TELK O M N I K A   Te l e c ommu n i c at i on ,   C omp u ti n g ,   El e c t r on i c s   an d   C on tr o l   V ol .   18 ,   N o .   2 A pri l   2020 ,   p p.   994 ~ 1000   IS S N :   1693 - 6930 ,   a c c r e di t e d   F i rs t   G r a de   by   K e m e n ri s t e kdi k t i ,   D e c r e e   N o:   21 / E / K P T / 2 018   D O I:   10 . 129 28/ T E L K O M N IK A . v1 8i 2 . 1430 1     994       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / j our nal . uad . a c . i d/ i nd e x . php / T E L K O MNIKA   A n   o p t i m a l   c o n t r o l   f o r   c o mp l e t e   s y n c h r o n i z a t i o n   o f     4 D   R a b i n o v i c h   h y p e r c h a o t i c   s y st e m s       S h aymaa  Y .   A l - H ayal i ,   S aad   F aw z i   A l - A z z aw i   D e pa r t m e n t   of   M a t he m a t i c s ,   C ol l e ge   of   C o m p ut e r   S c i e n c e s   a nd   M a t he m a t i c s ,   U ni ve r s i t y   o f   M o s ul ,   I r a q       A r ti c l e   I n fo     A BS TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   Re c e i v e d   O c t   8 ,   2019   Re vi s e J a n   8 ,   2020   A c c e pt e F e b   11 ,   202 0     T hi s   p a pe r   de r i v e s   ne w   r e s u l t s   f o r   t h e   c o m p l e t e   s y nc h r on i z a t i on  o f   4D   i de n t i c a l   R a bi n ov i c hype r c ha o t i c   s ys t e m s   by  u s i n t w s t r a t e gi e s :   a c t i ve   a nd   no nl i ne a r   c on t r ol .   N on l i ne a r   c o nt r o l   s t r a t e gy   i s   c ons i d e r e a s   o ne     of   t he   pow e r f u l   t oo l   f o r   c ont r o l l i n t he   dyn a m i c a l   s ys t e m s .   T he   s t a bi l i z a t i o r e s ul t s   o f   e r r or   d yna m i c s   s ys t e m s   a r e   e s t a bl i s he d   ba s e d   on   L ya p un ov   s e c ond   m e t ho d.   C ont r o l   i s   d e s i gn e v i a   t h e   r e l e va nt   va r i a bl e s   of   dr i ve   a nd   r e s pon s e   s ys t e m s .   I c om pa r i s on   w i t h   pr e v i ous   s t r a t e g i e s ,   t he   c u r r e nt   c ont r o l l e r   ( non l i ne a r   c o nt r o l )   f oc u s e s   o c on ve r ge n c e   s p e e d   a nd   t he   m i n i m um   l i m i t s     of   r e l e va n t   va r i a b l e s .   B e t t e r   p e r f or m a nc e   i s   t o   a c hi e ve   f ul l   s y nc h r on i z a t i on   by  d e s i gn i ng   t he   c o nt r o l   w i t f e w e r   t e r m s .   T he   p r opo s e d   c o nt r ol   ha s     c e r t a i n   s i gn i f i c a nc e   f or   r e d uc i ng   t he   t i m e   a nd   c o m pl e x i t y   f o r   s t r a t e gy   i m pl e m e n t a t i o n.   Ke y w or d s :   A c t i v e   c on t ro l   s t r a t e gy   Com p l e t e   s ync h roni z a t i o n   L ya p unov   s e c ond   m e t ho d   N onl i n e a r   c ont r ol   s t ra t e gy     T hi s   i s   an   op e n   ac c e s s   ar t i c l e   u nde r   t he   C C   B Y - SA   l i c e n s e .     Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S a a d   F a w z i   A l - A z z a w i ,   D e pa r t m e nt   of   M a t he m a t i c s ,   Co l l e ge   of   Co m put e r   S c i e n c e   a nd  M a t he m a t i c s ,   U ni ve rs i t y   of   M os ul ,   M os u l ,   Ir a q.   E m a i l :   s a a d _fa w z i 78 @ y a hoo . c om ,   s a a d_ a l a z a w i @ uo m os ul . e du. i q       1.   I N TR O D U C TI O N   A ft e r   t he   pi one e ri n w ork   by   P e c ora   a nd   C a rrol l   i n   19 90s   [ 1],   Ch a os   s yn c hro ni z a t i on   h a s   a t t ra c t e d   c ons i d e ra bl e   a t t e nt i on   du e   t o   i t s   i m po rt a nt   a ppl i c a t i ons   i p hys i c a l   s ys t e m s   [2] ,   bi o l og i c a l   s ys t e m s   [ 3 ] E nc r ypt i on   [4 ,   5]   a n s e c ur e   c o m m uni c a t i o ns   [6] ,   e t c .   T he   s ync hron i z a t i on  m e a ns   m a k i ng  a   s ys t e m   c a l l e d   a   re s pons e   s ys t e m   t f ol l ow   a not he r   s ys t e m   w h i c h   i s   c a l l e d   a   dr i ve   s ys t e m .   N ow   da ys ,   e nor m ous   s ync hron i z a t i on   ph e no m e n a   ha v e   be e n   a ppl i e d   i n   va r i o us   dyn a m i c a l   s ys t e m s   s uc h   as   ful l / c om pl e t e   s ync hron i z a t i on   (CS )   [7 - 10] ,   a nt i - s ync h roni z a t i on   (A S [ 11 ] ,   hybr i d   s ync hroni z a t i on   (H S )   [12] ,     l a g   s ync hroni z a t i o n,   ph a s e   s ync h roni z a t i o n ,   pro j e c t i ve   s ync hron i z a t i on   (P S )   [ 13] ,   m odi fi e proj e c t i v e   s ync hron i z a t i on   (M P S )   [14]   a nd   g e ne r a l i z e d   pro j e c t i ve   s yn c hroni z a t i on   (G P S )   [ 15 ].   F ul l   s ync hron i z a t i on   a n a nt i - s ync h roni z a t i o a r e   t h e   m os t   c o m m onl y   us e d   [ 9,   11 a nd   p l a y   a n   i m por t a n t   rol e   i n   e ng i ne e ri ng  a ppl i c a t i ons   [ 16 17 ].   T he s e   ph e no m e n a   a r e   a c hi e ve d   vi a   di ff e r e nt   va ri ous   t yp e s   of  s ync hron i z a t i ons   s c he m e s   i n c l ud i ng   a c t i v e   c on t rol   [ 18] ,   a d a pt i ve   c ont rol   [1 6] ,   no nl i ne a r   c o nt r ol   [ 19 - 22 a nd   l i n e a r   f e e dba c k   c o nt ro l   [ 23 - 25 ].   A m ong  t he   a f ore m e n t i o ne d   s c h e m e s ,   t h e   a c t i ve   c o nt ro l   a nd   t he   non l i n e a r   c o nt ro l   h a ve   be e w i de l us e a s   t w o   pow e r ful   s t ra t e g i e s   for   s yn c hro ni z a t i on   o f   di ff e r e nt   c l a s s   of   no nl i ne a r   d yna m i c a l   s ys t e m s .   H ow e v e r,     t he   a c t i ve   c on t rol   s uff e rs   fro m   m a ny  t e r m s   c orre s p ondi ng  t re l e va n t   v a ri a b l e s   o dr i ve   a n r e s pons e   s ys t e m s .   T o ve r c o m e   t h i s   pro bl e m ,   t he   non l i n e a c ont rol   s t r a t e gy  i s   us e d   w i t t h e   m i n i m u m   of   t e rm s   a nd   s pe e d   s ync hron i z a t i on  w h e r e as   n onl i ne a c on t rol   s t ra t e gy  ha s   d e m ons t ra t e d   e x c e l l e nt   p e rfor m a n c e   i n     s ync hron i z a t i on  s c he m e s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol         A o pt i m al   c on t r ol   f or   c om pl e t e   s y n c hr on i z at i on  of   ( Sha y m aa  Y .   A l - ha y al i )   995   In  t h i s   pa pe r ,   w e   i m pl e m e n t   c om p l e t e   s ync h roni z a t i o b e t w e e t w 4D   i d e nt i c a l   Ra b i nov i c h   hype r c ha ot i c   s ys t e m s   b a s e d   on  a c t i v e   a nd   non l i n e a r   c o nt rol   s t r a t e gi e s   v i a   L y a puno s e c ond   m e t hod    a nd   obs e rv e d   t h a t   t he   s pe e d   of   c o nve r ge n c e   of   c ont r ol   i n   t he   s e c o nd  a   s t ra t e gy  fa s t e r   a nd   n um b e r   of   t e rm s   l e s s   t h a t he   f i rs t   s t ra t e gy .   T he   propos e c o nt ro l   w i t l o w   t e r m s   i s   m ore   i nt e r e s t i n a n e a s i l y   a pp l i e   a nd  i m pl e m e nt e d .   T he   c ont r i bu t i ons   of   t h i s   p a pe r   a re   m a i n l y   t he   fol l ow i ng:     A   ne c e s s a ry  a nd  s uff i c i e n t   c ondi t i o i s   pro pos e t s h ow   how   m a ny  r e l e va nt   v a ri a bl e s   of  dr i v e     a nd  re s pons e   s ys t e m s   c a n   a c hi e ve   s yn c hron i z a t i on   und e a c t i ve   a nd   non l i n e a r   c ont r ol l e r .     N e w   re s u l t s   a re   d e ri v e f rom   a   nu m be r   of  t e rm s   o r e l e va n t   va r i a b l e s   of  dr i v e   a nd  r e s pons e   s ys t e m s   t ha t   c a n   l e a d   t s yn c hron i z a t i on .     N e w   r e s ul t s   a r e   de r i ve fr om   s pe e s y nc hr oni z a t i on   v i a   re l e v a nt   va r i a bl e s   of   dr i ve   a n r e s pons e   s ys t e m s .     T he   r e s t   of   t hi s   pa pe r   i s   or ga n i z e d   a s   fo l l ow s .   S e c t i o n   2   i s   t he   d e s c r i pt i on   of   hy pe r c ha ot i c   Ra bi n ovi c h   S ys t e m .   S e c t i o n   3   pre s e nt s   t he   pro bl e m   of   c om p l e t e   s yn c hron i z a t i on   for   t he   hype r c h a ot i c   Ra bi n ovi c h .   S e c t i on   i s   t he   c onc l us i ons   t h i s   p a p e r.       2.   D ES C R I P TI O N   O F   H Y P ER C H A O TI C   R A BI N O V I C H   S Y S TEM   Ra bi n ovi c h   s ys t e m   i s   a   f our - d i m e ns i on a l   hype rc h a ot i c   w h i c h   i n c l u de   t e n   t e r m s ,   t hr e e   o f   t h e m   a r e   nonl i ne a ri t w i t h   t h re e   p a ra m e t e rs   a nd  de s c ri p t   by   t he   fol l ow i ng  f orm   [2 6 ,   27 ]:     {     ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3       ̇ 2 = 1 2 1 3 + 4 ̇ 3 = 3 + 1 2                                     ̇ 4 = 2                                                             (1)     w he re   1 , 2 , 3 , 4   a re   t h e   s t a t e   va r i a b l e s   a nd   , ,   a re   p os i t i ve   c ons t a nt s   t hi s   s ys t e m   pos s e s s e s   hype r c ha ot i c   a t t ra c t ors   w h e t h e   p a ra m e t e rs   t a k e = 4 , = 6 . 75 , = 2   as   s how   i F i gur e s   1 - 4.             F i gure   1 .   T he   a t t r a c t or   of   s ys t e m   (1)   i n     1 3   pl a ne       F i gure   2 .   T he   a t t r a c t or   of   s ys t e m   (1)   i n     1 , 2 , 3   s pa c e           F i gure   3 .   T he   a t t r a c t or   of   s ys t e m   (1)   i n     1 4   pl a ne     F i gure   4 .   T he   a t t r a c t or   of   s ys t e m   (1)   i n     1 , 2 , 4   s pa c e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   1693 - 6930   T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol V ol .   18 ,   N o.   2 A pri l   2 020:    994   -   1 000   996   3.   S Y N C H R O N I ZA TI O N   BET WEEN   TW O   I D EN TI C A L   H Y P ER C H A O TI C     R A BI N O V I C H   S Y S TE M   In  ord e t o   a c hi e ve   c om p l e t e   s ync hroni z a t i o fo R a bi novi c h   s ys t e m ,   t w s ys t e m s   a r e   ne e de d ,   t h e   fi rs t   s ys t e m   i s   c a l l e d ri v e   s ys t e m ,   a n t he   s e c ond   s ys t e m   i s   c a l l e d   re s p ons e   s ys t e m .   T he   dr i ve   a nd  r e s pons e   s ys t e m s   for   Ra bi nov i c s ys t e m   d e pi c t   i n   ( 2 )   a nd  ( 3 )   re s p e c t i ve l y .         {   ̇ 1 = 1 + 1 + 1 1         ̇ 1 = 1 1 1 1 + 1 ̇ 1 = 1 + 1 1                                       ̇ 1 = 1                                                               (2)     {   ̇ 2 = 2 + 2 + 2 2 + 1         ̇ 2 = 2 2 2 2 + 2 + 2 ̇ 2 = 2 + 2 2 + 3                                         ̇ 2 = 2 + 4                                                                 (3)       W he r e   = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]     i s   t he   c o nt ro l l e r   t be   de s i gne d,   T he   s ync h roni z a t i o e rror   4   i s   d e fi n e d   a s :         1 = 2 1       , 2 = 2 1     ,   3 = 2 1     ,     4 = 2 1       , = 1     ,       = 1 , 2 , 3 , 4       s o,   t he   e r ror  dyna m i c a l   s ys t e m   w h i c i s   g i ve n   by :     {   ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3 + 1 2 + 1 3 + 1       ̇ 2 = 1 2 + 4 1 3 1 1 1 3 + 2 ̇ 3 = 3 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 3                                     ̇ 4 = 2 + 4                                                                                                                     (4)     3. 1 .   S yn c h r on i z ati on   b as e d   on   a c ti ve   c on t r ol   T r e a l i z e   t he   c o m pl e t e   s ync hr oni z a t i on ,   w e   ne e d   t o   de s i g s ui t a b l e   non l i n e a r   c ont r ol .   T he re fo re ,     t he   c o nt ro l   f unc t i ons   a r e   c hos e a s   t he   fo l l ow i ng:         {   1 = 2 3 1 2 1 3 + 1               2 = 1 3 + 1 1 + 1 3 + 2                     3 = 1 2 1 1 1 2 + 3           4 = 4                                                                                                     (5 )     i ns e rt i ng   t h e   c on t rol   (5)   i ( 4)  w e   g e t :     {   ̇ 1 = 1 + 2 + 1       ̇ 2 = 1 2 + 4 + 2 ̇ 3 = 3 + 3                                       ̇ 4 = 2 + 4                                      ,                   = [ 1 2 3 4 ] = [ 1 2 3 4 ]   (6)     w he re     i s   l i ne a c ont r ol ,     i s   a   c o ns t a n t   m a t ri x ,   to   m a ke   t he   s ys t e m   (6 s t a bl e ,   t he   m a t ri x     s houl be   s e l e c t e by  t he   fo l l ow i ng:       = [ 0 0       0 0 0 1 0 0 0 0       0 0 1 ]   (7)     he nc e ,   t he   e rr or  dyna m i c a l   s ys t e m   ( 4)  w i t h   a bove   m a t ri x   be c om e s :     {   ̇ 1 = 1       ̇ 2 = 2           ̇ 3 = 3         ̇ 4 = 4             (8)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol         A o pt i m al   c on t r ol   f or   c om pl e t e   s y n c hr on i z at i on  of   ( Sha y m aa  Y .   A l - ha y al i )   997   T he r e for e ,   t h e   a bov e   s ys t e m   h a s   a l l   e i ge nva l ue s   w i t h   ne ga t i v e   r e a l   p a r t s ,   t he s e   e i g e nv a l u e s   gua ra nt e e s   t he   s t a b i l i t of  t he   s ys t e m   (8) .   S o ,   t h e   r e s po ns e   s ys t e m   ( 3)  s yn c hron i z e s   t h e   dr i ve   s ys t e m .     H e nc e ,   w e   re a c a t   t h e   fol l ow i ng   r e s ul t s :   T he o re m   1 :   I t he   m a t r i (7)  i s   c om bi n e   w i t h   s ys t e m   (6) ,   t he n ,   t h e   r e s pons e   s ys t e m   (3)   fol l ow s     t he   dri ve   s ys t e m   vi a   t he   fo l l ow i ng  nonl i n e a r   a c t i ve   c ont ro l   w hi c h   c ons i s t s   of  16  t e r m s .       { 1 = 2 2 3 1 2 1 3                             2 = 1 4 + 1 3 + 1 1 + 1 3           3 = 1 2 1 1 1 2                                                 4 = 2 4                                                                                                 ( 9)     P roof:   Ba s e o t he   L y a pu nov  s e c o nd  m e t hod ,   w e   c on s t ruc t   a   pos i t i ve   de fi n i t e   L ya p unov   c a nd i da t e     func t i on   a s :     V ( e ) =  = 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 3 2 + 1 2 4 2   (10)     w he re   = [ 1 2   , 1 2 , 1 2 , 1 2 ]   ,   t he   de r i v a t i ve   of   t h e   L y a punov   fun c t i on   V ( e )   w i t r e s pe c t   t t i m e   i s :     ̇ ( ) = 1 ̇ 1 + 2 ̇ 2 + 3 ̇ 3 + 4 ̇ 4                                                                   ̇ ( ) = 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 3 ( 3 ) + 4 ( 4 )       ̇ ( ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 =    ,     = [   , 1 , 1 , 1 ]   (11)     A c c ord i ng   t o   [14] ,   e v e ry   d i a g ona l   m a t r i x   w i t h   pos i t i v e   di a go na l   e l e m e n t s   i s   pos i t i v e   de f i ni t e .     S > 0 .   T he r e for e ,   ̇ ( )   i s   ne ga t i v e   de fi n i t e .   A nd   a c c or di ng  t t he   L y a punov  a s y m pt o t i c a l   s t a bi l i t y   t h e ory ,     t he   nonl i n e a r   a c t i ve   c on t rol l e r   i s   i m pl e m e nt e a nd  t h e   s ync hron i z a t i on  of  t he   hyp e rc h a o t i c   s ys t e m   i s   a c h i e v e d .   T he   proof   i s   n ow   c om p l e t e .   T he   t h e or e m   s how e t ha t   pro pos e d   c on t ro l   w hi c h   c ons i s t s   of   ( 14)   t e r m s   a c h i e v e d   s ync h roni z a t i on .   T h e   t i m e   c onv e rge s   s ync hro ni z a t i on  a t   (6)   a s   s how n   i n   F i g ur e   5.     3. 2 .   S yn c h r on i z ati on   b as e d   on   n on l i n e a r   c on t r ol   s tr a te gy   In  t hi s   s e c t i on,   c om pl e t e   s yn c hron i z a t i on   b e t w e e n   s ys t e m   (2 a nd   s ys t e m   (3 )   i s   c ons i d e re d   b us i ng   ot he r   s t ra t e gy   w h i c h   i s   c a l l e d   non l i n e a r   c ont rol .   T h e or e m   2:   I f   de s i g a   c o nt ro l l e r   c ons i s t s   of   s i x   t e r m s     a s   fo l l ow s :       {     1 = 2ℎ 2                                 2 = 4                                             3 = 2 1 1 1 2 4 = 2 4                         ( 12)     t he t h e   e rr or  dyn a m i c a l   s ys t e m   (4)  i s   c o nve r ge n t   t o   z e ro   a s   t i m e   ( 4) .   P roof :   W i t t hi s   c ho i c e ,   t he   e rro dyna m i c a l   s ys t e m   (4)   b e c o m e s :     [ ̇ 1 ̇ 2 ̇ 3 ̇ 4 ] = [       1 2 1 0     + 1       1 1 ( + 1 )       2 + 1   1 1   1 0       0 + 1 0 1     ] [ 1 2 3 4 ]       i . e . ,     {   ̇ 1 = 1 2 + 2 3 + 1 2 + 1 3                                   ̇ 2 = 1 2 + ( + 1 ) 4 1 3 1 1 1 3 ̇ 3 = 3 + 1 2 1 1 + 1 2                                                                 ̇ 4 = ( + 1 ) 2 4                                                                                                     (13)     t hi s   de r i va t i v e   i s :     ̇ ( ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 =    (14)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   1693 - 6930   T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol V ol .   18 ,   N o.   2 A pri l   2 020:    994   -   1 000   998   S > 0 .   T h e re f ore ,   ̇ ( )   i s   ne g a t i ve   de fi n i t e .   T h e   t he ore m   2   s how e t ha t   pro pos e d   c o nt ro l   w h i c h   c o ns i s t s   of   s i x   t e r m s   a c hi e v e s y nc hr oni z a t i on   a nd  t he   t i m e   s ync h roni z a t i on   a t   ( 4)  t i m e (s e c )   a s   s how n   i n   F i g u re   6.             F i gure   5 .   T he   c onv e rge s   of   s ys t e m (4)     w i t h   c on t ro l l e r   (9 )     F i gure   6 .   T he   c onv e rge s   of   s ys t e m   (13)     w i t h   c on t ro l l e r   (1 2)       T he o re m   3 :   If  t he   c ont ro l l e r   i s   de s i g ne d   w i t s i t e r m s   a s   f ol l ow s :     {     1 = 2 2 2 1 3 2 3 2 = 0                                                                                 3 = 0                                                                                 4 = 2 2 4                                   (15)     t he n   t h e   s ys t e m   (4)   w i l l   be   c onv e rg e nt   t o   z e ro   a s   t he   t i m e   ( 4 ) .   P ro of:   w he n   s ubs t i t u t i ng   t h e   c on t rol l e rs   (15)     i t he   s ys t e m   (4) ,   w e   ge t :     {   ̇ 1 = 1 2 + 1 2 1 3                                   ̇ 2 = 1 2 + 4 1 3 1 1 1 3   ̇ 3 = 3 + 1 2 1 1 + 1 2                                     ̇ 4 = 2 4                                                                                                     (16)     c ons t ru c t   L ya pu nov   fun c t i on  a s :       V ( e ) =  = 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 3 2 + 1 2 4 2       t he n     ̇ ( ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 =        so V ( e ) > 0   a nd   ̇ ( ) < 0 ,   t h e   nonl i ne a c on t rol l e i s   i m pl e m e nt e d .   T he   t h e ore m   s h ow e d   t h a t   propos e c ont r ol   w h i c c ons i s t s   o s i x   t e rm s   a c hi e ve d   s ync hroni z a t i o n.   T he   t i m e   s yn c hron i z a t i on  a t   (4)  t i m e (s e c )   a s   s how i n   F i g ure   7.     T he o re m   4:   t h e   s ys t e m   (4)  i s   a c hi e v e a nd  c onv e rge s   t z e ro  a t   t he   t i m e   (4 . 20) ,   i f   t h e   c ont r ol l e i s     de s i gn e a s :     {   1 = 2 2 2 1 3 2 = 1 3 + 4           3 = 0                                                     4 = 2 4                           (17)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol         A o pt i m al   c on t r ol   f or   c om pl e t e   s y n c hr on i z at i on  of   ( Sha y m aa  Y .   A l - ha y al i )   999   P roof:   U s i ng  s ys t e m   ( 4)  w i t h   t h e   c on t ro l l e ( 17),   i s   gi ve n   by .     {   ̇ 1 = 1 2 + 2 3 + 1 2 1 3                                                 ̇ 2 = 1 2 + ( + 1 ) 4 2 1 3 1 1 1 3 ̇ 3 = 3 + 1 2 + 1 1 + 1 2                                                                             ̇ 4 = ( + 1 ) 2 4                                                                                                                 (18)     t he   s a m e   re s u l t s   w e re   fo und  i n   t h e or e m   (3) .   T he   t he or e m   s how e d   t ha t   pr opos e d   c ont r ol   w hi c c ons i s t s     of  s i x   t e r m s   a c hi e v e s y nc hr oni z a t i on .   T h e   t i m e   s yn c hron i z a t i on   a t   ( 4. 2 0)  t i m e   (s e c )   i l l us t r a t e i n   F i g ur e   8.             F i gure   7 .   T he   c onv e rge s   of   s ys t e m   (16)     w i t h   c on t ro l l e (1 5)     F i gure   8 .   T he   c onv e rge s   of   s ys t e m   (18)     w i t h   c on t ro l l e rs   (17 )       4.   C O N C LU S I O N     In  t h e   pa p e r ,   s yn c hron a i z t i on   prob l e m   f or  4 - D   R a bi novi c h   h ype rc ha o t i c   s ys t e m   i s   c ons i d e r ed ,   ba s e on  t w o   s t r a t e gi e s :   a c t i ve   a nd   non - l i ne a c on t rol l e r .   T h e   s t a bi l i t y   of  e rror   dyn i m c a l   s ys t e m s   a re   e s t a b l i s he ba s e d   on  t he   L ya pu nov  t he ory  a nd   c o m p a re d   be t w e e t he s e   s t r a t e gi e s   a nd  f ound  t h a t   bot h   of  t h e m   l e a d   t o   s ync hron i z a t i on  b ut   t h e   p e rfor m a n c e   of   t h e   no nl i ne a c ont r ol l e i s   fa s t e r   a nd   be t t e r   t ha n   t he   a c t i v e   c on t rol .   A l s o,   t h e   nu m b e of  t e r m s   of  c on t rol l e r   is   l e s s   t h a n   fi rs t   s t r a t e gy.         A C K N O WL ED G E M EN TS     T he   a ut hors   a r e   ve ry   g r a t e fu l   t U n i v e rs i t y   of   M os ul / Col l e g e   of  Com p ut e S c i e nc e s   a nd   M a t h e m a t i c s   for  t h e i r   prov i de f a c i l i t i e s ,   w hi c h   he l pe t i m prove   t h e   qua l i t o t hi s   w ork .       R EF ER EN C ES   [ 1]   S .   F .   A L - A z z a w i ,   " S t a bi l i t y   a n d   B i f ur c a t i o n   of   P a n   C ha o t i c   S y s t e m   by   U s i ng   R o ut h - H u r w i t z   a nd   G a r da n   M e t hod , "   A ppl i e d   M a t he m a t i c s   an C om pu t at i o n,   vo l .   2 19 ,   n o.   3 ,   pp .   1 144 - 1 152,   2 012 .   [ 2]   A .   S a m ba s ,   e t   al . ,   " A   N e w   C h a ot i c   S y s t e m   w i t h   L i ne   o f   E qu i l i br i a :   D yna m i c s ,   P a s s i v e   C ont r o l   a nd   C i r c ui t   D e s i gn , "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   E l e c t r i c al   a nd  C om pu t e r   E n gi n e e r i n g ,   vo l .   9 ,   n o.   4 ,   pp .   2 365 - 237 6,   20 19 .   [ 3]   N .   A .   A l - T ha noon ,   e t   al . ,   " T un i ng   P a r a m e t e r   E s t i m a t i on   i n   S C A D - S upp or t   V e c t or   m a c h i ne   U s i ng  F i r e f l y   A l go r i t h m   w i t A p pl i c a t i on   i G e ne   S e l e c t i on   a n C a nc e r   C l a s s i f i c a t i on , "   C om pu t e r s   i n   B i ol ogy   and   M e d i c i n e ,   vol .   103 ,   pp.   2 62 - 268 ,   2018 .   [ 4]   Z .   N .   A l - ka t e e a nd   M .   R .   A l - B a z a z ,   " S t e ga nog r a ph i n   C o l or e d   I m a ge s   B a s e on   B i o m e t r i c s , "   T i k r i t   J ou r na l   of   P ur e   Sc i e nc e ,   vo l .   24 ,   pp .   111 - 117 ,   201 9.   [ 5]   S .   M ob a ye n ,   e t   al . ,   " A   N ove l   C ha o t i c   S y s t e m   w i t B oo m e r a ng - S h a pe E q ui l i br i u m ,   I t s   C i r c u i t   I m p l e m e nt a t i on  a nd   A ppl i c a t i on   t o   S o und   E nc r yp t i o n, "   I r a ni a n   J o ur n al   of   S c i e nc e   a nd   T e c hn ol o gy ,   T r ans ac t i o ns   o f   E l e c t r i c al   E ngi n e e r i n g ,   vo l .   43,   n o.   1 pp.   1 - 12 ,   201 9.   [ 6]   A .   S a m b a s ,   e t   al . ,   " A   N e w   C h a o t i c   S y s t e m   w i t a   P e a r - S h a pe E qui l i br i u m   a nd  I t s   C i r c u i t   S i m u l a t i on, "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   E l e c t r i c al   a nd  C om pu t e r   E n gi n e e r i n g ,   vo l .   8 ,   n o.   6 ,   pp .   4 951 - 495 8,   20 18 .   [ 7]   A .   S .   A l - O be i d i   a n S .   F .   AL - A z z a w i ,   " C o m pl e t e   S yn c hr oni z a t i o of   a   N ov e l   6 - D   hype r c ha o t i c   L o r e n z   S y s t e m   w i t h   K now P a r a m e t e r s , "   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   of   E ng i n e e r i ng   &   T e c hno l o gy ,   v ol .   7,   n o.   4 ,   pp.   5 345 - 534 9,   20 18.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   1693 - 6930   T E L K O M N IK A   T e l e c om m un   Co m put   E l   Con t rol V ol .   18 ,   N o.   2 A pri l   2 020:    994   -   1 000   1000   [ 8]   A .   S .   A l - O b e i di   a nd   S .   F . ,   AL - A z z a w i ,   " C ha o s   S yn c h r on i z a t i on   o f   a   C l a s s   6 - D   H y pe r c h a ot i c   L or e nz   S y s t e m , "   M od e l l i ng ,   M e as u r e m e n t   and   C o nt r ol   B ,   vol .   88 ,   no .   1 ,   pp . 17 - 22 ,   2 019.   [ 9]   H .   K .   C he n ,   " G l o ba l   C ha os   S ync h r on i z a t i on   of   N e w   C ha ot i c   S ys t e m s   vi a   N on l i ne a r   C on t r ol , "   C ha os ,   So l i t o ns   a nd   F r ac t a l s , v ol .   23 ,   no.   4 ,   pp .   1245 - 12 51,   2 005 .   [ 10]   S .   F .   A L - A z z a w i   a nd   M .   M .   A z i z ,   " C h a os   S y nc h r on i z a t i on   o f   N o nl i ne a r   D yn a m i c a l   S y s t e m s   vi a   a   N ove l   A na l y t i c a l   A ppr oa c h , ”  A l e x a nd r i a   E ngi ne e r i ng   J ou r na l ,   v ol .   57 ,   no .   4,   pp .   349 3 35 00,   2 018 .   [ 11]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   " A n t i - S y nc h r on i z a t i on   of   N on l i n e a r   D yn a m i c a l   S y s t e m s   B a s e o C a r da no’ s   M e t hod , "   O p t i k ,   vol .   134 ,   pp .   109 120 ,   2017 .   [ 12]   M .   M .   A z i z   a n S .   F .   A L - A z z a w i ,   H y br i d   C ha o s   S yn c hr oni z a t i on   B e t w e e T w o   D i f f e r e n t   H ype r c h a o t i c   S ys t e m s   vi a   T w o   A pp r oa c he s , ”  O p t i k v ol . 13 8,   pp .   328 340 ,   201 7.   [ 13]   A .   S .   A l - O be i di   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   " P r o j e c t i ve   S y nc h r on i z a t i o n   f o r   a   C l a s s   o f   6 - D   H ype r c h a o t i c   L or e nz   S ys t e m , "   I ndo ne s i a J o ur n al   of   E l e c t r i c a l   E n gi n e e r i n an C om put e r   Sc i e nc e   ( I J E E C S) ,   vol .   16,   no .   2 ,     pp.   69 2 - 7 00,   2 019 .   [ 14]   G .   H .   L i ,   " M od i f i e d   P r o j e c t i v e   S yn c h r on i z a t i on  of   C ha o t i c   S y s t e m , "   C hao s ,   So l i t on s   &   F r ac t al s ,   vo l .   32 n o.   5,     pp.   17 86 1 790 ,   2007 .   [ 15]     C .   L i   a nd   J .   Y a n   " G e ne r a l i z e P r o j e c t i ve   S ync hr o ni z a t i o o f   C h a os :   T h e   C a s c a d e   S y nc h r on i z a t i on  A ppr oa c h, "   C haos ,   So l i t on s   &   F r a c t al s ,   vo l .   30 no .   1 ,   p p.   14 0 1 64,   2 006 .   [ 16]   S .   V a i d ya n a t h a n ,   e t   al . ,   " A   N e w   C h a ot i c   S y s t e m   w i t h   A xe - S ha p e E q ui l i br i u m ,   I t s   C i r c ui t   I m p l e m e n t a t i on  a nd   A da pt i v e   S ync h r on i z a t i on , "   A r c hi v e s   o f   C ont r o l   Sc i e nc e s ,   vo l .   28 ,   n o.   3,   p p.   44 3 -   462 ,   201 8.   [ 17]   Z .   W e i ,   B .   S a ng e t   a l . ,   " C o m p l e D yn a m i c a l   B e h a vi or s   i n   a   3 D   S i m p l e   C h a o t i c   F l ow   w i t 3D   S t a b l e   o r   3D   U ns t a bl e   M a n i f ol ds   of   a   S i ng l e   E qu i l i b r i um , "   I nt e r n at i on al   J ou r nal   of   B i f u r c a t i on  a nd  C h aos ,   vol .   29 ,   no .   7,     pp. 1 9500 95 - 1950 110 2019 .   [ 18]   M.   T.   Y a s s e n ,   " C h a os   S ync hr oni z a t i o B e t w e e T w o   D i f f e r e nt   C ha ot i c   S ys t e m s   U s i ng   A c t i v e   C on t r ol ,"   C ha os ,   Sol i t ons   &   F r ac t a l s ,   vo l .   23 no .   1,   pp .   131 140 ,   200 5.   [ 19]   A .   S .   A l - O be i d i   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   "C h aos   Sy n c hr oni z a t i o i 6 - D   H y p e r c hao t i c   S y s t e m   w i t h   Se l f - E x c i t e d   A t t r ac t o r , "   T e l k om ni k a ,   vol .   18 ,   no .   3 ,   202 0.   [ 20]   J .   H .   P a r k ,   " C ha o s   S y nc h r on i z a t i on  of   a   C ha ot i c   S ys t e m   v i a   N o nl i ne a r   c on t r ol , "   C ha os   S ol i t ons   F r a c t a l s ,   v ol .   25 ,     no.   3 ,   pp.   5 79 - 584 ,   2005 .   [ 21]   G .   C a i   a nd   Z .   T a n,   " C ha os   S yn c h r on i z a t i on   o f   a   N e w   C ha o t i c   S ys t e m   v i a   N on l i ne a r   c o nt r ol , "   J ou r na l   of   U n c e r t a i n   Sy s t e ms ,   vo l .   1 ,   no .   1 ,   pp .   235 240 ,   2007 .   [ 22]   M .   M .   A z i z   a nd   a n S .   F .   A l - A z z a w i ,   C ha o s   C ont r o l   a nd   S yn c hr oni z a t i on   o f   a   N o ve l   5 - D   H y pe r c ha ot i c   L o r e n z   S ys t e m   v i a   N on l i ne a r   C on t r o l ,   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   of   M o de r n   P h y s i c s   an A ppl i c at i on ,   vo l .   2 ,   no. 6,     pp.   11 0 - 1 15,   J a n   201 5.   [ 23]   M.   T.   Y a s s e n ,   " C on t r o l l i n g   C ha os   a nd   S y nc h r on i z a t i on   f o r   N e w   C ha ot i c   S ys t e m   U s i n g   L i ne a r   F e e db a c k   C ont r o l ,"  C haos   So l i t o ns   F r a c t al s ,   vo l .   2 6,   no .   3 ,   p p.   91 3 - 9 20 ,   2 005 .   [ 24]   S .   F .   A L - A z z a w i   a n d   M .   M .   A z i z ,   " S t r a t e g i e s   of   L i n e a r   F e e dba c k   C o nt r o l   a nd   I t s   C l a s s i f i c a t i on , "   T E L K O M N I K A   T e l e c om m un i c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol ,   vo l .   1 7,   no .   4,   pp .   193 1 - 1 940 ,   2019 .   [ 25]   M .   M .   A z i z . ,   S .   F .   A L - A z z a w i . ,   " S om e   P r ob l e m s   o f   F e e d ba c C ont r ol   S t r a t e gi e s   a nd   i t s   T r e a t m e n t , "   J ou r na l   o f   M a t he m a t i c s   R e s e a r c h ,   vo l .   9 ,   no .   1,   pp .   39 - 49 ,   2017 .   [ 26]   A .   O u a nn a s e t   a l . ,   " S yn c hr on i z a t i on   of   F r a c t i on a l   H yp e r c ha ot i c   R a bi n ov i c h   S y s t e m s   vi a   L i ne a r   a nd   N o nl i ne a r   C ont r ol   w i t h   a n   A pp l i c a t i o t S e c u r e   C o m m uni c a t i ons , "   I nt e r nat i ona l   J ou r na l   o f   C ont r o l ,   A u t om a t i o a nd   Sy s t e m s ,   vo l .   17 ,   pp .   2211 221 9,   20 19 .   [ 27]   J .   M .   H e   a n d   F .   Q .   C h e n ,   A   n e w   F r a c t i o na l   O r d e r   H y pe r c ha ot i c   R a b i nov i c h   S ys t e m   a nd   I t s   D yna m i c a l   B e ha v i o r s , "   I nt e r n at i ona l   J o ur na l   o f   N o n - L i ne ar   M e c han i c s ,   vo l .   9 7,   pp .   73 8 1,   20 17.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.