I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   Te r a k r e d i t a s i   D I K TI ,   S K   N o :   5 1 / D I K TI / K e p / 2 0 1 0         7 3       A   Q u a n t i t i e s   M e t h o d   o f   I n d u c t i o n   M o t o r   u n d e r   U n b a l a c e d   V o l t a g e   C o n d i t i o n s   ( A y o n g   H i e n d r o )   A   Q U A N T I T I E S   M E T H O D   O F   I N D U C T I O N   M O T O R   U N D E R   U N B A L A N C E D   V O L T A G E   C O N D I T I O N S         A y ong  H i e ndr o   D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   Fa c u l t y   o f   E n g i n e e r i n g ,   Ta n j u n g p u r a   U n i v e r s i t y   J l .   J e n d .   A h m a d   Y a n i ,   P o n t i a n a k   7 8 1 2 4   e - m a i l :   a y o n g h 2 0 0 0 @ y a h o o . c o m       A bs t r a k   P e n d e f i n i s i a n   p a l i n g   l e n g k a p   u n t u k   t e g a n g a n   t a k   s e i m b a n g   a d a l a h   m e n g g u n a k a n   c o m p l e x   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r   ( C V U F)   y a n g   t e r d i r i   d a r i   b e s a r a n   a m p l i t u d o   d a n   s u d u t   f a s a .   S a y a n g n y a ,   d e f i n i s i   i n i   t i d a k   m e m b e d a k a n   a n t a r a   k o n d i s i   k e t i d a k s e i m b a n g a n   t e g a n g a n   k u r a n g   d a n   t e g a n g a n   l e b i h .   P a d a   m a k a l a h   i n i ,   a n a l i s i s   t e r h a d a p   m o t o r   i n d u k s i   d i l a k u k a n   m e n g g u n a k a n   m e t o d e   k o m p o n e n   s i m e t r i s   d a n   p e r a n g k a t   l u n a k   M A T L A B   d i g u n a k a n   s e b a g a i   a l a t   b a n t u   u n t u k   m e n g e v a l u s i   k i n e r j a   m o t o r   i n d u k s i .   H a s i l   s i m u l a s i   k o m p u t e r   m e n u n j u k k a n   b a h w a   d e f i n i s i   k e t i d a k s e i m b a n g a n   t e g a n g a n   o l e h   b a k u a n   I n t e r n a t i o n a l   E l e c t r o t e c h n i c a l   C o m m i s s i o n   ( I E C )   d a p a t   d i g u n a k a n   u n t u k   m e n g e v a l u a s i   r u g i - r u g i   d a y a   d e n g a n   t e l i t i .   A k a n   t e t a p i ,   b e s a r a n   s u d u t   f a s a   d a r i   f a k t o r   k e t i d a k s e i m b a n g a n   t e g a n g a n   h a r u s   d i m a s u k k a n   k e   d a l a m   p e r h i t u n g a n   u n t u k   m e m p e r o l e h   h a s i l   y a n g   t e p a t   d a l a m   m e n e n t u k a n   a r u s   p u n c a k   d a n   r u g i - r u g i   m a k s i m u m   p a d a   b e l i t a n   f a s a   m o t o r   i n d u k s i .   S e l a i n   i t u ,   k o n d i s i   k e t i d a k s e i m b a n g a n   t e g a n g a n   k u r a n g   d a n   t e g a n g a n   l e b i h   j u g a   h a r u s   d i p e r h a t i k a n   u n t u k   m e n g h i t u n g   s e m u a   b e s a r a n   t e r s e b u t .       K a t a   k unc i :   C U V F,   m o t o r   i n d u k s i ,   r u g i - r u g i   d a y a ,   t e g a n g a n   t a k   s e i m b a n g       A bs t r a c t   Th e   m o s t   c o m p l e t e   d e f i n i t i o n   f o r   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   i s   u s i n g   c o m p l e x   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r   ( C V U F )   t h a t   c o n s i s t s   o f   i t s   m a g n i t u d e   a n d   a n g l e .   U n f o r t u n a t e l y ,   t h e   d e f i n i t i o n   d i d   n o t   d i s t i n g u i s h   b e t w e e n   u n d e r v o l t a g e   a n d   o v e r v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   a n a l y s i s   o f   t h e   m o t o r   i s   p e r f o r m e d   u s i n g   t h e   m e t h o d   o f   s y m m e t r i c a l   c o m p o n e n t   a n d   M A TL A B   s o f t w a r e   i s   u s e d   t o   i n v e s t i g a t e   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   i n d u c t i o n   m o t o r .   Th e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   s h o w   t h a t   t h e   I n t e r n a t i o n a l   E l e c t r o t e c h n i c a l   C o m m i s s i o n   ( I E C )   d e f i n i t i o n   o f   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c a n   b e   a p p l i e d   t o   e v a l u a t e   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s   p r e c i s e l y .   H o w e v e r ,   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   u n b a l a n c e   f a c t o r   m u s t   b e   i n c l u d e d   f o r   a c c u r a t e   p r e d i c t i n g   o f   p e a k   c u r r e n t s   a n d   p e a k   c o p p e r   l o s s e s   o f   t h e   p h a s e   w i n d i n g s   o f   t h e   m o t o r . Th e   u n b a l a n c e d   c o n d i t i o n s   w h i c h   d i s t i n g u i s h   b e t w e e n   u n d e r   a n d   o v e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   m u s t   a l s o   b e   t a k e n   i n t o   c o n s i d e r a t i o n   f o r   a s s e s s i n g   a l l   t h e   q u a t i t i e s .           K e y w or ds :   C U V F,   i n d u c t i o n   m o t o r ,   l o s s e s ,   v o l t a g e   u n b a l a n c e       1 .   I N TR O D U C TI O N   V o l t a g e   u n b a l a n c e   i s   a   p o w e r   q u a l i t y   p r o b l e m .   I t   i s   a   c o m m o n   p h e n o m e n a   f o u n d   i n   a   t h r e e - p h a s e   p o w e r   s y s t e m .     A l t h o u g h   t h r e e - p h a s e   v o l t a g e   s u p p l y   i s   b a l a n c e d   i n   b o t h   m a g n i t u d e   a n d   p h a s e - a n g l e   a t   g e n e r a t i o n   a n d   t r a n s m i s s i o n   l e v e l s ,   t h e   v o l t a g e s   a t   d i s t r i b u t i o n   e n d   a n d   u t i l i z a t i o n   s i d e   c a n   b e c o m e   u n b a l a n c e .   I t   i s   p r a c t i c a l l y   i m p o s s i b l e   t o   b e   o b v i a t e d   d u e   t o   t h e   u n e v e n   d i s t r i b u t i o n   o f   s i n g l e - p h a s e   l o a d s   i n   t h e   t h r e e - p h a s e   s u p p l y   s y s t e m   a n d   a s y m m e t r y   o f   t r a n s m i s s i o n   l i n e   a n d   t r a n s f o r m e r   w i n d i n g   i m p e d a n c e s .     S u c h   c o n d i t i o n   h a s   s e v e r e   i m p a c t s   o n   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a n   i n d u c t i o n   m o t o r .   Th i s   m o t o r   i s   d e s i g n e d   a n d   b u i l t   t o   b e   a b l e   t o   t o l e r a t e   o n l y   a   l o w   d e g r e e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   a n d   h a s   t o   b e     d e r a t e d   i f   t h e   u n b a l a n c e   i s   e x c e s s i v e .     Th e   n e g a t i v e   i m p a c t s   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   o n   a n   i n d u c t i o n   m o t o r   h a v e   b e e n   s t u d i e d   i n   d e p t h   [ 1 ] - [ 6 ] .   Th e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c a n   i n c r e a s e   s t a t o r   a n d   r o t o r   l o s s e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r ,   r i s e   w i n d i n g s   t e m p e r a t u r e   a n d   r e d u c t i o n   t h e   i n s u l a t i o n   l i f e   c a u s e d   b y   o v e r h e a t i n g .   Th e   m o t o r   n e e d   t o   b e   d e r a t e d ,   r e d u c i n g   i t s   o u t p u t   h o r s e p o w e r   s o   i t   c a n   t o l e r a t e   t h e   e x t r a   h e a t i n g   i m p o s e d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                            I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   2 ,     A g u s t u s   2 0 1 0   :     7 3     8 0   7 4 b y   t h e   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   s u p p l y .   A c c o r d i n g   t o   t h i s   i s s u e ,   I n f l u e n c e   o f   m a g n i t u d e   o f   u n b a l a n c e   v o l t a g e   f a c t o r   o n   e f f i c i e n c y   a n d   m o t o r   l o s s e s   h a s   b e e n   i n v e s t i g a t e d   i n   [ 7 ] .   I n   m o s t   p r e v i o u s   s t u d i e s ,   t h e   m e t h o d   o f   e v a l u a t i n g   t h e   d e g r e e   o f   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   i s   b a s e d   o n   e i t h e r   N a t i o n a l   E l e c t r i c a l   M a n u f a c t u r e s   A s s o c i a t i o n   ( N E M A )   s t a n d a r d   o r   I n t e r n a t i o n a l   E l e c t r o t e c h n i c a l       C o m m i s s i o n   ( I E C )   d e f i n i t i o n .   B o t h   t h e   N E M A   a n d   t h e   I E C   d e f i n i t i o n s   a r e   o n l y   c o n s i d e r i n g   m a g n i t u d e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   t o   d e s c r i b e   t h e   d e g r e e   o f   u n b a l a n c e d   v o l t a g e .   Th e   t h r e e - p h a s e   v o l t a g e   s u p p l y   h a s   n o t   o n l y   m a g n i t u d e   b u t   a l s o   p h a s e - a n g l e   t h a t   g i v i n g   c o n t r i b u t i o n   t o   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e .     H e n c e ,   b o t h   d e f i n i t i o n s   l e a d   t o   a   c o m p a r a t i v e l y   l a r g e   e r r o r   i n   p r e d i c t i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   [ 8 ] .     A   m o r e   p r e c i s e   a p p r o a c h   i n   p r e d i c t i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a n   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i o n   w i t h   u n b a l a n c e d   t h r e e - p h a s e   v o l t a g e   i s   u s i n g   c o m p l e x   q u a n t i t y   t o   s p e c i f y   t h e   d e g r e e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e .   T h i s   d e f i n i t i o n   i s   a l s o   k n o w n   a s   t h e   c o m p l e x   u n b a l a n c e   v o l t a g e   f a c t o r   ( C U V F )   i n   s o m e   l i t e r a t u r e s .   Th e   C U V i s   a n   e x t e n s i o n   o f   t h e   I E C   d e f i n i t i o n ,   f i r s t   t i m e   e v a l u a t e d   b y   W a n g   [ 9 ] ,   w h i c h   c o n s i s t s   o f   m a g n i t u d e   a n d   a n g l e   o f   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e .   H o w e v e r ,   W a n g   [ 9 ]   d i d   n o t   d i s t i n g u i s h   b e t w e e n   u n d e r v o l t a g e   a n d   o v e r v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s .     I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   s t a t o r   a n d   r o t o r   l o s s e s   o f   a n   i n d u c t i o n   m o t o r   a n d   i t s   p e a k   c u r r e n t s   a r e   s t u d i e d   p r e c i s e l y .   Th e   a n g l e   o f   t h e   C U V i s   t a k e n   a c c o u n t   t o   e s t i m a t e   t h e   p e a k   c u r r e n t s   a n d   l o s s e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i n g   w i t h   b o t h   u n d e r - v o l t a g e s   u n b a l a n c e   a n d   o v e r - v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s . Th e   s y m m e t r i c a l   c o m p o n e n t   t h e o r y   a p p r o a c h   i s   u s e d   t o   a n a l y z e   t h e   o p e r a t i o n   o f   i n d u c t i o n   m o t o r   u n d e r   s u c h   c o n d i t i o n s .   M A TL A B   p r o g r a m   i s   a l s o   u s e d   f o r   c o m p u t e r   s i m u l a t i o n .   Fi n a l l y ,   r e c o m m e n d a t i o n s   a r e   s u g g e s t e d   f o r   a c c u r a t e   c a l c u l a t i n g   t h e   q u a n t i t i e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i o n   u n d e r   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   c o n d i t i o n s .             2 .   R E S E A R C H   M E TH O D     Th e   m o t o r   p a r a m e t e r s   u s e d   a r e :   3 - p h a s e ,   Y - C o n n e c t e d ,   3 8 0 V   ( l i n e - t o - l i n e ) ,   5 . 5 k W ,   5 0 H z ,   4 - p o l e s .   Th e   i m p e d a n c e s   o f   i t s   e q u i v a l e n t   c i r c u i t   i n   O h m / p h a s e   r e f e r r e d   t o   t h e   s t a t o r   a r e :   R s = 0 . 3 4 ,   R r = 0 . 2 5 ,   X s = 0 . 7 3 ,   X r = 0 . 4 7 ,   X m = 1 5 . 1 2 .   A n a l y s i s   o f   a n   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i n g   w i t h   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   s u p p l y   u s i n g   s y m m e t r i c a l   c o m p o n e n t   a p p r o a c h   [ 1 0 ]   r e q u i r e s   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   e q u i v a l e n t   c i r c u i t   o f   a   t h r e e   p h a s e   i n d u c t i o n   m o t o r   r e p r e s e n t i n g   i n   Fi g u r e   1 .           Fi g u r e   1 .   S e q u e n c e   e q u i v a l e n t   c i r c u i t     0 . 9 0 . 9 2 0 . 9 4 0 . 9 6 0 . 9 8 1 1 . 0 2 1 . 0 4 1 . 0 6 1 . 0 8 1 . 1 0 . 9 0 . 9 2 0 . 9 4 0 . 9 6 0 . 9 8 1 1 . 0 2 1 . 0 4 1 . 0 6 1 . 0 8 1 . 1 C o m p l e x   V o l t a g e   U n b a l a n c e   F a c t o r x y k u   =   1 % k u   =   2 % k u   =   3 % k u   =   4 % k u   =   5 % k u   =   5 % k u   =   5 % q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = u   = 0 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 1 0 2 4 0 2 7 0 3 0 0 3 3 0 o o o o o o o o o o o o Fi g u r e   2 .   C o m p l e x   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r   ( C V U F)   d i a g r a m       E a c h   c i r c u i t   p e r f o r m s   t o   b o t h   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   c i r c u i t s .   T h e   o n l y   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   c i r c u i t s   i s   t h e   l o a d   r e s i s t a n c e   d e f i n e d   b y   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         A   Q u a n t i t i e s   M e t h o d   o f   I n d u c t i o n   M o t o r   u n d e r   U n b a l a c e d   V o l t a g e   C o n d i t i o n s   ( A y o n g   H i e n d r o )   7 5   s l i p s .   P o s i t i v e   s e q u e n c e   s l i p   i s   s 1 = s ,   n e g a t i v e   s e q u e n c e   s l i p   i s   s 2 = 2 s   a n d   s l i p   s   i s   a s   s h o w n   e q u a t i o n   ( 1 ) ,   w h e r e   n s   i s   s y n c h r o n o u s   s p e e d   a n d   n r   i s   r o t o r   s p e e d .     s r s n n n s - =     ( 1 )     I n p u t   s e q u e n c e   i m p e d a n c e s   f o r   t h e   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   c i r c u i t   a r e   s h o w n   i n   e q u a t i o n   ( 2 ) ,   w h e r e   i = 1   f o r   p o s i t i v e   s e q u e n c e   a n d   i = 2   f o r   n e g a t i v e   s e q u e n c e .     ( ) ( ) r m i r r i r m s s i X X j s R j X s R j X j X R + + + * + + = Z     ( 2 )     L e t   U s a b ,   U s b c   a n d   U s c a   b e   t h e   l i n e   v o l t a g e s   o f   t h e   s t a t o r .   Th e   c o r r e s p o n d i n g   z e r o ,   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   v o l t a g e s   ( U s 0 ,   U s 1 , U s 2 )   a r e   g i v e n   b y   e q u a t i o n   ( 3 ) ,   w h e r e   a = 1 * e x p ( j 2 p / 3 )   i s   Fo r t e s c u e   o p e r a t o r ,   a n d   a 2 = 1 * e x p ( - j 2 p / 3 ) .       * * = c a b c a b s s s s s s U U U a a a a U U U 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 3 1   ( 3 )       Th e   s e q u e n c e   l i n e   v o l t a g e s   c a n   b e   t r a n s f o r m e d   d i r e c t l y   t o   t h e   s e q u e n c e   p h a s e   v o l t a g e s   b y   e q u a t i o n   ( 4 ) ,   w h e r e   t = 3 1 * e x p ( - j p / 6 ) ,     a n d   i t s   c o n j u g a t e   i s   t * = 3 1 * e x p ( j p / 6 ) .       * = c a b c a b s s s s s s U U U t t V V V * 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1     ( 4 )     I f   t h e   s e q u e n c e   p h a s e   v o l t a g e s   a r e   a p p l i e d   t o   t h e   s e q u e n c e   e q u i v a l e n t   c i r c u i t s   ( Fi g u r e   1 ) ,   t h e n   t h e   s e q u e n c e   c u r r e n t s   c a n   b e   c o m p u t e d .   P o s i t i v e   s e q u e n c e   s t a t o r   a n d   r o t o r   c u r r e n t s   a r e   s h o w n   i n   e q u a t i o n   ( 5 )   a n d   ( 6 ) ,   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   s t a t o r   a n d   r o t o r   c u r r e n t s   a r e   s h o w n   i n   e q u a t i o n   ( 7 )   a n d   ( 8 ) .   .   1 1 1 Z V I s s =     ( 5 )       ) ( ) ( 1 1 1 r m r m X X j s R j X + + * = s r I I     ( 6 )     2 2 2 Z V I s s =     ( 7 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                            I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   2 ,     A g u s t u s   2 0 1 0   :     7 3     8 0   7 6 ) ( ) ( 2 2 2 r m r m X X j s R j X + + * = s r I I     ( 8 )     C a l c u l a t i n g   s t a t o r   a n d   r o t o r   l o s s e s   r e q u i r e s   p h a s e   s t a t o r   a n d   r o t o r   c u r r e n t s .   T h e   p h a s e   c u r r e n t s   a r e   d e t e r m i n e d   b y   p e r f o r m i n g   t h e   t r a n s f o r m a t i o n   b a c k .   Tr a n s f o r m i n g   t h e   s t a t o r   c u r r e n t s   u s i n g   Fo r t e s c u e   m a t r i x   a s   s h o w n   i n   e q u a t i o n   ( 9 ) ,   a n d   s i m i l a r l y   t h e   r o t o r   c u r r e n t s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   c a n   b e   c a l c u l a t e d   b y   t r a n s f o r m a t i o n   a s   s h o w n   i n   e q u a t i o n   ( 1 0 ) .   I n   ( 1 0 )   a n d   ( 1 1 ) ,   t h e r e   a r e   n o   z e r o   s e q u e n c e   c u r r e n t s   ( I s 0 = I r 0 = 0 )   f o r   t h e   m o t o r   c o n n e c t i n g   i n   d e l t a   o r   u n g r o u n d e d   w y e .       * = 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 s s s s s s I I I a a a a I I I c b a     ( 9 )     * = 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r I I I a a a a I I I c b a     ( 1 0 )     Fu r t h e r m o r e ,   s t a t o r   c o p p e r   l o s s e s   o f   t h e   m o t o r   c a n   b e   c a l c u l a t e d   b y   e q u a t i o n   ( 1 1 )   a n d   i t s   r o t o r   c o p p e r   l o s s e s   i s   g i v e n   b y   e q u a t i o n   ( 1 2 ) .   I n p u t   a c t i v e   p o w e r   o f   t h e   m o t o r   i s   a s   s h o w n   e q u a t i o n   ( 1 3 )   a n d   a n d   i t s   i n p u t   r e a c t i v e   p o w e r   i s   d e f i n e d   b y   e q u a t i o n   ( 1 4 )     ( ) s c b a s l o s s e s R P * + + = 2 2 2 s s s I I I     ( 1 1 )     ( ) r c b a r l o s s e s R P * + + = 2 2 2 r r r I I I     ( 1 2 )     ( ) ( ) ( ) [ ] * * * + * * = 2 2 1 1 3 R e s s s s I V I V i n P     ( 1 3 )     ( ) ( ) ( ) [ ] * * * + * * = 2 2 1 1 3 I m I s V s I s V s i n Q     ( 1 4 )     A s   t h e   m o t o r   h a s   n o   c o r e   a n d   m e c h a n i c a l   l o s s e s ,   o u t p u t   p o w e r   i s       2 1 P P P o u t + =     ( 1 5 )     w h e r e   r R s s P * - * * = 1 1 2 1 1 1 3 r I   a n d   r R s s P * - * * = 2 2 2 2 2 1 3 r I     A s   n o   c o r e   a n d   m e c h a n i c a l   l o s s e s ,   o u t p u t   p o w e r   i s     2 1 P P P o u t + =     ( 1 6 )     w h e r e ,   R r s s P * - * * = 1 1 2 1 1 1 3 I r   a n d     R r s s P * - * * = 2 2 2 2 2 1 3 I r     Th e   m o t o r   o u t p u t   t o r q u e   i s       2 1 T T T o u t + =     ( 1 7 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         A   Q u a n t i t i e s   M e t h o d   o f   I n d u c t i o n   M o t o r   u n d e r   U n b a l a c e d   V o l t a g e   C o n d i t i o n s   ( A y o n g   H i e n d r o )   7 7   E a c h   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   o f   t h e   o u t p u t   t o r q u e s   a r e   s m s R r I r P T w w * * * = = 1 2 1 1 1 3   a n d   s m s R r I r P T w w * * * - = = 2 2 2 2 2 3 ,   w h e r e   a n g u l a r   s p e e d   w m = w s ( 1     s )   a n d   w s   i s   s y n c h r o n o u s   s p e e d   ( i n   r a d / s ) .   Th e   C V U i s   d e f i n e d   a s   s h o w n   e q u a t i o n   ( 2 0 ) ,   w h e r e   k v   i s   t h e   m a g n i t u d e   a n d   q v   i s   t h e   a n g l e   o f   t h e   C V U F.     v v v k q Ð = = 1 2 s s V V k     ( 1 8 )     L e t   U s a b ,   U s b c   a n d   U s c a   b e   t h e   l i n e   v o l t a g e s   o f   s t a t o r s .   Th e i r   s y m m e t r i c a l   c o m p o n e n t s   a r e   g i v e n   b y   ( 3 )   m e n t i o n e d   a b o v e .   I n   c o n t r a r y ,   t h e   l i n e   v o l t a g e s   c a n   b e   o b t a i n e d   f r o m   t h e i r   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e s ,   b u t   m i n u s   t h e   z e r o   s e q u e n c e   c o m p o n e n t   ( U s 0 = 0 ) .     U s a b = U s 1   +   U s 2 ;     U s b c = a 2 * U s 1   +   a * U s 2 ;   U s c a = a * U s 1   +   a 2 * U s 2     ( 1 9 )     B y   t h e   C V U d e f i n i t i o n ,     u u u k q Ð = = 1 2 s s U U k     ( 2 0 )     A s   d e s c r i b e d   i n   [ 8 ] ,   i f   t h e   r a t i o   o f   t h e   l i n e   v o l t a g e s   i s   d e f i n e d   b y     U s a b   :   U s b c   :   U s c a = 1   :   x   :   y     ( 2 1 )     Th e n   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( k u   ,   q u )   a n d   ( x , y )   a c c o r d i n g   t o   ( 1 9 ) ,   ( 2 0 )   a n d   ( 2 1 )   a r e     u u k a a k x * + + = 2 1     ( 2 2 )     u u k a a k a a y * + * + = 2 2     ( 2 3 )     U s i n g   ( 2 2 )   a n d   ( 2 3 )   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( k u   , q u )   a n d   ( x , y )   c a n   b e   s h o w n   i n   x - y   p l a n e   ( Fi g u r e   2 ) .   Th e   l o c i   o f   c o n s t a n t   k u   l o o k s   l i k e   e l l i p s e s   w h i l e   t h e   l o c i   o f   c o n s t a n t   q u   l o o k s   l i k e   l i n e s .   Fu r t h e r   m o r e ,   t h e   d e f i n i t i o n   o f   t h e   C V U c a n   b e   v i e w e d   m o r e   c l o s e l y   a s   a   c y l i n d e r   i n   t h r e e - d i m e n s i o n a l .   A s   e x a m p l e ,   t h e   v a r i a t i o n s   o f   t e r m i n a l   v o l t a g e s   ( i n   p e r - u n i t   v a l u e )   f o r   k u = 5 %   w i t h   p h a s e   a n g l e   i n   0 - 3 6 0 °   r a n g e   i s   s h o w n   i n   Fi g u r e   3 .   Th e r e   a r e   i n f i n i t e   c o m b i n a t i o n s   o f   t e r m i n a l   v o l t a g e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   f o r   k u = 5 % .   E v e r y   p o i n t   o f   t h e   o u t e r   s u r f a c e   o f   c y l i n d e r   w i l l   g i v e   t h e   s a m e   l e v e l   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e .   Th e   l a r g e   r a n g e   o f   v a r i a t i o n   o f   t h e   t e r m i n a l   v o l t a g e s   f o r   a   g i v e n   v a l u e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c a n   b e   r e d u c e d   b y   c o n s i d e r i n g   t h e   p h a s e   a n g l e   q u   a n d   t h e   d e f i n i t i o n   o f   u n d e r   a n d   o v e r   v o l t a g e   c o n d i t i o n s .   Fo r   i n s t a n t ,   t h e   v a r i a t i o n s   o f   t e r m i n a l   v o l t a g e s   u n d e r   a   0 %   v o l t a g e   u n b a l a n c e   i s   s h o w n   i n   Fi g u r e 4 .   C o n s i d e r i n g   t o   t h e   d e f i n i t i o n   a b o v e ,   t h e r e   a r e   t w o   s e c t i o n s   o f   t h e   g r a p h i c .   Th e   f i r s t ,   k u = 0 %   i s   f o r   u n d e r v o l t a g e   i f   U a b ,   U b c ,   U c a   <   1   a n d   t h e   o t h e r ,   k u = 0 %   i s   f o r   o v e r v o l t a g e   i f   U a b ,   U b c ,   U c a   >   1 .   I n   t h i s   w o r k ,   m a g n i t u d e   o f   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r   o f   0 % ,   1 % ,   2 % ,   3 % ,   4 % ,   5 %   a n d   6 %   a r e   u s e d   f o r   c o m p u t a t i o n .   U n d e r v o l t a g e   c o n d i t i o n   i s   d e f i n e d   b y   0 . 7 £   f   <   1 . 0   a n d   o v e r v o l t a g e   c o n d i t i o n   i s   1 . 0   <   f   £   1 . 4 .   To r q u e   o f   t h e   m a c h i n e   i s   k e p t   c o n s t a n t   d u r i n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                            I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   2 ,     A g u s t u s   2 0 1 0   :     7 3     8 0   7 8 c o m p u t a t i o n   p r o c e s s ,   T o u t = 4 0 . 3 5 7 8   N / m 2   f o r   c a l c u l a t i n g   p e a k   c u r r e n t   a n d   p e a k   l o s s e s   t o   o b t a i n   r a t e   c u r r e n t   a n d   T o u t = 3 3 . 8 0 4 6   N / m 2   f o r   c a l c u l a t i n g   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s .   M a t l a b   p r o g r a m m i n g   i s   e m p l o y e d   t o   c a l c u l a t e   t h e   c u r r e n t s   a n d   l o s s e s     b y   u s i n g   e q u a t i o n s   ( 1 )     ( 2 9 ) .     0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 0 . 8 1 1 . 2 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 U a b U b c U c a k u   =   5 % Fi g u r e   3 .   Te r m i n a l   V o l t a g e   o f     a   Th r e e - P h a s e   I n d u c t i o n   M o t o r   w i t h   k u = 5 %     0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 U a b U b c U c a k u   =   0 % O v e r - V o l t a g e U n d e r - V o l t a g e Fi g u r e   4 .   Te r m i n a l   V o l t a g e   o f   a   Th r e e - P h a s e   I n d u c t i o n   M o t o r   w i t h   k u = 0 %       3 .   R E S U LTS   A N D   A N A LY S I S   Fa i z   e t . a l   i n   [ 7 ]   r e p o r t e d   t h a t   c o p p e r   l o s s e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   i n c r e a s e s   r e l a t e d   t o   m a g n i t u d e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r .   Th e y   d i d   n o t   i n v e s t i g a t e   t h e   i n f l u e n c e   o f   p h a s e   a n g l e   o f   t h e   u n b a l a n c e   f a c t o r .   H e r e ,   F i g s .   5   a n d   6   d e s c r i b e   t h e   e f f e c t s   o f   p h a s e   a n g l e   o f   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   f a c t o r   o n   s t a t o r   a n d   r o t o r   c o p p e r   l o s s e s .         0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 R o t o r   C o p p e r   L o s s e s q q q q v   ( D e g r e e ) L o s s e s   ( W a t t ) P r ( l o s s e s ) P i r a P i r b P i r c   Fi g u r e   5 .   V a r i a t i o n s   o f   p h a s e   a ,   b   a n d   c   R o t o r   L o s s e s   w i t h   q v   0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 f T o t a l   C o p p e r   L o s s e s   ( W a t t ) k v   =   6 % k v   =   5 % k v   =   4 % k v   =   3 % k v   =   2 % k v   =   1 % k v   =   0 % O v e r - V o l t a g e U n d e r - V o l t a g e   Fi g u r e   6 .   V a r i a t i o n s   o f   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s   w i t h   u n b a l a n c e d   c o n d i t i o n s   a t   t o r q u e = 3 3 . 8 0 4 6   N / m 2       Th e   p h a s e s   a ,   b   a n d   c   o f   t h e   s t a t o r   l o s s e s   ( P i s a ,   P i s b ,   P i s c )   a n d   t h e   r o t o r   l o s s e s   ( P i r a ,   P i r b ,   P i r c )   v a r y   f r o m   q v = 0 °   t o   3 6 0 °   f o r   a   c o n s t a n t   k v = 6 %   a n d   o u t p u t   t o r q u e = 4 0 . 3 5 7 8   N / m 2   a t   s l i p   s = 0 . 0 2 2 4 .   Th e   l o s s e s   i n   t h e   t h r e e   p h a s e s   a r e   e x t r e m e l y   n o n - u n i f o r m   u n d e r   t h e   u n b a l a n c e   v o l t a g e   c o n d i t i o n   a n d   v a r y   s i g n i f i c a n t l y   w i t h   q v   ,   b u t   t o t a l   o f   s t a t o r   a n d   r o t o r   l o s s e s   r e m a i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TE LK O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0         A   Q u a n t i t i e s   M e t h o d   o f   I n d u c t i o n   M o t o r   u n d e r   U n b a l a c e d   V o l t a g e   C o n d i t i o n s   ( A y o n g   H i e n d r o )   7 9   c o n s t a n t   a n d   a r e   n o t   d e p e n d e n t   o n   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   u n b a l a n c e d   f a c t o r .   T h e   p e a k   l o s s e s   o f   e a c h   p h a s e   r e f e r   t o   p e a k   c u r r e n t s .   Th e   p e a k   c u r r e n t   o f   s t a t o r   o c c u r s   w h e n   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   u n b a l a n c e d   f a c t o r   i s     q v = a n g l e ( Z 2 )     a n g l e ( Z 1 )   +   2 n p / 3 ,   n = 0 , 1 , 2     ( 2 4 )     Th e   p h a s e   a n g l e   o f   t h e   u n b a l a n c e d   f a c t o r   f o r   t h e   r o t o r   p e a k   c u r r e n t   i s     q v = ( a n g l e ( Z 2 )     a n g l e ( Z 1 ) )     ( a n g l e ( C D 2 )     a n g l e ( C D 1 ) )   +   2 n p / 3 ,   n = 0 , 1 , 2             ( 2 5 )     w h e r e   C D 1   a n d   C D 2   a r e   p o s i t i v e   a n d   n e g a t i v e   s e q u e n c e   c u r r e n t   d i v i d e r s   a n d   d e f i n e d   b y       ) ( ) ( 1 1 r m r m X X j s R j X + + = C D   a n d   ) ( ) ( 2 2 r m r m X X j s R j X + + = C D .     I f   a t   a n   a n g l e   o f   q v   t h e   c u r r e n t   i n   p h a s e - a   h a s   a   p e a k   v a l u e ,   t h e n   i n   t h e   n e x t   1 2 0 °   i n t e r v a l   ( =   q v   +   1 2 0 ° ) ,   p h a s e - b   w o u l d   h a v e   a   p e a k   a n d   p h a s e - c   w o u l d   h a v e   i t s   p e a k   c u r r e n t   i n   t h e   s u b s e q u e n t   1 2 0 °   i n t e r v a l   ( =   q v   +   2 4 0 ° ) .     O n c e   a   p h a s e   h a s   t h e   v a l u e   o f   p e a k   c u r r e n t   a b o v e   t h e   r a t e   c u r r e n t ,   i t   w i l l   l e a d   t o   e x c e s s i v e   h e a t i n g   i n   t h e   m o t o r s   w i n d i n g s .   Th e   m o t o r   i s   n o t   a l l o w e d   t o   o p e r a t e   a t   a b o v e   t h e   r a t e d   c u r r e n t   o r   i t   w i l l   h a r m   t o   t h e   s t a t o r   a n d   r o t o r   w i n d i n g s .     Ta b l e   1   s h o w s   v a r i a t i o n s   o f   p e a k   l o s s e s   a n d   p e a k   c u r r e n t s   o c c u r r e d   i n   t h e   r o t o r   a n d   s t a t o r   p h a s e s   o f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i o n   u n d e r   k v = 6 %   a n d   o u t p u t   t o r q u e = 4 0 . 3 5 7 8   N / m 2   w i t h   c o n s i d e r i n g     o v e r   o r   u n d e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s .   C o m p a r i n g   T a b l e s   1   a n d   2 ,   i t   c a n   b e   f o u n d   t h a t   p e a k   l o s s e s   a n d   p e a k   c u r r e n t   i n   o n e   o f   s t a t o r   a n d   r o t o r   p h a s e   w i n d i n g s   b e c o m e   v e r y   h i g h   i f   t h e   i n d u c t i o n   m o t o r   i s   o p e r a t e d   w i t h   e i t h e r   o v e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   o r   u n d e r - v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s .   U n d e r   t h e   s a m e   v a l u e   o f   k v ,   t h e   u n d e r - v o l t a g e   u n b a l a n c e   g i v e s   h i g h e r   p e a k   l o s s e s   a n d   p e a k   c u r r e n t s   t h a n   t h e   t h r e e - p h a s e   o v e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   d o e s .   A   l a r g e   v a l u e   o f   u n b a l a n c e d   m a y   c r e a t e   t h e   c u r r e n t   f l o w i n g   i n   o n e   o f   t h e   p h a s e   w i n d i n g s   e x c e e d s   t h e   r a t e d   v a l u e .   Th i s   c o n d i t i o n   w i l l   d a m a g e   t h e   i n s u l a t i o n   o f   t h e   m o t o r s   w i n d i n g s   a n d   m a y   s h o r t e n   t h e   m o t o r s   l i f e   f o r   l o n g - t e r m   o p e r a t i o n .   P r e c i s e   d e r a t i n g   f o r   i n d u c t i o n   m o t o r s   w i t h   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   i n v e s t i g a t e d   b y   Fa i z   e t . a l .   i n   [ 8 ] .   Th e y   f o u n d   t h a t   b o t h   t h e   N E M A   a n d   I E C   d e f i n i t i o n s   l e a d   t o   l a r g e   e r r o r   i n   p r e d i c t i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   m a c h i n e   w h e n   o p e r a t i o n   w i t h   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   c o n d i t i o n s .   I t   i s   t r u e   f o r   c a l c u l a t i n g   t h e   m o t o r   d e r a t i n g   f a c t o r .   M o r e o v e r ,   t h e y   [ 8 ] , [ 9 ]   d i d   n o t   d e f i n e   u n b a l a n c e d   c o n d i t i o n   t o   d i s t i n g u i s h   b e t w e e n   o v e r   a n d   u n d e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   t o   o b t a i n   m o r e   a c c u r a t e   r e s u l t s .   Fi g u r e   6   s h o w s   t h a t   t h e   I E C   d e f i n i t i o n   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o m b i n e d   w i t h   t h e   u n b a l a n c e d   c o n d i t i o n   c a n   b e   a p p l i e d   t o   e v a l u a t e   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s   p r e c i s e l y .       Ta b l e   1 .   C o m p a r i s o n   o f   p e a k   l o s s e s   a n d   p e a k   c u r r e n t   u n d e r   k v = 6 %   a n d   T o u t = 4 0 . 3 5 7 8   N / m 2   C o n d i t i o n s   f   i s ( m a x )   A   i r ( m a x )   A   P s ( m a x )   W   P r ( m a x )   W   U n d e r   V o l t a g e   U n b a l a n c e   0 . 8   3 2 . 4 6 9 9   3 1 . 0 3 1 4   3 0 9 . 9 6 2 1   1 3 8 . 6 6 4 9   0 . 9   3 0 . 7 9 4 1   2 8 . 9 1 5 0   2 7 8 . 7 9 3 7   1 2 0 . 3 9 4 9   O v e r   V o l t a g e   U n b a l a n c e   1 . 1   2 9 . 7 9 9 9   2 6 . 7 1 2 7   2 6 1 . 0 8 1 6   1 0 2 . 7 5 3 7   1 . 2   3 0 . 0 3 8 4   2 6 . 1 9 9 7   2 6 5 . 2 7 7 6   9 8 . 8 4 5 4     Ta b l e   2 .   P e a k   l o s s e s   a n d   p e a k   c u r r e n t   u n d e r   b a l a n c e d   v o l t a g e   a n d   T o u t = 4 0 . 3 5 7 8   N / m 2   C o n d i t i o n s   f   i s ( m a x )   A   i r ( m a x )   A   P s ( m a x )   W   P r ( m a x )   W   B a l a n c e d   V o l t a g e   1 . 0   2 0 . 3 8 7 5   1 8 . 0 9 9 6   1 2 2 . 2 0 2 0   4 7 . 1 7 3 8       Th e   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s   a r e   s u m m a t i o n   o f   t h e   s t a t o r   a n d   r o t o r   c o p p e r   l o s s e s   a n d   d o   n o t   d e p e n d   o n   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e .   A t   t h e   s a m e   d e g r e e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e ,   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                            I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0     TE LK O M N I K A     V o l .   8 ,   N o .   2 ,     A g u s t u s   2 0 1 0   :     7 3     8 0   8 0 t o t a l   l o s s e s   d e p e n d   u p o n   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s .   A s   s e e n   i n   Fi g u r e   6 ,   t h e   m o t o r   o p e r a t e s   i n   u n d e r v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n   g i v e s   g r e a t e r   l o s s e s   c o m p a r e d   t o   i t   i s   i n   o v e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n   a t   k v = 0 % ,   1 % ,   2 % ,   3 % ,   4 % ,   5 %   a n d   6 % .       4 .   C O N C L U S I O N S   Th e   d e g r e e   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   i s   a   q u a n t i t y   r e q u i r e d   i n   s t u d y i n g   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a   t h r e e   p h a s e   i n d u c t i o n   m o t o r   o p e r a t i n g   w i t h   a n   u n b a l a n c e d   v o l t a g e   s u p p l y .   I t   h a s   b e e n   a s s e r t e d   t h a t   t h e   p r e v a i l i n g   o p e r a t i o n   c o n d i t i o n s   o f   t h e   m o t o r   a r e   n o t   a c c u r a t e l y   a s s e s s e d   w i t h o u t   k n o w i n g   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   u n b a l a n c e d   f a c t o r   a n d   t h e   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o n d i t i o n s   ( u n d e r   o r   o v e r   v o l t a g e   u n b a l a n c e ) .   Th e   I E C   d e f i n i t i o n   o f   v o l t a g e   u n b a l a n c e   c o m b i n e d   w i t h   t h e   u n b a l a n c e d   c o n d i t i o n   c a n   b e   a p p l i e d   t o   e v a l u a t e   t o t a l   c o p p e r   l o s s e s   p r e c i s e l y .   H o w e v e r ,   t h e   p h a s e   a n g l e   o f   u n b a l a n c e d   f a c t o r   m u s t   b e   i n c l u d e d   f o r   a c c u r a t e   p r e d i c t i n g   o f   p e a k   c u r r e n t   a n d   p e a k   c o p p e r   l o s s e s   o f   t h e   p h a s e   w i n d i n g s .       R E FE R E N C E S   [ 1 ] .     W o l l   R F.   E f f e c t   o f   U n b a l a n c e d   V o l t a g e   o n   t h e   O p e r a t i o n   o f   P o l y - P h a s e   I n d u c t i o n   M o t o r .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   I n d u s t r i a l   A p p l i a c t i o n s .   1 9 7 5 ;   I A - 1 1 ( 1 ) :   3 8 - 4 2 .   [ 2 ] .     C u m m i n g s   P B ,   D u n k i - J a c o b s   J R ,   K e r r   R H .   P r o t e c t i o n   o f   I n d u c t i o n   M o t o r s   A g a i n s t   U n b a l a n c e d   V o l t a g e   O p e r a t i o n .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   I n d u s t r i a l   A p p l i a c t i o n s .   1 9 8 5 ;   2 1 ( 4 ) :   7 7 8 - 7 9 2 .   [ 3 ] .     K e r s t i n g   W H ,   P h i l i p s   W H .   P h a s e   F r a m e   A n a l y s i s   o f   t h e   E f f e c t s   o f   V o l t a g e   U n b a l a n c e   o n   I n d u c t i o n   M a c h i n e .   I E E E   T r a n s a c t i o n s   o n   I n d u s t r i a l   A p p l i c a t i o n s .   1 9 9 7 ;   3 3 ( 2 ) :   4 1 5 - 4 2 0 .   [ 4 ] .     P i l l a y   P ,   H o f t m a n   P ,   M a n y a g e   M .   D e r a t i n g   o f   I n d u c t i o n   M o t o r s   O p e r a t i n g   w i t h   t h e   C o m b i n a t i o n   o f   U n b a l a n c e d   V o l t a g e s   a n d   O v e r   o r   U n d e r   V o l t a g e s .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n     E n e r g y   C o n v e r s i o n .   2 0 0 2 ;   1 7 :   4 8 5 - 4 9 1 .   [ 5 ] .     R e f o u f i   L ,   B e n t a r z i   H ,   D e k h a n d j i   FZ .   V o l t a g e   U n b a l a n c e   E f f e c t s   o n   i n d u c t i o n   M o t o r   P e r f o r m a n c e .   P r o c e e d i n g   o f   t h e   6 t h   W S E A S   I n t .   C o n f .   o n   S i m u l a t i o n ,   M o d e l l i n g   a n d     O t t i m i z a t i o n .   P o r t u g a l .   2 0 0 6 ;   1 1 2 - 1 1 7 .   [ 6 ] .     S a n d h u   K S ,   C h a u d h a r y   V .   S t e a d y   S t a t e   M o d e l l i n g   o f   I n d u c t i o n   M o t o r   O p e r a t i n g   w i t h   U n b a l a n c e d   S u p p l y   S y s t e m .   W S E A S   Tr a n s a c t i o n s   o n   C i r c u i t   a n d   S y s t e m s .   2 0 0 9 ;   8 ( 2 ) :   1 9 7 - 2 0 6 .   [ 7 ] .     Fa i z   J ,   E b r a h i m p o u r   H ,   P i l l a y   P .   I n f l u e n c e   o f   U n b a l a n c e d   V o l t a g e   S u p p l y   o n   E f f i c i e n c y   o f   Th r e e   P h a s e   S q u i r r e l   C a g e   I n d u c t i o n   M o t o r   a n d   E c o n o m i c   A n a l y s i s .   E n e r g y   C o n v e r s i o n   a n d   M a n a g e m e n t .   2 0 0 6 ;   4 7 :   2 8 9     3 0 2 .   [ 8 ] .     Fa i z   J ,   E b r a h i m p o u r   H .   P r e c i s e   D e r a t i n g   o f   Th r e e - P h a s e   I n d u c t i o n   M o t o r s   w i t h   U n b a l a n c e d   V o l t a g e s .   E n e r g y   C o n v e r s i o n   a n d   M a n a g e m e n t .   2 0 0 7 ;   4 8 :   2 5 7 9 - 2 5 8 6 .   [ 9 ] .     W a n g   Y J .   A n a l y s i s   o f   E f f e c t s   o f   Th r e e   P h a s e   V o l t a g e   U n b a l a n c e   o n   I n d u c t i o n   M o t o r s   w i t h   E m p h a s i s   o n   t h e   A n g l e   o f   t h e   C o m p l e x   V o l t a g e   U n b a l a n c e   Fa c t o r .   I E E E   Tr a n s a c t i o n s   o n   E n e r g y   C o n v e r s i o n .   2 0 0 1 ;   1 6 ( 3 ) :   2 7 0 - 2 7 5 .   [ 1 0 ] .     W i l l i a m s   J E .   O p e r a t i o n   o f   3 - P h a s e   I n d u c t i o n   M o t o r s   o n   U n b a l a n c e d   V o l t a g e s .   A I E E   Tr a n s a c t i o n s   . 1 9 5 4 ;   P t .   I I I - A :   1 2 5 - 1 3 3 .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.