I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute r  E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   9 ,   No .   6 ,  Dec em b er   201 9 ,   p p .   5 3 9 5 ~ 5 3 9 9   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 ,  DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v9 i 6 . p p 5 3 9 5 - 5399          5395       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   Fu zz y  n - s - ho m o g eneity a nd  f u zz y   w ea k  n - s - ho m o g e neity       Sa m er   A l G ho ur 1 ,   Al m o t ha n a   Aza izeh 2   1 De p a rt m e n t  o f   M a th e m a ti c s a n d   S tatisti c s,   Jo rd a n   Un iv e rsity   o f   S c ien c e   a n d   T e c h n o l o g y ,   Jo rd a n     2 Co ll e g e   o f   A p p li e d   S tu d ies   a n d   Co m m u n it y   S e r v ice ,   I m a m   A b d u rra h m a n   Bin   F a isa l  Un iv e rsity ,   S a u d i  A ra b ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J a n   17 ,   2 0 1 9   R ev i s ed   J u l   16 ,   2 0 1 9   A cc ep ted   J u l   28 ,   2 0 1 9       F u z z y   n - s - h o m o g e n e it y   a n d   f u z z y   w e a k   n - s - h o m o g e n e it y   a re   in tro d u c e d   i n   f u z z y   b it o p o lo g ica l  sp a c e s.  S e v e ra l  re latio n sh ip s,  c h a ra c teriz a ti o n s  a n d   e x a m p les   re lat e d   to   t h e m   a re   g i v e n .   K ey w o r d s :   Ho m o g e n eit y   n - s - h o m o g e n eit y   Co p y rig h t  ©   2 0 1 9   In stit u te o f  A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e .    Al l  rig h ts re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Sa m er   A l G h o u r ,    Dep ar t m en t o f   Ma th e m at ics a n d   Statis tics ,   J o r d an   Un iv er s it y   o f   Scie n ce   a n d   T ec h n o lo g y ,   I r b id   2 2 1 1 0 ,   J o r d an .   E m ail: a l g o r e@ j u s t.e d u . j o       1.   I NT RO D UCT I O N   AND  P R E L I M I NARIE S   I n   th is   p ap er ,   w e   f o llo w   th e  n o tio n s   a n d   ter m in o lo g ies a s   ap p ea r ed   in   [ 1 ] .   A s   d ef i n ed   b y   Ke ll y   i n   [ 2 ] ,   th e  tr ip le  ( , 1 , 2 )   w h er e    is   a  s et  an d   1 , 2   ar e  to p o lo g ies  o n     is   ca lled   a  b ito p o lo g ical  s p ac e.   L ater   o n ,   s ev er al  a u t h o r s   h ad   s t u d ied   th is   n o tio n   an d   o t h er   r elate d   co n ce p ts .   A u th o r   i n   [ 3 ]   s t u d ied   s o m e  o r d in ar y   h o m o g en eit y   co n ce p ts   i n   b ito p o lo g ical  s p ac es.  B y   a  s i m i lar   m et h o d   to   th at   u s ed   in   d ef i n in g   b ito p o lo g ica l   s p a ce s ,   th e   n o tio n   o f   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac es  w a s   d ef i n ed   in   [ 4 ] .   L et  ( , 1 , 2 )   an d   ( , ₁ , ₂ )   b e  t w o   b ito p o lo g ical  s p ac es.  A   m ap : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   is   ca lled   s - h o m eo m o r p h i s m   if   th e  m ap s   : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   an d   : ( , ₂ ) → ( , ₂ )   ar e  h o m eo m o r p h i s m s .   L et ( , 1 , 2 )   b e  a  b ito p o l o g ical  s p ac e.   ( , 1 , 2 )   is   s - h o m o g en eo u s   [ 3 ]   if   f o r   an y   t w o   p o in ts   ₁ , ₂ ∈ ,   th er e  is   an   s - h o m eo m o r p h i s m   : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( ₁ ) = ₂ .   ( , 1 , 2 )   is   n - s - h o m o g en eo u s   i f   f o r   an y   t w o   n - to n s   = { ₁ , ₂ , … , } ,   = { ₁ , ₂ , . . . , }   in   ,   th er e  is   an   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .  ( , ₁ , ₂ )   is   w ea k l y   n - s - h o m o g en eo u s   f o r   an y   t w o   n - to n s     an d     in   ,   th er e  is   an   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   s u ch   t h at  ℎ ( ) =   f o r   e v er y   = 1 , 2 , . . . , .   Se v er al  f u zz y   h o m o g en eit y   co n ce p ts   w er e  d is cu s s ed   in   [ 5 - 1 4 ] .   L et  ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   an d   ( , ₁ , ₂ )   b e  tw o   f u zz y   b ito p o lo g ical   s p ac es.  A   m ap   : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   is   ca ll ed   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   if   th e   m ap s     : ( , ℑ ₁ ) → ( , ₁ )   an d   : ( , ℑ ₂ ) → ( , ₂ )   ar e  f u zz y   h o m eo m o r p h i s m s .   L et  ( , )   b e  a  to p o lo g ical  s p ac e.   T h e  class   o f   all  lo w er   s e m ico n ti n u o u s   m ap p in g s   f r o m   ( , )   to   [ 0 , 1 ]   w it h   th e  u s u al  to p o lo g y   f o r m s   a  f u zz y   to p o lo g y   o n   ,   th i s   f u zz y   to p o lo g y   is   d en o ted   b y   ( ) .   A l s o ,   th e  f a m il y   { ∶ ∈ }   f o r m s   a  f u z z y to p o lo g y   o n   ,   th is   to p o lo g y   is   d en o ted   b y   | .   A s   d ef i n ed ,   f o r   f u zz y   to p o lo g ical  s p ac e  ( , ℑ ) ,   th e  ass o ciate d to p o lo g ical  s p ac e  { ⁻ ¹ ( , 1 ] : ∈ ℑ }   i s   ca lled   th e  - cu t  ( le v el)   to p o lo g ical  s p ac e  an d   d en o ted   b y   ℑ .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   6 ,  Dec em b er   2 0 1 9   :   5 3 9 5   -   5 3 9 9   5396   T h e  f o llo w i n g   t h r ee   p r o p o s itio n s   w il l b e  u s ed   in   t h e  s eq u el:   P r o p o s itio n   1 . 1 .   [ 1 5 ]   L et  ( , ₁ )   a n d   ( , ₂ )   b e  tw o   to p o lo g ical  s p ac es  an d   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e  a  m ap .   T h en   th e  f o llo w i n g   ar e  eq u iv ale n t:   i.   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   is   a  h o m eo m o r p h is m .   ii.   : ( ( ) , ₁ ) → ( ( ) , ₂ )   is   a  f u zz y   h o m eo m o r p h is m .   iii.   : ( , | ₁ ) → ( , | ₂ )   a  f u zz y   h o m eo m o r p h i s m .   P r o p o s itio n   1 . 2 .   [ 1 ]   L et  ( , )   b e  a  b ito p o lo g ical  s p ac e.   T h en   th e  f o llo w i n g   ar e  eq u i v ale n t:   i.   ( , ₁ , ₂ )   is   n - h o m o g e n eo u s .   ii.   ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   f u zz y   n - h o m o g en eo u s .   iii.   ( , | ₁ , | ₂ )   is   f u zz y   n - h o m o g e n eo u s .   P r o p o s itio n   1 . 3 .   [ 1 1 ]   L et  ( , ℑ )   b e  a  f u zz y   to p o lo g ical  s p ac e  an d   let  : ( , ℑ ) → ( , ℑ )   b e  a  f u zz y   co n tin u o u s   ( h o m eo m o r p h is m )   m ap .   T h en   : ( , ℑ ) →   ( , ℑ )   is   co n ti n u o u s   ( h o m eo m o r p h i s m )   f o r   all       ∈ [ 0 , 1 ) .       2.   N - S - H O M O G E NE O U S F U Z Z Y   B I T O P O L O G I CA L   S P ACES   Def i n tio n   2 . 1 .   A   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e  ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   s aid   to   b e   i.   f u zz y   s - h o m o g e n eo u s   i f   f o r   an y   t w o   p o i n ts   ₁ , ₂ ∈ ,   th er e  is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m     ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   t h at  ℎ ( ₁ ) = ₂ .   ii.   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s   i f   f o r   an y   t w o   n - to n s   = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   in   X,   th er e  i s   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   t h at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   iii.   f u zz y   w ea k l y   n - s - h o m o g e n e o u s   if   f o r   an y   t w o   n - to n s   , ⊆ ,   th er e  is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( ) = .     R e m ar k   2 . 2 .   Fu zz y   s - h o m o g en eo u s ,   f u zz y   1 - s - h o m o g en e o u s   an d   f u zz y   w ea k l y   1 - s - h o m o g en eo u s   ar e  all   eq u iv ale n t.     T h eo r em   2 . 3 .   A   f u zz y   to p o lo g ical  s p ac e  ( , ℑ )   is   f u zz y   n - h o m o g e n eo u s   ( f u zz y   w ea k l y   n - h o m o g e n eo u s )   i f f   t h e   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e  ( , ℑ , ℑ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s   ( f u zz y   w ea k l y   n - s - h o m o g e n eo u s ) .   P r o o f .   Ob v io u s .     T h eo r em   2 . 4 .   L et  ( , ₁ , ₂ )   b e  a  b ito p o l o g ical  s p ac e  an d   ℎ : →   b e  a  b i j ec tiv e  m ap .   T h en   th e  f o llo w i n g   ar e   eq u iv ale n t:   i.   ℎ : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   is   an   s - h o m eo m o r p h is m .   ii.    ℎ : ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) ) → ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m .   iii.    ℎ : ( , | ₁ , | ₂ ) → ( , | ₁ , | ₂ )   is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m .   P r o o f .   ( i)   ⇒   ( ii):  S u p p o s e  th at   ℎ : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   is   a n   s - h o m eo m o r p h is m .   T h en   ea c h   o f   th e  f u n ctio n s   ℎ : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   an d   ℎ : ( , ₂ ) → ( , ₂ )   is   a  h o m eo m o r p h is m .   B y   P r o p o s itio n   1 . 1 ,   th e  f u n c tio n s   ℎ : ( , ( ₁ ) ) → ( , ( ₁ ) )   an d   ℎ : ( , ( ₂ ) ) → ( , ( ₂ ) )   ar e  f u zz y   h o m eo m o r p h i s m s .   He n ce ,   ℎ : ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) ) → ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m .   T h e  p r o o f   o f   ea ch   o f   ( ii)  ⇒   ( iii )   an d   ( iii)  ⇒   ( i)   is   s i m ilar   to   th e  p r o o f   o f   ( i)   ⇒   ( ii).     T h eo r em   2 . 5 .   L et  ( , ₁ , ₂ )   b e  a  b ito p o l o g ical  s p ac e.   T h en   th e  f o llo w i n g   ar e  eq u i v ale n t:   i.   ( , ₁ , ₂ )   is   n - s - h o m o g e n eo u s .   ii.   ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .   iii.   ( , | ₁ , | ₂ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .   P r o o f .   ( i)   ⇒   ( ii):   Su p p o s e  th at  ( , ₁ , ₂ )   is   n - s - h o m o g e n eo u s   a n d   let  = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   n - to n s   i n   .   T h en   t h er e  is   an   s - h o m eo m o r p h i s m   ℎ : ( , ₁ , ₂ ) → ( , ₁ , ₂ )   s u ch   th a t  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   B y   T h eo r e m   2 . 4 ,   ℎ : ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) ) → ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m .   I t f o llo w s   th a t  ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   f u zz y   n - s - h o m o g en eo u s .   T h e  p r o o f   o f   ea ch   o f   ( ii)  ⇒   ( iii )   an d   ( iii)  ⇒   ( i)   is   s i m ilar   to   th e  p r o o f   o f   ( i)   ⇒   ( ii).     C o r o llar y   2 . 6 .   L et  ( , ₁ , ₂ )   b e  a  b ito p o lo g ical  s p ac e.   T h en   th e  f o llo win g   ar e  eq u i v ale n t:   i.    ( , ₁ , ₂ )   is   s - h o m o g e n eo u s .   ii.    ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   f u zz y   s - h o m o g e n eo u s .   iii.    ( , | ₁ , | ₂ )   is   f u zz y   s - h o m o g e n eo u s .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2088 - 8708       F u z z y  n - s - h o mo g e n eity  a n d   fu z z y  w ea k  n - s - h o mo g en eity  ( S a mer A l G h o u r )   5397   T h eo r em   2 . 7 .   L et  ( , ₁ , ₂ )   b e  a  b ito p o l o g ical  s p ac e.   T h en   th e  f o llo w i n g   ar e  eq u i v ale n t:   i.   ( , ₁ , ₂ )   is   n - s - h o m o g e n eo u s .   ii.   ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   f u zz y   w ea k l y   n - s - h o m o g e n eo u s .   iii.   ( , | ₁ , | ₂ )   is   f u zz y   w ea k l y   n - s - h o m o g en eo u s .   P r o o f .   Si m i lar   to   th e  p r o o f   o f   T h eo r em   2 . 5 .     T h eo r em   2 . 8 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   n - s - h o m o g en eo u s   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e,   th e n   ( , ℑ ₁ )   an d   ( , ℑ ₂ )   ar e  f u zz y   n - h o m o g e n eo u s .   P r o o f .   = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   n - to n s   in   .   T h en   t h er e  is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   t h at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h en   ℎ : ( , ℑ ₁ ) → ( , ℑ ₁ )   an d   ℎ : ( , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₂ )   ar e  f u zz y   h o m eo m o r p h is m s .   He n ce ,   ( , ℑ ₁ )   an d   ( , ℑ ₂ )   ar e  f u zz y   n - h o m o g en eo u s .     C o r o llar y   2 . 9 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   s - h o m o g en eo u s   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e,   th en   ( , ℑ ₁ )   an d   ( , ℑ ₂ )   ar e   f u zz y   h o m o g e n eo u s .     T h e  f o llo w in g   ex a m p le  s h o w s   th at  th e  co n v er s e  o f   ea ch   o f   T h eo r em   2 . 8   an d   C o r o llar y   2 . 9   is   n o t  tr u e  in   g en er al:     E x a m p le  2 . 1 0 .   L et  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , ₁ = { ∅ , , { 1 , 2 , 3 } , { 4 , 5 , 6 } }   an d   ₂ = { ∅ , , { 1 , 2 } , { 3 , 4 } , { 5 , 6 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 1 , 2 , 5 , 6 } , { 3 , 4 , 5 , 6 } } .  T h en   ( , ₁ )   an d   ( , ₂ )   ar e   h o m o g e n eo u s .   So ,   b y   P r o p o s itio n   1 . 2 ,   ( , | ₁ )   an d   ( , | ₂ )   ar e  f u zz y   h o m o g e n eo u s .   I t  is   n o t  d if f ic u lt  to   ch ec k   th a t   ( , ₁ , ₂ )   is   n o t s - h o m o g e n eo u s   an d   b y   C o r o llar y   2 . 6 ,   ( , | ₁ , | ₂ )   is   n o t f u zz y   s - h o m o g en eo u s .     T h eo r em   2 . 1 1 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   i s   a  f u zz y   n - s - h o m o g en eo u s   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e,   th en   f o r   e ac h   ∈ [ 0 , 1 ) , ( , ( ℑ ₁ ) , ( ℑ 2 ) )   is   n - s - h o m o g e n eo u s .   P r o o f .   L et  ∈ [ 0 , 1 )   an d   let  = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e   an y   t wo   n - to n s   i n   .   T h en   th er e  is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h u s ,   ℎ : ( , ℑ ₁ ) → ( , ℑ ₁ )   an d   ℎ : ( , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₂ )   ar e  f u zz y   h o m e o m o r p h i s m s   a n d   b y   P r o p o s it io n   1 . 3 ,   ℎ : ( , ( ℑ ₁ ) ) → ( , ( ℑ ₁ ) )   an d   ℎ : ( , ( ℑ 2 ) ) → ( , ( ℑ 2 ) )   ar e  h o m eo m o r p h i s m s .   Hen ce ,   ℎ : ( , ( ℑ ₁ ) , ( ℑ 2 ) ) → ( , ( ℑ ₁ ) , ( ℑ 2 ) )   is   an   s - h o m eo m o r p h is m .     C o r o llar y   2 . 1 2 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a   f u zz y   s - h o m o g e n eo u s   f u zz y   b it o p o lo g ical  s p ac e,   th e n   f o r   ea ch   ∈ [ 0 , 1 ) , ( , ( ℑ ₁ ) , ( ℑ 2 ) )   is   s - h o m o g e n eo u s .     T h e  im p licat io n   i n   C o r o llar y   2 . 1 2   is   n o t r ev er s ib le  in   g e n er a l   as it c ab   b e  s ee n   f r o m   E x a m p le  4 . 7   o f   [ 7 ] .     T h eo r em   2 . 1 3 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   n - s - h o m o g en eo u s   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e,   t h e n   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   w ea k l y   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .   P r o o f .   Ob v io u s .     T h e  f o llo w i n g   E x a m p le  s h o w s   th at  th e  i m p licat io n   i n   T h eo r e m   2 . 1 3   is   n o t r ev er s ib le  in   g en er al:     E x a m p le  2 . 1 4 .   T h e  au t h o r   in   [ 3 ] ,   s h o w ed   th at   ( ℝ , . ,   )   is   w ea k l y   2 - s - h o m o g e n eo u s   b u t  n o t   2 - s - h o m o g e n eo u s .   T h er ef o r e,   b y   T h eo r e m s   2 . 5   an d   2 . 7   ( ℝ , ( . ) , (   ) )   is   f u zz y   w ea k l y   2 - s - h o m o g e n eo u s   b u t   n o t  f u zz y   2 - s - h o m o g en eo u s .     T h eo r em   2 . 1 5 .   I f   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s   f u zz y   b i to p o lo g ical  s p ac e  w ith   | | ≥ ,   th e n   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   k - s - h o m o g e n eo u s   f o r   ev er y   ≤ .   P r o o f .   L et  = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   k - to n s   in   .   C h o o s e  d is tin ce   p o in ts   + 1 , + 2 , . . . , f r o m   −   an d   c h o o s e  d is ti n ct  p o in t s   + 1 , + 2 , . . . ,   f r o m   − .   T h en   { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   { ₁ , ₂ , . . . , }   ar e  t w o   n - to n s   in   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) .   Sin ce   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g en eo u s ,   t h en   th er e  a   f u zz y   s - h o m eo m o r p h i s m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   t h at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h er ef o r e,   w e  h a v e  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h is   en d s   t h e  p r o o f .     I n   T h eo r em   2 . 1 5 ,   th e  ca r d in ali t y   is   co n d it io n   ca n n o t b e  d r o p p ed   as th e  f o llo w in g   e x a m p le  s h o w s :     E x a m p le  2 . 1 6 .   L et  = { 1 , 2 }   an d   = { ∅ , , { 1 } } .   T h en   ( , ( ) , ( ) )   is   f u zz y   3 - s - h o m o g e n eo u s   b u t  n o t   f u zz y   2 - s - h o m o g e n eo u s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   6 ,  Dec em b er   2 0 1 9   :   5 3 9 5   -   5 3 9 9   5398   T h e  f o llo w i n g   e x a m p le  s h o w s   th at  T h eo r em   2 . 1 5   is   n o t tr u e  f o r   f u zz y   w ea k   n - s - h o m o g en e i t y :   E x a m p le  2 . 1 7 .   L et  = { 1 , 2 } , ₁ = { ∅ , , { 1 } }   an d   ₂ = { ∅ , } .   T h en   ( , ( ₁ ) , ( ₂ ) )   is   f u zz y   w ea k l y   2 - s - h o m o g e n eo u s   b u t n o t  f u zz y   w ea k l y   1 - s - h o m o g e n eo u s .       3.   CH ARAC T E R I Z A T I O N S   Def i n itio n   3 . 1 .   [ 1 ]   A   co llectio n   o f   f u zz y   p o in t s   = { ₁ , ₂ , . . . , }   in   a  s et    is   s aid   to   b e  f u zz y   n - to n s ( f - n - to n s )   if f   an d     ar e  d i s tin c t f o r   all  , ∈   { 1 , 2 , . . . , }   w it h   ≠ .     Def i n itio n   3 . 2 .   [ 1 ]   L et  Ƒ  b e  a   co llectio n   o f   f u zz y   s e ts   i n   a  s et    an d     b e  a  m ap   f r o m     to   .   Def in e  ( Ƒ )   b y   ( Ƒ ) = { ( ) : ∈ Ƒ } .     Def i n itio n   3 . 3 .   [ 1 ]   L et    b e  a  co llectio n   o f   f u zz y   ( cr is p )   p o in ts   i n   a  s et    an d   ∈   ( 0 , 1 ] .   T h en   ( , )   w ill   d en o te   ( , ) = | { ∈ : ( ) = } | .     P r o p o s itio n   3 . 4 .   [ 1 ]   L et  ℎ : →   b e  a  b ij ec tiv e  m ap   a n d   let    an d     b e  t w o   f u zz y   p o in ts   in   .   T h en   ℎ ( ) =   if f   ( ) = ( )   an d   ℎ ( ) = ℎ ( ) .   P r o p o s itio n   3 . 5 .   [ 1 ]   L et  ℎ : →   b e  a  b ij ec tiv e  m ap   an d   let  { : ∈ }   b e  a  co llectio n   o f   f u zz y   s e ts   i n   .   T h en   ℎ ( ⋃ ∈ ) = ⋃ ℎ ( ) ∈ .     P r o p o s itio n   3 . 6 .   [ 1 ]   L et    b e  a  n o n - e m p t y   s et  a n d   = { : ∈ } , = { ∶ ∈ }   b e  t w o   co llectio n s   o f   m u tu al l y   d is tin c t f u zz y   ( cr is p )   p o in ts   in   .   T h en   ⋃ ∈ = ⋃ ∈ if f   = .     T h eo r em   3 . 7 .   L et  ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   b e  a  f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e. T h en   th e  f o llo w i n g   ar e  eq u i v ale n t:   i.   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u z z y   n - s - h o m o g e n eo u s .   ii.   Fo r   an y   t w o   f - n - to n s   = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   o f     w it h   ( ) = ( )   f o r   e v er y   = 1 , 2 , . . . , ,   th er e  ex i s ts   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   t h at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   iii.   Fo r   an y   t w o   f - n - to n s   = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , } o f     w it h   ( , ) = ( , )   f o r   all    ∈   ( 0 , 1 ] ,   th er e  ex is t s   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   t h at  ℎ ( ) = .   iv .   Fo r   an y   t w o   f - n - to n s   = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   o f     w ith   ( , ) = ( , )   f o r   all     ∈   ( 0 , 1 ] ,   th er e  ex is t s   a  f u zz y   s - h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   th a t  ℎ ( ⋃ = 1 ) = ⋃ = 1 .     P r o o f .   ( i)   ⇒   ( ii):   L et  = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   o f     w it h   ( ) = ( )   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h en   = { 1 , 2 , . . . , }   an d   = = { 1 , 2 , . . . , }   ar e  t w o   n - to n s .   S o   b y   ( i) ,   th er e  ex is ts   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   th at  ℎ ( } ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   Sin ce   b y   ass u m p tio n   ( ) = ( )   f o r   e v er y   = 1 , 2 , . . . , ,   th en   b y   P r o p o s itio n   3 . 4 ,   ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   ( ii)  ⇒   ( iii):  L et  = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   f - n - to n s   o f     w it h   ( , ) = ( , )   f o r   all    ∈   ( 0 , 1 ] .   Sin ce   ( , ) = ( , )   f o r   all    ∈   ( 0 , 1 ] ,   th en   w e   ca n   r e w r ite    an d     as  = { ₁₁ , ₂₁ , . . . , 1 }   an d   = { ₁₁ , ₂₁ , . . . , 1 }   s u c h   th at  1 ( 1 ) = 1 ( 1 )   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   B y   ( ii),   th er e  ex i s ts   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( 1 ) = 1   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h er ef o r e,   ℎ ( ) = .   ( iii)  ⇒   ( iv ) :  L et  = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   f - n - to n s   o f     w ith   ( , ) = ( , )   f o r   all    ∈   ( 0 , 1 ] .   T h en   b y   ( iii),   t h er e  ex is t s   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h i s m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   t h at  ℎ ( ) =   an d   h en ce   ℎ ( ⋃ ) ∈ = ( ⋃ ) ∈ .   T h er ef o r e,   b y   P r o p o s itio n   3 . 5   it  f o llo w s   t h at   ℎ ( ⋃ = 1 ) = ⋃ = 1 .   ( iv )   ⇒   ( i) :  L et  = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  an y   t w o   n - to n s   in   X.   De f i n e  = { ₁ , ₂ , . . . , }   an d   = { ₁ , ₂ , . . . , }   b y   = ,  = an d   ( ) = ( ) = ( 1 / ( 1 + ) )   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .  T h en     an d     ar e  tw o   f - n - to n s   o f     w ith   ( , ) = ( , )   f o r   all    ∈   ( 0 , 1 ] .   B y   ( iv ) ,   th er e  ex is t s   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u c h   th at  ℎ ( ⋃ = 1 ) = ⋃ = 1 .   Sin ce   ℎ   is   b ij ec tiv e,   th en   b y   P r o p o s itio n   3 . 5  ⋃ ℎ ( = 1 ) = ⋃ = 1 .   Sin ce   ℎ   is   o n e  to   o n e  { ℎ ( ) : = 1 , 2 , . . . , }   is   a  s et  o f   m u t u all y   d i s t in ct   f u zz y   ( cr is p )   p o in ts .   T h er ef o r e ,   b y   P r o p o s itio n   3 . 6   it   f o llo w s   th at  { ℎ ( ) : = 1 , 2 , . . . , } = { : = 1 , 2 , . . . , }   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2088 - 8708       F u z z y  n - s - h o mo g e n eity  a n d   fu z z y  w ea k  n - s - h o mo g en eity  ( S a mer A l G h o u r )   5399   an d   th u s   ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h is   i m p lies   th at  ℎ ( ) = f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   T h er ef o r e,   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .     C o r o llar y   3 . 8 .   A   f u zz y   b ito p o lo g ical  s p ac e  ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   s - h o m o g en eo u s   i f f   f o r   an y   t w o   f u zz y   p o in ts   ,   in   t h e  s et    w it h   ( ) = ( ) ,   th er e  ex is t s   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   s u ch   th at   ℎ ( ) = .     T h eo r em   3 . 9 .   I f   ( , ℑ ₁ )   an d   ( , ℑ ₂ )   ar e  t w o   f u zz y   to p o lo g ical  s p ac es  o n e  o f   w h ic h   i s   f u zz y   n - h o m o g en eo u s   an d   th e  o th er   co n s is t s   o f   co n s t an t f u zz y   s et s ,   th e n   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .   P r o o f .   L et  ( , ℑ ₁ )   b e   f u zz y   n - h o m o g e n eo u s   an d   ( , ℑ ₂ )   co n s is ts   o f   co n s ta n t  f u zz y   s et s .   L et  = { ₁ , ₂ , . . . , } , = { ₁ , ₂ , . . . , }   b e  t w o   n - to n s   i n   .   Sin ce   ( , ℑ ₁ )   is   f u zz y   n - h o m o g en eo u s ,   t h er e  e x i s ts   a   f u zz y   h o m eo m o r p h is m   ℎ : ( , ℑ ₁ ) → ( , ℑ ₁ )   s u ch   th at  ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   L et  ∈ ℑ ₂ .   T h en   ℎ⁻ ¹ ( ) = ∈ ℑ ₂ .   T h u s ,   ℎ : ( , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₂ )   is   f u zz y   co n ti n u o u s .   Si m i lar l y ,   ℎ⁻ ¹ : ( , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₂ )   is   f u zz y   co n tin u o u s .   Sin c e  h   is   b ij ec tiv e,   th e n   ℎ : ( , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   h o m eo m o r p h is m .   T h er ef o r e,   w e  h a v e   ℎ : ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ ) → ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   a  f u zz y   s - h o m eo m o r p h is m   w it h   ℎ ( ) =   f o r   ev er y   = 1 , 2 , . . . , .   I t  f o llo w s   th at  ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   n - s - h o m o g e n eo u s .   C o r o llar y   3 . 1 0 .   I f   ( , ℑ ₁ )   an d   ( , ℑ ₂ )   ar e  t w o   f u zz y   to p o lo g ical  s p ac es  o n e  o f   w h ic h   is   f u zz y   h o m o g e n eo u s   an d   th e  o th er   co n s is t s   o f   co n s t an t f u zz y   s et s ,   th e n   ( , ℑ ₁ , ℑ ₂ )   is   f u zz y   s - h o m o g en eo u s .       RE F E R E NC E S   [1 ]   A .   F o ra   a n d   S .   A l  G h o u r,   “ Ho m o g e n e it y   in   f u z z y   s p a c e s, ”   Qu e st io n s  a n d   An swe rs   in   Ge n e ra l  T o p o l o g y ,   v o l .   1 9 ,   p p . 1 5 9 - 1 6 4 ,   2 0 0 1 .     [2 ]   J.  C.   Ke ll y ,   “ Bit o p o l o g ica l  sp a c e s,   ”   Pro c e e d in g s o f   L o n d o n   M a th e ma ti c a l  S o c iety ,   v o l .   1 3 ,   p p .   7 1 - 8 9 ,   1 9 6 3 .   [3 ]   K.  Kh a sh a n ,   “ Ho m o g e n e o u s  b i to p o lo g ica l  sp a c e s, ”   M a ste r' s  Th e sis,  De p a rtm e n t  o f   M a th e m a ti c s,  Ya r m o u k   Un iv e rsit y ,   Irb id ,   Jo rd a n , 1 9 9 6 .   [4 ]   A .   Ka n d il ,   “ Bip r o x im it ies   a n d   f u z z y   b it o p o lo g ica l  sp a c e s, ”   S imo n   S tev in ,   v o l.   6 3 ,   p p .   4 5 - 6 6 ,   1 9 8 9 .   [5 ]   S .   A l  G h o u r,   “ Ho m o g e n e it y   in   f u z z y   sp a c e s  a n d   th e ir  in d u c e d   sp a c e s, ”   Qu e stio n s  a n d   An swe rs   in   Ge n e ra l  T o p o lo g y ,  v o l.   2 1 ,   p p .   1 8 5 - 1 9 5 ,   2 0 0 3 .   [6 ]   S.   A l  G h o u r,   “ S L H f u z z y   sp a c e s, ”   Af ric a n   Di a sp o ra   J o u rn a l  o f  M a th e ma t ics ,   v o l.   2 ,   p p .   6 1 - 6 7 ,   2 0 0 4 .   [7 ]   S .   A l  G h o u r   a n d   A .   F o ra ,   “ M in ima li ty   a n d   h o m o g e n e it y   in   f u z z y   s p a c e s, ”   J o u rn a l  o f  F u zz y   M a th e ma t ics ,   v o l.   1 2 ,   p p .   725 - 7 3 7 ,   2 0 0 4 .   [8 ]   S .   A l  G h o u r,   “ L o c a l  h o m o g e n e it y   in   f u z z y   to p o lo g ica l  sp a c e s, ”   In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  M a th e ma t ics   a n d   M a th e ma ti c a l   S c ien c e s ,   v o l.   1 4 ,   2 0 0 6 .   [9 ]   S .   A l  G h o u r,   “ S o m e   G e n e ra li z a ti o n s  o f   M in im a l  F u z z y   Op e n   S e ts , ”   Acta   M a th e ma ti c a   U n ive rs it a ti sCo me n ia n a e ,   v o l.   7 5 ,   p p .   1 0 7 - 1 1 7 ,   2 0 0 6 .   [1 0 ]   S .   A l  G h o u r   a n d   K.  A l - Zo u b i,   “ On   so m e   o rd in a ry   a n d   fu z z y   h o m o g e n e it y   t y p e s, ”   Act a   M a th e ma ti c a   Un ive rs it a ti sCo me n i a n a e ,   v o l.   7 7 ,   p p .   1 9 9 - 2 0 8 ,   2 0 0 8 .   [1 1 ]   S .   A l  G h o u r   a n d   A .   F o ra ,   “ On   C DH   f u z z y   sp a c e s, ”   J o u rn a l   o f   I n t e ll ig e n t   &   Fu zz y   S y ste ms ,   v o l .   3 0 ,   p p .   9 3 5 - 9 4 1 ,   2 0 1 6 .   [1 2 ]   S .   A l  G h o u r   a n d   A .   A z a ize h ,   “ F u z z y   h o m o g e n e o u s  b it o p o lo g ica l  S p a c e s, ”   In ter n a ti o n a l   J o u r n a l   o f  El e c trica l   a n d   Co mp u ter   E n g in e e rin g ,   v o l.   8 ,   p p .   2 0 8 8 - 8 7 0 8 ,   2 0 1 8 .   [1 3 ]   S .   A l  G h o u r ,  “ Ho m o g e n e o u s c o m p o n e n ts  o f   a   CDH   f u z z y   s p a c e , ”   I n ter n a ti o n a l   J o u rn a l   o f   El e c trica l   a n d   Co m p u ter   En g i n e e rin g ,   v o l.   9 ,   p p .   2 6 9 1 - 2 6 9 4 ,   2 0 1 9 .   [1 4 ]   S .   A l  G h o u r,   “ De n se ly   h o m o g e n e o u s f u z z y   sp a c e s, ”   In ter n a ti o n a l   J o u rn a l  o f  El e c trica l   a n d   C o mp u te r  E n g i n e e rin g ,   v o l.   9 ,   p p .   3 2 5 6 - 3 2 6 1 ,   2 0 1 9 .   [1 5 ]   A .   F o ra ,   “ S e p a ra ti o n   a x io m s,  su b sp a c e s  a n d   p ro d u c t  sp a c e s  in   f u z z y   to p o l o g y , ”   T h e   Ara b   Gu lf   J o u r n a l  o f  S c ien ti fi c   Res e a rc h ,   v o l.   8 ,   p p .   1 - 1 6 ,   1 9 9 0 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.