I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   Te r a k r e d i t a s i   D I K TI ,   S K   N o :   5 1 / D I K TI / K e p / 2 0 1 0             1 5 7       R B F N N   C o n t r o l   o f   A   T w o - L i n k   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   I n c o r p o r a t i n g   P a y l o a d   ( M .   K h a i r u d i n )   R B F N N   C O N T R O L   O F   A   T W O - L I N K   F L E X I B L E   M A N I P U L A T O R   I N C O R P O R A T I N G   P A Y L O A D       M .   K ha i r udi n   E l e c t r i c a l   E n g .   D e p t .   U n i v e r s i t a s   N e g e r i   Y o g y a k a r t a   J l n .   K a r a n g m a l a n g ,   Y o g y a k a r t a   5 5 2 8 1 ,   I n d o n e s i a ,   Te l p .   + 6 2   2 7 4   5 8 6 1 6 8   e - m a i l :   m o h _ k h a i r u d i n @ u n y . a c . i d       A bs t r a k   P a p e r   i n i   m e n y a j i k a n   m o d e l   d i n a m i k   d a n   k e n d a l i   d a r i   m a n i p u l a t o r   r o b o t   l e n g a n   f l e k s i b e l   d u a   l i n k .   M o d e l   d i n a m i k   m e n g g u n a k a n   t e k n i k   L a g r a n g i a n   d a n   a s s u m e d   m o d e   m e t h o d   ( A M M ) .   P e r m a s a l a h a n   y a n g   s e r i n g   t e r j a d i   d a l a m   r o b o t   l e n g a n   f l e k s i b e l   d u a   l i n k   a d a l a h   g e t a r a n   s e b a g a i   e f f e c t   g e r a k a n   l e n g a n   f l e k s i b e l   d a n   p e n a m b a h a n   b e b a n   y a n g   t i d a k   d i p r e d i k s i .   P e n e l i t i a n   s e b e l u m n y a   b a n y a k   m e m b a h a s   m o d e l   k e n d a l i   u n t u k   s i s t e m   i n i   t e t a p i   s e d i k i t   m e m b a h a s   s i s t e m   k e n d a l i   t e r h a d a p   p e n g a r u h   p e n a m b a h a n   b e b a n .   S i m u l a s i   p a d a   p e n e l i t i a n   i n i   d i k e m b a n g k a n   u n t u k   m e n g u j i   m o d e l   d i n a m i k ,   s i s t e m   r e s p o n s e   p a d a   h u b   d a n   t i t i k   u j u n g   d a r i   s e t i a p   l i n k   d a l a m   f u n g s i   w a k t u   s e r t a   m e n a m p i l k a n   k e u n t u n g a n   m e n g g u n a k a n   R B F N N   k o n t r o l e r   u n t u k   m e n g a t a s i   m a s a l a h   g e t a r a n   p a d a   g e r a k a n   l e n g a n   f l e k s i b e l ,   t r a c k i n g   p o s i s i   y a n g   a k u r a t   d a n   e f f e c t   p e n a m b a h a n   b e b a n .   H a s i l   R B FN N   c o n t r o l l e r   a k a n   d i v e r i k a s i   d e n g a n   m e m b a n d i n g k a n   h a s i l   P I D   k o n t r o l e r .   H a s i l   m e n g g u n a k a n   m e t o d e   R B FN N   m e n u n j u k k a n   o v e r s h o o t   y a n g   l e b i h   k e c i l ,   c e p a t   m e n c a p a i   s t e a d y   s t a t e   d a n   p e r f o r m a   y a n g   l e b i h   b a i k   d i b a n d i n g k a n   d e n g a n   m e n g g u n a k a n   P I D   c o n t r o l l e r .     K a t a   k unc i :   M o d e l ,   R B F N N ,   r o b o t   l e n g a n   f l e k s i b e l   d u a   l i n k .       A bs t r a c t   Th i s   p a p e r   p r e s e n t s   t h e   d y n a m i c   m o d e l i n g   a n d   c o n t r o l   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   m a n i p u l a t o r .   A   d y n a m i c   m o d e l   o f   t h e   s y s t e m   i s   d e v e l o p e d   u s i n g   a   c o m b i n e d   E u l e r - L a g r a n g e   a n d   a s s u m e d   m o d e   m e t h o d s .   Th e   m o s t   p r o b l e m s   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   a r e   v i b r a t i o n   o f   f l e x i b l e   l i n k   a n d   u n p r e d i c t a b l e   p a y l o a d   a d d i t i o n a l .   P r e v i o u s   r e s e a r c h e r s   h a v e   d i s c u s s e d   c o n t r o l   m e t h o d s   f o r   t h i s   s y s t e m ;   f e w   p r e s e n t e d   t h e   e f f e c t   o f   a   p a y l o a d   p r o f i l e .   T h e   s i m u l a t i o n   i n   t h i s   r e s e a r c h   i s   p e r f o r m e d   t o   a s s e s s   t h e   d y n a m i c   m o d e l   a n d   s y s t e m   r e s p o n s e s   a t   t h e   h u b   a n d   e n d - p o i n t   o f   b o t h   l i n k s   a r e   p r e s e n t e d   a n d   a n a l y z e d   i n   t i m e   d o m a i n s   a n d   s h o w   t h e   a d v a n t a g e s   u s i n g   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n   n e u r a l   n e t w o r k   ( R B F N N )   c o n t r o l l e r   f o r   s o l v i n g   f l e x i b l e   l i n k   v i b r a t i o n ,   a c h i e v e   h i g h - p r e c i s i o n   p o s i t i o n   t r a c k i n g ,   a n d   p a y l o a d   e f f e c t   r o b u s t n e s s .   Th e   r e s u l t s   a c h i e v e d   b y   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   a r e   c o m p a r e d   w i t h   c o n v e n t i o n a l   P I D   t o   s u b s t a n t i a t e   a n d   v e r i f y   t h e   a d v a n t a g e s   t h e   p r o p o s e d   s c h e m e   a n d   i t s   p r o m i s i n g   p o t e n t i a l   i n   c o n t r o l   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r .   I t   i s   s h o w n   t h a t   s m a l l e r   o v e r s h o o t ,   q u i c k l y   s t e a d y   s t a t e   r e s p o n s e   a n d   t r a c k i n g   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   i s   g o o d   p r o f i l e   a n d   b e t t e r   t h a n   P I D   c o n t r o l l e r s .     K e y w or ds :   M o d e l i n g ,   R B FN N ,   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r .       1 .   I N TR O D U C TI O N   Fl e x i b l e   m a n i p u l a t o r s   h a v e   s e v e r a l   a d v a n t a g e s   o v e r   r i g i d   r o b o t s :   t h e y   r e q u i r e   l e s s   m a t e r i a l ,   a r e   l i g h t e r   i n   w e i g h t ,   c o n s u m e   l e s s   p o w e r ,   r e q u i r e   s m a l l e r   a c t u a t o r s ,   a r e   m o r e   m a n e u v e r a b l e   a n d   t r a n s p o r t a b l e ,   h a v e   l e s s   o v e r a l l   c o s t   a n d   h i g h e r   p a y l o a d   t o   r o b o t   w e i g h t   r a t i o   [ 1 ] .   Th e s e   t y p e s   o f   r o b o t s   a r e   u s e d   i n   a   w i d e   s p e c t r u m   o f   a p p l i c a t i o n s   s t a r t i n g   f r o m   s i m p l e   p i c k   a n d   p l a c e   o p e r a t i o n s   o f   a n   i n d u s t r i a l   r o b o t   t o   m i c r o - s u r g e r y ,   m a i n t e n a n c e   o f   n u c l e a r   p l a n t s   a n d   s p a c e   r o b o t i c s   [ 2 ] .     D u e   t o   t h e   f l e x i b l e   n a t u r e   o f   t h e   s y s t e m ,   t h e   d y n a m i c s   a r e   h i g h l y   n o n - l i n e a r   a n d   c o m p l e x .   P r o b l e m s   a r i s e   d u e   t o   l a c k   o f   s e n s i n g ,   v i b r a t i o n   d u e   t o   s y s t e m   f l e x i b i l i t y ,   i m p r e c i s e   p o s i t i o n a l   a c c u r a c y   a n d   t h e   d i f f i c u l t y   i n   o b t a i n i n g   a c c u r a t e   m o d e l   f o r   t h e   s y s t e m   [ 3 ] .   M o r e o v e r ,   t h e   c o m p l e x i t y   o f   t h i s   p r o b l e m   i n c r e a s e s   w h e n   t h e   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   c a r r i e s   a   p a y l o a d .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                                I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8   N o .   2   A u g u s t u s   2 0 1 0 :     1 5 7     1 6 4   1 5 8 P r a c t i c a l l y ,   a   r o b o t   i s   r e q u i r e d   t o   p e r f o r m   a   s i n g l e   o r   s e q u e n t i a l   t a s k   s u c h   a s   t o   p i c k   u p   a   p a y l o a d ,   m o v e   t o   a   s p e c i f i e d   l o c a t i o n   o r   a l o n g   a   p r e - p l a n n e d   t r a j e c t o r y   a n d   p l a c e   t h e   p a y l o a d .   P r e v i o u s   i n v e s t i g a t i o n s   h a v e   s h o w n   t h a t   t h e   d y n a m i c   b e h a v i o u r   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   i s   s i g n i f i c a n t l y   a f f e c t e d   b y   p a y l o a d   v a r i a t i o n s   [ 4 ] .     Th e   m a i n   g o a l   o n   t h e   m o d e l i n g   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   i s   t o   a c h i e v e   a n   a c c u r a t e   m o d e l   r e p r e s e n t i n g   t h e   a c t u a l   s y s t e m   b e h a v i o u r .   I t   i s   i m p o r t a n t   t o   r e c o g n i z e   t h e   f l e x i b l e   n a t u r e   a n d   d y n a m i c   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   s y s t e m   a n d   c o n s t r u c t   a   s u i t a b l e   m a t h e m a t i c a l   f r a m e w o r k .   T h e   n u m e r i c a l   a n a l y s i s   m e t h o d s   t h a t   a r e   u t i l i z e d   i n c l u d e   f i n i t e   d i f f e r e n c e   a n d   f i n i t e   e l e m e n t   m e t h o d s .   B o t h   a p p r o a c h e s   h a v e   b e e n   u s e d   i n   o b t a i n i n g   t h e   d y n a m i c   c h a r a c t e r i z a t i o n   o f   s i n g l e - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m s   i n c o r p o r a t i n g   d a m p i n g ,   h u b   i n e r t i a   a n d   p a y l o a d   [ 5 ] .   P e r f o r m a n c e   i n v e s t i g a t i o n s   h a v e   s h o w n   t h a t   t h e   f i n i t e   e l e m e n t   m e t h o d   c a n   b e   u s e d   t o   o b t a i n   a   g o o d   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   [ 3 ] .   D e   L u c a   a n d   S i c i l i a n o   [ 6 ]   h a v e   u t i l i s e d   t h e   A M M   t o   d e r i v e   a   d y n a m i c   m o d e l   o f   m u l t i l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   a r m s   l i m i t i n g   t o   t h e   c a s e   o f   p l a n a r   m a n i p u l a t o r s   w i t h   n o   t o r s i o n a l   e f f e c t s .       Th i s   p a p e r   p r e s e n t s   t h e   d y n a m i c   m o d e l i n g   a n d   c o n t r o l   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   m a n i p u l a t o r .   A   p a y l o a d   i s   a t t a c h e d   a t   t h e   e n d - p o i n t   o f   t h e   s e c o n d - l i n k   w h e r e a s   h u b   i n e r t i a s   a r e   c o n s i d e r e d   a t   t h e   a c t u a t o r   j o i n t s .   S y s t e m   r e s p o n s e s   n a m e l y   a n g u l a r   p o s i t i o n   a n d   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   a r e   e v a l u a t e d   i n   b o t h   t i m e   a n d   f r e q u e n c y   d o m a i n s .   Th e   w o r k   p r e s e n t e d   f o r m s   t h e   b a s i s   o f   d e s i g n   o f   a   s u i t a b l e   c o n t r o l   m e t h o d   f o r   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m s   u s i n g   a   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n   n e u r a l   n e t w o r k .   T h e   c o n t r o l l e r   u s e d   f o r   a c h i e v i n g   o f   h i g h - p r e c i s i o n   p o s i t i o n   t r a c k i n g .   T h e   R B FN N   c o n t r o l l e r   d e s i g n   m a x i m i z e s   t h e   c o n t r o l   p e r f o r m a n c e   g u a r a n t e e i n g   a   g o o d   p r e c i s i o n   w h e n   r e g u l a t i n g   t h e   t i p   p o s i t i o n   o f   t h e   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   i n   t h e   p r e s e n c e   o f   a   l a r g e   t i m e - v a r y i n g   p a y l o a d   a n d   p a r a m e t e r   u n c e r t a i n t i e s   [ 8 ]   a n d   [ 9 ] .   Th e   r e s u l t   o f   t h i s   m e t h o d   w i l l   c o m p a r e   u s i n g   a   P I D   c o n t r o l l e r .       2 .   R E S E A R C H   M E TH O D O LO G Y   Fi g u r e   1   s h o w s   a   s t r u c t u r e   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   c o n s i d e r e d   i n   t h e s e   i n v e s t i g a t i o n s .   Th e   l i n k s   a r e   c a s c a d e d   i n   a   s e r i a l   f a s h i o n   a n d   a r e   a c t u a t e d   b y   r o t o r s   a n d   h u b s   w i t h   i n d i v i d u a l   m o t o r s .   Th e   i t h   l i n k   h a s   l e n g t h   i l   w i t h   u n i f o r m   m a s s   d e n s i t y   p e r   u n i t   l e n g t h i r .   Th e   f i r s t   l i n k   i s   c l a m p e d   a t   t h e   r o t o r   o f   t h e   f i r s t   m o t o r   w h e r e a s   t h e   s e c o n d   m o t o r   i s   a t t a c h e d   a t   t h e   t i p   o f   t h e   f i r s t   l i n k .   E   a n d   I   r e p r e s e n t   Y o u n g   m o d u l u s   a n d   a r e a   m o m e n t   o f   i n e r t i a   o f   b o t h   l i n k s   r e s p e c t i v e l y .   A   p a y l o a d   i s   a t t a c h e d   a t   t h e   e n d - p o i n t   o f   l i n k - 2 .   X 0 Y 0   i s   t h e   i n e r t i a l   c o - o r d i n a t e   f r a m e ,     X i Y i   i s   t h e   r i g i d   b o d y   c o o r d i n a t e   f r a m e   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   i t h   l i n k   a n d   i i Y X ) )   i s   t h e   m o v i n g   c o o r d i n a t e   f r a m e .   1 q   a n d   2 q   a r e   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s   a n d   ) , ( t x v i i i s   t h e   t r a n s v e r s e   c o m p o n e n t   o f   t h e   d i s p l a c e m e n t   v e c t o r .     p M   i s   a n   i n e r t i a l   p a y l o a d   m a s s   w i t h   i n e r t i a   p I   a t   t h e   e n d - p o i n t   o f   l i n k - 2 .     Th e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   o f   t h e   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   M h 2   i s   t h e   m a s s   c o n s i d e r e d   a t   t h e   s e c o n d   m o t o r   w h i c h   i s   l o c a t e d   i n   b e t w e e n   b o t h   l i n k s ,     J h i   i s   t h e   i n e r t i a   o f   t h e   i t h   m o t o r   a n d   h u b .   Th e   i n p u t   t o r q u e ,   τ i ( t )   i s   a p p l i e d   a t   e a c h   m o t o r   a n d   G i   i s   t h e   g e a r   r a t i o   f o r   t h e   i t h   m o t o r .   B o t h   l i n k s   a n d   m o t o r s   a r e   c o n s i d e r e d   t o   h a v e   t h e   s a m e   d i m e n s i o n s .     2 . 1 .   The   D y n a m i c   M ode l i ng  of   A   Fl e x i bl e   Li nk   S y s t e m   Th i s   s e c t i o n   f o c u s e s   o n   t h e   d e v e l o p m e n t   o f   a   c o m b i n e d   E u l e r - L a g r a n g e   a n d   A M M   s i m u l a t i o n   a l g o r i t h m   c h a r a c t e r i z i n g   t h e   d y n a m i c   b e h a v i o u r   o f   t h e   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   a s   d e s c r i b e d   b y   [ 6 ] ,   [ 7 ] .   Th e   d e s c r i p t i o n   o f   k i n e m a t i c s   i s   d e v e l o p e d   f o r   a   c h a i n   o f   n   s e r i a l l y   c o n n e c t e d   f l e x i b l e   l i n k s .   C o n s i d e r i n g   r e v o l u t e   j o i n t s   a n d   m o t i o n   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   o n   a   t w o - d i m e n s i o n a l   p l a n e ,   t h e   r i g i d   t r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x , i A ,   f r o m   X i - 1 Y i - 1   t o   X i   Y i     c a n   b e   w r i t t e n   a s       - = ) c o s ( ) s i n ( ) s i n ( ) c o s ( i i i i i A q q q q   ( 1 )       Th e   e l a s t i c   h o m o g e n o u s   t r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x ,   E i ,   d u e   t o   t h e   d e f l e c t i o n   o f   t h e   l i n k   i   c a n   b e   o b t a i n e d   a s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         R B F N N   C o n t r o l   o f   A   T w o - L i n k   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   I n c o r p o r a t i n g   P a y l o a d   ( M .   K h a i r u d i n )   1 5 9         - = = = 1 ) , ( ) , ( 1 i i i i l x i i i l x i i i i x t x x t x E u u     ( 2 )       w h e r e   ) , ( t x i i u   i s   t h e   b e n d i n g   d e f l e c t i o n   o f   t h e   i t h   l i n k   a t   a   s p a t i a l   p o i n t   x i   ( 0     x i     l i   ) .   Th e   g l o b a l   t r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x   T i   t r a n s f o r m i n g   c o - o r d i n a t e s   f r o m   X 0 Y 0   t o   X i   Y i   f o l l o w   a   r e c u r s i o n   a s           i i i i A E T T 1 1 - - =                                                                                                       ( 3 )       To   d e r i v e   t h e   d y n a m i c   e q u a t i o n s   o f   m o t i o n   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r ,   t h e   t o t a l   e n e r g i e s   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   n e e d s   t o   b e   c o m p u t e d   u s i n g   t h e   k i n e m a t i c s   f o r m u l a t i o n s .   Th e   t o t a l   k i n e t i c   e n e r g y   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   i s   g i v e n   b y       P L L R T T T T + + =                                                                                                       ( 4 )       w h e r e   T R ,   T L   a n d   T PL   a r e   t h e   k i n e t i c   e n e r g i e s   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   r o t o r s ,   l i n k s   a n d   t h e   h u b s ,   r e s p e c t i v e l y .     Th e   t o t a l   p o t e n t i a l   e n e r g y   o f   t h e   s y s t e m   d u e   t o   t h e   d e f o r m a t i o n   o f   t h e   l i n k   i   b y   n e g l e c t i n g   t h e   e f f e c t s   o f   t h e   g r a v i t y   c a n   b e   w r i t t e n   a s       i i i i l i n i d x d x x d E I U i 2 2 2 0 ) ( ) ( 2 1 = u                                                                         ( 5 )       w h i c h   b e n d i n g   d e f l e c t i o n s   ) , ( t x i i u   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s   a   s u p e r p o s i t i o n   o f   m o d e - s h a p e s .   Th e   c o - o r d i n a t e   v e c t o r   c o n s i s t s   o f   l i n k   p o s i t i o n s ,   ( θ 1 ,   θ 2 )   a n d   m o d a l   d i s p l a c e m e n t s   ( q 1 1 ,   q 1 2 ,   q 2 1 ,   q 2 2 ) .   Th e   f o r c e   v e c t o r   i s   F   =   { τ 1 ,   τ 2 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 }   T ,   w h e r e   τ 1   a n d   τ 2   a r e   t h e   t o r q u e s   a p p l i e d   a t   t h e   h u b s   o f   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2 ,   r e s p e c t i v e l y .   Th e r e f o r e ,   t h e   d y n a m i c   e q u a t i o n s   o f   m o t i o n   o f   a   t w o -   X i     X 2   Y 2   Y 0   Y i   L i n k - 1   L i n k - 2   P a y l o a d   Θ 2   θ 1   i X ˆ   X 0   i Y ˆ         Fi g u r e   1 .   S t r u c t u r e   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r .   Fi g u r e   2 .   S t r u c t u r e   o f   a   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n   n e u r a l   n e t w o r k .   i n p u t   l a y e r   h i d d e n   l a y e r   o u t p u t   l a y e r   z z u 1 1   y y M   u M t t J   X X Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                                I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8   N o .   2   A u g u s t u s   2 0 1 0 :     1 5 7     1 6 4   1 6 0 l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   c a n   b e   d e r i v e d   u t i l i s i n g   t h e   f o l l o w i n g   E u l e r L a g r a n g e s   e q u a t i o n s   r e s u l t ,   w i t h   i   =   1   a n d   2   a n d   j   =   1   a n d   2   a s :       i i i L L t t q q = - &                                                                                                 ( 6 )     a n d     0 = - i j i j q L q L t &                                                                                               ( 7 )       C o n s i d e r i n g   t h e   d a m p i n g ,   t h e   d e s i r e d   d y n a m i c   e q u a t i o n s   o f   m o t i o n   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   c a n   b e   o b t a i n e d   a s           = + + + + 0 0 0 ) , , , ( ) , , , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 t q q q q q q q q q q K q q D q q g q q g f f q q M & & & & & & & & & & &                                     ( 8 )     w h e r e   f 1   a n d   f 2   a r e   t h e   v e c t o r s   c o n t a i n i n g   t e r m s   d u e   t o   c o r i o l i s   a n d   c e n t r i f u g a l   f o r c e s ,   M   i s   t h e   m a s s   m a t r i x   a n d   g 1   a n d   g 2   a r e   t h e   v e c t o r s   c o n t a i n i n g   t e r m s   d u e   t o   t h e   i n t e r a c t i o n s   o f   t h e   l i n k   a n g l e s   a n d   t h e i r   r a t e s   w i t h   t h e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t s .   K   i s   t h e   d i a g o n a l   s t i f f n e s s   m a t r i x   a n d   D   i s   t h e   p a s s i v e   s t r u c t u r a l   d a m p i n g .     2 . 2 .   R a di a l   B a s i s   Func t i o N e ur a l   N e t w o r k   B a c k g r ound   Fi g u r e   2   s h o w s   a   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n   n e u r a l   n e t w o r k .   Th e   b e l l   s h a p e d   c u r v e s   i n   t h e   h i d d e n   n o d e s   i n d i c a t e   t h a t   e a c h   h i d d e n   l a y e r   n o d e   r e p r e s e n t s   a   b e l l   s h a p e d   R B t h a t   i s   c e n t e r e d   o n   a   v e c t o r   i n   t h e   f e a t u r e   s p a c e   [ 8 ] .   T h e r e   a r e   n o   w e i g h t s   o n   t h e   l i n e s   f r o m   t h e   i n p u t   n o d e s   t o   t h e   h i d d e n   n o d e s .   Th e   i n p u t   v e c t o r   i s   f e d   t o   e a c h   m - t h   h i d d e n   n o d e   w h e r e   i t   i s   p u t   t h r o u g h   t h e   t h a t   n o d e s   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n       )] 2 / ( e x p [ ) ( 2 2 s m m m c x x f y - - = =                                                           ( 9 )     w h e r e   2 m c x - i s   t h e   s q u a r e   o f   t h e   d i s t a n c e   b e t w e e n   t h e   i n p u t   f e a t u r e   v e c t o r     x     a n d   t h e   c e n t e r   v e c t o r   m c   f o r   t h a t   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n .   Th e   v a l u e s   ( y m )   a r e   t h e   o u t p u t s   f r o m   t h e   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n s .   Th e s e   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n s   o n   a   2 - d i m e n s i o n a l   f e a t u r e   s p a c e   h a v e   t h e   f o r m   s h o w n   i n   t h e   s i m p l e   g r a p h   b e l o w .   Th e   v a l u e s   e q u i d i s t a n t   f r o m   t h e   c e n t e r   i n   a l l   d i r e c t i o n s   h a v e   t h e   s a m e   v a l u e s ,   s o   t h i s   i s   w h y   t h e s e   a r e   c a l l e d   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n s .   Th e   o u t p u t s   f r o m   t h e   h i d d e n   l a y e r   n o d e s   a r e   w e i g h t e d   b y   t h e   w e i g h t s   o n   t h e   l i n e s   a n d   t h e   w e i g h t e d   s u m   i s   c o m p u t e d   a t   e a c h   j - t h   o u t p u t   n o d e   a s       = = ) , 1 ( ) / 1 ( M m m m j j y u M z   ( 1 0 )     Th e   m e a n   s q u a r e   e r r o r   f u n c t i o n   t h a t   i s   t o   b e   m i n i m i z e d   b y   a d j u s t i n g   t h e   p a r a m e t e r s   { u m j }   i s   s i m i l a r   t o   t h e   o n e   f o r   b a c k   p r o p a g a t i o n   N N   e x c e p t   t h a t   t h i s   o n e   i s   m u c h   s i m p l e r   t o   m i n i m i z e .   Th e r e   i s   o n l y   o n e   s e t   o f   p a r a m e t e r s   i n s t e a d   o f   t w o   a s   w a s   t h e   c a s e   f o r   b a c k   p r o p a g a t i o n   N N s .   U p o n   s u p p r e s s i n g   t h e   i n d e x   q   h a s :       = = = - = - = ) , 1 ( 2 ) , 1 ( ) , 1 ( 2 ) ) ) / 1 ( ( ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 ( J j M m m m j j J j j j y u M t J z t J E       ( 1 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         R B F N N   C o n t r o l   o f   A   T w o - L i n k   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   I n c o r p o r a t i n g   P a y l o a d   ( M .   K h a i r u d i n )   1 6 1 Th u s         = - - = = ) , 1 ( ) / ) ] ( ( ) / 2 [ (                         ) / ) ( / ( / J j m j j m j j j m j M y z t J u z z E u E   ( 1 2 )     Th e r e   i s   s t i l l   s o m e   m i s s i n g   i n f o r m a t i o n   t h a t   h a v e   b e f o r e   i t   c a n   i m p l e m e n t   a n   a l g o r i t h m   f o r   t r a i n i n g   a   R B FN N   o n   a   g i v e n   d a t a   s e t   { { x ( q )   :   q   =   1 , . . . , Q } ,   { t ( q )   :   q   =   1 , . . . , Q } }   ( h e r e   t h e   f e a t u r e   v e c t o r s   f o r   t r a i n i n g   ( t h e   e x e m p l a r   v e c t o r s )   a n d   p a i r e d   w i t h   t h e   t a r g e t   v e c t o r s   b y   t h e   i n d e x   q ) .   W e   s t i l l   d o n t   k n o w   t h e   c e n t e r   v e c t o r s   { c ( m )   :   m   =   1 , . . . , M }   o n   w h i c h   t o   c e n t e r   t h e   r a d i a l   b a s i s   f u n c t i o n s .   I t   a l s o   d o e s n t   k n o w   M   a n d   d o n t   k n o w   t h e   s p r e a d   p a r a m e t e r s .     Th i s   w o r k   p r e s e n t s   t e c h n i q u e s   f o r   a c h i e v i n g   t h e   c o n t r o l   f o r   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   r o b o t   m a n i p u l a t o r .   Fi r s t   s t e p   i s   b a s e d   o n   P r o p o r t i o n a l - I n t e g r a l - D e r i v a t i v e   ( P I D )   c o n t r o l l e r ,   t h e n   i t s   c o n t r o l l e d   b y   R B FN N   c o n t r o l l e r   b a s e d   o n   P I D   c o n t r o l l e r .   I n   t h i s   p a p e r   a   P I D   c o n t r o l l e r   u s e d   f o r   a   t w o   l i n k - f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r ,   t h e   b l o c k   d i a g r a m   o f   a   P I D   c o n t r o l l e r   i s   s h o w n   i n   Fi g u r e   3 .         Fi g u r e   3 .   Th e   s c h e m a t i c   o f   P I D   c o n t r o l l e r .   Fi g u r e   4 .   Th e   s t r u c t u r e   o f   t h e   n e u r a l   n e t w o r k   c o n t r o l l e r .       Th i s   i s   a   t y p e   o f   f e e d b a c k   c o n t r o l l e r   w h o s e   o u t p u t ,   a   c o n t r o l   v a r i a b l e   ( C V ) ,   i s   g e n e r a l l y   b a s e d   o n   t h e   e r r o r   ( e )   b e t w e e n   s o m e   u s e r - d e f i n e d   s e t   p o i n t   ( S P )   a n d   s o m e   m e a s u r e d   p r o c e s s   v a r i a b l e   ( P V ) .   E a c h   e l e m e n t   o f   t h e   P I D   c o n t r o l l e r   r e f e r s   t o   a   p a r t i c u l a r   a c t i o n   t a k e n   o n   t h e   e r r o r :     P r o p o r t i o n a l :   e r r o r   m u l t i p l i e d   b y   a   g a i n ,   K p .   Th i s   i s   a n   a d j u s t a b l e   a m p l i f i e r .   I n   m a n y   s y s t e m s   K p   i s   r e s p o n s i b l e   f o r   p r o c e s s   s t a b i l i t y :   t o o   l o w   a n d   t h e   P V   c a n   d r i f t   a w a y ;   t o o   h i g h   a n d   t h e   P V   c a n   o s c i l l a t e .   I n t e g r a l :   t h e   i n t e g r a l   o f   e r r o r   m u l t i p l i e d   b y   a   g a i n ,   K i .   I n   m a n y   s y s t e m s   K i   i s   r e s p o n s i b l e   f o r   d r i v i n g   e r r o r   t o   z e r o ,   b u t   t o   s e t   K i   t o o   h i g h   i s   t o   i n v i t e   o s c i l l a t i o n   o r   i n s t a b i l i t y   o r   i n t e g r a t o r   w i n d u p   o r   a c t u a t o r   s a t u r a t i o n   D e r i v a t i v e :   t h e   r a t e   o f   c h a n g e   o f   e r r o r   m u l t i p l i e d   b y   a   g a i n   K d .   I n   m a n y   s y s t e m s   K d   i s   r e s p o n s i b l e   f o r   s y s t e m   r e s p o n s e :   t o o   h i g h   a n d   t h e   P V   w i l l   o s c i l l a t e ;   t o o   l o w   a n d   t h e   P V   w i l l   r e s p o n d   s l u g g i s h l y .   Th e   d e s i g n e r   s h o u l d   a l s o   n o t e   t h a t   d e r i v a t i v e   a c t i o n   a m p l i f i e s   a n y   n o i s e   i n   t h e   e r r o r   s i g n a l .   Th e   N e u r a l   N e t w o r k   c o n t r o l l e r   b a s e d   o n   P I D   c o n t r o l l e r   h a s   b e e n   u s e d   f o r   c o n t r o l   o f   a   t w o -   l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m s ,   Th e   b l o c k   d i a g r a m   o f   a   N e u r a l   N e t w o r k   c o n t r o l l e r s   b a s e d   o n   P I D   c o n t r o l l e r s   i s   s h o w n   i n   Fi g u r e   4   a s   t a k e n   f r o m   [ 8 ] .       3 .   R E S U LT  A N D   D I S C U S S I O N   Th e   d y n a m i c   m o d e l   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   l i n k   m a n i p u l a t o r   h a s   b e e n   p r e s e n t e d .   Th e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   a r e   g i v e n   n e a r   s i m i l a r   a s   t a k e n   f o r m   [ 6 ]   w i t h   a t t a c h e d   P a y l o a d   i n e r t i a   m a x   I p   0 . 0 0 2 5   k g m 2   a n d   p a y l o a d   m a s s   m a x   M p   0 . 5   k g .   I n   t h i s   s t u d y ,   t h e   d a m p i n g   r a t i o s   w e r e   a s s u m e d   a s   0 . 0 0 8 6   a n d   0 . 0 1   f o r   v i b r a t i o n   m o d e s   1   a n d   2   r e s p e c t i v e l y .   T h e   m a n i p u l a t o r   w a s   e x c i t e d   w i t h   s y m m e t r i c   b a n g - b a n g   t o r q u e   i n p u t s   a s   s h o w n   i n   f o r   m o d e l i n g .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                                I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8   N o .   2   A u g u s t u s   2 0 1 0 :     1 5 7     1 6 4   1 6 2 O t h e r w i s e ,   c l o s e   l o o p   s y s t e m   u s i n g   a   s t e p   i n p u t   p o s i t i o n   a l l o w i n g   t h e   m a n i p u l a t o r .   Th e   o u t p u t   r e s p o n s e s   o f   t h e   m a n i p u l a t o r   a r e   t a k e n   f r o m   b o t h   a n g l e   r o t a t i o n   a n d   m o d a l   d i s p l a c e m e n t .     I n   t h i s   s e c t i o n ,   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   o f   t h e   d y n a m i c   a n d   i n t e l l i g e n t   c o n t r o l   o f   t h e   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   s y s t e m   a r e   p r e s e n t e d   i n   t h e   t i m e   d o m a i n s .   S y s t e m   r e s p o n s e s   a r e   m o n i t o r e d   f o r   d u r a t i o n   o f   5   s ,   a n d   t h e   r e s u l t s   a r e   r e c o r d e d   w i t h   a   s a m p l i n g   t i m e   o f   1   m s .   Th e   i n p u t   s y s t e m   u s i n g   s t e p   i n p u t   0 . 4   r a d   f o r   l i n k - 1   a n d   s t e p   i n p u t   - 0 . 8   r a d   f o r   l i n k - 2 .   Th r e e   s y s t e m   r e s p o n s e s   n a m e l y   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   a n d   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   a t   b o t h   l i n k s   a r e   o b t a i n e d   a n d   e v a l u a t e d .         3 . 1   S y s t e m   w i t h out   P a y l oa d   Fi g u r e s   5 ,   6   a n d   7   s h o w   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   a n d   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   o f   t h e   R B F N N   c o n t r o l l e r   o f   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   w i t h o u t   p a y l o a d   f o r   b o t h   l i n k s   c o m p a r i n g   P I D   c o n t r o l l e r .   I t   i s   n o t e d   t h a t   a   s t e a d y - s t a t e   a n g u l a r   p o s i t i o n   l e v e l s   o f   0 . 4   r a d   a n d   - 0 . 8   r a d   w e r e   a c h i e v e d   w i t h i n   1 . 8   s   f o r   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2   r e s p e c t i v e l y .   Th e   t i m e   r e s p o n s e s   s p e c i f i c a t i o n s   o f   a n g u l a r   p o s i t i o n   f o r   l i n k - 1   w e r e   a c h i e v e d   w i t h i n   t h e   s e t t l i n g   t i m e   a n d   o v e r s h o o t   o f   0 . 8 9   s   a n d   2 . 0 7   %   r e s p e c t i v e l y .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   s e t t l i n g   t i m e   a n d   o v e r s h o o t   f o r   l i n k - 2   w e r e   o b t a i n e d   a s   0 . 8 6   s   a n d   2 . 6 1   %   r e s p e c t i v e l y .   Th e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   o f   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 9 2 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 4 3 x 1 0 - 3   m   a n d   - 2 . 2 9 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 5 5 x 1 0 - 3   m   r e s p e c t i v e l y .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 0 5   t o   0 . 0 5   m / s 2   f o r   l i n k - 1   a n d   - 0 . 1 4   t o   0 . 1 2   m / s 2   f o r   l i n k - 2 .           0       1 2 3 4 5 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 T i m e   ( m s ) L i n k - 1   p o s i t i o n s   ( r a d ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 1 0 - 5 0 5 x   1 0 - 4 T i m e   ( m s ) M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   L i n k - 1   ( m ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 T i m e   ( m s ) E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   L i n k - 1   ( m / s e c 2 ) P I D N N       ( a )   L i n k - 1 .   ( a )   L i n k - 1 .   ( a )   L i n k - 1 .         0       1 2 3 4 5 - 1 - 0 . 9 - 0 . 8 - 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 T i m e   ( m s ) L i n k - 2   p o s i t i o n s   ( r a d ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 x   1 0 - 3 T i m e   ( m s ) M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   L i n k - 2   ( m ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 T i m e   ( m s ) E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   L i n k - 2   ( m / s e c 2 ) P I D N N       ( b )   L i n k - 2 .   ( b )   L i n k - 2 .   ( b )   L i n k - 2 .         Fi g u r e   5 .     A n g u l a r   p o s i t i o n   o f   t h e   s y s t e m   w i t h o u t   l o a d .   Fi g u r e   6 .     M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   t h e   s y s t e m   w i t h o u t   l o a d .   Fi g u r e   7 .   E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   w i t h o u t   l o a d .       Fi g u r e   5 ,   6   a n d   7   a l s o   s h o w   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   a n d   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   o f   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   w i t h o u t   p a y l o a d   f o r   b o t h   l i n k s   u s i n g   P I D   c o n t r o l l e r .   I t   i s   n o t e d   t h a t   a   s t e a d y - s t a t e   a n g u l a r   p o s i t i o n   l e v e l s   o f   0 . 4   r a d   a n d   - 0 . 8   r a d   w e r e   a c h i e v e d   w i t h i n   1 . 8   s   f o r   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2   r e s p e c t i v e l y .   Th e   t i m e   r e s p o n s e s   s p e c i f i c a t i o n s   o f   a n g u l a r   p o s i t i o n   f o r   l i n k - 1   w e r e   a c h i e v e d   w i t h i n   t h e   s e t t l i n g   t i m e   a n d   o v e r s h o o t   o f   0 . 6 5   s   a n d   1 2 . 9 3   %   r e s p e c t i v e l y .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   s e t t l i n g   t i m e   a n d   o v e r s h o o t   f o r   l i n k - 2   w e r e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         R B F N N   C o n t r o l   o f   A   T w o - L i n k   F l e x i b l e   M a n i p u l a t o r   I n c o r p o r a t i n g   P a y l o a d   ( M .   K h a i r u d i n )   1 6 3 o b t a i n e d   a s   0 . 6 4   s   a n d   1 3 . 6 4   %   r e s p e c t i v e l y .   Th e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   o f   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 7 2 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 1 2 x 1 0 - 3   m   a n d   - 1 . 7 7 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 2 9 x 1 0 - 3   m   r e s p e c t i v e l y .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 0 4   t o   0 . 0 3   m / s 2   f o r   l i n k - 1   a n d   - 0 . 0 7   t o   0 . 0 8   m / s 2   f o r   l i n k - 2 .     3 . 2 .         S y s t e m   w i t P a y l o a d   To   d e m o n s t r a t e   t h e   e f f e c t s   o f   p a y l o a d   o n   t h e   d y n a m i c   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   s y s t e m ,   v a r i o u s   p a y l o a d s   o f   u p   t o   0 . 1   k g   w e r e   e x a m i n e d .   Fi g u r e   8 ,   9   a n d   1 0   s h o w   t h e   s y s t e m   r e s p o n s e s   o f   t h e   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   u s i n g   R B FN N   c o n t r o l l e r   w i t h   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   f o r   l i n k - 1   a n d   l i n k - 2   r e s p e c t i v e l y .   I t   i s   n o t e d   t h a t   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s   f o r   l i n k - 1   s a m e   a   s t e a d y   s t a t e   v a l u e   t o w a r d s   t h e   p o s i t i v e   d i r e c t i o n   w h e r e a s   t h e   a n g u l a r   p o s i t i o n s   o f   l i n k - 2   s a m e   a   s t e a d y   s t a t e   v a l u e   i n   t h e   n e g a t i v e   d i r e c t i o n   w i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d s .   Fo r   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   t h e   s t e a d y - s t a t e   a n g u l a r   p o s i t i o n   l e v e l s   f o r   l i n k - 1   w e r e   o b t a i n e d   a s   0 . 4   r a d   r e s p e c t i v e l y   w h e r e a s   f o r   l i n k - 2 ,   t h e s e   w e r e   o b t a i n e d   a s   - 0 . 8   r a d .     Ta b l e   1   s h o w s   c o m p a r i s o n s   t h e   t i m e   r e s p o n s e   s p e c i f i c a t i o n s   o f   a n g u l a r   p o s i t i o n s   h a v e   s h o w n   s i g n i f i c a n t   c h a n g e s   w i t h   p a y l o a d   a n d   w i t h o u t   p a y l o a d .   W i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d ,   t h e   s y s t e m   e x h i b i t s   h i g h e r   s e t t l i n g   t i m e s   a n d   o v e r s h o o t s   f o r   b o t h   l i n k s .   F o r   l i n k - 1 ,   t h e   r e s p o n s e   e x h i b i t s   a n   o v e r s h o o t   o f   2 . 1 5   %   w i t h   t h e   s e t t l i n g   t i m e   o f   0 . 9 4   s   f o r   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .   Fo r   l i n k - 2 ,   t h e   r e s p o n s e   e x h i b i t s   a   p e r c e n t a g e   o v e r s h o o t   o f   2 . 5 0   %   w i t h   t h e   s e t t l i n g   t i m e   o f   0 . 9 0   s   f o r   0 . 1   k g   p a y l o a d .       Ta b l e   1 .   R e l a t i o n   b e t w e e n   p a y l o a d s   a n d   s p e c i f i c a t i o n   o f   a n g u l a r   p o s i t i o n s     P a y l o a d s   ( g r a m s )   T i m e   r e s p o n s e s   s p e c i f i c a t i o n   o f   a n g u l a r   p o s i t i o n s   L i n k - 1   L i n k - 2   S e t t l i n g   t i m e   ( s )   O v e r s h o o t   ( % )   S e t t l i n g   t i m e   ( s )   O v e r s h o o t   ( % )   N N   P I D   N N   P I D   N N   P I D   N N   P I D   0   0 . 8 9   0 . 6 5   2 . 0 7   1 2 . 9 3   0 . 8 6   0 . 6 4   2 . 6 1   1 3 . 6 4   1 0 0   0 . 9 4   0 . 6 6   2 . 1 5   1 3 . 1 3   0 . 9 0   0 . 6 6   2 . 5 0   1 3 . 4 1       0       1 2 3 4 5 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 T i m e   ( m s ) L i n k - 1   p o s i t i o n s   ( r a d ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 x   1 0 - 3 T i m e   ( m s ) M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   L i n k - 1   ( m ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 T i m e   ( m s ) E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   L i n k - 1   ( m / s e c 2 ) P I D N N       ( a )   L i n k - 1 .   ( a )   L i n k - 1 .   ( a )   L i n k - 1 .         0       1 2 3 4 5 - 1 - 0 . 9 - 0 . 8 - 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 T i m e   ( m s ) L i n k - 2   p o s i t i o n s   ( r a d ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 x   1 0 - 3 T i m e   ( m s ) M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   L i n k - 2   ( m ) P I D N N 0       1 2 3 4 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 T i m e   ( m s ) E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   L i n k - 2   ( m / s e c 2 ) P I D N N       ( b )   L i n k - 2 .   ( b )   L i n k - 2 .   ( b )   L i n k - 2 .         Fi g u r e   8 .     A n g u l a r   p o s i t i o n   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   i n c o r p o r a t i n g   p a y l o a d   0 . 1   k g .   Fi g u r e   9 .     M o d a l   d i s p l a c e m e n t   o f   t h e   s y s t e m   i n c o r p o r a t i n g   p a y l o a d   0 . 1   k g .   Fi g u r e   1 0 .   E n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   i n c o r p o r a t i n g   p a y l o a d   0 . 1   k g .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                                I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8   N o .   2   A u g u s t u s   2 0 1 0 :     1 5 7     1 6 4   1 6 4 Fi g u r e   8   u n t i l   f i g u r e   1 0   s h o w   a   m o d a l   d i s p l a c e m e n t s   a n d   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   p a y l o a d s   r e s p e c t i v e l y .   I t   i s   n o t e d   w i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d s ,   t h e   m a g n i t u d e s   o f   v i b r a t i o n   o f   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   i n c r e a s e   f o r   b o t h   l i n k s .   I n   t h i s   c a s e ,   t h e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   o f   l i n k - 2   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 2 . 5 5 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 7 0 x 1 0 - 3   m   f o r   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .   H o w e v e r ,   t h e   m a g n i t u d e s   o f   t h e   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   d e c r e a s e   w i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d s .   Fo r   l i n k - 2   t h e   r e s p o n s e s   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 1 1   t o   0 . 1 3   m / s 2 ,   f o r   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .       I n   t h i s   w o r k ,   Fi g u r e   9   a l s o   s h o w   c o m p a r i n g   R B F N N   a n d   P I D   c o n t r o l l e r .   I t   i s   n o t e d   w i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d s ,   t h e   m a g n i t u d e s   o f   v i b r a t i o n   o f   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   i n c r e a s e   f o r   b o t h   l i n k s .   U s i n g   P I D   c o n t r o l l e r   f o r   l i n k - 1 ,   t h e   r e s p o n s e   e x h i b i t s   a n   o v e r s h o o t   o f   1 3 . 1 3   %   w i t h   t h e   s e t t l i n g   t i m e   o f   0 . 6 6   s   f o r   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .   Fo r   l i n k - 2 ,   t h e   r e s p o n s e   e x h i b i t s   a   p e r c e n t a g e   o v e r s h o o t   o f   1 3 . 4 1   %   w i t h   t h e   s e t t l i n g   t i m e   o f   0 . 6 6   s   f o r   0 . 1   k g   p a y l o a d .   I n   t h i s   c a s e ,   t h e   m o d a l   d i s p l a c e m e n t   r e s p o n s e s   o f   l i n k - 2   w e r e   u s i n g   P I D   c o n t r o l l e r   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 2 . 7 4 x 1 0 - 3   m   t o   0 . 6 5 x 1 0 - 3   m   f o r   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .   H o w e v e r ,   t h e   m a g n i t u d e s   o f   t h e   a c c e l e r a t i o n   r e s p o n s e s   d e c r e a s e   w i t h   i n c r e a s i n g   p a y l o a d s .   F o r   l i n k - 2   t h e   r e s p o n s e s   w e r e   f o u n d   t o   o s c i l l a t e   b e t w e e n   - 0 . 1 0   t o   0 . 0 8   m / s 2   f o r   p a y l o a d s   o f   0 . 1   k g   r e s p e c t i v e l y .       4 .   C O N C L U S S I O N   Th e   d e v e l o p m e n t   o f   d y n a m i c   m o d e l   a n d   a   R B FN N   c o n t r o l l e r   o f   a   t w o - l i n k   f l e x i b l e   m a n i p u l a t o r   i n c o r p o r a t i n g   s t r u c t u r a l   d a m p i n g ,   h u b   i n e r t i a   a n d   p a y l o a d   h a v e   b e e n   p r e s e n t e d .   Th e   m o d e l   h a s   b e e n   d e v e l o p e d   u s i n g   a   c o m b i n e d   A M M   a n d   E u l e r - L a g r a n g e   a p p r o a c h .   Th e   R B FN N   c o n t r o l l e r   i s   e f f i c i e n t   a n d   e a s y   t o   c u r r y   o n .   T h e   R B FN N   c o n t r o l l e r   u s e d   h a s   b e t t e r   t h e n   P I D   c o n t r o l l e r ,   a s   i t   c a n   a s s u m e   v e r y   d i f f e r e n t   t y p e   o f   t r a j e c t o r y   w i t h   t r a i n i n g   t h e   c o n t r o l l e r   f o r   i t .   S i m u l a t i o n s   o f   t h e   d y n a m i c   m o d e l   h a v e   b e e n   c a r r i e d   o u t   i n   t h e   t i m e   w h e r e   t h e   s y s t e m   r e s p o n s e s   i n c l u d i n g   a n g u l a r   p o s i t i o n s ,   m o d a l   d i s p l a c e m e n t s   a n d   e n d - p o i n t   a c c e l e r a t i o n   a r e   s t u d i e d .   Th e   r e s u l t s   s h o w   t h a t   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   i s   i m p r o v e d   g r e a t l y   w i t h   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r ,   g r e a t l y   d e c r e a s i n g   t h e   t i p   d e f l e c t i o n   o f   t h e   s e c o n d   l i n k   a n d   a l s o   e n h a n c i n g   t h e   s t e a d y   s t a t e   a c c u r a c y   f o r   b o t h   l i n k s .       S i m u l a t i o n   r e s u l t s   h a v e   s h o w n   t h a t   s i g n i f i c a n t   v i b r a t i o n   o c c u r s   d u r i n g   m o v e m e n t   o f   t h e   s y s t e m .   I t   i s   f o u n d   t h a t   t h e   p a y l o a d   s i g n i f i c a n t l y   a f f e c t e d   t h e   s y s t e m   b e h a v i o u r   i n   t i m e   r e s p o n s e .       R E FE R E N C E S   [ 1 ] .   To k h i   M O ,   M o h a m e d   Z ,   S h a h e e d   M H .   D y n a m i c   C h a r a c t e r i s a t i o n   o f   a   Fl e x i b l e   M a n i p u l a t o r   S y s t e m .     R o b o t i c a .   2 0 0 1 ;   1 9 :   5 7 1 - 5 8 0 .   [ 2 ] .   D w i v e d y   S K ,   E b e r h a r d   P .   D y n a m i c   A n a l y s i s   o f   Fl e x i b l e   M a n i p u l a t o r s :   A   L i t e r a t u r e   R e v i e w .   M e c h a n i s m   a n d   M a c h i n e   T h e o r y .   2 0 0 6 ;   4 1 : 7 4 9 - 7 7 7 .   [ 3 ] .   M a r t i n s   J M ,   M o h a m e d   Z ,   To k h i   M O ,   C o s t a   J S ,   B o t t o   M A .   A p p r o a c h e s   f o r   D y n a m i c   M o d e l i n g   o f   Fl e x i b l e   M a n i p u l a t o r   S y s t e m s .   I E E   P r o c - C o n t r o l   T h e o r y   a n d   A p p l i c a t i o n .   2 0 0 3 ;   1 5 0 :   4 0 1 - 4 1 1 .   [ 4 ] .   M o h a m e d   Z ,   To k h i   M O .   C o m m a n d   S h a p i n g   Te c h n i q u e s   f o r   V i b r a t i o n   C o n t r o l   o f   a   Fl e x i b l e   M a n i p u l a t o r   S y s t e m .   M e c h a t r o n i c s .   2 0 0 4 ;   1 4 :   6 9 - 9 0 .   [ 5 ] .   A o u s t i n   Y ,   C h e v a l l e r e a u   C ,   G l u m i n e a u   A ,   M o o g   C H .   E x p e r i m e n t a l   R e s u l t s   f o r   T h e   E n d - E f f e c t o r   C o n t r o l   o f   a   S i n g l e   Fl e x i b l e   R o b o t i c   A r m .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   C o n t r o l   S y s t e m s   Te c h n o l o g y .   1 9 9 4 ;   2 :   3 7 1 - 3 8 1 .   [ 6 ] .   D e   L u c a   A ,   S i c i l i a n o   B .   C l o s e d - Fo r m   D y n a m i c   M o d e l   o f   P l a n a r   M u l t i - L i n k   L i g h t w e i g h t   R o b o t s .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   S y s t e m s ,   M a n ,   a n d   C y b e r n e t i c s .   1 9 9 1 ;   2 1 :   8 2 6 - 8 3 9 .   [ 7 ] .   S u b u d h i   B ,   M o r r i s   A S .   D y n a m i c   M o d e l i n g ,   S i m u l a t i o n   a n d   C o n t r o l   o f   a   M a n i p u l a t o r   w i t h   Fl e x i b l e   L i n k s   a n d   J o i n t s .   R o b o t i c s   a n d   A u t o n o m o u s   S y s t e m .   2 0 0 2 ;   4 1 :   2 5 7 - 2 7 0 .       [ 8 ] .   A r a g h i   L F,   H a b i b n e j a d   M K ,   N i k o o b i n   A ,   S e t o u d e h   F.   N e u r a l   N e t w o r k   C o n t r o l l e r   B a s e d   o n   P I D   C o n t r o l l e r   f o r   Tw o   l i n k s -   R o b o t i c   M a n i p u l a t o r   C o n t r o l .   P r o c e e d i n g s   o f   t h e   W o r l d   C o n g r e s s   o n   E n g i n e e r i n g   a n d   C o m p u t e r   S c i e n c e   ( W C E C S ) .   S a n   Fr a n c i s c o .   U S A .   2 0 0 8 .   [ 9 ] .   Ti a n   L ,   C o l l i n s   C .   A   D y n a m i c   R e c u r r e n t   N e u r a l   N e t w o r k   B a s e d   C o n t r o l l e r   f o r   a   R i g i d - Fl e x i b l e   M a n i p u l a t o r   S y s t e m .   M e c h a t r o n i c s .   2 0 0 4 ;   1 4 ;   4 7 1 - 4 9 0 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.