I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E C E)   Vo l.  6 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 6 ,   p p .   3 0 6 0 ~ 3 0 6 7   I SS N:  2 0 8 8 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ec e. v 6 i 6 . 1 1 5 1 1          3060       J o ur na l ho m ep a g e :   h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JE C E   So ft w a re Re lia bility Usin g  SP RT:  Burr Ty pe III   Pr o cess  Mo del       CH .   S m it ha 1 ,   R.   Sa t y a   P ra s a d 2 ,   R.   K ira n K u m a r 3   1 De p a rtme n o f   Co m p u ter S c ien c e ,   Krish n a   Un iv e rsity ,   A n d h ra   P r a d e sh .   I n d ia   2, 3 CS E,   A c h a ry a   Na g a rju n a   Un iv e rsit y ,   A n d h ra   P ra d e sh ,   I n d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   1 1 ,   2 0 1 6   R ev i s ed   A u g   1 8 ,   2 0 1 6   A cc ep ted   Sep   1 ,   2 0 1 6     In c re a se d   d e p e n d e n c e   o n   so f tw a re   s y ste m e li c it e d   th e   a ss e ss m e n o f   th e ir  re li a b il it y ,   a   c ru c ial  tas k   in   so f t w a r e   d e v e lo p m e n t.   Eff e c ti v e   to o ls  a n d   m e c h a n is m a re   re q u ired   t o   f a c il it a te  th e   a ss e ss m e n o f   so f t w a re   re li a b il it y .   Clas sic a a p p ro a c h e li k e   h y p o th e sis  tes ti n g   a re   sig n if ica n tl y   ti m e   c o n su m in g   a th e   c o n c lu sio n   c a n   o n ly   b e   d ra w n   a f t e c o ll e c ti n g   h u g e   a m o u n ts  o f   d a ta.  S tatisti c a m e th o d   su c h   a S e q u e n ti a A n a l y sis  c a n   b e   a p p li e d   to   a rriv e   a a   d e c isio n   q u ick ly .   T h is  p a p e im p lem e n ted   S e q u e n ti a P r o b a b il it y   Ra ti o   T e st   (S P RT f o Bu rr  Ty p e   III  m o d e b a se d   o n   ti m e   d o m a in   d a ta.  F o t h is,   p a ra m e ters   we re   e sti m a t e d   u sin g   M a x i m u m   L i k e li h o o d   Esti m a ti o n   to   a p p ly   S P RT   o n   f iv e   re a ti m e   so f t w a r e   f a il u re   d a tas e ts  b o rro w e d   f ro m   d i ff e re n so f t w a re   p ro jec ts.   T h e   re su lt e x e m p li fy   th a th e   a d o p te d   m o d e h a g iv e n   a n   a c c e p tan c e   d e c isio n   f o th e   u se d   d a tas e ts.     K ey w o r d :   B u r r   ty p I I I   m o d el   Ml  esti m atio n   So f t w ar f a ilu r d ata   So f t w ar r eliab ilit y     T im d o m ai n   d ata   Co p y rig h ©   2 0 1 6   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e .     Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   C H.   S m it h C h o w d ar y ,     Dep ar t m en t o f   C o m p u ter   Scie n ce ,   P . B . Sid d h ar th C o lle g o f   A r t s   &   Scie n ce   P G. C e n tr e,   Mo g h alr aj p u r a m ,   Vij a y a w ad a,     An d h r P r ad esh - 5 2 0 0 1 0 ,   I n d i a.   E m ail:  s m i th ac s c@ g m ail. co m       1.   I NT RO D UCT I O N   So f t w ar r eliab ilit y   i s   p r o b ab ilit y   o f   f au l f r ee   o p er atio n s   p r o v id ed   b y   t h s o f t w ar p r o d u ct  u n d er   co n s id er atio n   o v er   s p ec if ied   p er io d   o f   tim i n   s p ec if ied   o p er atio n al  en v ir o n m e n [ 1 ] .   A   g o o d   r eliab ilit y   m o d el  ca n   p r ed ict  s o f t w ar r eliab ilit y   ac tio n   ac cu r atel y ,   an d   th is   is   o f   g r ea i m p o r ta n ce   t o   s o f t w ar r eso u r ce   allo ca tio n   an d   s o f t w ar m ar k et   d ec is io n   m a k in g   [ 2 ] .   Sin c 1 9 7 0 s ,   r esear ch   o n   s o f t w ar r eliab ilit y   m o d el  d o m ai n   g r ea tl y   i m p r o v ed ,   m a n y   m o d el s   h av e   b ee n   p u t   in to   p r ac tice,   an d   s o f t w ar r eliab ili t y   h as   s tep p ed   i n to   en g i n ee r i n g   s tag f r o m   co n ce p tu al  s ta g [ 3 ] .   C o n s id er in g   t esti n g   e f f o r in   r eliab ilit y   m o d elin g   p r o ce s s   m a y     f u r t h er   i m p r o v t h f it tin g   an d   p r ed ictio n   r es u lts   o f   s o f t w ar r eliab ilit y   g r o w t h   m o d els  ( SR G Ms)   [ 4 ] .   Ho w e v er ,   f ac i n g   i n cr ea s i n g   c o m p le x it y   o f   s o f t w ar an d   t h eir   d ev elo p m en t   co u r s e,   r elia b ilit y   m o d els  s till   ap p ea r   to   h av e   in h er e n t s h o r tco m in g s   [ 5 ] .   So f t w ar r eliab ilit y   as s ess m e n n ee d s   ef f ec ti v to o ls / m ec h an is m s .   I n   clas s ical  H y p o t h es is   T esti n g ,   o n ce   th e n tire   d ata  h as  b ee n   co llected ,   th an al y s i s   is   d o n an d   co n clu s io n s   ar d r a w n .   I f   class ica test i n g   s tr ateg ie s   ar u s ed   ( n o   u s a g test i n g ) ,   th ap p licatio n   o f   s o f t w ar r eliab ilit y   g r o w t h   m o d els  m a y   b d if f ic u lt   an d   r eliab ilit y   p r ed ictio n s   ca n   b m is lead i n g .   Ho w e v er   s tati s tical  m et h o d s   ca n   b s u cc ess f u ll y   ap p lied   to   th e   f ail u r d ata  [ 6 ] .   Seq u en tial  an al y s is   i s   m e th o d   o f   s tat is tical  in f er e n ce   w h er n u m b er   o f   o b s er v atio n s   r eq u ir ed   b y   t h p r o ce d u r is   n o d eter m i n ed   i n   ad v a n ce   o f   th e   ex p er i m en t.  T h d ec is io n   to   ter m i n ate   th e   ex p er i m e n d ep en d s ,   at  ea ch   s tag e,   o n   th r es u lt s   o f   t h o b s er v atio n   p r ev io u s l y   m ad e.   A   m er it  o f   s eq u e n t ial  m et h o d ,   as  ap p lied   to   test i n g   s tatis ticall y   h y p o t h esi s ,   is   th at  te s p r o ce d u r ca n   b co n s tr u cted   w h ic h   r eq u ir es  o n   av er a g a   s m all   n u m b er   o f   o b s er v a tio n s   t h at  eq u all y   te s t h e   r eliab ilit y   o f   t h p r o ce d u r b ased   o n   p r ed eter m in ed   n u m b er   o f   o b s er v atio n s   [ 7 - 8 ] .   Sti eb er s   o b s er v atio n s   ar d e m o n s tr ated   b y   ap p ly i n g   t h w ell - k n o w n   Seq u e n tial  P r o b ab ilit y   R atio   T est  ( SP R T )   o f   W ald   [ 9 ]   f o r   s o f t w ar f ai lu r d ata  to   d etec u n r eliab le  s o f t w ar co m p o n e n t s   an d   co m p ar th r eliab ilit y   o f   d i f f er e n t   s o f t w ar v er s io n s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3061   I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S o ftw a r R elia b ilit Usi n g   S P R T:  B u r r   Typ I I I   P r o ce s s   Mo d el  ( C H.   S mith a )   1 1 1 ( ) ! Nt t et P Nt 0 0 0 ( ) ! Nt t et P Nt So f t w ar r eliab ilit y   a n al y s i s   n ee d s   s o f t w ar f ail u r d ata.   T h er ar tw o   t y p e s   o f   f a ilu r d ata:    ti m e - d o m ai n   d ata  an d   in ter v al - d o m ai n   d ata.   T h tim e - d o m a in   d ata  r ec o r d s   th in d iv id u al  ti m e s   at  w h ic h   th e   f ail u r es  h a v o cc u r r ed .   T h in ter v al - d o m ain   d ata  co u n ts   t h n u m b er   o f   f ail u r es  o cc u r r i n g   d u r in g   f ix ed   ti m p er io d .   W ith   ex i s ti n g   s o f t w ar r eliab ilit y   m o d els,  ti m e - d o m a in   d ata  p r o v id es b etter   ac cu r ac y   i n   th e s ti m atio n   o f   p ar a m eter s ,   b u in v o lv e s   m o r d ata  co llectio n   e f f o r ts   [ 10 ] .   T h p r o b ab ilit y   eq u a tio n   o f   t h s to ch as tic   p r o ce s s   r ep r esen tin g   th f ail u r o cc u r r en ce s   is   g iv e n   b y   h o m o g e n eo u s   P o is s o n   p r o ce s s   with   t h ex p r ess io n .       [   (   )     ]   [    ]             (   )   (1 )       A   n u m b er   o f   m e th o d s   ar e x ta n f o r   d escr ib in g   th e   s o f t w ar r eliab ilit y   b ased   o n   th SP R T   [ 1 1 ] - [ 1 3 ] .   T h is   p ap er   d escr ib es  m et h o d   f o r   d etec tin g   r eliab le  s o f t w ar b ased   o n   th SP R T ,   u s i n g   Ma x i m u m   L i k eli h o o d   E s ti m atio n   ( M L E )   o f   p ar am eter   esti m a tio n .   T h W ald s   SP R T   p r o ce d u r ca n   b u s ed   to   d is tin g u is h   t h s o f t w ar u n d er   test   i n to   o n o f   th e   t w o   ca teg o r ies  lik r eliab le/ u n r eliab le,   p ass /f a il  an d   ce r ti - f ied /u n ce r ti f ied   [ 14 ] .   SP R T   is   th e   o p ti m al   s ta tis t ical  te s t h a m a k e s   t h co r r ec d ec is io n   i n   t h s h o r test   ti m e   a m o n g   all  test s   th at  ar s u b j ec to   th s a m le v el  o f   d ec is i o n   er r o r s   [ 15 ] .   SP R T   is   u s ed   to   d etec th f au lt   b ased   o n   th ca lcu lated   lik el i h o o d   o f   th h y p o th e s es.  W co n s id er   o n o f   t h p o p u lar   s o f t w ar r eliab ilit y   g r o w t h   m o d el  B u r r   T y p I I I   an d   ad o p ted   th p r in cip le  o f   Sti eb er   [ 6 ]   in   d etec tin g   w h et h er   th s o f t w ar is   r eliab le  o r   u n r elia b le  in   o r d er   t o   ac ce p t o r   r e j ec t th d ev elo p ed   s o f t w ar e.     T h th eo r y   p r o p o s ed   b y   Sti eb er   is   d escr ib ed   in   Sectio n   2 .   I m p le m e n tat io n   o f   SP R T   f o r   th p r o p o s ed   B u r r   ty p I I I   So f t w ar R eliab i lit y   Gr o w th   Mo d el  is   ill u s tr at ed   in   Sectio n   3 .   Ma x i m u m   L i k eli h o o d   esti m atio n   m et h o d   is   u s ed   to   esti m ate  th e   p ar am eter s   is   p r esen ted   in   Se ctio n   4 .   A p p licatio n   o f   th d ec is io n   r u le  to   d etec th u n r eliab le  s o f t w ar w ith   r ef er en ce   to   th So f t w ar R el ia b ilit y   Gr o w th   Mo d el  B u r r   T y p I I I   is   d ep icted   i n   Sectio n   5 .       2.   WAL D’ SE Q U E N T I A L   T E S T   F O P O I SS O P RO CE SS   T h Seq u en t ial  P r o b ab ilit y   R atio   T est  ( SP R T )   w as   d ev elo p ed   b y   A b r ah a m   W ald   a t   C o lu m b ia  Un i v er s it y   i n   1 9 4 3   [ 9 ] .   T h SP R T   p r o ce d u r is   u s ed   f o r   q u alit y   co n tr o s t u d ies  d u r in g   t h m a n u f ac t u r in g   o f   s o f t w ar p r o d u cts.  T h test s   ca n   b p er f o r m ed   o n   f i x ed   s a m p le  s ize  s ets  w ith   f e w er   o b s er v atio n s .   T h SP R T   m et h o d o lo g y   f o r   Ho m o g en eo u s   P o is s o n   P r o ce s s   is   d escr ib e d   b elo w .     L et  { N( t) ,     0 b a   h o m o g en eo u s   P o is s o n   p r o ce s s   w it h   r ate  λ .   I n   t h i s   ca s e,   N( t)   n u m b er   o f   f ail u r es  u p   to   ti m t   an d   λ   is   th f ail u r r ate  ( f ailu r es  p er   u n it  ti m e) .   I f   th s y s te m   i s   p u o n   test   an d   th at  if   w w a n to   esti m ate  it s   f ail u r e   r ate  λ .   W ca n n o ex p ec to   esti m ate  λ   p r ec is el y .   B u we  w a n to   r ej ec th e   s y s te m   w it h   h ig h   p r o b ab ilit y   i f   th d ata  s u g g est  t h at  t h f ail u r r ate  is   lar g er   th a n   λ 1 a n d   ac ce p it  w it h   h ig h   p r o b ab ilit y ,   i f   it  i s   s m al l er   th a n   λ 0 .   Her w h av e   to   s p ec if y   t w o   ( s m all)   n u m b er s   α   an d   β ,   w h er α   is   th p r o b ab ilit y   o f   f al s el y   r ej ec tin g   t h s y s te m .   T h at  is   r ej ec tin g   th s y s te m   ev e n   i f   λ     λ 0 .   T h is   is   t h e   p r o d u ce r s   r is k .   β   i s   t h p r o b ab ilit y   o f   f alse l y   ac ce p tin g   th s y s te m .   T h at  i s   ac ce p ti n g   th s y s te m   e v e n   i f     λ     λ 1 .   T h is   is   t h co n s u m er s ”  r is k .   W ald s   clas s ical  SP R T   is   v er y   s en s iti v to   th c h o ice  o f   r elativ r is k   r eq u ir ed   in   t h s p ec if icatio n   o f   t h alter n ati v h y p o t h esi s .   W ith   th e   clas s ical  SP R T ,   test s   ar e   p er f o r m ed   co n tin u o u s l y   a ev er y   t i m p o in as  0   ad d itio n al  d ata  ar co llected .   W ith   s p ec if ied   ch o ices  o f   λ 0   an d   λ 1   s u c h   t h at  0   λ 0   λ 1 ,   th p r o b ab ilit y   o f   f i n d in g   N( t)   f a ilu r es  in   t h ti m s p an   ( 0 ,   t)   w ith   λ 1 ,   λ 0   as  t h f ail u r e   r ates a r r esp ec tiv el y   g i v en   b y       (2 )         (3 )       T h r atio   at  a n y   ti m e t   i s   co n s id er ed   as a   m ea s u r e   o f   d ec i d in g   t h tr u t h   to w ar d s      or ,   g i v e n   s eq u e n ce   o f   ti m i n s tan ts   s a y     an d   t h co r r esp o n d in g   r ea liza tio n s   o f   N( t) .     Si m p li f icatio n   o f     g i v es     1 0 P P 0 1 1 2 3 ........ K t t t t 12 ( ) , ( ) , . . . . . . . . ( ) K N t N t N t 1 0 P P 11 01 00 e x p ( ) Nt P t P     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3062                         I SS N:  2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  6 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 6   :   3 0 6 0     3 067   1 0 P A P 1 0 P B P 1 0 P BA P    T h d ec is io n   r u le  o f   SP R T   is   to   d ec id in   f a v o r   o f   ,   in   f av o r   o f      o r   to   co n tin u b y   o b s er v in g   th n u m b er   o f   f ail u r es  at  lat er   ti m th a n   ' t '   ac co r d in g   a s     is   g r ea ter   th an   o r   eq u al  to   co n s tan s a y   A ,   le s s   th an     o r   eq u al  to   co n s ta n s a y   B   o r   in   b et w ee n   t h co n s tan t s     A   a n d   B .   T h at  is ,   w d ec id e   th g i v e n   s o f t w ar e   p r o d u ct  as  u n r eliab le,   r eliab le   o r   co n tin u [ 1 6 ]   th test   p r o ce s s   w i th   o n m o r o b s er v ati o n   in   f a ilu r d ata,   ac co r d in g   to       (4 )       (5 )       (6 )       T h ap p r o x i m ate  v a lu e s   o f   t h e   co n s tan ts   A   a n d   B   ar tak en   as     ,   B     w h er   a n d     ar t h r is k   p r o b ab ilit ies  as  d ef i n ed   ea r lier .   A   s i m p l if ied   v er s io n   o f   t h a b o v d ec is io n   p r o ce s s es is   t o   r ej ec t th s y s te m   as  u n r eliab le  i f   N( t)   f all s   f o r   th f ir s t ti m ab o v th li n e       ( 7 )     T o   ac ce p t th s y s te m   to   b r eliab le  if   N( t)   f all s   f o r   th f ir s t ti m b elo w   t h li n e       ( 8 )     T o   co n tin u t h tes w i th   o n e   m o r o b s er v atio n   o n   ( t,  N( t) )   as  th r an d o m   g r ap h   o f   [ t,  N( t) ]   is   b et w ee n   t h t w o   li n ea r   b o u n d ar ies  g iv e n   b y   eq u atio n s   ( 7 )   an d   ( 8 )   w h er e       ( 9 )       ( 10 )       ( 11 )       T h p ar am eter s   , an d   ca n   b ch o s en   in   s ev er al  w a y s .   O n w a y   s u g g es ted   b y   Sti eb er   is     1 0 1 0 P P 2 . U N t a t b  1 . L N t a t b  10 1 0 l o g a     1 1 0 1 l o g l o g b       2 1 0 1 l o g l o g b       ,  0 1 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3063   I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S o ftw a r R elia b ilit Usi n g   S P R T:  B u r r   Typ I I I   P r o ce s s   Mo d el  ( C H.   S mith a )   ,          I f   λ 0   a n d   λ 1   ar ch o s e n   i n   t h is   w a y ,   t h s lo p o f   NU  ( t)   a n d   NL   ( t)   eq u al s   λ .   T h o th er   t wo   w a y s   o f   ch o o s in g   λ 0   an d   λ 1   ar f r o m   p ast  p r o j ec ts   ( f o r   co m p ar is o n   o f   t h p r o j ec ts )   an d   f r o m   p ar o f   th d ata  to   co m p ar t h r eliab ilit y   o f   d if f e r en t f u n c tio n al  ar ea s   ( co m p o n en ts ) .       3.   SE Q U E NT I A L   T E ST   F O SO F T WAR E   R E L I AB I L I T G RO W T H   M O DE L S   W k n o w   th at  f o r   an y   P o is s o n   p r o ce s s ,   th e x p ec ted   v al u o f   N( t)   λ ( t)   ca lled   th av er ag n u m b er   o f   f ail u r es e x p er ien ce d   in   ti m e   ' t ' .   W h ic h   is   al s o   ca lled   th m ea n   v al u f u n ctio n   o f   t h P o is s o n   p r o ce s s .   On   t h o th er   h a n d   if   w co n s id er   P o is s o n   p r o ce s s   w it h   g en er al  f u n ctio n   ( n o n ec ess ar il y   li n ea r )   m ( t)   as  i ts   m ea n   v alu f u n c tio n   t h p r o b ab ilit y   eq u atio n   o f   s u c h   p r o ce s s   is         Dep en d in g   o n   t h f o r m s   o f   m ( t)   w g e v ar io u s     P o is s o n   p r o ce s s es  ca lled   NHP P ,   f o r   th B u r r   T y p e   I I I   m o d el.   T h m ea n   v a lu f u n ctio n   is   g iv e n   as       (   )     [           ]         I ca n   also   b w r itte n   as             w h er m 1 ( t) ,   m 0 ( t)   r ep r esen t s   t h m ea n   v al u f u n ctio n   o f   s ta ted   p ar a m eter s   i n d icati n g   r eliab le   s o f t w ar a n d   u n r eli ab le  s o f t war r esp ec tiv el y .   T h m ea n   v alu f u n ctio n   m ( t)   co m p r is e s   th p ar a m eter s   a‟ ,   b   a n d   c .   T h t w o   s p ec i f i ca tio n s   o f   N HP P   f o r   b   a r co n s id er ed   as  b 0 ,   b 1   w h er ( b 0   b 1 )   an d   tw o   s p ec if icatio n s   o f   s a y   c 0 ,   c 1   w h er ( c 0   c 1 ) .   Fo r   o u r   p r o p o s ed   m o d el,   m ( t)   at  b 1   is   s aid   to   b g r ea ter   th an   b 0   an d   m ( t)   at  c 1   is   s aid   to   b g r ea ter   th an   c 0 .   T h s am ca n   b d e n o ted   s y m b o licall y   a s   m 0 ( t)   m 1 ( t) .   T h i m p le m en ta tio n   o f   SP R T   p r o c ed u r is   illu s tr ated   b elo w .   S y s te m   i s   s aid   to   b r eliab le  an d   ca n   b ac ce p ted   if           i.e . ,       i.e . ,     (1 2 )         S y s te m   i s   s aid   to   b u n r eliab le   an d   r ej ec ted   if     0 . l o g 1 q q 1 . l o g 1 q q q 1 0   w h e r e q () () ( ) . , 0 , 1 , 2 , ! y mt mt P N t Y e y y 1 () () 1 1 . ( ) ( ) ! Nt mt e m t P Nt 0 () () 0 0 . ( ) ( ) ! Nt mt e m t P Nt 1 0 P B P 1 0 () () 1 () () 0 . ( ) . ( ) Nt mt Nt mt e m t B e m t 10 10 l o g ( ) ( ) 1 () l o g ( ) l o g ( ) m t m t Nt m t m t     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3064                         I SS N:  2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  6 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 6   :   3 0 6 0     3 067                    i.e . ,     ( 1 3)     C o n ti n u th te s t p r o ce d u r as lo n g   as       ( 1 4 )     Su b s ti tu t in g   th ap p r o p r iate  e x p r ess io n s   o f   th r esp ec tiv m ea n   v al u f u n c tio n ,   w g et  t h e   r esp ec tiv d ec is io n   r u le s   an d   ar g i v en   i n   f o llo w in g s   li n e s .   A cc ep ta n ce   R e g io n       (   )        (         )     ( (             )         (             )       )      [ (             )       (             )       ]   (1 5 )     R ej ec tio n   R eg io n :       (   )        (         )     ( (             )         (             )       )      [ (             )       (             )       ]   ( 16 )     C o n ti n u atio n   R eg io n :          (         )     ( (             )         (             )       )      [ (             )       (             )       ]   (   )        (         )     ( (             )         (             )       )      [ (             )       (             )       ]   ( 17 )     Fo r   th s p ec if ied   m o d el,   it  m a y   b o b s er v ed   th at  th d ec is io n   r u les  ar ex cl u s i v el y   b as ed   o n   th s tr en g th   o f   th s eq u e n tia p r o ce d u r ( α ,   β)  an d   th v alu o f   th m ea n   v al u f u n c tio n s   n a m el y   m 0 ( t)   m 1 ( t) .   A s   d escr ib ed   b y   S tieb er ,   th ese   d ec is io n   r u les  b ec o m d ec is io n   li n es  if   th e   m ea n   v al u f u n ctio n   is   l in ea r   i n   p ass in g   t h r o u g h   o r ig i n ,   t h at  is   m ( t)   λ t.  T h eq u atio n s   ( 1 2 )   an d   ( 1 3 )   ar c o n s id er ed   as  g en er aliza tio n s   f o r   th e   d ec is io n   p r o ce d u r o f   Sti eb er .   SP R T   p r o ce d u r is   ap p lied   o n   liv s o f t w ar f ail u r d ata  s ets  an d   t h r esu lt s   th at  w er an al y ze d   ar illu s tr at ed   in   Sectio n   5 .       4.   P ARAM E T E E ST I M AT I O N   W p r esen ex p r ess io n s   f o r   t h p ar am eter   e s ti m ates  o f   t h B u r r   t y p I I I   m o d el.   P ar am eter   esti m atio n   is   v er y   s i g n i f ica n t   in   s o f t w ar e   r eliab ilit y   p r ed ictio n .   O n ce   t h a n al y tical  s o lu t io n   f o r m   is   k n o w n   f o r   g i v e n   m o d el,   p ar a m eter   est i m a tio n   is   ac h ie v ed   b y   ap p l y in g   a   w e ll - k n o w n   esti m at io n ,   Ma x i m u m   L ik eli h o o d   E s ti m a tio n   ( M L E ) . T h m ai n   id ea   b eh in d   Ma x i m u m   L ik elih o o d   p ar am eter   ass e s s m e n is   to   d ec id t h p ar am eter s   t h at  m a x i m ize  t h p r o b ab ilit y   ( li k eli h o o d )   o f   th e   s p ec i m en   d ata.   I n   th e   o th er   w o r d s ,   ML E   m et h o d s   ar v er s atile  a n d   ap p licab le  to   m o s m o d els  a n d   f o r   d if f er e n t y p e s   o f   d ata.   H er p ar am eter s   ar esti m ated   f r o m   t h ti m d o m ai n   d ata  [ 1 7 ] .       T h m ea n   v a lu f u n ctio n   o f   B u r r   t y p I I I   m o d el  is   g iv e n   b y          (   )     [           ]         t>0   a,   b ,   >   0   ( 18 )     1 0 P A P 10 10 1 l o g ( ) ( ) () l o g ( ) l o g ( ) m t m t Nt m t m t     1 0 1 0 1 0 1 0 1 l o g ( ) ( ) l o g ( ) ( ) 1 () l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ) m t m t m t m t Nt m t m t m t m t     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3065   I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S o ftw a r R elia b ilit Usi n g   S P R T:  B u r r   Typ I I I   P r o ce s s   Mo d el  ( C H.   S mith a )   T h p ar am eter s   a,   b ,   c   ar es ti m ated   w it h   Ma x i m u m   L i k el ih o o d   ( ML )   esti m atio n .   T h lik eli h o o d   f u n ctio n   f o r   ti m d o m ai n   d ata  is   g i v e n   b y                [   (     ) ]             (     )   ( 19 )     Su b s ti tu t in g   E q u atio n   ( 18 )   in   eq u atio n   ( 19 )   w g et                                           [             ]                                      (             )     [                            (       )            (       )      (             ) ]                ( 20 )     T ak in g   t h P ar tial d er iv ativ w it h   r esp ec t to   a   an d   eq u at in g   to   0 .                                (             )       ( 21 )     T ak in g   t h P ar tial d er iv ativ w it h   r esp ec t to   b   an d   eq u ati n g   to   0 .                                    (             )         (             )           ( 2 2 )     T h p ar am eter   c   is   e s ti m ated   b y   iter ati v Ne w to n - R ap h s o n   Me th o d   u s i n g                     (     )     (     ) w h er g ( c)   an d   g ( c)   ar ex p r ess ed   as f o llo w s .                            (   )           (     )                                    [                   ]      ( 23 )                                   (   )     (         )         (           )                     (         )   (           )             ( 24 )       5.   SPRT AN A L Y SI S O F   L I V E   DATAS E T S   SP R T   m eth o d o lo g y   i s   ap p lied   o n   f i v d i f f er en t   d ata  s e ts   th at   ar b o r r o w ed   f r o m   p h a m   [ 1 8 ] ,   l y u   [ 1 9 ]   an d   SON A T A   [ 2 0 ]   s o f t w ar e   s er v ices.  T h d ec is io n s   ar ev alu a ted   b ased   o n   th co n s i d er ed   m ea n   v al u f u n ctio n   ( 1 8 ) .   B ased   o n   t h e s ti m ates   o f   t h e   p ar a m eter s   b   a n d   c‟   i n   ea c h   m ea n   v a lu e   f u n c tio n ,   w h av e   ch o s en   th s p ec if icatio n s   o f   b 0   b     δ,  b 1   b     δ a n d   c 0   = c    δ,  c 1   = c    δ,  an d   ap p l y   SP R T   s u ch   t h at  b 0   b   b 1   an d   c 0   < c < c 1 .   A s s u m in g   t h δ v al u o f   0 . 6   th ch o ice s   a r g iv e n   in   T ab le  1 .   Usi n g   t h s p ec i f icatio n   b 0 ,   b 1 ,   an d   c 0 ,   c 1   th m ea n   v al u f u n ctio n s   m 0 ( t)   an d   m 1 ( t)   ar co m p u ted   f o r   ea ch   t .   L ater   t h d ec is io n s   a r m ad b ased   o n   th d ec is io n   r u les  s p ec i f ied   b y   th eq u ati o n s   ( 1 5 ) ,   ( 1 6 ) ,   ( 1 7 )   f o r   th e   d ata  s e ts .   At  ea c h   t   o f   th e   d ata  s et,   th e   s tr e n g th s   ( α ,   β)  ar co n s id er ed   as ( 0 . 3 , 0 . 3 ) .   SP R T   p r o ce d u r is   ap p lied   o n   f iv d if f er en t d ata  s ets an d   th n ec es s ar y   ca lc u lati o n s   ar g i v en   i n   T ab le  2 .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3066                         I SS N:  2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  6 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 6   :   3 0 6 0     3 067   T ab le  1 .   E s tim a tes o f   a,   b ,   &   Sp ec if icatio n s   o f   b 0 , b 1 , c 0 , c 1   D a t a   se t s   Est i m a t e   o f   'a'   Est i m a t e   o f   'b '   b 0   b 1   Est i m a t e   o f   'c'   c 0   c 1   N T D S   3 4 . 4 6 5 7 0 6   1 . 7 6 3 6 4 7   1 . 1 6 3 6 4 7   2 . 3 6 3 6 4 7   1 . 8 1 0 2 2 2   1 . 2 1 0 2 2 2   2 . 4 1 0 2 2 2   A T& T   2 6 . 8 3 9 8 2 9   1 . 6 5 8 6 9 2   1 . 0 5 8 6 9 2   2 . 2 5 8 6 9 2   1   0 . 4   1 . 6   S O N A TA   7 9 . 8 3 1 3 5 9   6 . 7 4 2 8 1   6 . 1 4 2 8 1   7 . 3 4 2 8 1   0 . 6 0 2 4 4   0 . 0 0 2 4 4   1 . 2 0 2 4 4   X I E   3 3 . 3 1 0 4 2 6   2 . 2 7 0 0 9 5   1 . 6 7 0 0 9 5   2 . 8 7 0 0 9 5   1 . 3 7 1 9 7 4   0 . 7 7 1 9 7 4   1 . 9 7 1 9 7 4   I B M   2 0 . 6 2 4 7 8 5   1 . 7 1 1 6 3   1 . 1 1 1 6 3   2 . 3 1 1 6 3   1 . 4 4 7 8 1 5   0 . 8 4 7 8 1 5   2 . 0 4 7 8 1 5       T ab le  2 .   SP R T   A n al y s i s   f o r   5   Data   Sets   D a t a   S e t   T   N ( t )   R . H . S .   o f   e q u a t i o n   ( 1 5 )   A c c e p t a n c e   r e g i o n   ( )   R . H . S .   o f   e q u a t i o n   ( 1 6 )   R e j e c t i o n   r e g i o n   ( )   D e c i si o n   N T D S   9   1   2 2 . 1 6 9 8 3 8 3 2   2 . 7 9 0 9 0 2 4 4 7   A C C EPT   A T & T   5 . 5   1   3 . 7 9 8 8 4 5 2 4 6   2 . 8 4 3 0 0 6 4 6   A C C EPT   SON A T A   5 2 . 5   1   1 6 . 8 0 9 9 1 8 1   2 . 2 3 8 7 2 0 6 6 6   A C C EPT   XI E   3 0 . 0 2   1   3 . 4 8 8 3 4 5 9 5 8   2 . 2 7 4 0 6 1 3 9 5   A C C EPT   I B M   10   1   4 . 0 6 1 2 6 5 7 2 8   1 . 6 7 0 4 0 8 7 2 2   A C C EPT       I m a y   b n o ted   t h at  t h d ec is io n   is   o b tai n ed   in   s i g n i f ican t l y   les s er   n u m b er   o f   i ter atio n s   N( t)   in   t h p r o p o s ed   m o d el  w h e n   d r a w n   i n   co m p ar is io n   w ith   o t h er   m o d els [ 1 1 ]   b ased   o n   SP R T .       6.   CO NCLU SI O N   T h SP R T   m et h o d o lo g y   f o r   t h p r o p o s ed   s o f t w ar r eliab ili t y   g r o w t h   m o d el  B u r r   t y p I I I   is   ap p lied   f o r   th s o f t w ar f ail u r d ata  s ets.  Fro m   t h o b s er v at io n   w e   ar ab le  to   co m to   co n c lu s io n   i n   v er y   le s s   ti m r eg ar d i n g   t h r eliab ilit y   o r   u n r e liab ilit y   o f   s o f t w ar e   p r o d u ct.   T h r esu lts   o b tain e d   f r o m   t h d atasets   ex e m p li f y   t h at  t h m o d el  h a s   g iv e n   a   d ec is io n   o f   ac ce p tan c f o r   all  t h d ata  s e ts   at  v er y   f ir s ti m i n s ta n ce   o f   th d ata.   He n ce ,   w e   m a y   co n c lu d t h at,   b y   ap p l y i n g   SP R T   o n   d ata  s et s   w e   ca n   co m e   to   a n   ea r l y   d ec is io n   o f   r eliab le/u n r eliab le  o f   s o f t w ar e .       RE F E R E NC E S   [1 ]   S .   S .   M a rin o s,  e a l. ,   I m p o rtan M il e sto n e in   S o f twa re   R e li a b il it y   M o d e li n g ,”   i Pro c e e d in g o S o ft w a re   En g i n e e rin g   a n d   K n o wle d g e   E n g i n e e rin g   ( S EKE '   9 6 ),   L a k e   T a h o e ,   NV ,   p p .   3 4 5 - 3 5 2 1 9 9 6 .   [2 ]   Re b e ll o ,   e a l . ,   S o f tw a re   s y st e m   re li a b il it y   a n d   sa fe t y   a ss e ss m e n t A n   e x ten d e d   F M EA   a p p ro a c h , ”  In ter n a ti o n a l   J o u rn a o Reli a b il it y   a n d   S a fety ,   v o l/ issu e 2 0 (4 ) ,   p p .   3 6 6 - 3 8 0 2 0 1 0 .   [3 ]   Y .   Z h a n g   a n d   H .   Ch e n g ,   I m p ro v e d   Ge n e ti c   P ro g ra m m in g   A l g o rit h m   A p p li e d   to   S y m b o li c   Re g re ss io n   a n d   S o f tw a r e   Re li a b il it y   M o d e li n g ,   S o ft w a re   En g in e e rin g   &   Ap p li c a t io n s ,   v o l.   2 ,   p p .   3 5 4 - 3 6 0 2 0 0 9 .   [4 ]   Z Qia n ,   e a l. ,   S o f tw a r e   Re li a b il it y   M o d e li n g   w it h   T e stin g - Eff o rt  F u n c ti o n   a n d   Im p e rf e c De b u g g in g , ”  In d o n e si a n   J o u rn a o El e c trica l   En g in e e rin g   a n d   Co m p u ter   S c ien c e v ol /i ss u e :   10 ( 8 ) ,   p p .   1 9 9 2 - 1 9 9 8 2 0 1 2 .   [5 ]   S.   J.  S u n   a n d   J.  X iao ,   A   S o f t wa re   Re li a b il it y   G EP   M o d e Ba se d   o n   Us a g e   P ro f il e , ”  T EL KOM NIKA v ol /i ss u e :   10 ( 7 ) ,   p p .   1 7 5 6 ~ 1 7 6 4 ,   2 0 1 2 e - IS S N:  2 0 8 7 - 2 7 8 X .   [6 ]   H.  A .   S ti e b e r,   S tatisti c a Qu a li t y   Co n tro l:   Ho w   T o   D e tec Un re li a b le  S o f tw a r e   Co m p o n e n ts , ”  Pro c e e d in g th e   8 t h   In ter n a t io n a S y mp o si u m o n   S o f t wa re   Relia b il it y   E n g i n e e rin g p p .   8 - 12 1 9 9 7 .   [7 ]   Ca rd   D.,   S tatisti c a P r o c e ss   Co n t ro f o S o f twa re , ”  IEE S o ft w a re pp.   95 - 97 1 9 9 4 .     [8 ]   J .   D.   M u s a ,   S o f twa re   Qu a l it y   a n d   Re li a b il it y   Ba sic s , ”  AT & T   Bell  L a b o ra t o rie s 1 9 9 4 .   CH  2 4 6 8 - 7 /8 7 /0 0 0 0 /0 1 4 , 1 9 8 7   IEE E.   [9 ]   W a ld   A . ,   S e q u e n ti a A n a l y sis ,   Ne w   I m p re ss io n   e d it i o n ,   Ne w   Yo rk ,   Jo h n   W il e y   a n d   S o n ,   I n c ,   1 9 4 7 .   [1 0 ]   K.   B.   M isra ,   Ha n d b o o k   o f   P e rf o rm a b il it y   En g in e e ri ng ,   S p rin g e r ,   2 0 0 8 .   [1 1 ]   R.   S .   P ra sa d ,   e a l. ,   S o f tw a re   Re li a b il it y   u sin g   S P RT :   L o g   P o w e r   M o d e l , ”  In ter n a ti o n a J o u r n a o Cu rr e n t   Res e a rc h   a n d   Aca d e mic   Rev iew v ol /i ss u e 2 ( 9 ) ,   p p .   2 5 - 32 2 0 1 4 .   I S S N:  2 3 4 7 - 3 2 1 5 .     [1 2 ]   K.  V .   M .   M o h a n ,   e a l . ,   De tec ti o n   o f   Bu rr  Ty p e   X II  Re li a b le  S o f tw a r e   u sin g   S e q u e n ti a P r o c e ss   Ra ti o   Tes t , ”  In d i a n   J o u rn a o S c ien c e   a n d   T e c h n o l o g y v ol /i ss u e 8 ( 16 ) ,   2 0 1 5 .   IS S N:  0 9 7 4   - 5 6 4 5 .   [1 3 ]   S .   D.  Ha rit h a   a n d   R.   S .   P ra sa d ,   A   S e q u e n ti a P ro b a b il i ty   Ra t io   T e st  in   A ss e ss in g   S o f t w a re   Qu a li ty   Us in g   LP ET M , ”  In ter n a ti o n a J o u rn a o In n o v a ti v e   T e c h n o l o g y   a n d   Ex p lo ri n g   En g in e e rin g v ol /i ss u e 2 ( 5 ) ,   p p .   3 4 5 - 3 4 8 2 0 1 3 .   IS S N:  2 2 7 8 - 3 0 7 5 .   [1 4 ]   Re c k a se   M D. ,   P ro c e d u re   f o d e c isio n   m a k in g   u sin g   tai lo re d   tes ti n g ,”   i n   W e iss   DJ ,   e d it o r ,   N e h o rizo n i n   tes ti n g L a ten trait  th e o ry   a n d   c o m p u teriz e d   a d a p ti v e   tes ti n g ,”   Ne w   Yo rk ,   A c a d e m i c   P re ss ,   p p .   2 3 7 54 1 9 8 3 .   [1 5 ]   V.   G o u th a m   a n d   R.   S .   P ra sa d ,   A n   S P RT   P ro c e d u re   f o a n   Un g ro u p e d   Da ta  u sin g   M M L Ap p r o a c h , ”  IOS R   J o u rn a o Co m p u ter   E n g i n e e rin g   ( IOS R - J CE) ,   v ol /i ss u e :   14 ( 6 ),   p p .   37 - 42 2 0 1 3 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
3067   I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S o ftw a r R elia b ilit Usi n g   S P R T:  B u r r   Typ I I I   P r o ce s s   Mo d el  ( C H.   S mith a )   [1 6 ]   R.   S .   P ra sa d ,   Ha lf   L o g isti c   S o f t w a r e   Re li a b il it y   G ro w th   M o d e l ,”   [P h D T h e sis] ,   In d ia ,   A NU ,   2 0 0 7 .   [1 7 ]   C.   S .   C h o w d a ry ,   e a l. ,   Bu rr  T y p e   III  S o f tw a re   R e li a b il it y   G ro w th   M o d e l,   IO S R - J CE ,   v ol /i ss u e 17 ( 1 ) ,   2 0 1 5 .   [1 8 ]   P h a m   H. ,   S y ste m   S o f t w a r e   Re li a b ility ,”   S p rin g e r ,   2 0 0 6 .   [1 9 ]   Ly u   M R. ,   T h e   Ha n d   b o o k   o f   so f twa re   Re li a b il it y   e n g in e e r in g ,”   M c G ra wH il a n d   IEE C o m p u ter  S o c iety   P re ss ,   1 9 9 5 .   IS BN:  9 - 07 - 0 3 9 4 0 0 - 8.   [2 0 ]   A sh o k a   M . ,   Da ta se t ,”   Ba n g a lo r e ,   S o n a ta  S o f tw a re   L i m it e d ,   2 0 1 0 .       B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS         M r s.  Ch .   S m it h a   C h o w d a r y   re c e iv e d   M C A   f ro m   Ka k a ti y a   Un iv e rsit y   in   2 0 0 3   a n d   M .   T e c h . ,   (Co m p u ter  S c ien c e   &   En g in e e rin g f ro m   A c h a r y a   Na g a rju n a   Un iv e rsity   in   2 0 1 0 .   N o w   sh e   is   p u rsu i n g   P h . D.,   i n   Co m p u ter  S c ien c e   &   En g in e e rin g   f ro m   Kri sh n a   Un iv e rsity   a P a rt - Ti m e   Re se a rc h   S c h o lar  u n d e th e   g u id a n c e   o f   Dr.  R. S a t y a   P ra sa d a n d   c o   g u id e   Dr.R. Kira n   Ku m a r.   H e r   re se a rc h   in tere st l ies   in   S o f twa re   Re li a b il it y   En g in e e rin g ,   Da ta W a re h o u si n g   a n d   Da ta M in i n g       Dr . S a ty a   Pr a sa d   r e c e i v e d   P h . D.d e g re e   in   Co m p u ter  S c ien c e   in   th e   F a c u lt y   o f   En g in e e rin g   in   2 0 0 7   f ro m   A c h a r y a   Na g a rju n a   Un iv e rsity ,   A n d h ra   P ra d e sh ,   In d ia.  He   re c e i v e d   g o ld   m e d a f ro m   A c h a r y a   N a g a rju n a   Un iv e rsit y   f o h is  o u tstan d in g   p e rf o rm a n c e   in   m a ste r‟s  d e g re e .   H e   is   c u rre n tl y   w o rk in g   a A ss o c iat e   P r o f e ss o in   t h e   d e p a rtm e n o f   Co m p u ter S c ien c e   &   En g in e e ri n g ,   A c h a r y a   Na g a rju n a   Un iv e rsit y .   He   p e rf o r m e d   v a rio u a c a d e m ic   ro les   li k e   p ra c ti c a e x a m in e r,   p ro jec a d ju d ica to r,   e x tern a m e m b e o f   b o a rd   o f   e x a m in e rs  f o v a r io u u n iv e rsiti e a n d   c o ll e g e s   in   a n d   a ro u n d   A n d h ra   P ra d e sh .   H e   re c e i v e d   Dr. A b d u Ka lam   L i f e   T i m e   Ac h iev e m e n Aw a rd   f o r   h is  re m a rk a b le  a c h iev e m e n ts  in   th e   f ield   o f   T e a c h in g ,   Re se a rc h   a n d   P u b li c a ti o n s.  His  c u rre n t   re se a rc h   is  f o c u se d   o n   S o f tw a r e   e n g in e e rin g ,   Im a g e   p ro c e ss in g   &   Da tab a se   M a n a g e m e n s y ste m .   He   h a s   p u b li sh e d   7 0   re se a rc h   p a p e rs i n   Na ti o n a &   In tern a t io n a Jo u rn a ls         Dr .   K   K ira n   k u m a r   is  a   A ss i sta n p ro f e ss o in   De p a rtme n o f   Co m p u ter  S c ien c e ,   Krish n a   Un iv e rsit y .   He   is  h a v in g   1 2 +   e x p e rien c e   in   T e a c h in g   a n d   c o ll e g e   A d m in istratio n .   He   g u id e d   a n d   d e v e lo p e d   m a n y   to o ls  f o s m o o th   a d m in istratio n   o f   th e   c o ll e g e .   He   is   h a v in g   m o re   th a n   2 5   p u b li c a ti o n in   d if f e r e n In tern a ti o n a jo u rn a ls.   His  a re a o f   in te re st  a re   b io in f o rm a ti c s,  d a ta   m in in g ,   so f t wa r e   e n g in e e rin g ,   e m b e d d e d   s y ste m s,  a n d   n e tw o rk   s e c u rit y .   H e   is  g u id in g   th e   P h D   sc h o lars ,   w h o   a re   d o in g   re se a rc h   f ro m   re p u ted   u n iv e rsiti e s.        Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.