T E L K O M N I K A ,   V o l . 1 0 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 ,   p p .   1 9 9 ~ 2 1 0   I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   a c c r e d i t e d   b y   D G H E   ( D I K T I ) ,   D e c r e e   N o :   5 1 / D i k t i / K e p / 2 0 1 0           1 9 9       R e c e i v e d   J a n   9 ,   2 0 1 2 ;   R e v i s e d   A p r   6 th ,   2 0 1 2 ;   A c c e p t e d   A p r   1 6 th ,   2 0 1 2   O p t i m a l   P o w e r   F l o w   S o l u t i o n   o f   t h e   A l g e r i a n   E l e c t r i c a l   N e t w o r k   u s i n g   D i f f e r e n t i a l   E v o l u t i o n   A l g o r i t h m       L i n d a   S l i m a n i ,   T a r e k   B o u k t i r *   D e p a r t m e n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   Se t i f   U n i v e r s i t y ,   Al g e r i a   e - m a i l :   s l i m a n i _ b _ l i n d a @ y a h o o . f r ,   t a r e k . b o u k t i r @ e s r g r o u p s . o r g *       A b s t r a k   M a k a l a h   i n i   m e n y a j i k a n   a l g o r i t m a   e v o l u s i   d i f e r e n s i a l   ( D E)   s e b a g a i   s o l u s i   u n t u k   m a s a l a h   a l i r a n   d a y a   o p t i m a l   ( O PF )   p a d a   s i s t e m   d a y a .   T u j u a n   d a r i   s i s t e m   t e n a g a   l i s t r i k   a d a l a h   u n t u k   m e m b e r i k a n   d a y a   n y a t a   u n t u k   j u m l a h   t e r b e s a r   p e n g g u n a   s e t i a p   s a a t   p a d a   b i a y a   s e r e n d a h   m u n g k i n .   J a d i   t u j u a n n y a   a d a l a h   u n t u k   m e m i n i m a l k a n   b i a y a   b a h a n   b a k a r   t o t a l   d a r i   u n i t - u n i t   p e m b a n g k i t   d a n   j u g a   m e n j a g a   k i n e r j a   s i s t e m   d i t e r i m a   d a l a m   s i s i   b a t a s a n   k e l u a r a n   d a y a   r e a k t i f   p e m b a n g k i t ,   t e g a n g a n   b u s ,   p a r a m e t e r   k o m p e n s a t o r   s t a t i   VAR   ( SVC )   d a n   b e b a n   l e b i h   p a d a   j a l u r   t r a n s m i s i .   W a k t u   k o m p u t a s i   C PU   d a p a t   d i r e d u k s i   d e n g a n   m e n g u r a i k a n   m a s a l a h   k e   d a l a m   d u a   s u b - m a s a l a h .   Su b - m a s a l a h   p e r t a m a ,   m e m i n i m a l k a n   b i a y a   b a h a n   b a k a r   p e m b a n g k i t a n   d a n   s u b - m a s a l a h   k e d u a   a d a l a h   p e n y e l e s a i a n   d a y a   r e a k t i f   s e h i n g g a   t e g a n g a n   b u s   o p t i m a l   d a p a t   d i t e n t u k a n   d a n   m e r e d u k s i   k e r u g i a n   d e n g a n   m e n g e n d a l i k a n   p e r u b a h a n   k e r a n   d a r i   t r a n s f o r m a t o r   d a n   k o m p e n s a t o r   s t a t i s   VAR   ( SVC ) .   U n t u k   m e m v e r i f i k a s i   p e n d e k a t a n   y a n g   d i u s u l k a n   d a n   u n t u k   t u j u a n   p e r b a n d i n g a n ,   s i m u l a s i   p a d a   j a r i n g a n   A l j a z a i r   d e n g a n   1 1 4   b u s ,   1 7 5   c a b a n g   ( j a l u r   d a n   t r a n s f o r m e r )   d a n   1 5   p e m b a n g k i t .   H a s i l   y a n g   d i p e r o l e h   m e n u n j u k k a n   b a h w a   D a d a l a h   m u d a h   d i g u n a k a n ,   c e p a t ,   k u a t   d a n   m e r u p a k a n   t e k n i k   o p t i m a s i   y a n g   h a n d a l   d i b a n d i n g k a n   d e n g a n   m e t o d e   o p t i m a s i   g l o b a l   l a i n n y a   s e p e r t i   PSO   d a n   G A.     K a t a   k u n c i :   a l i r a n   d a y a   o p t i m a l ,   e v o l u s i   d i f e r e n s i a l ,   F AC T S,   j a r i n g a n   l i s t r i k   Al j a z a i r ,   l i s r i k   m u r a h       A b s t r a c t   T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   s o l u t i o n   o f   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   ( O P F )   p r o b l e m   o f   a   p o w e r   s y s t e m   v i a   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   ( D E)   a l g o r i t h m .   T h e   p u r p o s e   o f   a n   e l e c t r i c   p o w e r   s y s t e m   i s   t o   d e l i v e r   r e a l   p o w e r   t o   t h e   g r e a t e s t   n u m b e r   o f   u s e r s   a t   t h e   l o w e s t   p o s s i b l e   c o s t   a l l   t h e   t i m e .   So   t h e   o b j e c t i v e   i s   t o   m i n i m i z e   t h e   t o t a l   f u e l   c o s t   o f   t h e   g e n e r a t i n g   u n i t s   a n d   a l s o   m a i n t a i n i n g   a n   a c c e p t a b l e   s y s t e m   p e r f o r m a n c e   i n   t e r m s   o f   l i m i t s   o n   g e n e r a t o r   r e a c t i v e   p o w e r   o u t p u t s ,   b u s   v o l t a g e s ,   s t a t i c   VAR   c o m p e n s a t o r   ( SVC )   p a r a m e t e r s   a n d   o v e r l o a d   i n   t r a n s m i s s i o n   l i n e s .   C PU   t i m e s   c a n   b e   r e d u c e d   b y   d e c o m p o s i n g   t h e   p r o b l e m   i n   t w o   s u b p r o b l e m s ,   t h e   f i r s t   s u b p r o b l e m   m i n i m i z e   t h e   f u e l   c o s t   o f   g e n e r a t i o n   a n d   t h e   s e c o n d   s u b p r o b l e m   i s   a   r e a c t i v e   p o w e r   d i s p a t c h   s o   o p t i m u m   b u s   v o l t a g e s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a n d   r e d u c e   t h e   l o s s e s   b y   c o n t r o l l i n g   t a p   c h a n g e s   o f   t h e   t r a n s f o r m e r s   a n d   t h e   s t a t i c   VAR   c o m p e n s a t o r s   ( SVC ) .   T o   v e r i f y   t h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h   a n d   f o r   c o m p a r i s o n   p u r p o s e s ,   w e   p e r f o r m   s i m u l a t i o n s   o n   t h e   Al g e r i a n   n e t w o r k   w i t h   1 1 4   b u s e s ,   1 7 5   b r a n c h e s   ( l i n e s   a n d   t r a n s f o r m e r s )   a n d   1 5   g e n e r a t o r s .   T h e   o b t a i n e d   r e s u l t s   i n d i c a t e   t h a t   D i s   a n   e a s y   t o   u s e ,   f a s t ,   r o b u s t   a n d   p o w e r f u l   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e   c o m p a r e d   t o   t h e   o t h e r   g l o b a l   o p t i m i z a t i o n   m e t h o d s   s u c h   a s   PSO   a n d   G A.     K e y w o r d s :   e c o n o m i c   p o w e r ,   o p t i m a l   p o w e r   f l o w ,   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n ,   F AC T S ,   Al g e r i a n   n e t w o r k       1 .   I n t r o d u c t i o n   T h e   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   ( O P F )   c a n   b e   d e f i n e d   a s   a   t y p i c a l   f l e x i b l e   n o n l i n e a r   p r o g r a m m i n g   p r o b l e m   w i t h   m a n y   o b j e c t i v e s .   B e c a u s e   o f   t h e   i n c r e a s i n g   s c a l e   a n d   c o n s t r a i n t   n u m b e r   o f   e l e c t r i c   p o w e r   s y s t e m ,   t h e   O P F   h a s   b e e n   a   c o m p l i c a t e d   l a r g e - s c a l e   m a t h e m a t i c   p r o g r a m m i n g   p r o b l e m .   T h e   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   ( O P F )   c a l c u l a t i o n   o p t i m i z e s   t h e   s t a t i c   o p e r a t i n g   c o n d i t i o n   o f   a   p o w e r   g e n e r a t i o n - t r a n s m i s s i o n   s y s t e m .   T h e   m a i n   b e n e f i t s   o f   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   a r e   ( i )   t o   e n s u r e   s t a t i c   s e c u r i t y   o f   q u a l i t y   o f   s e r v i c e   b y   i m p o s i n g   l i m i t s   o n   g e n e r a t i o n - t r a n s m i s s i o n   s y s t e m s   o p e r a t i o n ,   ( i i )   t o   o p t i m i z e   r e a c t i v e - p o w e r / v o l t a g e   s c h e d u l i n g   a n d   ( i i i )   t o   i m p r o v e   e c o n o m y   o f   o p e r a t i o n   t h r o u g h   t h e   f u l l   u t i l i z a t i o n   o f   t h e   s y s t e m s   f e a s i b l e   o p e r a t i n g   r a n g e   a n d   b y   t h e   a c c u r a t e   c o o r d i n a t i o n   o f   t r a n s m i s s i o n   l o s s e s   i n   t h e   s c h e d u l i n g   p r o c e s s .   T h e   O P F   h a s   b e e n   u s u a l l y   c o n s i d e r e d   a s   t h e   m i n i m i z a t i o n   o f   a n   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   r e p r e s e n t i n g   t h e   g e n e r a t i o n   c o s t   a n d / o r   t h e   t r a n s m i s s i o n   l o s s .   T h e   c o n s t r a i n t s   i n v o l v e d   a r e   t h e   p h y s i c a l   l a w s   g o v e r n i n g   t h e   p o w e r   g e n e r a t i o n - t r a n s m i s s i o n   s y s t e m s   a n d   t h e   o p e r a t i n g   l i m i t a t i o n s   o f   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                          I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2   :     1 9 9     2 1 0   2 0 0       e q u i p m e n t .   T h e   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   h a s   b e e n   f r e q u e n t l y   s o l v e d   u s i n g   c l a s s i c a l   o p t i m i z a t i o n   m e t h o d s .   E f f e c t i v e   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   i s   l i m i t e d   b y   ( i )   t h e   h i g h   d i m e n s i o n a l i t y   o f   p o w e r   s y s t e m s   a n d   ( i i )   t h e   i n c o m p l e t e   d o m a i n   d e p e n d e n t   k n o w l e d g e   o f   p o w e r   s y s t e m   e n g i n e e r s   [ 1 - 3 ] .     I n   r e c e n t   y e a r s ,   e n e r g y ,   e n v i r o n m e n t ,   d e r e g u l a t i o n   o f   p o w e r   u t i l i t i e s   h a v e   d e l a y e d   t h e   c o n s t r u c t i o n   o f   b o t h   g e n e r a t i o n   f a c i l i t i e s   a n d   n e w   t r a n s m i s s i o n   l i n e s .   B e t t e r   u t i l i z a t i o n   o f   e x i s t i n g   p o w e r   s y s t e m   c a p a c i t i e s   b y   i n s t a l l i n g   f l e x i b l e   A C   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m s   F A C T S   d e v i c e s   h a s   b e c o m e   i m p e r a t i v e .   T h e   a p p l i c a t i o n   o f   f l e x i b l e   a l t e r n a t i v e   c u r r e n t   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m s   ( F A C T S )   i n   e l e c t r i c   p o w e r   s y s t e m ,   s u c h   a s   t h y r i s t o r   c o n t r o l l e d   s e r i e s   c o m p e n s a t i o n s   ( T C S C ) ,   t h y r i s t o r   c o n t r o l l e d   p h a s e   a n g l e   r e g u l a t o r s   ( T C P R ) ,   u n i f i e d   p o w e r   f l o w   c o n t r o l l e r s   ( U P F C )   a n d   s t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r   ( S V C ) ,   i s   i n t e n d e d   f o r   t h e   c o n t r o l   o f   p o w e r   f l o w ,   i m p r o v e m e n t   o f   s t a b i l i t y ,   v o l t a g e   p r o f i l e   m a n a g e m e n t ,   p o w e r   f a c t o r   c o r r e c t i o n ,   l o s s   m i n i m i z a t i o n ,   a n d   r e d u c e d   c o s t   o f   p r o d u c t i o n .   T h e   O P F   b e c o m e s   e v e n   m o r e   c o m p l e x   w h e n   F A C T S   d e v i c e s   a r e   t a k e n   i n t o   c o n s i d e r a t i o n   a s   c o n t r o l   v a r i a b l e s .   I t   c a n   b e   s e e n   t h a t   t h e   g e n e r a l i s e d   O P F   i s   a   n o n - l i n e a r ,   n o - c o n v e x ,   l a r g e - s c a l e ,   s t a t i c   o p t i m i z a t i o n   p r o b l e m   w i t h   b o t h   c o n t i n u o u s   a n d   d i s c r e t e   c o n t r o l   v a r i a b l e s .   A p p l i c a t i o n s   o f   c o n v e n t i o n a l   o p t i m i s a t i o n   t e c h n i q u e s   s u c h   a s   t h e   g r a d i e n t - b a s e d   a l g o r i t h m s   a r e   n o t   g o o d   e n o u g h   t o   s o l v e   t h i s   p r o b l e m .   B e c a u s e   i t   d e p e n d s   o n   t h e   e x i s t e n c e   o f   t h e   f i r s t   a n d   t h e   s e c o n d   d e r i v a t i v e s   o f   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   a n d   o n   t h e   w e l l   c o m p u t i n g   o f   t h e s e   d e r i v a t i v e   i n   l a r g e   s e a r c h   s p a c e .   A   n e w   f l o a t i n g   p o i n t   e n c o d e d   e v o l u t i o n a r y   a l g o r i t h m   f o r   g l o b a l   o p t i m i z a t i o n   a n d   n a m e d   i t   d i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   ( D E )   w a s   p r o p o s e d   b y   S t o r n   a n d   P r i c e   [ 4 ] ,   a n d   s i n c e   t h e n   t h e   D E   a l g o r i t h m   h a s   b e e n   u s e d   i n   m a n y   p r a c t i c a l   c a s e s .   T h e   o r i g i n a l   D E   w a s   m o d i f i e d ,   a n d   m a n y   n e w   v e r s i o n s   p r o p o s e d .   G e n e r a l l y   D E   i s   c h a r a c t e r i z e d   a s   a   s i m p l e   h e u r i s t i c   o f   w e l l - b a l a n c e d   m e c h a n i s m   w i t h   f l e x i b i l i t y   t o   e n h a n c e   a n d   a d a p t   t o   b o t h   g l o b a l   a n d   l o c a l   e x p l o r a t i o n   a b i l i t i e s .   T h e   e f f e c t i v e n e s s ,   e f f i c i e n c y   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   D E   a l g o r i t h m   a r e   s e n s i t i v e   t o   t h e   s e t t i n g s   o f   t h e   c o n t r o l   p a r a m e t e r s .   T h e   b e s t   s e t t i n g s   f o r   t h e   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   d e p e n d   o n   t h e   f u n c t i o n   a n d   r e q u i r e m e n t s   f o r   c o n s u m p t i o n   t i m e   a n d   a c c u r a c y .   I t   h a s   g a i n e d   a   l o t   o f   a t t e n t i o n   i n   v a r i o u s   p o w e r   s y s t e m   a p p l i c a t i o n s .   I t   i s   a   p o p u l a t i o n   b a s e d   m e t h o d   a n d   a n   i m p r o v e d   v e r s i o n   o f   G A   u s i n g   s i m i l a r   o p e r a t o r s :   m u t a t i o n ,   c r o s s o v e r   a n d   s e l e c t i o n .   T h e   m a i n   d i f f e r e n c e   i n   c o n s t r u c t i n g   b e t t e r   s o l u t i o n s   i s   t h a t   G A   r e l i e s   o n   c r o s s o v e r   w h i l e   D E   r e l i e s   o n   m u t a t i o n   o p e r a t i o n .   T h e   m u t a t i o n   o p e r a t i o n   i s   u s e d   a s   a   s e a r c h   m e c h a n i s m ,   w h i c h   i s   b a s e d   o n   t h e   d i f f e r e n c e s   o f   r a n d o m l y   s a m p l e d   p a i r s   o f   s o l u t i o n s   i n   t h e   p o p u l a t i o n .   T h e   a l g o r i t h m   u s e s   s e l e c t i o n   o p e r a t i o n   t o   d i r e c t   t h e   s e a r c h   t o w a r d s   t h e   p r o s p e c t i v e   r e g i o n s   i n   t h e   s e a r c h   s p a c e   [ 5 ] .     T h i s   p a p e r   p r o p o s e s   a   s i m p l e   a p p r o a c h   b a s e d   o n   D E   a l g o r i t h m   i m p l e m e n t e d   i n   C + +   B u i l d e r   t o   m i n i m i z e   t h e   t o t a l   f u e l   c o s t   o f   t h e   t h e r m a l   g e n e r a t i n g   u n i t s   a n d   a l s o   m a i n t a i n i n g   a n   a c c e p t a b l e   s y s t e m   p e r f o r m a n c e   i n   t e r m s   o f   l i m i t s   o n   g e n e r a t o r   r e a c t i v e   p o w e r   o u t p u t s ,   b u s   v o l t a g e s ,   s t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r   ( S V C )   p a r a m e t e r s   a n d   o v e r l o a d   i n   t r a n s m i s s i o n   l i n e s .   C P U   t i m e s   c a n   b e   r e d u c e d   b y   d e c o m p o s i n g   t h e   p r o b l e m   i n   t w o   s u b p r o b l e m s ,   t h e   f i r s t   s u b p r o b l e m   m i n i m i z e   t h e   f u e l   c o s t   o f   g e n e r a t i o n   a n d   t h e   s e c o n d   s u b p r o b l e m   i s   a   r e a c t i v e   p o w e r   d i s p a t c h   s o   o p t i m u m   b u s   v o l t a g e s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a n d   r e d u c e   t h e   l o s s e s   b y   c o n t r o l l i n g   t a p   r a t i o   o f   t h e   t r a n s f o r m e r s   a n d   t h e   s t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r s   ( S V C ) .     T o   v e r i f y   t h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h   a n d   f o r   c o m p a r i s o n   p u r p o s e s ,   w e   p e r f o r m   s i m u l a t i o n s   o n   t h e   A l g e r i a n   n e t w o r k   w i t h   1 1 4   b u s e s ,   1 7 5   b r a n c h e s   ( l i n e s   a n d   t r a n s f o r m e r s )   a n d   1 5   g e n e r a t o r s .   T h e   o b t a i n e d   r e s u l t s   i n d i c a t e   t h a t   E D   i s   a n   e a s y   t o   u s e ,   f a s t ,   r o b u s t   a n d   p o w e r f u l   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e   c o m p a r e d   t o   o t h e r   g l o b a l   o p t i m i z a t i o n   m e t h o d s   s u c h   a s   P S O ,   a n d   G A .       2 .   P r o b l e m   F o r m u l a t i o n   I n   O P F ,   t h e   g e n e r a t o r s   a r e   m o d e l l e d   a s   v o l t a g e   c o n t r o l l e d   b u s e s   a n d   l o a d s   a s   l o a d   b u s e s .   O n e   g e n e r a t o r   s e r v e s   a s   t h e   s l a c k   b u s .     T h e   s t a n d a r d   O P F   p r o b l e m   c a n   b e   f o r m u l a t e d   a s   a   c o n s t r a i n e d   o p t i m i s a t i o n   p r o b l e m   a s   f o l l o w s :     m i n ( , ) . . ( , ) 0 ( , ) 0 f x u s t g x u h x u = £                     ( 1 )     w h e r e   f ( x , u )   i s   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n ,   g ( x , u )   r e p r e s e n t s   t h e   e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s ,   h ( x , u )   r e p r e s e n t s   t h e   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s ,   x   i s   t h e   v e c t o r   o f   t h e   d e p e n d e n t   v a r i a b l e s   s u c h   u s   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       O p t i m a l   P o w e r   F l o w   S o l u t i o n   o f   t h e   A l g e r i a n   E l e c t r i c a l   N e t w o r k   u s i n g   .   ( L i n d a   S l i m a n i )   2 0 1   v o l t a g e   a n d   a n g l e   o f   l o a d   b u s e s   a n d   u   i s   t h e   v e c t o r   o f   t h e   c o n t r o l   v a r i a b l e s   s u c h   a s   g e n e r a t o r   r e a l   p o w e r   P g ,   g e n e r a t o r   v o l t a g e s   V g ,   t r a n s f o r m e r   t a p   s e t t i n g   T ,     a n d   t h e   r e a c t a n c e   o f   d y n a m i c   s h u n t   c a p a c i t o r s / r e a c t o r s   S V C B .   T h e r e f o r e ,   u   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s       [ ] , , , T g g S V C u P V t B =                 ( 2 )     2 . 1 .   O b j e c t i v e   F u n c t i o n   T h e   O p t i m a l   p o w e r   f l o w   p r o b l e m   w i t h   c o n s i d e r a t i o n   o f   F A C T S   d e v i c e s   c a n   b e   d e c o m p o s e d   i n   t w o   s u b - p r o b l e m s   w h i c h   a r e   t h e   E c o n o m i c   p o w e r   D i s p a t c h   a n d   t h e   R e a c t i v e   P o w e r   F l o w   c o m b i n e d   w i t h   F A C T S   d e v i c e s .     2 . 1 . 1 .   E c o n o m i c   O b j e c t i v e   F u n c t i o n   T h e   e s s e n c e   o f   t h e   o p t i m a l   p o w e r   f l o w   p r o b l e m   r e s i d e s   i n   r e d u c i n g   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   a n d   s i m u l t a n e o u s l y   s a t i s f y i n g   t h e   l o a d   f l o w   e q u a t i o n s   ( e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s )   w i t h o u t   v i o l a t i n g   t h e   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   T h e   m o s t   c o m m o n l y   u s e d   o b j e c t i v e   i n   t h e   O P F   p r o b l e m   f o r m u l a t i o n   i s   t h e   m i n i m i s a t i o n   o f   t h e   t o t a l   o p e r a t i o n   c o s t   o f   t h e   f u e l   c o n s u m e d   f o r   p r o d u c i n g   e l e c t r i c   p o w e r   w i t h i n   a   s c h e d u l e   t i m e   i n t e r v a l   ( o n e   h o u r ) .   T h e   i n d i v i d u a l   c o s t s   o f   e a c h   g e n e r a t i n g   u n i t   a r e   a s s u m e d   t o   b e   f u n c t i o n ,   o n l y ,   o f   r e a l   p o w e r   g e n e r a t i o n   a n d   a r e   r e p r e s e n t e d   b y   q u a d r a t i c   c u r v e s   o f   s e c o n d   o r d e r .   T h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   f o r   t h e   e n t i r e   p o w e r   s y s t e m   c a n   t h e n   b e   e x p r e s s e d   a s   t h e   s u m   o f   t h e   q u a d r a t i c   c o s t   m o d e l   a t   e a c h   g e n e r a t o r   [ 6 ] ,   [ 7 ] .     ( ) ( ) 2 1 n g ec i i i i i i F x P g P g a b g = = + +   $ / h                   ( 3 )     w h e r e   i a ,   i b   a n d   i g   a r e   t h e   c o s t   c o e f f i c i e n t s   o f   g e n e r a t o r   a t   b u s   i .     2 . 1 . 1 . 1 .   A c t i v e   P o w e r   T r a n s m i s s i o n   L o s s e s   a n d   V o l t a g e   D e v i a t i o n   O b j e c t i v e   F u n c t i o n     T h e   o b j e c t i v e   i s   t o   m i n i m i s e   t h e   a c t i v e   p o w e r   l o s s e s   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   a n d / o r   t h e   v o l t a g e   d e v i a t i o n s   a t   t h e   l o a d   b u s e s   i n v o l v i n g   r e a c t i v e   p o w e r   c o n t r o l s ,   w h i l e   f i x i n g   a c t i v e   p o w e r   c o n t r o l s .     T h e   t a p   c h a n g e r s   o f   t h e   t r a n s f o r m e r s   a n d   S V C   c a n   c o n t r o l   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   f l o w   s o   o p t i m u m   b u s   v o l t a g e s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a n d   r e d u c e   t h e   l o s s e s .   T h e   s h u n t   F A C T S   d e v i c e   s h o u l d   b e   p l a c e d   o n   t h e   m o s t   s e n s i t i v e   b u s e s .   T h e   i n s e r t i o n   o f   S V C   e n h a n c e s   t h e   v o l t a g e s   a t   v a r i o u s   b u s e s ,   a n d   r e d u c t i o n   p o w e r   l o s s   o f   t h e   s y s t e m .   F o r   S V C ,   i t   c a n   p r o v i d e   r e a c t i v e   p o w e r   a n d   v o l t a g e   s u p p o r t .     A s   a   r e s u l t ,   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   g e n e r a t i o n   o f   S V C   b e c o m e s   o n e   o f   t h e   c o n t r o l   v a r i a b l e s .   O n e   o f   t h e   i m p o r t a n t   i n d i c e s   o f   p o w e r   s y s t e m   s e c u r i t y   i s   t h e   b u s   v o l t a g e   m a g n i t u d e .   T h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e   d e v i a t i o n   f r o m   t h e   d e s i r e d   v a l u e   a t   e a c h   l o a d   b u s   m u s t   b e   a s   s m a l l   a s   p o s s i b l e .   ( i )   T h e   a c t i v e   p o w e r   t r a n s m i s s i o n   l o s s e s   ( l o s s P )   i s   g i v e n   b y :     ( ) 2 2 1 2 c o s l N l o s s k k i j k i j i j k P g t V V t V V q = = + -                 ( 4 )     w h e r e   l N   i s   n u m b e r   o f   b r a n c h   o n   t h e   n e t w o r k ,   t   e q u a l   = 1   i f   t h e   b r a n c h   i s   a   t r a n s m i s s i o n   l i n e   a n d   t   e q u a l   t h e   t a p   r a t i o   v a l u e   i f   t h e   b r a n c h   i s   a   t r a n s f o r m e r ,     k   i s   a   b r a n c h   w i t h   c o n d u c t a n c e   g   c o n n e c t i n g   t h e   i t h     b u s   t o   t h e   j t h   b u s .   ( i i )   T h e   d e v i a t i o n   o f   v o l t a g e   i s   g i v e n   a s   f o l l o w s :       1 P Q N d e s k k k V V V = D = -                     ( 5 )     w h e r e   P Q N   i s   t h e   n u m b e r   o f   l o a d   b u s e s   a n d   d e s k V   i s   t h e   d e s i r e d   o r   t a r g e t   v a l u e   o f   t h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e   a t   l o a d   b u s   k .     ( i i i )   T h e   t o t a l   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   o f   O P F   p r o b l e m .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                          I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2   :     1 9 9     2 1 0   2 0 2       T h e   e q u a t i o n   o f   t h e   t o t a l   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   u s i n g   i n t o   a c c o u n t   t h e   E c o n o m i c   P o w e r   D i s p a t c h   ( E D )   o b j e c t i v e   f u n c t i o n ;   a c t i v e   p o w e r   t r a n s m i s s i o n   l o s s e s   ( l o s s P ) ;   a n d   t h e   s u m   o f   t h e   n o r m a l i z e d   v i o l a t i o n s   o f   v o l t a g e s   ( V i F )   i s   a s   f o l l o w :     E D l l o s s V V f F P F w w = + +                   ( 6 )     w h e r e   ( ) ( ) l i m m a x m i n 1 P Q N V P Q j P Q j P Q j P Q j j F V V V V = = - -                 l w   a n d   V w   c o n s t a n t s   a r e   r e l a t e d   t o   l i n e   l o s s   a n d   v o l t a g e   d e v i a t i o n .   T h e s e   c o n s t a n t s   w e r e   f o u n d   a s   a   r e s u l t   o f   t r i a l s .     2 . 1 . 2 .   T y p e s   o f   E q u a l i t y   C o n s t r a i n t s   W h i l e   m i n i m i s i n g   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n ,   i t   i s   n e c e s s a r y   t o   m a k e   s u r e   t h a t   t h e   g e n e r a t i o n   s t i l l   s u p p l i e s   t h e   l o a d   d e m a n d s   p l u s   l o s s e s   i n   t r a n s m i s s i o n   l i n e s .   T h e   e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   a r e   t h e   p o w e r   f l o w   e q u a t i o n s   d e s c r i b i n g   b u s   i n j e c t e d   a c t i v e   a n d   r e a c t i v e   m a y   b e   d e f i n e d   a s   f o l l o w s :     ( ) 1 c o s s i n n b i i i i j i j i j i j i j j P P g P d V V g b q q = = - = + å           ( 7 )     ( ) 1 s i n c o s n b i i i i j i j i j i j i j j Q Q g Q d V V g b q q = = - = - å           ( 8 )     w h e r e   i P g , i Q g   a r e   t h e   a c t i v e   a n d   r e a c t i v e   p o w e r   g e n e r a t i o n   a t   b u s   i ;   i P d ,   i Q d   a r e   t h e   r e a l   a n d   r e a c t i v e   p o w e r   d e m a n d s   a t   b u s   i ;   i V ,   j V ,   t h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e   a t   b u s   i , j ,   r e s p e c t i v e l y ; i j q   i s   t h e   a d m i t t a n c e   a n g l e ,   i j b   a n d   i j g   a r e   t h e   r e a l   a n d   i m a g i n a r y   p a r t   o f   t h e   a d m i t t a n c e   a n d   n b   i s   t h e   t o t a l   n u m b e r   o f   b u s e s .   T h e   e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   a r e   s a t i s f i e d   b y   r u n n i n g   N e w t o n - R a p h s o n   a l g o r i t h m .       2 . 1 . 3 .   T y p e s   o f   I n e q u a l i t y   C o n s t r a i n t s   T h e   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   o f   t h e   O P F   r e f l e c t   t h e   l i m i t s   o n   p h y s i c a l   d e v i c e s   i n   t h e   p o w e r   s y s t e m   a s   w e l l   a s   t h e   l i m i t s   c r e a t e d   t o   e n s u r e   s y s t e m   s e c u r i t y .   T h e   m o s t   u s u a l   t y p e s   o f   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   a r e   u p p e r   b u s   v o l t a g e   l i m i t s   a t   g e n e r a t i o n s   a n d   l o a d   b u s e s ,   l o w e r   b u s   v o l t a g e   l i m i t s   a t   l o a d   b u s e s ,   v a r .   l i m i t s   a t   g e n e r a t i o n   b u s e s ,   m a x i m u m   a c t i v e   p o w e r   l i m i t s   c o r r e s p o n d i n g   t o   l o w e r   l i m i t s   a t   s o m e   g e n e r a t o r s ,   m a x i m u m   l i n e   l o a d i n g   l i m i t s   a n d   l i m i t s   o n   t r a n s f o r m e r   t a p   s e t t i n g .   T h e   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   o n   t h e   p r o b l e m   v a r i a b l e s   c o n s i d e r e d   i n c l u d e :   ( 1 )   u p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d s   o n   t h e   a c t i v e   g e n e r a t i o n s   a t   g e n e r a t o r   b u s e s   P g i m i n £   P g i   £   P g i m a x   ,   i =   1 ,   n g ,   ( 2 )   u p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d s   o n   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   g e n e r a t i o n s   a t   g e n e r a t o r   b u s e s   Q g i m i n £ Q g i £ Q g i m a x   ,   i   =   1 ,   n g ,   ( 3 )   u p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d s   o n   r e a c t i v e   p o w e r   i n j e c t i o n   a t   b u s e s   w i t h   V A R   c o m p e n s a t i o n   Q c i m i n £   Q c i £   Q c i m a x ,   i = 1 ,   n c ,   ( 4 )   U p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d s   o n   t h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e   a t   t h e   a l l   b u s e s .   V i m i n £   V i   £   V i m a x   ,   i = 1 ,   n b ,   ( 5 )   u p p e r   a n d   l o w e r   b o u n d s   o n   t h e   b u s   v o l t a g e   p h a s e   a n g l e s   q i m i n £   q i   £   q i m a x   ,   i   =   1 ,   n b ;   a n d   ( 6 )   f o r   s e c u r e   o p e r a t i o n ,   t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e   l o a d i n g   S l   i s   r e s t r i c t e d   b y   i t s   u p p e r   l i m i t   a s : S l i £   S l i m a x ,   i   =   1 ,   n l ,   w h e r e   S l i ,   S l i m a x   a r e   s t a n d   f o r   t h e   p o w e r   o f   t r a n s m i s s i o n   l i n e   a n d   l i m i t   o f   t r a n s f e r   c a p a c i t y   o f   t r a n s m i s s i o n   l i n e   a n d     n l   i s   t h e   n u m b e r   o f   t r a n s m i s s i o n   l i n e s .   T h e   c o n s t r a i n t s   o n   t h e   s t a t e   v a r i a b l e s   c a n   b e   t a k e n   i n t o   c o n s i d e r a t i o n   b y   a d d i n g   p e n a l t y   f u n c t i o n   t o   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n .     2 . 1 . 4 .   A p p l i c a t i o n   o f   F A C T S   i n   E l e c t r i c   P o w e r   S y s t e m     T h e   p u r p o s e   o f   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   i s   t o   p o o l   p o w e r   p l a n t s   a n d   l o a d   c e n t r e s   i n   o r d e r   t o   s u p p l y   t h e   l o a d   a t   a   r e q u i r e d   r e l i a b i l i t y   a n d   m a x i m u m   e f f i c i e n c y   a t   a   l o w e r   c o s t .   A s   p o w e r   t r a n s f e r   g r o w ,   t h e   p o w e r   s y s t e m   c a n   b e c o m e   i n c r e a s i n g l y   m o r e   d i f f i c u l t   t o   o p e r a t e ,   a n d   t h e   s y s t e m   b e c o m e s   m o r e   i n s e c u r e   w i t h   u n s c h e d u l e d   p o w e r   f l o w s   a n d   h i g h e r   l o s s e s .   I n   t h i s   c o n t e x t ,   a   c o n c e p t   c a l l e d   a   f l e x i b l e   a l t e r n a t i v e   c u r r e n t   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m   w a s   i n t r o d u c e d .   T h e   c o n c e p t i o n   o f   f l e x i b l e   a c   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m s   ( F A C T S )   a s   a   t o t a l   n e t w o r k   c o n t r o l   p h i l o s o p h y   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       O p t i m a l   P o w e r   F l o w   S o l u t i o n   o f   t h e   A l g e r i a n   E l e c t r i c a l   N e t w o r k   u s i n g   .   ( L i n d a   S l i m a n i )   2 0 3   w a s   f i r s t   i n t r o d u c e d   b y   N .   G .   H i n g o r a n i   [ 8 ]   f r o m   t h e   E l e c t r i c   p o w e r   r e s e a r c h   i n s t i t u t e   ( E P R I )   i n   t h e   U S A   i n   1 9 8 8 ,   a l t h o u g h   t h e   p o w e r   e l e c t r o n i c   c o n t r o l l e d   d e v i c e s   h a d   b e e n   u s e d   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   f o r   m a n y   y e a r s   b e f o r e   t h a t .     T h e   a p p l i c a t i o n   o f   F A C T S   i n   e l e c t r i c   p o w e r   s y s t e m   i s   i n t e n d e d   f o r   t h e   c o n t r o l   o f   p o w e r   f l o w ,   i m p r o v e m e n t   o f   s t a b i l i t y ,   v o l t a g e   p r o f i l e   m a n a g e m e n t ,   p o w e r   f a c t o r   c o r r e c t i o n ,   a n d   l o s s   m i n i m i z a t i o n   [ 9 - 1 2 ] .   P o w e r   f l o w   t h r o u g h   a n   a c   l i n e   i s   a   f u n c t i o n   o f   p h a s e   a n g l e ,   l i n e   a n d   v o l t a g e s   a n d   l i n e   i m p e d a n c e .   T h e   c o n s e q u e n c e s   o f   l a c k   c o n t r o l   o v e r   a n y   o f   t h e s e   v a r i a b l e s   a r e   p r o b l e m s   w i t h   s t a b i l i t y ,   u n d e s i r a b l e   p o w e r   f l o w s ,   u n d e s i r a b l e   V a r   f l o w s ,   h i g h e r   l o s s e s ,   h i g h   o r   l e s s   v o l t a g e   a n d   a m o n g   t h e   o t h e r s ;   w i t h   F A C T S   d e v i c e s   w e   c a n   c o n t r o l   t h e   p h a s e   a n g l e ,   t h e   m a g n i t u d e   a t   c h o s e n   b u s   a n d   l i n e   i m p e d a n c e .   T h y r i s t o r   C o n t r o l l e d   S e r i e s   C a p a c i t o r s   ( T C S C )   a n d   S t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r s   ( S V C )   a r e   t h e   m o s t   p o p u l a r   d e v i c e s   o f   t h e   F A C T S   [ 1 3 ] .   T h e   m a i n   f u n c t i o n a l i t y   o f   t h e   S V C   i s   t o   r e g u l a t e   t h e   v o l t a g e   a t   a   c h o s e n   b u s   b y   c o n t r o l l i n g   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   i n j e c t i o n   a t   t h e   l o c a t i o n .   M a i n t a i n i n g   t h e   r a t e d   v o l t a g e   l e v e l s   i s   i m p o r t a n t   f o r   p r o p e r   o p e r a t i o n   a n d   u t i l i z a t i o n   o f   l o a d s .   U n d e r   v o l t a g e   c a u s e s   d e r e g u l a t i o n   i n   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   l o a d s   s u c h   a s   i n d u c t i o n   m o t o r s ,   l i g h t   b u l b s ,   e t c .   W h e r e a s   o v e r   v o l t a g e   c a u s e s   m a g n e t i c   s a t u r a t i o n   a n d   r e s u l t a n t   h a r m o n i c   g e n e r a t i o n ,   a s   w e l l   a s   e q u i p m e n t   f a i l u r e s   d u e   t o   i n s u l a t i o n   b r e a k d o w n .   T h e s e   d e v i c e s   a r e   c h a r a c t e r i z e d   b y   r a p i d   r e s p o n s e ,   w i d e   o p e r a t i o n a l   r a n g e   a n d   h i g h   r e l i a b i l i t y .     2 . 1 . 5 .   M o d e l i n g   o f   S t a t i c   V A R   C o m p e n s a t o r   T h y r i s t o r   c o n t r o l l e d   S t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r s   ( S V C s )   w e r e   d e v e l o p e d   i n   t h e   1 9 7 0 s   t o   a c t   a s   c o m p e n s a t i o n   f o r   a r c   f u r n a c e s ,   t h e s e   d e v i c e s   a r e   o n e   o f   t h e   e a r l i e s t   t y p e s   o f   F l e x i b l e   A C   T r a n s m i s s i o n   S y s t e m   ( F A C T S )   c o n t r o l l e r s .   T h e   t y p i c a l   s h u n t   c o n n e c t e d   S V C   c o n s i s t s   o f   t h y r i s t o r   c o n t r o l l e d   r e a c t o r s   a n d   t h y r i s t o r   s w i t c h e d   c a p a c i t o r s .   T h e   f u l l   c o n t i n u o u s   r a n g e   o f   t h e   S V C   c a n   b e   a c c e s s e d   b y   c o o r d i n a t i n g   t h e   s w i t c h i n g   o f   t h e   d i s c r e t e   c a p a c i t o r   b l o c k   a n d   t h e   c o n t i n u o u s   r e a c t o r   c o n t r o l s   [ 1 4 ] .   T h e   S V C   i s   u s u a l l y   o p e r a t e d   i n   a   v o l t a g e   r e g u l a t i n g   m o d e ,   w h i c h   a d j u s t s   i t s   s u s c e p t a n c e   t o   m a i n t a i n   t h e   l o c a l   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   v o l t a g e   t o   a   v o l t a g e   s e t p o i n t   v a l u e .   T h e   S V C   c a n   a l s o   o p e r a t e   i n   a   c o n s t a n t   M V A r   m o d e ,   w h i c h   m a i n t a i n s   a   f i x e d   v a l u e   o f   s u s c e p t a n c e   u n d e r   s t e a d y   s t a t e   c o n d i t i o n s .   T h e   e f f e c t   o f   t h e   S V C   c o n t r o l l e r   o n   t h e   e c o n o m i c   o p e r a t i o n   a n d   v o l t a g e   s t a b i l i t y   o f   t h e   n e t w o r k   i s   t h e   p r i n c i p l e   m o t i v a t i o n   b e h i n d   i n c o r p o r a t i n g   t h e   S V C   i n t o   v a r i o u s   f o r m u l a t i o n s .   I n   t h i s   s t u d y ,   w h e n   t h e   S V C   i s   i n s t a l l e d   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e ,   i t   c a n   b e   t r e a t e d   a s   a   P V   b u s   w i t h   t h e   g e n e r a t i o n   o f   r e a l   p o w e r   a s   0 .   T h e   a l g e b r a i c   e q u a t i o n   ( 9 )   g i v e s   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   i n j e c t e d   a t   t h e   S V C   b u s   i .   T h e   r e a c t a n c e   s v c B   i s   l o c k e d   i f   o n e   o f   i t s   l i m i t s   i s   r e a c h e d .       2 / s v c Q B V =                   ( 9 )     2 . 2 .   A p p l i c a t i o n   o f   D E   A l g o r i t h m   o n   O P F   P r o b l e m   D E   i s   a   d i r e c t   s e a r c h   m e t h o d   u s i n g   o p e r a t o r s :   m u t a t i o n ,   c r o s s o v e r   a n d   s e l e c t i o n .   T h e   a l g o r i t h m   r a n d o m l y   c h o o s e s   a   p o p u l a t i o n   v e c t o r   o f   f i x e d   s i z e .   D u r i n g   e a c h   i t e r a t i o n   o f   a l g o r i t h m   a   n e w   p o p u l a t i o n   o f   s a m e   s i z e   i s   g e n e r a t e d .   I t   u s e s   m u t a t i o n   o p e r a t i o n   a s   a   s e a r c h   m e c h a n i s m .   T h i s   o p e r a t i o n   g e n e r a t e s   n e w   p a r a m e t e r   v e c t o r   b y   a d d i n g   a   w e i g h t e d   d i f f e r e n c e   v e c t o r   b e t w e e n   t w o   p o p u l a t i o n   m e m b e r s   t o   a   t h i r d   m e m b e r .   I n   o r d e r   t o   i n c r e a s e   t h e   d i v e r s i t y   o f   t h e   p a r a m e t e r   v e c t o r s ,   t h e   c r o s s o v e r   o p e r a t i o n   p r o d u c e s   a   t r i a l   v e c t o r   w h i c h   i s   a   c o m b i n a t i o n   o f   a   m u t a n t   v e c t o r   a n d   a   p a r e n t   v e c t o r .   T h e n   t h e   s e l e c t i o n   o p e r a t i o n   d i r e c t s   t h e   s e a r c h   t o w a r d   t h e   p r o s p e c t i v e   r e g i o n s   i n   t h e   s e a r c h   s p a c e .   I n   a d d i t i o n ,   t h e   b e s t   p a r a m e t e r   v e c t o r   i s   e v a l u a t e d   f o r   e v e r y   g e n e r a t i o n   i n   o r d e r   t o   k e e p   t r a c k   o f   t h e   p r o g r e s s   t h a t   i s   m a d e   d u r i n g   t h e   m i n i m i z a t i o n   p r o c e s s .   T h e   a b o v e   i t e r a t i v e   p r o c e s s   o f   m u t a t i o n ,   c r o s s o v e r   a n d   s e l e c t i o n   o n   t h e   p o p u l a t i o n   w i l l   c o n t i n u e   u n t i l   a   u s e r - s p e c i f i e d   s t o p p i n g   c r i t e r i o n ,   n o r m a l l y ,   t h e   m a x i m u m   n u m b e r   o f   g e n e r a t i o n s   o r   t h e   m a x i m u m   n u m b e r   o f   f u n c t i o n   e v a l u a t i o n s   a l l o w e d   i s   m e t .   T h e   p r o c e s s   i s   a s s u m e d   t o   h a v e   c o n v e r g e d   i f   t h e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   b e s t   f u n c t i o n   v a l u e s   i n   t h e   n e w   a n d   o l d   p o p u l a t i o n ,   a n d   t h e   d i s t a n c e   b e t w e e n   t h e   n e w   b e s t   p o i n t   a n d   t h e   o l d   b e s t   p o i n t   a r e   l e s s   t h a n   t h e   s p e c i f i e d   r e s p e c t i v e   t o l e r a n c e s .   T h e   o t h e r   t y p e   o f   s t o p p i n g   c r i t e r i o n   c o u l d   b e   i f   t h e   g l o b a l   m i n i m u m   o f   t h e   p r o b l e m   i s   k n o w   a - p r i o r i .   T h e n   D E   w i l l   b e   t e r m i n a t e d   i f   t h e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   b e s t   f u n c t i o n   v a l u e   i n   t h e   n e w   p o p u l a t i o n   a n d   t h e   k n o w n   g l o b a l   m i n i m u m   i s   l e s s   t h a n   t h e   u s e r   d e f i n e d   t o l e r a n c e   l e v e l   [ 1 5 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                          I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2   :     1 9 9     2 1 0   2 0 4         I n i t i a l i s a t i o n   o f   V e c t o r s   D i f f e r e n c e   v e c t o r   b a s e d   m u t a t i o n   C r o s s o v e r /   R e c o m b i n a t i o n     S e l e c t i o n   D E   i s   a   s i m p l e   r e a l   p a r a m e t e r   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m .   I t   w o r k s   t h r o u g h   a   s i m p l e   c y c l e   o f   s t a g e s ,   p r e s e n t e d   i n   F i g u r e   1 .                   F i g u r e   1 .   M a i n   s t a g e s   o f   t h e   D E   a l g o r i t h m     2 . 2 . 1     D i f f e r e n t i a l   E v o l u t i o n   o p t i m i z a t i o n   p r o c e s s   D i f f e r e n t i a l   E v o l u t i o n   u s e s   a   p o p u l a t i o n   P   o f   s i z e   N P   t h a t   e v o l v e s   o v e r   G   g e n e r a t i o n s   t o   r e a c h   t h e   o p t i m a l   s o l u t i o n .   E a c h   i n d i v i d u a l   X i   i s   a   v e c t o r   t h a t   c o n t a i n s   a s   m a n y   p a r a m e t e r s   a s   t h e   p r o b l e m   d e c i s i o n   v a r i a b l e s   D .       ( ) ( ) ( ) 1 , . . . . . . . . , G G G N p P X X é ù = ë û                 ( 1 0 )     ( ) ( ) ( ) 1 , , , . . . . . . . . , 1 , , T G G G p i i D i X X X i N é ù = = ë û K           ( 1 1 )     T h e   p o p u l a t i o n   s i z e   N P   i s   a n   a l g o r i t h m   c o n t r o l   p a r a m e t e r   s e l e c t e d   b y   t h e   u s e r   w h i c h   r e m a i n s   c o n s t a n t   t h r o u g h o u t   t h e   o p t i m i z a t i o n   p r o c e s s .   T h e   o p t i m i z a t i o n   p r o c e s s   i n   D E   i s   c a r r i e d   o u t   u s i n g   t h e   t h r e e   b a s i c   o p e r a t i o n s :   m u t a t i o n ,   c r o s s o v e r   a n d   s e l e c t i o n .         2 . 2 . 1 . 1 .   I n i t i a l i z a t i o n   A t   t h e   e a r l y   s t a g e   o f   D E   s e a r c h ,   i . e . ,   t   =   0 ,   t h e   a l g o r i t h m   s t a r t s   b y   c r e a t i n g   a n   i n i t i a l   p o p u l a t i o n   o f   N P   v e c t o r s .     T h e   p r o b l e m   i n d e p e n d e n t   v a r i a b l e s   a r e   i n i t i a l i z e d   s o m e w h e r e   i n   t h e i r   f e a s i b l e   n u m e r i c a l   r a n g e   i n   e v e r y   v e c t o r   a s   f o l l o w s .       ( ) ( 0 ) m i n m a x m i n , ( 0 , 1 ) j j j j i X X r a n d X X = + × -             ( 1 2 )     w h e r e   1 , . . . . . , P i N =   a n d   1 , . . . . . , j D = ;   m i n j X   a n d   m a x j X   a r e   t h e   l o w e r   a n d   u p p e r   b o u n d s   o f   t h e   j t h   d e c i s i o n   p a r a m e t e r ;   a n d   ( 0 , 1 ) r a n d i s   a   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   r a n d o m   n u m b e r   w i t h i n   [ 0 ,   1 ]   g e n e r a t e d   f o r   e a c h   v a l u e   o f   j .   , ( 0 ) j i X   i s   t h e   j t h   p a r a m e t e r   o f   t h e   i t h   i n d i v i d u a l   o f   t h e   i n i t i a l   p o p u l a t i o n .     2 . 2 . 1 . 2 .   M u t a t i o n     T h e   m u t a t i o n   o p e r a t o r   c r e a t e s   m u t a n t   v e c t o r s   ( ) ' i X   b y   p e r t u r b i n g   a   r a n d o m l y   s e l e c t e d   v e c t o r   X a       w i t h   t h e   d i f f e r e n c e   o f   t w o   o t h e r   r a n d o m l y   s e l e c t e d   v e c t o r s   X b   a n d   X c     ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G a c i b X X F X X = + - 1 , . . . , P i N =                 ( 1 3 )     w h e r e   X a     X b   a n d     X c     a r e   r a n d o m l y   c h o s e n   v e c t o r s   a m o n g   t h e   N p   p o p u l a t i o n ,   a n d   a b c i ¹ ¹ ¹ .   T h e   s c a l i n g   c o n s t a n t   F   i s   a n   a l g o r i t h m   c o n t r o l   p a r a m e t e r   u s e d   t o   a d j u s t   t h e   p e r t u r b a t i o n   s i z e   i n   t h e   m u t a t i o n   o p e r a t o r   a n d   t o   i m p r o v e   a l g o r i t h m   c o n v e r g e n c e .   T y p i c a l   v a l u e   o f   F   i s   i n   t h e   r a n g e   o f   0 . 4 1 . 0 .     2 . 2 . 1 . 3 .   C r o s s o v e r   T w o   t y p e s   o f   c r o s s o v e r   s c h e m e s   c a n   b e   u s e d   b y   D E   a l g o r i t h m .   T h e s e   a r e   e x p o n e n t i a l   c r o s s o v e r   a n d   b i n o m i a l   c r o s s o v e r .   A l t h o u g h   t h e   e x p o n e n t i a l   c r o s s o v e r   w a s   p r e s e n t e d   i n   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       O p t i m a l   P o w e r   F l o w   S o l u t i o n   o f   t h e   A l g e r i a n   E l e c t r i c a l   N e t w o r k   u s i n g   .   ( L i n d a   S l i m a n i )   2 0 5   o r i g i n a l   w o r k   o f   S t o r n   a n d   P r i c e   [ 1 6 ] ,   t h e   b i n o m i a l   v a r i a n t   i s   m u c h   m o r e   u s e d   i n   r e c e n t   a p p l i c a t i o n s .   I n   e x p o n e n t i a l   t y p e ,   t h e   c r o s s o v e r   o p e r a t i o n   g e n e r a t e s   t r a i l   v e c t o r s   ( ) ' ' i X   b y   m i x i n g   t h e   p a r a m e t e r s   o f   t h e   m u t a n t   v e c t o r s   ( ) ' i X   w i t h   t h e   t a r g e t   v e c t o r   ( ) i X     a c c o r d i n g   t o   a   s e l e c t e d   p r o b a b i l i t y   d i s t r i b u t i o n ,     ( ) = £ = o t h e r w i s e X q j o r C i f X X G i j R j G i j G i j , , ) ( , ' ) ( ' , " , h                                 ( 1 4 )     w h e r e   1 , . . . . . , P i N = a n d 1 , . . . . . , j D = ;   q   i s   a   r a n d o m l y   c h o s e n   i n d e x   { } 1 , . . . . . , P N Î   t h a t   g u a r a n t e e s   t h a t   t h e   t r a i l   v e c t o r   g e t s   a t   l e a s t   o n e   p a r a m e t e r   f r o m   t h e   m u t a n t   v e c t o r ; ' j h   i s   a   u n i f o r m l y   d i s t r i b u t e d   r a n d o m   n u m b e r   w i t h i n   [ 0 ,   1 ]   g e n e r a t e d   f o r   e a c h   v a l u e   o f   j . T h e   c r o s s o v e r   c o n s t a n t   C R   i s   a n   a l g o r i t h m   p a r a m e t e r   t h a t   c o n t r o l s   t h e   d i v e r s i t y   o f   t h e   p o p u l a t i o n   a n d   a i d s   t h e   a l g o r i t h m   t o   e s c a p e   f r o m   l o c a l   m i n i m a . ( ) ' ( ) , , , G G j i j i X X a n d   ' ' ( ) , G j i X   a r e   t h e   j t h     p a r a m e t e r   o f   t h e   i t h   t a r g e t   v e c t o r ,   m u t a n t   v e c t o r   a n d   t r a i l   v e c t o r   a t   g e n e r a t i o n   G ,   r e s p e c t i v e l y .     2 . 2 . 1 . 4 .   S e l e c t i o n   T o   k e e p   t h e   p o p u l a t i o n   s i z e   c o n s t a n t   o v e r   s u b s e q u e n t   g e n e r a t i o n s ,   t h e   s e l e c t i o n   p r o c e s s   i s   c a r r i e d   o u t   t o   d e t e r m i n e   w h i c h   o n e   o f   t h e   c h i l d   a n d   t h e   p a r e n t   w i l l   s u r v i v e   i n   t h e   n e x t   g e n e r a t i o n .   T h e   s e l e c t i o n   o p e r a t i o n   f o r m s   t h e   p o p u l a t i o n   b y   c h o o s i n g   b e t w e e n   t h e   t r a i l   v e c t o r s   a n d   t h e i r   p r e d e c e s s o r s   ( t a r g e t   v e c t o r s )   t h o s e   i n d i v i d u a l s   t h a t   p r e s e n t   a   b e t t e r   f i t n e s s   o r   a r e   m o r e   o p t i m a l   a c c o r d i n g   t o   ( 1 8 ) .     ( ) ( ) P G i G i G i G i G i N i ot he r w i s e X X f X f i f X X ,......, 1 , ) ( ) ( ) " ( ) " ( ) ! ( = £ = +                                 ( 1 5 )     T h i s   p r o c e s s   i s   r e p e a t e d   f o r   s e v e r a l   g e n e r a t i o n s   a l l o w i n g   i n d i v i d u a l s   t o   i m p r o v e   t h e i r   f i t n e s s   a s   t h e y   e x p l o r e   t h e   s o l u t i o n   s p a c e   i n   s e a r c h   o f   o p t i m a l   v a l u e s .   D E   h a s   t h r e e   e s s e n t i a l   c o n t r o l   p a r a m e t e r s :   t h e   s c a l i n g   f a c t o r   ( F ) ,   t h e   c r o s s o v e r   c o n s t a n t   ( C R )   a n d   t h e   p o p u l a t i o n   s i z e   ( N P ) .   T h e   s c a l i n g   f a c t o r   i s   a   v a l u e   i n   t h e   r a n g e   [ 0 ,   2 ]   t h a t   c o n t r o l s   t h e   a m o u n t   o f   p e r t u r b a t i o n   i n   t h e   m u t a t i o n   p r o c e s s .   T h e   c r o s s o v e r   c o n s t a n t   i s   a   v a l u e   i n   t h e   r a n g e   [ 0 , 1 ]   t h a t   c o n t r o l s   t h e   d i v e r s i t y   o f   t h e   p o p u l a t i o n .   T h e   p o p u l a t i o n   s i z e   d e t e r m i n e s   t h e   n u m b e r   o f   i n d i v i d u a l s   i n   t h e   p o p u l a t i o n   a n d   p r o v i d e s   t h e   a l g o r i t h m   e n o u g h   d i v e r s i t y   t o   s e a r c h   t h e   s o l u t i o n   s p a c e .   P r o p e r   s e l e c t i o n   o f   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   i s   v e r y   i m p o r t a n t   f o r   a l g o r i t h m   s u c c e s s   a n d   p e r f o r m a n c e .   T h e   o p t i m a l   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   a r e   p r o b l e m   s p e c i f i c .   T h e r e f o r e ,   t h e   s e t   o f   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   t h a t   b e s t   f i t   e a c h   p r o b l e m   h a v e   t o   b e   c h o s e n   c a r e f u l l y .   T h e   m o s t   c o m m o n   m e t h o d   u s e d   t o   s e l e c t   t h e   c o n t r o l   p a r a m e t e r   i s   p a r a m e t e r   t u n i n g .   P a r a m e t e r   t u n i n g   a d j u s t s   t h e   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   t h r o u g h   t e s t i n g   u n t i l   t h e   b e s t   s e t t i n g s   a r e   d e t e r m i n e d .   T y p i c a l l y   t h e   f o l l o w i n g   r a n g e s   a r e   g o o d   i n i t i a l   e s t i m a t e s :   [ 1 5 ] :   F =   [ 0 . 5 ,   0 . 6 ] ,   C R =   [ 0 . 7 5 ,   0 . 9 0 ]   a n d   N P =   [ 3 D ,   8 D ] .   I n   o r d e r   t o   a v o i d   p r e m a t u r e   c o n v e r g e n c e ,   F   o r   N P   s h o u l d   b e   i n c r e a s e d ,   o r   C R   s h o u l d   b e   d e c r e a s e d .   L a r g e r   v a l u e s   o f   F   r e s u l t   i n   l a r g e r   p e r t u r b a t i o n   a n d   b e t t e r   p r o b a b i l i t i e s   t o   e s c a p e   f r o m   l o c a l   o p t i m a ,   w h i l e   l o w e r   C R   p r e s e r v e s   m o r e   d i v e r s i t y   i n   t h e   p o p u l a t i o n   t h u s   a v o i d i n g   l o c a l   o p t i m a .     2 . 2 . 2 .     D E   I m p l e m e n t a t i o n   f o r   O P F   W h i l e   a p p l y i n g   D E   t o   s o l v e   t h e   O P F   p r o b l e m ,   t h e   f o l l o w i n g   i s s u e s   n e e d   t o   b e   a d d r e s s e d :   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   p r o b l e m   v a r i a b l e s   a n d   f o r m a t i o n   o f   t h e   e v a l u a t i o n   f u n c t i o n .   T h e s e   t w o   i s s u e s   a r e   d e s c r i b e d   i n   t h i s   s e c t i o n .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                          I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2   :     1 9 9     2 1 0   2 0 6       2 . 2 . 2 . 1 .   P r o b l e m   R e p r e s e n t a t i o n   E a c h   v e c t o r   i n   t h e   D E   p o p u l a t i o n   r e p r e s e n t s   a   c a n d i d a t e   s o l u t i o n   o f   t h e   g i v e n   p r o b l e m .   T h e   e l e m e n t s   o f   t h a t   s o l u t i o n   c o n s i s t   o f   a l l   t h e   o p t i m i z a t i o n   v a r i a b l e s   o f   t h e   p r o b l e m .   F o r   t h e   c a s e   o f   m i n i m i z a t i o n   o f   c o s t   t h e   g e n e r a t o r   a c t i v e   p o w e r s   a r e   t h e   o p t i m i z a t i o n   v a r i a b l e s .   F o r   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   p l a n n i n g   p r o b l e m   u n d e r   c o n s i d e r a t i o n ,   g e n e r a t o r   t e r m i n a l   v o l t a g e s   ( ) g i V   t h e   t r a n s f o r m e r   t a p   p o s i t i o n s   ( t k )   a n d   t h e   C a p a c i t o r   s e t t i n g s   ( Q C i )   a r e   t h e   o p t i m i z a t i o n   v a r i a b l e s .   G e n e r a t o r   b u s   v o l t a g e   i s   r e p r e s e n t e d   a s   f l o a t i n g   p o i n t   n u m b e r s ,   w h e r e a s   t h e   t r a n s f o r m e r   t a p   p o s i t i o n   a n d   r e a c t i v e   p o w e r   g e n e r a t i o n   o f   c a p a c i t o r   a r e   r e p r e s e n t e d   a s   i n t e g e r s .       2 . 2 . 2 . 2 .   E v a l u a t i o n   F u n c t i o n   D i f f e r e n t i a l   e v o l u t i o n   s e a r c h e s   f o r   t h e   o p t i m a l   s o l u t i o n   b y   m a x i m i z i n g   a   g i v e n   f i t n e s s   f u n c t i o n ,   a n d   t h e r e f o r e   a n   e v a l u a t i o n   f u n c t i o n   w h i c h   p r o v i d e s   a   m e a s u r e   o f   t h e   q u a l i t y   o f   t h e   p r o b l e m   s o l u t i o n   m u s t   b e   p r o v i d e d .   T h e   o b j e c t i v e   i s   t o   m i n i m i z e   t h e   t o t a l   c o s t   w h i l e   s a t i s f y i n g   a l l   c o n s t r a i n t s .   T h e   e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   a r e   s a t i s f i e d   b y   r u n n i n g   t h e   N e w t o n   R a p h s o n   p o w e r   f l o w   a l g o r i t h m .   T h e   i n e q u a l i t y   c o n s t r a i n t s   o n   t h e   c o n t r o l   v a r i a b l e s   a r e   t a k e n   i n t o   a c c o u n t   i n   t h e   p r o b l e m   r e p r e s e n t a t i o n   i t s e l f ,   a n d   t h e   c o n s t r a i n t s   o n   t h e   s t a t e   v a r i a b l e s   a r e   t a k e n   i n t o   c o n s i d e r a t i o n   b y   a d d i n g   a   q u a d r a t i c   p e n a l t y   f u n c t i o n   t o   t h e   o b j e c t i v e   f u n c t i o n .   W i t h   t h e   i n c l u s i o n   o f   p e n a l t y   f u n c t i o n   t h e   n e w   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   b e c o m e s ,     1 1 1 1 P Q N N N j j j j j j M i n F f S P V P Q P L P t = = = = + + + +                                 ( 1 6 )     H e r e ,   S P ,   V P j   , Q P j   a n d   L P j   a r e   t h e   p e n a l t y   t e r m s   f o r   t h e   r e f e r e n c e   b u s   g e n e r a t o r   a c t i v e   p o w e r   l i m i t   v i o l a t i o n ,   l o a d   b u s   v o l t a g e   l i m i t   v i o l a t i o n ;   r e a c t i v e   p o w e r   g e n e r a t i o n   l i m i t   v i o l a t i o n   a n d   l i n e   f l o w   l i m i t   v i o l a t i o n   r e s p e c t i v e l y .   T h e s e   q u a n t i t i e s   a r e   d e f i n e d   b y   t h e   f o l l o w i n g   e q u a t i o n s :     S P   =   ( ) ( ) 2 m a x m a x m i n 2 m i n 0 s s s s s s s s s s K P P i f P P K P P i f P P o t h e r w i s e - > - <                                   ( 1 7 )     V P j     =   m a x 2 m a x m i n 2 m i n ( ) ( ) 0 v j j j j v j j j j K V V i f V V K V V i f V V o t h e r w i s e - > - <                                 ( 1 8 )     Q P j   =   m a x 2 m a x m i n 2 m i n ( ) ( ) 0 q j j j j q j j j j K Q Q i f Q Q K Q Q i f Q Q o t h e r w i s e - > - <                                   ( 1 9 )     L P j   =   m a x 2 m a x ( ) 0 l j j j j K L L i f L L o t h e r w i s e - >                                   ( 2 0 )     w h e r e ,   K s ,   K v K q   a n d   K l   a r e   t h e   p e n a l t y   f a c t o r s .   S i n c e   D E   m a x i m i z e s   t h e   f i t n e s s   f u n c t i o n ,   t h e   m i n i m i z a t i o n   o b j e c t i v e   f u n c t i o n   f   i s   t r a n s f o r m e d   t o   a   f i t n e s s   f u n c t i o n   t o   b e   m a x i m i z e d   a s ,     F i t n e s s   =   k F                                         ( 2 1 )     w h e r e   k   i s   a   l a r g e   c o n s t a n t .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L K O M N I K A     I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0       O p t i m a l   P o w e r   F l o w   S o l u t i o n   o f   t h e   A l g e r i a n   E l e c t r i c a l   N e t w o r k   u s i n g   .   ( L i n d a   S l i m a n i )   2 0 7   3 .   A p p l i c a t i o n   S t u d y   T h e   O P F   u s i n g   D E   m e t h o d   h a s   b e e n   d e v e l o p e d   a n d   i m p l e m e n t e d   b y   t h e   u s e   o f   C + + B u i l d e r 2 0 0 9   s o f t w a r e ,   t e s t e d   w i t h   I n t e l   P e n t i u m   D u a l   C P U   2 2 2 0 ,   2 . 4   G H z ,   2 G B   R A M .   C o n s i s t e n t l y   a c c e p t a b l e   r e s u l t s   w e r e   o b s e r v e d .   I n i t i a l l y ,   s e v e r a l   r u n s   a r e   d o n e   w i t h   d i f f e r e n t   v a l u e s   o f   D E   k e y   p a r a m e t e r s   s u c h   a s   d i f f e r e n t i a t i o n   ( o r   m u t a t i o n )   c o n s t a n t   F ,   c r o s s o v e r   c o n s t a n t   C R ,   s i z e   o f   p o p u l a t i o n   N P ,   a n d   m a x i m u m   n u m b e r   o f   g e n e r a t i o n s   G E N   w h i c h   i s   u s e d   h e r e   a s   a   s t o p p i n g   c r i t e r i a .   I n   t h i s   p a p e r ,   t h e   f o l l o w i n g   v a l u e s   a r e   s e l e c t e d   a s :   F = 0 . 9 :   C R = 0 . 9 ;   N P = 3 0 ;   G E N = 5 0 .   T h e   p r o p o s e d   m e t h o d   i s   a p p l i e d   t o   t w o   t e s t   s y s t e m s .   T h e   D E - O P F   h a s   a l s o   b e e n   t e s t e d   o n   t h e   A l g e r i a n   n e t w o r k .   I t   c o n s i s t s   o f   1 1 4   b u s e s ,   1 5   g e n e r a t o r s ,   1 5 9   t r a n s m i s s i o n   l i n e s   a n d   1 6   t r a n s f o r m e r s   ( F i g u r e   2 ) .           F i g u r e   2 .     T h e   t o p o l o g i e s   o f   t h e   A l g e r i a n   n e t w o r k       T h e   T a b l e   1   s h o w s   t h e   t e c h n i c a l   a n d   e c o n o m i c   p a r a m e t e r s   o f   1 5   t e n   g e n e r a t o r s   o f   t h e   A l g e r i a n   e l e c t r i c a l   n e t w o r k .   K n o w i n g   t h a t   t h e   g e n e r a t o r   o f   t h e   b u s   o f   N ° = 0 4   i s   t h e   s l a c k   b u s .   T h e   v o l t a g e   o f   g e n e r a t o r   b u s e s   a n d   l o a d   b u s e s   i n   t h e   s y s t e m   a r e   b e t w e e n   [ 1 ,   1 . 1 ]   a n d   [ 0 . 9 0 ,   1 . 1 ] ,   r e s p e c t i v e l y .   I n   t h i s   t e s t ,   i n   o r d e r   t o   r e d u c e   t h e   C P U   t i m e   b e c a u s e   t h e   A l g e r i a n   n e t w o r k   i s   r e l a t i v e l y   l a r g e ,   t h e   O P F   p r o b l e m   i s   d e c o m p o s e d   i n   t w o   s u b p r o b l e m s ,   t h e   f i r s t   s u b p r o b l e m   m i n i m i z e   t h e   f u e l   c o s t   o f   g e n e r a t i o n   a n d   e n v i r o n m e n t a l   p o l l u t i o n   a n d   t h e   s e c o n d   s u b p r o b l e m   i s   a   r e a c t i v e   p o w e r   d i s p a t c h   s o   o p t i m u m   b u s   v o l t a g e s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a n d   r e d u c e   t h e   l o s s e s   b y   c o n t r o l l i n g   g e n e r a t o r   v o l t a g e s ,   t a p   r a t i o   o f   t h e   t r a n s f o r m e r s   a n d   t h e   s t a t i c   V A R   c o m p e n s a t o r s   ( S V C ) .   T h e   c o m p a r i s o n s   o f   t h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   t h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h   D E ,   w i t h   t h o s e   f o u n d   b y   G A   a n d   P S O   a l g o r i t h m s   a r e   r e p o r t e d   i n   t h e   T a b l e   2 .     I n   t h i s   c a s e   w e   m i n i m i z e   t h e   f u e l   c o s t   g e n e r a t i o n   u s i n g   i n t o   a c c o u n t   t h e   c o n t r o l   v e c t o r   c o m p o s e d   o n l y   o f   t h e   a c t i v e   p o w e r s   o f   t h e   g e n e r a t o r s .   T h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   w i t h   t h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h   a r e   b e t t e r   t h a n   t h o s e   o b t a i n e d   b y   P S O   a n d   a r e   v e r y   c o m p a r a b l e   t o   t h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   G A .   T h e   D E   g i v e s   a   m o r e   i m p o r t a n t   p r o f i t   i n   f u e l   c o s t   o f   1 9 2 0 3 , 3 4 $ / h   c o m p a r e d   t o   t h e   r e s u l t   o b t a i n e d   f r o m   P S O   ( 1 9 2 3 5   $ / h )   a n d   a r e   e q u a l   t o   t h e   r e s u l t s   o f   G A .   T h e   o p t i m u m   v a l u e   h a s   b e e n   o b t a i n e d   a t   a   c o m p a r a b l e   t i m e   ( 7 0   s e c )   c o m p a r e d   t o   t h e   e x e c u t i o n   t i m e   o f   P S O   ( 7 5   s e c )   w i t h   2 5 0   i t e r a t i o n s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                          I S S N :   1 6 9 3 - 6 9 3 0   T E L K O M N I K A     V o l .   1 0 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 2   :     1 9 9     2 1 0   2 0 8       1 9 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 2 4 0 0 0 2 5 0 0 0 2 6 0 0 0 1 2 6 5 1 7 6 1 0 1 1 2 6 1 5 1 1 7 6 2 0 1 2 2 6 g e n e r a t i o n F u e l   C o s t   ( $ h r ) W o r s t   S o l u t i o n A v e r a g e   S o l u t i o n B e s t   S o l u t i o n   0 . 9 6 0 . 9 8 1 1 . 0 2 1 . 0 4 1 . 0 6 1 . 0 8 1 . 1 1 . 1 2 4 5 1 1 1 5 1 7 1 9 2 2 5 2 8 0 8 3 9 8 1 0 0 1 0 1 1 0 9 1 1 1 V o l t a g e T a b l e   1 .   P o w e r   g e n e r a t i o n   l i m i t s   a n d   c o s t   c o e f f i c i e n t s   f o r   A l g e r i a n   n e t w o r k   B u s   N u m b e r   P m i n   [ M W ]   P m a x   [ M W ]   a   [ $ / h r ]   b   [ $ / M W h r ]   c   [ $ / M W 2 h r ]   4   1 3 5 . 0 0 0 0   1 3 5 0   0   1 . 5 0 0 0   0 . 0 0 8 5   5   1 3 5 . 0 0 0 0   1 3 5 0   0   1 . 5 0 0 0   0 . 0 0 8 5   1 1   1 0 . 0 0 0 0   1 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   1 5   3 0 . 0 0 0 0   3 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   1 7   1 3 5 . 0 0 0 0   1 3 5 0   0   1 . 5 0 0 0   0 . 0 0 8 5   1 9   3 4 . 5 0 0 0   3 4 5   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   5 2   3 4 . 5 0 0 0   3 4 5   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   2 2   3 4 . 5 0 0 0   3 4 5   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   8 0   3 4 . 5 0 0 0   3 4 5   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   8 3   3 0 . 0 0 0 0   3 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   9 8   3 0 . 0 0 0 0   3 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   1 0 0   6 0 . 0 0 0 0   6 0 0   0   2 . 0 0 0 0   0 . 0 0 3 0   1 0 1   2 0 . 0 0 0 0   2 0 0   0   2 . 0 0 0 0   0 . 0 0 3 0   1 0 9   1 0 . 0 0 0 0   1 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0   1 1 1   1 0 . 0 0 0 0   1 0 0   0   2 . 5 0 0 0   0 . 0 1 7 0       T a b e l   2 .   C o m p a r i s o n   o f   t h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   g l o b a l   m e t h o d s   o f   1 1 4   A l g e r i a n   e l e c t r i c a l   n e t w o r k     ( M W )   P m i n   [ M W ]   A G   P S O   D E   P m a x   [ M W ]   P g 4 )   1 3 5 . 0   5 1 5 . 1 1   5 1 5 . 8 8 2 5   4 6 2 . 3 9 0 8   1 3 5 0   P g 5   1 3 5 . 0   2 4 1 . 9   4 4 1 . 4 1 1 1   4 5 9 . 5 5 8 9   1 3 5 0   P g 1 1   1 0 . 0   9 9 . 9   1 0 0 . 0 0 0 0   9 9 . 9 4 3 1   1 0 0   P g 1 5   3 0 . 0   1 3 5 . 0 7   1 8 6 . 9 0 5 9   1 9 2 . 5 1 9 6   3 0 0   P g 1 7   1 3 5 . 0   6 7 4 . 0 4   4 4 9 . 1 4 0 1   4 5 3 . 0 1 4 2   1 3 5 0   P g 1 9   3 4 . 5   1 6 3 . 7 6   2 0 6 . 6 3 6 2   1 9 6 . 6 5 6 9   3 4 5   P g 5 2   3 4 . 5   2 1 1 . 1 6   1 9 0 . 3 1 0 5   1 8 9 . 0 2 3 9   3 4 5   P g 2 2   3 4 . 5   2 7 7 . 0 6   1 7 7 . 8 6 8 4   1 9 3 . 9 3 7 2   3 4 5   P g 8 0   3 4 . 5   2 2 8 . 3 7   2 2 4 . 2 7 3 4   1 9 2 . 1 2 1 5   3 4 5   P g 8 3   3 0 . 0   1 8 2 . 4 9   1 8 8 . 7 0 7 5   1 8 8 . 1 2 8 3   3 0 0   P g 9 8   3 0 . 0   1 5 3 . 9 5   1 9 2 . 8 8 1 9   1 8 9 . 0 8 4 7   3 0 0   P g 1 0 0 )   6 0 . 0   5 9 8 . 4 1   6 0 0 . 0 0 0 0   5 9 9 . 9 7 5 2   6 0 0   P g 1 0 1   2 0 . 0   1 9 7 . 5 4   2 0 0 . 0 0 0 0   1 9 9 . 9 7 0 3   2 0 0   P g 1 0 9   1 0 . 0   9 8 . 1 1   9 9 . 7 9 9 7   9 9 . 9 9 0 9   1 0 0   P g 1 1 1   1 0 . 0   3 9 . 4 6   1 0 0 . 0 0 0 0   9 9 . 9 4 1 5   1 0 0   P l o s s     8 9 . 3 4 5   8 7 . 9 0 5 2   8 9 . 2 5 7 0     C o s t [ $ / h r ]     1 9 2 0 3   1 9 2 3 5   1 9 2 0 3 . 3 4     t i m e   ( s e c )     2 9 0   7 0   7 5                                         F i g u r e   3 .   C o n v e r g e n c e   o f   D E - b a s e d   O P F   s o l u t i o n s   a l g o r i t h m   f o r   t h e   A l g e r i a n   n e t w o r k       T a b l e   3 .   C o m p a r i s o n   o f   t h e   r e s u l t s   o b t a i n e d   b y   D E   w i t h   &   w i t h o u t   r e g e l a t i o n   o f   t a p   c h a n g e     a n d   S V C   c o n t r o l     D E   ( w / o )   T a p   &   S V C   c o n t r o l   D E   w i t h   T a p   & S V C   c o n t r o l   P g 4 ( M W )   4 6 2 . 3 9 0 8   4 3 4 . 6 8   P l o s s ( M W )   8 9 . 2 5 7 0   6 1 . 5 5 0   C o s t [ $ / h r ]   1 9 2 0 3 . 3 4   1 8 9 5 0 . 5 1 4                                 F i g u r e   4 .     O p t i m a l   v a l u e s   o f   v o l t a g e s   o f   g e n e r a t o r s   o f   1 1 4   A l g e r i a n   e l e c t r i c a l   n e t w o r k     b y   t h e   D E - b a s e d   O P F   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.