T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 1 ,   M a r c h   2 0 1 2 ,   p p .   1 0 3 ~ 1 1 2   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           1 0 3       R e c e i v e d   J u l y   2 2 th ,   2 0 1 1 ;   R e v i s e d   D e c e m b e r   9 th ,   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   J a n u a r y   9 th ,   2 0 1 2   M u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   C o n t r o l   D e s i g n   w i t h   R e g i o n a l   P o l e   C o n s t r a i n t s         H a r d i a n s y a h * ,   J u n a i d i     D e p a r t m e n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   En g i n e e r i n g ,   T a n j u n g p u r a   U n i v e r s i t y   J l n .   A .   Y a n i ,   Po n t i a n a k   7 8 1 2 4 ,   I n d o n e s i a ,   T e l p .   ( 6 2 )   0 5 6 1 - 7 4 0 1 8 6 .   e - m a i l :   h a r d i _ e k a @ y a h o o . c o m *       A b s t r a k   M a k a l a h   i n i   m e n y a j i k a n   d e s a i n   k e n d a l i   o b j e -   j a m a k   H 2 / H   d e n g a n   k o n s t r a i n   k u t u b   r e g i o n a l .   P e n g u a t a n   u m p a n - b a l i k   k e a d a a n   d a p a t   d i p e r o l e h   d e n g a n   m e n y e l e s a i k a n   p r o b l e m   k e l a y a k a n   k e t i d a k s a m a a n   m a t r i k   l i n i e r   ( L M I )   y a n g   s e c a r a   k o k o h   m e n j a d i k a n   k u t u b   k a l a n g - t e r t u t u p   p a d a   s u a t u   d a e r a h   L M I   y a n g   d i t e n t u k a n .   T e k n i k   y a n g   d i u s u l k a n   i n i   d i i l u s t r a s i k a n   d e n g a n   a p l i k a s i   p a d a   d e s a i n   s t a b i l i s a t o r   u n t u k   s e b u a h   s i s t e m   t e n a g a   b u s   t a k   t e r h i n g g a   m e s i n   t u n g g a l   ( S M I B ) .   K e n d a l i   b e r b a s i s   L M I   m e m a s t i k a n   r e d a m a n   y a n g   m e m a d a i   u n t u k   k o n d i s i   o p e r a s i   s i s t e m   y a n g   s a n g a t   b e r v a r i a s i .   H a s i l   s i m u l a s i   m e n g i l u s t r a s i k a n   e f e k t i v i t a s   d a n   k e k o k o h a n   s t a b i l i s a t o r   y a n g   d i u s u l k a n .     K a t a   k u n c i :   k e n d a l i   H 2   / H ,   k e n d a l i   k o k o h ,   k e t i d a k s a m a a n   m a t r i k   l i n i e r ,   s t a b i l i s a t o r   s i s t e m   t e n a g a       A b s t r a c t   T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   d e s i g n   w i t h   r e g i o n a l   p o l e   c o n s t r a i n t s .   T h e   s t a t e   f e e d b a c k   g a i n   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   s o l v i n g   a   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   ( L M I )   f e a s i b i l i t y   p r o b l e m   t h a t   r o b u s t l y   a s s i g n s   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   i n   a   p r e s c r i b e d   L M I   r e g i o n .   T h e   p r o p o s e d   t e c h n i q u e   i s   i l l u s t r a t e d   w i t h   a p p l i c a t i o n s   t o   t h e   d e s i g n   o f   s t a b i l i z e r   f o r   a   t y p i c a l   s i n g l e - m a c h i n e   i n f i n i t e - b u s   ( SM I B)   p o w e r   s y s t e m .   T h e   L M I - b a s e d   c o n t r o l   e n s u r e s   a d e q u a t e   d a m p i n g   f o r   w i d e l y   v a r y i n g   s y s t e m   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s .   T h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   i l l u s t r a t e   t h e   e f f e c t i v e n e s s   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   p r o p o s e d   s t a b i l i z e r .     K e y w o r d s :   H 2   / H   c o n t r o l ,   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y ,   p o w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r ,   r o b u s t   c o n t r o l       1 .     I n t r o d u c t i o n   P o w e r   s y s t e m s   a r e   u s u a l l y   l a r g e   n o n l i n e a r   s y s t e m s ,   w h i c h   a r e   o f t e n   s u b j e c t   t o   l o w   f r e q u e n c y   o s c i l l a t i o n s   w h e n   w o r k i n g   u n d e r   s o m e   a d v e r s e   l o a d i n g   c o n d i t i o n s .   T h e   o s c i l l a t i o n   m a y   s u s t a i n   a n d   g r o w   t o   c a u s e   s y s t e m   s e p a r a t i o n   i f   n o   a d e q u a t e   d a m p i n g   i s   a v a i l a b l e .   T o   e n h a n c e   s y s t e m   d a m p i n g ,   t h e   g e n e r a t o r s   a r e   e q u i p p e d   w i t h   p o w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r s   ( P S S s )   t h a t   p r o v i d e   s u p p l e m e n t a r y   f e e d b a c k   s t a b i l i z i n g   s i g n a l s   i n   t h e   e x c i t a t i o n   s y s t e m s .   P S S s   e x t e n d   t h e   p o w e r   s y s t e m   s t a b i l i t y   l i m i t   b y   e n h a n c i n g   t h e   s y s t e m   d a m p i n g   o f   l o w   f r e q u e n c y   o s c i l l a t i o n s   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   e l e c t r o m e c h a n i c a l   m o d e s   [ 1 ] .   M a n y   a p p r o a c h e s   a r e   a v a i l a b l e   f o r   P S S s   d e s i g n ,   m o s t   o f   w h i c h   a r e   b a s e d   e i t h e r   o n   c l a s s i c a l   c o n t r o l   m e t h o d s   [ 1 - 3 ]   o r   o n   h e u r i s t i c   t e c h n i q u e s   s u c h   a s   g e n e t i c   a l g o r i t h m s   [ 4 ,   5 ]   a n d   p a r t i c l e   s w a r m   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e s   [ 6 ] .   H o w e v e r ,   a s   p o w e r   s y s t e m s   a r e   l a r g e   n o n l i n e a r   s y s t e m s ,   i t   i s   i m p o s s i b l e   f o r   t h e   s y s t e m   t o   a l w a y s   r u n   a t   t h e   p r e s e l e c t e d   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s .   W h e n   t h e   s y s t e m   i s   a w a y   f r o m   t h e   s p e c i f i e d   o p e r a t i n g   p o i n t ,   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   P S S   w i l l   d e g e n e r a t e .   P o w e r   s y s t e m s   c o n t i n u a l l y   u n d e r g o   c h a n g e s   i n   t h e   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n   d u e   t o   c h a n g e s   i n   t h e   l o a d s ,   g e n e r a t i o n   a n d   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   r e s u l t i n g   i n   a c c o m p a n y i n g   c h a n g e s   i n   t h e   s y s t e m   d y n a m i c s .   I n   o t h e r   w o r d s ,   t h e   s t a b i l i z e r   s h o u l d   b e   r o b u s t   t o   c h a n g e s   i n   t h e   p o w e r   s y s t e m   o v e r   i t s   e n t i r e   o p e r a t i n g   r a n g e .   I n   t h e   l a s t   f e w   y e a r s ,   r o b u s t   c o n t r o l   t e c h n i q u e   h a s   b e e n   a p p l i e d   t o   p o w e r   s y s t e m   c o n t r o l l e r   d e s i g n   t o   g u a r a n t e e   r o b u s t   p e r f o r m a n c e   a n d   r o b u s t   s t a b i l i t y ,   d u e   t o   u n c e r t a i n t y   i n   p l a n t   p a r a m e t e r   v a r i a t i o n s .   S o m e   o f   t h o s e   e f f o r t s   h a v e   b e e n   c o n t r i b u t e d   t o   d e s i g n   r o b u s t   c o n t r o l l e r s   f o r   P S S   a n d / o r   F A C T S   d e v i c e s   u s i n g   H   c o n c e p t   s u c h   a s   m i x e d - s e n s i t i v i t y   [ 7 - 1 0 ] ;   m - s y n t h e s i s   o r   s t r u c t u r e d   s i n g u l a r   v a l u e   ( S S V )   [ 1 1 ]   a n d   H 2   n o r m   c o n c e p t   s u c h   a s   L Q G   [ 1 2 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h     2 0 1 2   :     1 0 3     1 1 2   1 0 4 N o r m a l l y ,   t h e   p r o b l e m   i s   f o r m u l a t e d   a s   a   w e i g h t e d   m i x e d - s e n s i t i v i t y   d e s i g n   a n d   s o l v e d   b y   a   R i c c a t i   a p p r o a c h .   I n   a d d i t i o n ,   r o b u s t   H   d e s i g n   b e i n g   e s s e n t i a l l y   a   f r e q u e n c y   d o m a i n   a p p r o a c h   d o e s   n o t   p r o v i d e   m u c h   c o n t r o l   o v e r   t h e   t r a n s i e n t   b e h a v i o r   a n d   c l o s e d - l o o p   p o l e   l o c a t i o n .   R o b u s t   p o l e   p l a c e m e n t   s t a b i l i z e r   d e s i g n   u s i n g   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t i e s   ( L M I s )   h a s   b e e n   p r e s e n t e d   i n   [ 1 3 ,   1 4 ] ,   w h e r e   t h e   f e e d b a c k   g a i n   m a t r i x   i s   o b t a i n e d   a s   t h e   s o l u t i o n   o f   a   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   e x p r e s s i n g   t h e   p o l e   r e g i o n   c o n s t r a i n t s   f o r   p o l y t o p i c   p l a n t s .   D e s i g n   m e t h o d s   b a s e d   o n   t h e   H   n o r m   o f   t h e   c l o s e d - l o o p   t r a n s f e r   f u n c t i o n   h a v e   g a i n e d   p o p u l a r i t y ,   b e c a u s e   u n l i k e   H 2   m e t h o d s   ( b e s t   k n o w n   a s   L Q G ) ,   t h e y   o f f e r   a   s i n g l e   f r a m e w o r k   i n   w h i c h   t o   d e a l   b o t h   w i t h   p e r f o r m a n c e   a n d   r o b u s t n e s s .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   s i n c e   a n   H 2   c o s t   f u n c t i o n   o f f e r s   a   m o r e   n a t u r a l   w a y   o f   r e p r e s e n t i n g   c e r t a i n   a s p e c t s   o f   t h e   s y s t e m   p e r f o r m a n c e ,   i m p r o v i n g   t h e   r o b u s t n e s s   o f   H 2   b a s e d   d e s i g n   m e t h o d s   a g a i n s t   p e r t u r b a t i o n s   o f   t h e   n o m i n a l   p l a n t   i s   a   p r o b l e m   o f   c o n s i d e r a b l e   i m p o r t a n c e   f o r   p r a c t i c a l   a p p l i c a t i o n s   [ 1 5 ] .   I n   t h e   r o b u s t   H 2   a p p r o a c h ,   t h e   c o n t r o l l e r   i s   d e s i g n e d   t o   m i n i m i z e   a n   u p p e r   b o u n d   o n   t h e   w o r s t -   c a s e   H 2   n o r m   f o r   a   r a n g e   o f   a d m i s s i b l e   p l a n t   p e r t u r b a t i o n s .   T h u s ,   a   c o m b i n a t i o n   o f   H 2   c o n t r o l   a n d   H   c o n t r o l ,   c a l l e d   m u l t i o b j e c t i v e   o r   m i x e d   H 2 / H   c o n t r o l   t h a t   m i n i m i z e d   t h e   H 2   n o r m   o f   s o m e   c l o s e d - l o o p   f u n c t i o n   s u b j e c t   t o   t h e   H   n o r m   c o n s t r a i n t   o f   a n o t h e r   c l o s e d - l o o p   f u n c t i o n .       K h a r g o n e k a r   e t   a l .   [ 1 9 ]   c o n s i d e r e d   s t a t e -   a n d   o u t p u t - f e e d b a c k   p r o b l e m s   o f   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   a n d   g a v e   e f f i c i e n t   c o n v e x   o p t i m i z a t i o n   a p p r o a c h   t o   s o l v e   t h e   c o u p l e d   n o n l i n e a r   m a t r i x   R i c c a t i   e q u a t i o n s .   W i t h   t h e   d e v e l o p m e n t   o f   n u m e r i c a l   a l g o r i t h m s   f o r   s o l v i n g   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   ( L M I )   p r o b l e m s   i n   t h e   l a s t   1 5   y e a r s ,   t h e   L M I   a p p r o a c h   h a v e   e m e r g e d   a s   a   u s e f u l   t o o l   f o r   s o l v i n g   a   w i d e   v a r i e t y   o f   c o n t r o l   p r o b l e m s   [ 1 7 ] .   O n e   o f   t h e   a d v a n t a g e s   o f   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   ( L M I )   i s   m i x i n g   t h e   t i m e   a n d   f r e q u e n c y   d o m a i n   o b j e c t i v e s .   T h i s   p a p e r   p r o p o s e s   a   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   d e s i g n   w i t h   r e g i o n a l   p o l e   c o n s t r a i n t s   f o r   d a m p i n g   p o w e r   s y s t e m   o s c i l l a t i o n s   b a s e   o n   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y .   T h e   e f f i c i e n c y   o f   a n   L M I - b a s e d   d e s i g n   a p p r o a c h   a s   a   p r a c t i c a l   d e s i g n   t o o l   i s   i l l u s t r a t e d   w i t h   c a s e   s t u d y ,   i n c l u d i n g   a   t y p i c a l   s i n g l e - m a c h i n e   i n f i n i t e - b u s   ( S M I B )   p o w e r   s y s t e m .       2 .     R e s e a r c h   M e t h o d   S t a b i l i t y   i s   a   m i n i m u m   r e q u i r e m e n t   f o r   c o n t r o l   s y s t e m .   H o w e v e r ,   i n   m o s t   p r a c t i c a l   s i t u a t i o n s ,   a   g o o d   c o n t r o l l e r   s h o u l d   a l s o   d e l i v e r   s u f f i c i e n t l y   f a s t   a n d   w e l l - d a m p e d   t i m e   r e s p o n s e s .   A   c u s t o m a r y   w a y   t o   g u a r a n t e e   s a t i s f a c t o r y   t r a n s i e n t s   i s   t o   p l a c e   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   i n   a   s u i t a b l e   r e g i o n   o f   t h e   c o m p l e x   s - p l a n e .   T h i s   s e c t i o n   d i s c u s s e s   s t a t e   f e e d b a c k   s y n t h e s i s   w i t h   a   c o m b i n a t i o n   o f   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   p e r f o r m a n c e   a n d   p o l e   a s s i g n m e n t   s p e c i f i c a t i o n s .   H e r e ,   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   a r e   r e q u i r e d   t o   l i e   i n   s o m e   L M I   r e g i o n   D   c o n t a i n e d   i n   t h e   l e f t - h a l f   p l a n e .   U n c o n s t r a i n e d   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   s y n t h e s i s   i s   c o n s i d e r e d   i n   [ 1 9 ] ,   w h e r e   a n   L M I - b a s e d   s y n t h e s i s   p r o c e d u r e   i s   p r o p o s e d .   E x c e l l e n t   b a c k g r o u n d   m a t e r i a l   o n   L M I   m a y   b e   f o u n d   i n   [ 1 6 ] .     2 . 1 .   I n t r o d u c t i o n   o f   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   A   w i d e   v a r i e t y   o f   p r o b l e m s   i n   c o n t r o l   t h e o r y   a n d   s y s t e m   c a n   b e   r e d u c e d   t o   a   h a n d f u l   o f   s t a n d a r d   c o n v e x   a n d   q u a s i - c o n v e x   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   t h a t   i n v o l v e   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t i e s   ( L M I s ) ,   t h a t   i s   c o n s t r a i n t s   o f   t h e   f o r m   [ 1 6 ] :           0 ) ( 1 0 > + = = D m i i i F x F x F                                                                                                                                                                                       ( 1 )     w h e r e m R x Î   i s   t h e   v a r i a b l e ,   a n d   n n T i i R F F ´ Î =   a r e   g i v e n .   T h e   s e t   { } 0 ) ( | > x F x i s   c o n v e x ,   a n d   n e e d   n o t   h a v e   s m o o t h   b o u n d a r y .   W h e n   t h e   m a t r i c e s   i F   a r e   d i a g o n a l ,   t h e   L M I   0 ) ( > x F i s   j u s t   a   s e t   o f   l i n e a r   i n e q u a l i t i e s .   N o n l i n e a r   ( c o n v e x )   i n e q u a l i t i e s   a r e   c o n v e r t e d   t o   L M I   f o r m   u s i n g   S c h u r   c o m p l e m e n t s .   T h e   b a s i c   i d e a   i s   a s   f o l l o w s :             0 ) (       ) ( ) (             ) ( > x R x S x S x Q T                                                                                                                                                                                                 ( 2 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       M u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   C o n t r o l   D e s i g n   w i t h   R e g i o n a l   P o l e   C o n s t r a i n t s   ( H a r d i a n s y a h )   1 0 5   w h e r e ) (     , ) ( ) ( , ) ( ) ( x S a n d x R x R x Q x Q T T = = d e p e n d   a f f i n e l y   o n   x ,   i s   e q u i v a l e n t   t o             0 ) ( ) ( ) ( ) (     0 , ) ( 1 > - > - T x S x R x S x Q x R                                                                                                                                             ( 3 )     I n   o t h e r   w o r d s ,   t h e   s e t   o f   n o n l i n e a r   i n e q u a l i t i e s   E q .   ( 3 )   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   a s   t h e   L M I   E q .   ( 2 ) .   T w o   s t a n d a r d   L M I   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m s   a r e   o f   i n t e r e s t :   ( 1 )   L M I   f e a s i b i l i t y   p r o b l e m .   G i v e n   a n   L M I   0 ) ( > x F ,   t h e   c o r r e s p o n d i n g   L M I   f e a s i b i l i t y   p r o b l e m   i s   t o   f i n d     f e a s x   s u c h   t h a t   0   ) ( > f e a s x F   o r   d e t e r m i n e   t h a t   t h e   L M I   i s   i n f e a s i b l e .   ( 2 )   S e m i - d e f i n i t e   P r o g r a m m i n g   p r o b l e m   ( S D P ) .   A n   S D P   r e q u i r e s   t h e   m i n i m i z a t i o n   o f   a   l i n e a r   o b j e c t i v e   s u b j e c t   t o   L M I   c o n s t r a i n t s :                           M i n i m i z e       x c T                         S u b j e c t   t o     0 ) ( > x F                                                                                                                                                           ( 4 )     w h e r e   c   i s   a   r e a l   v e c t o r ,   a n d   F   i s   a   s y m m e t r i c   m a t r i x   t h a t   d e p e n d s   a f f i n e l y   o n   t h e   o p t i m i z a t i o n   v a r i a b l e   x .   T h i s   i s   a   c o n v e x   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m .   B o t h   t h e s e   p r o b l e m s   c a n   b e   n u m e r i c a l l y   s o l v e d   v a r y   e f f i c i e n t l y ,   u s i n g   c u r r e n t l y   a v a i l a b l e   s o f t w a r e   [ 1 7 , 1 8 ] .     2 . 2 .   L M I   f o r m u l a t i o n   f o r   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   p e r f o r m a n c e   C o n s i d e r   t h e   l i n e a r   p l a n t   P   w i t h   i n p u t   u ,   d i s t u r b a n c e   w ,   p e r f o r m a n c e   o u t p u t   ¥ z   a n d   2 z ,   t h e   m e a s u r e m e n t   s i g n a l   x .   T h e   i n p u t   i s   g e n e r a t e d   b y   s t a t e   f e e d b a c k ,   u s i n g   t h e   c o n t r o l l e r   K .   T h e   s i g n a l   ¥ z   i s   t h e   p e r f o r m a n c e   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   H   c o n s t r a i n t ,   t h e   s i g n a l   2 z   i s   t h e   p e r f o r m a n c e   a s s o c i a t e d   w i t h   t h e   H 2   c r i t e r i o n .   T h e   s t a t e   s p a c e   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   c o n t r o l l e d   s y s t e m   c a n   b e   w r i t t e n   a s   f o l l o w s :               u D x C z u D x C z u B w B A x x 2 2 2 2             + = + = + + = ¥ 1 2 1 2 1 &                                                                                                                                                                                       ( 5 )     w h e r e   a l l   t h e   m a t r i c e s   a r e   c o n s t a n t   r e a l   m a t r i c e s   o f   a p p r o p r i a t e     d i m e n s i o n .   T h e   i l l u s t r a t i o n   o f   t h e   c o n t r o l l e d   s y s t e m   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   1 .                               F i g u r e   1 .   G e n e r a l i z e d   p l a n t       A f t e r   s u b s t i t u t i o n   o f   t h e   s t a t e   f e e d b a c k   c o n t r o l l e r   K x u =   i n t o   E q .   ( 5 ) ,   t h e   c l o s e d - l o o p   s y s t e m   b e c o m e s               x K D C z x K D C z w B x K B A x ) (     ) ( ) (         2 2 2 2 1 2 1 1 2 + = + = + + = ¥ &                                                                                                                                                                                   ( 6 )     L e t   w z T ¥   a n d   w z T 2   b e   t h e   c l o s e d - l o o p   t r a n s f e r   m a t r i c e s   f r o m   t h e   g e n e r a l i z e d   d i s t u r b a n c e   w   t o   t h e   p e r f o r m a n c e   o u t p u t   ¥ z   a n d   2 z ,   r e s p e c t i v e l y :   2 Z   P   K   w   u   x   ¥ Z   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h     2 0 1 2   :     1 0 3     1 1 2   1 0 6 = + + = ¥ ¥ 0             c l c l c l w z C B A K D C B K B A s T 0                     ) ( 1 2 1 1 2                                                                                                                                               ( 7 )     = + + = 0             0                   ) ( 2 2 2 2 1 2 2 c l c l c l w z C B A K D C B K B A s T                                                                                                                                                 ( 8 )     T h e   g o a l   o f   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   i s   t o   f i n d   a n   i n t e r n a l l y   s t a b i l i z i n g   c o n t r o l l e r   K   t h a t   m i n i m i z e s   t h e   2 H   p e r f o r m a n c e ,   2 2 w z T ,   s u b j e c t   t o   t h e   ¥ H p e r f o r m a n c e ,   g < ¥ ¥ w z T   a n d   p l a c e s   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   i n   s o m e   L M I   s t a b i l i t y   r e g i o n   D   t h a t   w i l l   b e   e x p l a i n e d   i n   t h e   n e x t   s u b s e c t i o n .   I n   t h i s   s u b s e c t i o n ,   p u r e   H 2   a n d   H   s y n t h e s i s   a r e   n o t   g i v e n .   F o r   p r o o f s   a n d   m o r e   d e t a i l s ,   s e e   [ 2 0 ,   2 1 ] .   W e   a r e   n o w   r e a d y   t o   g i v e   t r a c t a b l e   n e c e s s a r y   a n d   s u f f i c i e n t   c o n d i t i o n s   f o r   s o l v i n g   t h e   f o l l o w i n g   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   p r o b l e m :         m i n   ) c l 2 T c l P C C t r a c e 2 (                                                                                                                                                                                               ( 9 )                             s . t .     0                                                                                 0                                                                         2 > = < - + + ¥ ¥ T c l T c l T c l c l T c l c l P P I P C P C B B P A P A g                                                                                                                                     ( 1 0 )     T h e   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   a b o v e   i s   n o t   y e t   c o n v e x   b e c a u s e   o f   t h e   p r o d u c t s   K P   a r i s i n g   i n   t e r m s   l i k e P A c l .   S o ,   d e f i n i n g   t h e   v a r i a b l e s   Y   =   Y T   =   P ,   L   =   K   Y   a n d   W   =   W T   a n d   u s i n g   S c h u r ' s   c o m p l e m e n t   i t   i s   p o s s i b l e   t o   r e w r i t e   t h e   p r o b l e m   a b o v e   a s   t h e   L M I   p r o b l e m         m i n   ) ( W t r a c e                                                                                                                                                                                                               ( 1 1 )         s . t .     0                                                                                     2 1 2 1 1 2 1 < - + + I L D Y C D L Y C H T T T g                                                                                                                               ( 1 2 )                       0                                                                             2 2 2 2 2 2 > + + W L D Y C D L Y C Y T T T                                                                                                                                     ( 1 3 )     w h e r e   T T T T B B B L L B Y A A Y H 1 1 2 2 + + + + = .     2 . 3 .   L M I   f o r m u l a t i o n   f o r   r e g i o n a l   p o l e   c o n s t r a i n t s   I n   t h e   s y n t h e s i s   o f   c o n t r o l   s y s t e m s ,   m e e t i n g   s o m e   d e s i r e d   t r a n s i e n t   p e r f o r m a n c e   o b j e c t i v e s   ( t o   e n s u r e   f a s t   a n d   w e l l - d a m p e d   t r a n s i e n t   r e s p o n s e ,   r e a s o n a b l e   f e e d b a c k   g a i n ,   e t c . )   s h o u l d   b e   c o n s i d e r e d .   G e n e r a l l y ,   H 2 - n o r m   a n d   H   s y n t h e s i s   d e s i g n   d o   n o t   d i r e c t l y   d e a l   w i t h   t h e   t r a n s i e n t   r e s p o n s e   o f   t h e   c l o s e d - l o o p   s y s t e m .   I n   c o n t r a s t ,   a   s a t i s f a c t o r y   t r a n s i e n t   r e s p o n s e   c a n   b e   g u a r a n t e e d   b y   c o n f i n i n g   i t s   p o l e s   i n   a   p r e s c r i b e   r e g i o n .   F o r   m a n y   p r a c t i c a l   p r o b l e m s ,   e x a c t   p o l e   a s s i g n m e n t   m a y   n o t   b e   n e c e s s a r y ;   i t   s u f f i c e s   t o   l o c a t e   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   i n   a   p r e s c r i b e   s u b r e g i o n   i n   t h e   c o m p l e x   l e f t   h a l f   p l a n e .     D e f i n i t i o n   1 .   L M I   s t a b i l i t y   r e g i o n   [ 2 0 ] .   A   s u b s e t   D   o f   t h e   c o m p l e x   p l a n e   i s   c a l l e d   a n   L M I   r e g i o n   i f   t h e r e   e x i s t   a   s y m m e t r i c   m a t r i x   m m k l R ´ Î = ] [ a a   a n d   a   m a t r i x   m m k l R ´ Î = ] [ b b   s u c h   t h a t         } 0 ) ( : { < Î = z f C z D D                                                                                                                                                                                       ( 1 4 )     w h e r e   t h e   c h a r a c t e r i s t i c   f u n c t i o n   ) ( z f D   i s   g i v e n   b y   m l k k l k l k l D z z z f £ £ + + = , 1 ] [ ) ( b b a   ( D f   i s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       M u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   C o n t r o l   D e s i g n   w i t h   R e g i o n a l   P o l e   C o n s t r a i n t s   ( H a r d i a n s y a h )   1 0 7   v a l u e d   i n   t h e   s p a c e   o f   m m ´   H e r m i t i a n   m a t r i c e s ) .   T h e   l o c a t i o n   o f   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   o f   ) ( 2 K B A + i n   E q .   ( 6 )   c o n c e r n   w i t h   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   c l o s e d - l o o p   s y s t e m ,   i . e . ,   t h e   s t a b i l i t y ,   t h e   d e c a y   r a t e ,   t h e   m a x i m u m   o v e r s h o o t ,   t h e   r i s e   t i m e   a n d   s e t t l i n g   t i m e .   T h e r e f o r e ,   i t   i s   i n t e r e s t i n g   w o r k   f o r   c o n t r o l   e n g i n e e r s   t o   d e s i g n   t h e   c o n t r o l   g a i n   K   s u c h   t h a t   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   o f   ) ( 2 K B A +   l i e   i n   a   s u i t a b l e   s u b r e g i o n   o f   t h e   l e f t   h a l f   p l a n e .   T h e   i n t e r e s t i n g   r e g i o n   f o r   c o n t r o l   p u r p o s e s   i s   t h e   s e t   ) , , ( q a r S o f   c o m p l e x   n u m b e r   j y x + s u c h   t h a t     ,     , 0 r j y x x < + < - < a   a n d   y x - < ) t a n ( q                                                                                                                                     ( 1 5 )     a s   s h o w n   i n   F i g u r e   2 .   C o n f i n i n g   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   t o   t h i s   r e g i o n   e n s u r e s   a   m i n i m u m   d e c a y   r a t e s   a ,   a   m i n i m u m   d a m p i n g   r a t i o   q z c o s = ,   a n d   a   m a x i m u m   u n d a m p e d   n a t u r a l   f r e q u e n c y   q w s i n r d =   ( q i n   r a d i a n ) .   T h e   L M I   f o r m u l a t i o n s   f o r   t h e   p o l e s   o f   ) ( 2 K B A + l i e   i n   t h e   r e g i o n   ) , , ( q a r S a r e   c h a r a c t e r i z e d   a s   t h e   f o l l o w i n g   L M I s   [ 2 0 ,   2 1 ] :   i f   t h e r e   e x i s t s   s y m m e t r i c   0 > P   s u c h   t h a t     0 2 ) ( ) P ( 2 2 < + + + + P K B A P K B A T a                                                                                                                                                                 ( 1 6 )     0                   ) ( ) (                                         2 2 < - + + - r P K B A P P K B A r P T                                                                                                                                                           ( 1 7 )     a n d       0 s i n     ) ( c o s (     ) ) ( c o s ( ) ) ) ) ( ( s i n ( 2 < + + + + - + + - + + + + ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( 2 2 2 2 2 2 2 T T T T K B A P P K B A K B A P P K B A P K B A K B A P K B A P P K B A q q q q                                                                                                                                 ( 1 8 )     w i t h   P Y K P L = =       ; ,   t h e   a b o v e   L M I s   a r e   e q u i v a l e n t   t o                   0 2 ) ( 2 2 < + + + + Y L B L B Y A A Y T T a                                                                                                                                     ( 1 9 )                               0               )                                         2 2 < - + + - r Y L B Y A L B A Y r Y T T (                                                                                                                                   ( 2 0 )                             0 ) ) ) ( (     ) ) ) ( (     ) ) ) ( ( ) ) ) ( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 < + + + - - + - - + + + + T T T T T T T T L B Y A L B A Y L B Y A L B A Y L B A Y L B Y A L B Y A L B A Y ( s i n ( c o s ( c o s ( s i n q q q q                                                                                                                                   ( 2 1 )         F r o m   t h e   a n a l y s i s   a b o v e ,   i f   t h e r e   e x i s t s   Y   a n d   L   f o r   E q s .   ( 1 9 ) - ( 2 1 ) ,   t h e n   t h e   p o l e s   o f   ) ( 2 K B A +   l i e   i n   t h e   r e g i o n   ) , , ( q a r S .     2 . 4 .   M u l t i o b j e c t i v e   c o n t r o l   d e s i g n   T h e   c o m b i n a t i o n   o b j e c t i v e s   o f   r o b u s t   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   w i t h   r e g i o n a l   p o l e   c o n s t r a i n t s   c a n   b e   c h a r a c t e r i z e d   a s   f o l l o w s :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h     2 0 1 2   :     1 0 3     1 1 2   1 0 8 ) (       m i n } , { W t r a c e L Y   s . t .     E q .   ( 1 2 ) ,   E q .   ( 1 3 )   a n d   E q s .   ( 1 9 ) - ( 2 1 )                                                                                                                                     ( 2 2 )     F r o m   a n a l y s i s   a b o v e ,   t h e   m o s t   i m p o r t a n t   t a s k   i n   t h i s   p a p e r   i s   t o   f i n d   t h e   v a r i a b l e   Y ,   L , g a n d   W   c a n   b e   s o l v e d   u s i n g   s t a n d a r d   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e s .   O n c e   a   f e a s i b l e   s o l u t i o n   ( Y ,   L )   s a t i s f y i n g   E q .   ( 2 2 )   i s   f o u n d ,   t h e   r e q u i r e d   s t a t e   f e e d b a c k   g a i n   m a t r i x   c a n   b e   c o m p u t e d   a s     1 - = L Y K                                                                                                                                                                                                                               ( 2 3 )     w h i c h   l e a d s   t o     ) (   t r a c e     ,   2 2 W T T w z w z £ £ ¥ ¥ g                                                                                                                                                           ( 2 4 )     T h e   L y a p u n o v   s h a p i n g   p a r a d i g m   f o r   m u l t i - o b j e c t i v e   d e s i g n   p r o v i d e s   a   g r e a t e r   f l e x i b i l i t y   t h a n   s i n g l e - o b j e c t i v e   o p t i m a l   d e s i g n   t e c h n i q u e s   s u c h   a s   H   s y n t h e s i s   o r   H 2 - n o r m   t e c h n i q u e .           F i g u r e   2 .   R e g i o n   ) , , ( q a r S                                     F i g u r e   3 .   A   S M I B   p o w e r   s y s t e m                                   F i g u r e   4 .   S t a t i c   f a s t   e x c i t e r   m o d e l                       F i g u r e   5 .   B l o c k   d i a g r a m   o f   c o n v e n t i o n a l   P S S           3 .     R e s u l t s   a n d   A n a l y s i s   3 . 1 .   D y n a m i c   m o d e l   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m   I n   t h i s   s t u d y ,   a   s i n g l e - m a c h i n e   i n f i n i t e - b u s   ( S M I B )   p o w e r   s y s t e m   [ 2 2 ]   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   3   i s   c o n s i d e r e d .   T h e   s t a t i c   f a s t   e x c i t e r   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   4 .   B l o c k   d i a g r a m   o f   c o n v e n t i o n a l   p o w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r   ( C P S S )   u s e d   f o r   c o m p a r i s o n   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   5 .     a   q   r   -   Z   Z   Z   Y   G   t v   0 v   Z   =   -   0 . 1 0 2   +   j   2 . 9 9   Y   =   0 . 2 4 9   +   j   0 . 2 6 2   I n f i n i t e   Bu s   E f d   A A s T K + 1   V r e f   S t a b i l i z i n g   S i g n a l   u   v t   +   +   -   w D   u   w w s T s T + 1   2 1 1 1 s T s T K c + +   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       M u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   C o n t r o l   D e s i g n   w i t h   R e g i o n a l   P o l e   C o n s t r a i n t s   ( H a r d i a n s y a h )   1 0 9   N e g l e c t i n g   t h e   e f f e c t   o f   d a m p e r   w i n d i n g ,   s t a t o r   t r a n s i e n t   a n d   r e s i s t a n c e ,   t h e   s y n c h r o n o u s   m a c h i n e   t o g e t h e r   w i t h   i t s   e x c i t a t i o n   s y s t e m   i s   m o d e l e d   u s i n g   t h e   f o l l o w i n g   4 t h   o r d e r   n o n - l i n e a r   d y n a m i c   e q u a t i o n s :     1 ) ) ( ( 1 - + - = w w D T T M e m &                                                                                                                                                                                           ( 2 5 )     1 ) ( - = w w d b &                                                                                                                                                                                                                                     ( 2 6 )     { } ' ' ' 0 ' ) ( 1 q d d d f d d q E i x x E T E - - - = &                                                                                                                                                                   ( 2 7 )     { } f d t r e f A A f d E u v V K T E - + - = ) ( 1 &                                                                                                                                                                     ( 2 8 )     I t   c a n   b e   s e e n   t h a t   t h i s   m o d e l   i s   n o n - l i n e a r .   T o   p e r m i t   a n a l y s i s   a n d   c o n t r o l   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m ,   t h e   m o d e l   i s   l i n e a r i s e d   a r o u n d   t h e   o p e r a t i n g   p o i n t .   T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   o f   t h i s   m o d e l   a r e   f d q E E D D D D , , , ' d w ,   r e s p e c t i v e l y ,   a n g u l a r   s p e e d ,   r o t o r   a n g l e ,   v o l t a g e   b e h i n d   t r a n s i e n t ,   a n d   e x c i t a t i o n   v o l t a g e .   I n   t h i s   s t u d y ,   w e   a s s u m e d   t h a t   a l l   s t a t e   v a r i a b l e s   a r e   a v a i l a b l e   f o r   f e e d b a c k .   T h e   p o w e r   i n p u t   t o   t h e   g e n e r a t o r   s h a f t   i s   a s s u m e d   c o n s t a n t ,   t h e   n e t w o r k   i s   r e p r e s e n t e d   b y   a   s e t   o f   a l g e b r a i c   e q u a t i o n s   a n d   t h e   l o a d s   a r e   m o d e l e d   b y   c o n s t a n t   i m p e d a n c e .     3 . 2 .     S i m u l a t i o n   r e s u l t s   A   t y p i c a l   s i n g l e - m a c h i n e   i n f i n i t e - b u s   ( S M I B )   p o w e r   s y s t e m   [ 2 2 ]   i s   c h o s e n   f o r   a n a l y s i s   o f   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r .   T h e   m a c h i n e   d a t a   a n d   t h e   e x c i t e r   d a t a   a r e   s h o w n   i n   T a b l e s   1   a n d   2 ,   r e s p e c t i v e l y .   T h e   d a t a   f o r   C P S S   c o n s t a n t s   i s   g i v e n   i n   T a b l e   3 .                         T h e   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n :   P e   =   1 . 0   p u ,   Q e   =   0 . 0 1 5   p u   a n d   v t   =   1 . 0 5   p u   a r e   c h o s e n   a s   t h e   n o m i n a l   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n   a n d   o t h e r   o p e r a t i n g   p o i n t s   a r e   r e g a r d e d   a s   p e r t u r b a t i o n s   o f   t h e   n o m i n a l   s y s t e m .   F o u r   d i f f e r e n t   l o a d i n g   c o n d i t i o n s   r e p r e s e n t i n g   n o m i n a l ,   h e a v y ,   l i g h t ,   a n d   l e a d i n g   p o w e r   f a c t o r   ( P F )   a r e   c o n s i d e r e d   a s   g i v e n   i n   T a b l e   4 .   T h e   e i g e n v a l u e s   o f   t h e   n o m i n a l   s y s t e m   a r e   0 . 2 9 5 ± j 4 . 9 6   a n d   - 1 0 . 4 ± j 3 . 2 8 .   I t   i s   o b s e r v e d   t h a t   t h e   e l e c t r o m e c h a n i c a l   m o d e   ( c h a r a c t e r i z e d   b y   t h e   p a i r   o f   e i g e n v a l u e s   0 . 2 9 5 ± j 4 . 9 6 )   i s   n e g a t i v e l y   d a m p e d   a n d   t h e   e i g e n v a l u e s   f o r   t h i s   m o d e   s h o u l d   b e   s h i f t e d   l e f t w a r d   t o   m o r e   d e s i r a b l e   l o c a t i o n s   i n t o   t h e   l e f t   h a l f   s - p l a n e .   T h e   t e c h n i q u e   d e s c r i b e d   i n   S e c t i o n   2   w a s   a p p l i e d   t o   t h e   d a m p i n g   c o n t r o l l e r   d e s i g n   f o r   t h e   s t u d y   s y s t e m .   T h e   f e a s i b i l i t y   p r o b l e m   w a s   s o l v e d   f o r   ( Y , L )   a n d   t h e   r e q u i r e d   s t a t e   f e e d b a c k   m a t r i x   w a s   o b t a i n e d   a s   1 - = L Y K ,   w h e r e   Y   i s   a   s y m m e t r i c ,   p o s i t i v e   d e f i n i t e   m a t r i x   a n d   L   i s   t h e   m a t r i x   i n t r o d u c e d   t o   o b t a i n   l i n e a r i t y .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h     2 0 1 2   :     1 0 3     1 1 2   1 1 0 T o   d e t e r m i n e   t h e   g a i n   o f   t h e   s t a t e   f e e d b a c k   c o n t r o l l e r ,   t h e   m i n i m i z a t i o n   p r o b l e m   E q .   ( 2 2 )   i s   s o l v e d   u s i n g   L M I - c o n t r o l   t o o l b o x .   W e   c a n   s o l v e   t h e   e i g e n v a l u e   p r o b l e m   i n   E q .   ( 2 2 )   w i t h   p o l e   c o n s t r a i n t s   i n   t h e   r e g i o n   o f   9 3 ) ( 2 , 1 6 , 1 . 1 5 S .   I n   t h i s   c a s e ,   t h e   a s s o c i a t e d   m a t r i c e s   a n d   s c a l a r s   a r e     - - - - - - - - - - - = 6 2 . 5 2 4 1           4 1 . 9 3 6 5         2 6 . 1 8 1 1               2 1 . 0 0 9 0 4 1 . 9 3 6 5       2 1 . 9 7 2 6               1 1 . 6 9 0 2                       1 . 4 6 6 8 2 6 . 1 8 1 1           1 1 . 6 9 0 2         1 1 . 0 8 8 8         1 2 . 7 2 9 9 2 1 . 0 0 9 0             1 . 4 6 6 8       1 2 . 7 2 9 9         2 1 . 5 1 0 1 e e e e e e e e e e e e e e Y     [ ] 3 2 . 4 8 6 9         1 2 . 5 4 8 4         4 . 7 4 1 8         2 1 . 5 1 0 1 e e e L - - - =     1 3 8 8 . 1 ) (         , 8 8 6 4 . 0 = = W t r a c e g     a n d   t h u s   t h e   f e e d b a c k   g a i n   m a t r i x   i s     0 . 0 1 6 7 8 ]         3 . 7 5 8 6         1 . 9 1 9 7         [ 2 8 8 . 6 5 - - = K     w h i c h   m a k e s   t h e   p o l e s   o f   ) ( 2 K B A +   l o c a t e   a t   5 . 7 7   ±   j 1 0 . 2   a n d   1 2 . 7 0   ±   j 5 . 1 2 .   A s   a   f i n a l   c h e c k ,   w e   c a n   c a l c u l a t e     5 6 1 6 . 0 8 7 4 8 . 0 = = ¥ ¥ 2 2             ,   w z w z T T       t h a t   s a t i s f i e s   t h e   i n e q u a l i t y   E q .   ( 2 4 ) .   F o r   e v a l u a t i o n   p u r p o s e s ,   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   w a s   c o m p a r e d   t o   t h e   C P S S   a n d   H 2   c o n t r o l   ( w i t h o u t   L M I   s t a b i l i t y   r e g i o n ) .   A   s m a l l   d i s t u r b a n c e   o f   1 0 %   s t e p   i n c r e a s e   i n   t h e   r e f e r e n c e   v o l t a g e   ( r e f V )   w a s   a p p l i e d   t o   t h e   S M I B   p o w e r   s y s t e m   a t   f o u r   d i f f e r e n t   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s .   T h e   s y s t e m   e i g e n v a l u e s   a n d   d a m p i n g   r a t i o s   o f   e l e c t r o m e c h a n i c a l   m o d e s   a t   v a r i o u s   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s   a r e   g i v e n   i n   T a b l e   5 .   N o t e   t h a t   t h e   d a m p i n g   r a t i o   a s   s h o w n   i n   T a b l e   5   i s   w r i t t e n   i n   t h e   b r a c k e t s .   I t   i s   c l e a r   t h a t   t h e   s y s t e m   s t a b i l i t y   i s   g r e a t l y   e n h a n c e d   w i t h   t h e   p r o p o s e d   s t a b i l i z e r .   I t   c a n   a l s o   b e   s e e n   t h a t   a l l   e i g e n v a l u e s   a n d   d a m p i n g   r a t i o s   w i t h   t h e   p r o p o s e d   s t a b i l i z e r   l i e   i n   a n   L M I   r e g i o n   o f   S .   S i m u l a t i o n   r e s u l t s   s h o w n   i n   F i g u r e s   6 - 9   i l l u s t r a t e   t h e   p e r f o r m a n c e   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   p r o p o s e d   P S S   u n d e r   d i f f e r e n t   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s .   I t   c a n   b e   s e e n   t h a t   t h e   p r o p o s e d   P S S   y i e l d s   t h e   b e t t e r   d y n a m i c   p e r f o r m a n c e ,   i t   i s   l e s s   s e n s i t i v e   t o   c h a n g e s   i n   t h e   s y s t e m   p a r a m e t e r s   a n d   m o r e   r o b u s t   a g a i n s t   m o d e l   u n c e r t a i n t i e s .   F o r   c o m p l e t e n e s s   a n d   v e r i f i c a t i o n s ,   a l l   c o n t r o l l e r s   w e r e   t a s t e d   a t   t h e   f o l l o w i n g   d i s t u r b a n c e s   a n d   l o a d i n g   c o n d i t i o n s .   ( a )   N o m i n a l   l o a d i n g   ( P , Q )     =   ( 1 . 0 , 0 . 0 1 5 )   p u   w i t h   o n e - l i n e   f a u l t .   ( b )   H e a v y   l o a d i n g         ( P , Q )     =   ( 1 . 2 , 0 . 3 )   p u   w i t h   o n e - l i n e   f a u l t .   A   l i n e   f a u l t   i s   a s s u m e d ;   o n e   o f   t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e s   ( a s   s h o w n   i n   F i g u r e   3 )   m e t   a   l i n e - f a u l t   a n d   t h e   c i r c u i t   b r e a k e r   o p e r a t e d .   T h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   f o r   c a s e s   ( a )   a n d   ( b )   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   1 0   a n d   F i g u r e   1 1 ,   r e s p e c t i v e l y .   F i g u r e   1 1   s h o w s   b o t h   C P S S   a n d   H 2   c o n t r o l   f a i l   t o   s t a b i l i z e   t h e   s y s t e m   w i t h   d i s t u r b a n c e   ( b ) ,   t h e   p r o p o s e d   P S S   p r o v i d e   g o o d   d a m p i n g   c h a r a c t e r i s t i c s   a n d   s y s t e m   i s   s t a b l e   u n d e r   t h i s   d i s t u r b a n c e .   I t   i s   c l e a r   t h a t   t h e   p r o p o s e d   P S S   e x h i b i t s   b e t t e r   d a m p i n g   p r o p e r t i e s   a n d   g u a r a n t e e s   r o b u s t   s t a b i l i t y   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m s .                   T a b l e   5 .     S y s t e m   e i g e n v a l u e s   a n d   d a m p i n g   r a t i o s   a t   v a r i o u s   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s                     C a s e                                             C P S S                                       H 2   C o n t r o l                                     P r o p o s e d   P S S     1 .   N o m i n a l                 - 1 . 5 2   ± j   3 . 1 7 ;   ( 0 . 4 3 )     - 3 . 6 7   ± j   4 . 5 2 ;   ( 0 . 6 3 )         - 5 . 7 7   ± j   1 0 . 2 ;   ( 0 . 4 9 )   2 .   H e a v y                       - 1 . 0 7   ± j   3 . 0 2 ;   ( 0 . 3 3 )     - 4 . 3 5   ± j   5 . 2 2 ;   ( 0 . 6 4 )         - 6 . 3 2   ± j   1 1 . 3 ;   ( 0 . 4 9 )   3 .   L i g h t                           - 1 . 5 3   ± j   3 . 4 0 ;   ( 0 . 4 1 )     - 2 . 0 7   ± j   4 . 4 0 ;   ( 0 . 4 3 )         - 3 . 6 4   ± j   7 . 1 7 ;   ( 0 . 4 5 )   4 .   L e a d i n g   P F       - 1 . 9 8   ± j   3 . 3 9 ;   ( 0 . 5 1 )     - 2 . 2 8   ± j   5 . 4 1 ;   ( 0 . 3 9 )         - 4 . 0 5   ± j   8 . 4 5 ;   ( 0 . 4 3 )         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       M u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   C o n t r o l   D e s i g n   w i t h   R e g i o n a l   P o l e   C o n s t r a i n t s   ( H a r d i a n s y a h )   1 1 1   F i g u r e   6 .   R e s p o n s e   w i t h   1 0 %   s t e p   i n   r e f V   f o r   c a s e   1       F i g u r e   7 .   R e s p o n s e   w i t h   1 0 %   s t e p   i n   r e f V   f o r   c a s e   2     F i g u r e   8 .   R e s p o n s e   w i t h   1 0 %   s t e p   i n   r e f V   f o r   c a s e   3     F i g u r e   9 .   R e s p o n s e   w i t h   1 0 %   s t e p   i n   r e f V   f o r   c a s e   4     F i g u r e   1 0 .   R e s p o n s e   w i t h   f a u l t   d i s t u r b a n c e   f o r   c a s e   ( a )     F i g u r e   1 1 .   R e s p o n s e   w i t h   f a u l t   d i s t u r b a n c e   f o r   c a s e   ( b )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                        I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   1 ,     M a r c h     2 0 1 2   :     1 0 3     1 1 2   1 1 2 4 .     C o n c l u s i o n s   T h i s   p a p e r   h a s   p r e s e n t e d   t h e   d e s i g n   o f   m u l t i o b j e c t i v e   H 2 / H   c o n t r o l   w i t h   r e g i o n a l   p o l e   c o n s t r a i n t s .   T h e   r e q u i r e d   s t a t e   f e e d b a c k   g a i n   h a s   b e e n   o b t a i n e d   b y   s o l v i n g   a   l i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t y   ( L M I )   f e a s i b i l i t y   p r o b l e m   t h a t   r o b u s t l y   a s s i g n s   t h e   c l o s e d - l o o p   p o l e s   i n   a   p r e s c r i b e d   L M I   r e g i o n .   T h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   p r o p o s e d   s t a b i l i z e r   o n   a   S M I B   p o w e r   s y s t e m   i s   s e e n   t o   b e   r o b u s t   o v e r   a   w i d e   r a n g e   o f   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n s .   F i n a l l y ,   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   s h o w   t h e   e f f e c t i v e n e s s   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   p r o p o s e d   s t a b i l i z e r   t o   e n h a n c e   t h e   d a m p i n g   o f   l o w   f r e q u e n c y   o s c i l l a t i o n s .       R e f e r e n c e s   [ 1 ]   D e   M e l l o   F P,   C o n c o r d i a   C .   C o n c e p t s   o f   Sy n c h r o n o u s   M a c h i n e   St a b i l i t y   a s   Af f e c t e d   b y   E x c i t a t i o n   C o n t r o l .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   Ap p a r a t u s   Sy s t e m s . 1 9 6 9 ;   8 8 :   3 1 6 - 3 2 5 .   [ 2 ]   Ku n d u r ,   M   Kl e i n ,   G   R o g e r s ,   M   Z y w n o .   Ap p l i c a t i o n   o f   Po w e r   Sy s t e m   St a b i l i z e r s   f o r   En h a n c e m e n t   o f   O v e r a l l   Sy s t e m   St a b i l i t y .   I E EE  T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   S y s t e m s .   1 9 8 9 ;   4 ( 2 ) :   6 1 4 - 6 2 6 .   [ 3 ]   L e f e b v r e   S .   T u n i n g   o f   St a b i l i z e r s   i n   M u l t i m a c h i n e   Po w e r   Sy s t e m s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   Ap p a r a t u s   S y s t e m s .   1 9 8 3 ;   1 0 2 :   2 9 0 - 2 9 9 .   [ 4 ]   Ab d e l - M a g i d   Y L ,   Ab i d o   M A .   O p t i m a l   M u l t i o b j e c t i v e   D e s i g n   o f   R o b u s t   P o w e r   Sy s t e m   St a b i l i z e r s   u s i n g   G e n e t i c   Al g o r i t h m s .   I EE T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   S y s t e m s .   Au g .   2 0 0 3 :   1 8 ( 3 ) ;   1 1 2 5 -   1 1 3 2 .   [ 5 ]   Sh i v a k u m a r   R ,   Pa n n e e r s e l v a m   M ,   L a k s h m i p a t h i   R .   R o b u s t   O p t i m a l   C o n t r o l   D e s i g n   f o r   M u l t i m a c h i n e   Sy s t e m s   u s i n g   G e n e t i c   Al g o r i t h m .   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E n g i n e e r i n g   a n d   T e c h n o l o g y .   2 0 1 0 :   2 ( 2 ) ;   9 7 - 1 0 1 .   [ 6 ]   Sh a y e g h i   H ,   Sa f a r i   A,   Sh a y a n f a r   H A.   M u l t i m a c h i n e   Po w e r   Sy s t e m   St a b i l i z e r s   D e s i g n   u s i n g   PSO   Al g o r i t h m .   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   El e c t r i c a l   a n d   El e c t r o n i c s   En g i n e e r i n g .   2 0 0 8 :   1 2 ( 2 ) ;   7 4 9 - 7 5 6 .   [ 7 ]   C h e n   S ,   M a l i k   O P.   ¥ H   O p t i m i s a t i o n - Ba s e d   Po w e r   Sy s t e m   St a b i l i z e r   D e s i g n .   I EE Pr o c e e d i n g s   Pa r t   C .   1 9 9 5 ;   1 4 2 ( 2 ) :   1 7 9 - 1 8 4 .   [ 8 ]   C h e n   S ,   M a l i k   O P.   P o w e r   Sy s t e m   S t a b i l i z e r   D e s i g n   U s i n g   M u   Sy n t h e s i s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   En e r g y   C o n v e r s i o n .   1 9 9 5 ;   1 0 ( 1 ) :   1 7 5 - 1 8 1 .   [ 9 ]   M o h a m e d   Bo u h a m i d a ,   M o u l o u d   D e n a i .   R o b u s t   St a b i l i z e r   o f   El e c t r i c   Po w e r   G e n e r a t o r   u s i n g   H     w i t h   Po l e   Pl a c e m e n t   C o n s t r a i n t s .   J o u r n a l   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g .   2 0 0 5 ;   5 6 ( 7 ) :   1 7 6 - 1 8 2 .   [ 1 0 ]   H   C h e n ,   H o n g   Ba i ,   M i n g   L i u ,   Z h i z h o n g   G u o .   W i d e - Ar e a   R o b u s t   H   C o n t r o l   w i t h   Po l e   P l a c e m e n t   f o r   D a m p i n g   I n t e r - Ar e a   O s c i l l a t i o n s .   Po w e r   Sy s t e m s   C o n f e r e n c e   a n d   Ex p o s i t i o n ,   PSC ' 0 6 .   I EEE  PES ;   2 1 0 1 - 2 1 0 8 ,   O c t .   2 9   2 0 0 6   -   N o v .   1     2 0 0 6 .   [ 1 1 ]   R i o s   M ,   H a d j s a i d   N ,   F e u i l l e t   R ,   T o r r e s   A.   Po w e r   Sy s t e m   St a b i l i t y   R o b u s t n e s s   Ev a l u a t i o n   b y   m   An a l y s i s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   Sy s t e m s .   1 9 9 9 ;   1 4 ( 2 ) :   6 4 8 - 6 5 3 .   [ 1 2 ]   H a r d i a n s y a h ,   F u r u y a ,   J   I r i s a w a .   L M I - b a s e d   r o b u s t   H 2   c o n t r o l l e r   d e s i g n   f o r   d a m p i n g   o s c i l l a t i o n s   i n   p o w e r   s y s t e m s .   I EE J   T r a n s a c t i o n s   o n   P o w e r   a n d   En e r g y .   2 0 0 4 ;   1 2 4 ( 1 ) :   1 1 3 - 1 2 0 .   [ 1 3 ]   R a o   PS ,   Se n   I .   R o b u s t   Po l e   Pl a c e m e n t   St a b i l i z e r   D e s i g n   U s i n g   L i n e a r   M a t r i x   I n e q u a l i t y .   I EEE   T r a n s a c t i o n s   o n   Po w e r   S y s t e m s .   2 0 0 0 ;   1 5 ( 1 ) :   3 1 3 - 3 1 9 .   [ 1 4 ]   Se o g - J o o   Ki m ,   So o n m a n   Kw o n ,   Y o u n g - H y u n   M o o n .     L o w - O r d e r   R o b u s t   Po w e r   Sy s t e m   St a b i l i z e r   f o r   Si n g l e - M a c h i n e   Sy s t e m s :   A n   L M I   Ap p r o a c h .   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   C o n t r o l ,   A u t o m a t i o n   a n d   s y s t e m s .   2 0 1 0 ;   8 ( 3 ) :   5 5 6 - 5 6 3 .   [ 1 5 ]   D o y l e   J C ,   G l o v e r   K,   Kh a r g o n e k a r   PP ,   F r a n c i s   BA.   St a t e - S p a c e   So l u t i o n s   t o   St a n d a r d   2 H   a n d   ¥ H C o n t r o l   Pr o b l e m s .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Au t o m a t i c   C o n t r o l .   1 9 8 9 ;   3 4 :   8 3 1 - 8 4 7 .   [ 1 6 ]   Bo y d ,   L   El   G h a o u i ,   F e r o n ,   Ba l a k r i s h n a n .   L i n e a r   M a t r i x   I n e q u a l i t i e s   i n   Sy s t e m s   a n d   C o n t r o l   T h e o r y .   Ph i l a d e l p h i a   PA:   SI A M   Vo l .   1 5 .   1 9 9 4 .   [ 1 7 ]   G a h i n e t ,   N e m i r o v s k i ,   L a u b ,   M   C h i l a l i .   T h e   L M I   C o n t r o l   T o o l b o x .   T h e   M a t h w o r k s   I n c .   1 9 9 5 .   [ 1 8 ]   L G h a o u i ,   F   D e l e b e c q u e ,   R   N i k o u k h a h .   L M I T O O L :   U s e r - f r i e n d l y   I n t e r f a c e   f o r   L M I   O p t i m i z a t i o n :   EN ST A/ I N R I A .   1 9 9 5 .   [ 1 9 ]   Kh a r g o n e k a r   PP ,   M a r i o   R o t e a .   M i x e d   H 2 / H ¥     C o n t r o l :   A   C o n v e x   O p t i m i z a t i o n   Ap p r o a c h .   I EEE   T r a n s a c t i o n s   o n   Au t o m a t i c   C o n t r o l .   1 9 9 1 ;   3 6 ( 7 ) :   8 2 4 - 8 3 7 .   [ 2 0 ]   M   C h i l a l i ,   G a h i n e t .   ¥ H   D e s i g n   w i t h   Po l e   Pl a c e m e n t   C o n s t r a i n t s :   An   L M I   Ap p r o a c h .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Au t o m a t i c   C o n t r o l .   1 9 9 6 ;   4 1 ( 3 ) :   3 5 8 - 3 6 7 .   [ 2 1 ]   C   S c h e r e r ,   G a h i n e t .   M u l t i o b j e c t i v e   O u t p u t - F e e d b a c k   C o n t r o l   v i a   L M I   O p t i m i z a t i o n .   I EEE   T r a n s a c t i o n   o n   Au t o m a t i c   C o n t r o l .   1 9 9 7 ;   4 2 ( 7 ) :   8 9 6 - 9 1 1 .   [ 2 2 ]   Y   N   Y u .   El e c t r i c   Po w e r   Sy s t e m   D y n a m i c s .   N e w   Y o r k :   Ac a d e m i c   Pr e s s .   1 9 8 3 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.