T E L KO M NIK A , V ol . 17 No. 6,  Dec em be r   20 1 9,  p p.3 02 7~ 3 04 3   IS S N: 1 69 3 - 6 93 0 accr ed ited   F irst  Gr ad e b y K em en r istekdikti,  Decr ee  No: 2 1/E/ K P T /20 18   DOI:   10.12928/TE LK OM N IK A .v 1 7 i 6 . 13176      30 27       Rec ei v ed   M ay   20 20 1 9 ; R ev i s ed   J un e 3 0 2 01 9 ;  A c c ep te J ul y  1 8 , 2 01 9   Hierar chical  rob ust  f uzz y   slidi n g m od e c on trol    fo r a c la ss o f si mo   un d er - ac tu a ted  s y s te ms    w i th  misma tch e d u n certai nt ies       Du c Ha   V u * 1 ,  S h o u d ao Hu ang 2 , T h i Die p  T r an 3   1 ,2 ,3 Col l e g e  o E l e c tr i c a l  a n d  I n fo rm a t i o n  En g i n e e r i n g H u n a n   Uni v e rs i ty Hun a n P .R.  Chi n a   1 ,3 Fa c u l ty  o f  El e c tri c a l  E n g i n e e ri n g S a o d o  Un i v e rs i ty Hai d u o n g Vi e tn a m   * Corre s p o n d e n c e e - m a i l v u h a d h s d @hn u .e d u .c n 1       Ab strac t   Th e   d e v e l o p m e n o th e   a l g o r i th m s   fo s i n g l e   i n p u m u l t i   o u t p u (SIM O )   u n d e r - a c tu a t e d   s y s te m s   wit h   m i s m a t c h e d   u n c e rt a i n ti e s   i s   i m p o rta n t.   Hi e ra rc h i c a l   s l i d i n g - m o d e   c o n tro l l e (HS M C)  h a s   b e e n   s u c c e s s f u l l y   e m p l o y e d   to   c o n tro l   SIM O   u n d e r - a c tu a t e d   s y s te m s   wit h   m i s m a tc h e d   u n c e rta i n ti e s   i n   a   h i e ra r c h i c a l   m a n n e wit h   th e   u s e   o s l i d i n g   m o d e   c o n tro l Howe v e r,  i n   s u c h   a   c o n tro l   s c h e m e ,     th e   c h a tt e ri n g   p h e n o m e n o n   i s   i ts   m a i n   d i s a d v a n t a g e .   To   o v e rc o m e   th e   a b o v e   d i s a d v a n ta g e i n   t h i s   p a p e r,   a   n e c o m p o u n d   c o n tro l   s c h e m e   i s   p ro p o s e d   f o SIM O   u n d e r - a c tu a t e d   b a s e d   o n   HSM C   a n d   fu z z y   l o g i c   c o n tr o l  (F L C). B y  u s i n g  t h e  HSM C a p p ro a c h a   s l i d i n g  c o n tro l  l a w i s   d e ri v e d   s o   a s  t o  g u a ra n te e  t h e  s t a b i l i t y   a n d   r o b u s tn e s s   u n d e r   v a r i o u s   e n v i r o n m e n t s Th e   FL a s   th e   s e c o n d   c o n tro l l e r   c o m p l e te l y   re m o v e s     th e   c h a tt e ri n g   s i g n a l   c a u s e d   b y   th e   s i g n   fu n c ti o n   i n   th e   s l i d i n g   c o n tro l   l a w.  Th e   re s u l ts   a re   v e ri f i e d   th ro u g h   th e o re t i c a l   p r o o a n d   s i m u l a t i o n   s o ft ware   o M ATL AB  th ro u g h   two   s y s te m s   P e n d u b o a n d   s e r i e s   d o u b l e   i n v e r te d   p e n d u l u m .     Key w ords :   c h a t te ri n g   p h e n o m e n o n fu z z y   l o g i c   c o n tr o l ,   h i e ra rc h i c a l   ro b u s t   fu z z y   s l i d i n g   m o d e   c o n tro l ,   s i n g l e   i n p u m u l ti   o u t p u t   s y s te m s u n d e r - a c t u a te d  s y s te m s     Copy righ ©  2 0 1 9   Uni v e rsi t a s  Ahm a D a hl a n.  All  rig ht s  r e s e rve d .       1.  Int r o d u ctio n   Unde r - ac tu ate s y s t em s   a r c ha r ac teri z ed   b y   th f ac tha the y   ha v f e w er  ac tua tors   tha the   de gr ee   of   f r ee d om   c on tr ol l ed   [1] Und er - ac tua te s y s tem s   are  wi d el y   ap pl i ed   i prac ti c as   m en ti on e i [1 2],   f r ee   s pa c f l i gh r ob ot ,   un de r wate r   r ob ot,   w a l k i ng   r ob ot,   m ob i l r ob ot,   Rob ot  ha s   f l ex i bl l i nk s hi ps h el i c op ters   etc T he   s tud i es   of   un de r - ac tua ted   m ec ha ni c a l   s y s t em s   are  v al ua b l i m an y   ap p l i c at i o ns F or  ex am pl e,  i f   the   un d er - ac tua t ed   c on tr ol   s y s t em   wor k s   w el l the   nu m be r   of   ac tua tors   c an   be   r ed uc ed   t m a k the   s y s t em   w ei g ht  or  s y s t em   m ore   c o m pa c t.  A d v an tag es   of   s tud y i n un de r - ac tua ted   m ec ha ni c a l   s y s tem s   c an   al s o   be   f ou nd   wi th  wal k i ng   r ob ot,   p l an es s pa c ec r af t,  etc S om eti m es c on tr ol   a l go r i thm s   f or  un de r - ac tua ted   s y s t em s   c an   be   us ed   to   r es tore  p arti a l l y   brok en   s y s t em   f un c ti on s   us i ng   th ap propr i ate     under - ac tu ate c on tr o l   al g orit hm   de s c r i be i [3,   4] T he   brok en   r ob ot  arm   c an   s ti l l   r es tore  f un c ti on a l   pa r t.  T he r ef ore,  t he   de v e l op m en of   c on tr ol   al g orit hm s   f or  un de r - ac tua t ed   s y s tem s   i s   v er y   i m po r tan t.   T he i r   m at he m ati c al   eq ua t i on s   of ten   i nc l u de   h i gh   n on l i n ea r   c om po ne nts   an d   j oi nts   m a k i ng   th ei r   c o ntrol   de s i g ns   di f f i c ul [ 5].   Mo r r ec en tl y the r e   ha s   be e a   gro w i ng   i nte r es t   i n u nd er - ac tu ate d c on tr o l  s y s t em s  i n b oth   the or y   an prac ti c e.   In  thi s   s tu d y we  f oc us ed   on   c l as s   of   S IMO  un d er - ac tua ted   s y s tem s T hi s   c l as s   i s   qu i t l arg e,  c on s i s t i ng   of   r ota ti ng   or  pa r a l l el   i n v erte p en du l um   s ub - s y s tem s pe nd ub o t,  T O RA ,   etc T he s s y s tem s   are  us ed   no on l y   t s tud y   c on tr o l   m eth od s bu a l s as   te ac hi n too l   i uni v ers i t y   o th wor l d.  T h ere  are  m an y   c on tr ol   m eth od s   gi v e s uc as   en erg y - ba s ed   c o ntrol ,   pa s s i v e - ba s ed   c on tr ol ,   h y br i d   c on tr o l ,   i n tel l i ge nt  c o ntrol ,   e tc   w as   de s c r i be d   i   the   do c um en ts   [6 - 19 ] Mo s arti c l es   o nl y   s ug g es c on t r ol   l a w s   f or  pa r t i c ul ar  s y s tem In  f ac t,  a   ge ne r al   s tat s pa c ex pr es s i on   m a y   de s c r i be   t hi s   s erie s   of   thi s   s y s t em s T he r ef ore,  i i s   po s s i bl to  d es i gn   ge n er al   c on tr o l   r ul too   f or  thi s   s erie s   of   s y s tem s   r ath er  tha c on tr ol   r u l f or a pa r ti c u l ar s y s tem .   T he   un de r - ac tu ate d   S I MO   s y s t em   ha s   un c ertai n t y   i nc l ud i ng   m atc he a nd   m i s m atc he d.  S l i di ng   m od c on tr ol   m eth od s   ( S MC)   c a pre v e nt  m atc he un c erta i nt y   i t he   s tat of   s l i d i n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 6,  D ec em be r  20 19 :   30 2 7 - 304 3   3028   m od e.  Rega r d i ng   t he   c o n tr ol   of   S I MO   un d er - ac tua t ed   s y s tem the   m i s m atc h ed   un c ert ai nt y   be c om es   m ore  c ha l l e ng i ng T hi s   pa p er  f oc us es   on   de al i ng   wi t m i s m atc he un c ertai n ti es   an c ha tte r i ng   s i gn a l s   b as ed   o f u z z y   s l i d i ng   m od c o n tr ol l er  f or  c l as s   of   S I MO   un de r - ac tu ate d   s y s t em s In  the   pa s f ew   y e ars   the   s l i d i n m od c on tr ol l er  ( S M C)   ha s   be e wi de l y   us ed   f or  c on tr ol   d es i g of   un de r - a c tua ted   no n l i ne ar  s y s t em s S MC  i s   a ef f ec ti v ap pro ac w i t m ai nta i n i ng   s tab i l i t y   an d   p e r f or m an c of   c on tr ol   s y s te m s   w i th   ac c urate   m od el   [2 0 - 27 ].   T he   m ai ad v an t ag of   S MC  i s   t ha t he   ex tern al   p ertur b ati on s   o f   the   un de r - ac tu ate s y s te m   a r ha nd l ed   b y   i n v aria nt  c ha r ac t eris ti c s   w i t th s l i di ng   c on di t i on s   of   the   s y s tem Howe v er,  th ba s i c   probl em   s ti l l   ex i s ts   i c o ntrol l i ng   c om pl ex   s y s t em s   us i n s l i d i ng   c on tr ol l ers .   F or  ex am pl e,  c ha tte r i ng   p he n om en on   an m i s m atc he un c ert ai nt i es   i s   o ne   of   i ts   di s ad v a nta g es   T hi s   ap proac ha s   f urther  r es ea r c ab ou f u z z y   c o ntrol l er  de s i gn s   as s oc i at e d   wi th  s l i d i ng   c on tr ol l er  c a l l ed   f u z z y   s l i di ng   m od c o ntrol l er  ( F S MC )   [28 35 ].   C on tr o l l er  th at  i s   c om bi na ti o n   of   f u z z y   l og i c   c on tr ol   ( F LC )   an S M pro v i d es   s i m pl m eth od   to  de s i gn   th s y s t em T hi s   m eth od   s ti l l   m ai nta i ns   S M po s i ti v e   q ua l i t i es   bu t   r e du c e   c h att er i ng   p he n om en on T he   m ai n   ad v an t ag e   of   F S MC   i s   t he   dram ati c   r ed uc t i on   i n   c ha tt erin i n   th s y s t e m How e v er,   i n     c on tr ol l er  [ 20 - 24 th p aram ete r s   of   the   c on tr o l l er   are  n ot  c a l c ul ate to   s p ec i f i c   l i m i ts i n   c on tr ol l er  [2 5]  th m i s m at c he un c ert ai nti e s   are  no t   ha nd l i ng i c on tr ol l er  [2 6 the   a bi l i t y   to   r em ov c ha tte r i ng   s i g na l s   i s   no m en ti on ed Cont r o l l ers   i [28 - 33 c an b ap pl i ed   t S I MO   under - ac tu ate s y s tem s   w i th  s u bs y s tem s   an ha v e   no ex pl i c i t l y   de m on s tr ate the   ab i l i t y   to   r em ov e c ha tte r i ng   s i gn a l s .     T ov erc om the s di s ad v an ta ge s i thi s   p ap er  a ut ho r   s tud y   the   hi erar c h i c al   r ob us f uz z y   s l i d i n g   m od c on tr ol l er  ( HRF S M C)   f or  v arie t y   of   S IMO   un de r - ac tua ted   s y s tem s   w i th   m i s m atc he un c ert ai nti es T hi s   c on tr o l l er   ap pl i es   t n   s ub s y s t em s pa r a m ete r s   are  l i m i ted   s pe c i f i c al l y   a nd   c h att eri ng   s i gn a l   e l i m i na t i on   c a pa b i l i ti es   are  de m on s tr ate b y   c l ea r   th eo r i es T he   hi erar c hi c al   r o bu s s l i di ng   c on tr o l   ( HRS MC)   m eth o i s   f i r s i ntrodu c ed   as   ex pl ai ne   i [2 5,  26 ].  T he the  a uth o r   de s c r i be s   the   pr o c e du r of   de s i gn i ng   t he   h i erar c hi c al   r ob us f uz z y   s l i d i ng   m od c on tr ol l er  ( HRF S MC)   f or  S I MO   un de r - ac tua t ed   s y s tem s   w i t m i s m atc he d   un c ertai nt i es T he   s i m ul ati o r es ul ts   s ho w   th at  th pro po s ed   c on tr ol l ers   op era te  wel l T he   pa pe r   pres en ts   th r es ul ts   a nd   s ug ge s t s   t h at  h i erar c h i c al   r ob us f u z z y   s l i di n m od c on tr ol l er  h av be tte r   pe r f or m an c e t ha n  hi erar c hi c al  r ob us t s l i d i ng  m o de  c on tr o l l ers .       2.  T h e Hie r a r chi ca l Rob u st Sl idin g  M o d e Con t r o lle r  ( HRSM C)   Cons i d er  the   s t ate   s pa c e   ex pres s i on   of   s eri es   un de r - ac tua t ed   S IM O   s y s tem s   w i th  m i s m atc he d u nc erta i nt i es   i nc l ud e s ub s y s t em s  th e f ol l o w i n g n orm al  f or m :       {             ̇ 1 = 2 ̇ 2 = 1 + 1 + 1 ̇ 3 = 4 4 = 2 + 2 + 2 ̇ 2 1 = 2 ̇ 2 = + +   ( 1)     t he r ei = [ 1 , 2 , . . . , 2 ]   i s   s tat e   v aria bl e   v ec tor;  i f   a nd   i b ( = 1 , 2 , . . . , )   are   no nl i n ea r   f un c ti on s   of   the   s t ate   v ec t or;  u   i s   th e   i np u c on tr o l   s i gn a l .   In   ( 1)  c an   r ep r es en t   c l as s es   of  s y s t em s   w i th   n,   f i   a nd   b i   i s   di f f erent,  d i   i s   m i s m atc he un c ertai nt i es i nc l u de   s y s te m   un c ertai nti es   an d   ex tern al   di s t urbanc es ,   an d   i d   i s   l i m i ted   b y   | | ̄   where   i d   i s   k no w po s i t i v e   c on s tan t;  If   = 2 ( 1)  c a r e pres en t   P en du b ot,   the   c art   s i n gl i n v erted   p en d ul um   s y s tem I f     = 3   r ep r es en t  f or c art do ub l i n v erte d p en d ul um  s y s tem ; i f   4 n = , i t c o ul d b e c on s i de r e d a  c art   tr i pl i nv erted  pe n du l um   s y s t em   an s on ba s e on   th p h y s i c a l   s tr uc ture,   the   s eri es   of     under - ac tu ate s y s t em s   c a be   d i v i d ed   i nt m ul ti p l e   s ub s y s tem s .   F or  ex am pl e,  a   tr i p l i n v ert ed   pe nd ul um   s y s t em   c an   be   di v i d ed   i nto   f o ur  s ub - s y s tem s the   up pe r   pe nd ul u m ,   the   m i dd l e   pe nd ul um the   l o w er  p en d ul um an c art.   T he   s uc s y s t em   i ( 1)  c r ea ted   f r o m   s ub s y s tem s .   T he  i th   s ub s y s tem  c on s i s ts  of  i ts  s tat v ari ab l es  an d s t ate  s pa c e  ex pres s i o ns  as  f ol l o w s :     { ̇ 2 1 = 2 ̇ 2 = +     ( 2)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       Hi erar c hi c a l  r o bu s t fu z z y  s l i di n g m o de  c o ntrol  fo r  a   c l a s s …  ( Duc  Ha V u )   3029   A c c ordi n g t [25 ]  th e  de s i g n o f  hi erar c h i c al  s l i di n g c on tr ol  ( HS MC)  i s  s h o w i n F i g ure 1.   T he  s l i di ng  s urf ac e o f  th i t h s ub s y s tem  i s  de f i ne d a s  f ol l o w s :     = 2 1 + 2   ( 3)      wi th  i c i s  po s i ti v e c o ns tan t  an d l i m i t o f   i c as  pres en ted   i [2 5]  i s   0 < < 0     wi th  0 = |  0 ( / 2 ) |   ( 4)     d eri v at i v i s   f ol l o w  t   ti m e   i n ( 3) we h av e :     ̇ = ̇ 2 1 + ̇ 2 = 2 + +   ( 5)       get  ̇ = 0 i n (5)  t he  c o ntrol   v ol t ag e o f  th i th  s u bs y s tem  i s  as  f ol l o w s :      = ( 2 + ) /   ( 6)     ac c ordi ng   to  F i g ure   1,  t he   I   th  s l i di ng  c l as s  i s  de t erm i ne d:     = 1 1 +     ( 7)     the r in 1 (i 1 , 2 , . . . n ) i = is   c on s tan an d 00 0 S == T ak in =   ac c ordi ng   to  [2 5,   26 hi erar c hi c al   r ob us t s l i di ng  c o ntrol   l a w a s  f ol l o w s :     = +  = ( = ) = 1  ( ) = = 1 + ( = ) = 1 + ( = ) = 1 ̄ ( ) = = 1   ( 8)     f r o m   ( 7) and  ( 8) we ha v e  a  hi erar c h i c al  s l i d er c on tr o l  s t r uc ture s c he m ati c  s ho wn i n  Fig ure  2.             F i gu r 1.  H i erar c hi c a l  s tr uc t ure of     the  s l i d i ng  s urf ac es     F i gu r 2.  A r c hi tec t ure s c he m ati c  of  HRS MC    c on tr ol  s y s t em       3.  T h e Hie r a r chi ca l Rob u st F u z z y   S lidin g  M o d e Con t r o lle r  ( HRF S M C)   T he   de s i gn   of   the   h i erar c hi c al   r ob us f u z z y   s l i di ng   m od c on tr ol l er  ( HRF S M C )   f or  a   s erie s   of   un d er - ac tua t ed   s y s t em s   w i th   m i s m atc he u nc ertai n ti es   i s   d eri v ed   f r om   the   f ol l o w i ng   i de a.   In  c on tr o l   r ul of   the   u nd er - ac tua ted   s y s t em   r ep r es en ted   b y   ( 8)  w i t sgn n S   f un c ti on thi s   i s   the   m ai c au s e   of   c ha tt eri ng   i t he   s y s t em .   A   m eth od   of   r em ov i ng   the   c ha tt eri ng   s i gn a l   i s   to  r ep l ac e   th f i x ed   p aram ete r   i n   ( 8)  b y   a   v ari ab l v a l u throug t he   f u z z y   c on tr ol l er V al ue   n w i l l   c ha ng un de r   th ex ten of   s l i di n s urf ac e. W he n S   is   ex tr e m el y   s m al l na m el y   th s tat v ari ab l es   m ov c l os er  t z ero  th en   n   w i l l   al s de c r ea s to  z ero   to  m ak the   sgn n S   f un c ti on   no   l on ge r  af f ec t th n u   c on tr ol  s i gn a l W e h av e:      0  = 0   ( 9)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 6,  D ec em be r  20 19 :   30 2 7 - 304 3   3030   Ho w e v er,  i f   n i s   s m al l   f r o m   th be g i n ni n g,  th un c o ntrol l ed   s i g na l   wi l l   m ov v er y   s l o w l y   to w ards   th eq ui l i briu m   po s i ti on .   B ut  i f     f r o m   the   be gi nn i ng   i s   ex tr em el y   l arg e,  the   s ta te   v ari ab l es   of   th s y s t em   wi l l   q ui c k l y   ad v an c e   to   th eq ui l i briu m   po s i t i on b ut   at  eq u i l i br i um   po s i t i on t he   s y s tem   w i l l   f l u c tua te  gre atl y .   T he r ef ore,  the   v a l u   i n i ti al   s ho u l b l arge  en ou g s tha u n   c a pu l l   the   s y s tem   to  eq ui l i br i um   po s i ti o n.   W he the   s y s tem   i s   i eq ui l i br i um   the   the   s m al l er     is   the   be tt er   i i s .   T i m pl e m en the   a bo v e   i de a,  th au t ho r   c ha ng es   t he   v al ue   of     ba s ed   on  v al ue   of   s l i d i ng   s urf ac e   S n .   W e   w i l l   c om pu te    throug f u z z y   c o ntro l l er,  the   i n pu of   the   f u z z y   c on tr ol l er  i s   t h v a l u of   the   S n   s l i d i ng   s u r f ac e.   T he   s tr uc ture  of   hi er arc hi c al   r o bu s f uz z y   s l i d i ng   m od c on t r ol l er   ( HF S MC)   i s   s ho w i F i g ure  3 T he   f u z z y   r ul es   i n     the   " F u z z y   l og i c  c on tr o l l er"   bl oc k  are s ho w i n T ab l e 1 .           F i gu r 3.  A r c hi tec t ure s c he m ati c  of  th e HRFSM C  c on tr ol l er f or und er - ac tu ate d s y s tem s v       T ab l e 1 . R ul e i n t h e Fu z z y   B l oc k   The   n u m b e r   o f   f u z z y   r u les       1   A   A   2   B   B   3   C   C   4   D   D   5   E   E   6   F   F   7   G   G       T he   m e m be r s hi f un c ti o ns   of   l i ng u i s ti c   l ab el s   A B C,  D,  E F ,   G   f or  the   term     are   s ho w i F i gu r 4.  T he   m em be r s hi f un c ti on s   of   l i ng u i s ti c   l ab e l s   A B C D,  E F G   f or  the   te r m     are  s ho wn  i F i g ure  5.   T he   m e m be r s hi p   f un c ti on   i F i gu r e   an d   F i g ure  5   i s   n orm   f or m .   T o   m od i f y   the   pa r am ete r s   of   the   f u z z y   c on tr o l l er,  s el ec t i ng   th v al ue   of   the   p os t - proc es s i ng   b l oc k   1   s ho w i F i gu r i s   n e c es s ar y T he   1   pa r am ete r   de term i ne s   the   ab i l i t y   to  di s ap pe ar     the   c ha tt erin s i gn al   i th s y s t em .   T he   c ho i c of   the   1   pa r am ete r   c an   be   pe r f or m ed   b y   a   s ea r c h a l go r i t hm , s uc h a s  a  ge n eti c  a l g orit hm  or herd  a l go r i thm , o r  a  s i m pl e f al s e t es t.           F i gu r 4.  M em be r s hi p f un c ti on   of  ea c h i np u t       F i gu r 5.  M em be r s hi p f un c ti on   of  ea c h o utp u t       4.  Deno n str ate  S t abil it y   and   Capab ilit y   o f   E limin atin g   Ch att er ing   S ign a o f   Hier ar chic al   Ro b u st F u z z y  S lidin g  M o d e Con t r o lle r  ( HRF S M C)   T w the orem s   w i l l   be   prov ed   i th i s   s ec ti on T he ore m   i s   to  an a l y z e   th as y m pto ti c   A B C D µ E F G -1 0 -0.333 -0.667 0.333 0.667 1 Sn Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       Hi erar c hi c a l  r o bu s t fu z z y  s l i di n g m o de  c o ntrol  fo r  a   c l a s s …  ( Duc  Ha V u )   3031   s tab i l i t y   of   a l l   s l i di ng   l a y er s .   T he orem   i n v o l v es   an a l y z i ng   th ab i l i t y   of   e l i m i na ti ng   c ha tte r i ng   s i gn a l   of   the   HF S MC  c o ntrol l er.   T he orem   1:  c on s i de r   th c l as s es   of   the   un de r - ac tu ate d     s y s t em   ( 1).  If   the   c on tr ol   r ul i s   c ho s e as   ( 8)  an d   th i th   l a y er  of   s l i d i ng   s urf ac i s   de f i ne d   as   ( 7)   ( = ) the t he   as y m pt oti c   s tab i l i t y .   P r oo f :   T he   L y ap un o v   f un c ti on   of     ( = )   l a y er  of   s l i d i ng   s urf ac e i s  s el ec ted :     ̄ = ̄ 2 / 2   ( 10 )     b y   c o ns i de r i ng  th e  s tab i l i t y   of  th   l a y er   ( = )   of  s l i di n g s urf ac e,  f r o m   [ 26 ]   w e t ak e:     ̄ ̇ = [ ( = ) = 1 ̄ + ( = ) = 1 ]    ( 11 )     di erent i at ̄   wi th  r es p ec t to  ti m e t  i n (1 0), the n f r om  ( 1 1) we o bta i n:     ̄ ̇ = ̄ . ̄ ̇ = [ ( = ) = 1 ] | | | ( = ) = 1 ̄ | | | 2   ( 12 )     l et  i nt eg r ate  th e t w o  s i de s   o f  ( 12 )  w ob t ai n :     ̄ ̇ 0  = [ [ ( = ) = 1 ] | | | ( = ) = 1 ̄ | | | 2 ] 0    ( 13)     wi th     ̄ ( 0 ) = ̄ ( ) + [ [ ( = ) = 1 ] | | | ( = ) = 1 ̄ | | | 2 ] 0    ( | | + 2 ) 0    ( 14 )     he nc e s      ( | | + 2 ) 0  ̄ ( 0 ) <   ( 15 )     the  b arba l at  l em m a   ex i s ts      ( | | + 2 )  ̄ ( 0 ) <   ( 16 )     f r o m   ( 16 ) , i m ea ns   that   = 0 then th e   l a y er  of  s l i d i ng  s urf ac e i s  as y m pto ti c a l l y  s t ab l e.   T he ore m   2:  Co ns i de r   v arie t y   of   u nd er - ac tu ate s y s t em s   ( 1),   If   the   c on tr o l   r ul i s   de f i ne d   as   ( 8)   a nd   the   f i x e p aram ete r     i ( 8)   i s   s u bs ti tut b y   a   r ep l ac em en c o s ba s ed   o   the   m ag ni t ud e   of     s l i d i ng   s urf ac throug t he   f u z z y   c on tr o l l er,  t he   c h att er i ng   s i gn a l   i   the  s y s t em  w i l l  b e c om pl ete l y   el i m i na ted .     P r oo f F r om   ( 8),   i i s   c l ea r   tha th m ai c o m po ne nt  c a us i ng   t he   c ha tt erin ph en o m en on   i th s y s tem   i s   the   f un c ti on    .   T ov erc om thi s   ph en om en on w ad f u z z y   proc es s i ng   el em en i n   t he   Cont r o l l er  to   e l i m i na te   th  .   T he   s l i di ng   s urf ac e     i s   f uz z y   as   s ho w i n F i g ure .  4.   T he  f u z z y  r ul e   s y s tem  i s  s ho w i T ab l e 1  as  f ol l o w s :     1   : If     i s  A  T he 1   =   A   2   : If     i s  B  T he 2   =   B   3   : If     i s  C T he 3   =  C   4   : If     i s  D T he 4   =  D   5   : If     i s  E  T he 5   =   E   6   : If     i s  F T he 6   =  F   7   : If     i s  G  T he 7   =  G     b y   t he   f oc al   de f u z z i f i c at i on   m eth od  pa r am ete r     i s  de f i n ed :     = 7 = 1 7 = 1   ( 17 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 6,  D ec em be r  20 19 :   30 2 7 - 304 3   3032   i t he r   i s  th e  c orr ec tne s s   of  th r ul e:     1 = ( )     2 = ( )     3 = ( )     4 = ( )   ( 18 )   5 = ( )     6 =  ( )     7 = ( )       f r o m   ( 17 )  an d (18)  w ob t ai n:    0 =  0 7 = 1 7 = 1 = 0   ( 19 )     f r o m   ( 19 )  de du c e      0  = 0   ( 20)     ac c ordi ng   to  t he orem  1  w ha v e:      = 0     ( 21 )       f r o m   ( 20 )  an d (21)  w de d u c e:       = 0     ( 22 )     ac c ordi ng   to   ( 2 2)  w h en   ti m t   ten ds   t o ,   f un c ti on   s g n nn S   i s   c o m pl ete l y   e l i m i na te i n   c on tr ol   r ul ( 8).  T hu s c ha tte r i n s i gn al   at  th eq ui l i br i um   po s i ti o ha s   be e c om pl ete l y   el i m i na te i   the  h i erar c h i c al  r o bu s t f u z z y  s l i di ng  c o ntrol l er ( HF S MC ) .       5.  S i mu latio n  Re sult   T he   P en du bo t   a nd   c art   do ub l i nv erted  p en d u l um   s y s t em s   are  tw t y p i c al     under - ac tu ate s y s tem s ,   us ua l l y   us ed   to  v er i f y   th f ea s i b i l i t y   of   ne c on tr ol   m eth o ds .   T he i r   m ath e m ati c al   e qu at i o ns   h av e   the   s am ex pres s i on s   as   ( 1)  w i t d i f f erent  , a n   i s   m i s m a tc he u nc ertai nti es i nc l ud s y s t em   un c ertai nt i es   a nd   ex tern al   d i s turba n c es an d     i s   l i m i ted   b y   | | ̄   where  ̄   i s   k n o w po s i ti v c on s t an t.   I t hi s   s ec ti on the   c on tr ol   m eth od   pres en te w i l l   b ap pl i ed   t en h an c th c on tr o l   of   the   P e nd ub ot  s y s t em   an the   c art  do u bl i n v erted  pe nd u l um  s y s tem . T he  s i m ul ati on  r es u l ts  s ho w  t ha t  th i s  c on tr ol  m eth od  i s  f ea s i bl e.     5.1 P end u b o t   T he   pe nd u bo s y s t em   s ho wn  i F i gu r i s   m ad up   of   two  s ub s y s t em s :   Li nk   ( no tat i on   nu m be r  1)  wi th  on ac tua t o r   a nd  l i nk  2  ( n ot ati on   nu m be r  2)  wi t ho ut  ac t ua tor.  Its  c on tr ol  o bj ec ti v i s   to  c on tr ol   l i nk   1,  l i nk   ba l a nc an s ta bi l i t y   a th de s i r ed   po s i ti o n.   T he   s y m b ol s   i F i gu r are  de f i n ed   as   f ol l o w s :     is   t he   a ng l of   l i nk   to  t he   h o r i z o nta l   l i n e ,   2   i s   the   an g l e   o f   l i nk   f or   l i nk   1 .   ,   and     i s   the   m as s l en gt an di s t an c to  t he   c en ter  of   l i nk   i .   Her e   = 1 , 2 1   is    the   c on tr o l   m o m en t.  T a k i ng   2 n = i ( 1)  th s tat s pa c e qu at i on   of   the   pe n du bo s y s t em   i s     as  f ol l o w s :     { ̇ 1 = 2 ̇ 2 = 1 + 1 + 1 3 = 4 ̇ 4 = 2 + 2 + 2     ( 23 )     Her 1 = 1 / 2   i s   the   an g l e   of   the   l i nk   f or  the   v ert i c al   l i ne 3 = 2   i s   the   an g l of   the   l i nk   2   f or  l i nk   1;   4   i s   t he   an g ul ar  v e l oc i t y   of   l i nk   2.   = 1   i s   t he   i np ut   c on tr ol   s i gn al .   E x pres s i on s   1 , 2 , 1   an d   2   are  s h o wn  i n   [ 24 ],  1   a nd   2   are  t he   m i s m atc he u nc ertai te r m   wi th  k no w b ou n c al l e d   ̄ 1   and  ̄ 2 B ot c o m po ne nts   of   the   m i s m atc he un c erta i 1   and  2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       Hi erar c hi c a l  r o bu s t fu z z y  s l i di n g m o de  c o ntrol  fo r  a   c l a s s …  ( Duc  Ha V u )   3033   are  s et  t 0 . 1 × [ 2 × r a n d ( ) - 1 ] w he r e   r an d()   i s   Ma t l ab   c om m an to  ge ne r ate   r an do m   nu m be r   i th r an ge   ( 0, 1).  S o the   bo un ds   of   the   m i s m atc he un c ertai tem s   ̄ 1   an ̄ 2   c an   be   de f i ne as   0.2 In  c om pa r i s on   b et w ee the   H R S MC  c on t r ol l er  a nd   th H R F S MC  c on tr ol l er,  th pa r am ete r s  of  th e p en du b o t a r e c ho s e n a c c ordi ng  t o [ 24 ] a nd   [ 9] :     1 = 0 . 0308 k g. m 2 , 2 = 0 . 0106 k g. m 2     3 = 0 . 0095 k g. m 2 , 4 = 0 . 2086 k g. m 2   5 = 0 . 0630 k g. m 2 , = 9 . 81 m. s - 2       ac c ordi ng  to  ( 4), t he   bo u nd ar y  of   1 , 2   i s  c al c ul a ted  as  f ol l o w s :     { 10 = | ( 3 5 2 4 ) / ( 1 2 3 2 ) | = 66 . 97 20 = | [ 5 ( 1 + 3 ) 4 ( 2 + 3 ) ] / ( 1 2 3 2 ) | = 68 . 68       the   H R S M c on tr o l l er   p aram ete r   of   the   1 = 5 . 807 , 2 = 7 . 346 , 1 = 1 . 826 , 2 = 3 . 687   and   2 = 1 . 427 Ini t i a l   s tat v ec tor 0 = [ 2 + 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 2 ] T he   de s i r ed   s tat v ec t or     i s   = [ 0 , 0 , 0 , 0 ] .           F i gu r 6.  S tr uc ture  of  th e p en du bo t s y s tem       T he   HRF S MC   c on tr o l l er   pa r am ete r s   of   the   pe nd ub ot   s y s t em   are  s el ec te th s a m as   pa r am ete r s   of   HRSM c on tr ol l er.  H o w e v er,  the   HRF S MC   c on tr o l l er  ha s   an   a dd i ti on a l   pa r am ete r   s el ec ted   as   1 = 0 . 01   a nd   1 = 5 T s ee   tha t   the   HR F S MC  c o ntrol l er  i s   m ore   ef f i c i en tha th HRS MC  c on tr ol l er.  W e   ha v s i m ul ate i c as es   1 = 0 . 01   and  1 = 5   of  HRF S MC   c on tr ol l er  whe c om pa r ed   w i t H RS MC  c o nt r ol l er.  W i th  s m al l er  1   v al ue ,   t he   ab i l i t y   to   r em ov c ha tte r i ng   s i g na l s   of   HRF S MC   c on tr o l l er  wi l l   be   b ett er   tha H RS MC  c o ntrol l ers B ut  to   ac hi e v e  th i s  c a pa b i l i t y the   s y s t em  w i l l  r es po nd  m ore s l o wl y ,  t he   tr an s i t i o v a l ue   wi l l   be   l arg er. I c on tr as to  t he   l arger   1   v a l u e,  HF S MC  c on tr ol l er  r es po nd s   m ore  qu i c k l y l arg er  tr an s i e nt  v al ue   wi l l  h av e a   l arg er c ha tt erin g . T o c l arif y  th i s  i s s ue l et's  l oo k  at  th e s i m ul at i on s   be l o w .   F i g ure s   7,  8 9,   10   c om pa r s i m ul ati o r es u l ts   of   t w o   c on tr ol l ers   HR S MC   an H RF S MC  pe nd ub o s y s t em s   w i th  1 = 0 . 01 .   It  s ho w s   th at  an g l of   l i nk 1,  l i nk of   HRSM an H RF S MC   c on tr ol l ers  c on v er ge   to  th e   eq u i l i bri um  po s i ti o n f or  ab o ut  0 .6  an 1.5  s ec on ds .   T he  ac t i on  to r qu e   on   l i nk   of   the   HRF S M c on tr ol l er  ha s   an   os c i l l ati o w h i c i s   c om pl ete l y   di s ap p ea r e d   c o m pa r ed   w i th  ac t i on   torq u on   l i nk   of   the   HR S MC  c on tr ol l er.  T he   a ng l es   l i nk   an l i nk   of  the   H RF S MC  c o ntrol l er  h as   an   os c i l l at i on   w h i c i s   c om pl ete l y   di s a p pe ar ed   c o m pa r ed   wi th  an g l es   l i nk   an l i nk   of  the   HR S MC  c on tr ol l er.  H o w e v er,  th HRS MC  c on tr ol l er  r es po n ds   f as ter tha n t h e HRF S MC  c on tr ol l er  wi th   1 = 0 . 01 .   F i gu r es   11 ,   1 2,  13   c om pa r s i m ul ati on   r es ul ts   of   t w o   c on tr ol l ers   HR S M a nd   H RF S MC   pe nd ub o s y s t e m s   w i th   1 = 5 .   I s ho w s   tha t   a ng l of   l i nk 1,  l i nk of   HR S M a nd   H RF S MC  c on tr ol l ers   c on v erge  t th eq u i l i bri um   po s i ti on   f or  ab ou 0.6   s ec o nd s .   T he   ac ti on   tor qu o n     l i nk   of   the   HRF S MC   c on t r ol l er   ha s   an   os c i l l at i o whi c i s   gr ea ter   c om pa r ed   w i t ac ti on   to r q ue   on  l i nk  1  of  th e HR S MC  c o ntrol l er. T he  a ng l es  l i nk  1  a nd  l i nk  2  of  th e HRF S MC  c on tr ol l er  ha s  a os c i l l ati on   w h i c i s   gr ea ter   c o m pa r ed   w i t an gl es   l i n k   an l i nk   of   the   HRS MC  c on tr o l l er.  Ho w e v er, t he  H RF S M C c o ntrol l er r es po nd s  f as ter tha n t he  HRS MC  c o ntrol l er  wi t 1 = 5 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 6,  D ec em be r  20 19 :   30 2 7 - 304 3   3034     ( a)       ( b)     F i gu r 7.  T he  an gl e l i nk  1  o f  pe nd ub ot  when   us i n g HR S MC c o ntrol l er  an the   HR F S MC  c on tr ol l er  wi th  1 = 0 . 01   ( a)  1   i n  ti m e s erie s  f or m at ; (b)   Z oo m ed - i n  ti m e f r a m e o f   1   (2 3 s )         (a )         ( b)     F i gu r 8 .   T he  an gl e l i nk  2  o f  pe nd ub ot  when   us i n g HR S MC c o ntrol l er  an the   HR F S MC  c on tr ol l er  wi th  1 0 . 0 1 k = ( a)  2   i ti m e s erie s  f or m at ; (b)   Z oo m ed - i n  ti m e f r a m e o f   2   (   3s )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       Hi erar c hi c a l  r o bu s t fu z z y  s l i di n g m o de  c o ntrol  fo r  a   c l a s s …  ( Duc  Ha V u )   3035       F i gu r 9.  A c ti o n t orq ue   on   l i nk  1  of  th e p en du b ot  when   us i ng   the   HRS MC c on tr ol l e r           F i gu r 10 A c ti on  t orque  on  l i nk  1  of  th e p e nd u bo us i n g t he  HRF S MC c o ntrol l er  wi th  1 = 0 . 01         ( a)       ( b)     F i gu r 11 . T he  a ng l l i nk  1  of  pe nd u bo whe n u s i ng  H RS MC  c on tr o l l er and  th e H RF S MC  c on tr ol l er  wi th  1 5 k =   ( a)  1   i n  ti m e s erie s  f or m at ; (b)   Z oo m ed - i n  ti m e f r a m e o f   1   (   3s )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 6,  D ec em be r  20 19 :   30 2 7 - 304 3   3036     ( a)       ( b)     F i gu r 12 .   T he  a ng l l i nk  2  of  pe nd u bo whe n u s i ng  H RS MC  c on tr o l l er and  th e H RF S MC  c on tr ol l er  wi th  1 = 5   ( a)  2   i n  ti m e s erie s  f or m at ; (b)   Z oo m ed - i n  ti m e f r a m e o f   2   (   3s )           F i gu r 13 A c ti on  t orque  on  l i nk  1  of  th e p e nd u bo whe n u s i n g t h e HR S MC  c on tr o l l er an   the  HRF S MC  c on tr o l l er  w i t 1 = 5       5.2 . T h e Ca r t   Do u b le  Inv e r t ed P end u lum  S ys t em   T he   c art  do ub l i nv erted   p e nd u l um   s y s t em   i s   c ou pl ed   b y   t w p en d ul um   i a m ov i ng   c art  as   s ho w i F i g ure   14.   T he   s y s tem   c on s i s ts   of   t hree  s ub s y s t em s the   up pe r   pe nd u l um ,     the   un de r   pe nd u l um   an c art.   Its   c on tr ol   o bj ec ti v i s   to  k ee s tab l t eq ui l i br i u m   tw up r i gh v erti c a l  p en du l um  an d t brin the  c art  to  i ts   eq ui l i briu m  po s i ti on  [2 2].     T he   s y m bo l s   i F i g ure  1 are  de f i ne as   f ol l o w s :   1   i s   the   an g l of   the   i nv erted   pe nd ul um   w i th  v erti c a l   l i ne .   2   i s   the   an g l of   the   i nv erte pe m du l um   w i th  v erti c a l   l i ne w h i c i s   the   c on tr o l   f orc e.  T a k i ng   = 3   i ( 1),  the   s ta te - s pa c ex pr es s i on   of   the   c art  i nv erted  pe nd ul u m   s y s t em  i s  de f i ne d a s  f ol l o ws :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.