl es. As it can be se e n , a very good ag reement is a c hieved betwe en   the referen c e  field and the main cut s  of the synthe si ze d pattern.    Notably, the   overall  app ro ach  allo wed  saving the  58 % of the el e m ents with  re spe c t to  a   fully-popul ate d  array with  an unifo rm  / 2  sp aci ng, a nd the 3 4 % of element with re sp ect t o  a  simple  facto r i z ation  of the  solutio n s i n  [2]. This  circu m stan ce  i s  coherent with the  fact  that, as  long a s  a pat tern is fa ctorable, the ele m ents’ n u mb er re du ction i n  the plan ar  array is ro ug hly  doubl ed with  respe c t to the one experi e n c ed in  the two unde rlying  one-dime nsio nal arrays.                                                                   (a)                                                                                       (b)    Figure 2. Subplot(a ): Array  la yout achi eved by factori z ing the one -di m ensi onal  ref e ren c solutio n s a n d  discardi ng th e element s h a ving a  negli g ible excitatio n  amplitude.  Location s   achi eved bef ore (blue  circl e s) a nd after  (re d dot s) the  refineme n t step. Subplot (b): Fianl  excitation am plitude     Referen ces   [1]    Morabit o  AF , Lag an à AR, Sorbe llo G, Isernia  T .  Mask-constrai ned  po w e r s y nthes is  of maximal l sparse  lin ear  arra ys thro ug h  a com p ressi ve-sens ing- driv en strate g y J ourn a l of  Elec troma g n e ti c   W a ves and Ap plicati ons . 2 0 1 5 ; 29(10): 1 384 -139 6.   [2]    Oliveri G, Carli n  M, Massa A.  Compl e x- w e ig ht s parse li ne a r  arra y  s y nt hes is b y  B a yesi an  Compress iv e   Sampli ng.  IEEE Transactions  on Ante nnas and Pr opagation . 2012; (5): 230 9-23 26.   [3]    F u chs B. Synthesis of spars e  arra ys  w i th fo cuse d or sha ped b eam patt e rn via seq u e n tial co nve x   optimiz ations.  IEEE Transacti ons on Ant enn as and Pro p a g a tion . 20 12; 60 (7): 3499- 35 03   [4]    Nai  SE, Ser   W ,  Yu Z L , C h en  H. Be ampa ttern s y nth e sis  for l i ne ar  an d  pl anar  arr a ys   w i th  a n tenn selecti on b y  c onve x   optimiz ation.  IEEE Transactions  on Ant ennas and Propagation .  201 0; 58( 12):   392 3-39 30.   [5]    Liu  Y, Ni e Z P Liu  QH. A n e w   method  for th s y nt hesis  of  no n-un iform l i ne a r  arra ys  w i th  sh ape d p o w e patterns.  Progr ess in Electrom agnetic Research . 201 0; 10 7: 349-3 63.   [6]    Bucci OM, Isernia T ,  Morabit o  AF , Perna S ,  Pincher a D.  Density  and  el ement-si z e  tap e rin g  for the   desi gn of arra ys w i th a redu ced nu mber of  control p o ints  and h i gh  efficiency . Proce e d i ngs of t h e   F ourth Europ e an Co nfere n ce  on Anten nas a nd Prop ag ation .  Barcelon a. 20 10.   [7]    Can dès EJ,  W a kin MB. An Introducti on  T o  Compres s ive Sam p li ng IEEE Signal  Processi n g   Maga z i ne . 2008; 25: 21-30.  [8]    Morabit o  AF , Iserni a T ,  Di Donato  L. Opti mal s y nth e sis of  phas e-o n l y  reconfi gura b l e  line a sp arse  arra ys havi n g  uniform- ampl itude   e x cit a tions Progress  In E l ectro m a gnetic s Res earch . 20 12;  1 24: 40 5 - 423.   [9]    Isernia T ,  Bucci OM, F i orenti no N. S h a ped   beam  ante n n a  s y nthesis  pro b lems: feas ib ili t y  criteri a   an d   ne w  strateg i es.   Journa l of Ele c troma g n e tic W a ves and Ap plicati ons . 1 9 9 8 ; 12: 103- 137.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.