T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 3 ,   S e p t e m b e r   2 0 1 2 ,   p p .   5 6 4 ~ 5 7 1   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           5 6 4       R e c e i v e d   M a y   1 ,   2 0 1 2 ;   R e v i s e d   J u n e   4 ,   2 0 1 2 ;   A c c e p t e d   J u n e   1 3 ,   2 0 1 2   T i m e   o f   A r r i v a l   a n d   A n g l e   o f   A r r i v a l   S t a t i s t i c s   f o r   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l           G u o   L i m e i * 1 ,   N i a n   X i a o h o n g 2   1 , 2 Sc h o o l   o f   I n f o r m a t i o n   Sc i e n c e   a n d   En g i n e e r i n g ,   C e n t r a l   S o u t h   U n i v e r s i t y   C h a n g s h a ,   H u n a n ,   C h i n a ,   + 8 6   7 3 1 8 5 3 2 4 1 7 9   e - m a i l :   c s u g l m @ g m a l . c o m * 1       A b s t r a k   M o d e l   h a m b u r a n   u m u m   a d a l a h   p r o s e s   h a m b u r a n   l o k a l   d i a s u m s i k a n   b a h w a   s t a s i u n   b e r g e r a k   t e r l e t a k   d i   d a l a m   w i l a y a h   h a m b u r a n .   U n t u k   m e m p e l a j a r i   m o d e l   h a m b u r a n   j a u h   d i   l i n g k u n g a n   p r o p a g a s i   p i n g g i r a n   k o t a   a t a u   b e r b u k i t ,   s e b u a h   m o d u s   h a m b u r a n   m e l i n g k a r   j a u h   s e c a r a   s t a t i s t i k   b e r d a s a r k a n   g e o m e t r i   d i   l i n g k u n g a n   s e l   m a k r o   d i u s u l k a n .   Ek s p r e s i   b e n t u k   t e r t u t u p   d a r i   f u n g s i   k e p a d a t a n   p r o b a b i l i t a s   g a b u n g a n   d a r i   w a k t u   k e d a t a n g a n / s u d u t   k e d a t a n g a n ,   k e p a d a t a n   f u n g s i   p r o b a b i l i t a s   m a r j i n a l   s u d u t   k e d a t a n g a n   d a n   s u d u t   k e b e r a n g k a t a n ,   k e p a d a t a n   f u n g s i   p r o b a b i l i t a s   m a r j i n a l   w a k t u   k e d a t a n g a n   d i t u r u n k a n .   f u n g s i   k e p a d a t a n   p r o b a b i l i t a s   i n i   m e m b e r i k a n   w a w a s a n   k e   d a l a m   s i f a t   d a r i   m o d e l   h a m b u r a n   s a l u r a n   s p a s i a l   j a u h .     K a t a   k u n c i :   m o d e l   h a m b u r a n   j a u h ,     s u d u t   d a t a n g ,   s u d u t   k e b e r a n g k a t a n ,   w a k t u   d a t a n g       A b s t r a c t     G e n e r a l   s c a t t e r i n g   m o d e l   i s   l o c a l   s c a t t e r i n g   p r o c e s s   a s s u m e d   t h a t   t h e   m o b i l e   s t a t i o n   i s   l o c a t e d   i n s i d e     t h e   s c a t t e r i n g   r e g i o n ,   i n   o r d e r   t o   s t u d y   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   m o d e l   i n   s u b u r b a n   o r   h i l l y   p r o p a g a t i o n   e n v i r o n m e n t ,   a   g e o m e t r i c a l l y   b a s e d   s t a t i s t i c a l   d i s t a n t   c i r c u l a r   s c a t t e r i n g   m o d e   i n   m a c r o c e l l   e n v i r o n m e n t   w a s   p r o p o s e d ,   t h e   c l o s e d - f o r m   e x p r e s s i o n s   o f   t h e   j o i n t   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   o f   t h e   t i m e   o f   a r r i v a l   / t h e   a n g l e   o f   a r r i v a l ,   t h e   m a r g i n a l   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   o f   t h e   a n g l e   o f   a r r i v a l   a n d   t h e   a n g l e   o f   d e p a r t u r e ,   t h e   m a r g i n a l   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   o f   t h e   t i m e   o f   a r r i v a l   w e r e   d e r i v e d ,   t h i s   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n s   p r o v i d e d   i n s i g h t   i n t o   t h e   p r o p e r t i e s   o f   t h e   s p a t i a l   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   c h a n n e l   m o d e l .       K e y w o r d s :   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   m o d e l ,   t h e   a n g l e   o f   a r r i v a l ,   t h e   a n g l e   o f   d e p a r t u r e ,   t h e   t i m e   o f   a r r i v a l         1 .     I n t r o d u c t i o n   R e c e n t l y   t h e   u s e   o f   s m a r t   a n t e n n a s   a n d   b e a m f o r m i n g   t e c h n i q u e   h a s   m o t i v a t e d   t o   r e s e a r c h   t h e   m o d e l   f o r   t h e   s p a t i a l   c h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   c e l l u l a r   m o b i l e   c h a n n e l ,   v a r i o u s   s c a t t e r i n g   m o d e l s   a n d   r e l a t e d   i s s u e s   c a n   b e   f o u n d   i n   [ 1 - 1 0 ] ,   t h e   r i n g   m o d e l   [ 2 ] ,   t h e   s c a t t e r e r s   a r e   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   o n   a   r i n g   w h i c h   i s   c e n t e r e d   a b o u t   t h e   m o b i l e   s t a t i o n   ( M S ) .   C i r c u l a r   s c a t t e r i n g   m o d e l   [ 4 , 5 ] ,   t h e   d e n s i t y   o f   s c a t t e r e r s   w i t h i n   a   c i r c u l a r   r e g i o n   a b o u t   M S   h a s   b e e n   a s s u m e d   t o   b e   u n i f o r m ,   t h i s   m o d e l   w a s   a s s u m e d   t o   b e   m o s t   v a l i d   i n   m a c r o c e l l   e n v i r o n m e n t s   w h e r e   t h e   a n t e n n a   h e i g h t s   o f   t h e   b a s e   s t a t i o n   ( B S )   a r e   r e l a t i v e l y   h i g h   w i t h o u t   s i g n a l   s c a t t e r i n g   f r o m   l o c a t i o n   n e a r   B S .   E l l i p t i c a l   s c a t t e r i n g   m o d e l   [ 6 ] ,   w h e r e   t h e   s c a t t e r e r s   a r e   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   w i t h i n   a n   e l l i p t i c a l   r e g i o n   w i t h   f o c i   a t   B S   a n d   M S   r e s p e c t i v e l y ,   t h i s   m o d e l   w a s   a s s u m e d   v a l i d   i n   m i c r o   o r   p i c o c e l l   t y p e s   o f   e n v i r o n m e n t s   w h e r e   t h e   a n g u l a r   s p r e a d   t e n d s   t o   b e   h i g h   a n d   t h e   d e l a y   s p r e a d   t e n d s   t o   b e   l o w .   R e f e r e n c e s   [ 7 - 1 0 ]   g a v e   s o m e   s c a t t e r i n g   m o d e l   o f   n o n - u n i f o r m   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n ,   s u c h   a s   G a u s s i a n   d e n s i t y   s c a t t e r   m o d e l   [ 7 ] ,   i t   a s s u m e d   t h a t   t h e   m o b i l e   s t a t i o n   i s   s u r r o u n d e d   b y   t h e   s c a t t e r e r s   o f   G a u s s i a n   d i s t r i b u t i o n ;   t h e   m o d e l   w a s   u s e d   i n   t h e   s t u d y   o f   d i v e r s i t y   a n t e n n a s   a n d   s m a r t   a n t e n n a s .   R a y l e i g h   a n d   e x p o n e n t i a l   d i s t r i b u t i o n s   m o d e l   [ 8 ] ,   a n a l y s i s   s h o w s   t h a t   t h e   R a y l e i g h   d i s t r i b u t i o n   s c a t t e r e r   m o d e l   c a n   p r e d i c t   t h e   o u t d o o r   e n v i r o n m e n t ,   w h i l e   t h e   e x p o n e n t i a l   d i s t r i b u t i o n   s c a t t e r e r   m o d e l   i s   s u i t a b l e   f o r   t h e   i n d o o r   e n v i r o n m e n t .   T h e   h y p e r b o l i c   s c a t t e r e r s   d i s t r i b u t i o n   m o d e l   [ 9 ] ,   i t   h a s   b e e n   s h o w n   t h a t   t h e   h y p e r b o l i c   t h e   a n g l e   o f   a r r i v a l   ( A O A )   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   i s   m o r e   e f f e c t i v e   t h a n   t h e   G a u s s i a n   A O A   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   w h e n   s c a t t e r e r s   r a d i u s   R 3 . 3   k m .   A   3 - D   m o d e l   i s   p r o p o s e d   i n   [ 1 0 ] ,   w h i c h   c a n   b e   c o n s i d e r e d   a p p l i c a b l e   t o   m i c r o -   a n d   p i c o c e l l   e n v i r o n m e n t s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       T i m e   o f   A r r i v a l   a n d   A n g l e   o f   A r r i v a l   S t a t i s t i c s   f o r   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l   ( G u o   L i m e i )   5 6 5   N e v e r t h e l e s s ,   M o s t   o f   t h e   e x i s t i n g   g e o m e t r i c   c h a n n e l   m o d e l s   t a k e   i n t o   a c c o u n t   o n l y   t h e   l o c a l   s c a t t e r i n g ,   t h e   m o b i l e   s t a t i o n   i s   l o c a t e d   i n s i d e   t h e   s c a t t e r i n g   r e g i o n ,   a n d   f e w   a v a i l a b l e   m o d e l s   d e f i n e   t h e   s h a p e   a n d   d i s t r i b u t i o n   o f   d i s t a n c e   s c a t t e r i n g .   D i s t a n c e   s c a t t e r i n g   i s   t h e   s c a t t e r i n g   p r o c e s s   w h i c h   r e s u l t s   f r o m   t h e   d o m i n a n t   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   s t r u c t u r e s   f a r   f r o m   b o t h   t h e   B S   a n d   t h e   M S ,   t h i s   t y p e   o f   s c a t t e r i n g   c a n   o c c u r   i n   h i l l y   a n d   s u b u r b a n   a r e a s   d u e   t o   l a r g e   s c a t t e r i n g   s t r u c t u r e s   s u c h   a s   m o u n t a i n s   a n d   h i g h   b u i l d i n g   c l u s t e r s ,   w h i c h   h a v e   a   s i g n i f i c a n t   i n f l u e n c e   o n   t h e   m o b i l e   c h a n n e l [1 1 ] .   T h e   c o n t r i b u t i o n s   o f   t h i s   p a p e r   i s   t o   s t u d y   a   d i s t a n t   c i r c u l a r   s c a t t e r i n g   m o d e l ,   a n d   d e r i v e   t h e   j o i n t   a n d   m a r g i n a l   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n s   o f   t h e   a n g l e   o f   a r r i v a l   a n d   t h e   t i m e   o f   a r r i v a l   ( T O A )   i n   c l o s e d   f o r m   f o r   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   i n   m a c r o c e l l   e n v i r o n m e n t ,   w h i c h   a r e   r e q u i r e d   t o   t e s t   a d a p t i v e   a r r a y   a l g o r i t h m s   f o r   c e l l u l a r   a p p l i c a t i o n s . .       2 .   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l   F i g u r e 1   s h o w s   t h e   p r o p o s e d   d i s t a n t   c i r c u l a r   s c a t t e r i n g   g e o m e t r y   m o d e l   i n   m a c r o c e l l   e n v i r o n m e n t ,   i t   i s   a s s u m e d   t h a t   t h e   s i g n a l s   r e c e i v e d   a t   B S   h a v e   i n t e r a c t e d   w i t h   o n l y   a   s i n g l e   s c a t t e r e r   i n   t h e   c h a n n e l ,   t h e   M S   i s   l o c a t e d   o n   t h e   x - a x i s   w i t h   t h e   o r i g i n   a t   B S ,   D   d e n o t e s   t h e   d i s t a n c e   b e t w e e n   M S   a n d   B S ,   a   p o i n t   P   i s   t h e   c e n t r e   o f   t h e   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   c i r c u l a r   w i t h   a   r a d i u s   R   a n d   i s   d e n o t e d   b y   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e s   ( d p , θ p )   a n d     ( d r , θ r )   w i t h   r e s p e c t   t o   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e s   w i t h   t h e   o r i g i n   a t   B S   a n d   M S   r e s p e c t i v e l y ,   t h e   m o d e l   a s s u m e s   t h a t   t h e   s c a t t e r e r s   a r e   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   w i t h i n   t h e   c i r c u l a r ,   a   r a n d o m   s c a t t e r e r   p o s i t i o n   S ( x s , y s )   c a n   d e n o t e d   b y   ( d , θ d )   a n d   ( r , θ r )   w i t h   r e s p e c t   t o   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e s   w i t h   t h e   o r i g i n   a t   B S   a n d   M S   r e s p e c t i v e l y ,     i t   i s   a s s u m e d   t h a t   t h e   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   c i r c u l a r   i s   l o c a t e d   i n s i d e   t h e   e l l i p s e   w i t h   f o c i   a t   B S   a n d   M S ,   i t s   s e m i m a j o r   a x i s   a m   a n d   s e m i m i n o r   a x i s   b m   v a l u e s   a r e   g i v e n   b y :     2 / m m c a t =                                                                                                                         ( 1 )     2 / 2 2 2 D c b m m - = t                                                                                                     ( 2 )         F i g u r e   1 .     D i s t a n t   s c a t t e r i n g   m o d e l     W h e r e   τ m   i s   t h e   m a x i m u m   d e l a y   a s s o c i a t e d   w i t h   s c a t t e r e r s   w i t h i n   t h e   e l l i p s e .   A s   s h o w n   i n   F i g u r e 1 ,   s c a t t e r e r s   w e r e   a s s u m e d   t o   b e   u n i f o r m l y   s p r e a d   o v e r   t h e   d i s t a n t   c i r c u l a r ,   t h e   s c a t t e r   d e n s i t y   f u n c t i o n   i n   r e c t a n g u l a r   c o o r d i n a t e s   c a n   b e   w r i t t e n   a s :   £ = o t h e r w i s e R y x R y x f s s s s y x s s 0 | ) , ( | 1 ) , ( 2 , p                                                                                                           ( 3 )   T h e   t o t a l   p a t h   p r o p a g a t i o n   d e l a y   i s   g i v e n   b y     r d c + = t                                                                                                                                                                                       ( 4 )     L o o k i n g   a t   t h e   t r i a n g l e ) , , ( S B S M S D a s   s h o w n   i n   F i g u r e 1 ,   t h e   f o l l o w i n g   e q u a t i o n   c a n   b e   d e d u c e d :   ) c o s ( 2 2 2 d d D D d d c q t - + = -                                                                                                                                         ( 5 )     S q u a r i n g   b o t h   s i d e s   o f 5 a n d   s o l v i n g   f o r   d   r e s u l t s   i n     B S   M S   P   d   r   R   θ d   θ r   d p   θ p θ p M   d r   D   y Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 6 4     5 7 1   5 6 6 ) c o s ( 2 2 2 2 c D c D d d t q t - - =                                                                                                                                                                                     ( 6 )     T h e r e f o r e ,   t h e   l o c a t i o n   o f   t h e   s c a t t e r e r   i n   t h e   r e c t a n g u l a r   c o o r d i n a t e s   i s   g i v e n   b y ;     ) c o s ( 2 c o s ) ( c o s 2 2 2 c D c D d x d d d s t q q t q - - = =                                                                                                                                                 ( 7 )   ) c o s ( 2 s i n ) ( s i n 2 2 2 c D c D d y d d d s t q q t q - - = =                                                                                                                                                   ( 8 )     2 . 1 .   J o i n t   T O A / A O A   p d f   a t   B S   O n c e   t h e   s c a t t e r e r   d i s t r i b u t i o n ) , ( , s s y x y x f s s   a n d   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( x s , y s )   a n d   ( τ , θ d )   a r e   k n o w n ,   t h e   j o i n   T O A / A O A   p d f   ) , ( , d d f q t q t   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   a   J a c o b i a n   t r a n s f o r m a t i o n   b e t w e e n     ( x s , y s )   a n d   ( τ , θ d )   :     b s b s s s s s y x d y x y x y x f f s s d q q t t q t q t = ) , ( ) , ( , , 3 2 2 2 2 2 2 , ) c o s ( 4 ) c o s 2 ) ( ( ) , ( c D c c D c D c D y x f d d s s y x s s t q q t t t - - + - × =       3 2 2 2 2 2 2 2 ) c o s ( 4 ) c o s 2 ) ( ( c D R c c D c D c D d d t q p q t t t - - + - =                                                                                                                     ( 9 )     2 . 2 .   A O A   p d f   a t   B S   T h e   A O A   p d f   c o u l d   b e   f o u n d   b y   i n t e g r a t e   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e   s y s t e m   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   s c a t t e r e r   d e n s i t y   f u n c t i o n ) , ( , d d d f d q q   w i t h   r e s p e c t   t o   d   o v e r   t h e   r a n g e   d 1   t o   d 2 ,   w h e r e   d 1   a n d   d 2   a r e   t w o   p a i r s   o f   r o o t s   f o r   t h e   e q u a t i o n s   d e f i n i n g   t h e   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   d i s c s ,   i n   p o l a r   c o o r d i n a t e s :     ] , 0 [ ) c o s ( 2 2 2 2 R d d d d p d p p Î - - + q q                                                                                                                         ( 1 0 )     E q u a t e   ( 1 0 )   t o   i t s   u p p e r   l i m i t   o f   R 2   p r o d u c i n g   t h e   f o l l o w i n g   t w o   r o o t s     } ) ( s i n ) c o s ( { , 2 2 2 2 1 p d p p d p d R d d d q q q q - - ± - =                                                                                             ( 1 1 )     W h e n   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( x s , y s )   a n d   ( d , θ d )   a r e   k n o w n ,   t h e   j o i n t   p d f   ) , ( , d d d f d q q   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   a n o t h e r   J a c o b i a n   t r a n s f o r m a t i o n   b e t w e e n   ( x s , y s )   a n d   ( d , θ d ) :     ) s i n , c o s ( ) , ( ) , ( , s i n c o s , , d d s s d s d s s s d d d d f y x d y d x y x f d f y x d y d x b s b s s s s s y x d d q q q q q q q q = = = =                                 ( 1 2 )     T h e r e f o r e   t h e   A O A   p d f   a t   B S   e q u a l s     2 2 1 2 2 2 , 2 1 ) , ( ) ( 2 1 2 1 R d d d d R d d d d f f d d d d d d d d d p p q q q q - = × = =   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       T i m e   o f   A r r i v a l   a n d   A n g l e   o f   A r r i v a l   S t a t i s t i c s   f o r   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l   ( G u o   L i m e i )   5 6 7   + £ £ - - - - = o t h e r w i s e o d R d R R d R d p p d p p p d p p d p a r c s i n a r c s i n ) ( s i n ) c o s ( 2 2 2 2 2 q q q p q q q q                 ( 1 3 )     2 . 3 .   T O A   p d f   a t   B S   T o   i d e n t i f y   t h e   s u p p o r t   r e g i o n   o f   θ   a t   a   s p e c i f i c τ ,   t h e r e   e x i s t s   a   τ - c o n s t a n t   s p a t i a l   e l l i p s e   f o c u s i n g   a t   t h e   b a s e   s t a t i o n s   a n d   t h e   m o b i l e   s t a t i o n s   s p a t i a l   l o c a t i o n s ,   a n y   p r o p a g a t i o n   p a t h   m u s t   b o u n c e   o f f   a   s c a t t e r e r   l y i n g   o n   t h i s   e l l i p s e s   r i m ,   t h i s   e l l i p t i c a l   r i m   i n t e r s e c t s   w i t h   t h e   c i r c l e   ( w i t h i n   w h i c h   t h e   s c a t t e r e r s   l i e )   a t   t w o   p o i n t s   a t   m o s t [1 2 ] ,   t h a t   i s   θ   s a t i s f y i n g   t h e   f o l l o w i n g   r e l a t i o n   f o r   a   s p e c i f i c   t i m e   d e l a y   τ :     2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) c o s ( ) c o s ( ) ( ) ) c o s ( 2 ( R c D d c D d c D c D p d d p p d = - - - - + - - q q t q t t q t                                                               ( 1 4 )       I n   o r d e r   t o   s i m p l i f y   c a l c u l a t i o n s ,   w e   u s e   a n o t h e r   m e t h o d ,   i n   r e c t a n g u l a r   c o o r d i n a t e s   t h e   i n t e r s e c t i o n   p o i n t s ( x , y )   s a t i s f y   t h e   f o l l o w i n g   b o t h   e q u a t i o n s :     = + - = - + - 1 ) 2 / ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 0 2 0 b y a D x R y y x x                                                                                                                                                                                       ( 1 5 )   W h e r e 2 / , 2 / , s i n , c o s 2 2 2 0 0 D c b c a d y d x p p p p - = = = = t t q q ,   a f t e r   s o m e   e l e m e n t a r y   b u t   r a t h e r   t e d i o u s   c a l c u l a t i o n ,   e q u a t i o n   ( 1 5 )   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s :                                                   0 2 3 4 = + + + + t t t t t e x d x c x b x a                                                                                                                             ( 1 6 )       w h e r e :   2 0 2 2 2 0 2 2 0 4 2 0 2 0 2 0 2 4 0 2 2 0 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 4 3 4 2 4 2 0 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 3 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 4 4 2 0 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 2 2 2 3 2 4 2 6 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 a x D b x b x R x y x R y R y a D b R a b D R b a b D b a D b y b y e a b D R a D b a D b R x x y a x b D a D b y x b a x D b x d a D b a b R a b D a b a x D b b x a b y a x b R y c a D b a x b x a D b b a b a b a t t t t t - + + - + + - + + + - - + + - = - - + + - + - - + - = - + + - - + + + - - = - + - = + + - =                         E q u a t i o n   ( 1 6 )   i s   a   q u a r t i c   e q u a t i o n ,   t h e   q u a r t i c   c a n   b e   s o l v e d   b y   m e a n s   o f   a   m e t h o d   d i s c o v e r e d   b y   L o d o v i c o   F e r r a r i [1 4 ] ,   a n d   i t s   t w o   r o o t s   s a t i s f y i n g   t h e   f o l l o w i n g   r e l a t i o n s h i p s   a r e   t h e   s o l u t i o n   t o   t h e   e q u a t i o n   ( 1 5 ) ,   w e   e x p r e s s   t h e   r o o t s   a s   x 1 , x 2   a n d   x 1 x 2 :                                                           R d x x R d p p p p + £ £ £ - q q c o s c o s 2 1                                                                                               ( 1 7 )     T h e n   i n   p o l a r   c o o r d i n a t e s ,   t h e   a n g l e s   o f   t h e   t w o   i n t e r s e c t   p o i n t s   a r e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 6 4     5 7 1   5 6 8 1 2 2 1 2 2 2 / ) ) 2 / ( ( a r c t a n x a D x b b d - - = q                                                                         ( 1 8 )     2 2 2 2 2 2 1 / ) ) 2 / ( ( a r c t a n x a D x b b d - - = q                                                                       ( 1 9 )   I n   a d d i t i o n ,   t h e   m i n i m   a n d   m a x i m u m   A O A   f o r   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   a r e   g i v e n   b y :       p p d R a r c s i n 1 m i n - = q q                                                                                                       ( 2 0 )   p p d R a r c s i n 1 m a x + = q q                                                                                                   ( 2 1 )     u s i n g   ) c o s ( 2 2 2 2 c D c D d d t q t - - = ,   1 m a x q q = d a n d   2 2 R d d p - = , w e   c a n   o b t a i n   t h e   u p p e r   l i m i t   o f   τ :     c d R R d D D R d R d p p p p p ) ) / a r c s i n ( c o s ( ) ( 2 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 m a x + - - + - + - = q t                                       ( 2 2 )     F o r   t h e   s a m e   r e a s o n ,   t h e   l o w e r   l i m i t   o f   τ   i s :     c d R R d D D R d R d p p p p p ) ) / a r c s i n ( c o s ( ) ( 2 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 m i n - - - + - + - = q t                                           ( 2 3 )     T h e r e f o r e   t h e   p d f   o f   T O A   a t   B S   c a n   b e   f o u n d   a s :     £ £ - - + - = = o t h e r w i s e d c D R c c D c D c D f d d d d d 0 ) c o s ( 4 ) c o s 2 ) ( ( ) ( m a x m i n 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t t t q t q p q t t t t q q t                                   ( 2 4 )     U s i n g   t h e   f o l l o w i n g   t r a n s f o r m a t i o n s :     2 2 2 2 1 2 , 1 2 s i n , 1 1 c o s , 2 t a n t d t d t t t t t d d d d + = + = + - = = q q q q                                                     T h e   T O A s   m a r g i n a l   d e n s i t y   e x p l i c i t l y   d e p e n d s   o n   t h e   m o d e l   p a r a m e t e r s   o f   R   a n d   D :     £ £ + - + - - + + + + = o t h e r w i s e f o r a a a a a a a a a a a a f d d d d d d d d d d 0 ) ) 2 ( ( t a n 2 t a n ) 2 ( t a n 2 t a n ) 2 t a n 1 a r c t a n ( ) ) 2 ( ( t a n 2 t a n ) 2 ( t a n 2 t a n ) 2 t a n 1 a r c t a n ( ) ( m a x m i n 2 2 4 2 1 1 3 2 4 2 1 1 2 1 4 1 2 2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 4 1 t t t q q q q q q q q q q t t                                     ( 2 5 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       T i m e   o f   A r r i v a l   a n d   A n g l e   o f   A r r i v a l   S t a t i s t i c s   f o r   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l   ( G u o   L i m e i )   5 6 9   W h e r e :   D c D c a + - = t t 4 ,   2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 D c R c D c c a - - = t p t ,   ) ( 4 2 2 2 c D D R c a t p + = ,   2 2 2 3 ) ( 2 ) ( c D D R c c D a t p t + - =     2 . 4 .     T h e   A n g l e   o f   D e p a r t u r e   ( A O D )   p d f   a t   M S   T h e   s a m e   e q u a t i o n s   a p p l y   a t   t h e   m o b i l e   w h e n   s c a t t e r   d e n s i t y   i s   r e f e r r e d   t o   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e   s y s t e m   ( r , θ s )   d e f i n e d   a t   t h e   m o b i l e ,   t h e   r e l a t i o n s h i p   b e t w e e n   r   a n d   τ   i s   i d e n t i c a l   i n   f o r m   t o   t h e   r e l a t i o n s h i p   b e t w e e n   d   a n d   τ ,   t h a t   i s :     ) c o s ( 2 2 2 r r D D r r c q t - + = -                                                                                                     ( 2 6 )     S q u a r i n g   b o t h   s i d e s   o f   ( 2 6 )   a n d   s o l v i n g   f o r   r   r e s u l t s   i n     ) c o s ( 2 2 2 2 c D c D r r t q t - - =                                                                                                                                               ( 2 7 )     T h e r e f o r e ,   t h e   l o c a t i o n   o f   t h e   s c a t t e r e r   i n   t h e   r e c t a n g u l a r   c o o r d i n a t e s   i s   a l s o   g i v e n   b y :     ) c o s ( 2 c o s ) ( c o s 2 2 2 c D c D r x r r r s t q q t q - - = =                                                                                                         ( 2 8 )     ) c o s ( 2 s i n ) ( s i n 2 2 2 c D c D r y r r r s t q q t q - - = =                                                                                                           ( 2 9 )     O n c e   t h e   s c a t t e r e r   d i s t r i b u t i o n ) , ( , s s y x y x f s s a n d   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( x s , y s )   a n d   ( τ , θ r )   a r e   k n o w n ,   t h e   j o i n   T O A / A O D   p d f   ) , ( , r r f q t q t   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   a   J a c o b i a n   t r a n s f o r m a t i o n :     3 2 2 2 2 2 2 2 , , ) c o s ( 4 ) c o s 2 ) ( ( ) , ( ) , ( c D R c c D c D c D y x y x y x f f r r r s r s s s s s y x r s s r t q p q t t t q q t t q t q t - - + - = =                                     ( 3 0 )     T h e   A O D   p d f   a t   t h e   M S   c o u l d   b e   f o u n d   b y   i n t e g r a t e   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e   s y s t e m   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   s c a t t e r e r   d e n s i t y   f u n c t i o n ) , ( , r r r f r q q   w i t h   r e s p e c t   t o   r   o v e r   t h e   r a n g e   r 1   t o   r 2 ,   w h e r e   r 1   a n d   r 2   a r e   t w o   p a i r s   o f   r o o t s   f o r   t h e   e q u a t i o n s   d e f i n i n g   t h e   d i s t a n t   s c a t t e r i n g   d i s c s   w h e n   t h e   s c a t t e r e r   d e n s i t y   i s   r e f e r r e d   t o   t h e   p o l a r   c o o r d i n a t e   s y s t e m   ( r , θ s ) ,   i n   p o l a r   c o o r d i n a t e s :     ] , 0 [ ) c o s ( 2 2 2 2 R r d d r p M r r r Î - - + q q                                                                                 ( 3 1 )     E q u a t e   ( 3 1 )   t o   i t s   u p p e r   l i m i t   o f   R 2   p r o d u c i n g   t h e   f o l l o w i n g   t w o   r o o t s     } ) ( s i n ) c o s ( { , 2 2 2 2 1 p M r r p M r r d R d r r q q q q - - ± - =                                                               ( 3 2 )     T h e   j o i n t   p d f   ) , ( , r r r f r q q   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   a n o t h e r   J a c o b i a n   t r a n s f o r m a t i o n   w i t h   t h e   r e l a t i o n s   b e t w e e n   ( x s , y s )   a n d   ( r , θ r )   a r e   k n o w n :     ) s i n , c os ( ) , ( ) , ( , s i n c o s , , r r y x r y r x r s r s s s s s y x r r d r r f y x r y r x y x f r f s s r s r s s s r q q q q q q q q = = = =                                               ( 3 3 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                      I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   3 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 2   :     5 6 4     5 7 1   5 7 0 T h e r e f o r e   t h e   A O D   p d f   a t   M S   e q u a l s     + £ £ - - - - = = o t h e r w i s e d R d R f o r R d R d o t h e r w i s e d r r f f r p M r r p M p m r r p M r r r r r r r r r 0 a r c s i n a r c s i n ) ( s i n ) c o s ( 2 0 ) , ( ) ( 2 2 2 2 , 2 1 q q q p q q q q q q q q                         ( 3 4 )       3 .     R e s u l t s   a n d   A n a l y s i s   I n   t h i s   s e c t i o n   t h e   a b o v e   t h e o r e t i c a l   m o d e l s   a r e   v a l i d a t e   u s i n g   s i m u l a t i o n ,   t h e   d i s t a n c e   b e t w e e n   M S   a n d   B S   i s   2 k m ,   a n d   i t s   c e n t r e   i s   P ( 1 5 0 0 , 4 0 0 )   m ,   τ c = 2 4 5 0 m ,   t h e   j o i n t   p d f   o f   T O A / A O A   a t   B S   f o r   t h e   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t i o n   s c a t t e r e r   m o d e l   i s   s h o w n   i n     F i g u r e   2   ( e q u a t i o n   ( 9 ) ) ,   t h e   r a d i u s   o f   c e l l   R   i s   c h o s e n   a s   2 0 0 m ,   e q u a t i o n   ( 1 3 )   i s   p l o t t e d   i n   F i g u r e   3 ,   t h e   s c a t t e r e r s   a r e   u n i f o r m l y   l o c a t e d   w i t h i n   a   c i r c l e s   o f   d i f f e r e n t   r a d i u s ,   e q u a t i o n   ( 2 5 )   i s   p l o t t e d   i n   F i g u r e   4 ,   e q u a t i o n   ( 3 4 )   i s   p l o t t e d   i n   F i g u r e   5 ,   t h e   p d f   d e r i v e d   i n   t h i s   s e c t i o n   c a n   b e   u s e d   t o   s i m u l a t e   a   p o w e r - d e l a y - a n g l e   p r o f i l e   a n d   t o   q u a n t i f y   a n g l e   s p r e a d   a n d   d e l a y   s p r e a d [1 3 ]   f o r   t h e   g i v e n   R ,   D   a n d   t h e   c e n t r e   o f   t h e   s c a t t e r i n g   c i r c l e .         F i g u r e   2 .     J o i n t   T O A / A O A   p d f   ( P ( 1 5 0 0 , 4 0 0 ) ;   R = 2 0 0 ; D = 2 0 0 0 ;   τ c   = 2 4 5 0 )   F i g u r e   3 .     p d f   o f   A O A   a t   B S ( P ( 1 5 0 0 , 4 0 0 ) ;   D = 2 0 0 0 ;   τ c   = 2 4 5 0 )       F i g u r e   4 .     p d f   o f   t h e   T O A   a t   B S ( P ( 1 5 0 0 , 3 0 0 ) ; R = 2 0 0 ; D = 2 0 0 0 ;   τ c   = 2 4 0 0 )   F i g u r e   5 .     p d f   o f   A O D   a t   M S ( P ( 1 5 0 0 , 4 0 0 ) ;   D = 2 0 0 0 ;   τ c   = 2 4 5 0 )       4 .     C o n c l u s i o n   I n   t h i s   p a p e r ,   w e   h a v e   d e r i v e d   g e o m e t r i c a l   c h a n n e l   m o d e l   a s s u m e d   t h a t   t h e   s c a t t e r e r s   a r e   w i t h i n   a   c i r c l e   f a r   f r o m   b o t h   B S   a n d   M S ,   t h i s   t y p e   o f   s c a t t e r i n g   c a n   o c c u r   i n   h i l l y   a n d   s u b u r b a n   a r e a s   d u e   t o   l a r g e   s c a t t e r i n g   s t r u c t u r e s   s u c h   a s   m o u n t a i n s   a n d   h i g h   b u i l d i n g   c l u s t e r s ,   w h i c h   h a v e   a   s i g n i f i c a n t   i n f l u e n c e   o n   t h e   m o b i l e   c h a n n e l ,   t h e   j o i n t   T O A / A O A   a n d   m a r g i n a l   T O A   , A O A   a n d   A O D   p d f s   f o r   t h e   c i r c u l a r   s c a t t e r i n g   m o d e l   a r e   d e r i v e d .   2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 3 0 0 0 3 1 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 4 0 0 3 5 0 0 4 6 8 1 0 1 2 1 4 x   1 0 4 a n g l e   o f   a r r i v a l   ( d e g r e e ) T i m e   o f   a r r i v a l ( s e c * c ) J o i n t   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 A O A ( d e g r e e ) p r o b a b i l i t y   d e n s i t y R = 5 0 R = 1 0 0 R = 1 5 0 R = 2 0 0 6 . 7 6 . 8 6 . 9 7 7 . 1 7 . 2 7 . 3 7 . 4 7 . 5 7 . 6 x   1 0 - 6 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 x   1 0 5 T O A ( s e c ) p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 A O A ( d e g r e e ) p r o b a b i l i t y   d e n s i t y R = 5 0 R = 1 0 0 R = 1 5 0 R = 2 0 0 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       T i m e   o f   A r r i v a l   a n d   A n g l e   o f   A r r i v a l   S t a t i s t i c s   f o r   D i s t a n t   C i r c u l a r   S c a t t e r i n g   M o d e l   ( G u o   L i m e i )   5 7 1   A c k n o w l e d g m e n t s :   T h i s   w o r k   w a s   s u p p o r t e d   b y   N a t i o n a l   N a t u r a l   S c i e n c e   F o u n d a t i o n   o f   C h i n a   u n d e r   G r a n t   N o s .   6 1 0 7 5 0 6 5 , 6 0 7 7 4 0 4 5       R e f e r e n c e s   [ 1 ]     Kh a n   N . M ,   Si m s i m   M . T ,   R a p a j i c ,   P. B .   A   G e n e r a l i z e d   M o d e l   f o r   t h e   Sp a t i a l   C h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   C e l l u l a r   M o b i l e   C h a n n e l .   I EEE   T r a n s .   Ve h i c u l a r   T e c h n o l o g y .   2 0 0 8 ;   5 7 ( 1 ) :   2 2 - 3 7 .   [ 2 ]     Se u n g - H y u n   Ko n g .   T O a n d   AO D   St a t i s t i c s   f o r   D o w n   L i n k   G a u s s i a n   Sc a t t e r e r   D i s t r i b u t i o n   M o d e l .   I EEE  t r a n s a c t i o n s   o n   w i r e l e s s   c o m m u n i c a t i o n s .   2 0 0 9 ;   8 ( 5 ) :   2 6 0 9 - 2 6 1 7 .   [ 3 ]     M   Al s e h a i l i .   An g l e   a n d   t i m e   o f   a r r i v a l   s t a t i s t i c s   o f   a   t h r e e   d i m e n s i o n a l   g e o m e t r i c a l   s c a t t e r i n g   c h a n n e l   m o d e l   f o r   i n d o o r   a n d   o u t d o o r   p r o p a g a t i o n   e n v i r o n m e n t s .   P r o g r e s s   I n     E l e c t r o m a g n e t i c s   R e s e a r c h .   2 0 1 0 ;   1 0 9   : 1 9 1 - 2 0 9 .     [ 4 ]     H a m a l a i n e n ,   J .   Sa v o l a i n e n ,   S .   W i c h m a n ,   R .   R u o t s a l a i n e n ,   K.   Y l i t a l o ,   J .   O n   t h e   So l u t i o n   o f   S c a t t e r   D e n s i t y   i n   G e o m e t r y - Ba s e d   C h a n n e l   M o d e l s .   I EEE   T r a n s .   w i r e l e s s   c o m m u n i c a t i o n s .   2 0 0 7 ;   6 ( 3 ) : 1 0 5 4 - 1 0 6 2 .   [ 5 ]     Vu e   I v a n   W u ,   Ka i n a m   T h o m a s   W o n g .   G e o m e t r i c a l   M o d e l   f o r   t h e   T O D i s t r i b u t i o n   o f   U p l i n k / D o w n l i n k   M u l t i p a t h s , As s u m i n g   S c a t t e r e r s   w i t h   a   C o n i c a l   Sp a t i a l   D e n s i t y .   I EEE  An t e n n a s   a n d   Pr o p a g a t i o n   M a g a z i n e .   2 0 0 8 ;   5 0 ( 6 ) : 1 9 6 - 2 0 5 .   [ 6 ]     T e t s u r o   I m a i ,   T o k i o   T a g a .   St a t i s t i c a l   S c a t t e r i n g   M o d e l   i n   U r b a n   Pr o p a g a t i o n   En v i r o n m e n t .   I EEE  T r a n s .   Ve h i c u l a r   T e c h n o l o g y .   2 0 0 6 ;   5 5 ( 4 ) : 1 0 8 1 - 1 0 9 3 .   [ 7 ]     J a n a s w a m y ,   R .   An g l e   a n d   t i m e   o f   a r r i v a l   s t a t i s t i c s   f o r   t h e   G a u s s i a n   s c a t t e r   d e n s i t y   m o d e l .   I EEE  T r a n s . W i r e l e s s   c o m m u n i c a t i o n s .   2 0 0 2 ;   1 ( 3 ) :   4 8 8 - 4 9 7 .   [ 8 ]     L .   J i a n g   S.   Y .   T a n .   G e o m e t r i c a l l y   b a s e d   s t a t i s t i c a l   c h a n n e l   m o d e l s   f o r   o u t d o o r   a n d   i n d o o r   p r o p a g a t i o n   e n v i r o n m e n t s .   J o u r n a l   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   V e h i c u l a r   T e c h n o l o g y .   2 0 0 7 ;   5 6 ( 6 ) :   3 5 8 6 3 5 9 3   [ 9 ]     N   l e .   n e w   f o r m u l a   f o r   t h e   a n g l e - o f - a r r i v a l   p r o b a b i l i t y   d e n s i t y   f u n c t i o n   i n   m o b i l e   e n v i r o n m e n t .   J o u r n a l   Si g n a l   p r o c e s s .   2 0 0 7 ;   8 7 ( 6 ) : 1 3 1 4 - 1 4 2 5   [ 1 0 ]   Sy e d   J u n a i d   N a w a z ,   Bi l a l   H a s a n   Q u r e s h i ,   N o o r   M   Kh a n .   G e n e r a l i z e d   3 - D   Sc a t t e r i n g   M o d e l   f o r   a   M a c r o c e l l   En v i r o n m e n t   W i t h   a   D i r e c t i o n a l   A n t e n n a   a t   t h e   BS .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   v e h i c u l a r   t e c h n o l o g y .   2 0 1 0 ;   5 9 ( 7 ) :   3 1 9 3 - 3 2 0 4 .   [ 1 1 ]   Kh a n   N   M ,   I s l a m a b a d   Si m s i m   M   T ,   R a p a j i c   B.   G e n e r a l i z e d   M o d e l   f o r   t h e   S p a t i a l   C h a r a c t e r i s t i c s   o f   t h e   C e l l u l a r   M o b i l e   C h a n n e l .   I EEE  T r a n s a c t i o n s   o n   Ve h i c u l a r   T e c h n o l o g y .   2 0 0 8 ;   5 7 ( 1 ) :   2 2 - 3 7 .   [ 1 2 ]   Y u e   I v a n   W u ,   W o n g   K   T .   g e o m e t r i c a l   m o d e l   f o r   t h e   t o a   d i s t r i b u t i o n   o f   u p l i n k / d o w n l i n k   m u l t i p a t h s .   As s u m i n g   s c a t t e r e r s   w i t h   a   c o n i c a l   s p a t i a l   d e n s i t y .   I EEE  An t e n n a s   a n d   Pr o p a g a t i o n   M a g a z i n e .   2 0 0 8 ;   5 0 ( 6 ) : 1 9 6     2 0 5 .   [ 1 3 ]   Pe t r u s   P,   R e e d   J   H ,   R a p p a p o r t   T   S.   G e o m e t r i c a l l y   b a s e d   s t a t i s t i c a l   c h a n n e l   m o d e l   f o r   m a c r o c e l l u l a r   m o b i l e   e n v i r o n m e n t s .   I EEE   T r a n s a c t i o n s   o n   C o m m u n i c a t i o n s .   2 0 0 2 ;   5 0 ( 3 ) :   4 9 5 - 5 0 2   [ 1 4 ]   N i c k a l l s , R . W . D .   T h e   q u a r t i c   e q u a t i o n : i n v a r i a n t s   a n d   Eu l e r ' s   s o l u t i o n   r e v e a l e d .   M a t h e m a t i c a l   G a z e t t e .   2 0 0 9 ;   9 3 : 6 6 7 5 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.