T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 3 ,   S e p t e m b e r ,   p p .   5 1 4 ~ 5 2 3   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0         5 1 4       R e c e i v e d   M a y   4 ,   2 0 1 2 ;   R e v i s e d   J u n e   9 ,   2 0 1 2 ;   A c c e p t e d   J u n e   1 7 ,   2 0 1 2   N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   P a r a m e t e r   V a r y i n g   M o d e l       J i a n g a n g   L u * ,   J i e   Y o u ,   Q i n m i n   Y a n g   St a t e   Ke y   L a b o r a t o r y   o f   I n d u s t r i a l   C o n t r o l   T e c h n o l o g y ,   D e p a r t m e n t   o f   C o n t r o l   Sc i e n c e   a n d E n g i n e e r i n g ,     Z h e j i a n g   U n i v e r s i t y ,   H a n g z h o u   3 1 0 0 2 7 ,   C h i n a   E- m a i l :   j g l u @ i i p c . z j u . e d u . c n *       A b s t r a k   Pa p e r   i n i   m e n g a j u k a n   s u a t u   p e n g e n d a l i   p r e d i k t i f   m o d e l   t a k - l i n i e r   ( M PC )   y a n g   b a r u   b e r d a s a r k a n   m o d e l   p e r u b a h a n   p a r a m e t e r   t a k l i n i e r   ( N PV)   y a n g   t e r i d e n t i f i k a s i .   Pe r t a m a - t a m a ,   s u a t u   s k e m a   m o d e l   N P V   d i p r e s e n t a s i k a n   u n t u k   i d e n t i f i k a s i   p r o s e s   y a n g   d i t u n j u k k a n   d e n g a n   s t r u k t u r   m o d e l   h i b r i d   t a k - l i n i e r   H a m m e r s t e i n   p a r a m e t e r   m o d e l   y a n g   b e r v a r i a s i .   M o d e l   h i b r i d   H a m m e r s t e i n   m e n g g a b u n g k a n   j a r i n g a n   s a r a f   t i r u a n   s t a t i k   y a n g   d i n o r m a l i s a s i   d e n g a n   s u a t u   f u n g s i   t r a n s f e r   l i n i e r   u n t u k   m e n g i d e n t i f i k a s i   s i s t e m   t a k - l i n i e r   s e c a r a   u m u m   p a d a   s e t i a p   t i t i k   k e r j a   t e t a p .   F i l o s o f i   i n t e r p o l a s i   m o d e l   d i g u n a k n   u n t u k   m e m p e r o l e h   m o d e l   g l o b a l   d i i   s e l u r u h   d o m a i n   o p e r a s i .   M o d e l   N PV  m e m p e r t i m b a n g k a n   k e t a k l i n i e r a n   d i n a m i s   t r a n s i s i   y a n g   d i s e b a b k a n   o l e h   v a r i a s i   t i t i k   k e r j a   d a n   p e m e t a a n   t a k - l i n i e r   d a r i   m a s u k a n   k e   k e l u a r a n   p a d a   t i t i k   k e r j a   y a n g   t e t a p .   D i   b a w a h   k e r a n g k a   k e r j a   N PV  y a n g   b a r u ,   p e n g e n d a l i a n   d i h i t u n g   m e l a l u i   m e t o d a   l i n i e r i s a s i   l a n g k a h   j a m a k   y a n g   d i t u j u k a n   u n t u k   p r o b l e m   o p t i m a s i   t a k l i n i e r .   D a l a m   s k e m a   y a n g   d i a j u k a n ,   h a n y a   p e n g u j i a n   b e r b i a y a   r e n d a h   y a n g   d i p e r l u k a n   u n t u k   p e n g e n a l a n   s i s t e m   d a n   p e n g e n d a l i   d a p a t   m e m p e r o l e h   k i n e r j a   k e l u a r a n   y a n g   l e b i h   b a i k   d a r i p a d a   m e t o d a   M PC   y a n g   b e r d a s a r   m o d e l   p e r u b a h a n   p a r a m e t e r   l i n i e r   ( L PV) .   C o n t o h   p e r h i t u n g a n   n u m e r i k   m e n g e s a h k a n   k e e f e k t i f a n   p e n d e k a t a n   y a n g   d i a j u k a n .     K a t a   k u n c i :   p e r u b a h a n   p a r a m e t e r   t a k - l i n i e r   ( N PV) ,   m o d e l   H a m m e r s t e i n ,   M PC   t a k - l i n i e r       A b s t r a c t   I n   t h i s   p a p e r ,   a   n o v e l   n o n l i n e a r   m o d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l l e r   ( M PC )   i s   p r o p o s e d   b a s e d   o n   a n   i d e n t i f i e d   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   ( N PV)   m o d e l .   F i r s t ,   a n   N PV  m o d e l   s c h e m e   i s   p r e s e n t   f o r   p r o c e s s   i d e n t i f i c a t i o n ,   w h i c h   i s   f e a t u r e d   b y   i t s   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   s t r u c t u r e   a n d   v a r y i n g   m o d e l   p a r a m e t e r s .   T h e   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   c o m b i n e s   a   n o r m a l i z e d   s t a t i c   a r t i f i c i a l   n e u r a l   n e t w o r k   w i t h   a   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n   t o   i d e n t i f y   g e n e r a l   n o n l i n e a r   s y s t e m s   a t   e a c h   f i x e d   w o r k i n g   p o i n t .   M e a n w h i l e ,   a   m o d e l   i n t e r p o l a t i n g   p h i l o s o p h y   i s   u t i l i z e d   t o   o b t a i n   t h e   g l o b a l   m o d e l   a c r o s s   t h e   w h o l e   o p e r a t i o n   d o m a i n .   T h e   N PV  m o d e l   c o n s i d e r s   b o t h   t h e   n o n l i n e a r i t y   o f   t r a n s i t i o n   d y n a m i c s   d u e   t o   t h e   v a r i a t i o n   o f   t h e   w o r k i n g - p o i n t   a n d   t h e   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a t   f i x e d   w o r k i n g   p o i n t s .   M o r e o v e r ,   u n d e r   t h e   n e w   N PV  f r a m e w o r k ,   t h e   c o n t r o l   a c t i o n   i s   c o m p u t e d   v i a   a   m u l t i s t e p   l i n e a r i z a t i o n   m e t h o d   a i m e d   f o r   n o n l i n e a r   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s .   I n   t h e   p r o p o s e d   s c h e m e ,   o n l y   l o w   c o s t   t e s t s   a r e   n e e d e d   f o r   s y s t e m   i d e n t i f i c a t i o n   a n d   t h e   c o n t r o l l e r   c a n   a c h i e v e   b e t t e r   o u t p u t   p e r f o r m a n c e   t h a n   M PC   m e t h o d s   b a s e d   o n   l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   ( L PV)   m o d e l s .   N u m e r i c a l   e x a m p l e s   v a l i d a t e   t h e   e f f e c t i v e n e s s   o f   t h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h .     K e y w o r d s :   N o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   ( N PV) ,   H a m m e r s t e i n   m o d e l ,   n o n l i n e a r   M PC .       1 .     I n t r o d u c t i o n   D u r i n g   l a s t   d e c a d e s ,   m o d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   ( M P C )   h a s   g a i n e d   g r e a t   s u c c e s s   i n   a   w i d e   r a n g e   o f   i n d u s t r i a l   a p p l i c a t i o n s .   I n   m o s t   o f   t h o s e   p r a c t i c e s ,   M P C   i s   d e s i g n e d   b a s e d   o n   l i n e a r   m o d e l s .   H o w e v e r ,   l i n e a r   M P C   o f t e n   r e s u l t s   i n   p o o r   p e r f o r m a n c e   w h e n   d e a l i n g   w i t h   h i g h l y   n o n l i n e a r   p r o c e s s e s .   M e a n w h i l e ,   a l t h o u g h   t h e   n o n l i n e a r   M P C   c a n   o f f e r   t h e   p o t e n t i a l s   f o r   i m p r o v e d   p e r f o r m a n c e ,   t h e   m a i n   c h a l l e n g e   i s   t h e   h i g h   c o s t   o f   m o d e l i n g   a n d   i d e n t i f i c a t i o n   o f   n o n l i n e a r   p r o c e s s .   T h e r e f o r e ,   a   m o r e   e f f e c t i v e   a n d   e f f i c i e n t   n o n l i n e a r   i d e n t i f i c a t i o n   t e c h n o l o g y   f o r   p r o c e s s   p r e d i c t i o n   a n d   o p t i m i z a t i o n   i s   c r u c i a l   t o   t h e   d e v e l o p m e n t   o f   n o n l i n e a r   M P C   m e t h o d o l o g i e s .     I n   t e r m s   o f   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   o f   n o n l i n e a r   s y s t e m s ,   a   p r o m i s i n g   m e t h o d   i s   t o   d i v i d e   t h e   s y s t e m   i n t o   a   s t a t i c   n o n l i n e a r   p a r t   a n d   a   l i n e a r   d y n a m i c   c o m p o n e n t ,   s o   t h a t   t h e   H a m m e r s t e i n -   m o d e l   [ 2 ]   o r   t h e   W i e n e r - m o d e l   [ 3 ]   c a n   b e   u s e d   t o   d e p i c t   i t .   T h e y   h a v e   b e e n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   .   ( J i a n g a n g   L u )   5 1 5   w i d e l y   u s e d   i n   p r o c e s s   c o n t r o l   [ 2 ] ,   [ 3 ]   d u e   t o   t h e i r s i m p l e   s t r u c t u r e   a n d   e f f e c t i v e   p r e d i c t i o n   c a p a b i l i t i e s .   E s p e c i a l l y ,   t h e   t w o   t o o l s   c a n   p r o v i d e   a   s o l u t i o n   f o r   t i m e - i n v a r i a n t n o n l i n e a r   s y s t e m s .   H o w e v e r ,   w h e n   c o p i n g   w i t h   a   s y s t e m   w i t h   p a r a m e t e r   v a r y i n g   p r o p e r t y ,   t h e   a b o v e   m e t h o d s   w i l l   e n c o u n t e r   d i f f i c u l t i e s   w h i l e   e x c i t i n g   t h e   p l a n t   t o   p e r f o r m   t h o r o u g h   s y s t e m   i d e n t i f i c a t i o n   t e s t s   a c r o s s   t h e   w h o l e   s c o p e   o f   o p e r a t i o n   d u e   t o   l a r g e   d i s t u r b a n c e s   a n d   p r o d u c t i o n   l o s s .   H e n c e ,   p a r a m e t e r   v a r y i n g   p r o c e s s   i d e n t i f i c a t i o n   h a s   a t t r a c t e d   m a n y   a t t e n t i o n s   f r o m   b o t h   a c a d e m i a   a n d   i n d u s t r y   [ 1 1 ] .   S o m e   r e s u l t s   h a v e   b e e n   p r o p o s e d   i n   l i t e r a t u r e   t o   d i s c u s s   t h e   i n p u t - o u t p u t   l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   ( I O - L P V )   m e t h o d s ,   m o s t   o f   w h i c h   a r e   b a s e d   o n   p a r a m e t e r   i n t e r p o l a t i o n   t e c h n i q u e s   [ 1 1 ] ,   [ 1 3 ] ,   [ 1 4 ] .   A n o t h e r   f e a s i b l e   a p p r o a c h   i s   p r o v i d e d   b y   i n t e r p o l a t i n g   t h e   l i n e a r   m o d e l s   [ 5 ] .   T h a t   i s   t o   s a y ,   t h e   g l o b a l   L P V   m o d e l   i s   r e t r i e v e d   b y   i n t e r p o l a t i n g   a l l   l o c a l   l i n e a r   m o d e l s   w i t h   p r o p e r   i n t e r p o l a t i n g   f u n c t i o n s   [ 5 ] - [ 8 ] ,   [ 1 2 ] . A c c o r d i n g   t o   l i t e r a t u r e   [ 1 2 ] ,   t h e   m o d e l   i n t e r p o l a t i n g   b a s e d   i n p u t - o u t p u t   L P V   ( M I - I O - L P V )   c a n   a c h i e v e   b e t t e r   r e s u l t s   b y   a p p r o x i m a t e l y   r e p r e s e n t i n g   t h e   p r o c e s s   b e h a v i o r   i n   a   t h i n   e n v e l o p   c o v e r i n g   i t s   o p e r a t i n g   t r a j e c t o r y .   H o w e v e r ,   w h e n   d e a l i n g   w i t h   h i g h l y   n o n l i n e a r   p r o c e s s e s ,   L P V   m e t h o d s   h a v e   d i f f i c u l t i e s   t o   m a i n t a i n   t h e   p e r f o r m a n c e   d e m a n d s   d u e   t o   t h a t   t h e   i n t e r n a l   n o n l i n e a r i t i e s   a r e   i g n o r e d   b y   u s i n g   s i m p l e   l i n e a r   s t r u c t u r e s .   T h e r e f o r e ,   i n   t h i s   p a p e r ,   a n i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d   u s i n g   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   ( N P V )   m o d e l   f r a m e   i s   i n t r o d u c e d   t o   r e p r e s e n t   n o n l i n e a r   p r o c e s s e s .   T h e   N P V   m o d e l   i s   f e a t u r e d   b y   i t s   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   s t r u c t u r e   a l o n g   w i t h   v a r y i n g   p a r a m e t e r s .   T h e   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   c o m b i n e s   a   n o r m a l i z e d   s t a t i c   a r t i f i c i a l   n e u r a l   n e t w o r k   w i t h   a   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n   t o   i d e n t i f y   g e n e r a l   n o n l i n e a r   s y s t e m s   a t   e a c h   f i x e d   w o r k i n g   p o i n t .   M e a n w h i l e ,   a   m o d e l   i n t e r p o l a t i n g   p h i l o s o p h y   i s   u t i l i z e d   t o   o b t a i n   t h e   g l o b a l   m o d e l   a c r o s s   t h e   w h o l e   o p e r a t i o n   d o m a i n .   M o r e o v e r ,   a   n o n l i n e a r   M P C   l a w   i s   d e v e l o p e d   b a s e d   o n   t h e   N P V   m o d e l ,   w h i c h   i s   c o m p u t e d   v i a   a   m u l t i s t e p   l i n e a r i z a t i o n   m e t h o d .   T h e   c o n t r i b u t i o n   o f   t h i s   p a p e r   c a n   b e   s u m m a r i z e d   a s :   ( 1 )   p r o v i d i n g   a n   N P V   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d   w h i c h   i s   l o w   c o s t   a n d   r e l i a b l e ; ( 2 ) d e v e l o p i n g   a   n o n l i n e a r   M P C   a l g o r i t h m   f o r   N P V   p l a n t s   w h i c h   a d d r e s s e s   b o t h   i n p u t   a n d   o u t p u t   c o n s t r a i n t s .       2 .     T h e   F r a m e   o f   t h e   N P V   M o d e l   T h e   N P V   m o d e l   i s   c h a r a c t e r i z e d   b y   i t s   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   s t r u c t u r e   a l o n g   w i t h   v a r y i n g   p a r a m e t e r s .   T h i s   i s   n o t   o n l y   b e c a u s e   t h e   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   [ 9 ] c a n   r e p r e s e n t c o m p l i c a t e d   n o n l i n e a r   p r o c e s s e s   a c c u r a t e l y ,   b u t   a l s o   i t   i s   v e r y   c o n v e n i e n t   f o r   t h e   n o n l i n e a r   p r e d i c t i v e   c o n t r o l l e r   d e s i g n s .   G i v e n   a   s i n g l e - i n p u t   s i n g l e - o u t p u t   ( S I S O )   n o n l i n e a r   s y s t e m ,   d e n o t e   t h e   i n p u t   a s   ( ) U t   a t   t i m e t a n d   o u t p u t   a s ( ) Y t .   T h e   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   c o n s i s t s   o f   t w o   p a r t s :   a n o r m a l i z e d   s t a t i c   n o n l i n e a r   f u n c t i o n   a n d   a   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n .   T h e   n o n l i n e a r   s t a t i c   n o n l i n e a r   f u n c t i o n ( ) f ×   i s   r e p r e s e n t e d   b y   t h e   n o r m a l i z e d   d i r e c t   l i n e a r   f e e d b a c k   ( D L F )   n e u r a l   n e t w o r k ,   w h i c h   i s   s h o w e d   i n   F i g u r e   1 .   A s s u m e   t h a t   i n p u t   a n d   o u t p u t   d a t a   a r e   g e n e r a t e d   b y   a   s a m p l e d   N P V   s y s t e m :     ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( )) [ ( ) , ( ) ] ( ) Y t G q t X t v t G q t f t U t v t d d d = ´ + = ´ +                                                                                                                                 ( 1 )     w h e r e ,   1 1 1 1 [ ( ) . . . ( ) ] ( , ) ( , ( ) ) ( , ) 1 ( ) . . . ( ) i n d n n n b q b q q B q G q t A q a q a q d d d d d d d - - - - - + + = = + + +                             ( 2 )     i s   t h e   t r a n s f e r   f u n c t i o n   f r o m   ( ) X t   t o   ( ) Y t .   ( ) X t   i s   a   m i d d l e   v a r i a b l e .   1 q -   d e n o t e s   t h e   u n i t   d e l a y   o p e r a t o r ,   n   i s   t h e   m o d e l   o r d e r . d i s   t h e   d e l a y   f o r m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t . [ ( ) , ( ) ] f t U t d   i s a n o r m a l i z e d   s t a t i c   n o n l i n e a r   f u n c t i o n o f   t h e   v a r i a b l e   ( ) t d ,   w h i c h   i s   c a l l e d   t h e   w o r k i n g   p o i n t   v a r i a b l e ( s c h e d u l i n g   v a r i a b l e ) .   I t   i s   a   m e a s u r e d   v a r i a b l e   f o r m   t h e   p r o c e s s   o r   c a n   b e   c a l c u l a t e d   f r o m   m e a s u r a b l e   p r o c e s s   v a r i a b l e s .   E x a m p l e s   o f   w o r k i n g   p o i n t s   a r e   l o a d   o f   a   p o w e r   p l a n t ,   a n d   p r o d u c t   g r a d e   o f   a   p o l y m e r   u n i t   [ 6 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                              I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 1 4     5 2 3   5 1 6 2 . 1 .   S t a t i c   d i r e c t   l i n e a r   f e e d b a c k   ( D L F )   n e u r a l   n e t w o r k     T h e   s t a t i c   n o n l i n e a r   D L F   n e t w o r k   m o d e l   i s   g i v e n   a s :     ( ) ( ) ( ( ) ) F B P X t W U t N U t = +                                                         ( 3 )     w h e r e   F W   i s   a   c o n s t a n t   m a t r i x ,   ( . ) B P N   i s   a   m u l t i l a y e r   f e e d f o r w a r d   B a c k   P r o p a g a t i o n   ( B P )   a r t i f i c i a l   n e u r a l   n e t w o r k ,   a n d   ( ) X t   i s   a   m i d d l e   v a r i a b l e .   I n   f a c t ,   D L F   n e t w o r k   i s   c o m p o s e d   o f   a   l i n e a r   m a p p i n g   F W   a n d   a   n o n l i n e a r   o n e ( . ) B P N .   D L F   n e t w o r k   i s   w e l l   k n o w n   f o r   i t s   u n i v e r s a l   a p p r o x i m a t i o n   p r o p e r t y .   F u r t h e r m o r e ,   i t   i s   v e r y   c o n v e n i e n t   t o   b e   i n t e g r a t e d   i n t o   t h e   d e s i g n   o f   n o n l i n e a r   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   [ 9 ] . T h e n c e , a   l i n e a r   p r e d i c t i o n   c o n t r o l l e r   c a n   b e   e a s i l y   e x t e n d e d   t o   a   n o n l i n e a r   c o u n t e r p a r t .   O n   t h e o t h e r   h a n d ,   t h e   c o m p u t i n g   b u r d e n   o f   a   n o n l i n e a r   p r e d i c t i v e   c o n t r o l l e r   c a n   b e   g r e a t l y   r e d u c e d .     R e m a r k   1 : T h e   s t a t i c   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   f u n c t i o n [ ( ) , ( ) ] f t U t d   c a n   a l s o   b e   r e p r e s e n t e d   b y   o t h e r   u n i v e r s a l   n o n l i n e a r   f u n c t i o n   a p p r o x i m a t i o n s ,   s u c h   a s   C M A C ,   R B F   N N ,   s p l i n e s ,   f u z z y   l o g i c , A N N   a n d   e t c . [ 1 5 ] ,   [ 1 6 ] ,   a l t h o u g h   D L F   n e u r a l   n e t w o r k   i s   u t i l i z e d   i n   t h i s   p a p e r   f o r   d e m o n s t r a t i o n   p u r p o s e .     2 . 2 .   L i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n   T h e   d y n a m i c s   o f   t h e   i n d u s t r i a l   p r o c e s s   i s   r e p r e s e n t e d   b y   a   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n ,   w h i c h   i s   w i d e l y   a d o p t e d   i n   t h e   l i t e r a t u r e   [ 6 ] .   S e v e r a l   l i n e a r   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d s   c a n   b e   u t i l i z e d   t o   i d e n t i f y   t h e   u n k n o w n   p a r a m e t e r s   w i t h i n   t h e   l i n e a r   b l o c k .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   a s y m p t o t i c   m e t h o d   [ 1 0 ]   ( A S Y M )   i s   u s e d   t o   o b t a i n   a n u n b i a s e d   m o d e l   w i t h   l o w   o r d e r .   R e m a r k   2 :   A t e a c h   f i x e d   w o r k i n g p o i n t ,   a n   i n d i v i d u a l   l o c a l   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n m o d e l   i s   i d e n t i f i e d .   O n   t h e   c o n t r a r y ,   L P V   m e t h o d s   [ 6 ] ,   [ 1 2 ]   o n l y   b u i l d   a   s i m p l e   l i n e a r   m o d e l   a t   a   w o r k i n g   p o i n t ,   a n d   h e n c e   i g n o r e   t h e   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a t   f i x e d   w o r k i n g   p o i n t s .   H o w e v e r ,   o u r   N P V   m o d e l   c o n s i d e r s   b o t h   t h e   n o n l i n e a r i t y   o f   t r a n s i t i o n   d y n a m i c s   d u e   t o   t h e   v a r i a t i o n   o f   t h e   w o r k i n g - p o i n t   a n d   t h e   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a t   f i x e d   w o r k i n g   p o i n t s .       3 .   N P V   M o d e l   I d e n t i f i c a t i o n   3 . 1 .   M o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   a t   e a c h   w o r k i n g   p o i n t   A   h y b r i d   m o d e l   i s   i d e n t i f i e d   u s i n g   t h e   d a t a   s e t   a c h i e v e d   a t   e a c h   w o r k i n g   p o i n t . D e n o t e   t h e   p a r a m e t e r   v e c t o r   o f   t h e   m o d e l   ( ) G q d a s ,     1 1 [ ( ) , . . . , ( ) , ( ) , . . . , ( ) ] n n a a b b d d d d                                                     ( 4 )     W i t h o u t   l o s s   o f   g e n e r a l i t y ,   a s s u m e   t h a t   t h e   p r o c e s s   h a s   t h r e e   w o r k i n g   p o i n t s   a t     1 2 3 d d d < <     D e n o t e   t h e   t h r e e   i d e n t i f i e d   n o n l i n e a r   h y b r i d   w o r k i n g - p o i n t   m o d e l s   a s ,     W h e n 1 d d =     1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) F B P X t W U t N U t Y t G q X t d = + =                                         ( 5 a )   W h e n 2 d d =     2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) F B P X t W U t N U t Y t G q X t d = + =                                       ( 5 b )   W h e n 3 d d =     3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) F B P X t W U t N U t Y t G q X t d = + =                                         ( 5 c )                     T h e   i d e n t i f i c a t i o n   t r a i n i n g   m e t h o d s   [ 9 ]   t o   a   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   c a n   b e   u s e d   h e r e .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   .   ( J i a n g a n g   L u )   5 1 7   3 . 2 .   N o n l i n e a r   s t a t i c   c o m p e n s a t i o n   b y   t r i a n g u l a r   i n t e r p o l a t i o n   W h e n   s y s t e m   i d e n t i f i c a t i o n   i s   u n d e r t a k e n   f o r   m o s t   i n d u s t r i a l   p r o c e s s e s ,   i t   i s   u s u a l l y   n o t   f e a s i b l e   o r   e v e n   p o s s i b l e   t o   m e a s u r e   a l l   i n p u t   a n d   o u t p u t   s t a t i c   d a t a   s e t   f o r   t r a i n i n g   t h e   D L F   n e t w o r k   a l o n g   t h e   w h o l e   o p e r a t i n g   t r a j e c t o r y .   T h a t   i s   t o   s a y ,   d u e   t o   e c o n o m i c   c o n s i d e r a t i o n s ,   n o   s t e a d y - s t a t e   t e s t s   i n   t r a n s i t i o n   p e r i o d s   a r e   a v a i l a b l e   f o r   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   p u r p o s e .   T h e r e f o r e ,   b e f o r e   i m p l e m e n t i n g   a n y   m o d e l   b a s e d   c o n t r o l l e r s ,   i t   i s   r e q u i r e d   t o   e x p a n d   t h e   l o c a l   H a m m e r s t e i n   m o d e l s   a t   c e r t a i n   n u m b e r   o f   w o r k i n g   p o i n t s   t o   t h e   w h o l e   o p e r a t i o n   d o m a i n .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   t r i a n g u l a r   i n t e r p o l a t i o n   m e t h o d   i s   u t i l i z e d   t o   e s t i m a t e   t h e   v a r i a t i o n   o f   m o d e l   d u e   t o   v a r y i n g   w o r k i n g   p o i n t .   F i r s t l y ,   t h e   m i d d l e   v a r i a b l e   a t   a n   a r b i t r a r y   w o r k i n g   p o i n t   ( ) t d   i s   d e n o t e d   a s   f o l l o w s :   1 1 1 2 2 2 3 3 3 ˆ ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] F B P F B P F B P X t W U t N U t W U t N U t W U t N U t f d f d f d = + + + + +                                                   ( 6 )     w h e r e   1 2 3 ( ) ,   ( ) ,   ( ) f d f d f d   a r e   t h e   w e i g h t   f u n c t i o n s .   E s s e n t i a l l y ,   t h e y   d e t e r m i n e   h o w   m u c h   t h e   s y s t e m   m o d e l   a t   c u r r e n t   w o r k i n g   c o n d i t i o n   i s   c l o s e   t o   t h a t   a t   i n d i v i d u a l   w o r k i n g   p o i n t .   B y   r e c a l l i n g   t h e   t r i a n g u l a r   i n t e r p o l a t i o n   m e t h o d ,   t h e   w e i g h t s   a r e   s e t   t o   b e   t h e   d i s t a n c e s   b e t w e e n   t h e   c u r r e n t   w o r k i n g - p o i n t   a n d   t h e   w o r k i n g   p o i n t   o f   t h e   D L F   n e t w o r k ,   i . e .     1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) 0 d d d d f d d d d d d d d < - = £ £ - >                                                     ( 7 a )   2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 3 2 3 0 ( ) 0 d d d d d d d d d f d d d d d d d d d d < - £ £ - = - < £ - >                                             ( 7 b )   2 2 3 2 3 3 2 3 0 ( ) 1 d d d d f d d d d d d d d < - = £ £ - >                                                   ( 7 c )     T h e r e f o r e ,   t h e   m i d d l e   v a r i a b l e   a c r o s s   t h e   e n t i r e   w o r k i n g   d o m a i n   c a n   b e   c a l c u l a t e d .     3 . 3 .   O b t a i n   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   m o d e l   b y   i n t e r p o l a t i o n   S i m i l a r   t o   L P V   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   p r o c e s s e s   [ 6 ] ,   i n s t e a d   o f   i d e n t i f y i n g   a   f u l l   n o n l i n e a r   m o d e l   i n   E q .   ( 1 )   a n d   ( 2 ) ,   a n   a p p r o x i m a t i o n   m o d e l   i s   b u i l t   t o   r e p r e s e n t   t h e   p r o c e s s   a l o n g   t h e   o p e r a t i n g - t r a j e c t o r y   a s   f o l l o w s :     1 2 3 1 2 3 ˆ ˆ ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ˆ ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) Y t G q X t G q X t G q X t v t d d d h d h d h d = + + +                             ( 8 )     S e v e r a l   e s t i m a t i o n   m e t h o d s   [ 5 ] - [ 8 ]   c a n   b e   u s e d   h e r e   t o   p a r a m e t e r i z e   t h e   w e i g h t   f u n c t i o n s , 1 ( ) h d , 2 ( ) h d   a n d   3 ( ) h d :   c u b i c   s p l i n e s ,   p o l y n o m i a l s ,   o r   p i e c e - w i s e   l i n e a r   f u n c t i o n .   I n   o u r   w o r k ,   t h e   c u b i c   s p l i n e s   a r e   t a k e n .   F i r s t l y ,   d e n o t e   a   s e t   o f   k n o t s   1 , 2 { , . . . , } s p p p f o r   a   w o r k i n g - p o i n t   v a r i a b l e ( ) t d .   T h e   k n o t s   s h o u l d   s p a n   t h e   w h o l e   p r o c e s s   o p e r a t i o n   r a n g e .   I t   i s   r e p o r t e d   c o n v e n i e n t   [ 6 ]   t o   d i s t r i b u t e   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                              I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 1 4     5 2 3   5 1 8 k n o t s   u n i f o r m l y   o v e r   t h e   r a n g e m i n m a x [ , ] d d .   A   b e t t e r   o p t i o n   i s   t o   u s e   t h e   w o r k i n g   p o i n t s   a t   w h i c h   c o m p a r a t i v e l y   a c c u r a t e   m o d e l s   a r e   a v a i l a b l e .   B e s i d e s ,   t h e   k n o t s   m u s t   b e   r e a l   n u m b e r s   a n d   s a t i s f y   t h e   f o l l o w i n g i n e q u a l i t y :     m i n 1 2 m a x . . . s p p p d d = < < < =                                                       ( 9 )     T h e r e a f t e r ,   e a c h   c u b i c   s p l i n e   w e i g h t   f u n c t i o n   ( ) h d   c a n   b e   g i v e n   a s     1 3 1 2 1 2 ( ) | | s j j j p h d l l d l d - + = = + + -       ( 1 0 )     w h e r e   1 2 [ , , . . . , ] s l l l a r e   t h e   p a r a m e t e r s   t o   b e   e s t i m a t e d .   s   i s   t h e   o r d e r   o f   c u b i c   s p l i n e s ,   w h i c h   d e p e n d s   o n   t h e   n u m b e r   o f   w o r k i n g   p o i n t s   a n d   t h e   a m o u n t   o f   t o t a l   d a t a .     N o w ,   a s s u m e   t h a t   a l l   w e i g h t   f u n c t i o n s 1 ( ) h d ,   2 ( ) h d a n d   3 ( ) h d   a r e   w r i t t e n   a s   E q .   ( 1 0 ) .   T h e n   t h e   p a r a m e t e r   v e c t o r   o f   t h e   w e i g h t i n g   f u n c t i o n s   c a n   b e   d e n o t e d   a s :     3 3 3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ [ , , . . . , , , , . . . , , , , . . . , ] s s s T d d d d d d d d d q l l l l l l l l l =               ( 1 1 )     D e f i n e   t h e   t o t a l   d a t a   s e t s   a s   f o l l o w s :     [ ( ) , ( ) , ( ) , 1 , 2 , . . . , ] N Z U t Y t t t N d = =                                 ( 1 2 )     M o r e o v e r ,   d e n o t e   t h e   o u t p u t   e r r o r   o f   m o d e l   i n   E q .   ( 8 )   a s :     1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] O E e t Y t Y t Y t Y t h d h d h d = - + +                         ( 1 3 )     w h e r e   ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ,   1 , 2 , 3 i i Y t G q X t i d = = ,   a n d   ˆ q   i s   t h e   p a r a m e t e r   v e c t o r   t o   b e   d e t e r m i n e d .   T h e r e a f t e r ,   b y   u s i n g   t o t a l   t e s t i n g   d a t a   w h i c h   i n c l u d e   w o r k i n g - p o i n t s   d a t a   a n d   t r a n s i t i o n   t e s t   d a t a ,   t h e   p a r a m e t e r   v e c t o r   c a n   b e   e s t i m a t e d   b y   m i n i m i z i n g   t h e   o u t p u t   e r r o r   l o s s   f u n c t i o n :     2 1 ˆ m i n [ ( ) ] N O E t e t q q = =     ( 1 4 )       4 .     N o n l i n e a r   M P C   u s i n g   t h e   N P V   m o d e l   4 . 1 .   P r o c e s s   M o d e l   A s s u m e   t h a t   i n p u t s   a n d   o u t p u t   d a t a   a r e   g e n e r a t e d   b y   a   s a m p l e d   N P V   s y s t e m   i n   E q .   ( 1 )   a n d   ( 2 ) .   T h e n   a   s t a t e - s p a c e   d e s c r i p t i o n   o f   t h e   N P V   m o d e l   c a n   b e   d e r i v e d   a s   f o l l o w s :     ˆ ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t A x t B w X t Y t C x t + = + =   ( 1 5 )     I n   o r d e r   t o   i m i t a t e   p r a c t i c a l   a p p l i c a t i o n s ,   s t e p - l i k e   d i s t u r b a n c e   a t   t h e   o u t p u t ,   s l o w   d r i f t s   o r   s t e p - l i k e   d i s t u r b a n c e   a t   t h e   i n p u t   o r   s t a t e s ,   a n d   p l a n t - m o d e l   m i s m a t c h   h a v e   t o   b e   i n t r o d u c e d .   T h e   r e s u l t i n g   a u g m e n t e d   m o d e l   f o r   t h e   N P V   m o d e l   [ 6 ]   c a n   b e   w r i t t e n   a s   f o l l o w s :     ( 1 ) 0 ( ) ( ) ˆ ( 1 ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 1 ) 0 0 ( ) 0 d x t A B x t B d t I d t X t t p t I p t d e + + = + + +     ( 1 6 )     ( ) ( ) [ 0 ] ( ) ( ) ( ) p x t Y t C C d t v t p t = +   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   .   ( J i a n g a n g   L u )   5 1 9   w h e r e   ( ) t e a n d ( ) v t a r e   z e r o - m e a n   w h i t e   n o i s e   w i t h   s p e c i f i e d   c o v a r i a n c e   R e a n d v R , ( ) p t a r e   a u g m e n t e d   o u t p u t   d i s t u r b a n c e   v a r i a b l e s , ( ) d t   a r e   a u g m e n t e d   i n p u t   d i s t u r b a n c e   v a r i a b l e s ,   d B a n d p C i s   t h e   d i s t u r b a n c e   m o d e l .     1 2 3 A A A A d d d = , 1 2 3 ( ) B B B B d d d d =   3 1 2 [ ] C C C C d d d = , 1 [ 0 0 0 . . . 1 ] i n C d ´ =   1 2 1 0 0 . . . 0 ( ) 1 0 . . . 0 ( ) 0 1 . . . 0 ( ) . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 ( ) i n i n i n i i n n a a A a a d d d d d - - ´ - - = - - , 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) ( ) i i n i i n i i i i i n b b B b b d h d d h d d h d d h d d - ´ =     4 . 2 .   C o n t r o l   O b j e c t i v e   T h e   n o n l i n e a r   M P C   c o n t r o l l e r   i s   b a s e d   o n   t h e   m i n i m i z a t i o n   o f   t h e   f o l l o w i n g   o p e n - l o o p   q u a d r a t i c   o b j e c t i v e   p e r f o r m a n c e   i n d e x :     2 2 ˆ ˆ ( | ) , . . . , ( 1 | ) 1 0 ˆ | | ( | ) | | | | ( ) ( | ) | | m i n ( ) P M r Q R X t t X t M t i i Y Y t i t X t t i t J t D D + - = = = - + + D + m i n m a x m i n m a x m i n m a x ˆ . . ( 1 | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ˆ ˆ ( | ) ( 0 , . . . , 1 ) ˆ ˆ ( ) ( | ) ( ) ( 0 , . . . , 1 ) ( | ) ( 0 , . . . , ) d p s t x t j t A x t j t B X t j t B d t t y t j t C x t j t C p t t X u t j t X j M X t u t j t X t j M Y y t j t Y j P d + + = + + + + + = + + D £ D + £ D = - £ + £ = - £ + £ =                 ( 1 7 )     w h e r e   r y d e f i n e s   a   r e f e r e n c e   t r a j e c t o r y   f o r   t h e   o u t p u t s ; m i n ˆ X a n d m a x ˆ X a r e   l o w e r   a n d   u p p e r   o p e r a t i n g   l i m i t s   f o r ˆ X ;   m i n Y a n d m a x Y a r e   l o w e r   a n d   u p p e r   o p e r a t i n g   f o r Y . P i s   a   p r e d i c t i o n   h o r i z o n   a n d   M i s   a   c o n t r o l   h o r i z o n . ˆ ˆ ˆ ( | ) ( | ) ( 1 | ) X t j t X t j t X t j t D + = + - + - i s   o f t e n   r e f e r r e d   a s   c o n t r o l   m o v e   s u p p r e s s i o n   t o   p r e v e n t   a g g r e s s i v e   c o n t r o l   a c t i o n s .   C u r r e n t i n t e r m e d i a t e   c o n t r o l c a n b e c a l c u l a t e d b y t h e f o l l o w i n g   f o r m u l a :     ˆ ˆ ˆ ( ) ( 1 ) ( ) X t X t X t = - + D   ( 1 8 )     4 . 3 . D e r i v a t i o n   o f a c t u a l   n o n l i n e a r   c o n t r o l   i n p u t   T h e a b o v e   E q .   ( 1 8 )   o b t a i n s o p t i m i z a t i o n i n t e r m e d i a t e c o n t r o l ˆ ( ) X t w h i c h   e n s u r e s   t h e   o u t p u t   o f   p l a n t   t r a c k s   t h e r e f e r e n c e   t r a j e c t o r y .   B u t   i t i s   n o t t h e a c t u a l   i n p u t .   A s   c a n   b e   s e e n   i n   F i g u r e   1 ,   t h e   r e l a t i o n s h i p   b e t w e e n   i n t e r m e d i a t e c o n t r o l ˆ ( ) X t a n d   a c t u a l   i n p u t ( ) U t i s   d e s c r i b e d   b y   t h e   s t a t i c   D L F   n e t w o r k   i n   E q .   ( 6 ) .   T h i s   p a p e r u s e s t h e   f o l l o w i n g   a p p r o x i m a t i n g   f o r m u l a   ( i n   t h i s   c a s e ,   t h e   s a m p l i n g   p e r i o d   s h o u l d   n o t   b e   t o o   l a r g e ) .   E q .   ( 6 )   c a n   b e   a p p r o x i m a t e d :     1 1 1 2 2 2 3 3 3 ˆ ( ) ( ) [ ( ) ( ( 1 ) ) ] ( ) [ ( ) ( ( 1 ) ) ] ( ) [ ( ) ( ( 1 ) ) ] F B P F B P F B P X t W U t N U t W U t N U t W U t N U t f d f d f d = + - + + - + + -   ( 1 9 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                              I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 1 4     5 2 3   5 2 0 T h e n   t h e   a c t u a l   i n p u t   c a n   b e   o b t a i n e d :     1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ˆ [ ( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ] F F F B P B P B P U t W W W X t N U t N U t N U t f d f d f d = + + ´ - - - - - -     ( 2 0 )     W h e n   i t   i s   n e c e s s a r y ,   t h e   i t e r a t i o n   c o r r e c t i o n   o f   ( ) U t c a n   b e   d e n o t e d   a s :     ( ) 1 1 2 2 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 2 3 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ˆ [ ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ] k F F F k k k B P B P B P U t W W W X t N U t N U t N U t f d f d f d - - - = + + ´ - - -     ( 2 1 )       w h e r e   k i n d i c a t e s   t h e   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n .   F o r   t h e   f i r s t   t i m e ,   ( 1 ) ( ) k U t - c a n   b e   o b t a i n e d   b y   E q .   ( 2 0 ) . T h e   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n   d e p e n d s   o n   t h e   a c t u a l   s i t u a t i o n .     4 . 4 .   M u l t i s t e p   L i n e a r i z a t i o n   M e t h o d     F o r   a   m u l t i - s t e p - a h e a d   c o n t r o l ,   h o w e v e r ,   t h e   l i n e a r   m o d e l   m a y   s i g n i f i c a n t l y   d e t e r i o r a t e   f o r m   t h e   n o n l i n e a r   p r o c e s s   a n d   t h e r e f o r e   n e g a t i v e l y   i n f l u e n c e   t h e   c o n t r o l l e r   p e r f o r m a n c e .   T h i s   c a n   b e   o v e r c o m e   b y   u s i n g   m u l t i p l e   l i n e a r   m o d e l s   d e r i v e d   a l o n g   t h e   n o m i n a l   t r a j e c t o r y   w i t h i n   t h e   p r e d i c t i o n   h o r i z o n .   T h i s   p r o c e s s   i s   c a l l e d   m u l t i s t e p   l i n e a r i z a t i o n   m e t h o d .   C o n t r o l   A l g o r i t h m .     ·   S t e p 1 :   I n i t i a l i z a t i o n 0 ˆ ˆ ( ) X t X = .   ·   S t e p 2 : S t a r t i n g   w i t h   t h e   s t a t e   e s t i m a t i o n   v a l u e   ( | ) x t t a n d   t h e   n o m i n a l   i n p u t   t r a j e c t o r y   v e c t o r ˆ ( ) X t ,   c o m p u t e   t h e   n o m i n a l   t r a j e c t o r y   v e c t o r Y a n d W .   G e t   t h e   l i n e a r i z e d   m o d e l s   { ( ) , ( 1 ) , . . . , ( 1 ) } G t G t G t P + + - a r o u n d   t h e   n o m i n a l   t r a j e c t o r y .   ·   S t e p 3 :   S o l v e   t h e   c o r r e s p o n d i n g   Q P   p r o b l e m .   U p d a t e ˆ ˆ ˆ ( ) ( 1 ) X t X t L X ¬ - + D ,   L i s   a   t r i a n g u l a r   m a t r i x   w i t h   e l e m e n t s   o f   o n e   o n   a n d   b e l o w   t h e   d i a g o n a l .   ·   S t e p 4 : I f   t h e   t r a j e c t o r y   ˆ ( ) X t i s   c o n v e r g e d   o r   t h e   Q P   i t e r a t i o n   c o u n t e r   e x c e e d s m a x n ,   t h e n   g o   t o   S t e p 5 .   E l s e ,   g o   b a c k   t o   S t e p 2   w i t h   i t e r a t i o n   c o u n t 1 i i = + .   ·   S t e p 5 :   I m p l e m e n t   t h e   f i r s t   c o m p u t e d   m o v e   ˆ ( | ) X t t D   a n d   u p d a t e ˆ ( ) X t   f o r   t h e   n e x t   t i m e   i n t e r v a l .   ·   S t e p 6 :   D e r i v a t i o n o f a c t u a l   n o n l i n e a r   c o n t r o l   i n p u t     ( ) 1 1 2 2 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 2 3 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ˆ [ ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ] k F F F k k k B P B P B P U t W W W X t N U t N U t N U t f d f d f d - - - = + + ´ - - - ,   t h e n   g o   b a c k   t o   S t e p 1   a t   t i m e 1 t t ¬ + .       5 .     S i m u l a t i o n s   G i v e n   a n   S   t y p e   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   f u n c t i o n ,   t h e   s t e a d y - s t a t e   s h a p e   c a n   b e   s e e n   i n   t h e   F i g u r e   2 .     3 ( 4 1 0 ) 1 ( , ) 1 * e u x f u d d - - = = + [ 1 , 4 ] d Î         ( 2 2 )     W e   t a k e   a   f i r s t   o r d e r   p r o c e s s   a s   t h e   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n .   T h e   t r a n s f e r   f u n c t i o n   i n   t h e   c o n t i n u o u s - t i m e   i s       ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 1 Y s K G s X s s d d d d c d = = +                 ( 2 3 )     w h e r e 2 2 ( ) 1 , ( ) 3 K d d m d d = + = + [ 1 , 4 ] d Î   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   .   ( J i a n g a n g   L u )   5 2 1   T h e n ,   t h e   s i m u l a t e d   o u t p u t   i s   c o r r u p t e d   b y   a   f i l t e r e d   w h i t e   n o i s e   a s :     1 ( ) ( ) 1 0 . 9 c v t e t z - = -                                     ( 2 4 )     w h e r e   ( ) e t i s   a   w h i t e   n o i s e   s e q u e n c e   a n d   t h e   c o n s t a n t   c i s   a d j u s t e d   a t   t h e   t h r e e   w o r k i n g   p o i n t s   s o   t h a t   t h e   n o i s e   i s   3 %   o f   t h e   n o i s e - f r e e   o u t p u t   i n   p o w e r .   I n   o r d e r   t o   o b t a i n   n o n l i n e a r   h y b r i d   w o r k i n g - p o i n t   m o d e l s ,   t h e   p r o c e s s   w i l l   b e   t e s t e d   a t   t h r e e   w o r k i n g   p o i n t s :     1 2 3 1 , 2 . 5 , 4 d d d = = =     I n   t h e   o p e r a t i o n   r a n g e [ 1 , 4 ] d Î ,   t h e   n o r m a l i z e d   s t a t i c   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t h a v e   a n   o b v i o u s n o n l i n e a r   a l t e r   a n d   p r o c e s s   g a i n   c h a n g e s   n o n l i n e a r l y   m o r e   t h a n   1 0   t i m e s   a n d   t i m e   c o n s t a n t   c h a n g e s   1 0   t i m e s   i n   t h e   l i n e a r   t r a n s f e r   f u n c t i o n .   T h u s   a   l i n e a r   m o d e l   c a n n o t   o b t a i n   g o o d   a p p r o x i m a t i o n   o f   t h e   p r o c e s s   b e h a v i o r   i n   t h e   w h o l e   o p e r a t i o n   t r a j e c t o r y .       F W       F i g u r e   1 .   T h e   a r c h i t e c t u r e   o f   a   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l       F i g u r e   2 .   T h e   n o r m a l i z e d   s t a t i c   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t u s i n g   t h e   D L F   n e t w o r k     H e r e ,   w e   w i l l   s h o w   h o w   w e l l   t h e   p r o p o s e d   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   m o d e l   c a n   a p p r o x i m a t e   t h e   p r o c e s s   o v e r   t h e   w h o l e   o p e r a t i o n   t r a j e c t o r y .   F o r   g e n e r a t i n g   i n p u t - o u t p u t   d a t a ,   t h e   p r o c e s s   i s   s i m u l a t e d   a t   a   s a m p l i n g   t i m e   o f   1   s e c o n d .   T h e   i n p u t   i s   a   G B N   ( g e n e r a l i z e d   b i n a r y   n o i s e )   s i g n a l   w i t h   a v e r a g e   s w i t c h   t i m e   o f   2 0   s e c o n d s .   T h e   k n o t s   f o r   t h e   t h r e e   w e i g h t i n g   f u n c t i o n s   a r e   t h e   s a m e   a n d   t h e   o r d e r   o f   c u b i c   s p l i n e   i s   7 .     T h e   e s t i m a t e d   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a n d   s t e p   r e s p o n d s   o f   N P V   m o d e l s   a t   t h e   w o r k i n g   p o i n t s   2   a n d   3 . 3   r e s p e c t i v e l y   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   3   a n d   F i g u r e   4 .   T h e   w e i g h t s   f u n c t i o n s   o f   D L F   n e t w o r k s   a n d   N P V   m o d e l s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   5 .   O n e   c a n   s e e   t h a t   g o o d   c o n t r o l   p e r f o r m a n c e   o f   n o n l i n e a r   M P C   u s i n g   t h e   N P V   m o d e l   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   c o m p a r i s o n s   w i t h   l i n e a r   M P C   a n d   L P V - M P C   [ 8 ]   i n   F i g u r e   6   a n d   F i g u r e   7 .           F i g u r e   3 .   T h e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a n d   s t e p   r e s p o n s e s   o f   N P V   m o d e l s   a t   t h e   w o r k i n g   p o i n t s   2 .   L e f t   b l u e   s o l i d   l i n e s :   t r u e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g ;   L e f t   r e d   d o t t e d   l i n e s :   w e i g h t e d   f i t t i n g   o f   D L F   n e t w o r k .   R i g h t   b l u e   s o l i d   l i n e s :   t r u e   s t e p   r e s p o n d s ;   R i g h t   r e d   d o t t e d   l i n e s :   o u t p u t   o f   N PV   m o d e l .   1 2 3 4 0 2 4 6 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 w o r k i n g   p o i n t i n p u t   u m i d d l e   v a r i a b l e   x 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 w o r k i n g   p o i n t   =   2     t u r e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g w e i g h t e d   f i t t i n g   o f   D L F   n e t w o r k 0 5 0 1 0 0 1 5 0 1 2 3 4 5 6 7 w o r k i n g   p o i n t   =   2     T u r e   s t e p   r e s p o n d S t e p   r e s p o n d   o f   N P m o d e l Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                              I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 1 4     5 2 3   5 2 2                   F i g u r e   4 .   T h e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g   f r o m   t h e   i n p u t   t o   t h e   o u t p u t   a n d   s t e p   r e s p o n s e s   o f   N P V   m o d e l s   a t   t h e   w o r k i n g   p o i n t s   3 . 3 .   L e f t   b l u e   s o l i d   l i n e s : t r u e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g ;   L e f t   r e d   d o t t e d   l i n e s : w e i g h t e d   f i t t i n g   o f   D L F   n e t w o r k .   R i g h t   b l u e   s o l i d   l i n e s :   t r u e   s t e p   r e s p o n d s ;   R i g h t   r e d   d o t t e d   l i n e s : o u t p u t   o f   N PV   m o d e l .         F i g u r e   5 .   L e f t   p i c t u r e   i s   t r i a n g u l a r   w e i g h t i n g   f u n c t i o n s   f o r   n o r m a l i z e d s t a t i c   n o n l i n e a r   m a p p i n g .   R i g h t   p i c t u r e   i s   w e i g h t i n g   f u n c t i o n s   o f   t h e   n o n l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   m o d e l   u s i n g   n o i s e   d a t a .   R e d   s o l i d   l i n e :   w e i g h t i n g   1 ;   b l u e   d a s h e d   l i n e :   w e i g h t i n g   2 ;   b l a c k   d a s h   d o t t e d   l i n e :   w e i g h t i n g   3       F i g u r e   6 . O u t p u t   c o m p a r i s o n s   o f   l i n e a r   M P C ,   L P V - M P C   a n d   N P V - M P C ,   R e d   s o l i d   l i n e :   s e t   p o i n t .   C y a n   d a s h e d   l i n e :   l i n e a r   M P C .   Bl a c k   d o t t e d   l i n e :   L PV - M PC .   Bl u e   d a s h   d o t t e d   l i n e :   N PV - M PC .   F i g u r e   7 .   I n p u t   c o m p a r i s o n s   o f   l i n e a r   M P C ,   L P V - M P C   a n d   N P V - M P C       6 .     C o n c l u s i o n s   I n   t h i s   p a p e r ,   a n   N P V   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d   i s   p r o p o s e d   t o   r e p r e s e n t   t h e   n o n l i n e a r   p r o c e s s .   I t   c o n s i s t s   o f   l o c a l   n o n l i n e a r   h y b r i d   H a m m e r s t e i n   m o d e l   s t r u c t u r e   a n d   v a r y i n g   m o d e l   p a r a m e t e r s .   F u r t h e r ,   a   n o n l i n e a r   M P C   d e s i g n   i s   d e v e l o p e d   b a s e d   o n   t h e   i d e n t i f i e d   N P V   m o d e l .   T h e   c o n t r o l   a c t i o n i s   c o m p u t e d   v i a   a   m u l t i s t e p   l i n e a r i z a t i o n   m e t h o d   o f   n o n l i n e a r o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m .   S i m u l a t i o n   e x a m p l e s   d e m o n s t r a t e   t h e   r e s u l t s   o f   m o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   a n d   t h e   c o n t r o l   p e r f o r m a n c e   o f   n o n l i n e a r   M P C .   0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 w o r k i n g   p o i n t   =   3 . 3     t r u e   n o r m a l i z e d   n o n l i n e a r   m a p p i n g w e i g h t e d   f i t t i n g   o f   D L F   n e t w o r k 0 5 0 1 0 0 1 5 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 w o r k i n g   p o i n t   =   3 . 3     T u r e   s t e p   r e s p o n d S t e p   r e s p o n d   o f   N P V   m o d e l 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 t r i a n g u l a r   w e i g h t i n g   f u n c t i o n s   f o r   n o r m a l i z e d   s t a t i c   n o n l i n e a r   m a p p i n g w e i g h t w o r k i n g   p o i n t s 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 w e i g h t i n g   f u n c t i o n w e i g h t w o r k i n g   p o i n t s     w e i g h t i n g   1 w e i g h t i n g   2 w e i g h t i n g   3 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 T i m e ( S a m p l e ) y     s e t   p o i n t l i n e a r   M P C L P V   M P C N P V   M P C 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 T i m e s ( S a m p l e ) u     l i n e a r   M P C L P V   M P C N P V   M P C Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       N o n l i n e a r   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   D e s i g n   f o r   I d e n t i f i e d   N o n l i n e a r   .   ( J i a n g a n g   L u )   5 2 3   A c k n o w l e d g e m e n t s   T h i s   w o r k   w a s   p a r t i a l l y   s u p p o r t e d   b y   t h e   N a t i o n a l   N a t u a l   S c i e n c e   F o u d a t i o n   o f   C h i n a   ( N S F C ) ( N O .   2 1 0 7 6 1 7 9   a n d   6 1 1 0 4 0 0 8 ) ,   a n d   t h e   N a t i o n a l   B a s i c   R e s e a r c h   P r o g r a m   o f   C h i n a   ( 9 7 3   P r o g r a m :   2 0 1 2 C B 7 2 0 5 0 0 )       R e f e r e n c e s   [ 1 ]   Pa l m a   F   D ,   M a g n i   L   A.   M u l t i - m o d e l   St r u c t u r e   f o r   M o d e l   Pr e d i c t i v e   C o n t r o l .   An n u a l   R e v i e w s   i n   C o n t r o l .   2 0 0 4 ;     2 8 :   4 7 5 2 .     [ 2 ]   Pe r e z   E,   Bl a s c o   X ,   G a r c i a - N i e t o   a n d   Sa n c h i s   J .   D i e s e l   En g i n e   I d e n t i f i c a t i o n   a n d   Pr e d i c t i v e C o n t r o l   u s i n g   W i e n e r   a n d   H a m m e r s t e i n   M o d e l s .   I n :   EEE  I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   C o n t r o l   Ap p l i c a t i o n s ,   C C A .     2 0 0 6 :     2 4 1 7 2 4 2 3 .   [ 3 ]   G o m e z   J C ,   J u t a n   A ,   Ba e y e n s   E.   W i e n e r   M o d e l   I d e n t i f i c a t i o n   a n d   Pr e d i c t i v e   C o n t r o l   o f   a   p H N e u t r a l i s a t i o n   Pr o c e s s .   Pr o c e e d i n g s   o f   t h e   I EE  C o n t r o l T h e o r y   a n d   Ap p l i c a t i o n s .   2 0 0 4 :   1 5 1 :   3 2 9 3 3 8 .   [ 4 ]   Ak e s s o n   B   M ,   T o i v o n e n   H   T ,   W a l l e r   J   B,   a n d   N y s t r o m   R   H .   N e u r a l   N e t w o r k   A p p r o x i m a t i o n   o f   a N o n l i n e a r   M o d e l   Pr e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   Ap p l i e d   t o   a   p H N e u t r a l i z a t i o n   Pr o c e s s .   C o m p u t e r s   a n d   C h e m i c a l   En g i n e e r i n g .     2 0 0 5 ;     2 9 :   3 2 3 3 3 5 .   [ 5 ]   Z h u   Y C ,   e t .   a l .   M u l t i v a r i a b l e   p r o c e s s   i d e n t i f i c a t i o n   f o r   M PC :   t h e   a s y m p t o t i c   m e t h o d   a n d   i t s   a p p l i c a t i o n s .   J o u r n a l   o f   Pr o c e s s   C o n t r o l . 1 9 9 8 ;   8 ( 2 ) :   1 0 1 - 1 1 5 .   [ 6 ]   Z u h u a   X u ,   Z h u   Y   C ,   e t .   a l .   N o n l i n e a r   M PC   u s i n g   a n   I d e n t i f i e d   L PV  M o d e l .   I n d .   En g .   C h e m .   R e s .   2 0 0 9 ;   4 8 :   3 0 4 3 - 3 0 5 1 .   [ 7 ]   Z h u   Y C ,   e t .   a l .   M e t h o d   o f   L PV  M o d e l   i d e n t i f i c a t i o n   f o r   c o n t r o l .   T h e   i n t e r n a t i o n a l   F e d e r a t i o n   o f   Au t o m a t i c   C o n t r o l .     S e o u l ,     Ko r e a .   J u l y   2 0 0 8 :     6 - 1 1 .   [ 8 ]   Z h u   Y   C ,   e t .   a l .   I d e n t i f i c a t i o n   a n d   M P C   c o n t r o l   o f   a   c i r c u l a t i o n   F l u i d i z e d   Be d   Bo i l e r   u s i n g   a n   L PV  M o d e l .   D y n a m i c s   a n d   C o n t r o l   o f   Pr o c e s s   S y s t e m s .   L e u v e n ,   Be l g i u m .   J u l y   2 0 1 0 :     5 - 7 .       [ 9 ]   H u a n g   D a o p i n g   e t .   a l .   M u l t i v a r i a b l e   N o n l i n e a r   Pr e d i c t i v e   C o n t r o l   Ba s e d   o n   a n   I n t e g r a t i n g   M o d e l :   C o n t r o l   T h e o r y   a n d   Ap p l i c a t i o n s .   1 9 9 9 ;   1 6 ( 1 ) :   3 8 - 4 2 .       [ 1 0 ]   Z h u   Y C .   M u l t i   v a r i a b l e   Sy s t e m   I d e n t i f i c a t i o n   f o r   Pr o c e s s   C o n t r o l .   En d h o v e n ,   P e r g a m o n ,   C h a p t e r   5 ,   6   [ 1 1 ]   L a u r a i n ,   M   G i l s o n ,   R   T ó t h ,   H   G a r n i e r .   R e f i n e d   i n s t r u m e n t a l   v a r i a b l e   m e t h o d s   f o r i d e n t i f i c a t i o n   o f   L PV   Bo x J e n k i n s   m o d e l s .   A u t o m a t i c a .   2 0 1 0 ;   4 6 ( 6 ) :   9 5 9 9 6 7 .   [ 1 2 ]   Y u   Z h a o   e t .   a l .   Pr e d i c t i o n   e r r o r   m e t h o d   f o r   i d e n t i f i c a t i o n   o f   L PV  m o d e l s .   J o u r n a l   o f   p r o c e s s   c o n t r o l .   2 0 1 1 ;   2 2 ( 1 ) :   1 8 0 - 1 9 3 .   [ 1 3 ]     M .   Bu t c h e r ,   A.   Ka r i m i .   D a t a - d r i v e n   t u n i n g   o f   l i n e a r   p a r a m e t e r - v a r y i n g   p r e c o m p e n s a t o r s .   I n t .   J .   Ad a p t .   C o n t r o l   S i g n a l   Pr o c e s s .   2 0 1 0 ;   2 4 ( 7 ) :   5 9 2 6 0 9 .     [ 1 4 ]     M .   Bu t c h e r ,   A.   Ka r i m i ,   R .   L o n g c h a m p .   O n   t h e   c o n s i s t e n c y   o f   c e r t a i n   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d s   f o r   l i n e a r   p a r a m e t e r   v a r y i n g   s y s t e m s .   i n   1 7 t h   I F AC   W o r l d   C o n g r e s s .   S e o u l ,   Ko r e a .   J u l y   6 1 1 2 0 0 8 :     4 0 1 8 4 0 2 3 .   [ 1 5 ]   M a r d i y o n o ,   R e n i   Su r y a n i t a ,   Az l a n   Ad n a n .   I n t e l l i g e n t   M o n i t o r i n g   Sy s t e m   o n   Pr e d i c t i o n   o f   Bu i l d i n g   D a m a g e   I n d e x   u s i n g   N e u r a l -   N e t w o r k .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 2 ;   1 0 ( 1 ) : 1 5 5 - 1 6 4 .   [ 1 6 ]   D   H a r i k r i s h n a ,   N   Sr i k a n t h .   D y n a m i c   St a b i l i t y   En h a n c e m e n t   o f   Po w e r   Sy s t e m s   U s i n g   N e u r a l - N e t w o r k   C o n t r o l l e d   St a t i c - C o m p e n s a t o r . T EL KO M N I KA .   2 0 1 2 ;   1 0 ( 1 ) :   9 - 1 6 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.