TELKOM NIKA , Vol.12, No .4, Dece mbe r  2014, pp. 10 23~103 0   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v12i4.535    1023      Re cei v ed Au gust 28, 20 14 ; Revi sed O c t ober 3 0 , 201 4; Acce pted  No vem ber 1 6 ,  2014   Complex Optimization Problems Using Highly Efficient  Particle Swarm Optimizer      Kaiy ou Lei 1 ,  Changjiu  Pu* 2   1  Intellige n t Soft w a r e  an d Softw a r e En gin eer i ng La bor ator y ,   South w e s t Uni v ersit y , Ch on g q in g 40 071 5,  Cho ngq in g, Ch ina   2  Net w ork C ent er, Chon gqi ng  Univers i t y   of Educ ati on, Ch on gqi ng 4 000 67,  Cho ngq in g, Ch ina   * Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : pcj88 8 0 289 @sina.c o m      A b st r a ct   Many e ngi ne er ing  prob le ms  are the c o mpl e x opti m i z a t io n pro b le ms w i t h  the l a rg e nu mb ers o f   glo bal  an dl ocal  opti m a.  Due  to its co mplex i ty, gen eral   parti cle sw ar m o p ti mi z a t i o n   meth o d  inc lin es tow a rds   stagnati on p h e n o m e na i n  the  later stag e of e v oluti on, w h ich  leads to  pr e m ature co nverg e n ce. T herefor e, a   hig h ly efficie n t  particle sw arm opti m i z e r   is prop ose d  i n  this pa per,  w h ich empl oy the dyn a mic   transitio nstrate g y ofin ertia fac t or, search sp ace b oun dary  ands earchv e l o citythresho l db a s ed o n  in divi d ual   cognitionin each cycle to plan lar ge-sc ale space glob al search and r e fined lo c a l s earch as  a whole  accord ing to  the fitness c h a nge  of sw arm  in o p ti mi z a ti on  process  of the en gin eer ing  prob le ms, an d  t o   improve c onv e r genc e prec isio n, avoi d pre m a t ure pro b le m, e c ono mi z e  co mputatio na l exp e n ses, an d obta i n  glo bal o p ti mu m. Sever a l co mp lex b ench m ark functions   are use d  to testify the new   alg o rith m an d  th e   results show ed  clearly the rev i sed al gorith m   c an rap i dly co nv erge at hi gh q u a lity sol u tions.      Ke y w ords : par ticle sw arm o p timi z e r, co mpl e x optim i z a t i on  prob le m, pre m ature conv erg e n ce       1. Introduc tion  As a newly d e velope d po pulation - ba se d comp utatio nal intelligen ce alg o rithm,  Particle   Swarm  O p timization  (PSO ) wa s  origi nat ed a s   a  simul a tion of  sim p lified soci al mo del of  bird s in  a   floc k [1]-[4]. The PSO  algorithm  has  les s  parame ters, ea sy impl e m entation, fa st convergen ce   spe ed a nd ot her  cha r a c teristics, is  wid e ly use d   in many  fields, s uch as solvin g  com b inato r ial  optimizatio n, fuzzy control, neur al ne twork trai nin g , etc. But, the PSO alg o rithm  with othe r  algorithms is also easy to fall into local optim umin  fa s t  c o n v er g e n c e  pr oc es s ,  a ffe c t ing  th e  conve r ge nce  pre c isi on, so how to ove r come  prematu r e convergen ce, and  im pro v e the accura cy  of convergen ce is al way s  a hot and difficult pro b lem i n  the re sea r ch field [5]-[11].  To avoidthe p r ematu r e p r o b lem and  spe ed up the con v ergen ce p r o c e ss, the r ea re many  approa che s   sug g e s ted b y  rese arche r s.According  t o  the re se arch results p u b lish ed in  re cent  years,  the i m provem ent of  PSO al gorit hm mai n ly  in clud es adj ust i ng al gorith m  pa ramete rs,  the   improvem ent  of topol ogi cal structu r e,  and mixe d  wi th other alg o rithm, etc [6]-[ 12].The p u rp ose  of improvem ent strate gie s is to b a lan c e the global  sea r ch abilit y and local  sea r ch ability of  particl es, so as to improve  the performa n ce of the alg o rithm.   In this pape r, we modifie d  the traditio nal PSO (TP S O) algo rith m with the dynamic  transitio n stra tegy ofinertia  factor, se arch sp a c e b o u ndary an dsea rchvel ocitythresh o ldb a se d on  individual  co gnitionin  ea ch cy cle,which c an  bal an ce  the glo bal  se arch  ability a nd lo cal  sea r ch  ability of particle s , and ha s an excellent  sea r ch pe rf ormance to lea d  the sea r ch dire ction in e a rly  conve r ge nce  stage  of se arch p r o c e s s. Experim ent al re sults  on  several co mplexben ch mark  function s de monst r ate tha t  this is a verypromi s in g w a y  to improve the sol u tion q uality and rat e  of  su ccess si gni ficantly in optimiz ing  com p l e x engine erin g probl em s.  Section 2  gives  some  ba ckgroun d kno w led ge of th e PSO algo ri thm. In secti on 3, the   prop osed me thod and the  experimental  design a r e  descri bed in  detail, and  correlative re sults  are given in  section 4. Fina lly, the  discu ssion s  are dra w n in sectio n 5.        2. Back Gr o und   In 199 5, the  pa rticle  swarm  optimize r   (PSO ) i s   a po pulatio n basedal gorith m  that  wa sinvente d  by Jame s  Kennedy a n d  Ru ssell Eberh a rt,which  wa s inspire d  by the so cial  behavio rof a n imals  su ch  as fish  scho o ling and bi rd  flockin g .Similar to othe r p opulatio n-b a sed  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4:  102 3 – 1030   1024 algorith m s, such as evol utionary alg o rit h ms, PSO  can solve a v a riety ofdifficult optimizati on  probl em s but  has sho w n  a fasterconve r gen ce  rate  than othe r evolutiona ry alg o rithm s  on so me  probl em s. An othera d vanta ge of PS O i s   that it  ha s  ve ry  few parame t ers  toadj ust, whi c h makes it  particula rly e a sy to im ple m ent [1]. In  PSO, each p o tential soluti on is a  “bi r d ”  in th e sea r ch   spa c e,  whi c h  is  calle d “pa r ticle ” . Each  particl e  h a s  a fitness valu e evaluate d   by the obj ect i ve  function,  and  flies ove r  th e solution  sp ace  with  a  v e locity by foll owin g the  cu rre nt glob al b e st   particl e and it s individual b e st po sition. With the di re ction s  of best  particle s , all particl es of th e  swarm  can e v entually land  on the best solution.   The fo undati on of PSO  i s  b a sed  on t he hyp o th e s i s that so cial sha r ing   of  inf o rmatio n  among  co nspecifi c soffers an evolut io n a ry advanta g e .In the ori g i nal PSO formula, pa rticle  i is  denote d  a s   X i = ( x i1 ,x i2 ,...,x iD ), whi c h  rep r e s ent s a  pote n t ial sol u tion t o  a  pro b lem  in D-dim e n s io nal  spa c e. Ea ch  particl e maint a ins  a memo ry of its previous  be st po sition  Pbes t,  and a velo cit y   along e a ch d i mensi on, re pre s ente d  a s   V i = ( v i1 ,v i2 ,...,v iD ). At each  iteration,  the positio n of the  particl e with the best fitness in the se arch sp ace, desi gnate d  as g, and the  P vector of  the  curre n t pa rticle are  combi ned to  adju s t  the velo ci ty along  ea ch  d i mensi on, a n d that velo city is  then used to comp ute a ne w po sition for the particle.   In TPSO, the  velocity and p o sition of pa rticle  i  at ( t+ 1 ) th iteration a r e  updated a s  follows:     t id t gd t id t id t id t id x p r c x p r c v w v 2 2 1 1 1                                                         (1)     1 1 t id t id t id v x x                                                                 (2)    Con s tant s c1 and c2 d e termin e the  relative influen ce of the  soci al and  cog n ition  comp one nts  (lea rnin g rates),  whi c h  o ften both a r e set to the  sam e  valu e  to give e a c h  comp one nt e qual  weig ht;  r 1  an d  r 2   are  ran dom  nu mbers  uniformly distri bute d  in th e inte rval  [0,1].A c ons t ant,  v ma x , was u s e d  to limi t  the velocitie s  of th e pa rti c le s. The  pa rameter  w , whic h  wa s introd uced as a n  ine r tia factor,  can dynami c al ly adjust the  velocity over time, grad u a lly  focu sing the  PSO into a local search [5] .     To speed  up  the co nverg e n ce  pro c e s s  and av oi d the  prem ature problem, Shi p r opo sed   the PSO with linearly decrease fa ctor method (LDWPSO)  [4],[5].  Suppose  w ma x is the maxi mum  of inertia fact or,  w mi n  is the minimum of inertia fa ctor,   run  is the  cu rre nt iteration s ,  run ma x  is the  total iteration s . The ine r tia factor i s  form ulated a s :      max min max max run run w w w w                                      (3)      3. A Highly  Efficien t Parti c le S w a r m  O p tim i zer ( H E PSO)   Due to thecomplexity of a  gr eat deal global and  local optima,TPSO isrevised as  HEPSO   by fourdynam ic strategie s  to  adapt comp lex optimizati onproble m s.       3.1. D y namic  Harmonizati on Inertia Fa ctor  w     First of all, the large r   w   ca n enha nce gl obal search a b ilitie s of PSO, so to expl ore la rge - scale search  spa c e a nd ra pidly locate th e app ro ximat e  positio n of global o p timu m, the smalle r  w   can enhance  local  s earch  abilities of PS O, part icles sl ow down,  deploy  refined l o cal  search,  and   obtain glo bal  optimum. Seco ndly, the more diffi cult the optimiza t ion probl em s are, the more   fortified  the global sea r ch  abilities n eed,  on ce  lo cated th e ap proximate  po sition of glo bal  optimum, the  refine d lo ca l sea r ch  will  furthe r be  strengthe n to  get glob al o p timum [7]-[1 2].  Therefore,the   w can  ha rmo n ize  glo bal  search  an d lo ca l se arch aut omatically, a v oid  p r ematu r e   conve r ge nce and to rapi dly gain glob al o p timum.  Acco rdi ng to  the  con c lu si ons ab ove,  a  ne w in ertia   factor de cline  cu rve  ⑷ for PSO  is  con s tru c ted,  demon strated  in Figure 1:     n run run n w w max max ^ * exp *                                                     (4)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Com p lex O p tim i zation Prob lem  Using Hi ghly Effici ent  Particle Swarm  Optim i zer (Kaiyou L e i)  1025 Whe r e  n  is a  con s tant larg er than 1, taken 50 as  initi a l value in the pape r.Evidently, th e   inertia  facto r  de cline  curve of figu re  1can fo rcef ully  se arch   l a rge - scale gl obal sp ace, and   dynamically tran sform to refined lo cal search,  nam el y global se arch abilitie s a nd local se arch   abilities are harmoni zed base d on the strategy to adapt demand of  compl e x   optimizatio np roble m s.           Figure1. Dyn a mic ha rmo n i z ation  w  cu rv e        Figure 2. Dyn a mic tra n sfo r mation  w  curves      3.2.D y namic  Trans f orma tion Inertia Fa ctor  w  Strateg y     Global  se arch an d lo cal  search  are  two  key a s p e ct s  of PSO ba se d on  w . In  a given time  of se arch  pro c e ss, it i s   usua lly ha rd to   determi ne,  when to  end  the la rge - scal e  glo bal  sea r ch,  and sta r t loca l search,a nd  gain qui ck co nverge nce [8]-[10].  In figure 2 ,p1,  p2,…, pn  are  tran sform a tio n  poi nt s, d1,  d2, …, dn  are  global  co nve r gen ce     points, th e al gorithm  sele ct a tran sfo r m a tion p o int fro m  them,   and  switch  to refined l o cal  sea r ch   to glob al  con v ergen ce  poi nt. The  sel e ct ion of t r an sfo r mation  poi ntis u s u a lly ha rd. To confirm  the   transfo rmatio n poi nt,the a l gorithm  is d e sig ned  to   combine  iteration time s of  cu rrent gl ob al  optimum of functions.If the curren t global  optimum is not improved  a fter the search of an interv al   of definite iterations, the  al gorithm  switch  to refin ed l o cal  se arch  with the  smal ler  n , or   c o n t in ue  curre n t global  search  with the cu rrent  n . Thecomp u ted  equation i s  d e fined a s :    n r r n esle n n p p IF i gd k i gd 2 1                                               (5)     Whe r e k i gd p , i gd p are th e  (i + k )th,  i th  ,tak en values of  t gd p r e spec tively,  k  i s  an  i n terval of  definite iterati ons.       3.3.D y namic  Trans f orma tion Search S p ace Bound ar y  Strategy   In se arch  proce s s, all  p a rticle s  gath e r g r a dually  to the  cu rrent be st  reg i on, the   algorith m is p r opitiou s to q u icken  conve r gen ce be cau s e of the  re duced sea r ch  spa c e, b u t, the   global optim a  may be lost [7]-[10]. In most ca se s, the global optim a  may be hidd en som e whe r e   in the gath e r ing a r e a  ne arby, and th e effect ive search a r e a fo und i s  not  easy.To  solv e  thepro b lem, t he imp r oved  algorith m  not  only red u ce s the  se arch sp ace  to qui cke n   co nverg e n c e,  but also avoi ds the  prem ature  pro b le m, esp e ci ally in co mplex  optimizatio np roble m s.Th us, a  dynamic tra n s form ation  search  sp ace boun dary  strategy is de sign ed  ba se d on  individ ual  cog n ition. Assume that  a particl e  flight in the cu rrent  boun dary [ b ma x ( i ), b mi n ( i )], the  algorith m re du ce th e  sea r ch  bou nda ry if the  curre n t op timum is bett e r, othe rwise, expan d sea r ch  boun dary in n e xt iteration, and  in the sa me br e a th, ra ndomly initiali ze the sp eed  and po sition  o f   each p a rticl e  after th e  k  it eration s . T h e b ma x  and  b mi n  are the  bo u ndary  of the   swarm  in th e   k  iteration. The  comp uted eq uation is d e fined a s :  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4:  102 3 – 1030   1026         min max min min min max max max min max min min min max max max i i b b r r i b i b b b r r i b i b else b b r r i b i b b b r r i b i b gbest gbest IF 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1                                             (6)      3.4. D y namic  Transformation Search Velocit y  ThresholdStra t eg y     Many publi s h ed works  ba sed  on p a ra meters sele ction pri n ci ple s  pointed  out, velocity   threshold  [ v ma x ( i ), v mi n ( i )] of a p a rti c leaff e cts the  co n v ergen ce  p r e c isi on  and  sp eed  of alg o rit h m  s t rongly [9]-[11]. Large v ma x ( i )incre ases th e sea r ch regi on, enha nc in g global sea r ch capa bility,  as  well as  sm all   v ma x ( i ) de c r e a se s t h e  sea r ch  r egio n ,  a d just in g  sea r ch  dire ct ion   of  ea ch  part i cle  freque ncy. T hus, adyna mi c tran sform a tion sea r ch  velocitythre sh oldstrategy is design ed ba sed   on individual  cog n ition. Th e v ma x  and  v mi n  are the thre shol d of the swarm in the   k  iteration s , th e   comp uted eq uation is d e fined a s :            min max min min min max max max min max min min min max max max i i v v r r i v i v v v r r i v i v else v v r r i v i v v v r r i v i v gbest gbest IF 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1                                     (7)     Accordi ng to  the above m e thods, TPSO is  modified  as HEPSO, whi c hhas the excellent  s e arch performance to optimiz e  c o mplex probl ems .  The flow of  the HEPSOalgorithm is   as   follows :  Step1.   Set algorithm  param eters;   Step2.   Ran domly initialize the  sp e ed and p o siti on of each pa rticle;   Step3.    Evaluate the fitness of e a c h pa rticl e  a nd dete r mine  the initial values of the in dividual   and glo bal be st positio ns: t id p and t gd p ;  Step4.   Upd a te veloci ty and positio n usin g (1 ), (2) and  (4);   Step5.    Evaluate the fitness a nd d e termin e the curr e n t value s  of the indivi dual an d glo bal be st  positio ns:  t id p and t gd p ;  Step6.   Dete ct  the  gbe st i ,  gbest i+1  and  gbest i+k , to dynamically tran sform w, sea r c h  spac e  boun dary an d  velocity threshold u s ing (5), (6)an d  (7 );  Step7.   Ran domly initialize the  spe ed and p o siti on after the  k  iteration s ;  Step8.    Loop to Ste p  4 and  re pea t until a give n maximum i t eration  num ber i s  attain e d  or th e  conve r ge nce crite r ion i s  sa tisfied.      4. Computati onal Experi ments   4.1.Testing F unction s   To tes t  the  HEPSO and  c o mpare it with ot her tec h niques  in the  literature, we adopt  large  variety  of ben ch ma rk fu nctio n s  [8]-[16], amo ng which mo st fun c tion s  are  multimod al,  abno rmal o r  comp utationa l time con s u m ing, and  ca n hardly get  favorable  re sults by cu rre nt  optimizatio n  algorith m . Due to limited  spa c e,  we   only sel e ct f our  rep r e s en tative functio n s  optimizatio n result s to list in the pape r.    500 500 sin ) ( 1 1 i n i i i x x x x f                                           (8)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Com p lex O p tim i zation Prob lem  Using Hi ghly Effici ent  Particle Swarm  Optim i zer (Kaiyou L e i)  1027 12 . 5 12 . 5 ] 10 ) 2 cos( 10 [ ) ( 1 2 2 i i n i i x x x x f                   (9)    32 32 20 )) 2 cos( 1 exp( ) 2 1 5 1 exp( 20 ) ( 1 1 3 i n i i n i i x e x n x n x f                 (10)    600 600 1 ) cos( 4000 1 ) ( 1 1 2 4 i n i n i i i x i x x x f           (11)      4.2. Algorith m  Parameter  Setting    Paramete rs u s ed  in  ou r al gorithm  a r e  set to b e : lea r ning  rate  c 1 =c 2 =2;  w = 0 .7,  w ma x  =1,   w mi n = 0 .1; maximumiterations   ru n ma x =30000; iteration s   k  =1 000 (30 0  for  f 1 ( x )); p opulatio n size is  100; spee d a nd po sition  of parti cles are  limited in  defi n ition area of  function s; take functio n   f 1 ( x ),   f 2 ( x ),  f 3 ( x ),  f 4 ( x ) a s  fitness value. Stop rule is: | f best ─ f min| ≤ 10 -4  ( f best an d  f min are the glo bal  optimum and   the cu rrent getting  o p tim u m).  T he  ru n n ing  enviro n m ent i s : MAT L AB7.0, Pent ium  IV 2GHz  CPU, 256M RA M, Win XP OS.      4.3.Experimental Results  The te sting  function s i s   run5 0 time s based o n T PSO, LDWP SO and  HE PSO, the   comp ari s o n   of statistical  results of 2 0 - 100 0 dime n s ion s  fun c tio n s a r e  sho w n in table 1 - 2 ,   respe c tively. In addition, t he datum  of l i terature  [12]  (MAGA) i s  li kewi se li sted i n  table 1. 1 0 0 0 - 1000 0 dimen s ion s  fun c tio n s a r e test with MAGA,TPSO, LDWPS O  and HEPS O based on t he  sampli ng inte rval 500, each testing function run s   20 times yet, the statistical re sults a r e sh o w n   in table 1-2 a nd figure 3 - 6,  resp ectively.    Table 1. Re sults of 20-1 0 0 00 dimen s io n s   functio n s av erag e co nvergen ce iteratio ns  n Function  Stopcriterion  Algorithm  MAG A  TPSO  LDWPSO  HEPSO  20  f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   2483   4301   3583   2566   2120   685  731  936  1872   377  608  1873   802  102  77  1632   100  f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   5443   10265   5410   4447   3743   934  872  1169   2659   865  864  948  867  209  151  2346   200  f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   7284   14867   6061   5483   6562   1183   1063   1349   4458   962  947  1135   887  1278   165  2678   400  f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   12368   17939   6615   6249   10348   1461   1564   1723   7659   1123   1062   1587   1586   1743   245  2356   103  f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   22827   20083   7288   7358   15617   2834   2034   2327   13457   1260   1143   4562   2654   1668   389  2698   2×10 3   f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   45621   17521   7156   14578   27435   6533   2867   4021   18652   4534   1145   2523   10845   3532   452  2034   4×10 3   f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   90453   13067   7611   12034   70123   8545   3823   6701   40032   4065   1945   4967   15034   2056   624  2506   6×10 3   f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   130067   13166   7607   16223   85324   9022   4712   8156   43136   4517   2055   3578   25156   2533   1156   3156   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4:  102 3 – 1030   1028 n Function  Stopcriterion  Algorithm  MAG A  TPSO  LDWPSO  HEPSO  8×10 3   f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   125245   14523   7921   18234   81489   85434   4567   7067   61378   6556   3467   4523   18000   3500   568  3512   10 4   f 1 (x )   f 2 (x )   f 3 (x )   f 4 (x )   10 -4   198745   19807   7992   27983   130679   14332   6621   15357   85045   8523   4434   13534   41289   4668   1745   6123       Table 2.Com pari s on  re sult s of 20-1000 0  dimensi o n s  functio n s ave r age converge nce rate (%)    n   f 1  (x )   f 2  (x )   TPSO  LDWPSO HEPSO TPSO  LDWPSO  HEPSO  20 82.2  89.7  100  100  100  100  100 52.7  65.8  100  84.4  100  100  200 33.5  53.5  100  66.3  90.7  100  400 26.6  45.1  98.1  43.8  65.2  100  10 3  6.8 22.1  93.2  31.2  54.3  100  2×10 3  5.5  19.8  84.3  24.2  43.6  89.8  4×10 3  4.2  16.8  69.1  22.3  39.7  84.4  6×10 3  2.9  14.4  60.1  19.7  32.6  78.3  8×10 3  1.8  12.8  53.6  28.5  30.5  70.1  10 4  1.3  11.6  44.7  16.3  25.9  64.8  n   f 3  (x )   f 4  (x )   TPSO LDWPSO  HEPSO  TPSO  LDWPSO  HEPSO  20   87.3 100  100  69.4  90.6  100  100 61.8  91.2  100  50.7  72.5  100  200 40.6  72.6  100  30.1  53.8  95.7  400 33.9  54.5  95.3  20.8  38.8  90.3  10 3  14.1  47.3  90.6  7.2  24.3  89.5  2×10 3  8.7 22.8  84.6  23.5  23.5  78.2  4×10 3  7.1  20.4  68.4  21.7  17.3  58.4  6×10 3  5.4 15.6  60.1  18.5  14.2  55.1  8×10 3   4.9 14.1  57.8  16.9  12.3  50.4  10 4  3.6 12.4  53.6  15.3  10.5  43.6          Figure 3. The  convergen ce  result s of f 1 (x )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Com p lex O p tim i zation Prob lem  Using Hi ghly Effici ent  Particle Swarm  Optim i zer (Kaiyou L e i)  1029     Figure 4. The c onve r ge nce results of f 2 (x )            Figure 5.The c onve r ge nce results of f 3 (x )            Figure 6. The c onve r ge nce results of f 4 (x )       5. Conclusio n   The exp e rim ental results of Tabl e 1 - 2  ca n  de du ce th at the  effectivene ss of the   HEPSOalgori thm based on individual cognitioni s vali dated,whi c h guide particles to search in t he  more  effective are a thro ug h dynami c  ad justmentt he search spa c e,   provi de stabl e  co nverg e n c e,  resulting in hi gher  su ccess rate and a c cura cy of  conv erge nce. The  algorithm run s  cla s sical PSO  only, so to ke eps its  simple  and ea sy ch ara c teri stic.   The experimental results   of Figure 3-6 s h ow that the HEPSOalgor ithm has  exc e llent  sea r ch pe rfo r man c e, e s p e cially compl e x enginee ri ng pro b lem s .  As the dimensi o n s  of the   function s g r o w  fleetly, the increa se of th e aver a ge co nverge nce st eps i s  sl ow,  so the al gorit hm  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4:  102 3 – 1030   1030 has  rapi d co nverge nce sp eed a nd can  avoid premat ure.In ad ditio n , it can ea sil y  be applie d  to   large a nd mo re co mplex practical multi-o b jective optim ization p r obl e m s.       Ackn o w l e dg ements   This work is  suppo rted by Key Project o f   Chine s e Min i stry of Educa t ion (104 262 ).      Referen ces   [1]   J. Kenne d y ,  RC. Eber hart . Particle swarm  optim i z a tion . Proceedings of IEEE International  Confer ence  on  Neura l  Net w or ks. Piscata w a y, USA. 1995: 1 942- 194 8.   [2]   X .  Hu, RC. Eberhart, YH. Shi.  Engi neer in g o p timi z a ti on w i t h  p a rticle sw ar m.  Proc ee din g s  of the IEEE   S w a rm Intell ig ence S y mp osi u m. Indian ap oli s , Indiana. 2 0 0 3 : 53-57.   [3]   Clerc, J. Ke nn ed y. T he partic l e s w a rm: e x p l osio n,  stabi lit y ,  an d co nverg e n ce i n   a mu lti-dime nsio n a l   complex  space.  IEEE  Transac tions on Evo l uti onary C o mput ation . 20 02; 6( 1): 58-73.   [4]   YH. Shi, RC.  Eberh a rt.  Emp i rical stu d y of  particl e sw arm opti m i z at ion .  Procee din g s o f  the IEE E   Con g ress on E v oluti onar y C o mputatio n.  Piscata w a y, USA.  1999: 1 945- 19 50.   [5]   YH. Shi, RC. Eberh a rt.   A modifi ed p a rticle  sw arm opti m i z er . Proceedings of the IEEE Congress o n   Evoluti onar y C o mputati on.  Ne w   York. 1 998:  69-7 3 .  [6]   Che n  D, W a n g  GF , Chen Z Y .  T he in ertia w e ig ht self-a dap ting i n  PSO . Procee din g s of t he Sev ent h   w o rld C o n g res s  on intel lig ent  Contro l and  au tomation. Ne w   York. 2008: 5 3 13-5 316.   [7]   Ange lin e, P.  Using  sel e ctio n to i m pr ove  particl e sw arm opti m i z at io n . Procee din g s o f  IJCNN’9 9 .   W a shin gton, U SA. 1999: 84- 8 9 .  [8]   Kai y o u  L e i, Y u hui Qi u, Yi  He .  A new  a dapti v e w e ll-ch ose n  inerti a w e i ght  strategy to  au tomatic a l l y   har mo ni z e  gl o bal and loc a l   search abi lit y  in  p a rticle sw arm  o p timi zation . Proc ee din g s of 1st   Internatio na l S y mp osi u m on  S y stems a nd  Contro l in   A e ro space and Astrona utics.Harb i n Chi na.  2 0 0 6 :   342- 346.   [9]   Che n  Bi ng-ru i, F eng   Xia-ti ng . Particle  s w ar m opt imiz atio n   w i th c ontract ed r ang es  of  both s earc h   space a nd ve lo cit y .  Jour nal of  Northe astern U n iversity (Nat ur al Scie nce) . 20 05; 5: 488- 491.   [10]   Y.Shi, RC. Eberhart.  Para me ter selectio n in  particle sw ar mo pti m i z a t i o n .  Proceed in gs of theSeve n t h   Annu al Co nfer ence o n  Evol ution a r y  Pr ogra mming. Ne w  Y o rk. 1998; 1 4 4 7 : 591– 60 0.  [11]   W ang Ju n- w e i ,  W ang Di ng- w e i. E x p e rime nts and  an al ysis on  inerti a   w e i ght in  pa rticle s w ar m   optimiz ation.  J ourn a l of Syste m s En gin eeri n g . 2005; 2: 18 4 - 198.   [12]   Z hong W e i-ca i, Xue Mi ng-zh i, et  al. Multi-agent gen etic alg o rithm for sup e r-hig h dim ens ion   comp l e x  functions optimization.  Natural  Science Pro g r e ss . 2003; 1 0 : 107 8-10 83.   [13]   Li Bi ng- yu,  Xi ao Yu n-shi,  W ang L e i. A  h y bri d  partic l e  s w a rm o p timi zation  alg o rith m for solvi n g   compl e x functi ons  w i th h i g h  d i mensi ons.  Info rmati on a nd C ontrol . 20 04; 1:  27-30.   [14]   Hui   w a ng, Z h ij ian  W u , S  Ra hnma y a n . E n h ance d   opp ositi on  bas ed  diffe rentia l ev ol utio n for s o lvi n g   hig h -dim ensi o n a l conti nuo us  optimizati o n  probl ems.  Soft Compti ng- A F u sion of F ound atio ns,   Method olo g i e s and Ap plic atio ns . 2011; 1 5 (1 1): 2127- 21 40.   [15]   Li W en-fen g , Lia ng  Xi ao-l e i,  Z hang Yu. R e searc h  on P S O  w i th cl uste rs and het ero gen eit y .  Acta  Electron ica Sin i ca . 201 2; 40(1 1 ): 2194- 21 99.   [16]   Y Shi, L Gao, G Z hang. Cell ular  p a rticles  w a rm optimiz a t ion.  Information Sciences . 20 11; 181( 20):   446 0-44 93.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.