T E L K O M N I K T elec o m m un ica t io n,  Co m pu t ing ,   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.   19 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 2 1 ,   p p .   2 5 2 ~ 2 6 4   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   ac cr ed ited   First Gr ad b y   Kem en r is tek d i k ti,  Dec r ee   No : 2 1 /E/KPT /2 0 1 8   DOI 1 0 . 1 2 9 2 8 /TE L KOM NI K A. v 1 9 i1 . 1 6 2 9 8     252       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //jo u r n a l.u a d . a c. id /in d ex . p h p /TELK OM N I K A   Applica tion o f   mo del redu ction  for  ro bust contro l o   self - ba la ncing  t w o - wheeled  bicycle       Vu N g o K ien Ng uy en  H o ng   Q ua ng ,   Ng o   K ien Trun g   T h ai  Ng u y e n   Un iv er s ity   o f   T e ch n o lo g y ,   T h ai  Ng u y e n   C ity ,   Vietn am         Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ap r   9 ,   2 0 2 0   R ev is ed   J u l 1 6 ,   2 0 2 0   Acc ep ted   Au g   2 9 ,   2 0 2 0       In   re c e n t   y e a rs,  b a lan c e   c o n tro o tw o - wh e e led   b icy c le   h a re c e iv e d   m o re   a tt e n ti o n   o sc ien ti sts.  On e   d iffi c u lt y   o th is  p ro b lem   is  th e   c o n tr o o b jec is  u n sta b le an d   c o n sta n tl y   imp a c ted   b y   n o ise .   T o   so lv e   t h is p r o b lem ,   t h e   a u th o rs   o ften   u se   ro b u st  c o n tr o a lg o r it h m s.  Ho we v e r,   ro b u st  c o n tro l ler  o se lf - b a lan c in g   two - w h e e led   b ic y c le  a re   o ften   c o m p lex   a n d   h ig h e o rd e so   a ffe c to   q u a li ty   d u ri n g   re a c o n tro ll i n g .   T h e   a rti c le  in tr o d u c e th e   sto c h a stic  b a lan c e d   tru n c a ti o n   a l g o ri th m   b a se d   o n   S c h u a n a l y sis  a n d   a p p li e th is  a lg o rit h m   to   re d u c e   o rd e h ig h e o rd e ro b u st  c o n tro ll e i n   c o n tr o l   b a lan c in g   two - wh e e led   b icy c le  p ro b lem .   T h e   sim u latio n   re su l ts  sh o t h a th e   re d u c e d   4 th   a n d   5 th   o rd e c o n tr o ll e a rc o o rd in g   to   th e   st o c h a stic  b a lan c e d   tru n c a ti o n   a lg o rit h m   b a se d   o n   S c h u a n a ly sis   c a n   c o n tro th e   tw o - wh e e led   b ic y c le  m o d e l.   Th e   re d u c e d   3 rd   o rd e c o n tr o ll e c a n n o t   c o n tr o t h e   b a lan c e   o f   th e   t wo - wh e e led   b icy c le  m o d e l.   T h e   re d u c e d   4 th   a n d   5 th   o rd e c o n tr o ll e c a n   re p lac e   t h e   o ri g in a l   c o n tro ll e wh il e   th e   p e rfo rm a n c e   o t h e   c o n tr o s y ste m   is  e n su re d .   Us in g   re d u c e d   5 th ,   4 th   o rd e c o n tro l ler   will   m a k e   th e   p ro g ra m   c o d e   sim p le r,   re d u c in g   th e   c a lcu latio n   ti m e   o th e   se lf - b a lan c in g   tw o - wh e e c o n tr o sy ste m .   Th e   sim u latio n   re su lt sh o t h e   c o rre c tn e ss   o th e   m o d e re d u c ti o n   a l g o rit h m   a n d   th e   ro b u st  c o n tro a lg o r it h m   o f   two - wh e e led   se lf - b a lan c in g   t wo - wh e e led   b icy c le.   K ey w o r d s :   Mo d el  o r d e r   r ed u ctio n     R o b u s t c o n tr o   Self - b alan cin g     T wo - wh ee led   b ic y cle   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Ng u y en   Ho n g   Qu a n g   T h ai  Ng u y e n   Un iv er s ity   o f   T e ch n o lo g y   No .   6 6 6 ,   3 /2   Stre et,   T h ai  Ng u y en   C ity ,   Vietn am   E m ail:  q u an g . n g u y en h o n g @ tn u t.e d u . v n       1.   I NT RO D UCT I O N   I n   r ec en y ea r s ,   r esear ch   o n   s elf - b alan cin g   two - wh ee l e d   b icy cle   h as  b ee n   in ter ested   b y   m an y   s cien tis t s .   I n   p ar ticu lar ,   d if f icu lt  p r o b lem   is   th s tu d y   o f   s elf - b alan cin g   p r o b lem   o f   th r o b o t .   T o   s o lv th e   p r o b lem   o f   b ala n cin g   two - wh ee l ed   b icy cle ,   th er e   ar e   th r ee   b asic  m eth o d s   as  f o llo ws ( a)   c o n tr o llin g   b alan ce   by   th e   f l y wh ee l,  as  in   th s tu d ies  o f   B ez n o s   [ 1 ] ,   Xu   [ 2 ] ,   an d   Kim   [ 3 ] .   L ee   [ 4 ]   Gallasp y   [ 5 ] ,   an d   Su p r ap to   [ 6 ] ;   T h an h   [ 7 ] ,   ( b )   c o n t r o llin g   b al an ce   b y   ce n tr if u g al  f o r ce   as  in   th s tu d y   o f   T a n ak an d   M u r ak am [ 8 ] ,   an d   ( c)   c o n tr o llin g   b alan ce   b y   c h an g in g   th e   ce n ter   o f   g r av ity   as  L ee   an d   Ham ' s   r esear ch   [ 9 ] Am o n g   th ese  th r ee   m eth o d s ,   c o n tr o l   o f   b alan c e   u s in g   th e   f ly w h ee h as   th a d v an t ag o f   b ein g   r esp o n s iv an d   ca n   b e   b alan c ed   e v e n   wh en   th v e h icle  is   n o t m o v in g .   I n   two - wh ee led   r o b o m o d els  th at  co n tr o t h b alan ce   b y   u s in g   th f ly wh ee l,   two - wh ee led   b i cy cle  u s es   th f ly wh ee ac co r d in g   to   th e   p r in cip le  o f   g y r o s co p e   [ 1 ,   5 - 7 ]   to   cr ea te  a   b alan ce d   to r q u f o r   th wh ee ls .   T h e   m o m en tu m   u s u ally   r ev o lv es  at  h ig h   s p ee d ,   s o   th f ly w h ee d is s ip ates  lar g am o u n o f   en er g y .   T h is   p r o b lem   lead s   to   d i f f icu lty   i n   th e   o p e r atio n   p o wer   o f   th r o b o as  th e   r o b o is   o n l y   p o wer ed   b y   a   b a tter y   with   lim ited   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         A p p lica tio n   o f m o d el  r ed u ctio n   fo r   r o b u s t c o n tr o l o f self - b a l a n cin g   tw o - w h ee led   b icyc le   ( V u   N g o K ien )   253   ca p ac ity .   I n   c o n tr ast,  th two - wh ee led   b icy cle  m o d el  u s es  th f ly wh ee ac co r d in g   to   th p r in cip le  o f   in v er te d   p en d u l u m   [ 2 - 4 ] ,   to   cr ea te  a   b alan ce d   to r q u f o r   th e   ca r ,   th e   f ly wh ee r o tates  o n ly   at  v e r y   s m all  s p ee d ,   s o   th e   en er g y   d is s ip ated   b y   th f ly w h ee is   lo w.   Du to   th r ea s o n ,   th is   m o d el  is   s u itab le  in   ter m s   o f   en er g y   s av in g   f o r   th e   ca r .   T h er ef o r e,   th e   au th o r s   p r o p o s ed   th e   s elf - b ala n cin g   two - wh ee led   r o b o t u s in g   t h e   f ly wh ee l b ased   o n   th p r in cip le  o f   in v er ted   p en d u lu m .   B ec au s two - wh ee led   b icy cle s   o f ten   h av to   wo r k   in   d if f er e n co n d itio n s ,   th ca r r y in g   ca p ac ity   m ay   v ar y ,   th e x ter n al  f o r ce s   ac tin g   o n   th v eh icles  m ay   ch an g e.   I is   d if f icu lt  to   f in d   th m o d el  o f   s elf - b alan cin g   two - wh ee led   b ic y cle,   an d   T w o - wh ee b ic y cle  c an   b c o n s id er ed   as  in d eter m in ate  o b jects  [ 5 ] .   Sev e r al  co n tr o alg o r ith m s   o f   two - wh ee led   b i cy cle  h av b ee n   p r o p o s ed   s u ch   as:  n o n lin ea r   c o n tr o b y   B ez n o [ 1 ] ,   L ee   v à     Ham   [ 9 ] ,   th co m p en s ated   d e s ig n   u s in g   th o r b ital  ap p r o ac h   b y   Gallasp y   [ 5 ] ,   PD  co n t r o l ler   b y   Su r p ato   [ 6 ] .   Du to   th u n ce r tain ty   o f   two - wh ee l m o d el,   th r o b u s t c o n tr o l m eth o d   in   [ 7 ]   is   th m o s t su itab le.   Ho wev er ,   in   th r o b u s co n tr o l   d esig n   m eth o d   R H   f ir s in tr o d u ce d   b y   Mc Far lan an d   Glo v e r   in   1 9 9 2   [ 1 0 ] ,   th e   co n tr o ller s   u s u ally   h av h ig h   o r d er   ( co n tr o ller   lev el  is   d ef in ed   as  th d en o m in ato r ) .   T h e   h ig h   o r d e r   c o n tr o ller   in tr o d u ce s   th d is ad v an tag wh en   we  u s it to   co n tr o l th b icy cle.   T h p r o g r a m   is   co m p lex .   T h ca lc u latio n   tim is   lo n g ,   s o   th r esp o n s o f   th s y s tem   i s   s lo w.   T h er ef o r e,   r ed u c i n g   th o r d er   o f   th e   co n tr o ller   wh ile  en s u r in g   th e   q u ality   o f   th co n tr o ller   h as  s ig n if ican m ea n in g   in   p r ac tical  ap p licatio n s .   I n   o r d er   to   r e d u ce   t h co n tr o ller   o r d er ,   th er ar 2   m eth o d s   ca n   b f o l lo wed :   T h f ir s m eth o d th is   m eth o d   s elec ts   f ix ed   s t r u ctu r o f   th o r d er   r ed u ctio n   co n t r o lle r   an d   th en   ap p lies   o p tim al  alg o r ith m s   to   f in d   th p ar a m eter s   o f   th o r d er   r ed u ctio n   c o n tr o ller   s o   th at  th s tan d ar d s   o f   th r o b u s co n tr o ar m et.   T h s ec o n d   m eth o d :   d esig n in g   r o b u s co n tr o ller   f o r   an   u n ce r tain   o b ject  will  o b tain   a   h ig h - o r d er   c o n tr o ller ,   t h en   p er f o r m   h ig h - o r d er   c o n tr o ller   r ed u ctio n   ac co r d i n g   to   th o r d er   r e d u ctio n   alg o r ith m s   to   o b tain   r e d u ce d   o r d er   co n tr o ller .   Acc o r d in g   t o   th a u th o r s ,   in   th f ir s t m eth o d ,   th co n tr o ller   c an   b e   lo w   o r d e r   co n t r o ller   [ 7 ] ,   b u t two   o p tim izatio n   p r o b lem s   n ee d   t o   b s o v le  s im u ltan eo u s ly   ( p r o b lem s   in   f id in g   p ar a m eter s   o f   th co n tr o ller   an d   r o b u s co n tr o l) .   T h is   is s u lead s   to   d if f icu ty   o f   th is   m eth o d .   T h p ar am eter   o f   th lo o r d e r   co n tr o ller   m a y   n o b f o u n d   if   th ch o s en   co n tr o ller   is   n o s u itab le.   I n   th s ec o n d   m eth o d ,   th o r d er   r ed u c tio n   p r o b lem   is   an   in d ep en d en p r o b lem ,   s o   it  al way s   g iv es  th e   o r d er   r ed u ctio n   r esu lt  as   in   [ 1 1 ] .   D u to   th a r ea s o n ,   th e   s ec o n d   m eth o d   h as th ad v a n tag o v e r   th f ir s t m eth o d   b ec a u s th lo o r d er   c o n tr o ller   ca n   b f o u n d   in   an y   s en ar i o .   I n   th is   p ap er ,   th au t h o r s   p r o p o s ed   th co n tr o m eth o d   o f   two - wh ee led   b icy cle  u s in g   m o d e r ed u ctio n   alg o r ith m   in   two   s tep s   as   f o llo w:   ( a d esig n   th R H   co n tr o ller   to   co n tr o l th b alan ce   o f   two - wh ee led   b icy cle,   th f o u n d   co n tr o ller   is   ca lled   a   f u ll - lev el  c o n tr o ller ,   an d   ( b )   a p p ly in g   o r d er   r ed u ctio n   alg o r ith m   to   r ed u ce   o r d e r   o f   R H   co n tr o ller   t o   lo wer   o r d er   co n tr o ller   wh ile  en s u r in g   q u ality .   T h is   s tep   r ed u ctio n   is   m ea n to   r ed u ce   th e   s y s tem   r esp o n s tim e.       2.   DYNA M I C   M O D E L   AND  M AT H E M AT I CA L   M O DE L   O F   T H E   SE L F - B AL A N CING   T WO - WH E E L E B I CYC L E     2 . 1 .     Dy na m ic  m o del o f   t he  s elf - ba la ncing   t wo - wheele d bi cy cle   T h e   two - wh ee l ed   b icy cle   m o d el  is   d ev elo p ed   b ased   o n   t h p r i n cip le  o f   b ala n ce   u s in g   f ly wh ee l   ac co r d in g   to   th e   p r i n cip le  o f   i n v er ted   p en d u lu m   [ 2 - 4 ] .   I is   b r ief ly   d escr ib e d   th e   p r in ci p le   o f   b alan ci n g   o f   th e   v eh icle  as  f o llo ws:   i f   n o   ex ter n al  to r q u ( to r q u e)   is   ap p lied   t o   an   o b ject  o r   s y s tem   ( o r   th t o tal  to r q u ap p lied   to   an   o b ject  is   ze r o ) ,   th e n   th t o tal  to r q u e   o f   th e   o b ject  will b p r eser v ed .   T h v e h icle  m o v in g   b y   2   wh ee ls ,   wh en   th e   v e h icle  d ev iates   f r o m   th e   b ala n ce   p o s itio n   ( c o r r esp o n d in g   to   a   q   an g le  ac co r d in g   to   v er ti ca ax is ) .   T h g r av ity   o f   t h v eh icle   cr ea tes  to r q u th at  m ak es  th ca r   ten d   to   f all  d o wn .   T o   m ai n tain   s tate   o f   e q u ilib r iu m ,   we  p u o n   th e   v eh icle   f ly wh ee th at  o p er at es  o n   th p r in cip le   o f   " th in v er te d   p en d u lu m ".   T h is   f ly wh ee will  r o tate  ar o u n d   th ax is   ( with   an   an g u la r   ac c eler atio n   o f   )   an d   cr ea te  to r q u e   to   co m p e n s ate  th to r q u g en er ated   b y   th e   v e h icle' s   g r av ity .   T o   co n tr o th e   ac ce ler atio n   o f   th e   f ly wh ee l,  we  u s es  DC   d m o to r   with   th v o ltag ap p lied   to   t h m o to r   b ein g   U.   T h e n ,   th p r o b lem   o f   b alan cin g   co n tr o l b ec o m es  th e   p r o b lem   o f   co n tr o llin g   th   an g le  ( o u tp u t)   b y   co n tr o llin g   th v o ltag e   ( in p u t)   ap p ly in g   to   th m o to r .   T h e   p r o b lem   r eq u ir es  th at  th   an g le  ( o u tp u t)   al way s   g o   to   ze r o .   T h e   s elf - b ala n cin g   two - wh ee led   b icy cle  th at  th au t h o r s   b u ilt is   s h o wn   in   Fig u r 1 .     T h m o d el  m ac h a n ical  p ar am eter s lo n g 1 . 1 9   m h eig h t:  0 . 5   m wid th 0 . 4   m th f ly wh e el  weig h t:   3 . 9 7 6   k g ,   d iam eter 0 . 2 6 m Dr iv in g   th f ly wh ee u s in g   DC   m o to r 1 0 0 W - 15V - 3 4 0 0   r p m   with   H - b r id g   d r iv er Me asu r in g   th f l y wh e el  v elo city   b y   E n co d er   Sh ar o   1 0 0   p u ls e;  M ea s u r in g   th q   am g le  b y   s en s o r     GY - 5 2 1   MPU - 6 0 5 0 Fo r war d   an d   r e v er s s y s tem   co n s is ts   o f   DC   m o to r ,   H - b r id g e   d r iv er   an d   r em o te  co n tr o ller .   T h h ar d war s y s tem   is   co n n ec ted   to   A r d r u i n o   m icr o p r o ce s s o r   ac co r d in g   to   t h f o llo win g   b lo ck   d iag r am   as sh o wn   i n   Fi g u r 2 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l Vo l.  19 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 2 1 :   2 5 2   -   2 6 4   254         Fig u r 1 .   T h s elf - b alan cin g   t wo - wh ee led   b icy cle  m o d el           Fig u r 2 Sch em atic  s tr u ctu r o f   b icy cle  c o n tr o ller       2 . 1 .     M a t hema t ica m o del o f   t he  s elf - ba la ncing   t wo - wheele d bicy cle   Dy n am ic  m o d el  o f   th s elf - b alan cin g   two - wh ee led   b ic y cle   is   s h o wn   in   Fig u r 3 W h er e:  m 1   is   th e   b icy cle  weig h t   ( in clu d in g   DC   m o to r ) ,   m 2   is   th e   f ly wh ee l   w eig h t,  h 1   is   th e   h eig h t   o f   th e   c en ter   g r av ity   o f   th b icy cle  ( ex clu d in g   th f ly wh e el) ,   h 2   is   th h eig h o f   th ce n t er   g r av ity   o f   th f ly wh ee l,  I 1   is   th in er tia  to r q u o f   th b icy cle,   I 2   is   th in er tia  to r q u o f   th f ly wh ee l,  q   is   th tilt   an g le  o f   th b ic y cle  co r r esp o n d in g   to   th v er tical   ax is ,   is   th r o tatio n   an g le  o f   th f ly wh ee l.   W h av e th ab s o lu te  v elo city   o f   p o i n is   | | = 1 ̇   T h ab s o lu te  v elo city   o f   p o in B   is   | | = 2 ̇ I n   [ 5 ] ,   th au th o r   u s ed   L ag r an g eq u atio n   to   d e v elo p   th d y n am ic  m o d el  o f   th v e h icle.      {  ̇ }  +  =                 ( 1 )     wh er e T   is   th to tal  k in etic  en er g y   o f   th s y s tem ,   is   th to t al  p o ten tial  en er g y   o f   th s y s tem ,   Q i   is   th ex ter n al   f o r ce ,   q i   is   th g en er alize d   co o r d in ate.           Fig u r 3 Self - b alan cin g   two - wh ee l b icy cle  m o d el       T h to tal  k in etic  e n er g y   o f   th e   s y s tem   d ef in ed   b y = 1 + 2 T 1 ,   wh ic h   is   th k in etic  en e r g y   o f   t h two - wh ee l ed   v eh icles is   d eter m in ed   b y   th f o llo win g   f o r m u la:       1 = 1 2 2 | | 2 + 1 2 1 ̇ 2     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         A p p lica tio n   o f m o d el  r ed u ctio n   fo r   r o b u s t c o n tr o l o f self - b a l a n cin g   tw o - w h ee led   b icyc le   ( V u   N g o K ien )   255   T 2 ,   wh ich   is   th f ly wh ee k in et ic  en er g y ,   is   d eter m in ed   b y   th f o llo win g   f o r m u la:      2 = 1 2 2 | | 2 + 1 2 2 ( ̇ + ̇ )       W h av e :     = 1 2 1 | | 2 + 1 2 2 | | 2 + 1 2 1 ̇ 2 + 1 2 2 ̇ 2 + 1 2 2 ̇ 2 + 2 ̇ ̇         ( 2 )       = 1 2 ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) ̇ 2 + 1 2 2 ̇ 2 + 2 ̇ ̇         ( 3 )     T h to tal  p o ten tial e n er g y   o f   t h s y s tem :     = .  . ( 1 1 + 2 2 )               ( 4 )     W ith   q i   q ,   tak in g   ( 1 - 4 ) ,   we  g et:       ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) ̈ + 2 ̈ .  . ( 1 1 + 2 2 ) = 0       ( 5 )     W ith   q i   j,  tak in g   ( 1 4 ) ,   we  g et:     2 ̈ + 2 ̈ = .                   ( 6 )     W ith   T m   is   th m o to r   s h af t to r q e .   C o n s id er in g   DC   d m o to r   with   g ea r   r atio   o f   a:1 ,   th to r q u o f   th DC   m o to r   d r i v in g   th f ly wh ee l   is   as f o llo ws:     = = [ ̇ ] ,               ( 7 )     with   K m   i s   th m o to r   to r q u c o n s tan t,  K e   is   th b ac k - em f   co n s tan t ,   R   i s   th r esi s tan ce   o f   th m o to r Su b s titu te  ( 7 )   in to   ( 6 ) ,   we  g et:     2 ̈ + 2 ̈ = = [ ̇ ] .               ( 8 )     I n   ( 5 )   an d   ( 8 )   ar t h d y n am ic   s y s tem   eq u atio n .   I is   clea r   th at  th s y s tem   is   n o n lin ea r .   L in ea r iz in g   th m o d el  an d   tu r n   it  in to   s tate  s p ac m o d el Ass u m th at  wh en   th e   v eh icle  is   o p er atin g ,   t h v eh icle ' s   in clin atio n   an g le  is   v er y   s m all   ( < 1 0 0 ) .   L in ea r izin g   i n   ( 5 )   ar o u n d   th e q u ilib r iu m   p o in t ( = = 0  = ) ,   we  h av e:     ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) ̈ + 2 ̈ . . ( 1 1 + 2 2 ) = 0       ( 9 )     2 ̈ + 2 ̈ = = [ ̇ ]               ( 1 0 )     T ak in g 1 = ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) 1 = ( 1 1 + 2 2 )     T ak in g   = [ = 1 ̇ = 2 ̇ = 3 ] ,   is   s tate  v ar iab le,   = , =     W h av th s tate  s p ac m o d e d escr ib in g   th s y s tem   as f o ll o w:     ̇ =  +                      ( 1 1 )     =  +        with :     = [       0 1 0 1 ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 0 1 2 ( 1 2 ) ]       ; = [ 0 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) ] = [ 1 0 0 ] ; = [ 0 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l Vo l.  19 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 2 1 :   2 5 2   -   2 6 4   256   T h e   n o m i n al  p ar a m eter s   o f   th two - wh ee l ed   b icy cle  m o d el   ar s h o wn   i n   T ab le  1   a s   f o llo ws:   e x p lain in g   r esear ch   ch r o n o lo g ical,   in clu d in g   r esear ch   d esig n ,   r esear ch   p r o ce d u r e   ( in   th e   f o r m   o f   alg o r ith m s ,   Ps eu d o co d e   o r   o th er ) ,   h o w   to   test   an d   d ata  ac q u is itio n   [1 - 3] .   T h e   d escr ip tio n   o f   th e   co u r s o f   r esear c h   s h o u l d   b s u p p o r ted   r ef er en ce s ,   s o   th ex p lan atio n   ca n   b ac ce p t ed   s cien tific ally   [ 2 ,   4 ] .   T ab l es  an d   f ig u r es  ar e   p r esen ted   ce n ter ,   as  s h o wn   b elo an d   cited   in   th m an u s cr ip t.    Su b s titu tin g   f o r   th s y s te m   o f   ( 1 1 ) ,   we  o b tain   th f o llo win g   p ar am eter s :     = [ 0 1 0 47.2048 0 0.0100 - 47.2048 0 - 0.1248 ] ;   = [ 0 - 0.2230 2 . 8541 ] ; = [ 1 0 0 ] .     C o n v er t th v e h icle  m o d el  i n to   tr an s f er   f u n ctio n :     ( ) = ( ) ( ) = 0.22 3 3 + 0 . 1284 2 47 . 2 5 . 589             ( 1 2 )       T ab le  1 .   T h p ar am ete r s   o f   th e   two - wh ee led   b icy cle  m o d e   P a r a me t e r   V a l u e   U n i t   1   0 . 1 1 0 5   K g . m 2   1   0 . 1 0 5   m   2   0 . 0 3 2 8 9   K g . m 2   2   0 . 2 0 5   m   1   1 0 . 0 2 4   Kg   2   3 . 9 7 6   Kg     0 . 0 4 5   V . s/ R a d     0 . 0 4 5   N m/ A     0 . 5 2       1 : 1       9 . 8 1   m/ s 2       R em ar k   o n   two - wh ee d r iv m o d els T h s elf - b alan cin g   two - wh ee l ed   b icy cle   m o d el  s h o ws  th at  s o m p ar am eter s   o f   s elf - b alan cin g   t wo - wh ee le d   b ic y cle   ar e   u n ce r tain   s u ch   as : th e   ch an g in g   lo ad   v o lu m ( lead in g   to   ch an g in   th ce n ter   o f   g r av i ty   o f   th ca r ) ,   t h in er tia   to r q u o f   th b icy cle  ch a n g ed A d d itio n ally ,   o p er atin g   two - wh ee led   b ic y cle  m a y   b i n f lu en ce d   b y   e x ter n al  u n ce r tai n ties   s u ch   as:  th e   ex ter n al   f o r c e   an d   u n ce r tain   n o is d u to   th ch an g i n g   o f   to p o g r ap h y .   T h e r ef o r e ,   T h two - wh e eled   b icy cle  is   th u n ce r tain   o b ject.   I n   p ar ticu lar ,   th au th o r s   p ay   th m o s atten tio n   to   th u n ce r tain ty   d u to   th ch an g o f   lo ad   weig h t.  Sp ec i f ically ,   th au th o r s   co n s id er   4   ca s es o f   two - wh ee l ed   b icy cle  ca r r y in g   d if f er en t l o ad s   as sh o wn   in   th T a b le   2.   Un ce r tain   f ac to r s   m a y   r e d u c t h ac cu r ac y   o f   two - wh ee l ed   m ath em atica m o d els .   T h e r ef o r e,   th e   co n tr o q u ality   is   r ed u ce d   an d   t h s y s tem   ca n   ev en   b ec o m u n s tab le .   Du to   th u n ce r tain   p r o p er ties ,   th v ar io u s   co n tr o l   alg o r ith m   f o r   t h two   wh ee led   b icy cle  h as  b ee n   p r o p o s ed n o n lin ea r   c o n tr o l   b y   B ez n o [ 1 ] ,   L ee   v à     Ham   [ 4 ] ,   th e   co m p e n s ated   d esig n   u s in g   th o r b ital  ap p r o ac h   b y   Gallasp y   [ 5 ] ,   PD  co n tr o ller   b y   Su r p ato   [ 8 ] .   T h e   m o s t su itab le  alg o r ith m   to   co n tr o l th u n ce r tain   o b ject  was th alg o r ith m   in   [ 1 0 ] .       T ab le  2 .   Par am eter s   o f   th two - wh ee led   b icy cle  m o d el  as th e   lo ad   is   d if f er e n t   C a se   Lo a d   v o l u me     ( k g )   H e i g h t   o f   t h e   c e n t e r   o f   g r a v i t y   1   ( m)   M o me n t   o f   i n e r t i a 1   (Kg .m 2 )   1   5   0 . 2 0 5   0 . 6 3 1 4   2   5   0 . 1 5 5   0 . 3 6 0 9   3   7   0 . 0 5 5   0 . 0 5 1 5   4   7   0 . 1 5 5   0 . 4 0 9       3.   O P T I M AL   D E S I G RH   F O B AL A NCE  WH E E L   P R O B L E M   T h s tr u ctu r o f   th e   b alan cin g   co n tr o s y s tem   f o r   s elf - b ala n cin g   two - wh ee le d   b icy cle   is   s h o wn   in   Fig u r 4 .   T h e   b alan ci n g   c o n tr o s y s tem   co n s is ts   o f   3   lo o p   c o n tr o ls   ,   n am ely ,   lo o p   c o n tr o l   th r o tatio n   an g le  o f   th f ly wh ee l,  lo o p   co n tr o th v elo city   tilt   an g le  o f   b icy cle  a n d   lo o p   c o n tr o th tilt   an g le  o f   b icy lce.   T h r o b u s co n tr o ller   R ( s )   is   u s ed   in   lo o p   co n tr o l   th tilt   an g le  o f   b icy lce.   T o   d esig n   r o b u s co n tr o s y s tem   f o r     s elf - b alan cin g   two - w h ee led   b i cy cle,   th co n tr o l stru ctu r e   d ia g r am   s h o wn   i n   Fig u r 4   is   u s ed   b y   th au th o r s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         A p p lica tio n   o f m o d el  r ed u ctio n   fo r   r o b u s t c o n tr o l o f self - b a l a n cin g   tw o - w h ee led   b icyc le   ( V u   N g o K ien )   257       Fig u r 4 .   T h r o b u s t c o n tr o l stru ctu r f o r   s elf - b ala n cin g   two - wh ee led   b icy cle       3 . 1 .     Dev el o pin g   t he  s elf - ba la ncing   t wo - wheele d bicy cle  m o del  ( )   Ass u m in g   th at  wh en   th v eh icle  is   in   o p er atio n ,   th in clin atio n   o f   th b icy cle  is   v er y   s m all,   we   lin ea r ize  i n   ( 5 )   ar o u n d   t h eq u ilib r iu m   p o in ( = = 0 ,  = ) .   W h av e:     ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) ̈ + 2 ̈ . . ( 1 1 + 2 2 ) = 0       ( 1 3 )     2 ̈ + 2 ̈ = = [ ( + 1 ) ̇ + 2 ̇ ]             ( 1 4 )     T ak in g : 1 = ( 1 1 2 + 2 2 2 + 1 + 2 ) 1 = ( 1 1 + 2 2 )     T ak in g = [ = 1 ̇ = 2 ̇ = 3 ] ,   is   s tate  v ar iab le,   = , =     W h av th s tate  s p ac m o d e l d escr ib in g   th s y s tem   as f o ll o w:     ̇ =  +        =  +                    ( 1 5 )     T h s y s tem   p ar am eter s :     = [       0 1 0 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( + 1 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 1 2 ( 1 2 ) ( + 1 ) 1 2 ( 1 2 ) ]       ; = [ 0 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) ] ;       = [ 1 0 0 ] = [ 0 ] .     C h o s in g   1 = 2 , 2 = 5 Su b s titu tin g   th p ar am eter s   in   T ab le  1   in to   ( 1 5 ) ,   th m o d el  is   co n v e r ted   to   th e   tr a n s f er   f u n ctio n   f o r m :     ( ) = ( ) ( ) = 0.22 3 3 + 4 . 722 2 47 . 2 254               ( 1 6 )     T o   d esig n   r o b u s t   c o n tr o lle r   f o r   s elf - b alan ci n g   two - wh e ele d   b icy cle,   th a u th o r s   f o ll o w ed   th e   s tep s   o f   d esig n in g   r o b u s t   co n tr o ller   RH   ac co r d in g   t o   [ 1 0 ,   1 2 ] .   W g et  th r o b u s t c o n tr o ller :     ( ) = ( ) ( )                   ( 1 7 )     with     ( ) = 2 . 23 . 1 0 7 30 4 . 67 . 1 0 4 29 0 . 266 28 22 . 96 27 1006 26 2 . 853 . 1 0 4 25     5 . 837 . 1 0 5 24 4 . 199 . 1 0 11 18 9 . 144 . 1 0 6 23 1 . 139 . 1 0 8 22 1 . 158 . 1 0 9 21 9 . 776 . 1 0 9 20   6 . 949 . 1 0 10 19 2 . 172 . 1 0 12 17 9 . 663 . 1 0 12 16 3 . 71 . 1 0 13 15 1 . 231 . 1 0 14 14   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l Vo l.  19 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 2 1 :   2 5 2   -   2 6 4   258     3 . 53 . 1 0 14 13 8 . 74 . 1 0 14 12 1 . 862 . 1 0 15 11 3 . 398 . 1 0 15 10 5 . 276 . 1 0 15 9 6 . 903 . 1 0 15 8     7 . 511 . 1 0 15 7 6 . 676 . 1 0 15 6 4 . 721 . 1 0 15 5 2 . 556 . 1 0 15 4 9 . 953 . 1 0 14 3 2 . 482 . 1 0 14 2     2 . 977 . 1 0 13 0 . 00439     ( ) = 4 . 971 . 1 0 14 30 + 2 . 032 . 1 0 10 29 + 2 . 663 . 1 0 7 28 + 1 . 221 . 1 0 4 27 + 9 . 72 . 1 0 3 26     + 0 . 3918 25 + 10 . 14 24 + 187 . 1 23 + 2612 22 + 2 . 862 . 1 0 4 21 + 1 . 088 . 1 0 7 18 + 2 . 523 . 1 0 5 20     + 1 . 82 . 1 0 6 19 + 5 . 428 . 1 0 7 17 + 2 . 273 . 1 0 8 16 + 8 . 005 . 1 0 8 15 + 2 . 372 . 1 0 9 14 + 5 . 9 . 1 0 9 13     + 1 . 225 . 1 0 10 12 + 2 . 107 . 1 0 10 11 + 2 . 962 . 1 0 10 10 + 3 . 341 . 1 0 10 9 + 2 . 941 . 1 0 10 8     + 1 . 931 . 1 0 10 7 + 8 . 743 . 1 0 9 6 + 2 . 286 . 1 0 9 5 + 1 . 519 . 1 0 8 4 5 . 226 . 1 0 7 3 + 3 . 6 . 1 0 6 2     + 5 . 32 . 1 0 22     3 . 2 .     Co m pa re   t he   r o bu s t   co ntr o ller  wit h a no t her  co ntr o ller   T h b icy cle  with   th v ar y i n g   p ar am eter   is   co n tr o lled   b y   PI co n tr o m eth o d .   T h r esu lt  i s   th en   u s ed   to   co m p ar to   th ca s wh ich   th r o b u s co n tr o ller   is   ap p lied .   Simu latio n   d iag r am   o f   s elf - b alan cin g     two - wh ee led   b ic y cle  co n tr o l   s y s tem   u s in g   r o b u s co n tr o l ler   an d   PID   co n tr o ller   a r s h o wn   in   Fig u r e   5 .   Simu latio n   r esu lts   o f   s elf - b al an cin g   two - wh ee led   b icy cle   c o n tr o s y s tem   wh e n   th e   p ar a m eter s   o f   m o d el  a r e   r ated   an d   w h en   th m o d el   p ar am eter s   ch an g e ,   I n itially ,   th e   b icy cle  d e v iates  = 180 (  )   f r o m   th e   v er tical  ax is .   Par am eter s   o f   PID   co n tr o ller :   K p   - 4 5 0 ,   K I   - 3 0 ,   K D   - 1 5 .   T h r esu lts   s h o wn   in   Fi g u r 6 .           Fig u r 5 .   Simu latio n   d iag r a m   o f   s elf - b alan cin g   two - wh ee led   b icy cle  co n tr o l sy s tem   u s in g   r o b u s t c o n tr o ller   an d   PID   co n tr o ller       R em ar k   b y   th s im u latio n   r es u lt  in   b o th   c ases   th n o m in al  p ar am eter s   o f   th b icy cle  a n d   t h v ar ia b le   p ar am eter s   o f   th e   b icy cle   d u e   to   th e   lo a d   v a r ied .   PID   co n t r o ller   ca n   o n l y   b ala n ce   th e   b ic y cle  as  th e   b icy cle   p ar am eter s   is   n im in al   an d   in   c ase  3 .   PID   co n tr o ller   h as  n o w o r k ed   in   th ca s 1 ,   2 ,   an d   4 .   T h r o b u s co n tr o ller   d id   wo r k   in   all  4   ca s es.  I ca n   b s ee n   th at  th e   r o b u s co n tr o ller   was  ab le  to   b alan ce   th s y s t em   ev en   t h s y s tem   p ar am eter s   ar e   v ar ie d   ( l o ad   an d   th e   h eig h t   o f   th e   ce n ter   o f   g r av ity   o f   th e   b icy cle) .   T h e   r o b u s co n tr o ller   h as  th e   ad v an tag o v er   t h PID   co n tr o ller   Ho wer v er ,   th 3 0 th   o r d e r   c o n tr o ller   co u ld   lea d   to   th e   d if f ic u lty   o f   o p er atin g   th e   b alan ci n g   p r o ce s s .   Du e   to   th co m p lex   p r o g r am ,   th lo n g   p r o ce s s in g   tim e,   th lo s y s tem   r esp o n s e,   th s y s tem   wil l   n o b ab le  to   ad ap t   th r eq u ir em e n ts   o f   r ea l - tim ap p licatio n s   an d   ca n   b ec o m u n s tab le.   Fo r   th at  r ea s o n ,   r ed u cin g   th o r d er   o f   th e   co n tr o ller   is   n ee d e d   to   s im p lif y   th e   p r o g r am .   T h s y s tem   r es p o n s is   th e r eb y   in cr ea s ed ,   wh ile  th r o b u s tn ess   is   en s u r ed .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         A p p lica tio n   o f m o d el  r ed u ctio n   fo r   r o b u s t c o n tr o l o f self - b a l a n cin g   tw o - w h ee led   b icyc le   ( V u   N g o K ien )   259                       Fig u r 6 .   T h s y s tem   o u tp u t r e s p o n s o f   s elf - b alan ci n g   two - wh ee led   b icy cle  co n tr o l sy s tem   u s in g   r o b u s co n tr o ller   a n d   PID   co n tr o ller       4.   ST O CH AS T I B A L ANC E   T RUNC AT I O AL G O RI T H M   B AS E O SCH U A NALYS I   4 . 1 .     M o del r educt io n pro blem   Giv en   lin ea r ,   co n tin u o u s ,   tim e - in v ar ian t MI MO   s y s tem   d escr ib ed   b y   th f o llo win g   s tate  s p ac e   m o d el :     ̇ =  +    =                  ( 1 8 )     wh er e , , , ,   , .   T h g o al  o f   th o r d er   r ed u ctio n   p r o b le m   f o r   th m o d el  d escr ib ed   b y   s tate  s p ac m o d el   g iv en   i n   ( 1 7 )   is   to   f in d   th m o d el  d escr ib e d   b y   s tate  s p ac m o d el :     ̇ = +       =                   ( 1 9 )     wh er e , , , , , v So   th at  th m o d el  d escr ib ed   b y   i n   ( 1 9 )   ca n   r ep lace   th e   m o d el   d escr ib ed   b y   th ( 1 8 )   ap p licati o n s   in   an aly s is ,   d esig n ,   an d   co n tr o l o f   th s y s tem .       0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y c l e :   p i / 1 8 0     3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r P I D   c o n t r o l l e r 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y c l e :   p i / 1 9 0   -   c a s e   1       3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r P I D   c o n t r o l l e r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 0 1 2 3 4 5 6 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y c l e :   p i / 1 8 0   -   C a s e   2 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y c l e :   p i / 1 8 0   -   C a s e   3 T i m e ( s e c ) R a d i a n     3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r P I D   c o n t r o l l e r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 0 1 2 3 4 5 6 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y c l e :   p i / 1 8 0   -   C a s e   4     3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r P I D   c o n t r o l l e r Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I SS N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l Vo l.  19 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 2 1 :   2 5 2   -   2 6 4   260   4 . 2 .     St o cha s t ic  ba la nced  t runca t io n a lg o rit hm   ba s ed  o n Schur a na ly s is   Mo s o f   th m o d el  r ed u ctio n   a lg o r ith m s   h av e   p u b lis h ed   in   t h wo r ld   o n ly   a p p ly   t o   s tab le  h ig h   o r d er   lin ea r   m o d els   ( th e   r o o ts   o f   t h ch a r ater is tic  eq u atio n   ar e   n eg ativ e )   [ 1 3 - 15] .   Ho wev er ,   m an y   h i g h   o r d er   m ath em atica m o d els  ar u n s tab le  in   r ea lity   s u ch   as  th m o d el  in   s ec tio n   3 .   T h er e f o r e,   th o r d er   r ed u ctio n   alg o r ith m   s h o u ld   b e   ap p licab l to   r ed u ce   th o r d er   f o r   th u n s tab le  lin ea r   s y s tem .   T h er ar e   two   b asic  m eth o d s   f o r   m o d el  r e d u ctio n   o f   u n s t ab l s y s tem T h f ir s m eth o d   ( in d ir ec o r d er   r e d u ctio n   alg o r ith m ) .   T h is   alg o r ith m   d iv i d es   th u n s tab le  o r i g in al   s y s tem   in to   s tab le  an d   u n s tab le  co m p o n e n ts ,   th en   ap p l ies   th o r d e r   r ed u ctio n   alg o r ith m   to   th s tab le  c o m p o n en ts   [ 1 6 - 24] .   A th en d to   g et  th e   o r d er   o f   r e d u ctio n   o f   th e   r o o s y s tem ,   we   ad d   th r ed u ce d   s tab le  co m p o n en t s   with   th u n s tab le  co m p o n en t s .   T h s ec o n d   m eth o d   ( d ir ec t o r d er   r ed u ctio n   alg o r ith m ) .   Th is   alg o r ith m   m o d if ies   an d   ad ju s t s   th o r d er   r ed u ctio n   alg o r ith m s   s o   th at  th ese  alg o r ith m s   ca n   p er f o r m   o r d er   r e d u ctio n   r e g ar d less   o f   wh eth er   th o r ig in al   s y s tem   is   s tab le  o r   u n s tab le   [ 2 5 - 29] I n   th co n ten t o f   th is   p ap er ,   th au th o r   in tr o d u c es   th s to ch asti b alan c ed   tr u n ca tio n   alg o r ith m   b ased   o n   Sch u r   an aly s is   [ 2 3 24] .   T h is   is   a   o r d er   r ed u ctio n   alg o r ith m   ap p lied   to   th u n s tab le  s y s tem   b y   in d i r ec t o r d er   r ed u ctio n   m et h o d .   T h s p e cif ic  co n ten ts   o f   th e   alg o r ith m   ar as f o llo ws:   I n p u t T h s y s tem   ( , , )   ( s tab le   o r   u n s tab le)   d escr ib ed   in   ( 1 8 )   h as  a   r ep r esen tatio n   o f   th f o r m   o f   t h tr an s f er   f u n ctio n ( ) : = (  ) 1 .   Step   1 :   Fin d   t h co n tr o llab ilit y   g r am m ia n     an d   o b s er v ab ilit y   g r am m ian     b y   s o lv in g   th f o llo win g   L y ap u n o v   an d   R icca ti e q u atio n s     AP + + = 0 ; = + ;  + + ( ) ( ) ( ) = 0     Step   2 :   Fin d   th Sch u r   d ec o m p o s itio n   f o r      in   b o th   ascen d i n g   an d   d escen d in g   o r d er ,   r esp ec t iv ely ,      = [ 1 . . . . . . 0 . . . . . . 0 0 ]   ;                  = [ . . . . . . 0 . . . . . . 0 0 1 ]     Step   3 Fin d   th e   l ef t/rig h t   o r th o n o r m al   eig en - b ases   o f      ass o ciate d   with   th e   k th   b ig   Han k el  s in g u lar   v alu es  o f   th e   all - p ass   p h ase  m atr ix   ( ( ) ) 1 ( ) .     = [ ,   , ,     ]   ;         = [ ,     , ,  ]   Step   4 : Fin d   th SVD  o f   ( V L , B IG T V R , B IG ) = U Σ V   Step   5 :   Fo r m   th lef t/rig h t tr an s f o r m atio n   f o r   th f in al   k th   o r d er   r ed u ce d   m o d el.     , = ,  ( 1 : , 1 : ) 1 / 2 ; , = ,  ( 1 : , 1 : ) 1 / 2       Step   6 C alcu late   ( , , ) = ( , , , , , ,  ) .   Ou tp u t T h r e d u ce d   s y s tem   ( , , ) .       5.   AP P L I E L Q G   AL G O R I T H M   F O RO B US T   CO NT RO L   P RO B L E M   O F   T WO - WH E E L E B I CY CL E   5 . 1   T he  re du ce d c o ntr o ller  o f   s ef - ba la ncing   t wo - wheele d bicy cle   T h f u ll  o r d er   RH   co n tr o ller   is   d esig n ed   as  ( 1 7 ) ,   wh ich   is   3 0 th   o r d er   co n tr o ller .   T o   o b tain   lo co n tr o ller ,   we  p er f o r m   o r d er   r ed u ctio n   o f   RH   c o n tr o ller   in   ac co r d an ce   with   th s to ch asti c   b alan ce d   tr u n ca tio n   alg o r ith m   b ased   o n   Sch u r   an aly s is   in   s ec tio n   4 .   T h r esu lt s   o f   th o r d er   r ed u ctio n   c o n tr o ller   ar s h o w n   in     T ab le  3 .     5 . 2 .     Co ntr o llin g   t he  t wo - wh ee led bicy cle  us i ng   t he  re du c ed  4 t h a nd   5 t h o rder   co ntr o l ler    Usi n g   th r ed u ce d   5 th   o r d er   co n tr o ller   in   T ab le  3   c o n tr o ls   th b alan cin g   s y s tem   f o r   two - wh ee led   b icy cle  h av in g   th m o d el  as  ( 1 6 ) .   T h p er f o r m an ce   is   co m p a r ed   to   th p er f o r m an ce   o f   th o r ig in al  ( 3 0 th   o r d er )   co n tr o ller .   T h s im u latio n   d ia g r am   o f   two - wh ee led   b icy cle  s y s tem   u s in g   th o r ig in al  co n tr o ller   an d   r ed u ce d   co n tr o ller s   is   s h o wn   in   Fig u r 7 .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI KA   T elec o m m u n   C o m p u t E l Co n tr o l         A p p lica tio n   o f m o d el  r ed u ctio n   fo r   r o b u s t c o n tr o l o f self - b a l a n cin g   tw o - w h ee led   b icyc le   ( V u   N g o K ien )   261   T ab le  3 R esu lts   o f   m o d el  r ed u ctio n   o f   th 3 0 th   o r d er   r o b u s co n tr o ller   O r d e r   Tr a n sf e r   f u n c t i o n     R r ( s)   5   4 . 485 . 1 0 6 5 5 . 241 . 1 0 7 4 3 . 026 . 1 0 8 3 8 . 389 . 1 0 8 2 1 . 177 . 1 0 9 6 . 7 9 6 . 1 0 8 5 + 2006 4 + 1 . 135 . 1 0 4 3 1 1 9 3 2 + 6 . 179 . 1 0 13 4 . 24 . 1 0 14     4   4 . 485 . 1 0 6 4 2 . 655 . 1 0 7 3 1 . 141 . 1 0 8 2 1 . 833 . 1 0 8 1 . 176 . 1 0 8 4 + 2000 3 206 . 5 2 + 2 . 369 . 1 0 14 3 . 026 . 1 0 15     3   4 . 485 . 1 0 6 3 + 4 . 047 . 1 0 5 2 9 . 163 . 1 0 4 5 . 881 . 1 0 4 3 0 . 1032 2 + 5 . 41 . 1 0 17 3 . 669 . 1 0 18             Fig u r 7 .   T h s im u latio n   d ia g r am   o f   two - wh ee le d   b icy cle  s y s tem   u s in g   th o r ig i n al  co n tr o l ler   an d   r e d u ce d   co n tr o ller s       T h s im u latio n   r esu lts   o f   s elf - b alan cin g   two - wh ee led   b icy cle  co n tr o s y s tem   wh en   th e   p ar am eter s   m o d el  ar n o m in al  an d   th b icy cle  is   in itial ly   d ev iated   = / 180   ( r ad )   f r o m   th v er tical  ax is .   T h e   r esu lts   s h o wn   in   Fig u r 8 .   T h s im u latio n   r esu lts   o f   s elf - b alan c in g   two - wh ee le d   b ic y cle  co n tr o s y s tem   wh en     th v eh icle   is   lo ad ed   an d   th e   b icy cle  is   in itially   d ev iated   = / 180   ( r ad )   f r o m   th v er tical  ax is .   T h r esu lts   s h o wn   in   Fig u r 9 .             Fig u r 8 .   Ou t p u t r esp o n s o f   t h s elf - b alan cin g   two - wh ee led   b icy cle   co n tr o l sy s tem   in   n o   lo ad   co n d itio n     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y l e :   p i / 1 8 0       3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r 5 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 T i m e   ( s e c ) R a d i a n A n g l e   r e s p o n s e   -   i n i t i a l   a n g l e   o f   b i c y l e :   p i / 1 8 0       3 0 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r 4 t h - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r 3 r d - o r d e r   r o b u s t   c o n t r o l l e r Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.