TELKOM NIKA , Vol.12, No .4, Dece mbe r  2014, pp. 82 9~8 3 8   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v12i4.293    829      Re cei v ed Au gust 24, 20 14 ; Revi sed O c t ober 1 0 , 201 4; Acce pted  No vem ber 5,  2014   System Identification and LMI Based Robust PID  Control of a Two-Link Flexible Manipulator      M. Khairudin 1 , Z. Mohamed 2 , A.R. Hus a in 2  1  Department o f  Electrical Eng i ne erin g, Univ e r sitas Neg e ri Y o g y ak arta, Ind ones ia   No 1. Jln Co lo mbo Yog y a k art a , telp. + 62-27 4-54 816 1   2  F a cult y  of Ele c trical Eng i ne e r ing, Un iversiti  T e knologi Ma la ysi a , Mala ys ia   e-mail: mo h_k hair udi n@ ya ho o.com      A b st r a ct   T h is pap er pr esents i n vesti gatio ns into th e dev elo p m ent  of a lin ear  matrix ine q u a liti e s (LMI)   base d  ro bust P I D control  of a  non lin ear T w o- Link F l ex ib le M ani pul ator (T LF M) incor porati n g pay lo ad. A s e t  of lin ear  mo de l s  of a TLFM i s  obtai ne d by  usin g syst e m   i dentific atio n method in  w h ic h  the li ne ar mo del  repres ents the operating r anges  of the  dy nam i c syst em .  Thus, th e LM I constraints permit to robus tly   guar ante e  a ce rtain pertur bati on rej e ctio n lev e l an d a re gi o n  of pole l o cati o n .  T o  study the effectiven ess  of  the contro ll er, i n itial l y a PID c ontro l  is dev el o ped for T L F M   w i th varying  pa yloa ds. T he p e r forma n ces  of the   controllers are assessed  in  term s of  the input tracking  c o ntroller c a pabilit y of the system   as c o m par ed to  the res pons e  w i th PID contr o l. More over, t he r obustn ess  of the  LMI bas ed r obust PID   control  sche m es i s   discuss ed. F i n a lly, a co mp ara t ive assess me nt  of the contro l strategies is p r esente d .      Ke y w ords : LM I, PID, system identific atio n,  tw o-link flexi b le  ma ni pul ator       1. Introduc tion  Flexible ma ni pulator  ro bot s a r e u s ed i n  a wi de  spe c trum  of appl ication s   starti ng from   simple pi ck and place ope rations of an i ndu strial  ro bo t to micro-surgery, mainten ance of nucle ar  plants an d  spa c e  ro boti c s [1]. More over, the   dy namic  be hav iour of  the  manipul ator is   signifi cantly a ffected by pa yload variatio ns. If  the adv antage s a s so ciated  with li ghtne ss  are   not  to be sa crificed, accurate model s and e fficient  cont ro llers fo r a TL FM have to be develop ed.   The m a in g o a l of mo dellin g of a  TLFM i s  to a c hi eve  an a c curate  model  rep r e s enting the   actual  syste m  behavio ur.  A good ag reement  b e tween mo dellin g and exp e ri ments h a s  b een  achi eved [2].  Zho u   et.al   [3] pre s e n ts the  neu ral  netwo rk o n line m odellin g  tech nolo g y  to  approximate the system u n ce rt ain mod e l a spa c e  manipul ator. Dog an and I s tefano pulo s  [4]  have devel op ed the finite  e l ement mo del s to d e scribe  the defle ction  of a pla n a r  two-li nk flexible   robot ma nipul ator. De L u ca and Sicilia n o  [5]  have utilised the AM M to derive a  dynamic mo del  of multilink flexible robot  arm s  limiting  to the  ca se  of pla nar m anipul ators  with no to rsi o nal   effects. Su bu dhi a nd M o rris [6] h a ve a l so  pre s e n te d a  syste m at ic a pproa ch f o r d e rivin g  t h e   dynamic e q u a tions for n - li nk mani pulat or wh ere two - hom oge nou s transfo rmati on matri c e s  are  use d  to describe the rigid a nd flexible motions respe c tively.    Ne wly eme r g i ng techniqu e  for optimi s in g the c ontroll er pa ram e ters is th e u s e  at linear  matrix inequalities (LMI).  The  works  in formul atin g set of L M Is to ove r co me the effe ct o n   mismat che d  uncertaintie s   in dynamic  sy stem ha s  al so su rfaced in  the literatures [7]. Since LMIs  can b e  solve d  efficiently by standa rd nu meri cal  alg o ri thms, this ha s prompted a  great num be r o f   resea r chers t o  de scribe  dif f erent  control  pro b le m s  in  terms  of LMI s  [8]. Bevrani  and  Hiyama  [9]  pre s ente d  an  LMI based robu st control  to mainta in the rob u st pe rforma nce an d minimize t he  effect of disturbance and  specified unce rtainties of power  sy stem stabilizers.    On the  othe r  hand, th e im portant  feature of  L M I ba sed  robu st PI D d e si gn  app roa c h  i s   that the deriv ative term at the  cont rolle r app ears in  su ch a fo rm  that enable s   to con s ide r  t he  model  un ce rtainties, to  b e  co nsi d e r ed  i n  the  de sig n . Assumin g  th e st ru cture d  f eedb ack  mat r ix,  this app roa c h  is app rop r iat e  for de centralize d   PID co ntrol de sign.  The gua ra nte ed co st co ntrol  pre s ente d   with a  ne w qu a d ratic cost fu nction  in cludi ng the  de riva tive term fo r  state ve ctor a s  a   tool to influence the overshoot  and re spon se rate [1 0]. Using LMI  appro a ch to desi gn a rob u st  PID co ntrolle r p r e s ented  [11],[12],[13]. On oth e r  ha nd, Lian g  et. a l  [14] imple m ented  a fu zzy   adaptive PID controller  whose duty is to make  su re the un ce rtainty and n online a ritie s  of  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 829  – 838   830 hydrauli c  ere c ting me chan ism. Usi ng  th e  LQ R   to   solve  flexible   link   robu stn e ss   and   i n p u t    tracking   cap ability  of  hu b angul ar po sition [15].                                           Ho wever, m o st of the  pu blish ed  wo rk on  robu st P I D de sign  via LMI  wa s b a se d on   simulation exerci ses  with limited possibility fo r  experim ental v a lidation  due to compli cated  controlle r st ru cture. M o reo v er, not mu ch wo rk  on  L M I robu st  co ntrolle r of a T L FM with  pay load  been  rep o rte d . This is  a chall engin g  task for  a MI MO syste m  and the  syst em beh aviou r  is  affected by several facto r s. This pape r pre s ent s the desi gn and d e velopme n t of a robust PID  control b a se d on  LMI for a no n-lin ea r two-li nk fl exible ma nipula t or. It is fou n d that the  L M I  approa ch ha s not been explore d  for co ntrol of a tw o-link flexible  manipul ator  whe r e the sy stem  dynamics ha ve unce r taint i es du e to the variati on  of payload s. Usin g t he robu st control l er,  identified PI D gai ns  ca n  be u s ed  fo r all p a yload s with  satisf actory  re spo n se s. Thi s  i s  an   advantag e a s  com pared to  Ziegle r -Ni c h o ls  (ZN)  tun e d  PID control  whi c h  need s to be  re-tu n ed   for different p a yload s. Subseq uently, the dynamic  m odel is represented into co nvex formulat ion   whi c h lea d s to the form ulation of sy stem r equi re ment into L M Is re pre s e n tation that ca n   accomm odat e the convex  model. A set of robu st PI D gain s  is th en  obtaine d by  solving th e L M Is   with d e si red   spe c ification s . For pe rform ance a s se ssment, ZN-PI D  a n d  LMI-PI D  cont rolle rs  are  comp ared to  control of the  manipul ator i n  terms  of input trackin g , deflectio n re d u ction level  a n d   robu stne ss to  payload va ri ations  of both  links. Ex peri m ental results sho w  that b e tter ro bu stn e ss   and sy stem p e rform a n c e a r e a c hieved  with LMI-PI D  controlle r de spite usin g a single set of PID  gain s .       2. Rese arch  Metho d   The  physi cal  pa ramete rs  of the T L FM  syste m   c o ns id er e d  in  th is   s t u d y  ar e  s h ow n in  Table 1.  M h2  is the  ma ss  consi dered  at the  se con d  m o tor  whi c h i s  l o cate d in  bet wee n  b o th lin ks,   J hi   is the  ine r tia of the  i th m o tor a nd h ub.  The in put torque,  ) t ( i   is appli ed at ea ch  m o tor a nd  G i   is the gea r ratio for the  i th motor. Both links and  motors are consi dered to  have the sa me   d i me ns io ns .      Table 1. Para meters of a TLFM   S y m b ol  Parameter   Link- 1   Link- 2   Unit   M L1 , M L2  Mass of link  0.08  0.05  kg  ρ   Mass density  2666.67   2684.56   kgm - 1   EI  Flexur al rigidit y   1768.80   597.87   Nm 2   J h   Motor and h ub in ertia  1.46 x1 0 - 3 0.60 x1 0 - 3  kgm 2   M p   Pa y l oad mass m a x  -  0.1  kg  J p   Pa y l oad inertia  max  -  0.05 x 1 0 - 3  kgm 2   l  Length of link  0.5  0.5  m    Width of link  0.03  0.025   m    Thickness of link  2 x10 - 3  1.49  x1 0 - 3  m  J o   Moment of inerti a  5 x10 - 3  3.125  x10 - 3  kgm 2   M h2  Mass of the centr e  rotor   -  0.155   kg      A nonline a r  TLFM is  a d i stribute d -paramet er  syste m  that can  be de scrib e d  by an  infinite-dim en sion al mathe m atical m o d e l. In pra c tice, the red u ced-o r d e r mo del is u s e d   to  confo r m to  computation a l  limitations [16]. This sy stem identifica t ion to o b tain  a  set of li n ear  model s of th e TLFM i n  which th e line a r  mod e l  repre s ent s the o p e rating   ra nge s of the  dyna mic  sy st em.    The metho d  construct s  the system ide n tificati on for a n online a r TLF M  sele ctively. In this  se ction, it i s  indi cated  th at the id entificatio n s y s t em is co ns is te d  o f  the  pro g r am ba se d o n   Matlab. The interface of the ident ificatio n system ap p lication u s e s  identificatio n tools in Matla b .  The recognit i on sy stem  descri bed i n  this pap er is the lea s t sq uare o ffline para m etric  identificatio n  system. Th e multisine  sign al pr o d u c e s  sin u soi d s of differen t  amplitudes and   freque nci e s,  whi c h are su mmed to co n s titute a persi stently excitin g  sign al  for the identification  p r oc es s .    After the iden tification re su lts are  obtain ed, it  also  ne eds to ve rify wheth e r thi s   model i s   appli c able.  M odel vali datio n an d  simul a tion con s ist  o f  com pari ng t he p r edi cted   output  with t h e   measured ou tput, che cki n g  the tran sie n t respon se  usin g a ste p   respon se  plot  for the estim a ted  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       System  Identification and LMI  Based Robust PID Control of a  Two-Link .... (M. Khairudin)  831 model, an d checkin g  pole s  an d zero s.  The result  shows that th e wavefo rm s of the fore cast  output and th e actu al outp u t are b a si ca lly the  same,  and the mat c hin g  deg re e  is abo ut 94 %.  The pa ramet e rs of the tra n sfer fun c tio n  model  a r e  obtaine d fro m  least-sq ua res e s timatio n . A  sixth-o r de r id entified mode l G(s) that ha s a goo d match with the first two mod e s is obtaine d:    2.028e009   + s   7.246e007 -    s 2.989e004    +   s 2.29e004    +   s 1492    +   s 21.72    +   s 0.700    + s    8.72e007 -    s 3.126e006    +   s   4.518e005 -    s   919 -    s 5153  - (s) G 2 3 4 5 6 2 3 4 5 11     For the sa me  processe s, a m odel of link-2 witho u t load, a  model  of system with load  0.05 kg a nd 0 . 1 kg will be o b tained.   Simulation re sults  of  L M I based rob u st   PID c ont rol  of the T L FM  are  presente d  in th e   time and  freq uen cy dom ai ns. Th e  step s that  are  ne ce ssary fo r t he d e sig n  i s   as foll ow:  Ste p  1 :  system ide n tification of a nonlin ear TL FM to obt ain a sets of linear mod e l of a TLFM (eq . 2).   Step 2 : co nst r uct the lin ear model in stat esp a ce form.  Step 3 : polytopic m odel s  of TLFM with out  payload, loa d  0.05 and 0. 1  kg (eq.6).  Step 4 : set the  uppe r bo und  spe c ification (eq. 13).  Step 5 :  find  X  su ch th at the ineq ual itie s are satisf ied (e q.11 ).  Step 6 :  con s truct LMI s  re gi on ( ρ , θ , α ) u s i ng  eq.(17 ) , eq.(1 8) an d eq. (1 9).  Step 7 : u s ing the re sult  of  X  form the previou s   step , calcul ate gai n  K  (eq.14 ).  Step 8 : appli e d  the gain  K  t o  the LMI ba sed  rob u st P I D co ntrolle r  for a no nline a r  TLFM.  Step 9 : che ck the  output and re peat from st e p6 to prod uce  the desired o u tput.  In this work,  Linea r Qua d ratic Re gulato r  (LQ R ) app roach is con s i dere d  as a b a si s for  tuning the  co ntrolle r gai n since thi s   app roach can  gi ve nice robu st ness a nd it  can be  form ul ated   in term  of p e rform a n c e  based  optimi z ation  pr oble m  whi c h  can  be  solved   usin g nu meri cal   techni que [12 ].      Proposition 1 :  Sch u r Co mpliment s to determi ne ma trix inequality [19]:                       0 ) x ( Z ) X ( S ) x ( S ) x ( V T                                                                                                                               (1)                     This al so kno w n a s  Schu r  compl e me nt in whi c h this p r ope rty is very useful to co st the  imposed cons traint in to LMIs  s e t s .      3. Robus t PID Con t roller  Design   Con s id er an  uncertain  sixth orde r of the  system for li nk-1                     6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 6 5 2 4 3 3 4 2 5 1 1 ) ( d S d S d S d S d S d S n S n S n S n S n S n s G                                                 (2)    and simil a rly the sam e  orde r of the syste m  for lin k-2, whe r e the pa rameter vary i n  intervals:     ] , [ ]... , [ ], , [ ],... , [ 6 6 6 1 1 1 6 6 6 1 1 1 n n n n n n d d d d d d                                                  (3)    whe r e  i d , i d   and  i n ,  i n are lo wer and  up per  boun ds for the u n c ertai n  pa ra met e rs  denum erator and nume r at or  of   the syst em  respe c tive ly. Accordi n g to A s trom  a nd  Hag g lund   [20],  a PID controll er with the  structure:    s K s K K s C d i p ) (   (4)     is ad equ ate f o r  su ch  a sy stem. Fo r a   TLFM b o th  t w o in puts, th e re sulta n t n egative feed b a ck   sy st em.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 829  – 838   832 The obj ectiv e  of PID con t roller  de sign  is to dete r m i ne PID settings to m eet  variou s  desi gn spe c ification s . In this pap er, the  PID cont roller is desi gne d in the state sp ace  setting s for  the ea se  of  usin g LMI  ap proa ch.  The   feedba ck  system  can be expre s s ed i n  the  state  sp ace   descri p tion:     Bu Ax x   Cx y                                                                                                                                                       (5)    whe r e  y  a r e  the syste m  o u tput and th e  referen c e in put re spe c tiv e ly,  x= [ x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6 ] T  the  state with vari able s .   6 6 x R A , 1 6 x R B ,  6 1 x R C .  The tran sfer f unctio n  mode ls (eq uation 3 )   conve r t to a state-spa c e  model. In the state- spa c e  mod e l ,  the PID  co ntrolle r d e si g n  be com e s a  static state   feedba ck  co ntrolle r, an d  the   static fee dba ck  gain  K= [ K p1  K d1  K i1  K p2  K d2  K i2 ] simply contai ns  all the PID  controller p a ramet e rs.   Note  also th at there  a r e  several u n ce rtain p a ramet e rs in  (4 ) a n d  the  polytop ic u n certain   set  redu ce s t o        32 32 31 31 22 22 21 21 12 12 11 11 B , A , B , A , B , A , B , A , B , A , B , A Cov                        (6)     whe r e the ve rtex matri c e s   [ A ij ,B ij ] are de termine d  ba sed on th e sy stem identifica t ion re sults,  i  is  varying load  and  j  is link.             3.1. LMI Bas e d robus t PID Con t roller   This  sectio n pre s ent s  th e   co ncept of LMI  an d p r e s ent s the   co nstrai nts u s e d  in  the  controller synthesi s  probl em whi c h  will  be used fo r t he robust PID controller design. In several   control p r obl ems, it i s   wel l  motivated to  ba se th e de sign  on th e L Q R  co ntrol th eory fo r its ni ce   robu stne ss [17]. The sta ndard LQ R probl em is to determin e  the signal  control  u  wh ich  minimizes the  quadratic co st:    0 T T dt ) Ru u Qx x ( ) u ( J                                                                                                                 (7)                        for an i n itial  state x(0 ) ,  whe r e  Q  an d  R  a r e  sy mmetric po si tive semi-def inite matrix  and   symmetri c  positive definite ma trix, res p ec tively, i.e.   Q T   ≥  0  and  R= R T  >  0. A s sume th at ( A,B )  are controlla ble  and ( Q 1/2 , A ) are ob servable. It turns  out that the sol u tion  u *  to this optimal   control proble m  can be exp r esse d  [17] in the state feedba ck form:    Xx B R Kx u T 1 *                                                                 whe r e  X  is th e symmetri c   positive defini t e solution of  the  algeb rai c  Riccati eq uati o n  (ARE ):    0 Q X B XBR XA X A T 1 T                                                                                               (8)     and the mini mum qua drati c  co st [12] is given by     ) 0 ( Xx ) 0 ( x J T min                                                                                                                                 (9)     Thus, the  so lution to the  LQR p r o b le m relie s on  solving the  ARE (8 ). An efficient   alternative fo r this proble m  is the LMI te chniqu e that h a s em erged  rece ntly as a  powerful d e si gn  utility for a va riety of control probl ems d ue to it s conv exity [18]. By the LMI technique, the LQ R  probl em can  be rep h rased  as an optimi z ation p r obl e m  over  X  and   Y :    ) 0 ( x X ) 0 ( x min 1 T Y , X                                                                                                                               (10 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       System  Identification and LMI  Based Robust PID Control of a  Two-Link .... (M. Khairudin)  833 subj ect to     0 X , 0 R 0 Y 0 Q X Y X B Y BY XA AX 1 1 T T T T                                          (11 )     whe r e  K X Y . In s e veral prac tic a l s i tuations , t he obje c tive (1 0) is represen ted as:     ) 0 ( x X ) 0 ( x 1 T                                                                                                                                (12)     whe r e    is the spe c ified up per bo und. T he above in e quality can al so be exp r e s sed a s  LMI:     0 ) 0 ( ) 0 ( X x x T  (13 )          Con s e quently , the optimization pro b le m in (10) an d (11) in co nverted to seeki ng a sol u tion    ) , ( * * Y X  that  satisfies a set of LMIs in (11) a nd (13) an d the st ate feedba ck gain is give n by    1 * * ) ( X Y K                                    (14)    The sy st e m  mat r ix    B A ,  is usually not pre c isely kno w n  in practi ce.  Assum e  tha t   [ A ij ,B ij ],  is uncertai n  but be long s to a pol ytopic set:       32 32 31 31 22 22 21 21 12 12 11 11 , , , , , , , , , , , B A B A B A B A B A B A Cov                        (15)    whe r e  cov   ref e rs to a  conv ex hull, or  B A ,  if         ij ij B , A ) u , x ( w B , A     whe r e  i  and  j  is varying lo ad and lin k resp ectively, and  w  the weighting  functi on co nstraine d   betwe en 0 an d 1.       3.2. Pole Pla cement L M Is   Chilali an d G ahinet [19] prese n ted a re gion of the complex plan e   S( α , ρ , θ )  wh ere  α , ρ ,  and   θ   are min i mum de cay rate, the disk  of radiu s  and  inner a ngle, i n  the form  x +  jy  sat i sf y     x ) cot( y , jy x , 0 x    (16 )     whe r e  α ,  ρ  a r e  the minim u m de cay rate  and the  disk  of radiu s    re spectively,   θ  i s   the  se ctor  of  the cente r ed  at the origin a nd inne r angl e.     Proposition   2 : The clo s e d - loop  pole s  of  the  system  with a state - feedb ack  u= Kx  are in sid e  the  regio n   S( α , ρ , θ )  if there exists a symm et ric definite positive matrix  X  and a matri x   Y  such t hat     0 X 2 B Y BY XA AX T T T                                                                 (17)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 829  – 838   834 0 X BY AX B Y XA X T T T                                                                                  (18)    0 ) B Y BY XA AX ( cos ) B Y BY XA AX ( sin ) B Y BY XA AX ( sin ) B Y BY XA AX ( cos T T T T T T T T T T T T       (19)    and  K= YX -1  is the state fe edba ck gain.       4. Results a nd Discu ssi on  A step signal  with amplitud e of ±0.5 rad is us e d  as an  input positio n in radian ap plied at   the hu b of li n k -1  of th e ma nipulato r . Th e  sa me fo rm of  sig nal with a m plitude of  ±0.35 rad   is  u s ed  as the inp u t sign al for lin k-2. T w o sy stem  respon ses nam ely the hub an gul ar po sition s and  deflectio ns  at 10 cm from t he hu bs  of b o th links   with  the freq uen cy respon se of  the defle ctio ns  are  obtain e d  and  evalu a ted. Mo reo v er, the  eff e cts of varying payloa d  on  co ntroller  perfo rman ce s are  al so  stu d ied. Fo r th e s e i n vest ig ations, th e  syst em with out p a yload, a nd t he  system  with p a yload s of 0.05 kg a nd 0.1  kg are  con s i dere d .   To dem on strate the p e rfo r man c e  of th e LMI  ba se d robu st  PID controlle r with   the  pol e   placement pa ramete rs  α ,  ρ  are  the mi ni mum d e cay rate   α < -1  a nd  the di sk  of ra dius  ρ =2 π /10T s     r e spec tively.  θ  is the se ct or of the cen t ered at the  origin  and in ner a ngle  θ =25  deg re e. Inner  angle i s  de si gned fo r covering  un certa i nties pa ram e ter of seve ral  conditio n s i n  this study  wi th   varying paylo ad. As com p aring the  performan ce  of  LMI based robu st  PID controlle r, a PID  controlle r i s   desi gne d u s i ng Zi egle r   Ni chol s  metho d  for  co ntrol  o f  a T L FM. A  block  diag ra m is  utilised to obt ain the propo rtional gai n,  K p , integral gain  K i , and the derivative  gain,  K d . In t h is  study, the task of the co ntrolle r is for input  tracki ng ca pability of the system. The angu lar  positio n of li n k -1  a nd lin k-2 a r e fe d b a c k to  cont rol  of a T L FM  with varying  p a yload.   Tabl e 2  summ arie s th e PID controll er gain u s in g Z-N  PID for t he TLFM  with  varying payload s.  On the oth e r  hand, by utili sing th e LMI  based r obu st  PID co ntroll er that  wa s d e sig ned   based o n  the  dynamic  beh aviour of the  TLFM with  va rying paylo ad s. The p a ram e ters  of the L M I  based  rob u st  PID controll er fo r a T L FM with va rying payloa d s  a r e  K p1 =0.13,  K i1 =0.03 43,  K d1 =0.05 and   K p2 =0.090,  K i2 =0.037,  K d2 =0.05 for link-1  and link-2 re spe c tively.      Table 2. PID para m eters u s ing Zie g le r Nichol s  No Pa y l oad   Link-1 Link-2  K p 1  K i1  K d1  K p2  K i 2  K d 2   1  0  0.58    0.07 0.16  0.09 0.12  0.01  2  50  g  0.59    0.07 0.18  0.09 0.13  0.05  3  100  g   0.61    0.07 0.18  0.10 0.15  0.05      Sy stem  w i th out an d  w i th  Pa y l oad . Figure  1 sho w s the ang ular  positio ns  of the TLF M   without p a ylo ad for both li nks. Both u s i ng LMI  ba se d ro bu st PID cont rol a nd  Z-N PID  cont rol  results  show  similar results for lin k-1  a nd lin k-2, wh ere  stea dy st at e an gula r  p o sition  levels  of - 0.5 rad an d 0.35 rad  were achi eved resp ectively.  The tran sie n t resp on se sp ecification s  of the  angul ar p o siti on for  both li nks with out a nd with  paylo ad a r e  summ arised in  Tab l e 3. Using  L M I  based ro bu st PID control,  the sy stem  exhibits lo we r settling ti m e s an d small e r oversh oot s for  both links co mpared u s ing  Z-N PID.      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       System  Identification and LMI  Based Robust PID Control of a  Two-Link .... (M. Khairudin)  835 (a) Li nk -1   (b) Li nk -2     Figure 1.  Angular p o sitio n  of the system.      Table 3. Rel a tion betwe en  payload s an d   spe c ificatio n s  of angul ar p o sition   Pa y l oad   Link-1 Link-2  Settling time (s)  Overshoot  (%)   Settling time (s)  Overshoot  (%)   LMI PID  Z-N PID  LMI PID  Z-N PID  LMI PID  Z-N PID  LMI PID  Z-N PID  0  1.54 1.70 3.07  7.40  1.18 1.64 0.00 4.86  50  g  1.70 1.77 3.08  11.74   1.29 1.66 0.00 5.91  100  g   1.75 1.81 3.10  12.40   1.35 1.74 0.01 9.40      Figure 2  sh o w s re sult s of  the defle ction  re sp o n ses o f  link-1 a nd li nk-2. It is  not ed that  the ma gnitud e s  of vibratio n of th e d e fle c tion  re sp on ses  de crea se f o r  both li nks  usin g L M I ba sed  robu st PID co ntrol  com pare d  with  PID  co ntrol.  With L M I ba sed  ro b u st PID control, the m a ximum  magnitud e s o f  the resp on ses were 3.30  mm and 1.9 2  mm for link-1 an d link-2  respe c tively. On  the other  han d with PID  co ntrol, the ma ximu m magni tudes  we re 7. 02 mm a nd 4 . 45 mm. Figu re   3 sho w s the  freque ncy re spo n ses of th e deflectio n resp on se s obt ained  with L M I base d  rob u st  PID control and PID control exerci se s. These we re  obtaine d by  tran sformi ng the time resp onse   into the freq uen cy dom ai n u s ing  Fa st Fou r ier  Tra n sform. The  re sults sho w  that  cont roller  perfo rman ce s are characte rize d by the first two mo de s of vibration s . With LMI b a se d rob u st  PID  control  sho w   that the vibra t ion occu rs at  5.88  Hz  and  15.69  Hz, a nd 3.93  Hz a nd 25.4 9   Hz  for  link-1 an d lin k-2  re sp ectiv e ly. Otherwise, the re so na nce f r equ en ci es fo r lin k-1  and lin k-2 we re  obtaine d at 7.84 Hz and 2 3 . 52 Hz, an d 6 . 05 Hz a nd 2 8 .49 Hz re sp ectively usin g  Z-N PID.       (a) Li nk -1   (b) Li nk -2     Figure 2.  Deflection respo n se of the sy stem   0 1 2 3 4 5 -0 . 6 -0 . 5 -0 . 4 -0 . 3 -0 . 2 -0 . 1 0 Ti m e  ( s ) L i nk - 1  pos i t i on ( r ad)     R o bus t Z- N 0 1 2 3 4 5 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 Ti m e  ( s ) Li nk - 2  pos i t i on ( r a d )     Robus t Z- N 0 1 2 3 4 5 -12 -8 -4 0 4 8 12 Ti m e  ( s ) Li nk - 1  def l e c t i on ( m m )     Robus t Z- N 0 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Ti m e  ( s ) Li nk - 2  def l ec t i on  ( m m )     Ro b u s t Z- N Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 829  – 838   836 (a) Li nk -1   (b) Li nk -2     Figure 3.  Fre q . resp on se o f  deflection of  the system       To investigat e the effects of payload on the  dyna mic characte ristic s of the  system, a   TLFM  with v a riou s paylo ads was ex amined.  The  time  respo n se  spe c ifica t ions  of an g u lar  positio ns hav e  shown sign ificant chan g e s with  th e  variation s   of p a yload s. It is noted  with  L M I  based robu st  PID cont rolle r, the  system  exhibits lo we r settling  time s an d sm aller overshoot s for  both links co mpared Z-N PID controll e r . The re sult s also sh ow th at the transie nt resp on se s of  the system a r e affected by t he variation s  of payload.   It is noted with increa si ng payload s,  the m agnitu des of vibrat ion of the deflection  increa se for  both links. Howeve r, the magnitud e s  of vibration  of the deflection re spon ses  decrea s e  for  both lin ks wit h  LMI b a sed  robu st PI D control com p a r ed with  PID control.  Ta ble  4   summ ari z e s  t he maximum   magnitud e s  o f  the re spo n ses fo r lin k-1   and lin k-2 a c hieved  with L M I  based ro bu st PID control a nd PID cont ro l.          In this work,  the frequen cy respon se s of t he deflection is utilised to investigate the   effects  of pay load o n  the  d y namic  beh a v iour of  th e system in th e frequ en cy do main. It is n o ted   that the  re so nan ce  mod e s of vibrat ion   of the  syste m  shift s  to  lower f r equ en cie s   with i n crea sing   payload s. Fo r a payloa d  betwe en 0.0 5  to 0.1  kg u s ing L M I based ro bu st PID the re so na nce   freque nci e s f o r link-1 shifted from 3.92  Hz and 13. 7 4  Hz to 1.96 Hz an d 13.7 1  Hz for the first   two mod e s  o f  vibration re spe c tively. On the  othe r h and, the resonan ce frequ enci e s of lin k-2   usin g LMI ba sed  rob u st PID shifted fro m  2.02  Hz an d 17.65  Hz to  1.98 Hz and  15.69 Hz. Ta ble   5 summ ari s e s  re son a n c e  freque nci e s o f  the deflection re spo n ses with payload s for link-1 a n d   link-2 with  L M I base d  ro bust PID  con t rol and PI D control. Thi s  implies th at the manip u l a tor   oscillate s at lowe r freq uen cy ra te s than  those  without  payload.                 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 0 1 2 3 4 5 6 F r eq ue nc y  ( H z ) M a gn i t ud e (m m . m m / H z )     R o bus t Z- N 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 F r eq ue nc y  ( H z ) M agni t u d e  ( m m . m m / H z )     Rob u s t Z- N Table 4. Effects of payloa d s on maxim u m m agnitu d e s of the defl e ction  re sp o n se s    Pa y l oad  (g)   Link-1 Link-2  Robust PID (mm )   Z-N PID  (mm)   LMI PID (mm )   Z-N PID  (mm)   0  -3.30   2.41  -7.02   4.93  -1.92  1.47 -4.45   2.43  50  g  -3.33   2.42  -7.09   7.37  -2.05  1.50 -5.93   4.81  100  g   -3.39   2.94  -7.11   7.69  -3.50  1.62 -7.24   4.85  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       System  Identification and LMI  Based Robust PID Control of a  Two-Link .... (M. Khairudin)  837 Table 5. Rel a tion betwe en  payload s an d  reso nan ce  freque nci e s of  the flexible manipul ator  Pa y l oad   Link-1 Link-2  Robust PID   Z-N PID   Robust PID   Z-N PID   Mode-1  (Hz )   Mode-2  (Hz )   Mode-1  (Hz )   Mode-2  (Hz )   Mode-1  (Hz )   Mode-2  (Hz )   Mode-1  (Hz )   Mode-2  (Hz )   0  5.88 15.69   7.84 23.52   3.93 25.49   6.05 28.49   50  g  3.92 13.74   5.88 23.49   2.02 17.65   5.89 19.61   100  g   1.96 13.71   5.86 15.68   1.98 15.69   5.83 17.65       5. Conclusio n   The  develop ment of  dyna mic m odel  an d robu st   cont rol of  a T L FM  with va rying   payload   has b een p r ese n ted. A set of linear  model ha s b een devel op ed by taking  throug h system  identificatio n of  a nonlin ea r  TL FM app roach.  A  PID  controlle r h a s, initially, bee n devel ope d  for  control  of a TLFM with  v a rying payloa d s.  Th e  L M I is  u n iversal a nd can   be a dapted   for an y  a   nonlin ear sy stem. It can  b e  extende d b y  inco rpo r atin g othe r d e sig n  re quireme n t  su ch that it  is  rep r e s entin g in LMI form.  A LMI robu st PID controlle r has be en im plemente d  for input tra c kin g   control of th e  TLFM. Pe rfo r man c e s   of the cont rol  sch e mes have  b een  evaluate d  in te rms of  the  input tra cki ng  capa bility of the system  wi th comp are d   PID controlle r. Simulations  of the dynamic   model  and  L M I based  ro bust PID co ntrol h a ve b een  ca rrie d   out in the  time an d fre q uen cy  domain s  whe r e the sy stem  resp on se s in cludi ng ang ul ar po sition s a nd defle ction  are st udied. In   term of i nput  tracking,  LMI  ba sed  robu st PID  ha s  be en  sho w n  to  be m o re  effe ctive techniq ue.  These result s will be verify on the hardwar e experimental work for f u ture work.       Referen ces   [1 ]  D w i v edy  SK,  Eb e r ha rd  P .  D y n a mic  ana l y si s of fle x ib le m ani pul ators, a l i terature r e vie w .  Mec h anis m  and Mac h in e T heory.  20 06; 4 1 : 749-7 7 7 .   [2]  Martins JM, Moham ed Z ,  T o khi MO, Sa da  Costa J, Botto MA. Approac h e s for d y nam ic  model lin g of   flexibl e  man i p u l ator s y st ems . IEE Proc-Contr o l T heory a nd  Appl icatio n.  20 03; 150: 4 01-4 11.   [3]  Z hou Sh uhu a, Ye Xia opi ng, Ji  Xi aomi ng, Z h a ng W e n hui. Ad aptive c ontrol  o f  space rob o t mani pul ator s   w i t h  task spac e base o n  ne ur al net w o rk.  TEL K OMNIKA . 2014; 12( 2): 349 -356.   [4]  Dog an M,  Istefanop ul os Y.  Optimal  no nli n ear c ont rol l er   desi gn f o r fle x ible  ro bot m a n i pul ators  w i t h   ada ptive i n tern al mod e l.  IET   Contro l T heory  and App lic atio ns . 2007; 1( 3): 770- 778.   [5]  De L u ca  A, S i cili an o B. Cl o s ed-form d y n a m ic  mod e l  of  pla nar m u lti-l i n k  lig ht w e ight r obots.  IEEE   T r ansactio n s o n  Systems, Ma n, and Cyb e rn etics . 1991; 2 1 : 826-8 39.   [6]  Subu dhi  B, Mo rris AS. D y na mic mod e ll ing,  simul a ti on  an d contro l of a  mani pul ator  w i t h  fle x i b le  li nk s   and j o ints . Ro b o tics and Aut o no mo us System . 20 02; 41: 2 57-2 70.    [7]  Sell ami A, Arzelier D, Mhir i R,  Z r ida, J. A  slidi ng mo de c ontrol a ppro a c h  for s y stem subj ected to a   norm-bounded uncertainties.  Internatio na l J ourn a l of R o b u st and  Non lin ear Co ntrol . 2 007; 1 7 : 32 7- 346.   [8 ]  Ga h i ne t P, Apka ri an . A l i n ear ma trix  i n e qua l i t i e s ap p r oa ch  to  h ∞  control .   Internati ona l  Journ a l Of  Rob u st And No noli e n a r Co ntrol . 199 4; 4: 42 1-44 8.  [9]  Breava n i H, Hi yam a  T .   Robust design of power system   stabili z e r: an lm i approach.  Proc eed ing of th e   IAST ED Internation a l Co nfere n ce of Ener g y   and Po w e r S y s t em.  T hailan d . 200 6: 70-7 5 .  [10]  Rosinova D,  Vesely  V.  Robust dec entra li sed  co ntrol l er desi gn usin g  l m i.  Internati o n a l Jo urn a l  of   Co mp uters Co mmu n icati ons  and C ontrol . 2 007; 2(2): 1 95- 204.   [11]  Goncalv e s EN ,  Palhares R M ,    T a kahashi  HC. A novel  appr oach for  H 2   and H-i n fin i t y  ro bust PI D   s y nt hesis for u n certai n s y ste m s .   Journal of  Process Co ntrol . 200 8; 18: 1 9–2 6.  [12]  Ge M, Ciu MS, Wang QG. Robust  PID contr o ller  des ign v i a LMI appr oac h . Journ a l of Pro c ess Co ntrol .  200 2; 12: 3-13.   [13]  Olalla  C,  Le yv a R, E l  Aro u d i  A, Garce´s P ,  Quein nec  I. LMI rob u st co ntrol  desi g n  fo r bo ost p w m   converters.  IET Power Electron . 2010; 3( 1): 75–8 5.  [14]  Lia ng  Li, J i an  Xie, W e i L i .  F u zz y   ad aptiv e PI D c ontro l  of a  n e w   h y drau lic  erectin g  mec han ism.   TEL K OMNIKA . 2013; 1 1 (4): 7 15-7 24.   [15]  Mohamm ad K, Mohame d  Z ,  Husain AR.  D y namic  mo d e l an d robust control of fle x i b le li nk robo t   mani pul ator.  TEL K OMNIKA . 201 1; 9(2) :  279 – 286   [16]  Ho MT ,  T u  YW . Positio n  co ntrol of  a s i ng le-l i n k  fle x i b l e  ma n i pul ator  usin g  H-infin i t y  b a se d PID c ontrol .    IEE Proc.-Control T heory Ap pl . 2006; 15 3(5).   [17]  Le w i s F L , S y r m os VL.  Optimal Control . Joh n  W ile y  & S ons . 1995.   [18]  Bo yd SP, Ghaoui LE, F e ron  E, Ba lkrishn an V. Linear matri x  in eq ual it ies i n  s y stems an d control the o r y .   SIAM, Philade l phi a. 199 4.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 829  – 838   838 [19]  Chil ial i  M., Gahin e t P., H design  w i t h  po le  p l acem ent const r aints an  LMI appr oach. IEE E   T r ans, Om  Auto. Control.  199 6; 41: 358- 367.   [20]  Astrom KJ, Hagg lun d  T .  PID Contr o ll er . 2nd  editi on. In strument of so ciet y   of Ameri c a. Rese arc h   triang le park, N o rth Caro lin a. 199 5.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.