T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 1 ,   M a r c h   2 0 1 2 ,   p p .   1 4 7 ~ 1 5 4   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           1 4 7       R e c e i v e d   S e p t e m b e r   8 th ,   2 0 1 1 ;   R e v i s e d   N o v e m b e r   2 5 th ,   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   J a n u a r y   9 th ,   2 0 1 2   C o m p r e s s e d   S e n s i n g   f o r   T h o r a c i c   M R I   w i t h   P a r t i a l   R a n d o m   C i r c u l a n t   M a t r i c e s       W i n d r a   S w a s t i k a 1 ,   H i d e a k i   H a n e i s h i 2   1 I n f o r m a t i c s   En g i n e e r i n g   S t u d y   Pr o g r a m ,   M a   C h u n g   U n i v e r s i t y ,   M a l a n g ,   I n d o n e s i a   Vi l l a   P u n c a k   T i d a r   N / 0 1 ,   M a l a n g ,   Ph o n e :   + 6 2 - 3 4 1 - 5 5 0 1 7 1   2 R e s e a r c h   C e n t e r   f o r   F r o n t i e r   M e d i c a l   En g i n e e r i n g ,   C h i b a   U n i v e r s i t y ,   C h i b a ,   J a p a n   1 - 3 3 ,   Y a y o i - c h o ,   I n a g e - k u ,   C h i b a   2 6 3 - 8 5 2 2   e - m a i l :   w i n d r a . s w a s t i k a @ m a c h u n g . a c . i d       A b s t r a k   Pe n g g u n a a n   m a t r i k s   s i r k u l a n   s e b a g a i   m a t r i k s   p e n g i n d e r a   p a d a   s k e m a   p e n g i n d e r a a n   k o m p r e s i f     ( C S)   t e l a h   b a n y a k   d i g u n a k a n   u n t u k   m e n g a t a s i   k e t e r b a t a s a n   m a t r i k s   r a n d o m   a t a u   F o u r i e r   p a r s i a l .   D i s a m p i n g   m e n g u r a n g i   k o m p l e k s i t a s   k o m p u t a s i ,   p e n g g u n a k a n   m a t r i k s   s i r k u l a n   u n t u k   c i t r a   m a g n e t i c   r e s o n a n c e   ( M R )   d a p a t   m e m p e r m u d a h   i m p l e m e n t a s i   p e r a n g k a t   k e r a s .   P a d a   m a k a l a h   i n i   d i j a b a r k a n   t e n t a n g   s i m u l a s i   p e n g i n d e r a a n   k o m p r e s i f   u n t u k   c i t r a   M R   p a d a   o r g a n   p e r n a f a s a n   m e n g g u n a k a n   m a t r i k s   s i r k u l a n   s e b a g a i   m a t r i k s   p e n g i n d e r a .   R e k o n s t r u k s i   d a r i   t i g a   j e n i s   c i t r a   M R   d i b a n d i n g k a n   b e r d a s a r k a n   j u m l a h   s a m p l e ,   j u m l a h   i t e r a s i ,   d a n   k u a l i t a s   r e k o n s t r u k s i   m e n g g u n a k a n   s i g n a l   t o   n o i s e   r a t i o   ( SN R ) .   D a r i   h a s i l   s i m u l a s i   m e n u n j u k k a n   b a h w a   m a t r i k s   s i r k u l a n   d a p a t   d i f u n g s i k a n   d e n g a n   e i f i s i e n   u n t u k   m e r e k o n s t r u k s i   c i t r a   M R ,   k h u s u s n y a   u n t u k   c i t r a   M R   y a n g   t i p i s   p a d a   k a w a s a n   s p a s i a l .     K a t a   k u n c i :   p e n g i n d e r a a n   k o m p r e s i f ,   c i t r a   M R ,   o r g a n   p e r n a f a s a n ,   m a t r i k s   c i r c u l a n t       A b s t r a c t   T h e   u s e   o f   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   t h e   s e n s i n g   m a t r i x   i n   c o m p r e s s e d   s e n s i n g   ( C S)   s c h e m e   h a s   r e c e n t l y   b e e n   p r o p o s e d   t o   o v e r c o m e   t h e   l i m i t a t i o n   o f   r a n d o m   o r   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i c e s .   A s i d e   f r o m   r e d u c i n g   c o m p u t a t i o n a l   c o m p l e x i t y ,   t h e   u s e   o f   c i r c u l a n t   m a t r i x   f o r   m a g n e t i c   r e s o n a n c e   ( M R )   i m a g e   o f f e r s   t h e   f e a s i b i l i t y   i n   h a r d w a r e   i m p l e m e n t a t i o n s .   T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   t h e   s i m u l a t i o n   o f   c o m p r e s s e d   s e n s i n g   f o r   t h o r a c i c   M R   i m a g i n g   w i t h   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   t h e   s e n s i n g   m a t r i x .   T h e   c o m p a r i s o n s   o f   r e c o n s t r u c t i o n   o f   t h r e e   d i f f e r e n t   t y p e   M R   i m a g e s   u s i n g   c i r c u l a n t   m a t r i x   a r e   i n v e s t i g a t e d   i n   t e r m   o f   n u m b e r   o f   s a m p l e s ,   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n   a n d   s i g n a l   t o   n o i s e   r a t i o   ( SN R ) .   T h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   s h o w e d   t h a t   c i r c u l a n t   m a t r i x   w o r k s   e f f i c i e n t l y   f o r   e n c o d i n g   t h e   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n ,   e s p e c i a l l y   f o r   s m o o t h   a n d   s p a r s e   i m a g e   i n   s p a t i a l   d o m a i n .       K e y w o r d s :   c o m p r e s s i v e   s e n s i n g ,   M R   i m a g e ,   r e s p i r a t o r y   o r g a n ,   c i r c u l a n t   m a t r i x         1 .     I n t r o d u c t i o n   M a g n e t i c   r e s o n a n c e   i m a g i n g   ( M R I )   i s   o n e   o f   t h e   a l t e r n a t i v e s   f o r   i n t r a - c a r d i a c   v i s u a l i z a t i o n .   C o m p a r e d   w i t h   o t h e r   i m a g i n g   m o d a l i t i e s   s u c h   c o m p u t e d   t o m o g r a p h y   ( C T ) ,   M R I   i s   r e l a t i v e l y   s a f e   s i n c e   i t   d o e s   n o t   u s i n g   i o n i z i n g   r a d i a t i o n   ( x - r a y s ) .   I t   i s   a l s o   a b l e   t o   o b t a i n   s e q u e n t i a l   2 D   s l i c e s   o r   3 D   v o l u m e s   w i t h   h i g h   s p a t i o - t e m p o r a l   r e s o l u t i o n .   D e s p i t e   a l l   t h e   a d v a n t a g e s   o f   M R I ,   s o m e   m a j o r   p r o b l e m s   a r e   i n e v i t a b l e .   S o m e   i s s u e s   a n d   p r o b l e m s   o f   b r a i n   M R I   s u c h   a s   s e g m e n t a t i o n ,   l o c a l i z a t i o n ,   c o r r e c t i o n ,   a n d   c l a s s i f i c a t i o n   a r e   d i s c u s s e d   i n   [ 1 ] .   L o n g   s c a n   t i m e   i n   d a t a   a c q u i s i t i o n   i s   a l s o   f o u n d   t o   b e   a   m a j o r   p r o b l e m   i n   M R I ,   e s p e c i a l l y   t o   c a p t u r e   t h o r a c i c   o r   r e s p i r a t o r y   o r g a n .     T h o r a c i c   M R   i m a g e   p r o v i d e s   r e p r e s e n t a t i o n   o f   h e a r t ,   v a l v e s   a n d   m a j o r   v e s s e l s   a n a t o m y   a n d   f u n c t i o n .   I t   i s   a l s o   u s e f u l   t o   d i a g n o s e   a n y   c a r d i o v a s c u l a r   p r o b l e m s .   I d e a l l y ,   p h y s i c i a n s   w a n t   t o   b e   a b l e   t o   o b s e r v e   r e a l - t i m e   m o t i o n   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n .   U n f o r t u n a t e l y ,   i t   i s   i m p o s s i b l e   t o   g e t   r e a l - t i m e   m o t i o n   u s i n g   c u r r e n t   M R   s c a n n e r .   M o r e o v e r ,   a c q u i r i n g   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   c a n   l e a d   t o   q u a l i t y   i m a g e   d e g r a d a t i o n   d u e   t o   t h e   m o t i o n   d u r i n g   i n h a l e   a n d   e x h a l e   o f   t h e   p a t i e n t .   B r e a t h   h o l d i n g   d u r i n g   a c q u i s i t i o n   i s   o n e   o f   t h e   m e t h o d s   t o   r e d u c e   i m a g e   a r t i f a c t .   A n   o v e r v i e w   o f   r e d u c i n g   m o t i o n   a r t i f a c t s   p r i n c i p l e s   s u c h   a s   r e t r o s p e c t i v e   g a t i n g   o r   p r o j e c t i o n   r e c o n s t r u c t i o n   w e r e   d i s c u s s e d   i n   [ 4 ] .   H a r d w a r e   b a s e d   a p p r o a c h   t o   r e d u c e   i m a g i n g   t i m e   u s i n g   p a r a l l e l   d a t a   a c q u i s i t i o n   ( P - M R I )   m e t h o d   i s   p r o p o s e d   i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h   2 0 1 2   :     1 4 7     1 5 4   1 4 8 [ 6 ] .   C l e a r l y ,   t h e   n e e d s   t o   r e d u c e   i m a g i n g   t i m e   w h i c h   y i e l d s   h i g h   q u a l i t y   i m a g e   i s   t h e   h o l y   g r a i l   i n   M R   i m a g i n g   t e c h n o l o g y .     C o m p r e s s e d   S e n s i n g   ( C S )   i s   a   r e l a t i v e l y   n e w   m e t h o d   i n t r o d u c e d   b y   D o n o h o   a n d   C a n d e s   [ 2 - 3 ]   a n d   e x p e c t e d   t o   a n s w e r   o n e   o f   t h e   i s s u e   i n   M R   i m a g e   a c q u i s i t i o n ,   f a s t   i m a g i n g   t i m e   a c q u i s i t i o n   w i t h o u t   l o s i n g   i t s   q u a l i t y .   I t   i s   b u i l t   u p o n   t h e   f a c t   t h a t   a   s i g n a l   ( i m a g e )   h a s   a   s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n   i n   a   p r i o r i   k n o w n   b a s i s   ( o r   c o m p r e s s i b l e ) .   A   s i g n a l   ū   w i t h   l e n g t h   n   c a n   b e   t r a n s f o r m e d   u s i n g   a n   o r t h o g o n a l   b a s i s   Ψ   ( e . g .   F o u r i e r   o r   W a v e l e t   b a s i s )   s u c h   t h a t   Ψ .   =   ̅ .   H e r e   ̅   c a n   b e   s e e n   a s   a   s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n   o f   s i g n a l   ,   a n d   i t   h a s   k   n u m b e r s   o f   n o n z e r o s   ( k - s p a r s e ) ,   w h e r e   k   <   n .   O n c e   k n o w n   t h a t   v e c t o r   ̅   i s   s p a r s e   o r   c o m p r e s s i b l e ,   i t   c a n   b e   c o m p r e s s e d   b y   p r o j e c t i n g   i t   o n t o   a   m e a s u r e m e n t   m a t r i x   ( Φ ) .   M a t r i x   Φ   i s   a n   m   x   n   m a t r i x   w h e r e   t h e   n u m b e r   o f   i t s   r o w   i s   m u c h   s m a l l e r   t h a n   t h e   s i z e   o f   t h e   s i g n a l   ( m   < <   n ) .   T h e   p r o j e c t i o n   i s   s i m p l y   t h e   i n n e r   p r o d u c t   o f   Φ   a n d   v e c t o r     ( y = Φ ) .   S i n c e   m   < <   n ,   t h e   e q u a t i o n   y   =   Φ   l e a d s   t o   a n   i l l - p o s e d   p r o b l e m   ( u n d e r d e t e r m i n e d   s y s t e m )   a n d   i t   i s   i m p o s s i b l e   t o   r e c o v e r     ( s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n   o f   o r i g i n a l   s i g n a l   ̅ )   f r o m   y .   H o w e v e r ,   t h e   s p a r s i t y   o f     c h a n g e s   t h e   i m p o s s i b l e   r e c o v e r y   i n t o   a   p e r f e c t   r e c o v e r y   o f     .   A n o t h e r   c o n d i t i o n   n e e d s   t o   b e   s a t i s f i e d   t o   r e c o n s t r u c t     f r o m   y   i s   r e s t r i c t e d   i s o m e t r y   p r o p e r t y   ( R I P )   o f   m a t r i x   Φ   w h i c h   i s   o b e y e d   b y   m a n y   t y p e s   o f   m a t r i c e s   ( e . g   R a n d o m   G a u s s i a n ,   B e r n o u l l i ,   P a r t i a l   F o u r i e r   M a t r i c e s )   [ 7 ] .   T h e   r e c o n s t r u c t i o n   p r o c e s s   c a n   b e   d o n e   b y   g r e e d y   m e t h o d   ( f a s t ,   b u t   r e q u i r e s   m o r e   m e a s u r e m e n t s )   o r   s o l v i n g   c o n v e x   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   ( s l o w   b u t   r e q u i r e s   l e s s   m e a s u r e m e n t   d a t a ) .     L u s t i g   e t   a l   i n   [ 5 ]   s h o w e d   t h a t   M R   i m a g e   i s   s u i t a b l e   f o r   C S   i m p l e m e n t a t i o n   s i n c e   i t   h a s   s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n   i n   c e r t a i n   t r a n s f o r m   d o m a i n .   T h e   D C T   a n d   W a v e l e t   t r a n s f o r m   h a v e   g o o d   p e r f o r m a n c e   o f   r e c o v e r i n g   b r a i n   a n d   a n g i o g r a m   M R   i m a g e s   w i t h   5 - 1 0 %     c o e f f i c i e n t s .   M o r e o v e r ,   w a v e l e t   t r a n s f o r m   a l s o   p r o v e n   t o   b e   e f f e c t i v e   f o r   r e a l - t i m e   d a t a   t r a n s m i s s i o n   f o r   r e a l   i m a g e   ( J P E G 2 0 0 0 )   [ 1 3 ]   s h o w i n g   t h a t   b o t h   m e d i c a l   a n d   r e a l   i m a g e   a r e   a c t u a l l y   s p a r s e   i n   w h e n   t r a n s f o r m e d   i n t o   c e r t a i n   d o m a i n .   B u t   t h e   s u c c e s s   o f   r e c o n s t r u c t i o n   d o e s   n o t   o n l y   m e r e l y   d e p e n d   o n   t h e   s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n .   A n o t h e r   f a c t o r   i s   t o   s a t i s f y   R I P ,   w h i c h   i s   a   t o o l   f o r   a n a l y z i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   h o w   e f f i c i e n t   a   m a t r i x   m e a s u r e s   s p a r s e   s i g n a l   [ 8 ] .   R e c e n t   w i d e l y   m e a s u r e m e n t   m a t r i c e s   t h a t   s a t i s f y   R I P   w i t h   h i g h   p r o b a b i l i t y   i s   i n d e p e n d e n t   a n d   i d e n t i c a l l y   d i s t r i b u t e d   ( i . i . d )   r a n d o m   G a u s s i a n   m a t r i x .   A l t h o u g h   G a u s s i a n   m a t r i x   p r o v i d e s   i n c o h e r e n c e   w i t h   a n y   s p a r s e   s i g n a l   a n d   t h e   n u m b e r   o f   m e a s u r e m e n t s   f o r   s i g n a l   r e c o v e r y   i s   m i n i m a l ,   i t   r e q u i r e s   h u g e   m e m o r y   s t o r a g e   a n d   h i g h   c o m p l e x i t y   c o m p u t a t i o n .   U s i n g   G a u s s i a n   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x   t o   a c q u i r e   a   2 5 6 x 2 5 6   i m a g e     w i t h   5 0 %   s a m p l i n g   w i l l   r e q u i r e   n e a r l y   g i g a b y t e   s p a c e   a n d   g i g a - f l o p   o p e r a t i o n ,   l e a d s   t o   i m p r a c t i c a l   a p p l i c a t i o n   o f   C S   s c h e m e   f o r   M R   d e v i c e .   S t r u c t u r a l l y   r a n d o m   m a t r i c e s ,   s u c h   a s   T o e p l i t z   o r   C i r c u l a n t   m a t r i x   h a v e   b e e n   s h o w n   t o   b e   f a s t   c o m p u t a b l e   a n d   s a t i s f y   R I P   p r o p e r t y   a s   w e l l   f o r   a l m o s t   a l l   o r t h o n o r m a l   m a t r i c e s   [ 9 ] .   B u t ,   t h e   e f f i c i e n c y   u s i n g   C i r c u l a n t   m a t r i x   t o   r e c o n s t r u c t   M R   i m a g e s   h a v e   n o t   b e e n   k n o w n .   I n   t h i s   p a p e r ,   w e   i n v e s t i g a t e d   t h e   e f f i c i e n c y   o f   u s i n g   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x   f o r   M R   I m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   c o m p a r e d   t o   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x .   T h e   r e c o n s t r u c t i o n   i s   d o n e   v i a   c o n v e n t i o n a l   l 1 - n o r m   m i n i m i z a t i o n .   T h e   c o n t e n t s   o f   t h i s   p a p e r   a r e   o r g a n i z e d   a s   f o l l o w s :   i n   S e c t i o n   I I   w e   r e v i e w   t h e   b a s i c   t h e o r y   o f   c o m p r e s s e d   s e n s i n g   a n d   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   m o t i o n .   I n   S e c t i o n   I I I ,   w e   d i s c u s s   t h e   m e t h o d o l o g y   w e   u s e   i n   t h e   e x p e r i m e n t   a n d   a l s o   t h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s .   W e   c o n c l u d e   t h i s   p a p e r   i n   S e c t i o n   I V .       2 .     B a s i c   T h e o r y   T h e r e   a r e   t h r e e   s t a g e s   i n   C S   s c h e m e :   e n c o d i n g ,   s e n s i n g   a n d   d e c o d i n g   ( r e c o n s t r u c t i o n ) .   E n c o d i n g     i s   a   s t a g e   o f   s p a r s i f y i n g   i n p u t   s i g n a l   ( o r   i m a g e )   u s i n g   c e r t a i n   b a s i s   r e p r e s e n t a t i o n   ( s u c h   a s   F o u r i e r   o r   w a v e l e t ) .   S e n s i n g   p h a s e   i s   a   p r o c e s s   t o   m e a s u r e   t h e   s p a r s e   s i g n a l   r e p r e s e n t a t i o n   a n d   r e d u c i n g   i t s   d i m e n s i o n   u s i n g   s e n s i n g   m a t r i x   a n d     a t   l a s t ,   d e c o d i n g   i s   a   p r o c e s s   t o   r e c o n s t r u c t   t h e   s e n s i n g   s i g n a l .     T h i s   s e c t i o n   i s   d i v i d e d   i n t o   t w o   p a r t s .   F i r s t   p a r t   d i s c u s s e s   a b o u t   b a s i c   C S   t h e o r y   a n d   i t s   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   T o t a l   V a r i a t i o n   m i n i m i z a t i o n .   S e c o n d   p a r t   r e v i e w s   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x .           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C o m p r e s s e d   S e n s i n g   f o r   T h o r a c i c   M R I   w i t h   P a r t i a l   R a n d o m   C i r c u l a n t   .   ( W i n d r a   S w a s t i k a )   1 4 9   2 . 1 .   C S   w i t h   T o t a l   V a r i a t i o n   M i n i m i z a t i o n   T h e   e n c o d i n g   p h a s e   s t a r t s   w i t h   a n   i n p u t   o f   1 - D   d i s c r e t e   s i g n a l     w i t h   l e n g t h   n   t h a t   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   i n   t e r m   o f   a n   o r t h o n o r m a l   b a s i s     { ψ }     a s :     ̅ = ψ =   ψ                 ( 1 )     V e c t o r   ̅   i s   a   s p a r s e   r e p r e s e n t a t i o n   o f   v e c t o r     a n d   h a s   k   n o n - z e r o s   c o e f f i c i e n t s .   W e   s a y   t h a t   v e c t o r   ̅   i s   h i g h l y   c o m p r e s s i b l e   i f   k   < <   n ,   o r   i n   o t h e r   w o r d ,   n o n - z e r o s   o r   s i g n i f i c a n t   c o e f f i c i e n t s   m u c h   s m a l l e r   t h a n   l e n g t h   o f   v e c t o r   .     T h e   s e n s i n g   p h a s e   o f   C S   n e e d s   m e a s u r e m e n t   m a t r i x   f o r   p r o j e c t i n g   v e c t o r   ̅   i n t o   s m a l l e r   d i m e n s i o n .   L e t     i s   a   m e a s u r e m e n t s   m a t r i x   w i t h   m   x   n   d i m e n s i o n   ( w h e r e   k   <   m   < <   n ) ,   t h e   l i n e a r   p r o j e c t i o n   o f   s p a r s e   v e c t o r   ̅   i s   g i v e n   b y :     y = Φ ̅ = Φ ψ = A                 ( 2 )     T h e   m e a s u r e m e n t   m a t r i x     h a s   t o   b e   i n d e p e n d e n t   o f     ̅   ( n o n - a d a p t i v e / f i x e d ) .   F r o m   ( 2 )   w e   h a v e   v e c t o r   o f   m e a s u r e m e n t s   y   w i t h   l e n g t h   m .     T h e   d e c o d i n g   s t a g e   i s   a   s t a g e   t o   r e c o n s t r u c t   ̅   f r o m   y   a n d   m a t r i x   .   S i n c e   t h e r e   a r e   m   e q u a t i o n   a n d   n   u n k n o w n s   t o   b e   s o l v e d ,   t h e   r e c o n s t r u c t i o n   b e c o m e s   a n   i l l - p o s e d   p r o b l e m   u n d e r d e t e r m i n e d   s y s t e m )   w i t h   i n f i n i t e l y   m a n y   s o l u t i o n s .   C S   t h e o r y   [ 1 ,   2 ]   s t a t e s   t h a t   v e c t o r   ̅   c a n   b e   r e c o v e r e d   b y   s o l v i n g   c o n v e x   p r o b l e m .   A s   l o n g   a s     i s   h i g h l y   s p a r s e ,   f i n d i n g   t h e   s p a r s e s t   s o l u t i o n   w i l l   b e   t h e   b e s t   g u e s t   t o   r e c o v e r   v e c t o r   ̅ .     m i n x        =                 ( 3 )     U n f o r t u n a t e l y ,   ( 3 )   i s   a   N P - h a r d   p r o b l e m   a n d   c o m p u t a t i o n a l l y   i m p r a c t i c a l .   A n   e f f e c t i v e   w a y   t o   r e c o v e r   ̅   i s   t o   s o l v e   - n o r m   i n s t e a d   o f   - n o r m .   T h i s   m e t h o d   i s   a l s o   k n o w n   a s   B a s i s - p u r s u i t .     m i n x        =                 ( 4 )     B y   s o l v i n g   - n o r m   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m ,   v e c t o r   ̅   c a n   b e   f a i t h f u l l y   r e c o v e r e d .   A n o t h e r   a s s u m p t i o n   i n   d e c o d i n g   p h a s e   i s   t h e   n u m b e r   o f   m e a s u r e m e n t s ,        ,   f o r   s o m e   s m a l l   c   w h e r e   t h e   m e a s u r e m e n t s   m a t r i x   i s   G a u s s i a n   o r          w h e r e   t h e   m e a s u r e m e n t s   m a t r i x   i s   r a n d o m   p a r t i a l   F o u r i e r .   I n   p r a c t i c a l   a p p l i c a t i o n ,   M R   i m a g e   a c q u i s i t i o n   c o l l e c t s   d a t a   i n   t h e   f r e q u e n c y   d o m a i n   ( k - s p a c e ) .   L u s t i g   e t   a l   i n   [ 4 ]   p r o p o s e d   a   r e c o n s t r u c t i o n   m o d e l   f o r   M R   I m a g e .   L e t     b e   t h e   u n d e r s a m p l e d   F o u r i e r   t r a n s f o r m ,   t h e   r e c o n s t r u c t i o n   i s   g i v e n   b y :     m i n ψ u   s u bj e c t   t o   u y <               ( 5 )     w h e r e     r e p r e s e n t s   a s   t h r e s h o l d   p a r a m e t e r   f o r   n o i s e   l e v e l .   T o t a l   V a r i a t i o n   ( T V )   a s   t h e   s u m   o f   t h e   a b s o l u t e   v a r i a t i o n s   i n   t h e   i m a g e   c a n   b e   a l s o   e m p l o y e d .   T h e   r e c o n s t r u c t i o n   m o d e l   i n   e q u a t i o n   ( 5 )   c a n   b e   w r i t t e n   a s :     m i n   ψ u + α u     s u bj e c t   t o   u y <             ( 6 )     H e r e ,     i s   a   p o s i t i v e   p a r a m e t e r .   B e t t e r   r e c o n s t r u c t i o n   i n   M R   i m a g e   f r o m   a   s m a l l   n u m b e r   o f   F o u r i e r   c o e f f i c i e n t s   i s   a c h i e v e d   b y   a d d i t i o n a l   T V .     2 . 2 .     P a r t i a l   R a n d o m   C i r c u l a n t   M a t r i x   a s   S e n s i n g   M a t r i x   I n   e q u a t i o n   ( 2 ) ,   A   i s   c a l l e d   s e n s i n g   m a t r i x .   S e n s i n g   m a t r i x   p l a y s   a n   i m p o r t a n t   r o l e   i n   d e c o d i n g   ( r e c o n s t r u c t i o n )   s t a g e .   R e c e n t   r e s u l t s   s h o w   t h a t   s t a b l e   r e c o n s t r u c t i o n   f r o m   k - s p a r s e   a n d   c o m p r e s s i b l e   s i g n a l   c a n   b e   a c h i e v e d   w h e n   t h e   s e n s i n g   m a t r i x   s a t i s f i e s   r e s t r i c t e d   i s o m e t r y   p r o p e r t y   ( R I P )   [ 7 ] .   C u r r e n t   w i d e l y   u s e d   s e n s i n g   m a t r i c e s   a r e   r a n d o m   m a t r i c e s   a n d   p a r t i a l   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h   2 0 1 2   :     1 4 7     1 5 4   1 5 0 F o u r i e r .   R a n d o m   m a t r i c e s   ( s u c h   a s   G a u s s i a n   o r   B e r n o u l l i   r a n d o m   m a t r i c e s )   h a s   o p t i m a l   p e r f o r m a n c e   b u t   r e q u i r e s   b i g   m e m o r y   s t o r a g e   a n d   c o m p l e x i t y   c o m p u t a t i o n   w h i l e   p a r t i a l   F o u r i e r   e n a b l e s   a   f a s t   c o m p u t a t i o n   o f   F a s t   F o u r i e r   T r a n s f o r m   ( F F T )   b u t   l a c k   o f   u n i v e r s a l i t y   ( o n l y   i n c o h e r e n c e   w i t h   s p a r s e   s i g n a l   i n   t i m e   d o m a i n   b u t   n o t     f o r   s m o o t h   s i g n a l ) .   C i r c u l a n t   m a t r i c e s   a r e   o r t h o n o r m a l   m a t r i c e s   t h a t   a r e   n e a r l y   i n c o h e r e n c e   w i t h   o t h e r   o r t h o n o r m a l   m a t r i c e s   [ 1 0 ] ,   w h i c h   p r o v i d e   u n i v e r s a l i t y   w i t h   m a n y   t y p e s   o f   s i g n a l .   I t   i s   f o r m e d   b y   s t a r t i n g   w i t h   a   v e c t o r   w i t h   N   c o m p o n e n t s .   T h e   s u b s e q u e n t   r o w s   a r e   a c q u i r e d   b y   s h i f t i n g   t h e   p r e v i o u s   r o w   t o   t h e   r i g h t .     G i v e n   a   v e c t o r c = c , c , c , , c  ,   a n d   ϕ = ϕ c ,   t h e   g e n e r a l   f o r m   o f   c i r c u l a n t   m a t r i c e s   a r e   g i v e n   b y :     ϕ c = c c c c c  c  c c c               ( 7 )     C o n s i d e r   a n   i n d e x   s e t   θ 1 , , n   a s   a   s u b s e t   o f   r a n d o m l y   l o c a t i o n s   b e t w e e n   ( 1 . . . n )   w i t h   c a r d i n a l i t y   m .   T h e   r o w s   o f   ϕ c   c a n   b e   r e s t r i c t e d   b y   t h e   e l e m e n t   o f     a n d   f o r m e d   ϕ c a s   p a r t i a l   c i r c u l a n t   m a t r i x   w h i c h   c o n t a i n s   m   n u m b e r   o f   r o w s .     A   n e w   p a r a d i g m   o f   r a n d o m   f i l t e r   w a s   p r o p o s e d   b y   T r o p p   i n   [ 1 1 ]   t o   c a p t u r e s   s i g n a l   s   b y   c o n v o l u t i o n   o p e r a t i o n   o f   r a n d o m - t a p   F I R   f i l t e r   h ,   f o l l o w e d   b y   s u b s a m p l i n g .   F i g u r e   1   s h o w s   a   b l o c k   d i a g r a m   o f   t h e   m e a s u r e m e n t   p r o c e s s   t h r o u g h   r a n d o m   f i l t e r i n g .         F i g u r e   1 .   B l o c k   d i a g r a m   o f   m e a s u r e m e n t   p r o c e s s   t h r o u g h   r a n d o m   f i l t e r i n g     U s i n g   t h i s   p a r a d i g m ,   e q u a t i o n   ( 2 )   c a n   b e   w r i t t e n   a s :     y = D ( c u )                     ( 8 )     w h e r e   D   i s   s u b s a m p l e   o f   c o n v o l u t i o n   o p e r a t i o n   c u .   U s i n g   t h e   F F T   t o   i m p l e m e n t   t h e   c o n v o l u t i o n ,   e q u a t i o n   ( 8 )   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s :     y = D  Σ u                   ( 9 )     w h e r e     a n d        i s   F o u r i e r   m a t r i x   a n d   i t s   a d j o i n t .     i s   d i a g o n a l   m a t r i x   o f   c     F o u r i e r   t r a n s f o r m a t i o n .   T h e   t h e o r e t i c a l   a n a l y s i s   o f   r e s t r i c t e d   i s o m e t r i e s   f o r   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i c e s   i s   g i v e n   b y   R a u h u t   e t   a l   i n   [ 1 0 ] .       3 .     R e s u l t s   a n d   A n a l y s i s   T o   d e m o n s t r a t e   t h e   e f f e c t i v e n e s s   o f   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   i n   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n ,   w e   u s e d   t h r e e   m o d e l s   o f   M R   i m a g e s   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   f r o m   d i f f e r e n t   p a t i e n t s .   T h e   M R   i m a g e s   w e r e   a c q u i r e d   u s i n g   a   1 . 5 T   A c h i e v a   N o v a - D u a l   ( P h i l i p s   M e d i c a l   S y s t e m s ,   B e s t ,   N L )   w h o l e - b o d y   s c a n n e r   w i t h   a   1 6 c h   S E N S E   T O R S O   X L   C o i l .   T h e   s i z e   o f   e a c h   i m a g e   i s   2 5 6 x 2 5 6 .       y   S p a r s e   s i g n a l   ( s )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C o m p r e s s e d   S e n s i n g   f o r   T h o r a c i c   M R I   w i t h   P a r t i a l   R a n d o m   C i r c u l a n t   .   ( W i n d r a   S w a s t i k a )   1 5 1   E x p e r i m e n t s   w e r e   p e r f o r m e d   u n d e r   W i n d o w s   7   P r o f e s s i o n a l   r u n n i n g   o n   D e l l   P C   D e s k t o p   w i t h   a n   I n t e l ®   C o r e     2   Q u a d   C P U ,   2 . 6 6 G H z   a n d   4 G B   R A M .   T h e   r e c o n s t r u c t i o n   m o d e l   w e   u s e d   i n   t h e   e x p e r i m e n t s   i s   f a s t   a l g o r i t h m   p r o p o s e d   i n   [ 1 2 ] .   T h i s   a l g o r i t h m   i s   i m p l e m e n t e d   i n   a   M a t L a b   p r o g r a m ,   R e c P C   [ 1 5 ] .   T h r e e   o r i g i n a l   i m a g e s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   2 a ,   2 b ,   a n d   2 c   r e s p e c t i v e l y .   E a c h   i m a g e   r e p r e s e n t s   d i f f e r e n t   v a r i a t i o n   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n .   F i g u r e   2 a   r e p r e s e n t s   f r o n t   s i d e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n ,   F i g u r e   2 b   r e p r e s e n t s   l e f t   s i d e   a n d   F i g u r e   2 c   r e p r e s e n t s   b a c k   s i d e .           F i g u r e   2 .   O r i g i n a l   M R   i m a g e s   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n .   ( a )   F r o n t   s i d e ;   ( b )   L e f t   s i d e ;   ( c )   B a c k   s i d e     T h e   v i s u a l   r e s u l t   o f   t h e   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   f o r   i m a g e   i n   F i g u r e   2 a ,   2 b   a n d   2 c   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   3 ,   4   a n d   5   r e s p e c t i v e l y .   A s   s h o w n   i n   F i g u r e   3 ,   a t   t h e   s a m p l e   r a t i o   o f   1 0 %   a n d   2 5 % ,   t h e   r e c o n s t r u c t i o n   i m a g e s   s t i l l   s u f f e r   f r o m   a l i a s i n g   a r t i f a c t   d u e   t o   t h e   s h a r p n e s s   o r i g i n a l   i m a g e .           F i g u r e   3 .   R e s u l t   o f   i m a g e   r e c o n s t r u c t i o n ,   o r i g i n a l   i m a g e   i n   F i g u r e   ( 2 a )     ( a )   1 0 %   s a m p l e s   ( 1 2 . 4 d B ) ;   ( b )   2 5 %   s a m p l e s   ( 1 6 . 7 d B ) ;   ( c )   5 0 %   s a m p l e s   ( 2 2 . 1 d B )         F o r   r e c o n s t r u c t i o n   o f   F i g u r e   2 b   a n d   2 c   ( a s   s h o w n   i n   F i g u r e   4 ,   5 ) ,   t h e   a l i a s i n g   a r t i f a c t   a r e   l e s s   a t   s a m p l e   r a t i o   o f   2 5 %   a n d   h a s   b e t t e r   q u a l i t y   a t   s a m p l e   r a t i o   o f   5 0 %   c o m p a r e d   t o   F i g u r e   3 .   T h e   r e c o n s t r u c t i o n   w o r k s   b e t t e r   f o r   s p a r s e   a n d   s m o o t h   i m a g e   a s   i n   F i g u r e   2 b   a n d   2 c .   T a b l e   1   s h o w s   t h e   c o m p a r i s o n   o f   e a c h   i m a g e   b a s e d   o n   n u m b e r   o f   s a m p l e s ,   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n   a n d   r e c o n s t r u c t i o n   q u a l i t y   ( S N R ) .   T h e   b e s t   r e c o n s t r u c t i o n   i s   g a i n e d   b y   5 0 %   s a m p l i n g   o f   l e f t   s i d e   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n ,   a s   t h e   s p a r s e s t   i n   s p a t i a l   a m o n g   t h e   i m a g e s .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h   2 0 1 2   :     1 4 7     1 5 4   1 5 2 T a b l e   1 .   C o m p a r i s o n   o f   t h r e e   d i f f e r e n t   i m a g e   r e c o n s t r u c t i o n s   i n   t e r m   o f   n u m b e r   o f   s a m p l e s ,   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n   a n d   i m a g e   q u a l i t y   #   o f   s a m p l e   F i g   2 a   ( F r o n t   s i d e )   F i g   2 b   ( L e f t   s i d e )   F i g   2 c   ( B a c k   s i d e )   #   i t r   S N R   ( d B )   #   i t r .   S N R   ( d B )   #   i t r   S N R   ( d B )   5 0 %   1 4 0   2 2 . 1   1 0 0   2 9 . 1   9 0   2 8 . 4   2 5 %   2 8 0   1 6 . 7   1 9 0   2 0 . 3   1 6 0   2 2 . 1   1 0 %   5 6 0   1 2 . 4   4 3 0   1 4 . 4   3 6 0   1 7 . 0         F i g u r e   4 .   R e s u l t   o f   i m a g e   r e c o n s t r u c t i o n ,   o r i g i n a l   i m a g e   i n   F i g u r e   ( 2 b ) .     ( a )   1 0 %   s a m p l i n g   ( 1 4 . 4 d B ) ;   ( b )   2 5 %   s a m p l i n g   ( 2 0 . 3 d B ) ;   ( c )   5 0 %   s a m p l i n g   ( 2 9 . 1 d B )         F i g u r e   5 .   R e s u l t   o f   i m a g e   r e c o n s t r u c t i o n ,   o r i g i n a l   i m a g e   i n   F i g u r e   ( 2 c ) .     ( a )   1 0 %   s a m p l i n g   ( 1 7 . 0 d B ) ;   ( b )   2 5 %   s a m p l i n g   ( 2 2 . 1 d B ) ;   ( c )   5 0 %   s a m p l i n g   ( 2 8 . 4 d B )       A s   s h o w n   i n   [ 3 ] ,   e x a c t   r e c o n s t r u c t i o n   o f   M R   I m a g e s   u s i n g   C S   s c h e m e   i s   a c h i e v a b l e   b y   e m p l o y i n g   r a n d o m   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x .   T o   v a l i d a t e   o u r   r e s u l t s ,   w e   c o m p a r e d   t h e   q u a l i t y   o f   M R   I m a g e s   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   c i r c u l a n t   m a t r i x   a n d   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x .   T h e   n u m b e r   o f   s a m p l i n g   w e   p i c k e d   f o r   t h e   c o m p a r i s o n   i s   3 5 % ,   5 0 %   a n d   7 5 % .   T h i s   i s   d u e   t o   t h e   u n s t a b l e   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   r a n d o m   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x   w h e n   t h e   n u m b e r   o f   s a m p l i n g   i s   b e l o w   3 5 % .   T a b l e   2   s h o w s   t h e   c o m p a r i s o n   o f   i m a g e   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   c i r c u l a n t   m a t r i x   ( C M )   a n d   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x   ( P F M )   i n   t e r m   o f   S N R   ( d B ) .   A s   s h o w n   i n   T a b l e   2 ,   M R   i m a g e s   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   r a n d o m   p a r t i a l   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x   h a s   b e t t e r   S N R   c o m p a r e d   w i t h   r e c o n s t r u c t i o n   u s i n g   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x .     T a b l e   3   s h o w e d   t h a t   t h e   t i m e   r e q u i r e d   t o   r e c o n s t r u c t   t h e   i m a g e   u s i n g   C i r c u l a n t   M a t r i x   w i t h   l o w e r   s a m p l i n g   h a s   b e t t e r   s p e e d   c o m p a r e d   w i t h   r a n d o m   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x   ( 3 5 %   a n d   5 0 %   s a m p l i n g ) .   I n   t h e   o t h e r   s i d e ,   w h e n   t h e   n u m b e r   o f   s a m p l i n g   i s   h i g h e r   ( 7 5 % ) ,   s h o r t e r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       C o m p r e s s e d   S e n s i n g   f o r   T h o r a c i c   M R I   w i t h   P a r t i a l   R a n d o m   C i r c u l a n t   .   ( W i n d r a   S w a s t i k a )   1 5 3   r e c o n s t r u c t i o n   t i m e   w a s   a c h i e v e d   b y   e m p l o y i n g   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x ,   y e t   t h e   r e c o n s t r u c t i o n   q u a l i t y   ( S N R )   i s   f a r   b e l o w   t h e   c i r c u l a n t   m a t r i x .       T a b l e   2 .   S N R   ( d B )   c o m p a r i s o n   u s i n g   C i r c u l a n t   M a t r i x   ( C M )   a n d   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x   ( P F M )   #   o f   s a m p l i n g   F i g   2 a   ( F r o n t   s i d e )   F i g   2 b   ( L e f t   s i d e )   F i g   2 c   ( B a c k   s i d e )   C M   P F M   C M   P F M   C M   P F M   7 5 %   2 8 . 2   1 5 . 9   4 2 . 5   3 1 . 5   3 6 . 8   1 3 . 4   5 0 %   2 1 . 8   1 0 . 8   2 9 . 1   2 3 . 2   2 8 . 5   8 . 6   3 5 %   1 8 . 1   6 . 1   2 3 . 3   1 6 . 7   2 4 . 7   1 . 7       T a b l e   3 .   R e c o n s t r u c t i o n   t i m e   ( s e c )   c o m p a r i s o n   u s i n g   C i r c u l a n t   M a t r i x   ( C M )   a n d   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x   ( P F M )   #   o f   s a m p l i n g   F i g   2 a   ( F r o n t   s i d e )   F i g   2 b   ( L e f t   s i d e )   F i g   2 c   ( B a c k   s i d e )   C M   P F M   C M   P F M   C M   P F M   7 5 %   1 . 6   1 . 4   1 . 5   1 . 2   1 . 3   1 . 1   5 0 %   1 . 6   1 . 7   1 . 4   1 . 5   1 . 6   1 . 4   3 5 %   1 . 4   1 . 9   1 . 6   2   1 . 4   1 . 6       4 .     C o n c l u s i o n   W e   a p p l i e d   C S   u s i n g   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x   f o r   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n .   T h e   c o m p a r i s o n   o f   t h r e e   d i f f e r e n t   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   u s i n g   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   a s   s e n s i n g   m a t r i x   h a s   b e e n   p e r f o r m e d .   I t   h a s   b e e n   f o u n d   t h a t   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   c a n   e f f i c i e n t l y   r e c o n s t r u c t   M R   i m a g e   o f   r e s p i r a t o r y   o r g a n   e s p e c i a l l y   f o r   s p a r s e   i m a g e   i n   s p a t i a l   d o m a i n .   A s   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   h a s   b e t t e r   i m a g e   q u a l i t y   a n d   f a s t e r   r e c o n s t r u c t i o n   t i m e   w h e n   u s i n g   l o w e r   s a m p l i n g   c o m p a r e d   w i t h   p a r t i a l   F o u r i e r   m a t r i x ,   i t s   i m p l e m e n t a t i o n   f o r   M R   s c a n n e r   i s   v e r y   p r o m i s i n g .   F u r t h e r   s t u d y   c a n   b e   c a r r i e d   o u t   b y   c o m b i n i n g   t h e   C S   s c h e m e   u s i n g   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i x   w i t h   p a r t i c u l a r   m e d i c a l   i m a g e   t e c h n i q u e s   s u c h   a s   s e g m e n t a t i o n   [ 1 4 ] .       R e f e r e n c e s   [ 1 ]     N   Y u d i s t i r a ,   D   D a m a n .   I s s u e s   a n d   Pr o b l e m s   i n   Br a i n   M a g n e t i c   R e s o n a n c e   I m a g i n g :   An   O v e r v i e w .   T EL KO M N I KA .   2 0 0 8 ;   6 ( 1 ) :   5 7 - 6 4 .   [ 2 ]     D L   D o n o h o .   C o m p r e s s e d   Se n s i n g .   I EEE   T r a n s a c t i o n s   o n   I n f o r m a t i o n   T h e o r y .   2 0 0 6 ;   5 2   ( 4 ) :   1 2 8 9 1 3 0 6   [ 3 ]     C a n d é s ,   J   R o m b e r g ,   T   T a o .   R o b u s t   u n c e r t a i n t y   p r i n c i p l e s :   e x a c t   s i g n a l   r e c o n s t r u c t i o n   f r o m   h i g h l y   i n c o m p l e t e   f r e q u e n c y   i n f o r m a t i o n .   I n f o r m a t i o n   T h e o r y   I EEE  T r a n s a c t i o n s .   2 0 0 6 ;   5 2 ( 2 ) :   4 8 9 - 5 0 9 .   [ 4 ]     R   Va n   d e   W a l l e ,   I   L e m a h i e u ,   Ac h t e n .   M a g n e t i c   R e s o n a n c e   I m a g i n g   a n d   t h e   R e d u c t i o n   o f   M o t i o n   Ar t i f a c t s :   R e v i e w   o f   t h e   Pr i n c i p l e s .   T e c h n o l o g y   a n d   H e a l t h   C a r e .   1 9 9 7 ;   5 ( 6 ) : 4 1 9 - 4 3 5 .   [ 5 ]     M   L u s t i g ,   D   D o n o h o ,   J M   Pa u l y .   Sp a r s e   M R I :   T h e   a p p l i c a t i o n   o f   c o m p r e s s e d   s e n s i n g   f o r   r a p i d   M R   i m a g i n g .   M a g n .   R e s o n .   M e d .   2 0 0 7 ;   5 8 ( 6 ) :   1 1 8 2 - 1 1 9 5 .   [ 6 ]     SKP  Pr u e s s m a n n .   En c o d i n g   a n d   r e c o n s t r u c t i o n   i n   p a r a l l e l   M R I .   N M R   i n   Bi o m e d i c i n e .   2 0 0 6 ;   1 9 ( 3 ) :   2 8 8 2 9 9 .   [ 7 ]     C a n d é s ,   T   T a o .   D e c o d i n g   b y   l i n e a r   p r o g r a m m i n g .   I EEE  T r a n s a c t i o n   o n   I n f o r m a t i o n   T h e o r y .   2 0 0 5 ;   5 1 :   4 2 0 3 - 4 2 1 5 .   [ 8 ]     C a n d é s ,   J R o m b e r g ,   T   T a o .   St a b l e   s i g n a l   r e c o v e r y   f r o m   i n c o m p l e t e   a n d   i n a c c u r a t e   m e a s u r e m e n t s .   C o m m .   Pu r e   Ap p l .   M a t h .   2 0 0 6 ;   5 9 ( 8 ) : 1 2 0 7 1 2 2 3 .   [ 9 ]     T T   D o ,   T D   T r a n ,   L   G a n .   F a s t   c o m p r e s s i v e   s a m p l i n g   w i t h   s t r u c t u r a l l y   r a n d o m   m a t r i c e s .   Pr o c .   I EEE  I n t .   C o n f .   o n   Ac o u s t i c s ,   Sp e e c h ,   a n d   Si g n a l   Pr o c e s s i n g .   2 0 0 8 :   3 3 6 9 - 3 3 7 2 .   [ 1 0 ]     H   R a u h u t ,   J   R o m b e r g ,   J   T r o p p .   R e s t r i c t e d   i s o m e t r i e s   f o r   p a r t i a l   r a n d o m   c i r c u l a n t   m a t r i c e s .   Ar x i v   p r e p r i n t .   2 0 1 0 ;   a r X i v : 1 0 1 0 . 1 8 4 7   [ 1 1 ]     J   T r o p p ,   M   W a k i n ,   M   D u a r t e ,   D   Ba r o n ,   R   Ba r a n i u k .   R a n d o m   l t e r s   f o r   c o m p r e s s i v e   s a m p l i n g   a n d   r e c o n s t r u c t i o n .   I n t .   C o n f .   A c o u s t i c s ,   S p e e c h ,   a n d   S i g n a l   Pr o c e s s i n g .   2 0 0 6 ;   3 :   8 7 2 8 7 5 .   [ 1 2 ]     W   Y i n ,   SP  M o r g a n ,   J   Y a n g ,   Y   Z h a n g .   Pr a c t i c a l   c o m p r e s s i v e   s e n s i n g   w i t h   t o e p l i t z   a n d   c i r c u l a n t   m a t r i c e s .   2 0 1 0 ;   R i c e   U n i v e r s i t y   C AAM   T e c h n i c a l   R e p o r t   T R 1 0 - 0 1 .   [ 1 3 ]     M   N a s r i ,   H e l a l i ,   H   Sg h a i e r ,   H   M a a r e f .   Ef f i c i e n t   J PEG   2 0 0 0   I m a g e   C o m p r e s s i o n   Sc h e m e   f o r   M u l t i h o p   W i r e l e s s   N e t w o r k s .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 1 ;   9 ( 2 ) :   3 1 1 - 3 1 8 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h   2 0 1 2   :     1 4 7     1 5 4   1 5 4 [ 1 4 ]     Al f i a n s y a h .   U n i f i e d   En g e r g y   Ap p r o a c h   f o r   B - S p l i n e   Sn a k e   i n   M e d i c a l   I m a g e   Se g m e n t a t i o n .   T EL KO M N I KA .   2 0 1 0 ;   8 ( 2 ) :   1 7 5 - 1 8 6 .   [ 1 5 ]     h t t p : / / w w w . c a a m . r i c e . e d u / ~ o p t i m i z a t i o n / L 1 / R e c PC / .   Pr a c t i c a l   C o m p r e s s i v e   S e n s i n g   w i t h   T o e p l i t z   a n d   C i r c u l a n t   M a t r i c e s .   L a s t   a c c e s s :   N o v   2 4 ,   2 0 1 1 ;   1 4 : 2 7 p m .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.