T E L K O M N I K A ,   V o l . 9 ,   N o . 3 ,   D e c e m b e r   2 0 1 1 ,   p p .   5 8 3 ~ 5 9 4   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           5 8 3       R e c e i v e d   J u n e   1 1 th ,   2 0 1 1 ;   R e v i s e d   S e p t e m b e r   3 0 th ,   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   O c t o b e r   4 th ,   2 0 1 1   D e t e r m i n i s t i c   a n d   R e c u r s i v e   A p p r o a c h   i n   A t t i t u d e   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o S A T       M .   F a d l y * 1 ,   O t h m a n   S i d e k 2 ,   M d   A z l i n   M d   S a i d 3 ,   H a r i j o n o   D j o j o d i h a r d j o 4 ,   A d a m   A i n 5   1 , 5 Sc h o o l   o f   El e c t r i c a l   a n d   El e c t r o n i c s   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t i   Sa i n s   M a l a y s i a   2 D i r e c t o r   o f   C o l l a b o r a t i v e   µ El e c t r o n i c s   D e s i g n   Ex c e l l e n c e   C e n t r e   ( C ED EC ) ,   U SM   3 Sc h o o l   o f   C i v i l   En g i n e e r i n g ,   U n i v e r i s t i   Sa i n s   M a l a y s i a   En g i n e e r i n g   C a m p u s ,   1 4 3 0 0   N i b o n g   T e b a l ,   Pe n a n g ,   M a l a y s i a   4 D e p a r t m e n t   o f   Ae r o s p a c e   En g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t i   P u t r a   M a l a y s i a   4 3 4 0 0   Se r d a n g ,   S e l a n g o r   D a r u l   Eh s a n ,   M a l a y s i a .   e m a i l :   f a d l y 1 5 @ y a h o o . c o m * 1 ,   Ph o n e   :   + 6 0 1 2 3 9 5 9 2 3 6       A b s t r a k   Si s t e m   p e n e n t u a n   a t i t u d a   ( A D S)   s a n g a t   d i p e r l u k a n   d a l a m   p e n g e n d a l i a n   s a t e l i t .   Kh u s u s n y a   I n n o SAT   k a r e n a   k e t e r b a t a s a n   b i a y a ,   b e r a t ,   d a n   d a y a   l i s t r i k ,   p e r h i t u n g a n   s i k a p   d i l a k u k a n   m e n g g g u n a k a n   p e n g i n d e r a   p o s i s i   y a n g   s u d a h   t e r s e d i a   d a l a m   s a t e l i t .   Pe n e l i t i a n   s e b e l u m n y a   t e l a h   b e r h a s i l   m e l a k u k a n   p e n e n t u a n   a t i t u d a   m e n g g u n a k a n   h a n y a   p e n g i n d e r a   m e d a n   m a g n e t   b u m i   u n t u k   s u d u t   k e c i l ,   n a m u n   m e n g h a s i l k a n   g a l a t   y a n g   b e s a r   u n t u k   s u d u t   b e s a r .   M a k a l a h   i n i   m e n y a j i k a n   p e n e n t u a n   a t i t u d a   s a t e l i t   u n t u k   s u d u t   b e s a r   m e n g g u n a k a n   p e n g i n d e r a   m a t a h a r i   d a n   m e d a n   m a g n e t   b u m i .   P e n e n t u a n   a t i t u d a   d i l a k u k a n   m e n g g u n a k a n   p e n d e k a t a n   d e t e r m i n i s t i k   ( Q U EST )   d a n   r e k u r s i f   ( EKF ) .   M a s a l a h   m u n c u l   k e t i k a   m e n g g u n a k a n   p e n g i n d e r a   m a t a h a r i   s a a t   s a t e l i t   m e n g a l a m i   g e r h a n a ,   s e h i n g g a   a k u r a s i   k e d u a   p e n d e k a t a n   d i a n a l i s a   p a d a   s a a t   g e r h a n a   d a n   t i d a k   g e r h a n a .   H a s i l   p e n e n t u a n   a t i t u d a   m e n u n j u k k a n   b a h w a   p e n d e k a t a n   d e t e r m i n i s t i k   m e n g h a s i k a n   a k u r a s i   y a n g   l e b i h   b a i k   p a d a   s a a t   t i d a k   g e r h a n a ,   a k a n   t e t a p i   p e n d e k a t a n   r e k u r s i f   m e n g h a s i l k a n   a k u r a s i   y a n g   l e b i h   b a i k   p a d a   s a a t   g e r h a n a .   St r a t e g i   i m p l e m e n t a s i   k e d u a   p e n d e k a t a n   d a n   k o n d i s i   g e r h a n a   j u g a   d i b a h a s   d a l a m   m a k a l a h   i n i .       K a t a   k u n c i :   Pe r h i t u n g a n   s i k a p ,   I n n o SAT ,   EKF ,   Q U EST       A b s t r a c t   At t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   s y s t e m   ( AD S)   w a s   i n d i s p e n s a b l e   i n   a t t i t u d e   c o n t r o l   o f   s a t e l l i t e .   E s p e c i a l l y   f o r   I n n o SAT   d u e   t o   t h e   l i m i t a t i o n   o f   b u d g e t ,   w e i g h t ,   a n d   p o w e r ,   t h e   a t t i t u d e   w a s   d e t e r m i n e d   u s i n g   o n b o a r d   p o s i t i o n   s e n s o r s .   Pr e v i o u s   r e s e a r c h   h a s   s u c c e s s f u l l y   i m p l e m e n t e d   t h e   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   o n l y   Ea r t h ' s   m a g n e t i c   f i e l d   s e n s o r s   f o r   s m a l l   a t t i t u d e   a n g l e ,   b u t   t h e   a p p r o a c h   p r o d u c e d   q u i t e   b i g   e r r o r   f o r   l a r g e   a t t i t u d e   a n g l e .   T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o SA T   u s i n g   c o m b i n a t i o n   o f   s u n   s e n s o r s   a n d   e a r t h ' s   m a g n e t i c   f i e l d   f o r   l a r g e   a t t i t u d e   a n g l e .   T h e   a t t i t u d e   w a s   d e t e r m i n e d   u s i n g   a   d e t e r m i n i s t i c   ( Q U EST )   a n d   r e c u r s i v e   ( EKF )   a p p r o a c h .   p r o b l e m   a r i s e s   w h e n   u s i n g   t h e   s u n   s e n s o r s   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   e c l i p s e .   C o n s e q u e n t l y ,   t h e   a c c u r a c y   o f   b o t h   a p p r o a c h e s   w a s   a n a l y z e d   a t   e c l i p s e   a n d   n o   e c l i p s e   c o n d i t i o n s .   T h e   r e s u l t   s h o w s   t h a t   d e t e r m i n i s t i c   a p p r o a c h   p r o d u c e d   b e t t e r   a c c u r a c y   a t   n o   e c l i p s e   b u t   r e c u r s i v e   a p p r o a c h   p r o d u c e d   b e t t e r   a c c u r a c y   a t   e c l i p s e .   T h e   s t r a t e g y   t o   a p p l y   t h e   b o t h   a p p r o a c h e s   a n d   e c l i p s e   c o n d i t i o n s   a l s o   d i s c u s s e d   i n   t h i s   p a p e r .     K e y w o r d s :   At t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n ,   I n n o SA T ,   EKF ,   Q U EST       1 .   I n t r o d u c t i o n   T h e   s u c c e s s   o f   I n n o S A T   h a v i n g   a   p r i m a r y   m i s s i o n   o f   c a p t u r i n g   i m a g e s   i s   s t r o n g l y   i n f l u e n c e d   b y   i t s   a t t i t u d e ,   p o s i t i o n   a n d   t h e   l i g h t   i n t e n s i t y   s u i t a b l e   f o r   i m a g e   c a p t u r i n g   [ 1 ] .   I n f o r m a t i o n   a b o u t   a t t i t u d e   a n d   p o s i t i o n   o f   t h e   s a t e l l i t e   i s   a l s o   r e q u i r e d   b y   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   t o   m a k e   a t t i t u d e   c o r r e c t i o n   f r o m   i t s   r e f e r e n c e   a n d   a t t e n u a t e   i n c o m i n g   d i s t u r b a n c e s   w h e n   t h e   s a t e l l i t e   i s   p e r f o r m i n g   i t s   m i s s i o n .   T h e   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   a n d   c o n t r o l   s y s t e m   ( A D C S )   p l a y   a n   i m p o r t a n t   r o l e   f o r   t h e   s a t e l l i t e   c a r r y i n g   o u t   i t s   m i s s i o n   e n s u r i n g   t h e   s a t e l l i t e   s t a y   i n   i t s   o r b i t   f o r   t h e   w h o l e   m i s s i o n   a n d   d u r i n g   i t s   e x p e c t e d   l i f e   t i m e   [ 2 ] ,   [ 3 ] .   T h e   a t t i t u d e   i s   e x p r e s s e d   b y   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n   a n d   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   t h e   s a t e l l i t e   i n   b o d y   f r a m e   r e l a t i v e   t o   o r b i t   f r a m e   a n d   t h e   p o s i t i o n   i s   e x p r e s s e d   b y   a   v e c t o r   i n   E a r t h   C e n t e r e d   I n e r t i a l   f r a m e .   G e n e r a l l y ,   t h e   a t t i t u d e   i s   d i r e c t l y   p r o v i d e d   b y   a t t i t u d e   s e n s o r s   ( l i k e   g y r o s c o p e   a n d   a c c e l e r o m e t e r ) ,   b e c a u s e   o f   t h e   p o w e r   a n d   w e i g h t   l i m i t a t i o n s ,   a t t i t u d e   i s   d e t e r m i n e d   o r   e s t i m a t e d   u s i n g   o p t i m a l   c o m b i n a t i o n   o f   t w o   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   3 ,     D e c e m b e r   2 0 1 1   :     5 8 3     5 9 4   5 8 4 p o s i t i o n   s e n s o r s ,   w h e r e   t h e   a c c u r a c y   o f   t h e   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   c a n   b e   a n   i s s u e   i n   a t t i t u d e   c o n t r o l   [ 4 ] .     I n n o S A T   o r b i t s   t h e   E a r t h   i n   t h e   L o w   E a r t h   O r b i t   ( L E O )   a t   a l t i t u d e   a b o u t   6 8 0   k m   f r o m   t h e   E a r t h   w i t h   o r b i t   e c c e n t r i c i t y   1 e - 5   a n d   9 o   i n c l i n a t i o n   f r o m   t h e   e q u a t o r i a l   l i n e .     I n n o S A T   h a s   a l l o w a b l e   m a x i m u m   w e i g h t   a b o u t   3 k g   w i t h   d i m e n s i o n   1 0   c m   w i d t h ,   1 0   c m   l e n g t h ,   a n d   3 0   c m   h e i g h t .   T h e   a l l o w a b l e   m a x i m u m   p o w e r   c o n s u m p t i o n   o f   a l l   i n s t a l l e d   s u b - s y s t e m s   i s   l i m i t e d   o n l y   1 5   W a t t .   A   g r a p h i c a l   r e p r e s e n t a t i o n   o f   I n n o S A T   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   1 .           F i g u r e   1 .   I n n o S a t       A t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   m e t h o d s   h a v e   b e e n   s t u d i e d ,   d e v e l o p e d ,   u s e d   m a n y   t y p e s   o f   s e n s o r s   a n d   a p p l i e d   f o r   m a n y   t y p e s   o f   s a t e l l i t e s   f o r   t h e   r e c e n t   y e a r s   [ 5 ] ,   [ 6 ] ,   [ 7 ] .   T h e   u s e   o f   v a r i o u s   n u m b e r   N o r t h   s t a r   t r a c k e r   t o   d e t e r m i n e   a t t i t u d e   u s i n g   Q U E S T ,   E n h a n c e d   Q U E S T   a n d   f i r s t - o r d e r   K a l m a n   f i l t e r   h a v e   b e e n   i m p l e m e n t e d   i n   G O E S   s p a c e c r a f t   a n d   a n a l y z e d   t h e   a c c u r a c y   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   [ 8 ] .   T h e   a c c u r a c y   o f   E K F   f o r   e s t i m a t i n g   t h e   a t t i t u d e   u s i n g   s u n   s e n s o r   a n d   m a g n e t o m e t e r   h a s   b e e n   a n a l y z e d   f o r   A A U   C u b e s a t   a t   n o   e c l i p s e   a n d   i n t r o d u c e   a l b e d o   c o r r e c t i o n   [ 9 ] .   T h e   u s e   o f   o n l y   a   s t a r   t r a c k e r   b a s e d   v e c t o r   o b s e r v a t i o n   t o   d e t e r m i n e   a t t i t u d e   u s i n g   q - d a v e n p o r t ,   S V D ,   Q U E S T ,   E S O Q 1 ,   E S O Q 2 ,   a n d   F O A M   m e t h o d   h a s   b e e n   a n a l y z e d   f o r   t h e   a c c u r a c y   o f   p o i n t   t o   p o i n t   d a t a   a n d   t h e   e x e c u t i o n   t i m e   f o r   s m a l l   s a t e l l i t e   [ 1 0 ] .   T h e   s t u d e n t   s a t e l l i t e   n C u b e   u s e d   l i g h t   s e n s o r   ( L D R )   t o   e s t i m a t e   a t t i t u d e   u s i n g   E K F ,   L K F ,   a n d   D K F   a n d   p r o d u c e   s i g n i f i c a n t   a t t i t u d e   e r r o r   [ 1 1 ] .   T h e   s a t e l l i t e   H I T S A T - 1   u s e d   m a g n e t o m e t e r   a n d   g y r o   t o   e s t i m a t e   a t t i t u d e   u s i n g   E K F   a n d   a n a l y z e d   t h e   a c c u r a c y   f o r   t h e   a t t i t u d e   a n g l e   a n d   i t s   a n g u l a r   r a t e   [ 1 2 ] .   P i c o - S a t e l l i t e   U W E - 2   u s e d   s u n   s e n s o r   a n d   m a g n e t o m e t e r   a n d   c o m p l e m e n t e d   b y   G P S   t o   d e t e r m i n e   a t t i t u d e   u s i n g   T R I A D   a n d   E K F   [ 7 ] .   T h e   s i n g l e   p o i n t   o p t i m a l   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   m o d i f i e d   R o d r i g u e s   p a r a m e t e r   a p p r o a c h   h a s   b e e n   u s e d   a n d   a n a l y z e d   t h e   a c c u r a c y   a n d   t h e   s p e e d   o f   d e t e r m i n i s t i c   a p p r o a c h   [ 1 3 ] .   P r e v i o u s   s t u d y   o f   t h e   t h r e e - a x i s   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   f o r   L E O   s a t e l l i t e   u s i n g   o n l y   m a g n e t o m e t e r   m e a s u r e m e n t   i s   s u c c e s s f u l l y   p r e s e n t e d   i n   [ 1 4 ] ,   [ 1 5 ]   w h i c h   e s t i m a t e d   s m a l l   a t t i t u d e   a n d   r a t e   a n g l e   a n d   p r o d u c e   a c c e p t a b l e   a t t i t u d e   a n d   r a t e   e r r o r .     A   s i m i l a r   a p p r o a c h   w a s   p e r f o r m e d   f o r   L E O   E g y p t S a t - 2   u s i n g   o n l y   m a g n e t o m e t e r   m e a s u r e m e n t   a t   b i g   a t t i t u d e   a n g l e   ( i n   d e t u m b l i n g   m o d e )   w a s   p r e s e n t e d   i n   [ 1 6 ]   a n d   s h o w e d   t h a t   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   p r o d u c e d   q u i t e   b i g   a t t i t u d e   e r r o r .   F r o m   [ 1 7 ] ,   [ 1 8 ]   f o u n d   t h a t   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   o n l y   m a g n e t o m e t e r   m e a s u r e m e n t   d i d   n o t   p r o p e r l y   p r o v i d e   t h r e e - a x i s   a t t i t u d e   i n f o r m a t i o n ,   t h e r e f o r e   i t   r e q u i r e s   o t h e r   m e a s u r e m e n t   f r o m   d i f f e r e n t   s e n s o r   o r   a n o t h e r   m a g n e t o m e t e r   m e a s u r e m e n t .   B a s i c a l l y   t h e   p r o b l e m   o f   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   r i s e s   w h i l e   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   s y s t e m   ( A D S )   h a s   t o   e s t i m a t e   t h r e e - a x i s   a t t i t u d e / r a t e   s i m u l t a n e o u s l y   u s i n g   l i m i t e d   m e a s u r e m e n t   s e n s o r   [ 1 9 ] .     A f t e r   t h e   i n t e g r a t i o n   o f   a l l   s u b - s y s t e m s   i n   I n n o S A T   s t r u c t u r e ,   i t   w a s   f o u n d   t h a t   t h e   c e n t e r   o f   g r a v i t y   o f   t h e   s a t e l l i t e   w a s   n o t   c o i n c i d e d   w i t h   c e n t e r   o f   b o d y   a x i s   w h i c h   c a u s e d   m o m e n t   o f   i n e r t i a   c o u p l e d   e a c h   o t h e r .   T h e r e f o r e ,   t h e   a t t i t u d e   a n d   r a t e   o f   o n e   a x i s   a u t o m a t i c a l l y   a r e   a f f e c t e d   b y   o t h e r   a x i s .   B a s e d   o n   t h e   l i t e r a t u r e   r e v i e w   a n d   g e o m e t r y   o f   I n n o S A T ,   t h e   e f f o r t   o f   t h i s   p a p e r   i s   t o   d e v e l o p   l o w   c o s t   t h r e e - a x i s   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   c o m b i n a t i o n   o f   t w o   d i f f e r e n t   m e a s u r e m e n t   s e n s o r s   w h i c h   c a m e   f r o m   s u n   s e n s o r   a n d   m a g n e t o m e t e r   a t   b i g   a t t i t u d e   a n g l e   ( i n   d e t u m b l i n g   m o d e )   a n d   s l o w   a n g u l a r   r a t e   w i t h   c o u p l e d   m o m e n t   o f   I n e r t i a   o f   I n n o S A T .   T h e   a t t i t u d e   i s   d e t e r m i n e d   u s i n g   d e t e r m i n i s t i c   ( p o i n t - t o - p o i n t )   a p p r o a c h   a n d   r e c u r s i v e   a p p r o a c h   X Y Z Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D e t e r m i n i s t i c   a n d   R e c u r s i v e   A p p r o a c h   i n   A t t i t u d e   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o S A T   ( M .   F a d l y )   5 8 5   u s i n g   E x t e n d e d   K a l m a n   F i l t e r   ( E K F ) .   T h e   p a p e r   w i l l   e v a l u a t e   o n l y   t h e   a c c u r a c y   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   u s i n g   b o t h   m e t h o d s .   T h e   a c c u r a c y   o f   t h e   a t t i t u d e   i s   v e r y   i m p o r t a n t   b e c a u s e   t h e   e s t i m a t e d   a n g l e   w i l l   b e   u s e d   b y   a t t i t u d e   c o n t r o l   s y s t e m   ( A C S )   t o   s t a b i l i z e   t h e   s a t e l l i t e   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   i s   i n   d e t u m b l i n g   a n d   p o i n t i n g   m o d e .   A l t h o u g h   t h i s   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   w i l l   b e   u s e d   a s   s e c o n d a r y   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   b u t   t h e   a c c u r a c y   t h e   A D S   m u s t   m e e t   t h e   d e s i g n   r e q u i r e m e n t   o f   I n n o S A T .   I n e v i t a b l e ,   u s i n g   s u n   s e n s o r   a s   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   h a s   i n h e r e n t   w e a k n e s s e s ,   p a r t i c u l a r l y   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   e c l i p s e   a n d   a l b e d o   [ 1 7 ] .   T h e r e f o r e ,   t h e   p a p e r   e v a l u a t e s   t h e   a c c u r a c y   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   o f   b o t h   a p p r o a c h e s   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   t h e   e c l i p s e   a n d   n o   e c l i p s e   a n d   t r y   t o   f i n d   o u t   t h e   s t r a t e g y   t o   i m p l e m e n t   b o t h   a p p r o a c h e s   i n   A D S .   T h e   e f f e c t   o f   a l b e d o   w i l l   n o t   b e   e v a l u a t e d   i n   t h i s   p a p e r .   O n e   o f   t h e   E K F   a d v a n t a g e s   i s   a c c o m m o d a t i n g   n o n l i n e a r   d y n a m i c s   o f   a   s y s t e m   i n   i t s   a l g o r i t h m   t o   f o r e c a s t   n e x t   e s t i m a t e   a t t i t u d e .   E m b e d d i n g   n o n l i n e a r   d y n a m i c   i n t o   A D S   c o u l d   b u r d e n   t h e   p r o c e s s i n g   t i m e   o f   t h e   p r o c e s s o r   i n   A D S   e s p e c i a l l y   w h i l e   t h e   A D S   i s   r u n n i n g   i n   r e a l - t i m e .   T h e   a c c u r a c y   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   u s i n g   n o n l i n e a r   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   i n   E K F   a l g o r i t h m   a l s o   e v a l u a t e d   i n   t h i s   p a p e r .       2 .   R e s e a r c h   M e t h o d   2 . 1   M a t h e m a t i c a l   M o d e l   o f   I n n o S A T   E K F   m e t h o d   n e e d s   m a t h e m a t i c a l   m o d e l   o f   t h e   s y s t e m   t o   f o r e c a s t   n e x t   e s t i m a t e   a t t i t u d e .   M a t h e m a t i c a l   m o d e l   o f   I n n o S A T   c o n s i s t s   o f   t w o   m a i n   p a r t s ;   t h e   k i n e m a t i c   a n d   d y n a m i c   m o d e l   [ 2 0 ] .   T h e   k i n e m a t i c   m o d e l   d e s c r i b e s   t h e   o r i e n t a t i o n   o f   s a t e l l i t e s   i n   s p a c e   a n d   t h e   d y n a m i c   m o d e l   d e s c r i b e s   t h e   a t t i t u d e   o f   t h e   s a t e l l i t e   w i t h   r e s p e c t   t o   b o d y   o r   i n e r t i a l   f r a m e .   D u e   t o   s i n g u l a r i t y   p r o b l e m   f o r   h i g h   a n g l e   r o t a t i o n ,   k i n e m a t i c   a n d   d y n a m i c   m o d e l   o f   I n n o S A T   i s   r e p r e s e n t e d   i n   q u a t e r n i o n   [ 2 ] ,   [ 3 ] ,   [ 5 ] .   K i n e m a t i c   m o d e l   i s   r e p r e s e n t e d   a s   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   o f   q u a t e r n i o n   a n d   f o r m u l a t e d   a s ,       ( ) 1 2 q t q t = W W W W                     ( 1 )     w h e r e   0 0 0 0 z y x z x y y x z x y z w w w w w w w w w w w w - - = - - - - W W W W   a n d   0 1 2 3 T q q q q q =     T h e   ( ) 0 q t i s   r e a l   p a r t   a n d ( ) 1 : 3 q t   i s   c o m p l e x   n u m b e r   o f   q u a t e r n i o n   a n d   T b x y z o b w w w w =   i s   t h e   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   b o d y   w i t h   r e s p e c t   t o   o r b i t   f r a m e .   T h e   D y n a m i c   m o d e l   i n   q u a t e r n i o n   i s   d e r i v e d   f r o m   E u l e r s   m o m e n t   e q u a t i o n ,   w h e r e   a n g u l a r   m o m e n t   a c t i n g   o n   a   b o d y   a b o u t   i t s   c e n t e r   o f   m a s s   e q u a l s   t o   t h e   t i m e   r a t e   o f   c h a n g e   o f   i t s   a n g u l a r   m o m e n t u m .     S o ,   t h e   t o t a l   a n g u l a r   m o m e n t u m   v a r i a t i o n   o f   r o t a t i n g   b o d y   i s   e q u a l   t o   t h e   a p p l i e d   t o r q u e s   t o   t h e   b o d y   [ 5 ] ,   [ 2 1 ] .   T h e   d y n a m i c   m o d e l   o f   I n n o S A T   i s   f o r m u l a t e d   a s ,     ( ) ( ) ( ) ( ) b b b i b i b i b I t t t T t + ´ = & ω ω I ω               ( 2 )     w h e r e   I i s   t h e   s a t e l l i t e s   m o m e n t   o f   i n e r t i a , ( ) b i b t ω   i s   t h e   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   t h e   b o d y   f r a m e   w i t h   r e s p e c t   t o   i n e r t i a l   a n d   ( ) T t i s   e x t e r n a l   t o r q u e   a p p l i e d   t o   t h e   s a t e l l i t e .   T h e   ( ) b i b t ω i s   d e f i n e d   f r o m ,       b b b b b o i b o b i o o b o i o R = + = + ω ω ω ω ω               ( 3 )     w h e r e   b o b ω i s   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   b o d y   w i t h   r e s p e c t   t o   o r b i t , o io ω i s   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   o r b i t   w i t h   r e s p e c t   t o   i n e r t i a l ,   a n d   b o R i s   o r t h o g o n a l   r o t a t i o n   m a t r i x   f r o m   o r b i t   t o   b o d y   f r a m e .   T h e   a n g u l a r   a c c e l e r a t i o n ( ) b i b t & ω i s   d e r i v e d   f r o m   e q u a t i o n   ( 3 )   w i t h   r e s p e c t   t o   t i m e   b e c o m e s ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   3 ,     D e c e m b e r   2 0 1 1   :     5 8 3     5 9 4   5 8 6 ( ) b b b o b b b o i b o b o i o o b o b o i o R S R w = + = - & & & & ω ω ω ω ω             ( 4 )     T h e ( . ) S   i s   a   s k e w   s y m m e t r i c   o p e r a t o r .   D u e   t o   t h e   s a t e l l i t e   r o t a t e s   i n   d i r e c t i o n   c o u n t e r   c l o c k w i s e   w . r . t   E a r t h   C e n t r e   I n e r t i a l   ( E C I ) ,   t h e o i o ω c a n   b e   d e f i n e d   a s   0 0 o o i o w = - ω ,   a n d   o w i s   a n g u l a r   v e l o c i t y   o f   s a t e l l i t e   i n   i t s   o r b i t   w . r . t   E C I .   T h e   s a t e l l i t e   o r b i t   i n   L o w   E a r t h   O r b i t   ( L E O ) ,   t h e r e   t h e   e x t e r n a l   t o r q u e   c o m e s   f r o m   g r a v i t y   g r a d i e n t   t o r q u e .   F r o m   [ 2 ] ,   [ 3 ] ,   [ 2 1 ]   t h e   g r a v i t y   g r a d i e n t   t o r q u e   i s   d e f i n e d   a s ,         2 0 3 3 3 g c I c t w = ´                 ( 5 )     w h e r e   3 c i s   t h e   t h i r d   c o l u m n   o f   r o t a t i o n   m a t r i x   f r o m   o r b i t   t o   b o d y   f r a m e   ( b o R ) .   T h e   f o l l o w i n g   t o r q u e   c o m e s   f r o m   c o n t r o l   t o r q u e   a n d   f o r m u l a t e d   a s ,       ( ) b m o o b b b m B S m R B t = ´ =               ( 6 )     w h e r e   T x y z b m m m m = i s   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   w h i c h   i s   g e n e r a t e d   f r o m   t h r e e - a x i s   m a g n e t o r q u e r   a n d   T x y z b B B B B = i s   t h e   E a r t h   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   b o d y   f r a m e .   T h e   o t h e r   t o r q u e   c o m e s   f r o m   d i s t u r b a n c e   ( ) d T t w h i c h   c o m e s   f r o m   e x t e r i o r   a n d   i n t e r i o r   e l e m e n t s   o f   t h e   s a t e l l i t e .   F r o m   e q u a t i o n   ( 1 )   t o   ( 6 )   t h e   s a t e l l i t e   n o n l i n e a r   m o d e l   b e c o m e s ,       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 : 3 0 1 : 3 0 1 : 3 1 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 3 ( ) T b o b b b o b o b b b b b b b b b o b b o b o o b o o o d o b o q t t t q t I S q t t S c I c S c I c S m R B T t S c w w w w w w w w w - - = + - - - + + + - & & & q q ω I   ( 7 )     T h e   l i n e a r   m o d e l   c a n   b e   a c h i e v e d   b y   m a k i n g   J a c o b i a n   m a t r i x   o f   e q u a t i o n   ( 7 )   w i t h   r e s p e c t   t o   s t a t e   a n d   i n p u t   v e c t o r   a t   e q u i l i b r i u m   s t a t e .   T h e   s t a t e   f o r   l i n e a r   m o d e l   i s   d e f i n e d   a s 0 1 2 3 ( ) T x y z x t q q q q w w w = a n d   t h e   s t a t e   e q u i l i b r i u m   v a l u e s   a r e ( ) 1 0 0 0 0 0 0 T x t = .   T h e   d y n a m i c   m a t r i x   o f   l i n e a r   m o d e l   ( ( ) A t )   i s ,     ( ) ( ) ( ) 0 1 : 3 ( ) b o b x q t A t J q t ω t = & & &                 ( 8 )     T h e   i n p u t   v e c t o r   f o r   l i n e a r   m o d e l   i s   d e f i n e d   a s   ( ) x y z u t m m m =   a n d   i t s   e q u i l i b r i u m   v a l u e   i s   ( ) 0 0 0 u t = .   T h e   I n p u t   m a t r i x   o f   l i n e a r   m o d e l   ( ( ) B t )   i s ,     ( ) ( ) ( ) 0 1 : 3 ( ) b o b u t B t J t t = & & & q q ω                   ( 9 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D e t e r m i n i s t i c   a n d   R e c u r s i v e   A p p r o a c h   i n   A t t i t u d e   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o S A T   ( M .   F a d l y )   5 8 7   2 . 3   Q u a t e r n i o n   E s t i m a t i o n   M e t h o d   ( Q U E S T )   P o i n t - t o - p i n t   b a s e d   a t t i t u d e   e s t i m a t i o n   o f   q u a t e r n i o n   c a n   b e   d o n e   b y   s o l v i n g   W a h b a s   p r o b l e m .   T h e   p r o b l e m   i s   f o r m u l a t e d   a s   a n   e i g e n v e c t o r   p r o b l e m   a n d   d i r e c t l y   e s t i m a t e s   a n   o p t i m a l   a t t i t u d e   q u a t e r n i o n   b y   m i n i m i z i n g   W a h b a s   e q u a t i o n   [ 1 0 ] ,   [ 1 3 ] ,   [ 2 2 ] ,   [ 2 3 ] .   F o r   a   g i v e n   s e t   o f   2 n ³ o b s e r v a t i o n   v e c t o r ,   a   l o s s   f u n c t i o n   i s   f o r m u l a t e d   w h i c h   i s   k n o w n   a s   W a h b a s   p r o b l e m   a n d   g i v e n   b y ,       ( ) 2 1 1 2 n b b j j j b b j L R w R r = = - b               ( 1 0 )     w h e r e   j w   i s   w e i g h t   o f   t h e   t h j o b s e r v a t i o n   v e c t o r ,   j r i s   a   v e c t o r   i n   t h e   o r b i t   f r a m e   w i t h   r e s p e c t   t o   b o d y   f r a m e   j b .   E q u a t i o n   ( 1 0 )   i s   k n o w n   a s   l o s s   f u n c t i o n   w h i c h   i s   m i n i m i z e d   u s i n g   o r t h o g o n a l   p r o c r u s t e s   p r o b l e m   [ 8 ] ,   [ 1 3 ] ,   [ 2 2 ] ,   [ 2 3 ]   a n d   W a h b a s   l o s s   f u n c t i o n   c a n   b e   r e w r i t t e n   a s ,     ( ) ( ) 1 n b b T o j o j L R w t r a c e R B = = -               ( 1 1 )     w h e r e   B d e f i n e d   a s ,     1 n T j j j j B w b r = =                   ( 1 2 )     T h e   p r o b l e m   o f   e q u a t i o n   ( 1 1 )   i s   m i n i m i z e d   t h r o u g h   m a x i m i z i n g ( ) b T o t r a c e R B a n d   f i n d i n g   o p t i m a l   q u a t e r n i o n   t h a t   m a x i m i z e s   b i l i n e a r   f o r m   o f   e q u a t i o n   ( 1 0 )   a n d   R o d r i g u e s   f o r m u l a   [ 2 3 ] ,   t h e   g a i n   o f   l o s t   f u n c t i o n   b e c o m e s ,     ( ) ( ) b T o g R g q q K q = =                 ( 1 3 )     w h e r e   K   i s   4 x 4   m a t r i x   w h i c h   i s   e q u a l   t o ,     3 3 T x T B B t r B I Z K Z t r B + - =             ( 1 4 )     a n d     2 3 3 2 3 1 1 3 1 1 2 2 1 n j j j j B B Z w b r B B B B = - = ´ = - -               ( 1 5 )     T h e   o p t i m a l   q u a t e r n i o n   c a n   b e   d e t e r m i n e d   b y   n o r m a l i z i n g   e a c h   e i g e n   v a l u e   K w i t h   i t s   m a x i m u m   e i g e n   v a l u e   a s ,       m a x o p t o p t K q q l =                 ( 1 6 )     T h e   m a x i m u m   e i g e n   v a l u e   c a n   b e   c a l c u l a t e d   u s i n g   t h e   e q u a t i o n   w h i c h   w a s   d e f i n e d   i n   [ 9 ]   a n d   f o r m u l a t e d   a s ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   3 ,     D e c e m b e r   2 0 1 1   :     5 8 3     5 9 4   5 8 8 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m a x w w w w . . l = + + + ´ ´ b b r r b b r r         ( 1 7 )     T h e   o p t i m a l   q u a t e r n i o n   o p t q u s i n g   Q U E S T   i s   e s t i m a t e d   b y   a p p l y i n g   t h e   C a y l e y - H a m i l t o n   t h e o r e m   t o g e t h e r   w i t h   G i b b s   v e c t o r ,   w h e r e   G i b b s   v e c t o r   i s   s o l v e d   b y   t h e   t e c h n i q u e   o f   s e q u e n t i a l   r o t a t i o n   d u e   t o   a   s i n g u l a r i t y   c l o s e   t o   a n g l e   π   a s   s t a t e d   i n   [ 9 ] ,   [ 1 0 ] ,   [ 2 4 ] .   T h e   Q U E S T   o p t i m a l   a t t i t u d e   q u a t e r n i o n   i s   f o r m u l a t e d   a s ,     2 2 1 o p t x q x g g = +                 ( 1 8 )     w h e r e   g   a n d   x   a r e   g i v e n   b y ,     ( ) 2 2 m a x m a x ( ) ( ) ( ) d e t t r B t r a d j S t r B S g l l = - + + -           ( 1 9 )     ( ) 2 2 2 m a x m a x ( ) ( ) ( ) x t r B t r a d j S I t r B S S z l l = - + + + +         ( 2 0 )       2 . 4   E x t e n d e d   K a l m a n   F i l t e r   ( E K F )   E K F   c o n s i s t   o f   t w o   m a i n   p a r t s ;   t i m e   u p d a t e   a n d   m e a s u r e m e n t   u p d a t e   [ 2 5 ] ,   [ 2 6 ] .   T i m e   u p d a t e   i s   u s e d   t o   p r e d i c t   n e x t   e s t i m a t e   v a l u e   a n d   m e a s u r e m e n t   u p d a t e   i s   u s e d   t o   c o r r e c t   t h e   e r r o r .   A t t i t u d e   e s t i m a t i o n   u s i n g   E K F   i s   i n i t i a t e d   b y   d e s c r i b i n g   n o n - l i n e a r   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   o f   a   d y n a m i c   s y s t e m   [ 6 ] ,   [ 1 5 ] ,   [ 2 7 ] .   T h e   g e n e r a l   n o n l i n e a r   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   i s   d e f i n e d   a s ,     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , t f t t t t = + & x x u w               ( 2 1 )   ( ) k k k h = + z x v     w h e r e ( ) t w i s   p r o c e s s   n o i s e   w h i c h   i s   r e p r e s e n t e d   a s   G a u s s   w h i t e   n o i s e   a n d   k v i s   m e a s u r e m e n t   n o i s e   a n d   r e p r e s e n t e d   a s   G a u s s   w h i t e   n o i s e .   T h e   E K F   r e q u i r e s   d e r i v a t i o n   o f   n o n l i n e a r   d y n a m i c   t o   f o r e c a s t   t h e   n e x t   e s t i m a t i o n .   D u e   t o   E K F   i s   i n   d i s c r e t e ;   t h e   d e r i v e d   d y n a m i c   i s   c o n v e r t e d   u s i n g   d i s c r e t e   E u l e r   s e r i e s   [ 2 8 ]   b e c o m e s ,       ( ) ˆ , . k k k k k s k x x f x u I T x = » + F F F F               ( 2 2 )     w h e r e s T i s   s a m p l e   t i m e .   M e a s u r e m e n t   m a t r i x   i s   d e r i v e d   f r o m   r o t a t i o n   m a t r i x   f r o m   o r b i t   t o   b o d y   f r a m e   a n d   d e f i n e d   a s ,     [ ] 1 0 k i i i n H h h h + + = L               ( 2 3 )     w h e r e   e l e m e n t s   o f   t h e   m a t r i x   c o m e   f r o m   t h e   r e l a t i o n   o f   s e n s o r s   w i t h   d y n a m i c   o f   t h e   s y s t e m   a n d   d e f i n e d   a s ,     ( ) ( ) 1 1 b o k o k i , k i b o k o k i , k ˆ R q B ˆ q h ˆ R q S ˆ q + + =                 ( 2 4 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D e t e r m i n i s t i c   a n d   R e c u r s i v e   A p p r o a c h   i n   A t t i t u d e   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o S A T   ( M .   F a d l y )   5 8 9   w i t h   , ˆ i k q i s   t h e th i e s t i m a t e d   q u a t e r n i o n   a t   t i m e   k   a n d   1 k o B + i s   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   o r b i t   f r a m e   a t   t i m e   1 k + a n d   1 o k S + i s   s u n   v e c t o r   i n   o r b i t   f r a m e   a t   t i m e 1 k + . T h e   t i m e   u p d a t e   i s   p r o d u c e d   f r o m ,     1 ˆ k k k x x + = F F F F                   ( 2 5 )   1 T k k k k P P Q + = F F +                 ( 2 6 )     a n d   t h e   m e a s u r e m e n t   u p d a t e   i s   p r o d u c e d   f r o m ,       1 T T k k k k k k K P H H P H R - = +               ( 2 7 )   ( ) , m o d , ˆ ˆ ( ) b b o k k k m e a s k o k k x x K y R q y = + -             ( 2 8 )   [ ] [ ] T T k k k k k k k k P I K H P I K H K R K = - - +           ( 2 9 )     w h e r e k K i s   m a t r i x   o f   K a l m a n   g a i n ,   R i s   m e a s u r e m e n t   n o i s e   m a t r i x ,   k P i s   t h e   p r i o r i   e r r o r   c o v a r i a n c e   m a t r i x ,   a n d   1 k P + a n d k P a r e   p o s t e r i o r i   a n d   p r i o r i   o f   p r o p a g a t i o n   c o v a r i a n c e   e r r o r   m a t r i x   r e s p e c t i v e l y .   ˆ k x i s   t h e   e s t i m a t e d   s t a t e ,   k x   a n d   1 k + x a r e   p r i o r i   a n d   p o s t e r i o r i   o f   p r o p a g a t i o n   s t a t e   r e s p e c t i v e l y .     , b m e a s k y i s   m e a s u r e m e n t   o u t p u t   f r o m   s e n s o r s   a t   t i m e   k   a n d   m o d , b e l k y i s   o u t p u t   f r o m   m a t h e m a t i c a l   m o d e l   a t   t i m e k . T h e   e s t i m a t e   q u a t e r n i o n   a n d   a n g u l a r   v e l o c i t y   i s   p r o d u c e d   f r o m   e q u a t i o n   ( 2 8 )   w h i c h   c o n s i s t   o f ,       ˆ ˆ ˆ k k b o b q w = x                   ( 3 0 )       3 .   R e s u l t s   a n d   A n a l y s i s   A s   I n n o S A T   h a s   n o t   b e e n   l a u n c h e d   y e t ,   t h e   a c t u a l   m e a s u r e m e n t   d a t a   o f   s u n   s e n s o r s   a n d   t h e   e a r t h ' s   m a g n e t i c   f i e l d   c a n n o t   b e   o b t a i n e d   d i r e c t l y   f r o m   t h e   s a t e l l i t e .     I n   o r d e r   t o   p e r f o r m   f u n c t i o n a l   a n d   p e r f o r m a n c e   t e s t   o f   t h e   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   m e t h o d s   a n d   s o f t w a r e   t h e   s u n   s e n s o r   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   m e a s u r e m e n t   d a t a   a r e   p r o v i d e d   f r o m   S a t e l l i t e   T o o l s   K i t   ( S T K )   v e r .   6 . 2 1   ( 2 0 0 5 ) .   A s s u m e d   t h e   t h e r e   i s   n o   n o i s e   i n s e r t e d   i n   t h e   m e a s u r e m e n t   d a t a .   T h e   s i m u l a t i o n   i s   p e r f o r m e d   u s i n g   r e a l   g e o m e t r y   o f   I n n o S A T   a s   s h o w n   i n   T a b l e   1   a n d   i t s   i n i t i a l   p o s i t i o n   p l a n   i n   o r b i t   f o r m a t t e d   b y   N O R A D   i s   l i s t e d   a s   t w o   l i n e   e l e m e n t   ( T L E )   a s   s h o w n   i n   T a b l e   2 .         T a b l e   1 .   I n e r t i a l   p r o p e r t y   o f   I n n o S A T   P a r a m e t e r s   V a l u e s   U n i t s   x x I   3 2 7 1 6 5 1 6 . 6 4 e - 9   K g m 2   x y I   - 5 1 8 5 3 7 . 8 5 e - 9   K g m 2   x z I   - 2 7 7 4 . 9 1 e - 9   K g m 2   y y I   4 9 8 3 4 4 3 . 5 0 e - 9   K g m 2   y z I   2 8 2 0 3 3 . 1 7 e - 9   K g m 2   z z I   3 3 1 4 9 3 4 8 . 1 7 e - 9   K g m 2   c . g m X   1 . 0 2   m m   c . g m Y   0 . 7 6   m m   c . g m Z   - 2 . 4 0   m m     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   3 ,     D e c e m b e r   2 0 1 1   :     5 8 3     5 9 4   5 9 0 T a b l e   2 .   T L E   d a t a   o f   I n n o S A T   I N N O S A T   1   9 9 9 9 1 U   0 5 0 9 1 s       0 8 3 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0     . 0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 0 0 0 - 0     0 0 0 0 0 - 0   0   0 0 0 0 0   2   9 9 9 9 1   0 0 9 . 0 0 0 0   0 0 0 . 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 1   0 0 0 . 0 0 0 0   0 0 0 . 0 0 0 0   1 4 . 6 2 5 3 4 5 1 2 0 0 0 0 0 8       T h e   S T K   s c e n a r i o   s i m u l a t e s   I n n o S A T   a t t i t u d e   i n   t w o   r e v o l u t i o n s   o r b i t   w i t h   o n e   s e c o n d   o f   s a m p l e   t i m e   t o   s y n c h r o n i z e   t h e   s a m p l i n g   t i m e   o f   t h e   c o n t r o l l e r .   T h e   s i m u l a t i o n   g e n e r a t e s   s u n   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   b o d y   a n d   o r b i t   f r a m e   a s   w e l l   a s   i t s   a t t i t u d e   a n d   a n g u l a r   v e l o c i t y   i n   b o d y   f r a m e .   T h e   a t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   c a l c u l a t i o n   b e g i n s   f r o m   t h e   e x t r a c t i o n   a n d   d e c i p h e r i n g   o f   o r b i t a l   e l e m e n t s   f r o m   T L E   ( i n   T a b l e   ) .   T h e   e x t r a c t e d   o r b i t a l   d a t a   w i l l   b e   u s e d   b y   K e p l e r   m o d e l   t o   p r o d u c e   s a t e l l i t e   p o s i t i o n   v e c t o r   i n   E C I   f r a m e   [ 9 ] ,   [ 2 3 ] .   T h e   E C I   v e c t o r   i s   a   b a s i s   t o   d e t e r m i n e   s u n   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   b y   u s i n g   s u n   m o d e l   a n d   I n t e r n a t i o n a l   G e o m a g n e t i c   R e f e r e n c e   F i e l d   m o d e l   ( I G R F )   r e s p e c t i v e l y .   T h e   s u n   m o d e l   p r o d u c e s   s u n   v e c t o r   i n   E C I   f r a m e   a n d   I G R F   m o d e l   p r o d u c e s   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   E C I   f r a m e .   I n   t h i s   p a p e r   t h e   o r b i t   f r a m e   i s   c h o s e n   a s   a   r e f e r e n c e   a t t i t u d e   a n d   t h e   b o d y   f r a m e   a s   o u t p u t   a t t i t u d e .   T h e   v e c t o r   o f   s u n   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   i n   o r b i t   f r a m e   i s   p r o d u c e d   b y   t r a n s f o r m i n g   t h e   v e c t o r s   i n   E C I   f r a m e   u s i n g   r o t a t i o n   m a t r i x   f r o m   E C I   t o   o r b i t   f r a m e   [ 2 3 ] .   T h e   v e c t o r   o f   s u n   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   i n   b o d y   f r a m e   i s   o b t a i n e d   f r o m   m e a s u r e m e n t   o f   s e n s o r s   ( i n   t h i s   p a p e r   i t   i s   p r o v i d e d   b y   S T K   s o f t w a r e ) .   A t t i t u d e   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   Q U E S T   b e g i n s   b y   c r e a t i n g   B   m a t r i x   i n   e q u a t i o n   ( 1 2 )   w h i c h   c o n s i s t s   o f   s u n   a n d   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   o r b i t   a n d   b o d y   f r a m e   a s ,       b o b o B S S B B = × + ×               ( 3 1 )     w h e r e   b S i s   s u n   v e c t o r   i n   b o d y   f r a m e   a n d o S i s   s u n   v e c t o r   i n   o r b i t   f r a m e .   b B   i s   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   b o d y   f r a m e   a n d   o B i s   m a g n e t i c   f i e l d   v e c t o r   i n   o r b i t   f r a m e .   T h e   Z m a t r i x   i s   b u i l t   f r o m   B   m a t r i x   u s i n g   e q u a t i o n   ( 1 5 )   t o   f o r m   K   m a t r i x   u s i n g   e q u a t i o n   ( 1 6 ) .   T h e   m a x i m u m   e i g e n   v a l u e   o f   K   m a t r i x   i s   c a l c u l a t e d   u s i n g   e q u a t i o n   ( 1 7 ) .   T h e   o p t i m a l   a t t i t u d e   q u a t e r n i o n   u s i n g   Q U E S T   i s   p r o d u c e d   b y   c a l c u l a t i n g   e q u a t i o n   ( 1 8 ) .   T h e   E K F   e s t i m a t e s   t h e   a t t i t u d e   b y   p e r f o r m i n g   t i m e   a n d   m e a s u r e m e n t   u p d a t e   b a s e d   o n   r e f e r e n c e   v e c t o r s ,   m e a s u r e m e n t   v e c t o r s ,   a n d   n o n l i n e a r   d y n a m i c   r e c u r s i v e l y .   T h e   p r o c e s s   o f   s t a t e   e s t i m a t i o n   u s i n g   E K F   i s   d e s c r i b e d   b y   t h e   f o l l o w i n g   s t e p s :   1 .   C h o o s e   a r b i t r a r y   i n i t i a l   v a l u e   f o r   e s t i m a t e   a n d   c o n j u g a t e   s t a t e   ( ˆ ( 0 ) ( 0 ) x k x k = = = ) .   I n   t h i s   p a p e r   s t a t e   i n i t i a l   v a l u e   o f   e s t i m a t e   a n d   c o n j u g a t e   s t a t e   i s   c h o s e n   f r o m   i n i t i a l   t r u e   a t t i t u d e   ( d a t a   f r o m   S T K   s i m u l a t i o n   a t   t = 0 ) .   T h e   v a l u e s   a r e ,   [ ] ˆ ( 0 ) ( 0 ) 0 . 4 5 6 5 0 . 5 3 9 6 0 . 4 5 5 7 0 . 5 4 1 1 0 . 0 0 0 7 - 0 . 0 6 1 0 x x = =   2 .   C a l c u l a t e   m e a s u r e m e n t   m a t r i x   , 6 3 ˆ ( ) 0 k i k H h q ´ = i n   e q u a t i o n   ( 2 3 ) .   3 .   C a l c u l a t e   K a l m a n   g a i n   u s i n g   e q u a t i o n   ( 2 7 )   b y   g i v i n g   i n i t i a l   v a l u e   o f   e r r o r   c o v a r i a n c e   a n d   m e a s u r e m e n t   m a t r i x   a s   l i s t e d   i n   T a b l e   3 .   4 .   U p d a t e   n e w   e s t i m a t e d   s t a t e   u s i n g   e q u a t i o n   ( 2 8 ) .   5 .   U p d a t e   c o v a r i a n c e   m a t r i x   P a n d   c o v a r i a n c e   m a t r i x   p r o p a g a t i o n   P u s i n g   e q u a t i o n   ( 2 9 )   a n d   ( 2 6 )   r e s p e c t i v e l y .   6 .   U p d a t e   n e w   s t a t e   p r o p a g a t i o n   v a l u e   u s i n g   e q u a t i o n   ( 2 5 ) .   7 .   C o n t i n u e   t h e   p r o c e s s   i n   s t e p   2   t h r o u g h   7   u n t i l   l a s t   n u m b e r   o f   d a t a .       T a b l e   3 .   I n i t i a l   v a l u e s   o f   e r r o r   c o v a r i a n c e   a n d   m e a s u r e m e n t   m a t r i x   P a r a m e t e r s   V a l u e s   P P =   P 0 = d i a g ( 1 e - 3   1 e - 3   1 e - 3   1 e - 3   1 e - 3   1 e - 3   1 e - 3 )   Q   Q = d i a g ( 6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1   6 . 2 5 e - 1 )     R   R = d i a g ( 8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4   8 . 5 e - 4 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       D e t e r m i n i s t i c   a n d   R e c u r s i v e   A p p r o a c h   i n   A t t i t u d e   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n n o S A T   ( M .   F a d l y )   5 9 1   I n   o r d e r   t o   s e e   p h y s i c a l   a t t i t u d e   v a l u e   o f   t h e   s a t e l l i t e ,   t h e   o p t i m a l   a t t i t u d e   i n   q u a t e r n i o n   i s   c o n v e r t e d   t o   E u l e r   a n d   r e p r e s e n t e d   i n   t h e   f i g u r e s   b e l o w .       F i g u r e   2 .   E s t i m a t e d   Y a w ( ) y a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   n o n l i n e a r   d y n a m i c   E K F       F i g u r e   3 .   E s t i m a t e d   Y a w ( ) y a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   E K F       F i g u r e   4 .   E s t i m a t e d   R o l l ( ) f   a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   n o n l i n e a r   d y n a m i c   E K F       F i g u r e   5 .   E s t i m a t e d   R o l l ( ) f   a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   E K F         F i g u r e   6 .   E s t i m a t e d   P i t c h ( ) q   a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   n o n l i n e a r   d y n a m i c   E K F       F i g u r e   7 .   E s t i m a t e d   P i t c h   ( ) q   a t t i t u d e   a n d   e r r o r   u s i n g   Q U E S T   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   E K F     0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   y y ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e y s t k y q u e s t y e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   y y ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e y s t k y q u e s t y e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   f f ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e f s t k f q u e s t f e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   f f ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e f s t k f q u e s t f e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   q q ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e q s t k q q u e s t q e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 4 0 0 - 2 0 0 0 2 0 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 E s t i m a t e d   E u l e r   A n g l e   q q ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e q s t k q q u e s t q e k f 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 - 4 0 0 - 2 0 0 0 2 0 0 t i m e ( s ) E r r o r ( d e g )     e c l i p s e e c l i p s e e c l i p s e e r r q u e s t e r r e k f Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   9 ,   N o .   3 ,     D e c e m b e r   2 0 1 1   :     5 8 3     5 9 4   5 9 2 F i g u r e   2   u n t i l   7   s h o w n   t h e   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   r e s p e c t i v e l y   i n   y a w ( ) y ,   r o l l ( ) f a n d   p i t c h ( ) q a n g l e   o f   I n n o S A T   u s i n g   Q U E S T ,   n o n l i n e a r   d y n a m i c   E K F   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   E K F   a s   w e l l   a s   e r r o r s   b e t w e e n   t h e   t r u e   a n d   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   f o r   t w o   r e v o l u t i o n s   o r b i t .   T h e   f i g u r e s   a l s o   r e p r e s e n t   t h e   e s t i m a t e d   a t t i t u d e s   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   e c l i p s e .   T h e   e c l i p s e   p o s i t i o n   i s   c a l c u l a t e d   b a s e d   o n   s a t e l l i t e s   r a n g e   f r o m   s u n   a n d   e a r t h   a s   e x p l a i n e d   i n   [ 2 3 ]   a n d   h a s   b e e n   m o d i f i e d   f o r   I n n o S A T   a p p l i c a t i o n   a n d   t h e   e q u a t i o n   i s   g i v e n   b y ,     ( ) ( ) ( ) 2 s s e E C I E C I E C I s e e E C I E C I E C I m e a n s e E C I E C I R R R R R R r R R - - - + < -   a n d   ( ) s e s E C I E C I E C I R R R - >     ( 3 2 )       D u r i n g   e c l i p s e ,   s u n   s e n s o r   c a n n o t   m e a s u r e   t h e   p r o p e r   p o s i t i o n   o f   t h e   s u n   t h a t   c a u s e s   t h e   Q U E S T   u n a b l e   t o   e s t i m a t e   t h e   t r u e   a t t i t u d e   p r o p e r l y .   B u t   f o r   t h e   E K F ,   t h e   s u n   v e c t o r   i n   b o d y   a x i s   c a n   b e   o b t a i n e d   f r o m   s u n   m o d e l   b y   t r a n s f o r m i n g   t h e   s u n   v e c t o r   i n   E C I   t o   b o d y   f r a m e .   T a b l e   4   r e p r e s e n t s   t h e   a c c u r a c y   a n a l y s i s   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   u s i n g   Q U E S T ,   n o n l i n e a r   d y n a m i c   E K F ,   a n d   l i n e a r   d y n a m i c   E K F   o n l y   d u r i n g   n o   e c l i p s e .   T h e   t a b l e   s h o w s   m a x i m u m   e r r o r ,   m e a n   e r r o r ,   m a x i m u m   m e a n   s q u a r e   e r r o r   a n d   e r r o r   s t a n d a r d   d e v i a t i o n   o f   e a c h   e s t i m a t e d   v a l u e .   T h e   t a b l e   s h o w s   t h a t   t h e   l a r g e s t   e r r o r   o f   a t t i t u d e   Y a w   c o m i n g   f r o m   Q U E S T ,   t h e   R o l l   c o m i n g   f r o m   E K F ,   a n d   P i t c h   c o m i n g   f r o m   E K F .   T h e   l a r g e s t   m e a n   e r r o r   o f   a t t i t u d e   Y a w   i s   c o m i n g   f r o m   E K F ,   t h e   R o l l   c o m i n g   f r o m   E K F ,   a n d   p i t c h   c o m i n g   f r o m   E K F .   S o ,   f r o m   o v e r a l l   a c c u r a c y   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e ,   Q U E S T   g a v e   b e t t e r   a c c u r a c y   t h a n   E K F .   B u t   t h e   m o s t   i m p o r t a n t   i s   t h a t   b o t h   a p p r o a c h e s   f u l f i l l   t h e   d e s i g n   r e q u i r e m e n t   o f   I n n o S A T   [ 2 9 ] .         T a b l e   4 .   A c c u r a c y   a n a l y s i s   o f   e s t i m a t e d   a t t i t u d e   w i t h o u t   e c l i p s e   M e t h o d s   M a x   E r r o r   ( d e g )   M e a n   E r r o r   ( d e g )   M a x   M e a n   S q u a r e   e r r o r   S t d   e r r o r   Q U E S T ,   Y a w   4 . 8 3 8   - 0 . 1 0 0   5 . 1 1 9   2 . 2 6 1   Q U E S T ,   R o l l   1 . 0 1 0   - 0 . 3 2 6   0 . 5 1 7   0 . 6 4 0   Q U E S T ,   P i t c h   0 . 9 3 0   0 . 3 2 7   8 . 5 2 6   2 . 9 0 2   E K F ,   Y a w   4 . 4 3 5   - 0 . 2 4 3   4 . 5 6 9   2 . 1 2 4   E K F ,   R o l l   3 . 1 6 3   0 . 4 8 9   1 . 7 8 6   1 . 2 4 4   E K F ,   P i t c h   3 . 6 2 5   1 . 0 6 1   2 . 7 4 5   1 . 2 7 2       T a b l e   5 .   A c c u r a c y   a n a l y s i s   o f   E K F   f o r   n o n l i n e a r   a n d   l i n e a r   m o d e l   w i t h o u t   e c l i p s e   M e t h o d s   M a x   E r r o r   ( d e g )   M e a n   E r r o r   ( d e g )   M a x   M e a n   S q u a r e   e r r o r   S t d   e r r o r   E K F ,   Y a w   4 . 4 3 5   - 0 . 2 4 3   4 . 5 6 9   2 . 1 2 4   E K F ,   R o l l   3 . 1 6 3   0 . 4 8 9   1 . 7 8 6   1 . 2 4 4   E K F ,   P i t c h   3 . 6 2 5   1 . 0 6 1   2 . 7 4 5   1 . 2 7 2   K a l m a n ,   Y a w   4 . 4 3 5   - 0 . 3 1 5   4 . 4 1   2 . 0 7 7   K a l m a n ,   R o l l   3 . 1 6 8   0 . 4 8 1   1 . 7 5 4   1 . 2 3 4   K a l m a n ,   P i t c h   3 . 6 2 5   1 . 0 5 6   2 . 7 3 2   1 . 2 7 1       F r o m   t h e   F i g u r e   2   u n t i l   7   s h o w   t h a t   E K F   p r o d u c e s   v e r y   b i g   a t t i t u d e   e r r o r   a t   t h e   b e g i n n i n g   o f   t h e   i t e r a t i o n   a n d   n e e d   a b o u t   4 0 0   s e c o n d s   ( s a m p l e s   o f   d a t a )   t o   p r o d u c e   p r o p e r   e s t i m a t e d   v a l u e   c o m p a r e d   w i t h   Q U E S T   t h a t   j u s t   n e e d   a b o u t   3   s e c o n d s   ( 3   s a m p l e s   o f   d a t a ) .   T a b l e   5   r e p r e s e n t s   t h e   c o m p a r i s o n   t h e   a c c u r a c y   o f   E K F   u s i n g   n o n l i n e a r   a n d   l i n e a r   m o d e l   w i t h o u t   e c l i p s e .   T h e   t a b l e   s h o w s   t h a t   t h e   a c c u r a c y   o f   n o n l i n e a r   m o d e l   w h i c h   o u t p e r f o r m s   t h e   l i n e a r   m o d e l   b u t   d o e s   n o t   p r o v i d e   s i g n i f i c a n t   v a l u e   o f   t h e   a c c u r a c y   b e t w e e n   b o t h .   T h e   Q U E S T   g a v e   b e t t e r   a c c u r a c y   t h a n   E K F   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   n o   e c l i p s e   b u t   Q U E S T   g a v e   w o r s t   a c c u r a c y   w h i l e   t h e   s a t e l l i t e   e x p e r i e n c i n g   t h e   e c l i p s e .   T h e   p r o b l e m   i s   h o w   t o   s w i t c h   t h e   e s t i m a t e d   v a l u e   f r o m   Q U E S T   t o   E K F   o r   v i c e   v e r s a .   T h e   s w i t c h i n g   f r o m   Q U E S T   t o   E K F   o r   o t h e r w i s e   c o u l d   p o s s i b i l i t y   i n t r o d u c e   s o m e   p r o b l e m   f o r   a t t i t u d e   c o n t r o l .     F i g u r e   8   s h o w s   a   z o o m e d   v i e w   o f   e s t i m a t e d   Y A W   t h a t   c a p t u r e d   f r o m   F i g u r e   2   a t   t h e   t r a n s i t i o n   a r e a   b e f o r e   a n d   u n t i l   e c l i p s e .   I t   c a n   b e   s e e n   t h a t   t h e   e r r o r   o f   Q U E S T   a t t i t u d e   e n l a r g e s   d r a s t i c a l l y   i n   a   s h o r t   a m o u n t   o f   t i m e   w h e n   t h e   s a t e l l i t e   s t a r t s   t o   e n t e r   t h e   e c l i p s e .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.