T E L K O M N I K A ,   V o l . 9 ,   N o . 2 ,   A u g u s t   2 0 1 1 ,   p p .   2 7 9 ~ 2 8 6   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           2 7 9       R e c e i v e d   N o v e m b e r   2 7 th ,   2 0 1 0 ;   R e v i s e d   1 2   F e b r u a r y   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   M a y   2 1 th ,   2 0 1 1   D y n a m i c   M o d e l   a n d   R o b u s t   C o n t r o l   o f   F l e x i b l e   L i n k   R o b o t   M a n i p u l a t o r       M o h a m m a d   K h a i r u d i n * 1 ,   Z a h a r u d d i n   M o h a m e d  2 ,   A b d u l   R a s h i d   H u s a i n 2   1 D e p a r t m e n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t a s   N e g e r i   Y o g y a k a r t a   J l .   C o l o m b o   5 5 2 8 1   Ka r a n g m a l a n g - Y o g y a k a r t a ,   I n d o n e s i a ,   T e l p / F a x   + 6 2 2 7 4 - 5 4 8 1 6 1   2 F a c u l t y   o f   E l e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t i   T e k n o l o g i   M a l a y s i a ,   P0 8   Bu i l d i n g ,   F KE - U T M ,   Sk u d a i ,   8 1 3 1 0   J o h o r ,   M a l a y s i a ,   T e l p .   + 6 0 7 - 5 5 3 5 2 9 2   e - m a i l :   m o h _ k h a i r u d i n @ u n y . a c . i d * 1 ,   z a h a r @ f k e . u t m . m y 2 ,   r a s h i d @ f k e . u t m . m y 2       A b s t r a k   Pr o b l e m a t i k a   d a l a m   r o b o t   l e n g a n   l e n t u r   a d a l a h   a d a n y a   p a r a m e t e r   y a n g   t i d a k   t e r b a t a s   d a n   t i d a k   l i n e a r .   Pa p e r   i n i   m e n y a j i k a n   d e s a i n   k e n d a l i   k o k o h   m e n g g u n a k a n   r e g u l a t o r   k u a d r a t i k   l i n e a r   ( L Q R )   p a d a   r o b o t   l e n g a n   l e n t u r .   Ev a l u a s i   k e t a n g g u h a n   s i s t e m   m e l i p u t i   k e m a m p u a n   p e l a c a k a n   i n p u t   p a d a   r e s p o n   p o s i s i   h u b ,   p e r p i n d a h a n   u j u n g   l e n g a n ,   r e s i d u a l   u j u n g   l e n g a n   d a n   k e c e p a t a n   h u b .   Se b a g a i   m e t o d e   k e n d a l i ,   L Q R   d i k e m b a n g k a n   u n t u k   m e n g a t a s i   m a s a l a h   k e k o k o h a n   d a n   k e m a m p u a n   p e l a c a k a n   i n p u t   p a d a   r e s p o n   p o s i s i   h u b .   Ve r i f i k a s i   h a s i l   k e n d a l i   L Q R   d i l a k u k a n   m e l a l u i   p e r b a n d i n g a n   h a s i l   m e n g g u n a k a n   k e n d a l i   PI D ,   u n t u k   m e m b u k t i k a n   d a n   m e m v e r i f i k a s i   k e u n g g u l a n   k e n d a l i   r o b u s t   y a n g   d i u s u l k a n   s e b a g a i   a l t e r n a t i f   p a d a   k e n d a l i   r o b o t   l e n g a n   l e n t u r .   H a s i l   k e n d a l i   k o k o h   m e n u n j u k k a n   s e t t l i n g   t i m e   y a n g   l e b i h   c e p a t ,   o v e r s h o o t   y a n g   l e b i h   k e c i l ,   s e r t a   p e r f o r m a   y a n g   l e b i h   b a i k   d i b a n d i n g k a n   d e n g a n   m e n g g u n a k a n   p e n g e n d a l i   PI D .     K a t a   k u n c i :   L Q R ,   k e n d a l i   k o k o h ,   m o d e l   d i n a m i s ,   r o b o t   l e n g a n   f l e k s i b e l   l i n k       A b s t r a c t   T h e   p r o b l e m s   o f   a   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   a r e   u n c e r t a i n t i e s   a n d   p a r a m e t r i c   n o n l i n e a r i t i e s .   T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   d e s i g n   a n d   d e v e l o p m e n t   o f   a   r o b u s t   c o n t r o l   b a s e d   o n   l i n e a r   q u a d r a t i c   r e g u l a t o r   ( L Q R )   f o r   a   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .     Sy s t e m   p e r f o r m a n c e s   w e r e   e v a l u a t e d   i n   t e r m s   o f   i n p u t   t r a c k i n g   c a p a b i l i t y   o f   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   r e s p o n s e ,   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t ,   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   a n d   h u b   v e l o c i t y .   F o r   t h e   c o n t r o l l e r   o f   t h e   s y s t e m ,   L Q R   w a s   d e v e l o p e d   t o   s o l v e   f l e x i b l e   l i n k   r o b u s t n e s s   a n d   i n p u t   t r a c k i n g   c a p a b i l i t y   o f   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n .   T h e   r e s u l t s   a c h i e v e d   b y   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   a r e   c o m p a r e d   w i t h   c o n v e n t i o n a l   PI D ,   t o   s u b s t a n t i a t e   a n d   v e r i f y   t h e   a d v a n t a g e s   o f   t h e   p r o p o s e d   s c h e m e   a n d   i t s   p r o m i s i n g   p o t e n t i a l   i n   c o n t r o l   o f   a   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .   T h e   r o b u s t   c o n t r o l   p r e s e n t e d   f a s t e r   s e t t l i n g   t i m e   a n d   s m a l l e r   o v e r s h o o t   r e s p o n s e s   a n d   t r a c k i n g   p e r f o r m a n c e s   o f   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   c o m p a r e d   w i t h   PI D   c o n t r o l l e r s .     K e y w o r d s :   d y n a m i c   m o d e l ,   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r ,   L Q R ,   r o b u s t   c o n t r o l       1 .   I n t r o d u c t i o n   F l e x i b l e   m a n i p u l a t o r s   h a v e   s e v e r a l   a d v a n t a g e s   o v e r   r i g i d   r o b o t s :   t h e y   r e q u i r e   l e s s   m a t e r i a l ,   a r e   l i g h t e r   i n   w e i g h t ,   c o n s u m e   l e s s   p o w e r ,   r e q u i r e   s m a l l e r   a c t u a t o r s ,   a r e   m o r e   m a n e u v e r a b l e   a n d   t r a n s p o r t a b l e ,   h a v e   l e s s   o v e r a l l   c o s t   a n d   h i g h e r   p a y l o a d   t o   r o b o t   w e i g h t   r a t i o   [ 1 ] .   T h e s e   t y p e s   o f   r o b o t s   a r e   u s e d   i n   a   w i d e   s p e c t r u m   o f   a p p l i c a t i o n s   s t a r t i n g   f r o m   s i m p l e   p i c k   a n d   p l a c e   o p e r a t i o n s   o f   a n   i n d u s t r i a l   r o b o t   t o   m i c r o - s u r g e r y ,   m a i n t e n a n c e   o f   n u c l e a r   p l a n t s   a n d   s p a c e   r o b o t i c s   [ 2 ] .     D u e   t o   t h e   f l e x i b l e   n a t u r e   o f   t h e   s y s t e m ,   t h e   d y n a m i c s   a r e   h i g h l y   n o n - l i n e a r   a n d   c o m p l e x .   P r o b l e m s   a r i s e   d u e   t o   l a c k   o f   s e n s i n g ,   v i b r a t i o n   d u e   t o   s y s t e m   f l e x i b i l i t y ,   i m p r e c i s e   p o s i t i o n a l   a c c u r a c y   a n d   t h e   d i f f i c u l t y   i n   o b t a i n i n g   a c c u r a t e   m o d e l   f o r   t h e   s y s t e m   [ 3 ] .   M o r e o v e r ,   t h e   c o m p l e x i t y   o f   t h i s   p r o b l e m   i n c r e a s e s   w h e n   t h e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   c a r r i e s   a   p a y l o a d .   P r a c t i c a l l y ,   a   r o b o t   i s   r e q u i r e d   t o   p e r f o r m   a   s i n g l e   o r   s e q u e n t i a l   t a s k   s u c h   a s   t o   p i c k   u p   a   p a y l o a d ,   m o v e   t o   a   s p e c i f i e d   l o c a t i o n   o r   a l o n g   a   p r e - p l a n n e d   t r a j e c t o r y   a n d   p l a c e   t h e   p a y l o a d .   P r e v i o u s   i n v e s t i g a t i o n s   h a v e   s h o w n   t h a t   t h e   d y n a m i c   b e h a v i o u r   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   i s   s i g n i f i c a n t l y   a f f e c t e d   b y   p a y l o a d   v a r i a t i o n s   [ 4 ] .     T h e   m a i n   g o a l   o n   t h e   m o d e l i n g   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   i s   t o   a c h i e v e   a n   a c c u r a t e   m o d e l   r e p r e s e n t i n g   t h e   a c t u a l   s y s t e m   b e h a v i o u r .   I t   i s   i m p o r t a n t   t o   r e c o g n i z e   t h e   f l e x i b l e   n a t u r e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   2 ,     A u g u s t   2 0 1 1   :     2 7 9     2 8 6   2 8 0 a n d   d y n a m i c   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   s y s t e m   a n d   c o n s t r u c t   a   s u i t a b l e   m a t h e m a t i c a l   f r a m e w o r k .   T h e   n u m e r i c a l   a n a l y s i s   m e t h o d s   t h a t   a r e   u t i l i z e d   i n c l u d e   f i n i t e   d i f f e r e n c e   a n d   f i n i t e   e l e m e n t   m e t h o d s .   B o t h   a p p r o a c h e s   h a v e   b e e n   u s e d   i n   o b t a i n i n g   t h e   d y n a m i c   c h a r a c t e r i z a t i o n   o f   s i n g l e - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m s   i n c o r p o r a t i n g   d a m p i n g ,   h u b   i n e r t i a   a n d   p a y l o a d   [ 5 ] .   P e r f o r m a n c e   i n v e s t i g a t i o n s   h a v e   s h o w n   t h a t   t h e   f i n i t e   e l e m e n t   m e t h o d   c a n   b e   u s e d   t o   o b t a i n   a   g o o d   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   [ 3 ] .   D e   L u c a   a n d   S i c i l i a n o   [ 6 ]   h a v e   u t i l i s e d   t h e   A M M   t o   d e r i v e   a   d y n a m i c   m o d e l   o f   m u l t i l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   a r m s   l i m i t i n g   t o   t h e   c a s e   o f   p l a n a r   m a n i p u l a t o r s   w i t h   n o   t o r s i o n a l   e f f e c t s .   T h e   m o d e l s   a l s o   d e r i v e d   u s i n g   c o m b i n e d   E u l a r   L a g r a n g e   a n d   A M M   f o r   v a r i o u s   p a y l o a d   p r o f i l e s   [ 7 ] .     T h e r e   i s   g r e a t   i n t e r e s t   i n   t h e   d e v e l o p m e n t   o f   c o n t r o l   s t r a t e g i e s   f o r   u s e   w i t h   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r s   a t   p r e s e n t .   T h e   d i f f i c u l t i e s   o f   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   c o n t r o l   a r e   e x a c e r b a t e d   b y   t h e   f a c t   t h a t   c o n t r o l   i n p u t s   a s   w e l l   a s   e x t e r n a l   d i s t u r b a n c e s   i n d u c e   f l e x u r a l   v i b r a t i o n s   i n   t h e   m a n i p u l a t o r   s t r u c t u r e s .   H o w e v e r ,   t h e   c o m p l e x i t y   o f   t h e   m o d e l l i n g   p r o c e s s   i n c r e a s e s   d r a m a t i c a l l y   a s   c o m p a r e d   t o   t h e   c a s e   o f   a   s i n g l e - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r .   Y a n g   a n d   S a d l e r   [ 8 ]   a n d   D o g a n   a n d   I s t e f a n o p u l o s   [ 9 ]   h a v e   d e v e l o p e d   t h e   f i n i t e   e l e m e n t   m o d e l s   t o   d e s c r i b e   t h e   d e f l e c t i o n   o f   a   p l a n a r   t w o - l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   m a n i p u l a t o r .   O n   t h e   o t h e r   w a y s ,   H a n   e t   a l .   [ 1 0 ]   u s i n g   m o d e l   r e f e r e n c e   a d a p t i v e   c o n t r o l   w i t h   P D   ( M R A C - P D )   g a i n   t o   k e e p   c e r t a i n   r e l a t i o n s h i p   w h i c h   i s   d e f i n e d   a s   s y n c h r o n i z a t i o n   m o t i o n   o f   t h e   t w o - l i n k   m e c h a n i s m .   I n   o r d e r   t o   g u a r a n t e e   a   d e s i r e d   t r a c k i n g   p e r f o r m a n c e ,   a   t i m e - v a r i a b l e   a n d   t i m e - c o e f f i c i e n t   o f   t h e   r e f e r e n c e   t r a j e c t o r y   i s   u s e d   m o d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   [ 1 1 ] .     T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   t h e   d y n a m i c   m o d e l i n g   a n d   c o n t r o l   o f   a   f l e x i b l e   l i n k   r o b o t   m a n i p u l a t o r .   S y s t e m   r e s p o n s e s   n a m e l y   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   r e s p o n s e ,   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t ,   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   a n d   h u b   v e l o c i t y   a r e   e v a l u a t e d .   T h e   w o r k   p r e s e n t e d   f o r m s   t h e   b a s i s   o f   d e s i g n   o f   a   s u i t a b l e   c o n t r o l   m e t h o d   f o r   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   s y s t e m s   u s i n g   a   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l .   T h i s   c o n t r o l l e r   i s   u s e d   t o   a c h i e v e   o f   h i g h - p r e c i s i o n   i n p u t   t r a c k i n g   c a p a b i l i t y .   T h e   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l l e r   d e s i g n   m a x i m i z e s   t h e   c o n t r o l   p e r f o r m a n c e   g u a r a n t e e i n g   a   g o o d   p r e c i s i o n   w h e n   r e g u l a t i n g   t h e   t i p   p o s i t i o n   o f   t h e   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   i n   t h e   p r e s e n c e   o f   p a r a m e t e r   u n c e r t a i n t i e s   [ 1 2 ]   a n d   [ 1 3 ] .       2 .   R e s e a r c h   M e t h o d   F i g u r e   1   s h o w s   a   s t r u c t u r e   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   c o n s i d e r e d   i n   t h e s e   i n v e s t i g a t i o n s .   T h e   l i n k   i s   c a s c a d e d   i n   a   s e r i a l   f a s h i o n   a n d   i s   a c t u a t e d   b y   r o t o r   a n d   h u b   w i t h   i n d i v i d u a l   m o t o r .   T h e   l i n k   h a s   l e n g t h   l   w i t h   u n i f o r m   m a s s   d e n s i t y   p e r   u n i t   l e n g t h   ρ .   T h e   l i n k   i s   c l a m p e d   a t   t h e   r o t o r   o f   t h e   m o t o r .   E   a n d   I   r e p r e s e n t   Y o u n g   m o d u l u s   a n d   a r e a   m o m e n t   o f   i n e r t i a   o f   b o t h   l i n k s   r e s p e c t i v e l y .   X 0 Y 0   i s   t h e   i n e r t i a l   c o - o r d i n a t e   f r a m e ,   X Y   i s   t h e   r i g i d   b o d y   c o o r d i n a t e   f r a m e   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   l i n k .   q   i s   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s   a n d   ) , ( t x w i s   t h e   t r a n s v e r s e   c o m p o n e n t   o f   t h e   d i s p l a c e m e n t   v e c t o r .     p m   i s   a n   i n e r t i a l   p a y l o a d   m a s s   w i t h   i n e r t i a   p I   a t   t h e   e n d - p o i n t   o f   l i n k .     T h e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   o f   t h e   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   m h   i s   t h e   m a s s   c o n s i d e r e d   a t   t h e   m o t o r   w h i c h   i s   l o c a t e d   i n   c l a m p e d   w i t h   m o t o r ,     I h   i s   t h e   i n e r t i a   o f   t h e   m o t o r   a n d   h u b .   T h e   i n p u t   t o r q u e ,   τ   ( t )   i s   a p p l i e d   a t   e a c h   m o t o r   a n d   G   i s   t h e   g e a r   r a t i o   f o r   t h e   m o t o r .   L i n k   a n d   m o t o r   a r e   c o n s i d e r e d   t o   h a v e   t h e   s a m e   d i m e n s i o n s .       2 . 1 .   T h e   D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   a   F l e x i b l e   L i n k   M a n i p u l a t o r   T h e   t o t a l   d i s p l a c e m e n t   ) , ( t x y   o f   a   p o i n t   a l o n g   t h e   m a n i p u l a t o r   a t   a   d i s t a n c e   x   f r o m   t h e   h u b   c a n   b e   d e s c r i b e d   a s   a   f u n c t i o n   o f   b o t h   t h e   r i g i d   b o d y   m o t i o n   ) ( t q   a n d   e l a s t i c   d e f l e c t i o n   ) , ( t x w m e a s u r e d   f r o m   t h e   l i n e   O X   a s       ) , ( ) ( ) , ( t x w t x t x y + = q                                                                                                     ( 1 )     U s i n g   t h e   s t a n d a r d   F E   m e t h o d   t o   s o l v e   d y n a m i c   p r o b l e m s ,   l e a d s   t o   t h e   w e l l - k n o w n   e q u a t i o n     ( ) ( ) ( ) t Q x N t x w a a = ,   ( 2 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D y n a m i c   M o d e l   a n d   R o b u s t   C o n t r o l   o f   F l e x i b l e   L i n k   R o b o t   M a n i p u l a t o r   ( M u h a m m a d   K h a i r u d i n )   2 8 1   w h e r e   ( ) x N a   a n d   ( ) t Q a   r e p r e s e n t   t h e   s h a p e   f u n c t i o n   a n d   n o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p e c t i v e l y .       T h e   m a n i p u l a t o r   i s   a p p r o x i m a t e d   b y   p a r t i t i o n i n g   i t   i n t o   n   e l e m e n t s .   A s   a   c o n s e q u e n c e   o f   u s i n g   t h e   B e r n o u l l i - E u l e r   b e a m   t h e o r y ,   t h e   F E   m e t h o d   r e q u i r e s   e a c h   n o d e   t o   p o s s e s s   t w o   d e g r e e s   o f   f r e e d o m ,   a   t r a n s v e r s e   d e f l e c t i o n   a n d   r o t a t i o n .   T h e s e   n e c e s s i t a t e   t h e   u s e   o f   H e r m i t e   c u b i c   b a s i s   f u n c t i o n s   a s   t h e   e l e m e n t   s h a p e   f u n c t i o n .   H e n c e ,   f o r   a n   e l e m e n t a l   l e n g t h   l ,   t h e   s h a p e   f u n c t i o n   c a n   b e   o b t a i n e d   a s       [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 2 1 x x x x x N a f f f f =   ( 3 )       w h e r e     3 3 2 2 1 2 3 1 ) ( l x l x x + - = f ;   2 3 2 2 2 ) ( l x l x x x + - = f ;   3 3 2 2 3 2 3 ) ( l x l x x - = f ;   2 3 2 4 ) ( l x l x x + - = f .         F o r   e l e m e n t   n   t h e   n o d a l   d i s p l a c e m e n t   v e c t o r   i s   g i v e n   a s       [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t t w t t w t Q n n n n a q q - - =   ( 4 )     w h e r e   ) ( 1 t w n -   a n d   ) ( t w n   a r e   t h e   e l a s t i c   d e f l e c t i o n s   o f   t h e   e l e m e n t   a n d   ) ( 1 t n - q   a n d   ) ( t n q   a r e   t h e   c o r r e s p o n d i n g   r o t a t i o n s .   S u b s t i t u t i n g   f o r   ( ) t x w ,   f r o m   e q u a t i o n   ( 2 )   i n t o   e q u a t i o n   ( 1 )   a n d   s i m p l i f y i n g   y i e l d s     ( ) ) ( ) ( , t Q x N t x y b =   ( 5 )       w h e r e     [ ] ) ( ) ( x N x x N a =   a n d   [ ] T a b t Q t t Q ) ( ) ( ) ( q =     T h e   n e w   s h a p e   f u n c t i o n   ) ( x N   a n d   n o d a l   d i s p l a c e m e n t   v e c t o r   ) ( t Q b   i n   e q u a t i o n   ( 3 )   i n c o r p o r a t e   l o c a l   a n d   g l o b a l   v a r i a b l e s .   A m o n g   t h e s e ,   t h e   a n g l e   ) ( t q   a n d   t h e   d i s t a n c e   x   a r e   g l o b a l   v a r i a b l e s   w h i l e   ) ( x N a   a n d   ) ( t Q a   a r e   l o c a l   v a r i a b l e s .   D e f i n i n g   - = - = 1 1 n i i l x k   a s   a   l o c a l   v a r i a b l e   o f   t h e   t h n   e l e m e n t ,   w h e r e   i l   i s   t h e   l e n g t h   o f   t h e   t h i   e l e m e n t ,   t h e   k i n e t i c   e n e r g y   o f   a n   e l e m e n t   n   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s   t a k e n   f r o m   ( M a r t i n s   [ 3 ] ) .     b T l T b T l l n K Q d k N N S Q d k Y Y S d k t t k y S E & & & & = = = ) ( 2 1 2 1 ) , ( 2 1 0 0 0 2 r r r   ( 6 )               F i g u r e   1 .   S t r u c t u r e   o f   a   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .   F i g u r e   2 .   S t r u c t u r e   o f   a   L Q R .   R i g i d   H u b   ( I h )   F l e x i b l e   L i n k   ( ρ , E , I , L )   0   w ( x , t )   X 0   θ ( t )   X   m p   Y   Y 0   ) 0 ( ) 0 ( d w d U   S t a t e s p a c e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   K   K   δ U   δ w   2 N   1 N   δω   δ U   X   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   2 ,     A u g u s t   2 0 1 1   :     2 7 9     2 8 6   2 8 2 a n d   t h e   p o t e n t i a l   e n e r g y   o f   t h e   e l e m e n t   c a n   b e   o b t a i n e d   a s     b T l T b b T b l l n P Q d k E I Q d k Q Q E I d k k t k y E I E F F = F F = = ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) , ( 2 1 0 0 2 2 2 0   ( 7 )       w h e r e   2 2 d k N d = F .   D e f i n i n g   n M   a n d   n K   a s       d k N N S M T l n ) ( 0 = r =   e l e m e n t   m a s s   m a t r i x   ( 8 )     d k E I K T l n ) ( 0 F F =   =   e l e m e n t   s t i f f n e s s   m a t r i x   ( 9 )       t h e   d e s i r e d   d y n a m i c   e q u a t i o n s   o f   m o t i o n   o f   t h e   s y s t e m   c a n   a c c o r d i n g l y   b e   o b t a i n e d   a s     ) ( ) ( ) ( ) ( t F t K Q t Q D t Q M = + + & & &   ( 1 0 )       2 . 2 .   L Q R   C o n t r o l l e r   L i n e a r   q u a d r a t i c   r e g u l a t o r   ( L Q R )   i s   a   t e c h n i q u e   i n   m o d e r n   c o n t r o l   i n   w h i c h   u s e s   s t a t e - s p a c e   a p p r o a c h   t o   a n a l y z e   s u c h   a   s y s t e m .   M I M O   d e s i g n   a p p r o a c h   i s   t h e   o p t i m a l   c o n t r o l   m e t h o d   L Q R .   T h e   i d e a   i s   t o   t r a n s f e r   t h e   d e s i g n e r s   i t e r a t i o n   o n   p o l e   l o c a t i o n s   a s   u s e d   i n   f u l l   s t a t e   f e e d b a c k   t o   i t e r a t i o n s   o n   t h e   e l e m e n t s   i n   a   c o s t   f u n c t i o n ,   J .   T h i s   t e c h n i q u e   d e t e r m i n e s   t h e   f e e d b a c k   g a i n   m a t r i x   t h a t   m i n i m i z e s   J   i n   o r d e r   t o   a c h i e v e   s o m e   c o m p r o m i s e   b e t w e e n   t h e   u s e   o f   c o n t r o l   e f f o r t ,   t h e   m a g n i t u d e ,   a n d   t h e   s p e e d   o f   r e s p o n s e   t h a t   w i l l   g u a r a n t e e   a   s t a b l e   s y s t e m .   U s i n g   s t a t e - s p a c e   m e t h o d s   i t   i s   r e l a t i v e l y   s i m p l e   t o   w o r k   w i t h   a   m u l t i - o u t p u t   s y s t e m .   T h e   s y s t e m   c a n   b e   s t a b i l i z e d   u s i n g   f u l l   s t a t e   f e e d b a c k .   T h e   s c h e m a t i c   o f   L Q R   o f   c o n t r o l   s y s t e m   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   2 .   F o r   t h e   g i v e n   s y s t e m ,   B U A X X + = & ,   d e t e r m i n e   t h e   m a t r i x   K   o f   t h e   L Q R   v e c t o r   ) ( ) ( t K X t U - = .   T h e r e f o r e ,   i n   o r d e r   t o   m i n i m i z e   t h e   p e r f o r m a n c e   i n d e x ,   e q u a t i o n   ( 1 1 )   s h o u l d   b e   s a t i s f i e d .     ¥ + + = 0 ) 2 ( d t N U X R U U Q X X J T T T     ( 1 1 )     w h e r e   Q   a n d   R   a r e   t h e   p o s i t i v e - d e f i n i t e   H e r m i t i a n   o r   r e a l   s y m m e t r i c   m a t r i x .   I n   a d d i t i o n   t o   t h e   s t a t e - f e e d b a c k   g a i n   K ,   l q r   r e t u r n s   t h e   s o l u t i o n   S   o f   t h e   a s s o c i a t e d   R i c c a t i   e q u a t i o n   a s   s h o w n   i n   ( 1 2 ) .     0 ) ( ) ( 1 = + + + - + - Q N S B R N S B S A S A T T T                                                                                     ( 1 2 )     M a t r i x   K   c a n   b e   d e r i v e d   f r o m   S   b y   e q u a t i o n   ( 1 1 )     ) ( 1 T T N S B R K + = -   ( 1 3 )     T o   r e a l i z e   t h e   c o n t r o l l e r   d e s i g n ,   t h e   h o v e r c r a f t   s y s t e m   m u s t   s a t i s f y   t h e   f o l l o w i n g   c o n d i t i o n s :   a .   T h e   p a i r   ( A , B )   i s   s t a b i l i z e   b .   R > 0   a n d   Q - N R - 1 N T 0     c .   Q - N R - 1 N T 0     a n d   A - B R - 1 N T   h a s   n o   u n o b s e r v a b l e   m o d e   o n   t h e   i m a g i n a r y   a x i s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D y n a m i c   M o d e l   a n d   R o b u s t   C o n t r o l   o f   F l e x i b l e   L i n k   R o b o t   M a n i p u l a t o r   ( M u h a m m a d   K h a i r u d i n )   2 8 3   I n   d e s i g n i n g   L Q R   c o n t r o l l e r ,   L Q R   f u n c t i o n   i n   m a t l a b   m - f i l e   c a n   b e   u s e d   t o   d e t e r m i n e   t h e   v a l u e   o f   t h e   v e c t o r   K   w h i c h   d e t e r m i n e s   t h e   f e e d b a c k   c o n t r o l   l a w .   T h i s   i s   d o n e   b y   c h o o s i n g   t w o   p a r a m e t e r   v a l u e s ,   i n p u t   ( R ) = 1   a n d   Q = C ' x C   w h e r e   C   i s   f r o m   s t a t e   e q u a t i o n   i n   ( 8 ) .   T h e   c o n t r o l l e r   c a n   b e   t u n e d   b y   c h a n g i n g   t h e   n o n z e r o   x   a n d   y   e l e m e n t s   i n   Q   m a t r i x   w h i c h   i s   d o n e   i n   m - f i l e   c o d e .       3 .   R e s u l t s   a n d   D i s c u s s i o n   T h e   d y n a m i c   m o d e l   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   h a s   b e e n   p r e s e n t e d .   T h e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   a r e   g i v e n   n e a r   s i m i l a r   a s   t a k e n   f r o m   [ 6 ]   w i t h   a t t a c h e d   P a y l o a d   i n e r t i a   m a x   I p   = 0 . 0 0 2 5   k g m 2   a n d   p a y l o a d   m a s s   m a x   M p   = 0 . 5   k g .   I n   t h i s   s t u d y ,   t h e   d a m p i n g   r a t i o s   w e r e   a s s u m e d   a s   0 . 0 0 8 6   a n d   0 . 0 1   f o r   v i b r a t i o n   m o d e s   1   a n d   2   r e s p e c t i v e l y .   T a b l e   1   s u m m a r i s e s   t h e   p a r a m e t e r s   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .   O t h e r w i s e ,   c l o s e   l o o p   s y s t e m   u s i n g   a   s t e p   i n p u t   p o s i t i o n   i n   r a d i a n   a l l o w i n g   t h e   m a n i p u l a t o r .   T h e   o u t p u t   r e s p o n s e s   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   a r e   t a k e n   f r o m   b o t h   a n g l e   r o t a t i o n ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t ,   e n d   p o i n t   r e s i d u a l   a n d   h u b   v e l o c i t y .     I n   t h i s   s e c t i o n ,   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   o f   t h e   d y n a m i c   a n d   L Q R   c o n t r o l   o f   t h e   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   a r e   p r e s e n t e d   i n   t h e   t i m e   d o m a i n s .   S y s t e m   r e s p o n s e s   a r e   m o n i t o r e d   f o r   d u r a t i o n   o f   5   s ,   a n d   t h e   r e s u l t s   a r e   r e c o r d e d   w i t h   a   s a m p l i n g   t i m e   o f   1 0   m s .   T h e   i n p u t   s y s t e m   u s e s   a   s t e p   i n p u t   o f   1   r a d .   T h r e e   s y s t e m   r e s p o n s e s   n a m e l y   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   a n d   h u b   v e l o c i t y   a t   l i n k   a r e   o b t a i n e d   a n d   e v a l u a t e d .   I n   t h i s   s t u d y ,   t h e   L Q R   d e s i g n   i s   p e r f o r m e d   i n   t w o   s t e p s ,   f i r s t l y   L Q R 1   w i t h   g a i n   Q = C * C ,   w h i c h   p r o d u c e s   t h e   r e s u l t   t h a t   s h o u l d   b e   i m p r o v e d .   T h e   n e x t   s t e p ,   i s   i m p r o v e d   t o   L Q R 2   w i t h   g a i n   Q = d i a g ( s i z e ( C ) ) .       T a b l e   1 .   P a r a m e t e r s   o f   t h e   o n e - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   S y m b o l   P a r a m e t e r   V a l u e   U n i t   ρ   M a s s   d e n s i t y   0 . 1 6 4 8   k g m - 1   E I   F l e x u r a l   r i g i d i t y   3 . 7 3   N m 2   l   L e n g t h   0 . 9   m   I r   R o t o r   a n d   h u b   i n e r t i a   5 . 8 5 9 8 x 1 0 - 4   k g m 2   I b   B e a m   i n e r t i a   0 . 0 4   k g m 2       F i g u r e   3   s h o w s   t h e   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n s   r e s p o n s e   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   w i t h   t h e   L Q R 2   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l l e r s .   I t   h a s   b e e n   d e m o n s t r a t e d   t h a t   b o t h   t e c h n i q u e s   a r e   a b l e   t o   m e e t   t h e   d e s i r e d   a n g u l a r   p o s i t i o n s   o f   1 . 0   r a d .   B o t h   u s i n g   L Q R 2   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l   r e s u l t s   s h o w   s i m i l a r   r e s u l t s ,   w h e r e   s t e a d y   s t a t e   a n g u l a r   p o s i t i o n   l e v e l s   o f   1   r a d   a r e   a c h i e v e d   r e s p e c t i v e l y .   T h e   t r a n s i e n t   r e s p o n s e   s p e c i f i c a t i o n s   o f   t h e   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   f o r   b o t h   r e s u l t s   a r e   s u m m a r i s e d   i n   T a b l e   2 .   I t   i s   a l s o   n o t e d   w i t h   t h e   L Q R 2   c o n t r o l ,   t h e   s y s t e m   e x h i b i t s   f a s t e r   s e t t l i n g   t i m e s   a n d   l o w e r   o v e r s h o o t s   f o r   l i n k   a s   c o m p a r e d   t o   P I D   c o n t r o l .   F o r   t h e   o v e r s h o o t ,   L Q R 2   r o b u s t   c o n t r o l   p r o v i d e s   m o r e   t h a n   t w o - f o l d   i m p r o v e m e n t s   f o r   l i n k .       0 1 2 3 4 5 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 T im e   ( s ) H u b   a n g l e   ( r a d )     P I D L Q R 1 L Q R 2   0 1 2 3 4 5 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 T i m e   ( s ) E n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t   ( m m )     P I D L Q R 1 L Q R 2   F i g u r e   3 .     H u b   a n g u l a r   r e s p o n s e .   F i g u r e   4 .   E n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   2 ,     A u g u s t   2 0 1 1   :     2 7 9     2 8 6   2 8 4                 F i g u r e   4   s h o w s   r e s u l t s   o f   t h e   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   o f   f l e x i b l e   l i n k .   I t   i s   n o t e d   t h a t   t h e   m a g n i t u d e s   o f   v i b r a t i o n   o f   t h e   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   d e c r e a s e   u s i n g   L Q R 2   c o m p a r e d   w i t h   P I D   c o n t r o l .   W i t h   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l ,   t h e   m a x i m u m   m a g n i t u d e s   o f   t h e   r e s p o n s e s   w e r e   2 . 2 3   m m   a n d   0 . 6 8   m m   f o r   L Q R 1   a n d   L Q R 2   r e s p e c t i v e l y .   O n   t h e   o t h e r   h a n d   w i t h   P I D   c o n t r o l ,   t h e   m a x i m u m   m a g n i t u d e s   w e r e   4 . 7 7   m m .   I n   a d d i t i o n   w i t h   t h e   r o b u s t   c o n t r o l l e r ,   t h e   d i s p l a c e m e n t s   c o n v e r g e   t o   z e r o   f a s t e r   t h a n   t h e   r e s p o n s e   w i t h   t h e   Z N - P I D   c o n t r o l .   T a b l e   3   s u m m a r i s e s   t h e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s .         T a b l e   3 .   E f f e c t s   o f   c o n t r o l l e r   o n   m a x i m u m   m a g n i t u d e s   o f   t h e   d i s p l a c e m e n t       r e s p o n s e s   o f   t h e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   C o n t r o l l e r s   M a x i m u m   m a g n i t u d e s   o f   t h e   d i s p l a c e m e n t   ( m m )   P I D   4 . 7 7   L Q R 1   2 . 2 3   L Q R 2   0 . 6 8       F i g u r e   5   s h o w s   t h e   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   r e s p o n s e s   o f   t h e   s y s t e m   o b t a i n e d   w i t h   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l   e x e r c i s e s .   W i t h   L Q R 1   a n d   L Q R 2   r o b u s t   c o n t r o l   s h o w   t h a t   t h e   v i b r a t i o n   o c c u r s   a t   - 0 . 1 8   m m   t o   2 . 1 3   m m   a n d   0 . 0 0   m m   t o   1 . 2 2   m m   r e s p e c t i v e l y .   O t h e r w i s e ,   t h e   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   r e s p o n s e   w i t h   P I D   w a s   o b t a i n e d   a t   - 0 . 7 9   m m   t o   2 . 7 8   m m .   I t   i s   a l s o   n o t e d   w i t h   t h e   L Q R 2   c o n t r o l ,   t h e   s y s t e m   e x h i b i t s   l o w e r   a m p l i t u d e s   o f   v i b r a t i o n   f o r   l i n k   a s   c o m p a r e d   w i t h   P I D   c o n t r o l .   T a b l e   4   s u m m a r i s e s   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   r e s p o n s e s   f o r   f l e x i b l e   l i n k   u s i n g   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l .         T a b l e   4 .   E f f e c t s   o f   c o n t r o l l e r   o n   e n d - p o i n t   r e s i d u a l     r e s p o n s e s   o f   t h e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   C o n t r o l l e r s   E n d - p o i n t   r e s i d u a l     r e s p o n s e s   ( m m )   P I D   - 0 . 7 9   t o   2 . 7 8   L Q R 1   - 0 . 1 8   t o   2 . 1 3   L Q R 2   0 . 0 0   t o   1 . 2 2     0 1 2 3 4 5 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 T i m e   ( s ) E n d - p o i n t   r e s i d u a l   ( m m )     P I D L Q R 1 L Q R 2 0 1 2 3 4 5 - 1 8 - 1 2 - 6 0 6 1 2 1 8 T i m e   ( s ) H u b   v e l o c i t y   ( r a d / s )     P I D L Q R 1 L Q R 2 F i g u r e   5 .   E n d - p o i n t   r e s i d u a l .   F i g u r e   6 .   H u b   v e l o c i t y   T a b l e   2 .   R e l a t i o n   b e t w e e n   p a y l o a d s   a n d   s p e c i f i c a t i o n   o f   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   r e s p o n s e   C o n t r o l l e r s   S e t t l i n g   t i m e   ( s )   O v e r s h o o t   ( % )   P I D   1 . 4 2   1 5 . 1 4   L Q R 1   2 . 2 1   5 . 2 0   L A R 2   0 . 9 6   4 . 7 0   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D y n a m i c   M o d e l   a n d   R o b u s t   C o n t r o l   o f   F l e x i b l e   L i n k   R o b o t   M a n i p u l a t o r   ( M u h a m m a d   K h a i r u d i n )   2 8 5   F i g u r e   6   s h o w s   t h e   h u b   v e l o c i t y   r e s p o n s e s   o b t a i n e d   w i t h   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l   e x e r c i s e s .   W i t h   L Q R 1   a n d   L Q R 2   r o b u s t   c o n t r o l   s h o w   t h a t   t h e   v i b r a t i o n   o c c u r s   a t   - 5 . 5 3   r a d / s   t o   1 . 6 3   r a d / s   a n d   - 2 . 1 0   r a d / s   t o   0 . 2 9   r a d / s   r e s p e c t i v e l y .   O t h e r w i s e ,   t h e   h u b   v e l o c i t y   r e s p o n s e   w i t h   P I D   w a s   o b t a i n e d   a t   - 1 6 . 8 0   r a d / s   t o   1 0 . 1 3   r a d / s .   I t   i s   a l s o   n o t e d   w i t h   t h e   L Q R 2   c o n t r o l ,   t h e   s y s t e m   e x h i b i t s   f a s t e r   m o v i n g   t o   z e r o   v e l o c i t y   f o r   l i n k   a s   c o m p a r e d   w i t h   P I D   c o n t r o l .   T a b l e   5   s u m m a r i s e s   h u b   v e l o c i t y   r e s p o n s e s   f o r   f l e x i b l e   l i n k   u s i n g   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l   a n d   P I D   c o n t r o l .         T a b l e   5 :   E f f e c t s   o f   c o n t r o l l e r   o n   h u b   v e l o c i t y     r e s p o n s e s   o f   t h e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   C o n t r o l l e r s   H u b   v e l o c i t y     r e s p o n s e s   ( r a d / s )   P I D   - 1 6 . 8 0   t o   1 0 . 1 3   L Q R 1   - 5 . 5 3   t o   1 . 6 3   L Q R 2   - 2 . 1 0   t o   0 . 2 9       4 .   C o n c l u s s i o n   T h e   d e v e l o p m e n t   o f   d y n a m i c   m o d e l   a n d   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l   o f   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   h a s   b e e n   p r e s e n t e d .   I m p l e m e n t a t i o n s   a n d   r e s u l t s   w i t h   s i m u l a t i o n   e x e r c i s e s   o f   L Q R   c o n t r o l l e r   f o r   p o s i t i o n   c o n t r o l   a   s i n g l e - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   h a v e   b e e n   p r e s e n t e d .   I n i t i a l l y ,   a   P I D   c o n t r o l l e r   h a s   b e e n   d e v e l o p e d   f o r   c o n t r o l   o f   a   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .   A   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l l e r   h a s   b e e n   i m p l e m e n t e d   f o r   i n p u t   t r a c k i n g   c o n t r o l   c a p a b i l i t y   o f   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   r e s p o n s e ,   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t ,   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   a n d   h u b   v e l o c i t y   o f   t h e   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r .   P e r f o r m a n c e   o f   t h e   c o n t r o l   s c h e m e s   h a v e   b e e n   e v a l u a t e d   i n   t e r m   o f   t h e   i n p u t   t r a c k i n g   c a p a b i l i t y ,   e n d - p o i n t   d i s p l a c e m e n t ,   e n d - p o i n t   r e s i d u a l   a n d   h u b   v e l o c i t y   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   a s   c o m p a r e d   w i t h   P I D   c o n t r o l .   S i m u l a t i o n   r e s u l t s   h a v e   s h o w n   t h a t   b o t h   c o n t r o l l e r s   a r e   a b l e   t o   m e e t   t h e   d e s i r e d   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n s   f o r   l i n k   u n d e r   a l l   c o n d i t i o n s .   H o w e v e r ,   t h e   P I D   c o n t r o l l e r   n e e d   t o   b e   r e - t u n e d   t o   f i n d   n e w   P I D   g a i n s   f o r   e a c h   c o n d i t i o n   w h e r e a s   t h e   n e w   g a i n s   o b t a i n e d   w i t h   t h e   L Q R   a p p r o a c h   c a n   b e   u s e d   f o r   a l l   c a s e s .   T h i s   i s   a n   a d v a n t a g e   o f   t h e   p r o p o s e d   r o b u s t   L Q R   c o n t r o l .   M o r e o v e r ,   t h e   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l l e r   h a s   b e e n   s h o w n   t o   p r o v i d e   b e t t e r   p e r f o r m a n c e   a s   c o m p a r e d   t o   t h e   P I D   c o n t r o l l e r .   L Q R   r o b u s t   c o n t r o l l e r   g i v e s   f a s t e r   s e t t l i n g   t i m e s   a n d   l e s s   o v e r s h o o t   f o r   t h e   h u b   a n g u l a r   p o s i t i o n   r e s p o n s e ,   a n d   l o w e r   d i s p l a c e m e n t   f o r   l i n k s .   T h e s e   r e s u l t s   w i l l   b e   v e r i f i e d   o n   t h e   h a r d w a r e   e x p e r i m e n t a l   w o r k   f o r   f u t u r e   w o r k .       R e f e r e n c e s   [ 1 ]   T o k h i   M   O ,   M o h a m e d   Z ,   a n d   Sh a h e e d   M   H .   D y n a m i c   C h a r a c t e r i s a t i o n   o f   a   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   Sy s t e m .     R o b o t i c a .   2 0 0 1 ;   1 9 ( 5 ) :   5 7 1 - 5 8 0 .   [ 2 ]     D w i v e d y   K,   a n d   Eb e r h a r d   P.   D y n a m i c   A n a l y s i s   o f   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r s ,   a   L i t e r a t u r e   R e v i e w .   M e c h a n i s m   a n d   M a c h i n e   T h e o r y .   2 0 0 6 ;   4 1 :   7 4 9 - 7 7 7 .   [ 3 ]     M a r t i n s   J   M ,   M o h a m e d   Z ,   T o k h i   M   O ,   Sa   d a   C o s t a   J ,   a n d   Bo t t o   M   A.   Ap p r o a c h e s   f o r   D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   Sy s t e m s .   I EE  Pr o c - C o n t r o l   T h e o r y   a n d   Ap p l i c a t i o n .   2 0 0 3 ;   1 5 0 ( 4 ) :   4 0 1 - 4 1 1 .   [ 4 ]     M o h a m e d   Z ,   a n d   T o k h i   M   O .   C o m m a n d   Sh a p i n g     T e c h n i q u e s   f o r   V i b r a t i o n   C o n t r o l   o f   a   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   Sy s t e m .   M e c h a t r o n i c s .   2 0 0 4 ;   1 4 ( 1 ) :   6 9 - 9 0 .   [ 5 ]     Ao u s t i n   Y ,   C h e v a l l e r e a u   C ,   G l u m i n e a u   a n d   M o o g   C   H .   E x p e r i m e n t a l   R e s u l t s   f o r   t h e   En d - Ef f e c t o r   C o n t r o l   o f   a   Si n g l e   F l e x i b l e   R o b o t i c   Ar m .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   C o n t r o l   Sy s t e m s   T e c h n o l o g y .   1 9 9 4 ;   2 :   3 7 1 - 3 8 1 .   [ 6 ]     D e   L u c a   A,   a n d   Si c i l i a n o   B.   C l o s e d - F o r m   D y n a m i c   M o d e l   o f   Pl a n a r   M u l t i - L i n k   L i g h t w e i g h t   R o b o t s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Sy s t e m s ,   M a n ,   a n d   C y b e r n e t i c s .   1 9 9 1 ;   2 1 ( 4 ) :   8 2 6 - 8 3 9 .   [ 7 ]   M .   Kh a i r u d i n ,   Z .   M o h a m e d ,   A. R .   H u s e i n ,   M . A.   Ah m a d .   D y n a m i c   M o d e l l i n g   a n d   C h a r a c t e r i z a t i o n   o f   A   T w o - L i n k   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r .   J o u r n a l   o f   L o w   F r e q u e n c y   N o i s e   a n d   V i b r a t i o n   A c t i v e   C o n t r o l .   2 0 1 0 ;   2 9 ( 3 ) :   2 0 7 - 2 1 9 .   [ 8 ]     Y a n g   Z ,   a n d   Sa d l e r   J   P.   L a r g e - D i s p l a c e m e n t   F i n i t e   El e m e n t   An a l y s i s   o f   F l e x i b l e   L i n k a g e .   ASM J o u r n a l   o f   M e c h a n i c a l   D e s i g n .   1 9 9 0 ;   1 1 2 :   1 7 5 - 1 8 2 .   [ 9 ]     D o g a n   M ,   a n d   I s t e f a n o p u l o s   Y .   O p t i m a l   N o n l i n e a r   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   F l e x i b l e   R o b o t   M a n i p u l a t o r s   w i t h   Ad a p t i v e   I n t e r n a l   M o d e l .   I ET   C o n t r o l   T h e o r y   a n d   A p p l i c a t i o n s .   2 0 0 7 ;   1 ( 3 ) :   7 7 0 - 7 7 8 .   [ 1 0 ]   H a n   Q ,   Y a n g   X ,   Z h a o   X,   a n d   W e n   B .   C o n t r o l l e d   Sy n c h r o n o u s   M o t i o n s   o f   a   T w o - L i n k   M e c h a n i s m   Ba s e d   o n   I m p r o v e d   M R AC - PD   c o n t r o l l e r .   I n t .   J o u r n a l   I C I C ,   2 0 1 0 ;   6 ( 1 1 ) :   4 9 1 1 - 4 9 2 2 .   [ 1 1 ]   H e n m i   T ,   O h t a   T ,   D e n g   M ,   a n d   I n o u e   A.   T r a c k i n g   C o n t r o l   o f   a   T w o - L i n k   Pl a n a r   M a n i p u l a t o r   U s i n g   N o n l i n e a r   M o d e l   Pr e d i c t i v e   C o n t r o l .   I n t .   J o u r n a l   I C I C .   2 0 1 0 ;   6 ( 7 ) :   2 9 7 7 - 2 9 8 4 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   2 ,     A u g u s t   2 0 1 1   :     2 7 9     2 8 6   2 8 6 [ 1 2 ]   Ar a g h i   L   F ,   H a b i b n e j a d   M   K,   N i k o o b i n   A,   a n d   Se t o u d e h   F .   N e u r a l   N e t w o r k   C o n t r o l l e r   Ba s e d   o n   PI D   C o n t r o l l e r   f o r   T w o - l i n k s   R o b o t i c   M a n i p u l a t o r   C o n t r o l .   T h e   W o r l d   C o n g r e s s   o n   En g i n e e r i n g   a n d   C o m p u t e r   Sc i e n c e   W C EC S .     Sa n   F r a n c i s c o .   U SA.   2 0 0 8 :   1 0 1 8 - 1 0 2 3 .   [ 1 3 ]   T i a n   L ,   a n d   C o l l i n s   C .   D y n a m i c   R e c u r r e n t   N e u r a l   N e t w o r k   Ba s e d   C o n t r o l l e r   f o r   a   R i g i d - F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   Sy s t e m .   M e c h a t r o n i c s .   2 0 0 4 ;   1 4 ;   4 7 1 - 4 9 0 .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.