TELKOM NIKA , Vol.12, No .4, Dece mbe r  2014, pp. 95 0~9 6 2   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v12i4.530    950      Re cei v ed Fe brua ry 23, 20 14; Re vised  May 29, 20 14 ; Accepte d  Ju ne 12, 201 4   Unambiguous Acquisition for Galileo E1 OS Signal  Based on Delay and Multiply      Deng Zh ongl iang* 1 , Xi Yu e 2 , Jiao Jichao 3 , Yin Lu 4  Lab orator y of Intelli ge nt Com m unic a tion, Na vigati on a nd Mi cro/Nan o -S ystems, Beiji ng U n iversit y  of Pos t s  and T e lecomm unic a tions, Be ij ing 100 87 6, Bei jing, P. R. Chin a  *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : dengz hl@ b u p t.edu.cn 1 , xi yu e04 30@ gmai l.com 2 , jiaojic ha o@gma il.com 3 ,  inlu _ma il@ 163 .com 4        A b st r a ct   Galile o E 1  Op en Serv ice (O S) sign al  is trans mi tted w i th  the  mo dul atio n of C o mpos ite Bin a r y   Offset Carrier (CBOC). CBOC has a  m a in drawback that is  t he autocorrelation functi on has multiple side- peaks, w h ich  w ill lea d  to  ambig uous  acq u is ition. The  hi gh  rate of d a ta b i t and s e co nda ry code  makes  i t   very difficult to  increas e cohe rent integr atio n  ti me. This pa per w ill pro pos e a new  sche m e b a se d on the   del ay-an d - m ult i ply c onc ept. A nd  also  this sc he me c o mb ine s  the d a ta c h a nne l a nd  pil o t  chan nel. F i nal l y ,  the theor etical  results w ill b e  give n to prov e that the new  sche m e w ill  acco mp lish un ambi guo us  acq u isiti o n   and a l so e l i m i n ate the infl uenc e of bit transitio n.    Ke y w ords :  Galileo  E1 OS signal;  CBOC; unambiguous  acquisition;  delay-and-mu ltiply      1. Introduc tion  Europ ean G a lileo Satellite Navigatio n  System have been su pportin g  Gali leo-o n ly  autonom ou s  positio n fix for an ae ro naut ical u s e r  sin c e 2013 [1]. And there will  be more satel lites   laun che d  in the nea r future. The exploitation plan  is to provide early Galileo service s  by ea rly  2015  and  co me to ha nd-over exploita tion pha se   b y  the end  of 2016. An d  by 2020  Gali leo   System will be of full operational ca pab ility. Theref ore, Galileo System ca n pla y  a cruci a l ro le  among  all of  the navig ation  satellite  systems,  whi c h also in clu d e s  Chin ese  Beidou, Ame r ica n   GPS and Russian GLONASS [2].    CBOC ha s b een  cho s e n  a s  the final  ch oice  of  Galile o OS Servi c e .  CBOC i s  a  result of   multiplexing  BOC (6,1)  wi th BOC (1,1) and the p r o portion  of the forme r  to the latter i s  1 0 %.  Therefore, the maximum  degradation on the detection proba bility when acqui ri ng CB OC  signals  like  a BO C  (1,1) i s  l e ss t han  0.8dB [3 ]. With the  p r ope rty of  sp litting sp ect r u m , CBO C   ca n  redu ce the int r a-syste m  interferen ce an d improve  co de delay tra c king.   Nevertheless,   BOC-modul ated signal will  le ad to a m a in drawback that is the  autocorrelatio n  functio n  h a s m u ltiple  side-p e a ks,  which  will p r o bably result in po ssi ble fa lse   acq u isitio n. Several techni que s hav e be en pro p o s ed i n  the literature.  The Sub  Ca rrie r  Pha s e  Can c ell a tion  (SCPC) met hod g ene rat e s a n  in ph ase  and   quad ratu re sub-ca rrie r  si g nals, getting rid of the  sub  carrie r. There f ore, this met hod do uble s  the  numbe r of co rrel a tors be ca use it is ne ce ssary for two  cha nnel s wipi ng off the carrier to gen era t e   two ki nds of sub carrier  signal [4]. Autocorr elation Side-Peak  Cance llation Technique  (ASPeCT)  method  comb ines two ki nd s of auto c orrelation fun c tions to fo rmul ate a ne w on e. After that,  the   new autocorrelation function still has small side peaks [5].  The moderni z ed navigation satellit e sy stem has a characterist i c  that there is  not only  data chan nel  like tradition al GPS L1  si gnal s but al so pilot chan n e l witho u t da ta modul ation.  Several po ssible join d a ta/pilot acq u isit ion st rat egie s  acco m panying th e non-co herent  combi nation   techni que  are an alyze d .  But the  am b i guou s pro b l e m cau s ed  by  su bcarrier  is  negle c ted through the a r ticle.   The rate of d a ta bit and seco nda ry cod e  is equal wi th the rate of spre adin g  code s in  data  cha nnel  and  pilot  ch annel  for Gal ileo E1  OS  si gnal. It is very likely that  b i t tran sition  will  occur if the coherent integ r ati on time is longer tha n  one pe riod of  spre adin g  code, whi c h will  degrade  the  po wer of t he  coh e re nt integrat ion.  Do uble Bl o c k Ze ro Pa dding  Tran sition  Insen s itive (DBZPTI) p r e s ent s a n e w  method  ba se d on  Dou b le  Block Ze ro  Padding  (DBZP).  This meth od  is cap able  of being in sensitive to  bi t transition d u ring o ne pe riod of cohe rent  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Unam bigu ou s Acqui sition  for Galileo E1  OS Signal Base d on Dela y …. (Deng Z hongli ang )  951 integratio n time. But when it comes to  longer cohe rent integratio n time, the problem cau s e d  by  bit transition  still exists [6].    In this paper, we will focus on a new  acquisition scheme ba sed on the  delay-and- multiply  co ncept,  whi c h al so com b ine s  data chan nel  and  pilot  ch annel  both. A t  first, the  sig nal  module  will be introd uce d , and the probl em of Galileo E1 OS signal a c qui sition wil l  be  discu s sed. T hen, the ne w scheme  will  be propo se d.  Finally, the simulation results of dete c tion  probability wil l  be given.       2. Signal Model  The Galile o E1 OS signal  can be expressed a s     11 1 1 1 () ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 EE B E B E C E C C st e t S C t e t S C t     (1)     W h er e    1 10 1 () () () 11 11 EB a b SC t s c t sc t    (2)     1 10 1 () () () 11 11 EC a b SC t s c t sc t                                                                                       (3)    () ( ( 2 ) ) XX s c t s gn sin R t                                                                                                          (4)    X is the kin d  of sub c a rri er, in cludi ng BOC(1,1) noted a s a and BOC(6,1 )  noted a s b ;  1 () EB et inclu d e s  the data stream a nd prim ary co de of data ch annel;   1 () EC et inclu d e s  the data stream a nd prim ary co de of pilot ch annel.     Figure 1 sh o w s o ne pe rio d  of the sub - carri er fun c tion  for the 1 E B sign al comp one nt  and on e peri o d of the sub - carri er fun c tion  for the 1 E C sign al comp one nt.          a)  0 0.2 0. 4 0. 6 0.8 1 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0.5 1 1.5 t/ T SC E1 _ B A m pl i t ude  of  s ubc a r ri e r S u b C ar r i e r  o f  G a l i l eo  E1   O S  S i g n al     S ub-E 1 B Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 950  – 962   952     b)    Figure 1. One  period of the  CBOC  sub - carri er for  a ) th e E1-B sign al  compo nent a nd b) the E1-C  sign al com p o nent       3. Problem In E1 Acquisi tion   A traditional acq u isitio n scheme is sho w n in Figu re 2[7].The re ce iver will laun ch a two- dimen s ion a l search for on e s atellite by generating  lo cal signal s wit h  different Do pplerf r eq uen cies  and code p h a s e s .    0 T 0 T 2 (     ) (, ) D QF (, ) D SF 0 T 0 T 2 (     ) (, ) D I F     Figure 2. Tra d itional a c qui sition sch e me       Therefore, a  two dime n s ion a l (, ) D Sf  will be obtained. When one  of  (, ) D Sf is  abovethresho ld, the acqu isition will b e  fini she d . The a c qui sitionprocess m u st dete c t the   incomi ng sig nal  e nergy and estimat e the sign al Dop p ler  an d   co de delay .  The dete c tion  c r iter io nc an  be  e x p r es se d   a s     22 (, ) ( , ) (, ) D DD Sf I f Q f      (5)     W h er e    (, ) = ( ) ( ) ( ) + ( , ) 4 D ec o h I D C I fR s i n c f T c o s n f                                                        (6)  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 t/ T SC E1 _ C A m pl i t ude  of  s ubc a r r i e r S u b C a r r i e r  o f  G a lile o  E 1  O S  S i g n a l     S ub- E 1 C Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Unam bigu ou s Acqui sition  for Galileo E1  OS Signal Base d on Dela y …. (Deng Z hongli ang )  953 (, ) = ( ) ( ) ( ) + ( , ) 4 D ec o h Q D C Qf R s i n c f T s i n n f                                                        (7)    (, ) D I f and (, ) D Qf are the correlator o u tp uts with cert ain co de del ay and Do pp ler  freque ncy. () R is the final co rrelation fun c tion e f is the differen c e b e twe en the re al Dop p l e r  freque ncy a n d  the local Dopple r  freq ue ncy D f ,   is the e rro r on th e carri erp h a s e,  (, ) I D nf   and  (, ) QD nf  are the in-ph a se and  quad ratu re correlator o u tp ut noise.       3.1 Ambiguo us problem   CBOC  autocorrelation fun c tion can be  expre s sed a s : [8]:    22 ( ' ' ) ( 1 ,1 ) ( 6 , 1 ) ( 1 ,1 ) / ( 6 ,1 ) () () 2 ( ) CB OC BOC B OC BOC B OC RV R W R V W R      (8)     22 ( ' ' ) ( 1 ,1 ) ( 6 , 1 ) ( 1 ,1 ) / ( 6 ,1 ) () () 2 ( ) C B OC BOC B OC BOC B OC RV R W R V W R      (9)     W h er e    10 11 V                                                                                                                                            (10)    (' ' ) CB O C R is the a u to correl ation f unctio n  of  data chan n e l and (' ' ) CB O C R is the   autocorrelatio n  fun c tion  of pilot  cha nne l. Two   ki nd s  of auto c o rrel a tionfun ction s  a r e  sho w n  in   Figure 3. It can be  see n  that there i s  n o t only one p eak a n y more  in the auto c o rrel a tion fun c tion   of CBOC. Th ere a r e two m o re si de pe aks.           Figure 3. Autoc o rrelation f unc tion of CBOC and BPSK      If the traditional scheme i s  use d ,  (, ) D Sf will be obtained. Under t he influence of noi se,   the side  pea ks  are  eithe r  high er o r  l o we r than  t hat of auto-correl ation fu nction, an d the  correl ation ou tputs are not  symme tri c  ab out the cente r  any mo re.  Once the  sid e  pea k is  ab ove  -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 -0 . 5 0 0. 5 1 CBO C  A u t o c o rre l a t i on  F unc t i on C o de  O ffs e t [c hi p] Co rre l a t i on F unc t i o n     CB O C (' +' ) CB O C (' -' ) BP S K Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 950  – 962   954 the threshold,  it will lead to a  false acqui sition. After a false  ac qui si tion, the code tracki ng loop   will lock on the side peak.      3.2 Data tra n sition proble m   Moderni z ed navigation sat e llite system s has  not only  data channel , which is m o dulated  with data, b u t  also pil o t chann el, whi c h is mo dulat ed with out d a ta and  with  se con dary  code.  Secon d a r y code, a s  the n a me impli e s,  is a  se co n d  code, which m u ltiplies th e p r imary  cod e  to  form a long e r  cod e , calle d tiered cod e . The techn i que charact e risti cs of th e Galileo E1  OS  sign al, GPS L1C si gnal a n d  GPS L1C/A sign al are giv en in Table 1.       Table 1. Ch aracteri stics of  Galileo E1 O S  signal, GP S L1C and G PS L1C/A  GNSS s y s t em   Galile o   GPS   GPS   Signal T y pe   E1 OS   L1C   L1C/A   Spreading  modulation  CBO C (6,1,1/11 )  TMBO C(6,1,4/ 33 )  BPSK  Primar y  code  frequenc y  1.023MHz  1.023MHz   1.023MHz   Primar y  code len g th  4092   10230   1023   Primar y  code  per iod  4ms  10ms  1ms  Signal component  Data   Pilot   Data   Pilot   Data   Data rate   250bps  -  100bps  -  50bps  Secondar y  cod e   rate   -  250bps  -  100bps  -  Secondar y  cod e   length  - 25  -  1800   -      As it is sho w n in Table 1,  the spre adin g  cod e s’ p e ri ods h a ve the  same du rati on as a  data or seco ndary code b i t, which ma kes it difficult  to perform th e acq u isition  using multip le  perio ds  of pri m ary code s f o r Galil eo E1  sign al and  G PS L1C  sign al, whi c h is  di fferent from  GPS  L1C/A  sign al. For  GPS L1 C/A sig nal, a  data bit tran sition  can  o c cur every  20 ms, comp are d  to   4ms  for Galil eo  E1 OS sig nal and  10m s for  GPS L1C signal. Thi s  characteristi c   will lead to short  integratio n ti me for  Galile o E1 OS  sig nal an d  GPS  L1 C si gnal  if the data  bit  transitio n o ccurs.   Whe n  a bit tran sition o c curs, it may lead to a hi g h  losse s , whi c h will result in the failure of  acq u isitio n as sho w n in Fig u re 4.           Figure 4. Dat a  transitio n problem         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Unam bigu ou s Acqui sition  for Galileo E1  OS Signal Base d on Dela y …. (Deng Z hongli ang )  955 3.3 Large nu mber of Do p p ler bins  As we can  se e from  above ,  the final correlato r  outp u t contai ns a te rm of () ec o h si n c f T .  Then the  co rrelato r  outp u t will un dergo  a po wer  l o ss if the difference bet wee n  local carrie r  freque ncy  an d the Doppl e r  freq uen cy  of input  si gn als i s  big. F o r G a lileo E 1  OS si gnal,  the  coh e re nt time is lon g e r  than that of  GPS L1 C/A  whe n  one  p r imary  cod e   perio d is  use d  to   perform acquis ition.It  is  s h own  in  Figure  5. When  the differenc e bet ween the Doppler frequenc y   of input  sign a l  and l o cal ca rrie r  fre que ncy, the differe nce  of po we r loss b e twe e n  Galile o E1  OS  and GPS  L1 C/A sig nal i s  -3.22 d B. Th erefo r e, for t he sake of  redu cing th e l o ss du e to t h e   differen c e b e t ween l o cal carri er frequ en cy and th e  Dopple r  fre que ncy, sm allerDop pler  se arch   step  will  be  chosen if  the  coh e re nt inte gration  ti me  i s  lo nge r.  Con s eq uently, th ere  will  be  m o re   Dop p ler bi ns  and lon ger  se arching time f o r Do pple r  fre quen cy.          Figure 5. The  degra dation  due to frequ e n cy differen c e      4. Proposed  Techniqu e   In  this pap er,   a  n e w  techni que will be propo sed. The  scheme   of propo sed   techn i que  i s   s h ow n  in  F i gu r e  6 .       CC s B B s B C s CB s     Figure  6. Proposed a c qui si tion scheme  of Galileo E1 OS signal   -10 0 0 -800 - 600 - 400 -200 0 200 400 600 800 1000 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 f e |s i n c( T coh f e )|     G P S  L1C / A Ga l i l e o  E 1  OS -3 . 2 2 d B Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 950  – 962   956 The ban d-pa ss  sign al at the output of  RF front end can be expressed a s     1 () () ( 2 ( ) ) ( ) EI F D rt s t c o s f f t n t                                                                                (11)    whe r e () nt is the zero -mea n, ad ditive white G aussia n  noi se  with varian ce 。     22 2 2 0 {{ } } 2 { } 2 { } 2 nI Q E n En En En N B                                                 (12)    I F f is the interm e d iate frequ en cy and  D f is the Dop p ler frequ ency.   Acco rdi ng to the schem e,    1 1 11 1 1 () ( ) ( ( ) ( 2 ( )) () ) (( ) ( 2 ( ) ( ) ) ( ) ) 1 () ( ) ( 2 ( ) ) 2 () ( ) ( 2 ( ) ) ( ) () ( 2 ( ) () ) () ( ) EI F D EI F D EE I F D EI F D EI F D rt rt st c o s f f t n t st c o s f f t n t st st c o s f f st n t c o s f f t nt s t c o s f f t nt nt                                                                          (13)    As it is  sho w n above, the r e will fou r  term in  the resul t. Only the first term i s  u s e f ul.Then,  the prop erty of second a nd third term  will be anal yzed. Figu re  7(a)  sho w s the zero-m e an  additive whit e Gau ssi an  noise and Fi gure 7 ( b )  sh ows the distribution of the  noise. The n  the   noise will b e   multiplied by  Pseud o Rand om Noi s e  (P RN) code s of  Galileo E1  O S  signal. Fi g u re  7(c)  sh ows th e p r odu ct  of zero -mea n a d d itive wh ite  G aussia n  n o ise  and  PRN  co des.  Figu re  7 ( d)  sho w s the di stributio n of the pro d u c t. Compa r ing  the  results befo r e and after th e multiplicatio n,  we can see that the multiplicat ion by PRN codes will  not change the distribution of the noise.  The re d line i n  Figure 7(c)  and (d )  sho w s the No rmal  distrib u tion.                                                                                                               a)                                                                                                       b)  0 50 0 10 00 15 00 20 00 25 00 300 0 3 500 400 0 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 N u m b e r  of s a m p l e  poi nt s A m pl i t ude  of s a m p l e   poi nt s A ddi t i ve  w h i t e   G a us s i a n  noi s e -2 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 A ddi t i ve  w h i t e   G a us s i a n  noi s e N u m b e r  of s a m p l e   poi nt s A m pl i t ude  of s a m p l e  poi n t s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Unam bigu ou s Acqui sition  for Galileo E1  OS Signal Base d on Dela y …. (Deng Z hongli ang )  957                                              c )                                                                                                     d)    Figure 7. Noi s e an d the di stributio n       The fou r th term is the  pro duct of two  zero -mea n co mplex Gau ssian dist ributio ns. The   prod uct  of two inde pen den t normally di stributed va riat es x and y with ze ro me an s an d varia n ce s 2 x and 2 y obeys a n o rmal p r od uct  distributio n [9].    2 2 2 2 0 2 2 () () ( ) 22 y x y x xy xy xy xy u K ee p u xy u d xd y         (14 )     whe r e () x is the Dirac di stri buti on and  0 () Kx the modified Besse l  function of the se co nd ki nd  and zero o r d e r, whi c h is o ne of two sol u tions for the  differential eq uation     2 22 2 0 dy d y xx x y dx d x       (15 )     The sol u tion i s      0 2 00 c os( ) ( ) co s( si n h ( )) 1 x x t K x x t dt dt t                                                               (16)      The no rmal p r odu ct dist rib u tion is prese n ted in Figu re  8.  0 50 0 10 00 15 00 20 00 25 00 300 0 3 500 400 0 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 N u m b e r   of s a m p l e  po i n t s   A m pl i t ude  of s a m p l e   poi nt s M u l t i p l i c a t i on of noi s e   a nd P R N  c ode s -2 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 N u m b e r  of s a m p l e   poi nt s A m pl i t ude  of s a m p l e  poi n t s M u l t i p l i c a t i on of noi s e   a nd  P R N  c o d e s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA   Vol. 12, No. 4, Dece mb er 201 4: 950  – 962   958     Figure 8. Normal pro d u c t distributio n       The useful term    11 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 () ( ) (( )( ) ( ) ( ) 4 ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () () ( ) () ( ) ) EE EB EB E B EB EC E B EC E B EB E C EB E C E C EC EC EC st st C et et S C t S C t et e t S C t S C t et e t S C t S C t et et S C t S C t                                                                      (17)    We  ca n see t hat the p r ima r y co de s in  d a ta chann el  and pil o t cha nnel  will b e   multiplied  by the delay  of them. Figu re 9  sho w s the auto c o r rel a tion of pri m ary co de s an d the correlat ion  betwe en p r im ary co de s an d the del ay of them. If   is chosen a bove  one  cod e  chip, the pro d u c t  of primary  codes  will rem a i n  the autocor relation property of primary codes.                                                             a)                                                                                                          b)    Figure 9. Correlation of p r i m ary co de s      -2 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0. 5 1 1. 5 2 0 50 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 N u m b e r  of  s a m p l e  poi nt s A m pl i t ude   of s a m p l e  po i n t s N o rm a l  P r oduc t  D i s t ri but i o n Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930       Unam bigu ou s Acqui sition  for Galileo E1  OS Signal Base d on Dela y …. (Deng Z hongli ang )  959 Through del ay-and-multipl y, the  subcarrier  will be  wiped off al so.  T here are t w o  kinds  of  prod uct. On e  is that of the sub c a rri er  and del ay  of it. The other is that of the sub c a rri er  and  delay  of  the other kind of  sub c a rri er.  Figure 10  sh ows the a u to correl ation a nd correlatio n of  sub c a rri er s.           Figure 10. Autocorrel ation  and correlatio n of sub c arrie r s      Figure 10 shows that the auto correlation function and  cros s-correlat ion function  will both  have a p e a k if the  right is ch ose n . It is noted tha t is ch os en  t o  sat i sf y (2 ( ) ) 1 IF D cos f f  . Furth e rmo r e, if I FD f f , ju s t   c ons id er (2 ) 1 IF cos f . In thisway,  the effect of Dop p ler frequ ency is  remo ved. Finally,  is  c h osen to satis f y    0 n+ 0.5 , 1 2 ,0 , 1 , 2 , 3 2 IF n k k f           (18)      5. Performan ce Analy s is  After the coh e rent integ r ati on, four term s will be o b tai ned:     0 () ( 2 ( ) ) 4 BB BB I F D s c s n n s n n C sR c o s f f n n n                                            (19)    0 () ( 2 ( ) ) 4 CC CC I F D s c s n n s n n C sR c o s f f n n n                                           (20)    0 () ( 2 ( ) ) 4 BC BC IF D s c s n n s n n C sR c o s f f n n n                                            (21)    0 () ( 2 ( ) ) 4 CB CB I F D s c s n n s n n C sR c o s f f n n n                                               (22)    As it is discu s sed a bove,  s n n an d ns n is the prod uct of sign al and noi se, which i s  still the  zero-m ean a dditive white  Gau ssi an noi se with vari an ce     0 0. 1 0.2 0.3 0. 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Code  O f f s e t [c hi p] N o r m a liz e d  C o r r e la tio n  F u n c tio n S ubc a r ri e r  Corr e l a t i on F unc t i on     Cros s  CF Au t o  C F Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.