TELKOM NIKA , Vol. 13, No. 4, Dece mb er 201 5, pp. 1251 ~1 262   ISSN: 1693-6 930,  accredited  A  by DIKTI, De cree No: 58/DIK T I/Kep/2013   DOI :  10.12928/TELKOMNIKA.v13i4.1847    1251      Re cei v ed Ap ril 11, 2015; Revi sed Septe m ber  20, 201 5; Acce pted  Octob e r 2, 20 15   Energy-efficient Routing Model Based on Vector Field  Theory for Large-scale Wireless Senso r  Networks      Ming Li 1,2,a* , Huany a n  Qia n 1,b ,  Min  Xu 3, c   1 School of Co mputer Scie nc e and T e chno l o g y , Nan jin g  U n iversit y  of Sci ence a nd T e chnol og y, Na nji n g,  210 09 4, Chin a   2 School of Busi ness, Hoh a i U n iversit y , Na nji ng, 211 10 0, Chin a   3 Departme n t of Accountin g & Informatio n  S y s t ems, Calif orn i a State Univer sit y  No rthr id ge,  Northrid ge, C A   913 30-8 3 7 2 , USA  e-mail: lm@ h h u .edu.cn a , h y q i an@ njust.ed u . c n b , xu-mi n@ 1 63.com c       A b st r a ct   Routi ng  desi g n is a  key is sue for l a rg e- scale w i re less  sensor  netw o rks (W SNs). Energ y   consu m ption  associ ated w i th all o cate d re sources  sh ou l d  be co nsi der ed. T h is pa p e r prop oses t h e   integr ation   of an ener gy-effi cient mo de l,  w h ich is  bas e d  o n  vector  fi eld t heory,  in  larg e-scal e  W S Ns.  Source  no des   in W S Ns  hav e  the c haracter i stics of so urce  poi nts i n  a  ve ctor fiel d, w her eas si nk  nod e s   coul d b e  c har a c teri z e d  as  gat heri ng  po ints.  Our sche m e  d e monstrates  th at w e  ca n s o lv e a  set  of p a rti a l  differenti a l  eq u a tions  in  e l ectr ostatic  the o ry t o  d e ter m in e th e ro utes th at r e sult  in  en ergy  efficie n cy. T h us,  the routin g pro b le m in W S N for ener gy effici ency bec o m es  a typical PDE  solutio n . Our simulati on res u lts  show  sign ifica n t improve m e n t in en ergy  consu m pt ion.  Co mp ared w i t h  the traditi on al shortest p a t h  appr oach, the  prop osed  mod e l show s consi dera b le i m prov ement in the l i fetime of the ne tw ork.     Ke y w ords : en ergy efficie n t, routin g mod e l, vector field the o r y, w i reless sensor netw o rk      Copy right  ©  2015 Un ive r sita s Ah mad  Dah l an . All rig h t s r ese rved .       1. Introduc tion  Wirel e ss sen s or networks  (WSNs)  [1]–[3]  con s ist  of several h undred s to several   thousand s of  sen s ors p r o pagate d  in a geog rap h ic al area. Th e se nso r s  can  co mmuni cate with  each oth e r th roug h  wirel e ss lin ks an d of ten u s e  radi o  frequ en cy ch annel s to  co mmuni cate. T h e   s e ns or s me as u r e   s p ec ific me tr ic s lik e ,  s u c h   a s  te mperature,  p r essu re , m o vements,  or o t her  physi cal values, in a peri odic  or non-periodic m a nner. Howeve r, the sensors utilize battery  power, a nd  e fficient en erg y  use  of sen s ors i s   cr uci a l to in crea se the lifetime  of the n e twork.   Thus, d e termi n ing optimal t r an smi ssi on  paths from  ea ch sen s or to t he de stinatio n is impo rtant .  The ro uting  probl em in sensor net wo rks h a s b een  studied by  many re sea r che r s. S.  Toumpi s an d L. Tassiula s first intro d u c e d  electros tatic  field theory into  the WSN [4]. Their works  focu s on th e  sen s o r  d epl oyment probl em in   WSNs. The re se arche r s ab stra cted the  nod e  optimal di stri bution p r obl e m  into a cha r ge di stri but ion problem i n  the ele c tro s tatic field, t hus  providin g an  effective con c ept of bu ildin g up the routi ng model fo r WSNs.   Mehdi K a lant ari a nd  Mark Shayman  u s ed  ele c tro s t a tic field  the o ry to  study  ad h o c  networks and verified the f easi b ility  of analyzing  work rout ing  with t he el ect r ostatic field.  On the  basi s  of a p r eviou s  wo rk [7], they also em ploy ed  vector an al ysis in the li terature [8] and   descri bed th e  routing  probl em in  WS Ns with the diff erential  equ a t ion in the el ectro s tati c fie l d .   They de rive t he pa rtial diff erential  equ at ion a c cordin g  to the p r op erties of the  ele c tro s tatic fiel d,  applie d the e quation to  ro ute WSNs, a nd empl oy ed  the mathem atical phy sics method to solve  the energy ro uting pro b lem  of WSNs.   Yeling Zhan g  et al [9] visualized the trans mi ssion o f  messa ge p a ckets in WSNs into  abstract i n formation flo w   and d e si gne d two  algo rithms, n a mely, maximum in formation  ro u t ing   and  con d ition a l maximum  informatio n routing; t hey  attributed the  routing  solution proble m   of  WSNs to th e extremal p r oble m  of transfe rri ng  inf o rmatio n flows in th e n e twork life  cycle.  Ho wever,  the  maximum  tra n smi ssi on  of  the info rm atio n flow comp romise s the  n e twork life  cycle  and i s  therefore  a  que stio nable  meth od . The  pe rspe ctive  from  wh ich we  st udy the  net wo rk with  the informatio n flow indi cat e s th at we  ca n al so   study t he routing  of  WSNs b a sed  on th e ve cto r   field.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930     Energ y -efficie n t Routing M odel Based o n  Vector Fi eld Theo ry fo r Larg e -scale  …   (Mi ng Li)  1252 A previou s  work in the lit eratu r e [10– 1 2 ] adopted t he theory an alysis meth o d  of th e   Euler e quatio n, whi c h is  b a se d on the  flow field  to  simulate th e  mobility of sensor n ode s  in   WSNs to e n s ure b a lan c e d  dist ributio n  of nod es , ef fective utiliza t ion of en erg y , and coverage   rate of high  netwo rks. Alireza Saleh a n  et al [ 13] modified the framework  of the simul a tion  of  WSNs an d simulated the  commu nication pro c e s s  of the ad ho c network in  a flow mod e l.  Acco rdi ng to  simulatio n  re sults  of the al gorit hm s, such as DS DV, DSR, AO DV, and T O RA, t h e   resea r chers verified the correctn ess of th e flow model.   By integratin g the  de scrip t ions i n  the  p r ev iou s   wo rks a bove,  we   determi ne th at all th e   said  problem s can  be transfo rme d  in to definit e  solution p r obl ems  of typical mathem atical   physi cs ba se d on   static  ch arge  move m ent in  the  el ec tros tatic field or flui d part icle  movement in  the flow field  and the el ectrostatic field  di fferenc e eq ua tions o r  Euler equation s . In  this pap er, we  analyze the  feature s   of th e field i n   WSNs by u s in g  vector field th eory to  dete r mine the  effe ctive  energy route  for WSNs.       2. WSN Mod e l Based o n  Vector Field  Theor y     2.1. Introduc tion of Vec t o r  Field Theor y   Model  Con s id erin g  that a WSN con s i s ts of  N nod es,  we a s sume  that each n ode  can   comm uni cate  throug h wi re less chann els and the n o d e s a r e pla c e d  in a pla nar  regio n  called  A.  Whe n  events occur  som e whe r e in the  netwo rk, the  clo s e s t node  will trigg e r a  messag e. Each   node attem p ts to obtain th e messa ge in  the sen s o r  n e twork a nd re spo n d s  to the  messag e of the   neigh bori ng  node. Fin a lly, all the message s are tran smitted to th e sin k  no de.  Con s id erin g the  compl e tene ss of a model,  we ma ke the  followin g  assumption s:  A1: Every node ca rri es lim ited energy, and  the re sidu e energy time is noted;   A2: In sen s or net wo rks,  every geo g r aphi c  regio n  that gene ra tes trigg e r  e v ents is   accomp anie d  by a given regio nal lo ad den sity  distrib u tion l a w. The lo a d  den sity in    rep r e s ent s th e loa d  g ene rated in    by a  unit time. If we a s sume  tha t  the coo r dina te in   is  (x,   y), then we reco rd that th e load d e n s ity in   is  (, ) x y . The value of  () ws  reflec ts  the load  gene rated  in  place a （ a A ） by unit time. That is to  say, the rate  gen erated  by trig ger  events  i s   as  follows :     () ( , ) a ws x y d           ( 1 )     In the formul a above,  () ws  is the integ r al in  flat area a,  d is the differentia l unit in the  plana r re gion  inclu d ing ;  A3: The positi on of the nod e is fixed and  kno w abl e;  A4: Whe n  th e nod e is  de ployed, ea ch  node i n   the n e twork  can  a rrive at the  si nk n ode   throug h a mul t i-hop tra n smi ssi on sequ en ce;   A5: To find the ro ute, we  provide  a di rectio n to ea ch p o int in sensor n e two r ks,  whi c h   points the n e x t nearest no de, and a s su me that it is a continu o u s  functio n  abo ut .  On the ba sis  of assumptio n  A2, the rate of  each  se nso r  that gen erate s  a me ssag e ca n  be derive d  according to its resp on se tri gger eve n ts   within the re g i on. Wi is used as the loa d  of  sen s o r  n ode  i ,  whi c h  sh ows the  rate of  node  i p r od u c ing  me ssag es. If  i t  rep r e s ents th e  regi on  whe r e the se nso r  nod e i is resp on sible f o r re sp ondi n g  to trigger e v ents, then Wi ca n be de rived  by the a r ea i n tegral  in  i t  b a se d on  Fo rmula (1). T h e value  of W i  is the  weigh t  of node  i. We  assume  that  each trig ge r  event is  re cei v ed by o n ly o ne  sen s o r . If  several  sen s or n ode s  pro duce  messag es b e c au se of a trigger eve n t in the r egion, then we  can  assume that  only one of the   node s send s  the messag e to repo rt the event.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA  Vol. 13, No . 4, Decem b e r  2015 :  125 1 – 1262   1253 At the same  time, we assi gn a weight to the sin k  no de usi ng  0 w  to expre ss th e sin k   node. We use Form ula (2 ) to define the sin k  nod e     0i 1 w N i w            ( 2 )     Formul a (2 ) should  sho w  t hat the rate o f  the  sink  nod e that re ceive s  the me ssag e is the   total rate of a ll the sou r ce  node s that send  me ssag e s  to the si nk  node a nd the  negative val ue  indicates the  role of the sin k  nod e.  We d e fine th e path a s  a d i rectin g curve  deriv ed from  the initial no de to the si n k  nod e.  Thus, N  corresp ondi ng pa ths exist in the sen s o r  ne twork co ntain i ng N so urce  nodes. We use   i p  to express t he path of  se nso r  no de i. The loa d   of e a ch p a th is t he rate of the  origin al nod e  prod uci ng me ssage s in the  path. Thus, the wei ght of path  i p  is  i w .  Acco rdi ng to   the ab stra ct  path  set from  ea ch  se nsor  nod e  to  th e sin k   n od, we define a  vector field  o n  regi on A a s  a lo ad vect or field, de no ted by  D , w h ich  r e pr es en ts   th e  me ss ag e  spe ed  distri b u tion field  in  sen s o r  n e two r ks a nd th e  d i rectio ns of al l the p o ints to the  sin k   no de.   Given any po int   in region  A, we sele ct the minimal  re gion unit a r e a  a in  . When  area S o f   a infinitely tends to be 0, we can d e rive the l oad ve cto r  of every poi nt, as sho w n i n  Form ula (3 )    0 1 () l i m i ii S pS Dw l S           ( 3 )     In the formul a above,  i l  is the unit tang ent of path  i p  in regi on S, whi c h di re cts the  destin a tion n ode alo ng th e path. Figu re 1 illust rate s the ab ove  definition. On  the basi s  of  the   descri p tion of  Hypothe si s 5 ,  all the path s   throu gh S  wil l  have the  sa me unit tan g e n t  i l  wh en  S tends to be  zero. T h u s , re sult  () D   adde d b y  the vecto r s in Equ a tion  (3) will  have  the sam e   dire ction. In other wo rd s,  () D   is the sum of all the path loads  throug h region S, and it reflects  the a c tual  co mmuni cation   activity of pl ace    in  th e  s e ns or   n e t wor k ,  w h ic h is th e  me ss ag e   transfe r condi tion in  . On th e basi s  of field theory, loa d  vector  D  can also be calle d the load   dens i ty.  Mathemati c al ly, if the num ber of  se n s o r s i s  limite d , then th e valu e of  D   may  be zero  only when  th e set i s  e m pt y. We  ca n di vide region  S  into  seve ral  recta ngul ar a r ea s  usi ng th e  vertical a nd h o rizontal g r id  line. Wh en th ese  re ctang ul ar ele m ent s a r e sufficiently  small, we ca n   treat  D   as a co ntinuou s vari able for p r o c e ssi ng.           Figure 1. Illustration of the load de nsity vector field b a s ed o n  path s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930     Energ y -efficie n t Routing M odel Based o n  Vector Fi eld Theo ry fo r Larg e -scale  …   (Mi ng Li)  1254 We  define th e integ r al  wh en loa d  ve cto r  field  D  point s to the di re ction of the  curve as  follows :    Dd n             ( 4 )     It is the load   flux when  D   p a sse s  throug h the curve  , whi c h d enot es the  me ssage   volume pe r u n it time throu gh the cu rve  .  If the defined   in Equation (4) i s  a clo s e d  curve, then  the defined  D   in Equation (3 )  must meet th e followin g  eq uation:     Dd n w             ( 5 )     In the p r evio us fo rmula,   is  a   c l os ed   c u r v e .   dn  is  a no rmal differe ntial vecto r  of e a ch   point o n  the   clo s ed  curve,  and   w  is th e  load   sum  of nod es withi n  the  cl ose d  area. In  the   electrostati c field, Gau ss’ s  law exhibit s  a  similar  fo rm, whi c h sho w s  that the electric flux throug h  a cl osed  cu rv e is p r op ortio nal to  the  am ount of  charg e s  su rroun de d by  a  clo s ed  cu rve. F o r th e   steady incom p re ssi ble flui d in the flow field,  the above formula al so sh ows the  unique phy si cal  signifi can c e.  The flo w  p r o d u ce d by  a  so urce  within fl uid bl ocks in   a unit tim e  i s   equal  to the  fluid  quality from the su rface of the fluid blocks in the sa me  time period.   In se nsor  net works, if a  m e ssag e i s  tra n sf erre d fro m  the n ode  out side  the  clo s ed  curve  to a node insi de it, then we can say that the mess ag e enters the clo s ed a r ea. Oth e rwi s e, we ca n  assume th at the me ssage  exits t he clo s ed area. Accordin g to the  definition ab o v e, Equation (5)  indicates that  the g ene rate d me ssage  a m ount i n  the   unit time  of a  clo s e d   regi o n  is the  sum  of  the real -time messag e tran smissio n  rate s between int e rnal n ode s.   We d e fine ch ara c teri stic fu nction  , which  sho w s that the  me ssage  reache s the pl anar  regio n , an d its value  is  ab out the p o siti on fun c tion. If  () ( , ) x y  , then, exce pt for the  sin k   node, the val ue of  ()  is that of  () .    00 () ( ) ( ) w           ( 6 )     On the  ba sis  of the d e finition of   stated   above, Equ a tion (5)  ca n b e  re written int o  the   differential eq uation a c cord ing to the formula of Gre e n .    () () D             ( 7 )     In the formula  above,    is de fined as    ij x y              ( 8 )     In the form ul a, x and y  repre s e n t the  hori z o n tal a nd verti c al a x es in th e  Descarte s  Carte s ia n re ctangula r  coordinate sy ste m , respe c tively.  i  and  j  deno te the unit no rmal vecto r s  along axial  co ordin a te x, y.  The value of  vector  D   will change  with the sel e cti on of the path set. However,   whateve r  the sele cted p a th  is, vector  D  m u s t  s a tis f y the following equation:    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA  Vol. 13, No . 4, Decem b e r  2015 :  125 1 – 1262   1255 (          )0 , n D th e e dge of the a rea A D         ( 9 )     In the formul a above, A is the are a  set in the sen s or  netwo rk.  () n D  s h ow s  the  sc alar  along the b o unda ry of reg i on A by  D . The first equ ation of Equatio n (9) expl ain s  that all the  message flows produced  in the net work will finally point to the  sink node. The  second equation  derive s  from t he fact that no messag e flow co me s ou t of the senso r  netwo rk are a  boun dary.     2.2. Establis hing the Loa d Vector Fiel d  On the basi s   of the vector field theory model,  whi c h  is illustrated  in the former  se ction,  combi ned  with electrostati c field theo ry and flui d me cha n ics theo ry, we determi ne that the load   vector field  of the se nsor i s  simila r to the  electr ostati c  field in theo ry of electroma gnetic fiel d a nd  the flow field in fluid mech a n ics. Similar to the el ectri c   field lines in the ele c tro s tatic field and th e  strea m line  fie l d line s  in th e  flow field,  we  defin e  the  co nce p t of th e l oad li ne i n   se nso r   networks.  Load li ne is  an in stantan eou s sm ooth  cu rve in th e  load ve ctor  field wh ere t he tran smi s si on  dire ction of t he me ssage  unit coi n cid e s  with it s  tan gent directio n. Obviou sly, the load lin e is  simila r to the electri c  field  line and st reamline s   fiel d line, excep t  for some speci a l point s that  neither turn nor inters ec t.  By establishi ng the loa d   vector field  a nd  definin g the con c ept  of load line,  we  can  determi ne th e  rout e fro m  th e source  no d e  to the   de sti nation  nod e a c cordi ng to  F o rmul a (5).  T h e   load line can  be approximately con s ide r ed the spa c e–tran s fe r cu rve of the messag e unit in a  time interval.  By identifyin g  optimal   sol u tion  D  that  sa tisfies th e m odel,  we  ca n  de scribe  o u r  load vecto r  field acco rding  to the gradie n t func tion a nd determi ne  the route of the WSN ba sed   on the load li ne.        Figure 2. Sample of load l i ne routin g       The ci rcl e s i n  Figure 2 repre s e n t the  sen s o r  nod es in the  WSN regi on.  Whe n  load   vector field  D   in the regi on i s  dete r mine d, we ca n de scribe the lo ad  lines b e twe e n  the sou r ce  node s an d si nk no de s accordin g to the gradi ent funct i on and ide n tify the relay node s aro und t he  load lin es to  determi ne th e ro ute for th e se nsor  net work. In the fi gure,  solid  lin es  rep r e s ent l oad   lines,  and  dot ted line s . It is the lo ad flux  den otes  the  actual  tran sm issi on lin es of  the p a cket s i n   the  net wo rk. One of  the   se lected   line s  st arts  from   the  sou r ce node,  throug h node s  1 N  an d  2 N  ,  and  so  on  to  the  sin k   no de in  the  pro per seque nce. The  a c tual  tran smi ssi on  line  of p a ckets  coin cid e s rou ghly with the load line.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930     Energ y -efficie n t Routing M odel Based o n  Vector Fi eld Theo ry fo r Larg e -scale  …   (Mi ng Li)  1256 3. WSN Ener g y  Efficienc y  Routing Based  on a Stable Field Model and Solution   The  routin g  mech ani sm i n  the traditio nal  n e two r k usu a lly  sel e cts  the path with  the   minimum  cost betwe en th e sou r ce n o d e  an d the   si nk  nod e. In f a ct, we  sh ou ld con s ide r  t he  balan ce  of th e wh ole  network loa d  an d t he net wo rk  survival time in  sele cting  the  network routi ng  becau se of t he limited n o de en ergy  co nsum ption.  T he core  prob lem of the e nergy effi cien cy  routing i s  sel e cting the ro ute according  to t he energ y  consumptio n and the re sidu al ene rgy  of  the node s in the path.   In esta blishi n g  the lo ad v e ctor field,  we  define  a  space vecto r  f o r e a ch poi n t  in the   spa c e  and  al so  set up  an  energy field  for ea ch p o in t in the sp ace, whi c h i s  a  re sidual  ene rgy  distrib u tion fu nction o n  poi nt .    0 node i 1 (, ) l i m ( ) i S S wt e t S         ( 1 0 )     In the previo us form ula,  i e () t  rep r e s ent s the resi dual en ergy  of the sensor no de i at  time t. Evidently,  (, ) wt will  proba bly be  ze ro  when th e e n e r gy set  is emp t y only in th e  place of   .    3.1. Energ y   Rou t ing Und e r a Stable F i eld Model  We a s sume t hat the initial  energy of  the  WSNs is  unif i ed allo cated,  i.e.,  (, 0 ) wc  (c   is a con s tant). To determi n e  the ene rgy  ef f i cien cy  rou t e,  we mu st  max i mize  () D   in each point   of  unde r th e co mmuni cation conditi on of the  sensor n e two r k.  () D  r e pr es en ts  th e  instanta neo u s  m e ssa ge transmi ssion  rate in   of th e  sen s o r   netwo rk. T h u s , the   attenuation  of   energy per u n it time in   can be app roxi mately prop ortional to () D .  A unified  D   is made a s  fa r as  po ssi ble  to determi n e  the en ergy  efficien cy ro uting   evenly sp rea d s the tra n sm issi on of me ssag es in  the netwo rk. Hen c e,  we can a v oid  som e   no des  in the network that are no t fully utilized and overused.  A unified loa d  distrib u tion  can be expressed  a c cord ing to the followin g  minim u m co st  function.     2 () av A J DD D d s              ( 1 1 )     In the formul a ab ove,  av D   is  a mea n  valu e  of vecto r  fiel d  D  in the  s e t  of A. It c a n be  defined simpl y   as    1 av A DD d s A            ( 1 2 )     In Equation  (11), the  cost  functio n  in  a squa re fo rm en su res e v en dispe r sal  of the  distrib u ted lo ad, thereby p r event ing ex ceedin g ly high  load in the local a r ea of the netwo rk a n d   unde rutilization of re sou r ces in t he oth e r area. The  form of the co st function  is simila r to the   energy definit ion in th e el e c tro s tatic fiel d.  The  optimi z ation  proble m  above  can  be  summ ari z ed   as  follows :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA  Vol. 13, No . 4, Decem b e r  2015 :  125 1 – 1262   1257 2 () () 0 av A n M inimi z e J D D D d s D D the e dge o f A             s u b j e c t  to ： ，            ( 1 3 )     The followi ng  lemmas p r ov ide key ide a s  in the optimization pro b lem  for Equation  (13 ) .  Lemma  1: If  D   re pre s e n ts the o p timal  solution  of Eq uation  (1 4), t hen it  mu st  satisfy  the followin g  equatio n:    D0              ( 1 4 )     In the equ a t ion above,   is a 2 D  d i rect io n vect or op erator.  In vector f i eld   xy FF    F   , we define th is ope ration  with the form ula     y x F F F k yx               ( 1 5 )     whe r e  is a un it complex vector, which i s   comp osed of  i  and  j , i.e., ij   .  On the  ba si s  of the a bove l e mma,  we  ca n writ e  a  set  of sp atial diff eren ce  eq uati ons for  optimal sol u tion D  .    D    ， D0           ( 1 6 )     The ab ove eq uation s  are si milar to the M a xwell  eq uati ons of el ectro s tatic field the o ry. In   spatial  differe nce  equ ation  theory, we verified  th e bo unda ry condit i ons  of the a bove eq uatio ns,   whi c h  can  b e  given p a rti c ula r ly thro u gh  D  . In the model of m a thematical  fie l d theo ry, th e   vector field t hat sati sfies  D0    is al so  calle d a con s erva tive vector field, whi c h  can b e   expre s sed a s  the gradie n t of  the scal a r f i eld, i.e.,    D U             ( 1 7 )     U i s  a  pote n tial fun c tion, a nd it  can  be   dra w n  acco rd ing to  dire ctio nal d e rivative s, which  we call the scalar fun c tion. Equation (16) can be  simpli fied to  2 U .  Operator  2 is d e fined a s     22 2 22 x y             ( 1 8 )     The b oun da ry con d ition  o f   D  implie s tha t  the tang ent  di re ction  of  the gradie n t  of U  along the b o u ndary curve i s  always 0, which h a s the f o llowin g  form  using the formula:    ˆ () () 0 ,        U n the e dge of A           ( 1 9 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930     Energ y -efficie n t Routing M odel Based o n  Vector Fi eld Theo ry fo r Larg e -scale  …   (Mi ng Li)  1258 ˆ () n  expresse s th e unit tangent  vector of poi nt   along the dire ction of the boun dary   curv e.     3.2. Definite Conditio n s u nder  th e Mo del of the Stable Field  In Section  4.1, we  pre s e n ted key idea s  about  the  loa d  co st fun c tio n  in a  WS N u nder a n   ideal state  an d the optimu m  solutio n  of the diffe rentia l equation s . In this sectio n ,  we sum m ari z e   the load vect or field pro p e r ty of the field model  that  was unifie d  and dist ribut ed by the initial  energy of the sen s o r  nod e.  D0 D               ( 2 0 )     The above di fferential equ ations fro m  the micr o s cop i c point of view explain th e active   and irrotation al ch ara c te ristics of the lo a d  vector.  D0   . Thus, we can find a scal ar fu nctio n   U to establi s h D U    . We define  U as the loa d  potential in the vector fiel d. The cha n g e  rate o f   the load pote n tial in any directio n of  i l  is equal to the nume r ical value of the load vector in this  dire ction ( i l  is the unit vector in the directi on).     D li u Dl l            ( 2 1 )     Thus, alo ng d i rectio n  i l , the increa sing a m ount of the load potential i s  as follo ws:    D li du D d l d l            ( 2 2 )     The load p o tential differen c e bet ween t w o point s, na mely, arbitra r y P and Q, along the  dire ction  i l  is  as  follows :     D Q QP i P uu u d l           ( 2 3 )     Equation (23) reflect s  the co st paid by the vector fie l d whe n  the messag e unit  move s  from point Q to point P.  On the basi s  of the differential equation  sets,  the differential e qua tions that sati sfy the  load p o tential  of a lo ad ve ctor fiel d in  s ensor  networks can b e  d e r ived. We int egrate   D U     into the  se co nd e quation   of Form ula  (2 0), the r eby fo rming 2 D( ) UU    wh ere   2 U  is a Poisso n’ s equ ation th at is co rrect f o r any  poi nt of the vector  field in the m odel. In   the regi on  where th e tra n s missio n of the me ss age  unit doe s not  occur, the  a bove form ula  is  transfo rme d  into Lapla c e’ s equation.     2 0 U            ( 2 4 )     Thus,  the  La place’s eq uat ion of th e lo a d  pote n tial i s  a  spe c ial  ca se  only  whe n   0 .  Ho wever, the  Poisson’ s eq uation i s  univ e rsally  appli c able. In solving the Poi sson’s  equ ation  or  the Lapl ace’ s equatio n, so me und eterm i ned  con s t ant s in the  gene ral solution  will emerge. We   can o b tain a  fixed solution  that corresp ond s to  a ce rtain field sou r ce di stributio n only whe n  the  equatio ns are dete r min e d .  Usi ng  boun dary  con d itio ns   of the l o a d  vecto r  field  ca n d e termi n e   these co nsta nts.  The bou ndary con d itions usually  in dicate th e co nne ction  con d itions  of the  load   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 16 93-6 930   TELKOM NIKA  Vol. 13, No . 4, Decem b e r  2015 :  125 1 – 1262   1259 intensity and  the load pote n tial on both side s of  the specifi c  interfa c e wh en me ssag e units are  being tra n smi tted.      4. Simulation and Analy s is    4.1. Routing   A total of 3 00  sen s o r  n e twork  nod e s  a r e  ra ndo mly distri but ed in  a pl an e area  of  500*5 00. Assume all n ode s bel ong to t he ro uti ng n o de except th e sin k  n ode  and the  so urce   node. In this  ca se, the loa d  potential of  any point  in the load vect or field is the  supe rpo s itio n of  potential s  of all so urce n o des i n  the po int.  Figure  3 simulate s the  singl e-sou r ce nod e and t h e   singl e-sin k  no de; the source nod e  is in t he up per l e ft corne r  in the  scene,  whe r e a s the  sin k  n ode   is in the lower right corner.           Figure 3. Single-sou r ce si ngle-sin k  sce ne: velocity  vector a nd pot ential field line (left), poten tial  field line and  strea m lin. It is the load flu x  e (right)      Paper also  e x plore s   the si mulation of  the  multi-sou r ce nod e a nd  multi-si nk  no de sce n e   (Fig. 4 )  whe r e the  sou r ce  node s a nd  si nk n ode s  are  marked  in th e figure. The  figure i ndi cat e s  the load vect or field obtain ed acco rdin g to the supe rp osition p r in cip l e.           Figure 4. Multi-so urce, mult i-sin k  sce ne: velocity  vecto r  and pote n tia l  field line (the left picture ) ,  potential line  and streamli n e  (the rig h t picture )   -5 00 0 50 0 - 500 - 400 - 300 - 200 - 100 0 100 200 300 400 500 -5 00 0 50 0 - 500 - 400 - 300 - 200 - 100 0 100 200 300 400 500 -500 0 50 0 -5 0 0 0 50 0 si n k 1 so u r c e 1 so u r c e 2 so u r c e 3 s our c e 4 si n k 2 - 500 0 500 -50 0 0 50 0 si n k 1 s our c e 1 s our c e 2 s our c e 3 so u r c e 4 si n k 2 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  1693-6 930     Energ y -efficie n t Routing M odel Based o n  Vector Fi eld Theo ry fo r Larg e -scale  …   (Mi ng Li)  1260 4.2.   Result Anal y s is and  Pe rf ormance C o mparison  The pap er u s e s  the MAT L AB platform  tool to carry  out routing  perfo rman ce  analysi s   and  ch oo se s four i ndi ce s, namely, n e twork  delay , t h rou ghp ut, succe ssful  del ivery rate,  a nd  energy con s u m ption, to evaluate the  pe rforman c e of a  routing p r oto c ol.   The pa per  co mpares ve cto r  field ro uting  (VF) , the rou t ing proto c ol  prop osed  with many   classi cal  routing protocol s,  such as energy-effici ent  ant-bas ed routing  prot ocol  (EEAB R),  sen s o r -driven  and  co st-a ware a n t ro uting (S C), f l oode d forwa r d a n t routin g (AF ) , floo ded   piggybacked  ant routing (FP), basi c  ant-bas ed rout ing (BABR),  ad hoc on-demand di stance  vector (AO D V), and  ad a p tive sp anni ng tre e   (M CBR-AST).  Ta ble 1  provid es th e  simul a tion  para m eters.       Table 1. Simulation pa ram e ters  Parameter  Value   Routing  It is the load flux prot ocol  VF , EEABR, SC,  FF, FP, BAB R,  AODV, MCBR -A ST  Number of  nodes   300  Maximum hop co unt   30  Data transmission  Constant bit rate  (CBR)   Transmission rate  500 kbps  Simulation time   100 s  Node ene rg y  80 J.      The follo win g  perfo rma n ce  analysi s   ch o o se s F F , SC,  and A O DV f o r the  compa r iso n . In   the left pi cture in Fi gure 5 ,  the  net work delay of VF  is  signifi cant ly lowe r tha n  that of FF  b u t  slightly highe r than those of SC and AODV. VF co n t ains multiple  paths, inclu d ing the sho r t e st  path, the  pat h from  the  so urce n ode  to  the de st inatio n no de, a nd t he ave r ag e h op  cou n t of a l l   the path s , which i s  hi ghe r than th at of the shorte st  path. Thu s ,  the network  delay is  slig h t ly  highe r. The si mulation re su lt indicates th at t he network delays of VF and AODV are 0.04 21 a n d   0.036 s, resp ectively. The delay of FV is higher by 25 % or so.            Figure 5. Net w ork del ay (l eft picture )   an d netwo rk th rough put (ri gh t picture )       The right pict ure  i n   Fi gure 5  dete r min e s that  t he th rou ghput  of FV i s  hi ghe r tha n   those  of  the three rout ing proto c ol s  becau se VF can tran sm it d a ta throug h multiple path s  simulta neo usly,  but AODV ha s only one tra n smi ssi on pa th. The simu l a tion re sult shows that the number of d a ta   packet s   sent  in AO DV  re ach e s 10 24 t he n u mbe r  i n  VF i s  3 321,  whi c h i s   app roximately trip le  that of the fo rmer.  Moreov er, the fig u re  indi ca te s tha t  the thro ugh put of SC an d FF i n crea ses  with time, wh erea s VF doe s not exhibit this ph enom e non but re mai n s sta b le at 3 . 8 or so.   The left pictu r e in Figu re 6  sho w s that th e su cce ssful  delivery rate  of VF remai n s ab ove  90%, in the entire simul a tion pro c e s s, there b y i ndica ting that more data packe ts can rea c h the  destin a tion n ode  corre c tly. From the  30th se cond,  the index  become s  cl o s e to 9 0 .3%.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.