T E L KO M NIK A , V ol . 17 No. 4,  A ug us t   20 1 9,  p p.1 61 5 ~ 1 62 4   IS S N: 1 69 3 - 6 93 0 accr ed ited   F irst  Gr ad e b y K em en r istekdikti,  Decr ee  No: 2 1/E/ K P T /20 18   DOI:   10.12928/TE LK OM N IK A .v 1 7 i 4 . 11086      16 15       Rec ei v ed   J un 5 , 2 01 8 ; Re v i s ed   A ug us 20 20 1 8 A c c ep te M ay   18 20 1 9   Energ y   har v est i ng  h alf - du plex  A F   p o w e r splitt i ng   prot oco l rel a y  n et w ork o v er r ici an cha nn e l in c ase of  maxim iz ing  c ap acit y       P h u  T r an T in 1 M inh   T r an 2 , T an N. Ng u ye n * 3 T r an T h anh  T r ang 4   1 Fa c u l ty  o E l e c tr o n i c s  T e c h n o l o g y In d u s tr i a l   Uni v e rs i ty  o H o  Ch i  M i n h  Ci ty Ho  Ch i  M i n h  Ci ty Vi e tn a m .   2 O p to e l e c tro n i c s  Re s e a r c h  Gr o u p F a c u l ty  o El e c tr i c a l  a n d   El e c tr o n i c s  E n g i n e e ri n g   T o n  Du c  T h a n g  Un i v e rs i ty Ho  Ch i  M i n h  Ci ty Vi e t n a m   3 W i re l e s s  Co m m u n i c a ti o n s  R e s e a r c h  Grou p Fa c u l ty  o El e c t ri c a l  &  El e c tro n i c s  En g i n e e ri n g   T o n  Du c  T h a n g  Un i v e rs i ty Ho  Ch i  M i n h  Ci ty Vi e t n a m   4 Fa c u l ty  o En g i n e e ri n g  a n d  T e c h n o l o g y Va n  Hi e n  Un i v e r s i t y   665 - 6 6 7 - 6 6 9  Di e n  Bi e n  Ph u ,  Ho  Ch i  M i n h  Ci ty Vi e tn a m   *C o rre s p o n d i n g  a u th o r,   e - m a i l n g u y e n n h a tt a n @td t u .e d u .v n       Ab strac t     In   th i s   l e tt e r,   we  p ro p o s e   a   n o v e l   p o wer  s p l i tt i n g   p r o to c o l   f o e n e r g y   h a rv e s t i n g   h a l f - d u p l e x   A F   re l a y i n g   c o m m u n i c a ti o n   s y s t e m s In   o u p r o p o s e d   s y s te m ,   th e   re l a y   h a rv e s t s   e n e r g y   fr o m   th e   s o u rc e   tra n s m i s s i o n s b y   e m p l o y i n g   a d a p t i v e   PS  p ro to c o l f o p o weri n g   th e   re tr a n s m i s s i o n s   t o   th e   d e s ti n a ti o n .     Th e   p ro p o s e d   m o d e l   s y s te m   i s   i n v e s t i g a t e d   i n   c a s e s   m a x i m i z e   a n d   n o n - m a x i m i z e   e rg o d i c   c a p a c i t y .     Fi rs t l y ,   we  p e rfo rm   t h e   a n a l y t i c a l   m a th e m a ti c a l   a n a l y s i s   fo d e ri v i n g   th e   i n te g r a l   c l o s e d - fo r m   e x p re s s i o n   o f   th e   o u t a g e   p r o b a b i l i ty   a n d   th e   e rg o d i c   c a p a c i t y Th e n th e   a n a l y ti c a l   a n a l y s i s   o t h e   s y s t e m   p e rfo rm a n c e   c a n   b e   c o n v i n c e d  b y   M o n te - C a rl o  s i m u l a t i o n   wit h  h e l p i n g   M a L a b   s o f twa re Fi n a l l y th e   n u m e ri c a l   a n a l y s i s   p ro v i d e s   p ra c ti c a l   i n s i g h ts   i n to   th e   e ff e c o v a ri o u s   s y s te m   p a ra m e te r s   o n   th e   s y s t e m   p e r fo rm a n c e   o th e   p ro p o s e d   s y s te m Th i s   p a p e c a n   b e   c o n s i d e r e d   a s   a   re c o m m e n d a t i o n   fo th e   e n e rg y   h a r v e s ti n g   c o m m u n i c a ti o n  n e tw o rk .       Key w ords e rg o d i c   c a p a c i t y h a l f - d u p l e x o u ta g e  p r o b a b i l i ty ,  wi re l e s s   e n e r g y   h a rv e s t i n g  (E H)       Copy righ ©  2 0 1 9   Uni v e rsi t a s  Ahm a D a hl a n.  All  rig ht s  r e s e rve d .       1.  Int r o d u ctio n   E ne r g y   ha r v es t i ng   r e l a y   ne twork w hi c us es   r ad i f r eq ue nc y   ( RF )   s i gn a l   f or  w i r el es s   po w er  tr an s f er,  ha s   att r ac t ed   m uc att e nti on   be c a us of   pro l on gi ng   t he   l i f eti m of   wi r e l es s   ne t w ork T hi s   s ol uti on   ba s ed   on   th f ac tha RF   s i gn al   c an   c arr y   bo t en er g y   a nd   i nf orm ati on   s i m ul tan eo us l y   a nd   r ep l ac e   or  r ec h arge   ba tte r i es   i nc ur s   hi g c os t   an c a be   i n c on v e ni en t   or  ha z ardo us   ( e.g .,  i tox i c   e nv i r on m en ts ) or  hi gh l y   un de s i r ab l ( e. g.,   f or  s en s ors   em be dd ed   i bu i l d i ng   s tr uc tur es   or  i ns i d the   hu m an   bo d y ) A t   the   be g i nn i ng i t   ha s   no be en   wi de l y   us ed   i prac ti c du e   to   th h i gh   p r op ag ati on   l os s   of   RF   s i gn al s T he   n e w   tec hn i q ue s   i a   s m al l   c el l tr an s m i s s i on   us i ng   l arge - s c al e   an ten na   arr a y s   MIM O ,   m i l l i m ete r - w av c om m un i c ati o ns a nd   the   ad v an c em en ts   i l o w   po w er  el ec tr on i c s   s i gn i f i c an tl y   r ed uc th prop ag at i o l os s   an ac hi ev m u c h h i g he r  ef f i c i en c y   en erg y  c o ns um pti on  [ 1 - 5].  Fr om  th at  po i nt  of  v i e w ha s  a  h i gh  p ote nti al  t be   wi d el y   i m pl em en ted   i n   the   n ex t - ge n erati on   w i r e l es s   c om m un i c ati o s y s t e m s In  th l as de c ad es ,   th ere  are  m an y   w ork s   f oc us ed   on   th W P CNs   s ol uti on .   S uc a s   s om pa pe r s   pres en te th proc es s   e ne r g y   ha r v es ti ng   t hrou gh   the   RF   s i gn al s   i c oo p erati v wi r e l es s   ne t w ork s   b y   MI MO   r el a y   s y s tem   the   d i f f erenc be t w e en   th e ne r g y   tr a ns f er  an the   i nf or m ati on   r ate s   to   pro v i d th op t i m al   s ou r c a nd   r el a y   pr ec od i ng .   In   th l i t erature   of   the   oth ers the   au t ho r s   i n v es ti g ate m ul ti - us er  an m ul ti - h op   s y s tem s   f or  s i m ul tan eo us   i nf or m ati on   an po w er  tr an s f er  wi th   du a l - ho p   c ha n ne l   w i th  a en erg y   h arv es t i n r el ay ,   th tr an s m i s s i on   s tr ate g y   de p en ds   on   th q ua l i t y   of   the   s ec on l i nk In  the s pre v i ou s   p ap ers th au t ho r s   on l y   f oc us ed   on   the   W P CNs   by   us i ng   o nl y   t he   Ra y l ei g h   f ad i n c ha nn e l s   or   on l y   Ri c i a f ad i ng   c ha nn e l   [6 - 12 ].  F or   th i s   n e w   m od el ,   th q ue s ti on   of   s y s tem   pe r f or m an c i s   s t i l l   o pe n   a nd   i s   ne c es s ar y  to  i nv es ti g ate a nd  th i s  i s  t he  a i m  of  ou r  pa pe r .   In  th i s   pa p er,  the   s y s tem   pe r f or m an c an al y s i s   of   t he   ha l f - du pl ex   en er g y   ha r v es ti ng   r el a y   n et w ork   i s   propos e d ,   an a l y z e a nd   de r i v e i de ta i l s I th i s   a na l y s i s we  c on s i d er  th Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 4 A ug us t   20 19 :   1 61 5 - 1 6 24   1616   am pl i f i er - and - f orw ard   at  t he   h el p i n r el a y   an th ti m s pl i tt i n ( P S )   pro toc ol A l l   t he   tr an s m i s s i on   c ha nn el s   are   the   R i c i a e n v i r on m en w i th   r an d om   di s tr i bu ti o s i g na l .   F i r s tl y ,   w pe r f or m   the   an al y t i c al   m ath em ati c al   an al y s i s   f or  d eri v i ng   t he   i nt eg r a l   c l os ed - f or m   ex pres s i on   of   the   ou ta ge   prob ab i l i t y   an d   the   ergo di c   c a pa c i t y T he n,  th a na l y t i c al   an al y s i s   of   the   s y s t e m   pe r f or m an c c an   b c on v i nc ed   b y   M on t e - Car l o   s i m ul at i o wi th  he l p i ng   Ma t   La s of t w are F i na l l y th nu m eric al   a na l y s i s   p r o v i de s   prac t i c al   i n s i gh ts   i nto   th ef f ec of   v ario us   s y s tem   pa r am ete r s   on   th s y s t em   pe r f or m an c of   the   propos ed   s y s t em T he   m ai c on tr i bu t i o ns   of   the   pa pe r   are s um m ariz e d a s  f ol l o w s :   -   P r op os e   th s y s tem   m od el   of   the   ha l f - du p l ex   en er g y   ha r v es ti ng   r e l a y   ne t wor k   f or  the   am pl i f i er - and - f orw ard  the   h al f - du pl ex   en er g y   ha r v es ti n r el a y   n et w ork   m od es   at  t he   he l p i n r el a y  i n t h e P S  pr oto c o l   -   Der i v the   i nt eg r a l   c l os ed - f orm   ex pres s i on s   of   the   ou t ag pro ba b i l i t y   an ergo di c   c ap ac i t y   of  the   pro po s e d s y s tem  i n t h e  m ax i m i z an no n - m ax i m i z e c as es .   -   T he   i m pa c of   the   m ai s y s tem   pa r a m ete r s   on   the   s y s tem   pe r f or m an c i s   i n v es t i ga t ed   wi t the  M on t e Ca r l o s i m ul at i on .   T he   r es of   th i s   pa p er  i s   o r ga ni z e as   f ol l o w s .   S ec t i o 2   d es c r i be s   t he   s y s tem   m od e an th E protoc o l   tha i s   us ed   i th i s   pa p er.  S ec t i on   pro v i de s   the   de t ai l ed   pe r f or m an c e   an a l y s i s   of   the   s y s t em . T he   nu m eric al   r es ul ts   to  v al i d at the   a na l y s i s   are  pres en t e d   i s ec ti on   4.  F i na l l y , c o nc l us i on s   are  dra wn   i s ec ti o n 5 .       2.  S ys t em M o d el   In  thi s   s ec ti o n,  w c on s i d e r   ha l f - du pl ex   ( HD)   r el a y i ng   ne t wor k   w i th   on s o urc e,  on e   de s ti n ati on   an o ne   r el a y   as   i l l us tr at ed   i n   F i gu r e   1.   L et  d en o te  t he   s ou r c i s   D,   the   r e l a y   i s   R,  an t he   de s ti na t i on   i s   D.   In   the   propos e m od el   i F i g ure  1 ,   ev er y   no d h as   on l y   on e   an t en n an op era tes   i a   ha l f - du pl ex   m od e.  T he w de n ote   t he   c ha nn e l   g ai b et w e en   S   no d a nd   t he   r el a y   R   as   h ,   a nd   be t wee n   R   no de   an D   n od e   as   g.   Her e,  bo t c h an n el s   are   as s u m ed   Ri c i an   f ad i ng  c h an n el s . T hroug ho ut  th i s  an al y s i s th e f ol l o w i n g a s s um pti on s   are pr op os e d :   -   T he   s ou r c no d c an no t   di r ec tl y   tr an s f er  en erg y   an i nf or m ati on   t th d es ti na ti on   no d be c au s of   the   weak   tr an s m i s s i on   l i ne T he t he s proc es s es   are  on l y   pe r f orm e b y   h el p i n g   of  an  i n term ed i ate  r e l a y .   -   T he   i nte r m ed i ate   r e l a y   i s   an   en erg y - c o ns tr ai n ed   no d e.  It  f i r s ha r v es ts   en erg y   f r o m   the   S   no de   an us es   th i s   ha r v es ted   e ne r g y   f or  tr an s m i tti ng   th s ou r c i nf o r m ati on   to     the  d es ti n ati on .   -   It  i s   as s um ed   tha the   proc es s i ng   po wer   r eq u i r ed   b y   t he   tr an s m i t/rec ei v c i r c ui tr y   at  the   r el a y   i s   ne gl i gi bl as   c om pa r ed   to  t he   po w er  us ed   f or  s i gn al   tr an s m i s s i on   f r o m   the   r el a y   to    the  d es ti n ati on .   -   W e   ha v as s um ed   pe r f ec t   c ha nn el   k no w l ed g a th de s t i na t i o a nd   as s um e ne gl i g i bl e   ov erh ea f or  pi l ot  tr an s m i s s i on w h i c i s   i l i n wi t t he   pre v i ou s   w o r k   i thi s     r es ea r c h f i el [3] .   F i gu r e   i l l us tr ate s   th e ne r g y   h arv es ti n an i nf or m ati on   tr an s m i s s i on   proc es s es   i th propos e s y s tem In  w h i c h,  T   de no tes   th bl oc k   ti m o f   al l   proc es s es Her e,  the   S   no de   tr an s f ers   the   e ne r g y   an i n f or m ati on   to   th n od i the   f i r s ha l f - i nt erv a l   ti m T /2 I t he   f i r s ha l f - i nte r v a l   ti m T /2 the   e ne r g y   ha r v es ti n ti m i s   ρT   an th i nf orm ati on   tr an s m i s s i on   ti m i s   (1 - ρ ) T /2 whi c h   ρ  i s   th p o w er  s pl i tt i n f ac tor  an 0 < ρ < 1 F i na l l y t he   n od e   tr an s f ers   the   i nf orm ati on  f r o m  th e S  n od e t o t he  D  no de   i n t he  r em ai ni ng   ha l f - i nt erv a l  t i m T /2   [13 - 19 ].             F i gu r 1.  T he  pro po s ed  s y s tem   m od el   SR h RD h 1 d 2 d I nf or m a ti on tr a ns m is s ion E ne r gy h a r ve s t i ng  ( EH ) S ou r c e Re l ay De s t i n at i on Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       E ne r gy   ha r v es ti n g h al f - d up l ex  A F  p ower s pl i tt i n g p r ot o c ol  r el ay  ne t wor k ...    ( P hu  Tr an  Ti n )   1617       F i gu r 2.  T he  en erg y  ha r v e s ti ng   an i nf orm ati on  proc e s s i ng  i n t h e p r o po s ed  s y s te m       3.  S ys t em  P e r f o r man c A n al y si s   In  th i s   pa p er,  w c o ns i d er  r el a y i ng   ne t wor k   s y s tem ,   where  ea c term i na l   op erates   i n   ha l f - du p l ex   m od an d   h as   s i n gl an te nn a T he   t wo   no de s   S   an d   D   c om m un i c ate   wi th   ea c oth er  v i t he   he l of   r el a y   ov er  Ri c i an   f ad i ng   c ha nn e l s T he r i s   no   di r ec pa th  b et w e en     S   an d   D ,   th am pl i f i er - and - f orw ard   m o de s   is   pr op os e d   i n   t hi s   m od el   [ 19 - 26] I th f i r s i nte r v al   ti m e,  the  r ec ei v e d s i g na l  at   the  r e l a y  c an   be  f orm ul ate d   b y   t he   ( 1):     1 1 ( 1 ) r s r s r y h x n d = +     ( 1)     w he r e:   h sr   i s   the   s ou r c t r el a y   c ha nn e l   g ai n,  d 1   i s   t h s ou r c to   r el a y   di s t an c e,    i s   th pa th  l os s   ex po n en t,   s x   i s   the   tr a ns m i tte s i gn a l   at  t he   s ou r c e,   n r   i s   the   ad d i t i v w h i te  G a us s i an   n oi s e   ( A W G N)   w i t v ar i an c e   N 0 01    i s   po wer   s pl i t ti ng   r ati at  the   r e l a y   no de ,     2 ss xP = • ex p ec tat i on   op erator,   P s   i s   a v era ge   tr an s m i po wer   at  the   s ou r c e.     T he  ha r v es te d p o w er a t th e  r el a y  c an   be   ob t ai n ed   as :     22 1 1 1 ( / 2 ) ( / 2 ) ( / 2 ) s s r s s r h r P h T P h E P d T d T d   = = =   ( 2)     where  01  i s   en erg y   c on v ers i o ef f i c i en c y .   T he   r ec ei v ed   s i gn a l   at  t he   d es ti n ati on   c an   be   gi v en   b y   the  f ol l o wi ng :     2 1 d r d r d y h x n d =+     ( 3)     Her w de n ote   2 rr xP = an h rd   i s   the   r el a y   to  d es ti n ati on   c ha nn el   ga i n,   d 2   i s   th s ou r c to  r e l a y   d i s tan c e n d   i s   th A W G w i t v aria n c N 0 .   In   th A F   protoc ol t he   tr a ns m i tte d   an d   r ec ei v e s i gn a l   at   the   r el a y   ha s   r e l at i o ns hi t hro ug h   the   am pl i f y i ng   f ac tor  s c an   be   ex pres s ed  as  th e (4) :     2 0 1 ( 1 ) rr r s sr xP y Ph N d == +   ( 4)     b y  s u bs ti tu ti n ( 1), ( 4)  i nto  t he  ( 3),  we h a v e :     2 1 1 2 2 ( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) d r d s r s r d r d s r s r d r d s ig n a l n o is e y h h x n n h h x h n n d d d d d   = + + = + +   1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 3   ( 5)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 4 A ug us t   20 19 :   1 61 5 - 1 6 24   1618   t he  e nd  t o e nd  s i gn a l  to  no i s e rati o ( S NR)  c an  be  c a l c u l ate d a s :     22 2 2 12 2 2 2 2 0 0 2 ( 1 ) s r r d s ee rd h h P si g n a l dd hN n o is e N d   == +   ( 6)     S ub s t i tut i ng   ( 2)  i nto   ( 6),  a n af ter  do i n s om al ge bra  an us i ng   th f ac tha N 0 < < P r s the  e nd  t o e nd   S NR c a n b e  ob ta i n ed  as :     22 2 2 12 ( 1 ) ( 1 ) s r r d ee rd hh h d d  − = +−   ( 7)     h ere  we   de no te 0 / s PN = .   F i na l l y ,   th erg od i c   c ap ac i t y   of   S - D   l i nk   c an   be   c a l c ul a ted   as   t he   f ol l o wi ng :     22 , 2 2 2 2 12 ( 1 ) 11 l o g ( 1 ) l o g 1 22 ( 1 ) s r r d s d e e rd hh C h d d   − = + = +  +−     ( 8)     Rem ar k   In  th i s   an a l y s i s w wi l l   c o ns i de r   t ha h sr   an h rd   be l o ng   to  Ri c i an   f ad i ng   c h an n el   a nd   the y   h av r an do m   di s tr i bu t i o n.  T he the   pro ba b i l i t y   de ns i t y   f un c ti on   ( P DF )   of   r an do m   v ari ab l e (R V )   i   w he r e i = an 2 c an   be  f orm ul ate d   as  i n  [1 3] W he r 22 12 , sr rd hh  == :     2 0 () () ( ! ) i i l bx l i i l bK f x a x e l = =   ( 9)     w he r ( 1 ) 1 , K ii ii K e K ab  ++ == i   i s   th m ea v al u of   RV   i   w h i c i   =1   an r es pe c ti v e l y ,   an 22 12 12 , sr rd mm hh dd   == K   i s   t he   Ri c i an   K - f ac tor  de f i n ed   as   t he   r ati of   t he   po wer   of   th   l i n e - of - s i gh ( LO S )   c om po ne nt  to  t he   s c att ere d   c om po ne nts   an ( ) 0 I   i s   the   z ero - th   order   m od i f i ed   B es s el   f un c ti on   of   the   f i r s k i nd .   F i na l l y t he   c um ul ati v d en s i t y   f un c ti on ( CDF )   of   RV   i   where  i = 1   a nd   2  c an  b e c o m pu ted  as  i n [ 13 ] .     00 0 ( ) ( ) 1 !! i ii ln l b n ii ln i a K b F f x d x e b l n   == = =    ( 10 )     3.1 . M ax imiz Cap ac it y   In  thi s   c as e,  i i s   ne c es s ar y   to  ob t ai t he   m ax i m u m   v al u of   ρ  f or  bo th  ou ta ge   pro b ab i l i t y   2 ee   an d   erg od i c   c ap ac i t y , sd C T he   f ol l o w i ng   v al u of   ρ  m ax i m i z es   t he   , sd C   S - l i nk   c an   be   f or m ul ate d   as  t he  f ol l o wi ng :     * 1 2 1 1 rd d h d = +     ( 11 )     P r oo f : S e e t h A pp en d i x  A         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       E ne r gy   ha r v es ti n g h al f - d up l ex  A F  p ower s pl i tt i n g p r ot o c ol  r el ay  ne t wor k ...    ( P hu  Tr an  Ti n )   1619   3.2 . Non - ma ximiz e   In  the   n on - m ax i m i z c as e,  w c a f or m ul ate   the   e r go di c   c ap ac i t y   an t he   o uta g proba bi l i t y  of  th e S - l i nk  as  th e f ol l o w i ng :     2 , 0 1 ( ) 1 l n 2 1 ee sd F Cd = +   ( 12 )     2 22 12 2 2 1 2 12 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) Pr Pr ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) Pr ( 1 ) ee s r r d rd hh F dd h d d dd           −  −  = =   +− +−    +−  = −     ( 13 )     b t he   s i m i l ar   wa y   as  i n  th e  m ax i m i z e c as e,   w ha v e:     2 22 2 1 2 1 2 1 00 12 0 1 2 1 2 2 22 2 0 2 ( 1 ) ( ) 1 ! ! ( 1 ) ( 1 ) () e xp ( 1 ) ( ! ) ee n ln l ln l b l l dd a a K b F b l n b d d bK ed l    == =  +−  =− −    +−  − −      ( 14 )     1 1 2 22 1 ( 1 ) 1 2 1 2 12 2 0 0 0 2 0 12 22 2 ( ) 1 ( 1 ) ! ! ( ! ) e x p ee bd n n l k n k l l k n b k K b b d d F a a e l n k bd ed      +−    −  = = =   = +   −         ( 15 )     1 1 2 1 2 2 2 2 1 ( 1 ) 1 2 1 2 12 2 0 0 0 0 22 0 ( ) 1 ( 1 ) ! ( ! ) ! ( ) ! ee bd n t t n l k n k ln l k n t bd b kt K b b d d F a a e l k t n t e e d     +−    −  = = = = −  =−    −     ( 16 )     t he the   ou t ag prob ab i l i t y   c an  be  f orm ul ate as :     1 1 2 2 1 1 22 ( 1 ) 1 2 1 12 2 0 0 0 0 1 21 2 2 2 1 2 2 1 ( ) 1 2 ( 1 ) ! ( ! ) ! ( ) ! 2 ee n k t k t bd nt lk ln l k n t kt n k t kt K b b d F a a e l k t n t d b b d K  + +  +    −  = = = = ++ + + −+  =−                 ( 17 )     f i na l l y b y  s ub s ti t uti ng  ( 1 7) i nto  ( 12 ) ,   w al s ob ta i , sd C f or the  S - D l i nk .       4.  Re sult s a n d  D isc u s sio n   In  th i s   s ec ti o n,  s om s i m ul ati on   r es u l ts   are  pres en te d   to  i n v es t i ga t t he   s y s t e m   pe r f or m an c es   of   the   pro po s ed   s y s tem   m od el B ot i the oret i c al   an d   M on te   C arlo   s i m ul at i on   r es ul ts   ev al ua te  the   s y s t em   pe r f or m an c an al y s i s T he   c urv es   i F i g ures   an c orr es po nd   to  the   ou tag prob ab i l i t y   an ergod i c   c ap ac i t y   v ers us   P S /N 0 In  F i g ure s   a nd   w e   s et  the   m ai s y s t em   pa r a m ete r s   as   d 1 = 0. 65 d 2 = 0 .85 K = 3,  η = 0. 8,  R= 0.5 = a nd   λ 1 2 = 0 .5.   In  th es f ig ure P S /N 0   v ar i es   f r o m   0   to  25 T he   r es ul ts   s ho w   th at  the   ou tag prob ab i l i t y   h as   de c r ea s when   P S /N 0   i nc r e as f r o m   to  2 as   s ho wn  i F i g ure   3.  In  t he   s am w a y F i g ure   s ho w s   t ha t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 4 A ug us t   20 19 :   1 61 5 - 1 6 24   1620   the   er go d i c   c ap ac i t y   i nc r e as es   whe P S /N 0   i nc r ea s e   f r o m   to  25 .   In  bo t F i g ures   3   a nd   4,    the  a na l y t i c al  an d s i m ul ati o n res ul ts  a gree  v er y   wel l   w i th  ea c h  ot h er.   F i g ures   an i l l us tr ate   t he   ef f ec of   η  on   the   ou ta g prob ab i l i t y   an ergo di c   c ap ac i t y .   It  was   s ho w n   tha i F i g u r es   an w s et  P S /N 0 .= 1 dB K = 3,  ρ = 0. 3,  R= 0.5 , = an λ 1 2 = 0. 5.  T he   ou ta ge   pro b ab i l i t y   d ec r ea s es   whi l η  i n c r ea s es   f r o m   to  as   s ho wn  i F i g ure  5.  In  an o the r   wa y t he   er go d i c   c ap ac i t y   ha s   c o ns i de r ab l i m prov em en w h en   η  i nc r ea s es   f r o m   0   to  as   s ho w i F i g ure  6 .   F or  c as es the   an al y ti c a l   an a l y s i s   an the   Mo nt C arlo   s i m ul ati on   r es ul ts  are t he  s am e f or al l   η v al u es   Mo r eo v er,  th ou t ag probab i l i t y   an ergo di c   c a pa c i t y   v ers us   K   i s   s ho wn   i   F i g ures   a nd   8,  r es pe c t i v el y S i m i l arit y we  s et  d 1 =d 2 = 1,  P S /N 0 . = 1 d B η= 0.8 ρ= 0 .3,   R = 0. 5,     = an λ 1 2 = 0.5 .   F r om   F i g ure   7   w s e th at  t he   o uta ge   pro ba b i l i t y   d ec r ea s es   whi l K   v arie s   f r o m   to  4 In  c on tr as t th ergod i c   c ap ac i t y   i nc r ea s whi l K   v ar i es   f r o m   to  as   s ho w i n   F i g ure   8 .   F urth erm ore F i g ures   9   an 10   s h o w   the   ou t ag e   pro ba b i l i t y   an d   er go d i c   c ap ac i t y   v ers us  d 1 =d 2 . I n t he  s am wa y ,  o uta g proba bi l i t y   i nc r ea s es  a nd   the  ergo di c  c a p ac i t y   d ec r ea s es   whi l d 1 =d 2   v arie s   f r om   0.5   to  1. 5.  In  al l   f i gs th s i m ul at i on   an an a l y ti c a l   r es u l ts   tot a l l y   a gree  w i th  ea c oth er.             F i gu r 3.  O ut ag e  prob ab i l i t y   v ers us  P S /N0       F i gu r 4.  E r go d i c  c ap ac i t y   v ers us  P S /N 0           F i gu r 5.  O ut ag e  prob ab i l i t y   v ers us  η           F i gu r 6.  E r go d i c  c ap ac i t y   v ers us  η   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       E ne r gy   ha r v es ti n g h al f - d up l ex  A F  p ower s pl i tt i n g p r ot o c ol  r el ay  ne t wor k ...    ( P hu  Tr an  Ti n )   1621       F i gu r 7.  O ut ag e  prob ab i l i t y   v ers us  K           F i gu r 8.  E r go d i c  c ap ac i t y   v ers us  K       F i gu r 9.  O ut ag e  prob ab i l i t y   v ers us  d 1 =d 2       F i gu r 10 E r go di c  c ap ac i t y  v ers us  d 1 =d 2       4.  Co n clus ion   T hi s   s tud y   pr op os es   th E ha l f - du pl ex   r el a y i ng   ne t wor k   i m ax i m i z e   an d     non - m ax i m i z c as es   of   er go d i c   c ap ac i t y In   th i s   m od el ,   we  c o ns i de r   AF   r e l a y i ng where   t he   en erg y - c on s tr ai ne d   r e l a y   n od ha r v es ts   e ne r g y   f r om   the   r ec e i v ed   RF   s i gn al   f r o m   the   s ou r c an t he n   us es   th e ne r g y   to  f orw ar th s ou r c e s   i nf orm ati on   to  t he   de s ti na t i on F urtherm ore,  the   a na l y t i c al   ex pres s i on s   f or  the   o uta g pro ba b i l i t y   an ergod i c   c ap ac i t y   of   the   pr op os ed   m od el   s y s t em   are  de r i v ed B y   us i ng   t he   M on te  Car l s i m ul ati o n,  th r es ea r c r es ul ts   s ho w   t ha t he   an a l y t i c al  an d s i m ul ati on  r e s ul ts  are t he  s am e f o r  al l  p os s i bl e  s y s tem  pa r am ete r s .       Ref er en ce s   [1 ]   Bi   S,  Ho   C K Zh a n g   R.   W i r e l e s s   p o w e re d   c o m m u n i c a ti o n O p p o rt u n i ti e s   a n d   c h a l l e n g e s .   IEE E   Com m u n i c a ti o n s  M a g a z i n e 2015 ;   53 (4 ) :   1 17 - 1 2 5 doi :1 0 . 1 1 0 9 /m c o m .2 0 1 5 .7 0 8 1 0 8 4   [2 ]   Niy a to   D,  K i m   DI,   M a s o   M Han   Z.  W i r e l e s s   Po w e re d   Co m m u n i c a ti o n   Ne tw o rk s R e s e a rc h   Dir e c ti o n s   a n d  T e c h n o l o g i c a l  A p p ro a c h e s IEEE  Wi re l e s s  Co m m u n i c a ti o n s 2 0 1 7 2 4 ( 6 ):   2 - 1 1   [3 ]   Che n   He,   Cha o   Zh a i Y o n g h u i   L i Br a n k a   Vu c e ti c Coo p e ra ti v e   Stra te g i e s   fo W i re l e s s - Po w e re d   Com m u n i c a ti o n s An  Ov e rv i e w IEEE  W i re l e s s  Co m m u n i c a t i o n s .   2 0 1 8 25 ( 4 ) 1 1 2 - 1 9   [4 ]   Ata l l a h   R,  Kh a b b a z   M As s i   C.  En e rg y   h a rv e s ti n g   i n   v e h i c u l a n e tw o rk s c o n te m p o r a ry   s u rv e y .   IEEE  Wi re l e s s  Co m m u n i c a ti o n s .   2 0 1 6 23 (2 ) :   70 - 7 7 d o i :1 0 .1 1 0 9 / m w c .2 0 1 6 . 7 4 6 2 4 8 7 .   [5 ]   Y u   H,  L e e   H,  J e o n   H.  W h a t   i s   5 G ?   Em e rg i n g   5 G   M o b i l e   Se rv i c e s   a n d   Net w o rk   Req u i re m e n t s .   Su s ta i n a b i l i ty 2 0 1 7 9 (1 0 ) :   1 8 4 8 .   [6 ]   Sh a rm a   V,  Ka r m a k a P.   N o v e l   M e th o d   o O p p o rtu n i s ti c   Wi re l e s s   En e r g y   Har v e s ti n g   i n   Cog n i ti v e   Rad i o   Net wor k s 2 0 1 5   7 th   In t e rn a ti o n a l   Con fe re n c e   o n   Co m p u t a ti o n a l   In te l l i g e n c e Com m u n i c a t i o n   Sy s te m s  a n d  Ne tw o rk s .   2015 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 4 A ug us t   20 19 :   1 61 5 - 1 6 24   1622   [7 ]   AM   Fo u l a d g a r O   Si m e o n e O n   th e   T ra n s f e o f   In f o rm a ti o n   a n d   E n e rg y   i n   M u l ti - Us e r   Sy s t e m s .   IEE E   Com m u n i c a ti o n s  L e tt e rs .   2 0 1 2 16 ( 11 ):   1 7 3 3 1 7 3 6 .   [8 ]   Zh a n g   R,  Ho  CK M I M O   Bro a d c a s ti n g   fo Si m u l t a n e o u s   W i r e l e s s   I n fo r m a ti o n   a n d   Po w e T ra n s fe r .   IEEE  Tra n s a c t i o n s  o n   W i r e l e s s  Co m m u n i c a ti o n s .   2 0 1 3 12 ( 5 ) :   1989 - 2 0 0 1   [9 ]   Pa rk   J ,   Cle r c k x   B.  J o i n t   W i re l e s s   In f o rm a ti o n   a n d   En e r g y   T ra n s f e i n   a   T w o - Us e M I M O   In te rfe re n c e   Cha n n e l .   IEEE  Tr a n s a c t i o n s  o n   W i re l e s s  Co m m u n i c a ti o n s .   2 0 1 3 12 (8 ) :   4 2 1 0 - 4 2 2 1   [1 0 ]   T u tu n c u o g l u   K,  Y e n e A.  Co o p e ra ti v e   e n e rg y   h a r v e s ti n g   c o m m u n i c a ti o n s   wi th   re l a y i n g   a n d   e n e r g y   s h a ri n g 2 0 1 3  I EEE I n f o rm a ti o n  T h e o ry   W o rk s h o p   (IT W ) .   2 0 1 3 d o i :1 0 .1 1 0 9 /i tw .2 0 1 3 .6 6 9 1 2 8 0 .   [1 1 ]   Nas i AA,  Z h o u   X Durra n i   S Ke n n e d y   RA .   Rel a y i n g   Pro to c o l s   f o W i re l e s s   En e rg y   Harv e s ti n g   a n d   In fo rm a ti o n   Pro c e s s i n g IEEE   Tra n s a c t i o n s   o n   Wi re l e s s   C o m m u n i c a t i o n s .   2 0 1 3 12 (7 ) :   3622 - 3 6 3 6 .   doi :1 0 .1 1 0 9 /t w c .2 0 1 3 .0 6 2 4 1 3 . 1 2 2 0 4 2 .     [1 2 ]   Bi g l i e ri J   Pro a k i s ,   S h a m a i F a d i n g   c h a n n e l s :   i n f o rm a ti o n - th e o r e ti c   a n d   c o m m u n i c a t i o n s   a s p e c t s .   IEEE  Tra n s a c t i o n s  o n  I n f o rm a t i o n  T h e o r y .   1 9 9 8 44 ( 6 ):   2 6 1 9 2 6 9 2 .   [1 3 ]   T a n   Ngu y e n THQ   M i n h Ph u o n g   T   T ra n ,   M i ro s l a v   Vo z n a k En e rg y   Harv e s ti n g   o v e Ri c i a n   Fa d i n g   Cha n n e l A   Pe rf o rm a n c e   An a l y s i s   fo r   Hal f - D u p l e x   Bi d i re c t i o n a l   Se n s o r   Net w o rk s   u n d e r   Hard w a re   Im p a i rm e n ts Se n s o r s .   2 0 1 8 18 (6 ):  1 - 22 .   [1 4 ]   T a n   Ngu y e n T H Q   M i n h P h u o n g   T   T ra n M i ro s l a v   Vo z n a k Ad a p ti v e   En e rg y   Harv e s t i n g   Rel a y i n g   Pro to c o l   fo r   T w o - W a y   Ha l f   Dup l e x   Sy s te m   Net w o rk   o v e Ric i a n   Fa d i n g   Cha n n e l W i re l e s s   Com m u n i c a ti o n s  a n d  M o b i l e  C o m p u ti n g 2 0 1 8 1 - 10 .   [1 5 ]   IS  G ra d s h t e y n IM  Ry z h i k T a b l e  o In te g ra l s Se r i e s a n d  Pro d u c t s 8 th   Ed i ti o n 2 0 1 4   [1 6 ]   T i n   Ph u   T ra n T ra n   Hoa n g   Q u a n g   M i n h T a n   N   Ngu y e n ,   M i ro s l a v   Vo z n a k Sy s t e m   P e rfo rm a n c e   An a l y s i s   o Ha l f - Dup l e x   Rel a y   Net w o rk   o v e Ric i a n   Fa d i n g   C h a n n e l .   TE L KO M NIKA   Te l e c o m m u n i c a ti o n  Co m p u t i n g  El e c tro n i c s  a n d  Co n tr o l .   2 0 1 8 ;   16 ( 1 ) 1 8 9 - 1 9 9   [1 7 ]   Ras h i d   T a ri q u e Su n i l   Ku m a r Ak s h a y   Ve r m a Pr a te e k   Ra j   G a u ta m Arv i n d   Ku m a r.   Pm - EEM RP:  Po s tu r a l   M o v e m e n Ba s e d   E n e rg y   Eff i c i e n M u l ti - h o p   Ro u ti n g   Pro t o c o l   fo In tr a   W i re l e s s   Bo d y   Se n s o r   Net w o rk   (I n tra - W B S N).   TEL KO M NIKA  Te l e c o m m u n i c a t i o n   Com p u ti n g   E l e c t ro n i c s   a n d   Con tro l .     2 0 1 8 16 ( 1 ) 1 6 6 - 173   [1 8 ]   A F   M o ra b i to P o w e Sy n th e s i s   o M a s k - Con s tra i n e d   Sh a p e d   B e a m s   T h ro u g h   M a x i m a l l y - Sp a r s e   Pl a n a r   Arra y s.   TEL KO M NIK Te l e c o m m u n i c a t i o n   Com p u ti n g   El e c tr o n i c s   a n d   Co n tr o l 2 0 1 6 ;     14 ( 4 ):  1217 - 1 2 1 9 .   [1 9 ]   AF   M o ra b i to P G   Nic o l a c i O p ti m a l   s y n th e s i s   o s h a p e d   b e a m s   th r o u g h   c o n c e n tri c   ri n g   i s o p h o r i c   s p a r s e  a rr a y s .   IEEE  An te n n a s  a n d   Wi re l e s s  Pro p a g a t i o n   L e t te rs   2 0 1 7 16 :   9 7 9 - 9 8 2 .   [2 0 ]   Cho n g E d w i n  Ka h  Pi n a n d  St a n i s l a w  H.  Za k A n  I n t ro d u c ti o n  t o  Opt i m i z a t i o n .   W i l e y .   2 0 1 3 .   [2 1 ]   Su ra w e e ra   H,  G   Ka ra g i a n n i d i s P   S m i th Pe rfo r m a n c e   An a l y s i s   o th e   Dua l - h o p   As y m m e tri c   F a d i n g   Cha n n e l .   IEEE  Tr a n s a c t i o n s  o n   W i re l e s s   Com m u n i c a ti o n s 2 0 0 9 ;   8 ( 6 ) 2 7 8 3 - 7 8 8   [2 2 ]   Bh a tn a g a M R.  O n   th e   Ca p a c i ty   o f   Dec o d e - a n d - Fo rw a rd   Rel a y i n g   o v e Ric i a n   Fa d i n g   Cha n n e l s .   IEEE  Com m u n i c a t i o n s  L e tt e r s   2 0 1 3 17 ( 6 ):  1 1 0 0 - 1 1 0 3 .     [2 3 ]   G o l d s m i th   An d re a W i re l e s s  Co m m u n i c a t i o n s Ca m b ri d g e  U n i v Pre s s 2 0 0 9 .   [2 4 ]   Duo n g   T ru n g   Q ,   T ra n   T ru n g   Duy M i c h a i l   M a tt h a i o u T h e o d o ro s   T s i ft s i s G e o rg e   K   Ka r a g i a n n i d i s .   Cog n i t i v e   Coo p e ra ti v e   Net wo rk s   i n   Du a l - h o p   As y m m e tri c   Fa d i n g   Ch a n n e l s 2 0 1 3   IE EE  G l o b a l   Com m u n i c a ti o n s  Co n fe r e n c e  ( G L O BECO M ),  1 2   2 0 1 3 2 0 1 3 .   [2 5 ]   Ngu y e n   T N,  T T   Du y G T   L u u PT   T ra n M Vo z n a k En e rg y   Harv e s ti n g - b a s e d   S p e c tru m   A c c e s s   w i th   In c re m e n ta l   Coo p e ra t i o n Re l a y   Se l e c ti o n   a n d   Har d w a re   Noi s e s .   Rad i o e n g i n e e ri n g .   2 0 1 7 26 ( 1 ):   240 - 2 5 0   [2 6 ]   Ngu y e n   T a n   N,  T ra n   Hoa n g   Q u a n g   M i n h Ph u o n g   T   T r a n M i ro s l a v   Vo z n a k T ra n   T ru n g   Duy ,     T h a n h - L o n g   Ng u y e n Ph u   T ra n   T i n Pe rfo rm a n c e   En h a n c e m e n fo En e rg y   Harv e s t i n g   Ba s e d     Tw o - w a y   Rel a y   Pro to c o l s   i n   W i re l e s s   Ad - h o c   Net w o rk s   w i th   Pa rti a l   a n d   F u l l   Re l a y   Se l e c ti o n   M e th o d s .   Ad  Ho c  Ne two r k s   8 4 .   2019 8 4 1 7 8 - 87 .       A p p end i A   It  i s   ea s y   to   o bs erv e   th at  2 2 2 ee   i s   ne g ati v e   f or   01  H en c e,   w c on c l ud t ha t   2 ee   i s   c on c a v f un c ti on   of   ρ  f or   01  W c an   f i nd   th v al u of   ρ  w h i c m ax i m i z S N b y   di f f erenti at i ng   t he   S NR  c o nc erni n ρ  a nd   e qu at i t z ero A f ter  s om al ge br a,  w h av the   f ol l o wi ng   po s s i bl e   s ol ut i o ns   f or  ρ * * 1 2 1 1 rd d h d = +   or  * 1 2 1 1 rd d h d =   W i th  * 1 2 1 1 rd d h d =   r es ul ts   i v al ue   of   ρ * > or  ρ * < 0,  th eref ore  we  c ho os * 1 2 1 1 rd d h d = + as   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KO M NIK A     IS S N: 1 69 3 - 6 93 0       E ne r gy   ha r v es ti n g h al f - d up l ex  A F  p ower s pl i tt i n g p r ot o c ol  r el ay  ne t wor k ...    ( P hu  Tr an  Ti n )   1623   the   s ol uti on R ep l ac ( 12 )   i nto   ( 7)  w h av the   v a l ue   o f   ou tag pro ba b i l i t y   i t he   m a x i m i z c as as  th e f ol l o wi ng :     22 m a x 12 2 22 1 2 1 22 22 11 sr rd ee rd hh dd h d d dd    == ++   ( A 1)     T he n e r go d i c  c ap ac i t y   of  th e S - l i nk  c an  be  c al c u l at e d a s :     m a x 2 m a x 2 m a x ,2 00 1 ( ) 1 ( ) l o g ( 1 ) l n 2 1 ee ee sd F C f d d  = + = +    ( A 2)     ( ) m a x 2 12 m a x 12 2 2 21 2 2 22 2 1 2 1 22 22 1 2 2 2 22 0 ( ) P r P r 1 11 P r | ( ) ee ee F d d d dd dd dd F f d           = =     +     ++ = =    ( A 3)     w he r 2 21 R =− is   thres ho l an i s   the  s ou r c e   r a te  of   the   prop os ed   s y s tem .   F r o m   the   ( 4),( 5),  we h a v e :     m a x 2 22 22 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 00 1 2 2 0 2 22 2 0 11 ( ) 1 e xp !! () ( ! ) ee n ln l ln l b l l dd d b d dd a a K b F b l n bK ed l      == = ++ =     ( A 4)     m a x 2 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 12 2 0 2 21 12 2 22 2 ( ) 1 1 ! ! ( ! ) 1 e xp ee n n l k n k l l k n b k a a K b b d d F b l n k d d bd d ed      +  = = =      = +           +            ( A 5)     f or thi s  an a l y s i s w us e t h e f ol l o wi n g e qu at i o ns :     2 21 12 2 1 1 2 1 2 1 1 22 2 1 2 e x p e x p e x p e x p d bd d b d d b d b d          +       =         ( A 6)     f urther m ore, we a p pl y  T a y l or s erie s  f or  1 1 2 2 2 e x p b d d         as  ( A 7) :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                            IS S N: 16 93 - 6 93 0   T E L KO M NIK A     V ol .   17 ,  No 4 A ug us t   20 19 :   1 61 5 - 1 6 24   1624   1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 /2 2 00 2 22 ( 1 ) 2 e x p !! mm m m mm b d d b d d b d d mm     == −−    = =      ( A 7)     t he n   we h av e:     2 1 1 2 21 12 2 /2 1 2 1 1 2 0 22 2 ( 1 ) 1 e x p e x p e x p ! m m m m b d d d bd d b d b d m     =       +   =       ( A 8)     No w   b y   a pp l y i ng   the   eq ua ti on   0 () n n n t t t n x y x y t =  +=     to  ( A 5),  the   ou t ag pr ob a bi l i t y   c an   de m on s tr ate  as  f ol l o w:     m a x 2 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 12 2 0 1 1 2 /2 2 1 2 1 1 2 2 ( 2 ! ) ( ) 1 ! ! ( ! ) ! ( 2 ) ! 2 ( 1 ) e x p e x p ! ee t n l k n k ln l k m n t m mm b k a a K b b n d d F b l n k t n t d b d d b d b d ed m       + = = = = =    =−          2   ( A 9)     ( ) ( ) 1 1 m a x 2 22 2 1 22 2 1 2 1 2 12 2 0 0 0 0 0 2 2 / 2 / 2 12 22 2 0 ( 2) ( 2 ! ) ( ) 1 ! ! ( ! ) ! ( 2 ) ! ! e xp ee m t n t m bd m l k m n k n m ln n t m l k m n t nm b k t n m K b b n d d F a a e l n k t n t m bd ed    + +  + + +    −+ = = = = = + + =− −      ( A 10 )     a pp l y   [3. 4 71 , 9]  of  th e  ta b l of  i nte gra l  [ 15 ],  the  ( A 1 0) c an  b e ref or m ul ate d a s :     ( ) ( ) 1 1 m a x 2 2 1 22 2 1 2 1 2 12 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ! ) ( ) 1 2 ! ! ( ! ) ! ( 2 ) ! ! 2 ee m t n t m bd m l k m n k n m ln n t m l k m n t nm k t n m k t n m K b b n d d F a a e l n k t n t m b d b b d K b     + +  + + +    −+ = = = = = + + + + + =− −           ( A 11 )     f i na l l y the   ou t ag prob ab i l i t y   of  th prop os ed  s y s t em  c an   b e c al c u l at ed   as :     ( ) 1 1 m a x 2 2 3 2 2 2 2 2 44 2 2 1 2 1 12 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 3 2 2 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 2 ! ) ( ) 1 2 ! ! ( ! ) ! ( 2 ) ! ! 2 ee n m k t k t n m mt bd m l k ln l k m n t n t m k n m k t k t n m K b b n d F a a e l n k t n t m d b b d K  + + + + + +  +    = = = = = + + + + + + + + + =−             ( A 12 )     i ( A 12 )   () v K   i s   the   m od i f i ed   B es s el   f un c ti o of   the   s ec o n k i nd   an v th   order   b y   s u b s ti tut i ng   ( A 12 )   i nt ( A 2)   w e   wi l l   ha v e   th ex pres s i on   of   the   erg od i c   c a pa c i t y   of   the     S - D l i nk   m a x , sd C .   E nd  of  P r oo f .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.