TELKOM NIKA , Vol.13, No .2, June 20 15 , pp. 722 ~ 7 2 9   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v13i2.1455        722     Re cei v ed  Jan uary 21, 201 5 ;  Revi sed Ap ril 8, 2015; Accepte d  April 2 5 , 2015   Optimal Two Dimensio nal Preventive Maintenance  Policy Based on Asymmetric Copula Function        Xin y ue Li*, Yunxian Jia, Z h en Li  Dep a rtment of Mana geme n t Engi neer in g,  Mechan ical En gi n eeri ng Co lle ge   Shiji azh u a ng, Heb e i, Chi na, Ph.:+ 8613 930 1 192 96   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : oecl x y@ gmai l.com      A b st r a ct  For some ki nd s of prod ucts, the cons u m ers  have  strict re quir e ments to  the rel i ab ility o f  thes e   prod ucts in t h e  base d  w a rra nty peri od. T h en  the  ma nuf actu rer is i n cli n e d  t o  prov id e the  tw o-dimens ion a l   preve n tive  ma i n tena nce  pol ic y to take the  usag e de gr e e   of the pro duct  into acco unt.  As a result, tw o - di me nsio nal p r eventiv e mai n tena nc e  pol ic y in the w a rr anty per iod  h a s rece ntly o b tain ed i n cre a s ing   attention fro m   ma nufactur e rs  and co nsu m e r s. In th is pap er, w e  focuse d on th e opti m i z at io n of ba sed   w a rranty cost  and pr opos ed  a new  expecte d base d  w a rrant y cost mod e l  consid erin g the tw o-dime nsi o na l   imperfect  prev entive   mai n ten ance  p o licy  from the  p e rsp e ctive of  the  ma nufactur e . Asymmetric   co pul a   function w a s a ppli ed to  mod e lin g the fa ilur e  functi o n  of the pr oduct. A nd the  opti m a l  tw o-dime nsi o nal   preve n tive  mai n tena nce  peri od w a s o b tai n ed by   mi n i mi zing  bas ed w a rranty cost. At last, nu meric a l   exa m p l es are  give n  to ill ustrate  the   pr opos ed mode ls,  of  w h ich the  res u lts prov e th e  mode l effectiv e  an d   valid ate.     Ke y w ords : Ba sed W a rranty, T w o-Dime n sio nal Prev entiv e  Mainte nanc e, Asymmetric C o pul a F unctio n       1. Introduc tion  In general, warranty has two sig n ifica n t roles  a s  prot ector to consumers and p r omoter t o   manufa c turer whe n  the  produ cts fail to   perfo rm t hei r pre - spe c ified function s  d u ri ng  the wa rra n ty  perio d. Acco rding to Murth y  and Blisch ke [1], ther e are only two kin d s of wa rra nty in the produ ct  life  cycle  i n cl uding ba sed warra n ty  and extended wa rr anty. Base d  warra n ty is  sold with  prod uct.  Its co st is u s ually inclu ded  in the sale  p r ice.   Ho weve r, to have extende d wa rra n ty, the custo m er  sho u ld pay e x tra money to get the service afte r b a s ed  wa rra nty expire s. No wad a ys, eith er for  based warra n ty or exten ded warranty ,  one key i s s ue  of intere st that ari s e s  from  wa rra nty  analysi s  is th e modelin g o f  warranty co st. By  optimizing wa rranty co st, the manufactu re r co ul d   price the wa rranty pro per  and ma ke th eir produ ct  more attra c ti ve to consu m ers. One of  th e   possibl e  ways to  achieve  the ab ove g o a l is by  ma ki ng o p timal d e ci sion  on  th e mainte nan ce   strategi es in  the warranty  peri od. In t he literat ure, mainten a n c e is mainly  classified int o  two  types: corre c tive mainte na nce  (CM )  a n d  p r eventiv e  maintena nce  (PM) [2]. If th e u s eful  life o f  a   prod uct i s   rel a tively sho r t, like la mp  bul b, then it s wa rra nty is  also  relatively  sh ort an d  warra n ty  servi c ing should involve  only CM  actions. If  a  pro d u ct h a s a l o ng u s eful  life or  nee ds hi gh  availability, like milita r y e quipme n t, then its  wa rr an ty is rel a tively long a nd  manufa c turer ca n   redu ce  wa rranty servi c in g co sts a n d  improve  its perfo rman ce by perfo rming effectiv e PM  action s. Mai n tenan ce i s  th erefo r e  signifi cant in   the  warranty co nte x t since  it ha s a m a jo r imp a ct  on expe cted  warra n ty serv icing  co st.  For s o me k i nds  of  c o mplex  produc t s  (s uc h  as   aircraft, government acquis i tion), the  con s um ers h a ve  st rict req u irem ents  to the  reliab ility  of these p r o d ucts. S o  the   manufa c turer is  inclin ed to  provide the  two - dime nsi onal  preventiv e  m a intena nce p o licy to ta ke  the u s a ge  deg re e   of the p r o d u c t into a c coun t, which h a s  two limit s  of coverage   in  t e rm s  of age  and usage. F o r  example, a  sold  car may  be  covered  a  3 yea r   a nd 3 0 ,000 mil e   warranty, and t he  car shoul d  be  che c k u p  in  4 S  (Sale, Sp are pa rt, Servi c e an d  Su rvey)  store  at p e r  year a nd  15, 000 mil e . F r o m   the pe rspe ctive of the  co nsum er s, two-dim e n s iona l preve n tive maintena nce  policy mi ght  be   better than o ne-di men s ion a l warra n ty for its on e  mo re bou nda ry that coul d ma ke the p r od u c ts  be maintai n e d  in time. Ho wever, it coul d al so  pla c e  heavier  burd en on the m anufa c ture rs. So  the  manufa c t u re rs sh ould price  the warranty  prop erly   to make th eir  prod uct s  mo re attractive a nd  guarantee  th eir p r ofit. As a result, how to  minim i zing th e two-dim e n s iona l wa rra nty cost   con s id erin g two-dime nsio nal PM be co mes a  pra c ti cal requi rem ent. To our  kno w le dge, fe w  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Optim a l Two Dim ensio nal  Preventive Maintena nce  Policy  Bas e d on As y mmetric ... . (Xiny ue Li)  723 analytical  or  nume r ical m e thod s h a ve  bee n repo rt ed in  the lite r ature  so fa r,  whi c h  offers a   deci s io n fra m ewo r k to o p timize th e t w o-dime nsio nal p r eventiv e mainte nan ce  peri od in  the   warra n ty peri od. In this pe rsp e ctive, we  develop  in th is pap er a  ne w mathe m atical mo del to find   the optimi z e d  preventive  mainten a n c e poli c y fo r ba sed  wa rranty from th e pe rspe ctive of  manufa c turer. The rest of this pape r is  orga nized a s  follows: Sect ion 2 introdu ce s the relati ve   work existin g  in the literature with p r o duct  warrant y policie s. Section 3 outli nes the mo d e l  assumptio n s  and notatio n. Section 4 i s  d edicated  to d e velopme n t of the mathematical mod e l. A  nume r ical ex ample  illust rates  ou r a p p roa c h  to  prove the  mo del valid ate  and  effective  in    Section 5.       2. Literature  Rev i e w   Different warranty policie s has different warr a n t y  cost .  The cha r a c t e rist i cs of  w a rra nt y   polici e s are  essential  fact ors in  dete r mining  wa rr a n ty co st in cl uding  warran ty servi c e  ob ject,  maintena nce  task,  warra n ty ren e wal  mech ani sm  and wa rranty  dime nsio n etc.  Blisch ke   an d   Murthy [3] formulate d  a classic taxono my for  warra n ty policies.  But when th e prod uct s  a r e   becoming  mo re  com p lex, t he  wa rra nty p o licie s  hav e  some  ch ange s. So ba se d o n  the  sy stem  of  the wa rra nty polici e s [4]-[6 ], we further  develop t he t a xonomy for  warra n ty policie s to revie w  the   curre n t literature s , sho w n  as Figu re 1.            Figure 1. The  classification  of warranty policie s      At first, wa rranty polici e s  coul d be  divi ded into  two  types in clu d i ng si ngle - co mpone nt  warra n ty and  multi-comp o nent warrant y. The forme r  mainly fo cu se s on th e  warranty poli c y for  singl e comp o nent o r   syste m  [7]-[8]. On  the co nt ra ry, multi-compo n ent wa rranty  often consi d e r s  a fleet  of produ cts. T hen  the  wa rra nt y coul d  b e  divided  i n to two sub - g r ou ps as  rene wing   warra n ty and  non-re ne wing  wa rra nty. Re newi ng  warr a n ty policy me ans th at the  warra n ty peri o d   will restart at the failure time if the failure o ccurs in the warranty peri od. Renewing warranty cost  is rel a tively difficult to be cal c ulate d . Bai pre s e n ts cost mod e ls f o r re pai rable  multi-compo n ent  system s [9]  and a nd Pa rk propo se d the re ne wing  warra n ty co st model [1 0 ]. Non-ren e wing  warra n ty policy will end at  the warranty  period  W no  matter how  many failure s happe n in the   warra n ty peri od [11]-[1 2 ]. Simple warra n ty polic y ha s only  one  warranty poli c y will be  ap plie d in   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 13, No. 2, June 20 15 :  722 – 72 9   724 the warranty  period [13], and differ ent  warranty poli c i e s  will be app lied in the period of  com b ined   warra n ty policy [14]. Accordin g to the  warrant y bo unda rie s , the  warra n ty policie s co uld  be   further  divide d into one -di m ensi onal  warranty,  two-dimen s ion a l  warra n ty and  n-dime nsi o n a l  war r a n ty  (n ≥ 3). On e-dime nsio nal  wa rra nty is limited   by  time [15],  and t w o-dime nsio nal  wa rra nty  is u s ually limi t ed by age a n d  usage  (such as mil e s  an d revolutio n s) [16]-[18]. For some  co mpl e x  prod uct s , whi c h requi re hi gh relia bility, multi usa ge li mits will be a pplied to rest rain the  warranty  perio d. The n   the wa rranty  coul d be  n-di mensi onal   warranty. There are fe w literatures  abo ut n- dimen s ion a l  warra n ty. Ho wever, al ong  with the ind u strial  pro d u c t be come m o re  compl e x, the  intere sting  of  the n - dime nsi onal  wa rranty wo uld  in cre a se.  Obviou sly wa rranty p o licy is the  resu lt  of the game between ma nufacturer  and consumer. So  the co st allocation  mechanism will  greatly  influen ce the   warra n ty deci s ion  and  effe ct. And  the  warranty poli c y coul d b e  furt her  divided i n to   free-rep a ir  warranty, pro-rate wa rra nty and rebat e  warranty etc b y  cost allo cat i on me chani sm.  The manufacturer will take all ex pense i n  the free-repai r  warranty peri od. On  the contrary, the  warranty cost  will  be share by  manufacturers and  consum ers i n  the period   of pro-rata warranty  or re bate warranty [19].  Obliviou s ly, two-dime nsio nal  warranty i s  o ne  of  the  main  conte n ts of th e  warra n ty policy   For two - dime nsio nal wa rra n ty, there are  three  metho d s that has b een develo p e d  for analyzin g  two-di men s io nal warranty  [20], ie univa riate m e t hod  [21]-[23], biv a riate  metho d  [24] an d ti me  scale metho d  [25] 。 Bivairate metho d  is sim p ler a n d  more  strai ghtforward. And one  wa y to  formulate  the  bi-va r iant s di stributio n i s   makin g  fu ll  u s e  of Copul a  function.  Co p u las are a  too l  for  con s tru c ting  multivariate  dist ribution s  and  de scri bing th e d e pend en ce  b e twee n  rand om   variable s  F u rthermo re  symmetric co p u la fun c tion  were al ready  applie d to  model the  produ ct  reliability. In  this pap er,  we  p r op ose the  cost  model  of th e two - dim e n s ion a l p r eve n tive  maintenance in the warranty period by  utilizing  asymmetric copula  func tion. And the opti m al  two-di men s io nal preve n tive maintena n c e pe riod i s  obtaine d by minimizi ng the warranty cost.  The advanta g e s of the mod e l prop osed a r e as follo ws.  -   It is able to   handl e the t a il dep end en ce of  age  a nd u s ag e to  cal c ulate  two-dim e n s iona l  warra n ty cost which  co uld be mo re a c curate. Th e  asymmetri c   cop u la fun c tion is ap plie d   rathe r  than a s suming the  age an d usag e have linea r relation shi p .   -   The t w o-dime nsio nal  preve n tive mainte n ance  p e rio d  could be obtai ned by  minim i zing   ba se d   warra n ty co st. It is more realisti c that t he PM  a c tio n  is  also two - dime nsi onal  to make th e   prod uct mo re  reliable.       3. Model con s ideratio n   This se ction provide s   m o del  con s ide r a t ion  and  som e  prelimina r y re sults. T h rough out   this pa pe r, we assu me im perfe ct preve n tive mainten ance an d mi nimal  corre c ti ve mainten a n c e.  Comp ared to the mean time betwe en failure s, the  maintena nce time is negligi b le. A failure can   be  d e tecte d  immediately whi c h re sults  in  a n  imm e diate  claim,  then the  ma nufactu re r  wi ll  respon d all t he  claim s . Assuming  a fa ilure  co uld b e  dete c ted i mmediately  whi c h  re sults in  a n   immediate  cl aim and the  manufa c turer will respon d all the claim s .  Notations a s  follow:    (T 0 , U 0 )  : The two-di m ensi onal p r ev entive mainte nan ce (PM )  p e riod im plem ented   (W B , U B )  : The based  warra n ty time and usage li mit and  0 0 0 B B U U r WT   (0 1 )    : PM level.  When 1 , PM is pe rfect ma intenan ce. When 0  , PM is  minimal re pai r.  C p   : The co st of PM  C m   : The co st of CM     Assu ming th e  usa ge of th e  prod uct i s  rel a tively steady  for individ ual  cu stome r . It doe sn’t  mean th e u s age fo r in dividual  cu stome r  do esn’t  cha nge but cha n ge  little.  The  based wa rra n ty  coverage a r e a  coul d be di vided into two  parts: D 1  a nd D 2  sho w n a s  Figure 2. Fo r D 1 , warranty is   likely terminat ed at usag e limit. On the contra ry,  warranty is likely termin ated at time limit for  D 2 .  In this stu d y, the wa rrant y cost i s  co mposed  of p r eventive mai n tenan ce  co st and corre c tive  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Optim a l Two Dim ensio nal  Preventive Maintena nce  Policy  Bas e d on As y mmetric ... . (Xiny ue Li)  725 maintena nce  cost. The cumulative failure di stri b u tion functio n , failure de nsit y functions a n d   failure rate of the prod uct a r e [20]:       12 01 2 1 1 2 2 1 2 2 21 3 1 2 3 (, ) ( ( ) , ( ) , ) ( ( ), ( ) , ) ( 1 , ( ), ) ( 1 ( ), ( ) , ) (( ) , 1 , ) ( ( ) , 1 ( ) , ) , (, ) (, ) (, ) , (, ) 1 ( , ) Ft u C F t F u p C F t Fu p C Fu C F t F u pC F t C F t F u Ft u Ft u ft u h t u F t u tu tu                                                     (1)    whe r e 12 (( ) , ( ) , ) CF t F u is the  asymmet r ic cop u la fun c tion a nd  2 0 1 i i p .  12 1 (( ) , ( ) ,) CF t F u is  symmetri c  co pula  fun c tion  and com p o s e d   by  sy mm etric copul a. Th e co mmon  si mple  symmet r ic  cop u la functi ons in clud e Gau ssi an co pula, t-co pula ,  Gumbel co p u la, Clayton cop u la and F r an k  cop u la etc. G u mbel copul a  is:    1/ ' 12 1 2 (( ) , ( ) , ) e x p ( l n (( ) ) ( l n ( ( ) ) CF t F u F t F u                                                            (2)    Asymmetri c  copula fun c tio n  coul d ha ndl e tail depe nd ence betwee n  time and u s age in a   given di rection, whi c h  coul d be  applied i n  modeling  reliability  data.  Based on the collected dat a ,   we could e a si ly estimate the para m eters of  12 () , ( ) F tF u  whi c h a r e  margin al dist ribution s .         Figure 2. Two  dimensi onal  warra n ty coverag e       4. Analy t ical  w a r r an t y  co st analy s is  For th e two - dime nsi onal  impe rfect  preventive  p o licy, the fa ilure  rate  ri ght after  perfo rming  th e jth PM a c tio n  is  given by  Eq. (4).  Obvi ously, the PM  action  effect  is the  red u cti on  of failure intens ity [26].  10 B nU U   , 20 B nW T ( * :  Integer part of a real number) .      00 0 0 0 00 0 0 0 PM  a t ( , ) ( 1 ) ( , ) PM  a t     ( t , ) ( 1 ) ( / , ) jT h j T u h j T j T r j U h jU h j U r jU                       j = 1 ,2,…                                       (3)    For t w o-dime nsio nal  warranty, there a r e two  po ssi b le situ ation s  that ba sic  warra n ty  expire s. One  is the usage  of  the produ ct excee d s th e mileage lim itation. And the othe r is th e   age  of the  produ ct exceed s the  time  lim itation.  So th e warranty  co st in clud es two pa rts:  D 1  an d  D 2 . For the warranty cove rage of D 1 , let N t  be the nu mber of PM o b se rved up to  time t. Then the  failure rate be tween two PM action is:     t N 0 ,  (, ) ht u ;  t N 1 ,  00 0 (, ) ( , ) ht u h U r U ;  …  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 13, No. 2, June 20 15 :  722 – 72 9   726 t N j ,  1 0 0 0 0 () (, ) ( 1 ) , ( ) j i i ji U ht u h j i U r          The co st of the warra n ty includi ng two - di mens i onal im perfe ct preve n tive mainten ance is:     00 1 1 0 0 1 10 (1 ) 1 1 0 1 0 00 0 0 1 10 10 0 0 0 () (, ) ( 1 ) , ( ) () (, ) ( 1 ) , ( ) B jU u r n j i Dp m ji jU ur U n i m i nU ji U C C n C h t u h j i U d tdtu r ni U Ch t u h n i U d t d t u r                                       (4)    At the same  prin ciple, th e  co st of th e  warra n ty  incl uding  two - di mensi onal  im perfe ct p r eve n tive  maintena nce for the wa rra nty coverag e  of D 2  is :        00 2 2 0 0 2 20 (1 ) 1 1 2 00 0 00 0 1 20 20 0 0 0 (, ) ( 1 ) ( ) , ( ) (, ) ( 1 ) ( ) , ( ) B jT r t n j i Dp m ji jT rt W n i m i nT CC n C h t u h j i T j i T r d u d t C h t u h n i T n i T r du dt                                (5)    So the total expected b a se d warra n ty co st is     1 2 1 2 12 12 (, ) ( , ) () (, ) ( , ) (, ) ( , ) DD BD D DD DD f t u d t d u f t u dt du EC C C f t u dt du f t u d t d u f t u dt du f t u d t d u                                       (6)      5. Numerical  example   We  u s e  th e asymmet r ic copula pro p o s ed  by  Wu [2 0]. The sym m etric  co pula  function  whi c h is a ppli ed to con s tru c tion the a s ymmetric  cop u l a is    12 1 2 0 1 2 ( ( ) , () ) ( ) ( ) 1 ( 1 ( ) , 1 () ) CF t F u F t F u C F t F u  .    whe r e   1/ 0 ( , ) e x p ln ( ) ln ( ) Cx y x y     is the  Gumbel  cop u la. Suppo se   p C 150,  m C 820 an d    0.36. The  ba sed  wa rranty and exten ded  wa rra nty cov e rag e  a r e (5,  1000 00) an d  (1 0, 20 000 0 ) . The  life  of the p r o d u c t  is(3 0, 60 000 0).  0 0.9 p , 1 0.1 p , 1 3. 76   and  2 0. 48 , 1 0.7 8 ,   2 0.77 ,  1 2.6 , 2 48 40 0 . The margi nal cum u lati ve failure  distrib u tion s are:     1 1 1 () 1 e x p t Ft      , 2 2 2 () 1 e x p u Fu          In the ba sed   warra n ty, the optimal p r eve n ti ve mainten ance pe riod  could b e  obtai ned by   min i mize  th e  b a s e d  wa rra nty  shown  as  Figure  3. Th e optimal warranty cost is  513.1398 wh en  the preventive maintenance period is (1.2, 24000).  Pa rtial results of the F i gure 3 are shown  as  Table 1. We  could find the warranty cost will decreas es at first then increases  with the increasing  of  T 0  or  U 0 .   Then we anal yze the sensi t ive of th e  ba sed  warranty cost mod e l b y  changing  shown   as Figure 4. We could notice some interesting pheno mena. Warra nty cost of different PM inte rva l   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Optim a l Two Dim ensio nal  Preventive Maintena nce  Policy  Bas e d on As y mmetric ... . (Xiny ue Li)  727 change mo re  by increasin g  1  and 2 . And the optimal warranty cost is increa sing  when  1 is  increa sing. O n  the contra ry, it is decrea s ing wh en  2 is increa sing.  W e  come t o  t h e con c lusion  that  1 and  2  have opposite influence on the based wa rran t y cost.      0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 500 600 700 800 900 1000 1100   Figure 3. Warranty cost curve of different  two-dimensio nal preventive maintenance period        0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 x 1 0 4 40 0 60 0 80 0 10 00 12 00 12 0. 58 , 0 .77   5 0 5 . 06 59 ( 2 .9 , 5 800 0) B Mi n C a t 0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 10 00 11 00 12 0. 98 , 0 .7 7 512.7 420 ( 1.3 , 2600 0) B MinC at     0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 400 600 800 1000 1200 1400 12 0. 78 , 0 .57  55 3.5 0 6 6 ( 2 .9 , 5 80 00 ) B M i nC at 0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 12 0. 78 , 0 .9 7   39 4.50 59 ( 1 .2 , 2400 0) B Mi nC at     Figure 4. Sen s itive analyze  of based warr anty cost model considerin g different        Then we  anal yze the sen s i t ive of the  based  warranty cost model  b y  changing  shown   as Figure 5.  And the optimal wa rranty cost is decreasing when   1  and  2 is increasing. We   come to the c onclusion that  1  and  2  have th e uniform influence on the based wa rran t y cost.    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 13, No. 2, June 20 15 :  722 – 72 9   728 Table 1. Warranty cost of d i fferent two- di mensi onal p r eventive maintenan ce p e ri od     0.5   1.0  1.5  2.0  2.5  3.0  3.5  4.0  4.5   1000 0   1000. 7   725.8  701.2  708.8  715.2  720.4  749.8  772.5  790.9   2000 0   835.2   560.3  535.6  543.3  549.6  554.8  584.3  607.0  625.4   3000 0   820.4   545.5  520.8  528.5  534.8  540.0  569.4  592.2  610.5   4000 0   825.0   550.1  525.5  533.2  539.5  544.7  574.1  596.9  615.2   5000 0   828.8   554.0  529.3  537.0  543.3  548.5  577.9  600.7  619.0   6000 0   832.0   557.1  532.4  540.1  546.4  551.6  581.1  603.8  622.2   7000 0   849.7   574.8  550.2  557.9  564.2  569.4  598.8  621.6  639.9   8000 0   863.4   588.6  563.9  571.6  577.9  583.1  612.5  635.3  653.6   9000 0   874.5   599.6  574.9  582.6  589.0  594.2  623.6  646.3  664.7         0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 600 800 1000 1200 1400 1600 12 1. 6 , 48 400   78 8.6 546 ( 2 .1 , 420 00) B MinC at 0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 400 600 800 1000 1200 12 3.6 , 4 840 0   55 6.341 4 ( 2 . 8 , 560 00) B MinC at     0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 800 1 000 1 200 1 400 1 600 12 2.6 , 2 8400   902.9131 (3 , 60000) B Mi n C at 0 1 2 3 4 5 0 5 10 x 1 0 4 400 600 800 1 000 1 200 1 400 12 2 . 6 , 68 40 0  58 4.7 084 ( 2 . 9 , 5 8 000 ) B Mi n C at   Figure 5. Sen s itive analyze  of based warr anty cost model considerin g different        6. Conclusio n s   This a r ticle propo se s a method to find optim al two-di mensi onal p r eventive maintenan ce   perio d by mi nimizin g  the  warra n ty co st base d  on  asymmet r ic  copula fu nctio n . The meth od  prop osed  cou l d help the m anufa c ture r to pri c e t he b a s ed  wa rra nty prop erly. Man y  extension s   to  this wo rk may be con s i dere d . The  method of fa ilure redu ctio n model s ha ve to be further  investigate d . And the pa ra meters of co p u la functio n  have to be theoretically  stu d ied. In ord e r to   che c k model s validity, some good ne ss-of - fi t test s sho u ld be d e velope d. At last, imperf e ct   corre c tive ma intenan ce  sh ould be in clu ded in the s e  model s.  U 0   T 0   Cost Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Optim a l Two Dim ensio nal  Preventive Maintena nce  Policy  Bas e d on As y mmetric ... . (Xiny ue Li)  729 Referen ces   [1]  Blischk e  W R , Murth y  DNP .  Product  w a rr ant y  ma na ge ment-I:  A  t a xo nom y  for  w a rr ant y   pol icies.  Europ e a n  Jour nal of Operati o nal R e searc h . 199 2; 62(2): 12 7-14 8.  [2]  Moham ed BD,  Sali h OD,  Abdu l R.  H and book  of Mai n tena nce M ana ge me nt an d  Engi neer in g .  S p ring er . 200 5.  [3]  Blischke WR,  Murth  y  DNP .  W a rranty Cost  Analys is . CRC  Press. 1993.   [4] Blischke  WR , Murthy   DNP .   Product W a rra nty Hand bo ok . CRC Press. 199 5.  [5] Murthy   DNP ,  Blischke WR.  W a rranty ma na ge me nt and pr od uct ma nufactur e . S p ring er . 2006.   [6]  Shafie e M, Chukova S. Main tenanc e m ode l s  in  w a rra nt y :   A  literature revie w .  Eur ope an  Journal of   Operatio nal R e search . 20 13;  229( 3): 561- 57 2.  [7]  Chuk ova S,  Ar nol d R, W a ng  DQ. W a rrant y ana l y sis:  An  appr oach  to m ode lin g im perf e ct rep a irs.  Internatio na l Journ a l of Prod uction Eco n o m ics . 2004; 8 9 (1 ): 57-68.   [8]  Hua ng  YS, Z huo  YF . Estimation of future break do w n s to determine o p timal  w a rr ant y   polic ies fo r   prod uct s  w i t h   d e terior ation.  R e lia bi lity Engi n eeri ng & System Safety . 200 4 ;  84(2): 163-1 6 8 .  [9]  Bai J, Pham  H. Cost anal ysis on rene w a ble fu ll-s e rvice   w a rra nties for multi-compon ent s y stems .   Europ e a n  Jour nal of Operati o nal R e searc h . 200 6; 168( 2): 492-5 08.   [10]  Park M, Pha m  H.  Altered quas i-ren e w a l  conc e p t s  for mode lin g ren e w a b l e   w a rr ant y cost s  w i th   imperfect rep a irs.  Mathematic al an d Co mp ut er Mode lli ng . 2 010; 52( 9): 143 5-14 50.   [11]  Bai J, Pham  H. Rep a ir-l imit  risk-fr ee  w a rr ant y  p o lic ies  w i th imperfect rep a ir .  IEEE T r ansactions  on  Systems, Man  and Cy bern e tic s , Part  A: Systems a nd H u ma ns . 2005; 3 5 (6) :  765-77 2.  [12]  W u  S, Long hu rst P .   Optimising a ge-re plac ement  a nd e x t end ed n on-r e n e w i n g   w a rr ant y p o lic ies i n   lifec ycle c o stin g.  Internatio nal  Journa l of Productio n  Econ o m ics . 20 1 1 ; 13 0: 262– 26 7.  [13]  Park M, Pham H. W a rranty  c o st ana l y s e s  using q u a s i-rene w a l pr o c esses for multicom pon ent  s y stems.  IEEE  T r ansactio n s o n  Syste m s, Ma n an d  Cy bern e t ics, Part  A: Sy stems  and  Hu ma ns . 20 10;   40(6): 13 29- 13 40.   [14]  Jack N, Iskand ar B P ,  Murthy  D N P .   A  rep a ir–rep lac e  strateg y  bas ed o n   usag e rate for items sol d   w i t h  a t w o - d i m ensi ona l  w a rra nt y .   Rel i a b il ity Engi neer in g & System Safety .  2009; 9 4 (2): 6 1 1-61 7.   [15]  Park M, Pham H.  A  ne w   w a rrant y p o lic y  w i th fai l ure  times and  w a r r ant y  serv icin g  times.  IEEE  T r ansactio n s o n  Reli ab ility . 20 12; 61(3): 8 22- 831.   [16]  Che n   T ,  Popova E. Mainten ance p o lic ies  w i t h  t w o - dim e nsio nal  w a rran t y .   Reli abi lity Engi neer in g &   System  Safety .  2002; 7 7 (1): 6 1 -69.   [17]  Chuk ova S, Johnston MR.  T w o- dime nsi ona l w a rrant y  r e p a ir  strateg y  base d  on minimal a nd compl e te  rep a irs.  Math e m atic al a nd co mp uter mod e ll i n g . 200 6; 44(1 1 ): 1 133-1 1 4 3 .   [18]  V a rnos afader a n i S, Chukova  S.   A  t w o-dim e n s ion a l  w a rra nt y servicing strateg y   bas ed on r educti on in   prod uct failure  intens it y .   Co mp uters & Mathe m atics w i th  Ap plicati ons . 2 0 1 2 ; 63(1): 20 1-2 13.   [19]  Chie n  YH.  T he ef fect of a pro -rat a  rebat e  w a rr ant y   on th e a ge re plac eme n t  polic y  w i t h  sa lvag e val u e   consi derati on.  IEEE T r ansactions  on Reliability . 2010; 59(2):  383-3 92.   [20]  W u  S. Constru c tion of as ymm e tr ic copu las a nd it s ap plic ati on in t w o - dim e nsio nal r e li abi li t y  mod e ll ing.   Europ e a n  Jour nal of Operati o nal R e searc h . 201 4; 238( 2): 476-4 85.   [21]  Y un W Y , Kang KM. Imperfect rep a ir  po lici e s under t w o- di mensi ona l  w a r r ant y .   Proc eed ings of th e   Institution of Mecha n ica l  Eng i neers,  Part O:  Journ a l of Risk  and Re lia bil i ty . 2007; 2 21(4):  239- 247.   [22]  Iskandar BP , Murth y  D N P ,  Jack N.  A  new   re p a ir –re p la ce strateg y  f o r items sold  w i t h  a t w o- dime nsio nal w a rrant y .   C o mp u t ers & Operatio ns Rese arch . 2 005; 32( 3): 669 -682.   [23]  Hua ng  YS, Z huo  YF . Estimation of future break do w n s to determine o p timal  w a rr ant y   polic ies fo r   prod uct s  w i t h   d e terior ation.  R e lia bi lity Engi n eeri ng & System Safety . 200 4 ;  84(2): 163-1 6 8 .  [24]  Che n   T ,  Popova E. Mainten ance p o lic ies  w i t h  t w o - dim e nsio nal  w a rran t y .   Reli abi lity Engi neer in g &   System  Safety .  2002; 7 7 (1): 6 1 -69.   [25]  Gert sbakh IB,  Kordo n sk y  KB.  Paralle l time scales an d t w o - dimens io nal  manufactur e r a nd ind i vid u a l   customer w a rr anties.  IIE transactions . 19 98;  30(12): 1 1 81-1 189.   [26]  Do ye n L, Gau doi n O. Classe s of  imperfect repa ir  mod e ls base d   on  r e d u c tion of fai l ure  intens it y   or   virtual a ge.  R e li a b i l i t y En gi ne eri n g  & System  Sa fe ty . 2004; 8 4 (1): 45-5 6 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.