T E L K O M NIKA   T elec o mm un ica t io n,  Co m pu t ing ,   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.   19 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 2 1 ,   p p .   1 9 4 8 ~ 1 9 6 1   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   ac cr ed ited   First Gr ad b y   Ke m e n r is te k d i k ti,  Dec r ee   No : 2 1 /E/KPT /2 0 1 8   DOI : 1 0 . 1 2 9 2 8 / T E L KOM NI KA . v 1 9 i6 . 1 8 7 4 1     1948       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //jo u r n a l.u a d . a c. id /in d ex . p h p /TELK OM N I K A   An LM I a ppro a c h t o  Mix ed  /   fault   detec tion o bserv e desig n f o r linear  f ra ctiona l - o rder s y ste m s       M o ha m m a d Az i m i 1 H ey da T o o s s ia n Sha n diz 2   1 De p a rtme n o f   Co n tr o l,   E lec tri c a a n d   R o b o ti c   E n g in e e rin g   F a c u lt y ,   S h a h ro o d   Un iv e rsity   o f   T e c h n o lo g y ,   S h a h ro o d ,   Ira n   2 De p a rtme n o f   El e c tri c a En g in e e rin g ,   En g in e e rin g   F a c u l ty ,   F e rd o w si Un iv e rsit y   o f   M a sh h a d ,   M a sh h a d ,   Ira n       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   No v   22 ,   2 0 20   R ev i s ed   Ma y   14,   20 21   A cc ep ted   Ma y   25,   20 21       T h is  stu d y   d e a ls  w it h   th e   p ro b le m   o f   ro b u st  f a u lt   d e tec ti o n   f o li n e a ti m e - in v a rian f ra c ti o n a l - o rd e sy ste m (F OSs)  a ss u m e d   to   b e   a ffe c ted   b y   s e n so r,   a c tu a to a n d   p r o c e ss   f a u lt a s   w e ll   a d istu rb a n c e s .   T h e   o b se rv e r - b a se d   m e th o d   w a e m p lo y e d   to   so lv e   th e   p r o b lem w h e re   th e   d e tec to is  a n   o b se rv e r.   T h e   p ro b lem   w a tra n sf o rm e d   in to   th e   m ix e d   /   ro b u st  o p ti m iza ti o n   p ro b lem   to   m a k e   th e   s y ste m   d istu rb a n c e - re sista n o n   o n e   h a n d   a n d   f a u lt - se n siti v e   o n   th e   o th e r   h a n d .   T h e n ,   su f f icie n c o n d it io n w e r e   o b tai n e d   to   so lv e   th e   p r o b lem   in   th e   li n e a m a tri x   in e q u a li ty   ( LM I )   m o d e .   F in a ll y ,   th e   e ff e c ti v e n e ss   a n d   su p e rio rit y   o f   th e   m e th o d   w e r e   d e m o n stra ted   b y   si m u latin g   th e   so lu ti o n o n   a   sin g le - in p u m u lt i - o u tp u t h e rm a tes ti n g   b e n c h .   K ey w o r d s :   Fau lt d etec tio n   Fra ctio n al - o r d er   s y s te m s   /   r o b u s t o p tim izatio n   L i n ea r   m atr i x   i n eq u alit y   Ob s er v er     T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   He y d ar   T o o s s ian   S h a n d iz   Dep ar t m en t o f   E lectr ical  E n g i n ee r in g   Fer d o w s i U n i v er s it y   o f   Ma s h h ad   A za d i Sq u ar e,   Ma s h h ad ,   I r an   E m ail:  h to o s ian @ f er d o w s i.u m . ac . ir       1.   I NT RO D UCT I O N   Fra ctio n   ca lc u latio n s   m ad t h eir   w a y   t h r o u g h   e n g i n ee r i n g   a n d   ap p licatio n   af ter   3 0 0   y ea r s   a n d   m er el y   th eo r etica s tu d ie s   in   m at h e m a tics   [ 1 ] - [ 1 8 ] .   Giv en   d if f er en a n d   n e w   m at h e m atics  p r o v id ed   in   f r ac tio n   ca lcu latio n s ,   d eb ates in   v ar io u s   f ield s   s u c h   as c o n tr o l th eo r y   r eq u ir n e w   p r o o f s   an d   th eo r e m s .   As a  r esu lt,  t h e   f u n d a m en ta asp ec t s   o f   f r ac t io n al - o r d er   s y s te m s   ( FO Ss )   w er i n v est ig ated ,   a n d   s tab il it y   t h eo r e m s   w er e   p r o p o s ed   [ 1 9 ] - [ 2 2 ] .   Ho w e v er ,   m a n y   asp ec ts   r e m ai n   o p en ,   with   s o m o f   t h e m   b ein g   c u r r en tl y   s tu d ied .   O n o f   s u c h   asp ec ts   i s   f a u lt  d etec tio n   ( FD)   in   FOS s ,   w h ic h   is   o f   g r e at  i m p o r tan ce .   A cc o r d in g   to   s ea r ch es,  th er h a v e   b ee n   f e w   s t u d ies  i n   t h is   ar e a.   A r ib et  a l.   [ 2 3 ]   p r esen th r ee   m e th o d s   to   e v alu a te  f r ac tio n al  r e s id u al.     A r ib i   et  a l.   [ 2 4 ] ,   d iag n o s i s   m eth o d s   i n   FO  t h er m al  s y s te m s   h av e   b ee n   p r o p o s ed .   T h FD   co n tr o o f   FO Ss   i s   in v e s ti g ated   in   [ 2 5 ] .   Z h o n g   e a l .   [ 2 6 ]   tr ied   to   f in d   w a y   to   s o lv t h f a u lt  d etec tio n   o b s er v er   d esig n   p r o b le m   f o r   f r ac tio n al - o r d er   s y s te m s .   T h eir   s u b j ec is   p r ec is el y   t h s a m a s   th s u b j ec o f   t h is   ar t icle.   Ho w e v er ,   th e y   w er u tter l y   u n s u cc es s f u b e ca u s th e y   co u ld   n o p r o v th s tab ilit y   o f   th clo s ed - lo o p   s y s te m ,   an d   th p u b lis h ed   ar ticle  h as  v er y   u n d en iab le  f la w s .   Var io u s   m et h o d s   h av e   b ee n   p r o p o s ed   to   d etec f au lt s   [ 2 7 ] - [ 3 3 ] .   On o f   t h ese   m eth o d s   is   t h m o d el - b ased   FD  tech n iq u e,   w h ich   h a s   b ee n   p r ac tically   e m p lo y ed   in   m a n y   i n d u s tr ial  ap p licatio n s   [ 3 4 ] - [ 3 8 ] .   Fig u r 1   illu s tr ates  th e   al g o r ith m   o f   t h e   m o d el - b a s ed   FD   m e th o d .   Di s tu r b an ce s   d is ab le  t y p ical  f a u lt   d etec tio n   s y s te m s   in   r ea l - li f s y s te m s   s i n ce   t h e y   ar tr ea ted   as  f a u lt s .   So ,   al ar m s   ar ac t iv ated   w h ile  th er h as  b ee n   n o   f a u lt  i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A n   LM I   a p p r o a c h   to   Mixed   H _ /H_ -   fa u lt d etec tio n   o b s erver d esig n   fo r     ( Mo h a mma d   A z imi )   1949   th s y s te m .   Fo r   t h i s   r ea s o n ,   r o b u s f au lt  d etec tio n   s y s te m s   h av e   b ee n   d e s ig n ed .   I n   f au l d etec tio n   s y s te m ,   r o b u s tn es s   is   d e f in ed   as t h s y s te m s   s e n s iti v it y   to   f a u lt s   an d   r esis tan ce   a g ai n s u n k n o w n   i n p u ts   [ 3 9 ] - [ 4 2 ] .     T h m ai n   ch alle n g is   n o w   to   im p le m en th m o d el - b ased   f au lt  d etec tio n   al g o r ith m   o n   FOSs   an d   m ak t h s y s te m   d is t u r b an ce - r esis ta n o n   th o n h an d   a n d   f au lt - s e n s iti v o n   t h o th er   h a n d .   A d d itio n al l y ,   it   is   w ell - k n o w n   t h at  t h u s o f   lin ea r   m a tr ix   i n eq u ali t y   ( L MI )   ca n   eli m i n ate  r estrictio n s   o n   co n v e n tio n al   ap p r o ac h es,  an d   ca n   b u s ed   t o   s o lv p r o b le m s   i n v o l v i n g   m u ltip le  m atr i x   v ar iab les.   B esid es  t h o s e ,   d if f er e n t   s tr u ct u r es  ca n   b i m p o s ed   o n   th e s m atr ices  [ 4 3 ] - [ 4 6 ] .   T o   th i s   e n d ,   th e   p r o b lem   w as  tr an s f o r m ed   i n to   t h e   m i x ed   /   r o b u s o p ti m izatio n   p r o b lem ,   also   p r esen t h r es u lts   i n   li n ea r   m atr i x   i n eq u ali ties   ( L MI s )   r o b u s t c o n tr o l th eo r etica l f r a m e w o r k .           Fig u r 1 .   Mo d el - b ased   f au lt d i ag n o s is   al g o r ith m       T h r est  o f   t h p ap er   is   o r g an ized   as  f o llo w s .   I n   s ec tio n   2 ,   i m p le m en ta tio n   o f   t h m o d el - b ased   tech n iq u o n   t h FOS,  as  w e ll   as,  th p r eli m i n ar ies  a n d   th p r o b lem   s tate m e n ar g i v en .   T h s o lu tio n s   to   t h FD  p r o b lem   f o r   FOSs   ar p r esen ted   in   s ec t io n   3 .   A ls o ,   s o m s i m u latio n   ex a m p les  ar g iv en   i n   s ec tio n   5   to   illu s tr ate  t h r esu lts .   F in al l y ,   s o m co n cl u d i n g   r e m ar k s   ar p r o v id ed   in   s ec tio n   6 .   No tatio n s :     d en o ted   th e   tr an s p o s o f   m atr i x   ,   its   co n j u g ate  ̅   an d   its   co n j u g ate  tr an s p o s .    ( )   is   s h o r f o r   + ,   an d   ma x ( )   r ep r esen ts   th m a x i m u m   s in g u lar   v al u o f         2.   SYST E M   DE SCRI P T I O A ND  P RO B L E M   ST AT E M E NT   C o n s id er   th f o llo w i n g   FOS:     G : { D α x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) + B d d ( t ) + B f f ( t ) y ( t ) = Cx ( t ) + Du ( t ) + D d d ( t ) + D f f ( t ) x ( t ) = x ( 0 ) t [ - h 1 , 0 ]         ( 1 )     S y s te m   is   t h s tate  s p ac f o r m   o f   ti m e - i n v ar ian lin ea r   FOS  w h er D   is   th d if f er - i n te g r al  o p er ato r   an d   0 < < 1 .   ( t )    d en o tes  th p s eu d o - s ta te  v e cto r .   ( t )   d en o tes  th m ea s u r ed   o u tp u t. × , × , × , × , ×   an d   ×   ar co n s tan m atr ice s .   T h ( 0 ) ,   s tan d   f o r   in itial  co n d itio n   d e f i n ed   o n   [ 1 , 0 ]   w h er 1     an d   0 < 1 .   T h is   FOS  a f f ec ted   b y   d is tu r b an ce ( t )   as  an   u n w an ted   in p u an d   f a u lt  ( t )   in p u a s   b u g   i n   t h s y s t e m .   I f   t h er is   p r o b le m   i n   r ea d in g   an d   s e n d in g   d ata,   o r   i n   m ea s u r e m en t,   it  i s   r e f er r ed   to   as  s e n s o r   f au lt   ( ) ,   w h ic h   is   r ep r esen ted   b y   co n s id er in g   B f =   in   th o u t p u t e q u atio n   o f   t h s y s te m   as ( 2 )   [ 4 7 ] .     y ( t ) = Cx ( t ) + D d d ( t ) + ( )               ( 2 )     I f   th er i s   p r o b le m   w it h   ac t u ato r s '   p er f o r m a n ce ,   it  a f f ec ts   th i n p u o f   t h s y s te m   an d   ca lls   it  a n   ac t u ato r   f au lt  :     D α x ( t ) = A x ( t ) + B ( u ( t ) + ( t ) ) + B d d ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D ( u ( t ) + ( t ) ) + D d d ( t )           ( 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l Vo l.  19 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 2 1 :    1 9 4 8   -   1961   1950   b y   ad d in g   th p r o ce s s   f au l ( t )   ac co r d in g   to   its   lo ca tio n   an d   t y p an d   co n s id er in g   B f =   an d   D f = g en er all y ,   i n   th i s   m e th o d ,   ad d itiv f a u lt s   f o r   d escr ib in g   th f au l is   co n s id er ed   f o r   th s y s te m   w it h   s e n s o r ,   ac tu ato r   an d   p r o ce s s   f a u lts .   As   r esu lt,   th f a u lts   ca n   b r e w r itten   as :     ( ) = [ ( t ) ( t ) ( ) ] ,       B f = [ 0 ] ,     D f = [ ] ,     o n e   o f   th e   b e s t   d ef in it i o n s   o f   f r a c t i o n a l   d e r iv at iv es   s o   f a r   in   c o n t r o l   a p p li c a ti o n s   is   th e   C a p u t o s   d e f in i ti o n   [ 4 8 ] :       D t α 1 Γ ( k α ) f ( k ) ( τ ) ( t τ ) α + 1 k d τ t a a               ( 4 )       if   th FOS  ( 1 )   is   r elax ed   at  = 0 ,   t h tr an s f er   f u n ctio n s   o f   th s y s te m ,   in   w h ic h   th f a u lt  an d   d is tu r b an ce   ar as in p u ts   a n d   th o u tp u t o f   t h e   s y s te m   co n s id er ed   as o u tp u t a r as  ( 5 )   an d   ( 6 ) ,   r esp ec tiv ely   [ 4 9 ]      ( ) = ( ) 1 +               ( 5 )      ( ) = ( ) 1 +               ( 6 )     ac co r d in g   to   Fi g u r 1 ,   a f ter   d eter m in i n g   t h d y n a m ic al  e q u atio n s   o f   t h s y s te m   w it h   th f au l t,  th n e x i m p o r tan s tep   is   to   d ef i n s tab le  o b s er v er   f o r   th s y s te m   ( 1 ) .   Fo r   th is   p u r p o s e,   th o b s er v er   h as  b ee n   d esig n ed   as  ( 7 ) .     : {     ̂ ( ) = ̂ ( ) + ( ) ̂ ( ) = ̂ ( ) ( ) = ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) = ( ) [ 2 , 0 ]               ( 7 )     W h er ̂ ( )   d en o tes  th d etec tio n   o b s er v er   s tate  v ec to r , ̂ ( )    r e p r e s en t s   th o u tp u esti m at io n   v ec to r s ,   ( )   is   r esid u al,   a n d   ×   is   th o b s er v er   g ain .     B y   t h co m b in atio n   o f   th f ilter   ( 7 ) ,   th s y s te m   ( 1 )   an d   co n s id er in g   ( ) = ( ) ̂ ( )   th e   f o llo w in g   a u g m e n ted   FOS i s   o b tain ed :     { ( ) = (  ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) =  ( ) + ( ) + ( )       ( 8 )     T o   h av r o b u s FD  s y s te m ,   th d esig n   s h o u ld   b ca r r ie d   o u in   s u ch   w a y   t h at  t h e   f o llo w in g   co n d itio n s   ar estab li s h ed :     T h o b s er v er   ( 7 )   m u s b d esig n ed   s u c h   t h at  as y m p to tical l y   s tab ilit y   o f   t h au g m en ted   s y s te m   ( 8 )   is   g u ar a n teed .   T o   ac h iev th i s   co n d itio n ,   | ( ( (  ) ) ) | > 2 ,   w h er s p ec   ( (  ) )   is   th s et  o f   eig e n v al u es  o f   (  )   o r   th er ex is > 0   an d   > 0    s u c h   th at     ( + ̅  ) < 0    w h er = ( 1 ) 2   is   as y m p to ticall y   s tab le  [ 5 0 ] .   Fig u r 2   s h o w s   t h s tab il it y   r e g io n   f o r   th is   s y s te m .     R o b u s t n es s   to   d is tu r b an ce   i n p u is   o n o f   th m ai n   d esig n   p o in ts   o f   t h FD.  B y   u s i n g     o p ti m izat io n   cr iter ia,   th is   p er f o r m a n ce   i n d ex   ex p r ess ed   as  ( 9 )   [ 5 1 ] .     ( ) 2 ( ) 2 < , > 0                 ( 9 )       R o b u s co n tr o b y     o p ti m izat io n s   cr iter ia  is   th b est  id ea   f o r   s o lv i n g   s y s te m   s e n s iti v it y   to   f au lts .   P er f o r m a n ce   in d e x   ( 1 0 )   g u ar an tees t h r esid u a l ' s   s e n s i tiv it y   to   f au lt s ,   w h ic h   i s   ex p r ess ed   a s   ( 1 0 )   [ 5 2 ] .     ( ) 2 ( ) 2 > , > 0                 ( 1 0 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A n   LM I   a p p r o a c h   to   Mixed   H _ /H_ -   fa u lt d etec tio n   o b s erver d esig n   fo r     ( Mo h a mma d   A z imi )   1951       Fig u r 2 .   Stab le  r eg io n   ill u s tr a tio n       B ased   o n   th th r ee   ab o v as s u m p tio n s ,   m i x i n g   /   is   th p r o p o s ed   m et h o d   in   th i s   w o r k   f o r   FDI   d esig n .   T h f o llo w in g   d ef in i ti o n s   an d   le m m as  ar u s ed   f o r   im p le m e n ti n g   t h p r o p o s ed   m e th o d .   Def i n itio n   1 .   [ 5 3 ]   T h   n o r m   o f    ( )   f o r   FOS ( 1 )   is   d ef in ed   as   ( 1 1 ) .      _ ( _ )  ( ) 0  (  ( ) )             ( 1 1 )     L e m m 1 :   ( H - B R ) :   [ 5 4 ]   C o n s i d er   th FOS ( 1 )   an d    ( ) = ( ) 1 +    th en      ( ) <     if   o n l y   i f   th er e x is > 0   an d   > 0   s u c h   th at:      [ (  )    ] < 0               ( 1 2 )     w h er = {  +  ,  0 < < 1   1 < 1 = 2 ( 1 )   L em m a   2 :   [ 5 5 ]   L e t   m at r i c es   × , ×   , Φ 2     Θ ( + )   a n d   2 .   S e t   Λ   i s   d ef in e d   as   ( 1 3 ) .     Λ ( Φ , Ψ ) { | [ ] Φ [ ] = 0 , [ ] Ψ [ ] 0 }           ( 1 3 )     Fo r   ( ) ( ) 1 ,   th er h o ld s :     [ ( ) ] Θ [ ( ) ] < 0 , Λ               ( 1 4 )     th er ex i s ,   an d   > 0   s u ch   t h at :     [ 0 ] ( Φ + Ψ ) [ 0 ] + Θ < 0             ( 1 5 )     th en   " ( 15 ) ( 14 ) " Fu r t h er m o r e,   if   Λ   r ep r ese n ts   c u r v i n   th co m p le x   p la n e,   th e n   h o ld s " ( 15 ) ( 14 ) " .   L e m m 3 [ 5 5 ]   T h s et  Λ ( Φ , Ψ )   is   d ef i n ed   as:     Λ ( Φ , Ψ ) { | [ ] Φ [ ] 0 , [ ] Ψ [ ] 0 }           ( 1 6 )     i m atr ices  > 0    an d   > 0    ex is t s u ch   t h at  L MI   co n d itio n   ( 1 5 )   h o ld s ,   th en   co n d it io n   ( 1 4 )   h o ld s   Λ .   L e m m 4 :   ( P r o j ec tio n   lem m a)   [ 5 6 ] .   Un s tr u ctu r ed   m atr i x      s atis f ies  th f o llo w i n g   eq u atio n s   if   s y m m etr i c   m atr i x   an d   co lu m n   d i m e n s io n   ,     an d     m a tr ices e x is t:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l Vo l.  19 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 2 1 :    1 9 4 8   -   1961   1952    + + < 0                 ( 1 7 )     if   an d   o n l y   i f :     < 0                   ( 1 8 )     an d     < 0                   ( 1 9 )     co n ce r n i n g   to     ar s atis f ied .   W h er   an d     ar ar b itra r y   m a tr ices,   w h o s co l u m n s   f o r m   a   b asis   o f   th e   n u l l sp ac es o f     an d   r esp ec tiv e l y .   L e m m 5 :   [ 5 7 ] .   T h FOS  G ( s ) is   s t ab le  if   an d   o n l y   if   ( )   is   b o u n d ed .       3.   M AIN RES UL T S   I n   th i s   s ec tio n ,   co n d itio n s   ii  an d   iii  ar tr an s f o r m ed   in to   L MI s .   C o r o llar y   1   u n if ies  t h e   th eo r e m s .   T h eo r em   1 .   T h s y s te m   ( 8 )   is   s tab le,   a n d   th p er f o r m an ce   in d ices  ( 9 )   is   g u ar an teed ,   i f   th er ex is p o s iti v e   s ca lar     p o s itiv d ef i n ite  s y m m etr ic  m atr ices  1 , 1   an d   m atr ices  ,   s u ch   t h at  t h f o llo w i n g   L MI s   h o ld :     [  ( Π ) + Ξ 2 Ω + C ( + ) Ω 2 ] < 0           ( 2 0 )     w h er     Π = , Ω =   > 0 ,   Ξ 2 = Π + 1 + 1 =  , = ( 1 ) 2 .     h o ld s   an d   th f ilter   g ai n     is   o b tain ed :     =                   ( 2 1 )     P r o o f :    B ased   o n   d ef in itio n   1 :       ( )   ( ) 0 ( ( )  ) = (  ( ) 0 ( ̃ ) 1 ̃ + )     ( 2 2 )     w h er     ̃ =  ̃ =                     ( 2 3 )     b y   s o m b asic  m atr i x   ca lcu lat i o n s :     ( )  < ( )  ( )  2 < 0  ( ) 0 [ ( ) ] Θ [ ( ) ] < 0 , Λ   ( 24 )     w h er e ( ) ( ̃ ) 1 =   ,   an d   Λ ( Φ , Ψ )   is   d ef in ed   i n   ( 1 3 ) ,   also :     Θ = [ 2 ]                    ( 2 5 )     th en   ac co r d in g   to   L e m m 2 ,   th last   p ar o f   ( 2 4 )   is   also   eq u iv ale n to   th s tate m e n th at  1 , 1 ,   1 > 0   an d   1 > 0   s u c h   th at  t h L MI   ( 2 4 )   h o ld s .     [ 0 ̃ ̃ ] ( Φ 1 + Ψ 1 ) [ 0 ̃ ̃ ] + Θ < 0             ( 2 6 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A n   LM I   a p p r o a c h   to   Mixed   H _ /H_ -   fa u lt d etec tio n   o b s erver d esig n   fo r     ( Mo h a mma d   A z imi )   1953   s i m ilar   to   [ 5 4 ] ,       Φ = [ 0 ̅ 0 ] Ψ = [ 0 ̅ 0 ]                   ( 2 7 )     n o w   th i n eq u ali t y   ( 2 6 )   ca n   b r ef o r m u la ted   as  < 0   w h er   an d     ar g iv e n   b y :     = [ 1 + 1 C  1 + 1 0 0 C 0 2 ] = [ 0 ̃ ̃ 0 ]           ( 2 8 )     b y   d e f in in g   t h m atr ice s     an d     as  ( 2 9 ) .     = [  0 0 0 ] = [  0 ]             ( 2 9 )     I t c an   b o b tain ed   b y   L e m m a   4   th at  in eq u a lit y   < 0   is   eq u i v ale n t   to :     + [ ̃ ̃ ] [  0 ] + [ 0 ] [ ̃ ̃ ] < 0             ( 3 0 )     No w   b y   s u b s t itu tin g   =   in eq u alit y   ( 2 0 )   is   o b tain e d ,   an d   th p r o o f   is   co m p leted .     T h eo r em   2 .   T h au g m e n ted   f r ac tio n al - o r d er   s y s te m   ( 8 )   is   s tab le  an d   it  g u ar a n tees  t h p er f o r m a n ce   i n d ex   ( 1 0 ) ,   if   th er ex is p o s i tiv s ca lar   > 0   an d   s y m m etr ic  m atr ice s   2 , 2   an d   m a tr ices  ,   s u c h   th a th f o llo w in g   L MI :     [  ( Π ) Ξ 2 Ω C ( ) Ω + 2 ] < 0           ( 3 1 )     w h er e     Π = , Ω =     > 0   Ξ 2 = Π + 2 + 2 ,     =  , = ( 1 ) 2 .     T h f ilter   g ai n   is   g iv e n   b y   ( 2 1 ) .   P r o o f Alth o u g h   t h e   p r in cip le s   of   p r o v in g   th is   t h eo r e m   ar e   v er y   s i m ilar   to   th at   T h eo r e m   1,   s in ce   it   co n tai n s   s m al l   an d   ess e n tia l   p o in ts ,   t h e   p r o o f   of   th is   t h eo r e m   is   f u ll y   a d d r ess ed .   B ased   o n   d ef in itio n   1 :     ( )   ( ) 0 ( ( )  ) = (  ( ) 0 C ( ̃ ) 1 ̃ + )       ( 3 2 )     w h er ̃ = ,   B y   a n al y zin g   ( )  :     ( )  < ( )  ( )  2 < 0  ( ) 0 [ ( ) ] Θ [ ( ) ] < 0 . Λ   ( 3 3 )     w h er e ( ) ( ̃ ) 1 ̃   an d   Λ ( Φ , Ψ )   is   d ef in ed   in   ( 1 1 ) ,   also :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l Vo l.  19 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 2 1 :    1 9 4 8   -   1961   1954   Θ = [ 2 ]               ( 3 4 )     th en   ac co r d in g   to   L e m m 3 ,   th e   last   p ar t o f   ( 2 9 )   is   also   eq u iv alen t to   th s tate m en t t h at  2 , 2 , 2 > 0   an d   1 > 0   s u c h   th at  t h L MI   ( 2 9 )   h o ld s .     [ 0 ̃ B ̃ ] ( Φ 2 + Ψ 2 ) [ 0 ̃ B ̃ ] + Θ < 0           ( 3 5 )       s i m ilar   to   [ 5 4 ] ,       Φ = [ 0 ̅ 0 ] Ψ = [ 0 ̅ 0 ]                      ( 3 6 )     n o w   th i n eq u ali t y   ( 2 9 )   ca n   b r ef o r m u la ted   as  < 0   w h er    an d     ar g iv e n   b y :     = [ 2 + 2  1 + 1 0 0 0 2 ] = [ 0 ̃ B ̃ 0 ]           ( 3 7 )     b y   d e f in in g   t h m atr ice s   an d     as  ( 3 8 ) .     = [  0 0 0 ] = [  0 ]                 ( 3 8 )     I t c an   b o b tain ed   b y   L e m m 4   th at  in eq u a lit y   < 0   is   eq u i v ale n t   to :     + [ ̃ B ̃ ] [  0 ] + [ 0 ] [ ̃ B ̃ ] < 0           ( 3 9 )     No w   b y   s u b s t itu tin g   =   in eq u alit y   ( 3 1 )   is   o b tain e d ,   an d   th p r o o f   is   co m p leted .     C o r o llar y   1 .   So lv i n g   th f o llo w i n g   co n v e x   o p ti m iza tio n   p r o b lem ,   r es u lt s   f ea s ib le   s o lu tio n   to   th e     m u lti - o b j ec t iv /   p r o b lem   ( f a u l t d etec tio n   p r o b lem )   f o r   G i v en :     ma x . 1 , 2 . 1 . 2 . . ( 20 ) . ( 31 ) .                 ( 4 0 )     P r o o f :   B y   co llect in g   t h th eo r e m s   1   an d   2 ,   th p r o o f   is   co m p leted .     R e m ar k   3 :   In   th is   w o r k ,   t h e   r esid u al   e v alu a tio n   f u n ctio n   is   d ef i n ed   as   [ 5 2 ] :     ( ) = ( 1 ( ) ( )  0 ) 1 / 2                 ( 4 1 )     w h er e     r ep r esen ts   t h e   d etec tio n   ti m e   r an g e.   T h e   u p p er   th r esh o ld   v alu es   ar e   ca lcu lated   as :     = s up ( ) = 0 ( ) 2 ( )                   ( 4 2 )       4.   SI M UL AT I O E XAM P L E S   T h m o d el  co n s id er ed   f o r   v alid atin g   th r e s u l ts   p r o v ed   i n   th is   ar ticle  i s   t h test i n g   b en ch   t h at  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A n   LM I   a p p r o a c h   to   Mixed   H _ /H_ -   fa u lt d etec tio n   o b s erver d esig n   fo r     ( Mo h a mma d   A z imi )   1955   d escr ib ed   in   [ 2 4 ] .   A s   ca n   b s ee n   i n   Fig u r 3 th is   t y p e   o f   test   b en ch   m ad u p   o f   t w o   l o n g   al u m i n u m   r o d s   w h ic h   ar g lu ed   to g eth er   w it h   th h ea p aste.  T h in p u o f   th is   m o d el,   w h ic h   is   s in g le   in p u m u lti  o u tp u t   s y s te m   i s   v o lta g ( )   an d   its   o u tp u ts   ar 1 , 2 , 3  4 .   R o d   1   th er m al  b eh a v i o r   is   as  ( 4 3 )   an d   ( 4 4 ) .     1 = 1 [ 13 ] 3                 ( 4 3 )     3 = 1 [ 3 ] ( )                 ( 4 4 )           Fig u r 3 .   T w o   r o d s   th er m al  b e n ch       R o d   2   th er m al  b eh a v io r   is   as ( 4 5 )   an d   ( 4 6 ) .     2 = 1 [ 42 ] 4                 ( 4 5 )     4 = 1 [ 4 ] ( )                 ( 4 6 )     W h er n u m er ical  v alu e s   o f   id e n ti f ied   tr an s f er   f u n ctio n s   ar e:     3 ( ) = 348 . 5 0 . 5 + 319 . 9 1840 1 . 5 130 + 485 . 7 0 . 5 + 1 = 1 3 0 . 5 + 0 3 3 3 1 . 5 + 2 3 + 1 3 0 . 5 + 0 3         ( 4 7 )     31 ( ) = 1 . 1587 2 . 367 0 . 5 + 1 0 . 1599 = 0 31 1 31 0 . 5 + 0 31 + 31              ( 4 8 )     4 ( ) = 2 99 . 5 0 . 5 + 260 . 7 6472 1 . 5 300 . 2 + 453 . 2 0 . 5 + 1 = 1 4 0 . 5 + 0 4 3 4 1 . 5 + 2 4 + 1 4 0 . 5 + 0 4           ( 4 9 )     42 ( ) = 1 . 6361 0 . 5415 0 . 5 + 1 0 . 6372 = 0 42 1 42 0 . 5 + 0 42 + 42           ( 5 0 )     Ob s er v ab ilit y   f o r m s   o f   f r ac t io n al  o r d er   tr an s m it tan ce s   ( 4 7 ) - ( 5 0 )   ar e:     {             [ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ] = 3 [ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ] + 3 ( ) 3 ( ) = 3 [ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ]             ( 5 1 )     {             [ 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) ] = 4 [ 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) ] + 4 ( ) 4 ( ) = 4 [ 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) ]             ( 5 2 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l Vo l.  19 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 2 1 :    1 9 4 8   -   1961   1956   { 3 ( ) = 0 31 1 31 3 ( ) + 0 31 1 31 3 ( ) = 31 3 ( ) + 31 3 ( ) 1 ( ) = 3 ( ) + 31 3 ( )         ( 5 3 )     { 6 ( ) = 0 42 1 42 6 ( ) + 0 42 1 42 4 ( ) = 42 6 ( ) + 42 4 ( ) 2 ( ) = 6 ( ) + 42 4 ( )           ( 5 4 )     w h er e      = [           0 0 0  3  1 0 1  3  0 1 1  3  ]           ,  = [         0  3  1  3  0 ]         ,  = [ 0 0 1 ] ; = 3 , 4 .       ( 5 5 )     th p s eu d o   s tate  s p ac d escr ip tio n   o f   th is   SIM s y s te m   is   as  ( 5 6 ) :     { ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( )               ( 5 6 )     w h er e     = [ 3 0 31 3 31 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 42 4 42 ] , = [ 3 0 4 0 ] ,     = [ 31 3 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 41 4 1 4 0 ] , = 0 .     ( ) = [ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 6 ( ) ]     ( ) = [ 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ]     C o n s id er   th FOS ( 1 )   w i th   t h e   f o llo w in g   p ar a m eter s :     = [               0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 0005 0 . 2640 0 . 0707 0 . 4895 0 0 0 0 0 0 0 0 . 4225 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 0002 0 . 0700 0 . 0464 3 . 0214 0 0 0 0 0 0 0 1 . 8467 ]               . = 0 , = [               0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 ]               , = [               0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 ]               ,     = 0 , = [ 0 . 1 0 0 0 ] , = [ 0 . 2 0 0 0 ] . = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1599 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 6372 0 0 0 1 0 0 ] .     ( ) b 0 . 5 e xp ( 0 . 4 ) c os ( 0 . 7  ) ( ) .     T h f au lt  s ig n al  ( )   is   s i m u late d   as  s q u ar w a v o f   u n it  a m p lit u d f r o m   4 0   to   6 0   s tep s .   Fo r   g iv e n     = 0 . 0328 w s o lv ed   t h o p ti m iza tio n   p r o b lem   C o r o llar y   1   b y   Y AL MI P   to o lb o x   in   Ma tlab   a n d     is   o b tain ed   as   7 1 . 8 5 4 0 .     Fu r th er m o r e,   t h o b s er v er   g ai n s   w er o b tain ed   as :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A n   LM I   a p p r o a c h   to   Mixed   H _ /H_ -   fa u lt d etec tio n   o b s erver d esig n   fo r     ( Mo h a mma d   A z imi )   1957   = [               1 . 0011 0 . 0012 0 . 0009 0 . 0040 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0010 0 . 0002 0 . 0043 0 . 8542 2 . 1735 3 . 2501 2 . 9924 0 . 2422 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 9972 2 . 5353 2 . 6462 3 . 5680 ]                   R ea an d   esti m ated   o u tp u t s   ar r ep r esen ted   in   Fig u r es  4 - 7 .   T h th r esh o ld   v alu e s   o f   r esid u al  s i g n a 1   an d   3   co m p u ted   b y   ( 4 2 )   as    1 = 0 . 0908   an d   3 = 0 . 00021620 .   R esid u als   i n   t h f au l t y   ca s es   ar s h o w n   i n   Fig u r es  8   a n d   9 .   I ca n   b co n clu d ed   th at  t h r o b u s tn e s s   a g a in s d i s t u r b an ce   an d   t h f au lt  s en s iti v it y   ar b o th   a m p li f ied ,   an d   th f au l t is  w ell   s ep ar ated   f r o m   d is tu r b an ce .           Fig u r 4 .   T h o u tp u   an d   its   e s ti m ate           Fig u r 5 .   T h o u tp u 2   an d   its   e s ti m ate           Fig u r 6 .   T h o u tp u t     an d   its   e s ti m ate           Fig u r 7 .   T h o u tp u   an d   its   e s ti m ate     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.