TELKOM NIKA , Vol.14, No .1, March 2 0 1 6 , pp. 195~2 0 2   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v14i1.1831    195      Re cei v ed Ap ril 9, 2015; Re vised Decem ber  4, 201 5; Acce pted De cem ber 2 2 , 2015   R-L-MS-L Filter Function for CT Image Reconstruction      Huiling Hou* , Mingquan Wang, Xiaop e ng Wa ng   1 Nation al Ke y  Lab orator y for Electron ic Mea s ureme n t T e ch nol og y,   Ke y   Lab orator y of Instrumentation  Scie nce a nd D y n a mic M easur ement  of Ministr y  of  Edu c ation,   North Un iversit y  of Ch ina, T a iyu an 0 3 0 051,  Shan xi, Chin a   *Corres p o ndi n g  author, em ail :  hou_h ui lin g@ 126.com       A b st r a ct   In X-ray c o mp uter to mo gra p h y (CT ) , co nvo l utio n b a ck  pro j ectio n  is  a  fun d a m e n tal  al gor ithm for   CT  i m a ge r e co nstruction.  As f ilterin g  pl ays a n  i m portant  pa rt in c onv oluti o n b a ck  proj ecti on, th e ch oic e   of   filter has a dire ct impact up on  t he quality of reconstructe d i m a ges. Ai m at impr ovin g rec onstructed i m a g e   qua lity, a new   mix ed filter  ba sed o n  the i d e a  of “fir st w e ighted av erag e then l i n ear  mix i ng ” is d e si gne d i n   this artic l e, d e noted  by  R-L- MS-L. Her e ,  R-L filt er  is  re lied  o n  to  g u a r antee  the  sp atial  reso luti on  of   reconstructe d i m a ge  an d S-L  filter is  proce ssed vi a  3- poi nt w e ighte d  av erag ing  to i m p r ove the  de nsi t y   resol u tion, thu s  enha nci ng the over all r e c onstructio n  qu ality. Gaussia n  noise  of different coefficie n t s  is   add ed to the  pr ojecti on d a ta to contrast the  nois e  perfo r m a n ce of the n e w  and trad it io nal  mixe d filters.  T he  simulati on  an d  exper iment res u lts show  that t he n e w  f ilter is  better in  anti- n o ise  perfor m a n c e an d pr oduc es  reconstructe d i m a ges w i th not ably i m prove d  qua lity.    Ke y w ords :  CT  ima ge rec onst r uction; conv ol uti on b a ck pro j ection; filter fun c tion      Copy right  ©  2016 Un ive r sita s Ah mad  Dah l an . All rig h t s r ese rved .       1. Introduc tion  Today, the   most  pop ular CT  techniq ue i s   X-ray  CT. Analytical reconst r u c tion an d   iterative re co nstru c tion  are  two b a si c te chni que s  of CT  im age re constructio n . Convol ution back  proje c tion i s  the key alg o rit h m for analyti c al re co nst r u c tion. It has widely appli e d in comm ercial  CT, as it s go od computati onal efficie n cy, good re co nstru c ted i m age qu ality, and well pa rallel  pro c e ssi ng a c hieva b le by mean s of hardwa r e [1, 2].  Acco rdi ng to  CT  recon s truction  p r in ciple,  ba ck  projectio n  i s  in  natu r e  pain t ing th e   proje c tion ta ken from a fin i te object sp ace eve n ly back (p roje ctin g back) to e a ch p o int go ne   throug h  by  X-ray i n  a n   infinite spa c e ,  inclu d ing  p o ints  wh ose  origin al pixel  value  is ze ro.  Therefore, i m age s recon s tructe d by  ba ck proje c ti on  sh ow  obvio us  aste roid  traces. A filte r  is  need ed at th e output term inal in orde r to elimi nate th e aste roid tra c e s  and  pro d u ce hi gh -qu a lity  recon s tru c ted  images [3].   Comm on filte r s in clu de  R-L filter and  S-L  filter, u s ing re ctan gul ar wi ndo w a nd si n c   w i n d o w  r e s pec tive ly. R - L filte r  is   s i mp le in  fo r m ,  e a s y  to  us e ,  pr o v ide s   c l ea r   r e c o n s tr uc te d imag e  conto u rs, an d  pro d u c e s  a  high  spatial  resol u tion; ho wever, it i s  af fected by  se ri ous  Gibb s  effect    [4]. S-L filter  has  a lo w o scillation re sp o n se  and  displ a ys some  su ppre s sion  effect on  noi se s but  its re con s tru c tion quality is not as go od a s  R-L filter wh en deali ng wit h  low-f r eq uen cy band [5].  In an  attemp t to improve  image  re co n s tru c tion qual ity,  schol ars prop osed so me  ne w  filters a nd  so me mixed filt ers such a s   R-L  an d  S-L   mixed filter (denote d  by  R-L - S-L),  R-L  and   NEW mixed filter ， (denoted by  R-L-NE W)[], etc.  Mixed filters give cons i d eration to both spatial   resolution  an d den sity re solution of reconstructe d im age s an d ha ve a goo d su ppre s sion  effect  upon n o ises [ 6 , 7].  On the  ba sis of the oth e rs, a ne w mixe d filter   d enot ed by  R-L - M S -L i s  p r opo sed u s ing   the idea of  weighte d  a v erage foll o w ed by  line a r mixing.  After simulat i on analy s is and  experim entati on, the  ne w filter i s  p r o v ed to b e   strongly  re straining  o scill a t ion in i m ag e   recon s tru c tio n . Beside s, its ant-noi se p e rform a n c e i s  found imp r ov ed. Than ks to  the ne w filter, a   good b a lan c e  is struck b e twee n spatial  resolution  an d den sity re solution for th e image  with  a  better re co nst r ucte d quality .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 14, No. 1, March 2 016 :  195 – 2 0 2   196 2. Design Principle of Filter  Assu ming the  proje c tion da ta after filtering is as follo ws:     ,, rr r px p x h x                                                                                                           (1)    Whe r e,   , r px  is the colle cted p r ojectio n  data,   r hx is the filtering function.   The id eal filter fun c tion i s  obtaine d by  inve rse Fo uri e r tra n sfo r m,  and its expression i s   [8]:       ex p 2 rr hx i x d                                                                                                        (2)    Whe r e,   is th e spatial f r eq uen cy. The o retically  spe a king, the f r eq u ency  re spo n se of the  filter  shall  be  such  that  () H .The ide a l filter i s  infi nite-fre que ncy and  diverg ent on  the i n finite  integral inte rv al.      2 2 Hd d                                                                                                       (3)    In accordan ce with Pal e y-Wie n e r  theore m , su ch  an ideal filter is un ach i evable.   Ho wever,  in  pra c tical  ima g ing  ope ratio n , if the  se nsor  ha s a  sam p ling i n terval   small  eno ugh , the   high-f r eq uen cy comp one nt of sa mpled   proje c t d a ta  woul d be  min i mal, if not cl ose  to zero. So,  the ideal filter may be pro c essed by wi n dowi ng, as fol l ow:     () ( ) HW                                                                                                                           (4)    Whe r e,  () W  being a wind ow f unctio n . Real ization of  filtering is  essentially choosing  the wind ow fu nction  () W [9].   In ord e r to  ge t the better re con s tru c tion  i m age  re soluti on, the  choi ce of  windo w f unctio n   sho u ld abid e   by certain p r i n cipl es:   1) The  width  of the main lobe sh ould b e  narro w, so a s  to obtain a steep tran sition  zone;   2) Relative to the main lob e , the maximum sid e  lobe  sho u ld be a s   small a s  po ssible, in   orde r to improve the usu a l  smooth de gree  and in crea se the sto pba nd attenuatio n.   But gene rally  spe a ki ng, th e win d o w  fun c tion  whi c h h a s hi gh a nd  narro w main  lobe, its  side lo be i s  a l so p r oje c ting . Therefo r e, i n  the actu al, we  can n o t bl indly req u ire s  high resolution,  otherwise  it will cau s e   se riou s Gibb s p henom eno n.   In additio n , t he  choi ce  of  wind ow fun c tion  depe nd s on  the interna l  stru cture  of wo rk pie c e and  a c tu al internal  comp one nts and  recon s tru c tio n  requi rem e n t s. The most t y pical f iltering  function s are  R-L filter an d  S-L filter.      3. Traditiona l Mixed Filters  Referen c e [6 ] prop osed t he R-L - S-L  filter  that  com b ine s  the fe a t ure of  R-L  and S-L  filters,  two commonly used  filt ers. It improves spatial resolut i on  while  mi nimizin g  im a ge  oscillation. The impulse res ponse (sam pl e  sequence) is:    12 2 12 22 2 22 2 12 22 2 2 2 2 ( ) () () 8 0 4 2 (4 1 ) 2 (4 1 ) RL S L RL S L hn d k h n d k h n d kk n d k n dn kk n nd d n     ， ， i s  ev en   ，  is   o d d                                                  (5)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       R-L - MS-L Filter Fun c tion fo r CT Im age Reco nstructio n  (Huilin g Ho u)  197 Whe r e,  () RL hn d  and  () SL hn d  are  the  spati a l dom ain ex pre ssi on  of R-L a nd S-L filters  r e spec tively,  1 k  and  2 k  are weig hted co efficie n ts, with 12 1 kk .  Referen c e [7]  prop osed R-L-NE W filter  by mi xing R-L and  NEW fi lter. It is expressed a s   belo w :      12 12 22 2 22 2 12 22 2 2 2 2 () ( ) () ,0 46 , 2 , 2 RLN E W R L N E W hn d k h n d k h n d kk n dd k n dn kk n dn dn       i s   ev en i s  odd                                                     (6)            Whe r e,  () RL hn d  and   () NE W hn d  are the sp atial domain  expre ssi on o f  R-L and NEW   filters respect i vely,  1 k  and  2 k  are weig hted coefficient s, wi th  12 1 kk .   With re spe c t to image re co nstru c tion, we usually u s e  two indice s ， spatial resolu tion and  den sity resol u tion ， to eval uate the reco nstru c ted  ima ge qu ality. Here ， spatial  resol u tion i s  the  ability to identify  the small e st obje c t on  CT image s. Den s ity resol u tion refe rs t o  discrimin a ting   detecte d obj ects by mea n s of image  gray scale.   Gene rally sp eaki ng, wh en  the main lobe is  highe r  and  n a rrower,  a b e tter spatial  re solutio n   can   be g a in. T h e   smalle r th e  si de lo be  and  t h e   quicke r  the  converg e n c e, t he hig h e r  the  den sity  re sol u tion of the i m age  wo uld  be. At a give n set   of proj ectio n  data, the t w o in dices  a r e  confli cting .  Table 1  gi ves the  widt h and  amplit ude   (d=1mm ) of the main lo be  and the first side lo be ex pre s sed by spatial dom ain  curve s  of th e  above filterin g function s  after Fou r ier tr ansfo rmati on. Both mixed filters ta ke  1 0.5 k  and  2 0.5 k .      Table 1. Amp litude and  wid t h of the main lobe and the  first sid e  lobe   Filter Main  lobe  height  Main lobe  wi d t h   First side lobe  height  First side lobe  wi d t h   R-L  0.25  1.42  -0.101   0.389   S-L 0.202   1.498   -0.067     0.232   R-L-S - L  0.226   1.532   -0.084   0.227   R-L- NEW 0.187   1.456   -0.051   0.201       It is found from Ta ble 1  that when t he  mixed filters  give a b e tter and b a l anced  con s id eratio n  to spatial  re solutio n  and  den sity resol u tion of re co nstru c ted i m age s compa r ed  with tradition al R-L  and   S-L filters. T he  R-L - NE W mixed filter is th e b e st   in table 1 . When   comp ari ng filt ers in th e  rem a inde r of thi s   article,   we  wil l  com p a r e  a n e w mixe d filte r  with  the  R-L - Ne w mixed filter.       3.1. A Ne w   M i xed Filter   Whe n  de sig n i ng a n e w fil t er, we  wo ul d attempt to  give better  con s id eratio n  to both   spatial a nd d ensity re soluti ons  so a s  to  improve the o v erall re co nst r uctio n  qualit y.  Firstly, start  out with S-L f ilter functio n  to  desi gn a n e w filter fun c tion usi ng the  idea of   weig hted av erag e. Its ba sic  ratio nale  is p e rf o r min g  wei ghted  averag e of t he poi nts in  the   neigh borhoo d  starting from null field filteri ng functio n  and  using  sign al and sy stem   viewpoi nts ， so as to sh ort en the main l obe an d dimi nish the  side  lobe an d imp r ove the den sity  resolution  at  the expe nse  of the  spatial  re soluti o n .  There i s  a  certain  re stri ction relation ship   betwe en  spat ial re sol u tion  and d e n s ity resol u tion. in  view of the  specifi c  situ ation, choo se t h e   right  prio ritie s . In vie w   of the  sp ecifi c  situat io n,  ch oose the  ri g h t pri o ritie s .  The  app rop r i a te   empha si s will  be determi ne d In view of the sp ecifi c  circum stan ce s [10, 11].   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 14, No. 1, March 2 016 :  195 – 2 0 2   198 Cla ssi cal S-L filter has the f o llowin g  sa m p ling seque n c e:     22 2 2 () , 0 , 1 , 2 , (4 1 ) SL hn d n dn                                                                                     (7)    Theo retically, a transl a tio n  in the sp atial domain,  when  rep r e s ente d  in freque ncy  domain, is m u ltiplication  b y  an fluctuation facto r   2/ ( 2 1 ) ip k N e ; and whe n  there  are 2n -1 poi nts in   the spatial n e i ghbo rho od fo r weig hted av eragi ng, it  is expre s sed in  freque ncy do main as b e lo w:    2 ( ) ( 1 ) ( ) e xp( ) 21 n k kS L kn ik Hw W N                                                                                  (8)    Whe r e,  N  i s   the samplin g  freq uen cy in  the n u ll fiel d;  1 n k kn W   is the  no rmali z ed   expre ssi on.  k W  may be modif i ed to suit sp ecific  situatio n.  By the rese arch, averagin g  has a  smo o thing e ffec t  on rec o ns truc t ed images , but more  than  3 - poi nt weig hted ave r agin g  woul d   disto r t  an d b l ur the  ed ge  of re con s tructed imag es.  We   pro c e s s S-L  filter via 3-p o int wei ghte d  aver aging,  denote d  by  MS-L filter,  who s e  sam p ling  seq uen ce i s :     () 0 . 2 ( ) 0 . 6 () 0 . 2 ( ) MS L S L S L S L hn d h n d d h n d h n d d                                                (9)    The co rrespo nding time do main is repre s ente d  as:     22 2 2 2 2 22 2 0. 4 1 . 2 0. 4 ( ) 0, 1 , 2, (4 ( 1 ) 1 ) ( 4 1 ) ( 4 ( 1 ) 1 ) MS L hn d n dn d n d n     ，        (10)    Figure 1  and   2 are the  di screte di stri buti on of  the  mai n  lobe  an d th e far  sid e  lo b e  of  R-L  and MS-L filtering fun c tion s re spe c tively.            Figure 1. Main lobe of R-L and MS-L in  spatial  domain   Figure 2. Far  side lo be of R-L and MS -L i n   spatial domai n       Figure 1 sh o w s that the  main lobe of  R-L f ilter i s  hi gher a nd na rrower, indi cat i ng goo d   spatial  re solu tion, but its  side l obe i s  l a rge r   in  amp litude an d wi dth, signifyin g seve re Gi b b s  effect; while   MS-L filter fu nction  produ ce s a  sh ort  and  wide  ma in lobe. Fi gu re 2  sh ows t hat  conve r ge nce  effect of its f a r  side  lob e  i s  n o t very  well, indi cating  poo r  sp atial  resolution ;  while  MS-L filter ha s highe r  rate  of  convergen ce, whi c h hel ps supp re ss  Gibb s effect and noi se s. It ca n   be obtaine d by Figure 1 and Figu re 2  that when  desig ning a mi xed filter, we may rely on  R-L   filter to guara n tee the spat ial re solution  of reco n s tru c ted image a n d  use  MS-L f ilter to impro v e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       R-L - MS-L Filter Fun c tion fo r CT Im age Reco nstructio n  (Huilin g Ho u)  199 the den sity resolutio n . The new mixed fil t er is den ote d  by R-L - MS-L. Its respo n se function is  as  follow:     12 () () ( ) RL M S L R L M S L ht k h t k h t                                                                             (11)    Whe r e,  12 0, 0 kk  , 12 1 kk  .  The value of  1 k  and  2 k  is adju s t able. Wh en 1 0 k , it  become s  an  R-L filter; wh en  2 0 k  it become s  an MS-L filter. Its sampli ng se que nce is:    12 22 2 1 2 22 2 14 0 41 5 () () () RL M S L M S L MS L kk n dd hn d h n d n k kh n d n nd    ， ，  is  e v e n ， i s  odd                                                          (12)      4. Experimental Simulation and Re su lt Analy s is   Parallel be a m  recon s tru c tion is pe rf orme d on 2 D  Sheep -Lo gan mod e l [5] using  respe c tively R-L filter, R-L-New mixe d  filter, and t he filter desig ned in this a r ticle. In ord e r  to   evaluate re constructe d image qu ality in the pr esence of noises, Gau s sia n   noise with  5%  intensity are  adde d into the proje c tion d a ta, the mean  and varian ce  being 0 an d 1 respe c tively.  Figure 3 sh ows the orig inal Shepp -L ogan mo del  and its gra y  curve of line 128 .     Figure 4-6  sh ow reconst r u c ted results o f  R-L, R- L-Ne w, and R-L - M S -L filter and  their re sp ecti ve  gray cu rve of line 128.         (a) Mo del     (b) G r ay curv e of line 128     Figure 3. Orig inal model                              (a) Re con s tru c ted  re sult     (b) G r ay curv e of line 128     Figure 4. Re constructe d  re sult of R-L filter                                                                          Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 14, No. 1, March 2 016 :  195 – 2 0 2   200   (a) Re con s tru c ted  re sult     (b) G r ay curv e of line 128     Figure 5. Re constructe d re sult of R-L-New filter                                                                (a) Re con s tru c ted  re sult     (b) G r ay curv e of line 128     Figure 6. Re constructe d re su lt of R-L-M S -L filter                                               By compa r in g Figure 3 to  Figure  6, we  find t hat the new filter p e rf orm s  better t han R-L   filter and R-L - Ne w filter in  that  its reco nstru c ted im a ge is not onl y smoothe r b u t also clo s e r  to   the origin al image.   For the sake  of evaluating recon s tru c t ed im age q u a lity of differ ent filters in a more   obje c tively manne r, we u s e two evaluat ion func tio n s,  namely normalize d  mea n  squ a re di st ance   d and no rmali z ed me an ab solute di stan ce  r [12]. They are expresse d by:    1 2 2 ,, 11 2 , 11 () () NN uv uv uv NN uv uv tr d tt                                                                                                                   (13)    ,, 11 , 11 NN uv uv uv NN uv uv tr r t                                                                                                                                   (14)    Whe r e,  v u t ,  and   v u r ,  are  re spe c t i vely the test model a nd t he pixel d e n s ity of variou s   r e co ns tr uc te d p o i n t s .   t  is the avera ge  value of test  model d e n s ity.  d   is sen s iti v e to the gre a t  error  of a fe w points,  as a  great  error  of  individual  poi nts may le ad  to a g r eat  d  value. Whe r ea s  r   reveal s se nsi t ively the small errors of more p o in ts.  Images  re con s tru c ted by di fferent filters  are  asse ssed u s i ng the  above  two di stan ce  indices.  The  asse ssment  results  are  gi ven in T able  2.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       R-L - MS-L Filter Fun c tion fo r CT Im age Reco nstructio n  (Huilin g Ho u)  201 The re sult s in dicate that th e new filter  p e rform s  g ene rally better a nd re co nstructs highe r qu al ity  image un de r the sam e  noi se con d ition.       Table 2. No rmalize d  dista n ce s of three  filters und er t he sam e  noi se intensity   F ilter   5% intensit y   10% intensit y   d r d r  R-L  filter   0.4818  0.5992  0.8331  1.1182   R-L- Ne w   Filter  0.4191  0.4949  0.6496  0.8279   R-L-MS -L  Filter   0.3738  0.4094  0.5125  0.6258       What  nee ds i llustratin g  i s  t he  choi ce  of  1 k  and   2 k  in Equation 11. As  12 1 kk  , we  study the inf l uen ce of   1 k  to R-L-MS -L  filter functi on  by  sele cting differe nt  1 k   values to   recons truc t. The rela tion sh ip  be tw ee n   1 k  and  no rmali z ed  me an  sq uare  di stan ce is  sho w n  i n   Figure 7. It c an be se en that the best value of   1 k  is   0.7 or so to be better inhib i ting oscill atio n  and noi se.           Figure 7. The  relation ship  betwe en  1 k  and normali ze d mean squa re  distan ce       FDK re co nstruction i s  pe rforme d on 36 0 pictu r e s  of 1024*1 024  rocket moto r mode l   proje c tion d a t a acqui red b y  the lab. Figure 8  sho w s the sin ogra m  of the  recons truc tion data.   Figure 9(a) a nd 9(b) a r e t he 150th  sli c e image  re co nstru c ted  by R-L - Ne w filter and th e ne w  filter. It is rea d ily se en th at the ima ge  re con s tru c ted  b y  R-L - MS-L fi lter ha s  cle a rer d e tails an d   better imag e quality.          Figure 8. The  sinog ram of reco nstructio n  data    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 14, No. 1, March 2 016 :  195 – 2 0 2   202   (a) R-L - Ne w     (b) R-L - MS- L     Figure 9. Co mpari s o n  of FDK usin g different filters           5. Conclusio n   In this article ,  we desig n a new filter  named  R-L - MS-L filter, base d  on the  idea of  weig hted ave r agin g  and li n ear mixing. E x perime n tati o n  and  simulat i on sh ow that  R-L - MS-L filter   doe s better i n  image re co nstru c tion tha n  traditional  filters, be cau s e it not only strongly re strai n s  the oscillation in image  recons truction but al so has better noise  immunity. The new fil t er  improve s  the  image  den si ty resol u tion  signifi cantly  while en suri n g   the  spatial resolution of the   recon s tru c ted  image. G o o d  re con s truct i on re sult s a r e achieved  b o th in 2 D  CT  re con s tru c ti on   and 3 D  CT re con s tru c tion.       Ackn o w l e dg ements   This  wo rk i s  supp orted  by the Na tional Natu ral Scien c e  Found ation  of chin a   (No.6 117 117 7).       Referen ces   [1]    Shi Ho ngl i, Lu o Shuq ia n. A novel sch em e to  desig n the filter for CT   reconstruction usi ng F B P   algorithm.  Bio M edic a l Eng i n eeri ng Onli ne ,  201 3; 12(1): 50 -65.  [2]    Yang  Me ng, Y an P e imi n , H u ang  Hu i, L i  Jif e i.  F ilter ed  bac k pro j ectio n  r e constructio n  r e search  bas ed   on Gaussi an  in PET  ima g e s . 2012 Inter natio nal C onf erenc e on Au dio, La ng uag e  and Image   Processi ng, Procee din g s. Sh ang hai. 2 012;  1: 360-3 64.   [3]    Bilg ot  An ne, D e sbat  La urent, Perrier   Val é rie.   F BP  and  the  i n terior  pro b l e m  in  2D  to mo grap hy.  20 11  IEEE Nuclear   Scienc e S y mposiu m  and M e dical Imaging  Conf er ence( NSS/MIC). Valencia.   20 12; 1:   408 0-40 85.       [4]    Ramac han dra na GN, Laks h minara y a n an  AV, Kolaska r a  AS.  T heor y o f  the non- pl an ar pe ptide  un it.  Biochimica et  Biophysica Ac t a  (BBA) - Protein Structure , 19 73, 303( 2): 385 -388.    [5]    Shee p  L A,  Lo gan  B F .  T he  F ourier  reco ns truction  of a  h ead  secti on.  I EEE trans.  Nucl. Sci . 19 74 ;  21(1): 21- 43      [6]    Z hai J i ng,  Pan  Jin x i ao,  Li u B i n. Ap plic ati on o f  Mixe d  Fil t er Fu n c ti on  in   FD K Al go ri th m.  Journ a l of   Nanc han g Ha n g kon g  Univ ersi ty (Nature Scie nce) . 200 7, 21( 1): 263-2 66     [7]    Z hang Bi n. Pan Jin x ia o. A ne w  t y p e  of  mixe d filters for CT  image reconstructio n .  Mi cro c om pu ter  Information . 2 0 09; 25(3): 2 98- 308      [8]   Wei  Yu  Chuan ， W ang Ge,  H s ieh J i a n . An I n tuitive  Disc u s s ion  on  the I d e a l R a mp F i lter  in C o mp uted   T o mograph y.   Co mp uters an d Mathe m atics  w i th Applicati o ns . 2005; 4 9 (5- 6 ) :  73 1-74 0 ．      [9]    Ren Z h o ng,  Li u Guodo ng,  H uan g Z hen.  Improve m ent of w a velet thresh old filter ed b a ck-projecti o n   imag e reco ns truction al gor i t hm.  Proce edi ngs of SPIE-T he Internationa l Soci et y for Optical   Engi neer in g. Beiji ng. 20 14; 93 01: 1-10     [10]    Xi e Hui, Du an  W anchun,  Su n Yong he, Du  Yuan w e i. D y n a mic DEMAT E L grou p decis i on ap proac h   base d  o n  i n tui t ionistic fuzz y  numb e r.  Te l k om ni ka  (Tel e c omm u n i ca tio n   C o m p u t i n g El ectro n i cs and  Contro l) . 2014;  12(4): 106 4-1 072    [11]    Shi Be n y i, W a ng C h e ng, C h en Si ha i, Bi K un. A N o vel  M e thod  of  CT  Reconstructi on  F ilter F unctio n   Desig n .  CT  T heory an d App l i c ations . 20 10;  19(4): 35- 43     [12]    Ji Don g j i an g, He W enz han g.  T he correcti o n SART  al gorit hm  bas ed o n   circular sy mmetrical  obj ect .  200 9 Internati o nal C onfere n ce  on Comp utatio nal In tel lig enc e  and Secur i t y .  Beiji ng. 20 09;  1: 151-1 54.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.