I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   11 ,   No .   4 A u g u s t   2021 ,   p p .   3 0 4 9 ~ 3 0 5 8   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v 1 1 i 4 . pp 3 0 4 9 - 3 0 5 8          3049       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   Ba y esia n learning  sche m for  s pa rs e D O e s ti m a tion  bas ed on  m a x i m u m - a - po st erio ri of  h y per pa ra m e ters       Ra g hu   K . P ra m ee la   K u m a r i N .   S c h o o o f   El e c tro n ics   a n d   C o m m u n ica ti o n   E n g in e e rin g ,   RE V A   Un iv e rsit y ,   Be n g a lu ru ,   Ka rn a tak a ,   In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ju l   22 ,   2 0 20   R ev i s ed   Oct   2 3 ,   2 0 2 0   A cc ep ted   Dec   1 8 ,   2 0 20       In   th is  p a p e r,   th e   p r o b lem   o f   d irec ti o n   o f   a rriv a e sti m a ti o n   is  a d d re ss e d   b y   e m p lo y in g   B a y e si a n   lea rn in g   tec h n i q u e   in   sp a rse   d o m a in .   T h is  p a p e d e a ls   w it h   th e   in f e re n c e   o f   sp a rs e   Ba y e sia n   le a rn in g   (S BL f o b o th   sin g le   m e a su re m e n v e c to (S M V )   a n d   m u lt ip l e   m e a su re m e n v e c to (M M V a n d   it s   a p p li c a b il i ty   to   e sti m a te  th e   a r riv in g   sig n a l’s  d irec ti o n   a t h e   re c e iv in g   a n ten n a   a rra y p a rti c u larly   c o n sid e re d   t o   b e   a   u n if o rm   li n e a a rra y .   W e   a lso   d e riv e   th e   h y p e rp a ra m e ter  u p d a ti n g   e q u a ti o n b y   m a x i m izin g   th e   p o ste r io r   o f   h y p e rp a ra m e t e rs  a n d   e x h ib it   th e   re su lt f o n o n z e ro   h y p e rp rio sc a lars .   T h e   re su lt p re se n ted   in   th is  p a p e r,   s h o w th a th e   re so lu t io n   a n d   s p e e d   o f   th e   p ro p o se d   a lg o rit h m   is  c o m p a ra ti v e l y   i m p ro v e d   w it h   a l m o st  z e ro   f a il u re   ra te   a n d   m in im u m   m e a n   sq u a r e   e rro o f   sig n a l’s  d irec ti o n   e stim a te.   K ey w o r d s :   Dir ec tio n   o f   ar r iv al  e s ti m atio n   Ma x i m u m   p o s ter io r i   R elev a n ce   v ec to r   m ac h in   Sp ar s B ay e s ia n   lear n i n g   Un i f o r m   l i n ea r   a r r a y   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   R ag h u   K .     Sch o o l o f   E lectr o n ics a n d   C o m m u n icatio n   E n g i n ee r in g   R E V A   U n iv er s it y   R KP ,   Kattig e n ah a lli,  B en g a lu r u   5 6 0 0 6 4 ,   Kar n atak a,   I n d ia   E m ail:  r ag h u k 5 0 @ g m ail. co m / r ag h u k @ r e v a. ed u . in       1.   I NT RO D UCT I O N     Dir ec tio n   o f   ar r iv al  ( DO A )   esti m at io n   is   w ell - k n o wn   p r o b lem   i n   th f ield   o f   ar r ay   s i g n al   p r o ce s s in g   w h er e,   th an g le  o f   ar r iv al  ( d ir ec tio n )   o f   th s i g n al  at  th r ec eiv er   n ee d s   to   b esti m ated   f r o m   t h e   k n o w led g o f   t h r ec eiv ed   s i g n al  i ts el f .   T h is   p r o b lem   o f   d ir ec tio n   o f   ar r iv al  es ti m a tio n   h as  attr ac ted   m a n y   m o d er n   r esear ch er s   b ec au s e   o f   its   lar g r a n g o f   ap p licati o n s   i n   ce r tai n   f ield s   s u c h   as   R A D AR ,   SON AR ,   s eis m o lo g y ,   w ir eles s   m o b ile   co m m u n icatio n   an d   o t h er s .   T o   s o lv th is   p r o b lem   o f   s ig n al s   d ir ec tio n   esti m atio n ,   a n   ar r a y   o f   an te n n as  w it h   l in ea r   o r   n o n - li n ea r   s t r u ctu r h a v in g   u n i f o r m   o r   n o n - u n i f o r m   a n te n n a   s p ac in g   ca n   b u s ed   at  t h r e ce iv er .   T h s ig n al s   w h ich   ar e   g en er ated   f r o m   t h f ar - f ield   s o u r ce s   ar r iv at   p ar ticu lar   d ir ec tio n   an d   i m p in g o n   t h a n ten n ar r a y .   T h e   r ec eiv ed   s i g n al s   f r o m   t h an ten n ar r a y   o f   M   s en s o r s   f o r m   t h u n d er - s a m p led   o b s er v ed   s ig n al  s a m p le s .   T h ese  o b s er v ed   s i g n a s a m p les  co n tai n   th e   d ir ec tio n   in f o r m atio n   an d   h en ce   th e y   ar p r o ce s s ed   to   esti m ate  th s ig n al  s o u r ce   d ir ec tio n   [ 1 ] .   Fro m   p ast  t wo   d ec ad es,  m a n y   al g o r ith m s   w e r d er iv ed   to   s o lv th p r o b lem   o f   DO A   es ti m atio n .   T h ese   alg o r ith m s   ca n   b e   b r o ad ly   class if ied   i n to :   i )   C o n v en t io n al  m et h o d s ,   ii )   Su b s p a ce   m eth o d s ,   iii )   Sp ar s m et h o d s .     T h s tan d ar d   MU SI C   al g o r ith m   p r o p o s ed   in   [ 2 ,   3 ] ,   d ec o m p o s es  s i g n al   an d   n o is e   s u b s p ac es  alo n g   w it h   m u ltip le  s ig n al  c lass if icat io n   m e th o d o lo g y   to   esti m ate  t h n u m b er   o f   s ig n al  s o u r ce s   a s   w ell  a s   t h s p atial   s p ec tr u m   o f   t h r ec ei v ed   s i g n al.   T h d r a w b ac k   o f   t h is   alg o r ith m   i s   t h at   it  f ai ls   f o r   co h er e n s i g n al   s o u r ce s .   I n   [ 4 ] ,   an   i m p r o v ed   a n d   m o d i f ie d   MU SIC  al g o r it h m   is   p r o p o s ed   b y   e m p lo y in g   m atr i x   d ec o m p o s itio n   to   ad d r ess   th ca s o f   co h er e n s i g n al  s o u r ce s   b u th p er f o r m an ce   o f   t h is   al g o r it h m   d eter io r ates  f o r   l o w   SN R   r e g io n .   I n   [5 6 ] ,   th p er f o r m an ce   o f   all   th ese  s u b s p ac b ased   s tan d ar d   DOA   esti m atio n   al g o r ith m s   ar an al y ze d   an d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  11 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 2 1   :   3 0 4 9   -   3058   3050   f o u n d   th at   th e s tec h n iq u es  o f f er   g o o d   s p ee d   an d   less   c o m p le x it y   b u s u f f er   f r o m   lo w   r eso l u tio n ,   h i g h   s en s iti v it y   to w ar d s   co r r elate d   s ig n al  s o u r ce s   an d   h ig h   MSE .   I n   r ec en y ea r s ,   a f ter   th e m e r g o f   s p ar s s i g n al  r ep r esen t atio n   s ev er al  al g o r ith m s   w er d er iv ed   as  s o lu tio n s   to   th DO A   e s ti m a tio n   p r o b lem   b y   co n s id er in g   a n d   r ep r esen tin g   th p r o b lem   as  s p ar s s i g n al  r ec o v er y   p r o b lem   b y   u t ilizi n g   t h s p ar s n a tu r o f   to   b esti m ated   s i g n al  [ 7 ] .   T h s p ar s b ased   alg o r ith m   p r o p o s ed   in   [ 8 9 ]   is   b ased   o n   t h o r th o g o n al  m atc h i n g   p u r s u it  ( OM P )   tec h n iq u e,   w h ic h   s u f f er s   f r o m   lo pe r f o r m a n ce   an d   r eq u ir es  t h k n o w led g o f   s o u r ce   n u m b er .   I n   [ 1 0 ] ,   a   co n v ex   r elax at io n   with   l1   n o r m   p en al t y   is   ap p lied   to   m iti g ate  t h p er t u r b atio n   e f f ec ts .   I n   [ 1 1 ,   1 2 ] ,   an   l1 - s v d   b ased   al g o r ith m   alo n g   w i th   r e - w ei g h ted   l1   m i n i m izatio n   is   p r o p o s ed   to   m in i m ize  t h co m p le x it y   o f   DO A   est i m a tio n   al g o r ith m   b u s u f f er s   w it h   lo p er f o r m a n ce   f o r   co h er e n a n d   clo s el y   s p ac ed   s i g n a s o u r ce s .   T h co m p r es s iv e   s e n s i n g   b ase d   DO A   est i m a tio n   alg o r ith m s   p r o p o s ed   in   [ 1 3 - 1 6 ]   ar b ased   o n   th s i m p le  least   s q u ar es  m i n i m izatio n   m et h o d   w h ich   o f f er s   g o o d   MSE ,   r eso lu tio n   b u s u f f er s   f r o m   h i g h   co m p le x it y ,   th p er f o r m a n ce   o f   B P   an d   OM P   d e p en d s   o n   th ar r a y - s teer in g   m atr ix   [ 9 ] ,   an d   it  d eg r ad es  f o r   h i g h l y   co r r elate d   ar r a y - s teer i n g   m atr i x   i n   t h ca s e   o f   DO A   p r o b le m .   T h s ca lin g / s h r i n k ag o p er atio n s   in   co n v ex   r elax at io n   m a y   r ed u ce   v ar ian ce   f o r   in cr ea s in   s p ar s it y   o r   v ice   v er s a.   I n   th m o s r ec en y ea r s ,   B ay esian   m et h o d s   lik m ax i m u m   p o s ter io r i   ( MA P )   [ 1 7 ,   1 8 ] ,   m ax i m u m   lik eli h o o d   ( ML   esti m atio n )   [ 1 8 ] ,   iter ativ r e w ei g h ted   l1   a n d   l2   al g o r ith m s   w er ap p lie d   to   s o lv e   t h DO esti m atio n   p r o b le m .   T h ese  B ay esia n   alg o r it h m s   s u f f er   f r o m   h ig h   MSE ,   ev e n   th o u g h   tr u p r io r s   ar u s ed .   I n   [ 1 7 ] ,   MA P   o n ly   g u ar a n tees  m ax i m izatio n   o f   p r o d u ct  o f   lik el ih o o d   an d   th p r io r   o f   th u n k n o w n   s p ar s s ig n al .   ML   est i m a te  i n   [ 1 8 ] ,   also   m ax i m izes  o n l y   t h li k eli h o o d   f u n ctio n   b y   as s u m i n g   p r io r   o f   u n k n o w n   to   b eq u all y   li k el y   to   o cc u r .   Sp ar s B ay es ian   lear n in g   ( SB L )   w ith   r ele v an ce   v ec to r   m ac h in p r o p o s ed   b y   T ip p in g   in   [ 1 9 ]   an d   r e - r ep r esen ted   b y   W ip f   i n   [ 2 0 ]   f o r   lin ea r   r eg r e s s io n /s p ar s s i g n al  r ec o v er y   p r o b le m   led   b r o ad e r   w a y   w it h   h ig h er   p er f o r m a n ce   r esu lts   i n   th r esear ch   o f   s p ar s s ig n a r ec o v er y .   I n   t h i s   p ap er ,   w e   p r esen th d etail   in f er en ce   o f   Sp ar s B a y es ian   l ea r n in g   an d   its   ap p licab ilit y   to   DOA   p r o b le m   u s in g   o n - g r id   ap p r o ac h .   W e   also   d er iv th u p d atin g   eq u atio n s   f o r   h y p er p ar a m eter s   b y   m ax i m izi n g   t h p o s ter io r   o f   h y p er p ar a m eter s   f o r   n o n ze r o   h y p er p r io r   s ca lar s .     Fu r t h er ,   th p ap er   is   o r g an ize d   as Sectio n   2   d escr ib es  th s ig n a m o d el  u s ed   f o r   DO A   e s t i m atio n   f o r   u n i f o r m   l in ea r   ar r a y .   Sect io n   3   d escr ib es  th b asics   a n d   in f er e n ce   o f   th Sp ar s B ay e s ian   L ea r n i n g   tech n iq u e.   Sectio n   4   d escr ib es  ab o u u p d atin g   o f   t h h y p er p ar am eter s   o f   SB L   est i m ate  b y   p r o p o s in g   a   m et h o d   o f   m ax i m u m - a - p o s ter io r   o f   th h y p er p ar a m eter s .   S ec tio n   5   s u m m ar izes  th p r o p o s ed   alg o r ith m .   I n   s ec tio n   6 ,   th e   r es u lts   an d   p er f o r m a n ce   a n al y s i s   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   ar e   p r esen te d .   Fin all y ,   s ec tio n   7   co n clu d es t h p ap er .       2.   S I G NA L   M O DE L   F O SPAR SE   DO E S T I M AT I O N   C o n s id er   D’   n u m b er   o f   ar r iv i n g   s ig n al  s o u r ce s   s ( n ) = [s 1 ( n ) ,   s 2 ( n ) ….   s D ( n ) ] T   i m p i n g i n g   o n   t h e   u n i f o r m   lin ea r   ar r a y   o f   M’   s en s o r s   w it h   u n if o r m   s p ac i n g   o f   d     λ /2 ,   w h er λ   is   t h w a v ele n g t h   o f   th e   ar r iv in g   s i g n als.  L et  y ( n ) = [y 1 ( n ) ,   y 2 ( n ) ….   y M ( n ) ] b Mx 1   o b s er v ed   s ig n al  s a m p le s   r ec eiv ed   b y   M   an ten n a   ar r ay   s e n s o r s .   Fo r   s i m p lici t y ,   ass u m in g   s in g le  s n ap s h o ( s in g le  m ea s u r e m en v ec to r )   i.e ,   n =1 ,   th p r o b lem   o f   d ir ec tio n   o f   ar r iv al  est i m a ti o n   ca n   b m o d eled   as in   ( 1 ) .     y ( n ) = A ( θ ) x ( n ) + w ( n )       ( 1 )     w h er A   i s   M x ar r a y   s teer i n g   m atr i x   g i v en   b y   ( 2 )   an d   a ( θ i r ep r esen ts   th e   ato m   f o r   a   p ar ticu lar   d ir ec tio n   an g le   θ i .   Fo r   s ea r ch i n g   t h en tire   a n g le  s p ac f o r   DO A   p ar ticu lar   g r id   o f   N   v a lu es   o f   a n g les   ar co n s id er ed .   E ac h   ato m   is   v e cto r   o f   Mx 1   an ten n ar r a y   s tee r in g   v ec to r   g i v en   i n   ( 3 ) .     A ( θ ) = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) . . a ( θ N ) ]     ( 2)     a ( θ i ) = [ 1   e j β d s i n ( θ i )   e j2 β d s i n ( θ i )   e j3 β d s i n ( θ i ) e j ( M 1 ) β d s i n ( θ i ) ] T      ( 3 )     w h er e,   β=2 π/λ,  x ( n ) = [x 1 ( n ) ,   x 2 ( n ) ….   x N ( n ) ] is   N x 1   s i g n al   v e cto r   th at  n ee d s   to   b esti m ated   to   f i n d   th s o u r ce   s ig n al  d ir ec tio n s   in   p r esen ce   o f   an te n n ar r a y   n o is v ec to r   w ( n ) = [w 1 ( n ) ,   w 2 ( n ) ….   w M ( n ) ] o f   Mx 1   s ize.   T h esti m ated   x ( n )   v alu e s   ar th e s ti m atio n   o f   s i g n al  p o w er   s ( n )   an d   is   r elate d   b y   ( 4 ) .     x i ( n ) = { s j ( n )           θ i = DOA ;     i = 1 , 2 N 0 e l s e   ( 4 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       B a ye s ia n   lea r n in g   s ch eme   f o r   s p a r s DOA   esti ma tio n   b a s ed   o n   ma ximu m - a - p o s teri o r i o f ...   ( R a g h u   K )   3051   T h m o d el  i n   ( 1 )   tu r n s   o u t o   b th p r o b lem   o f   s p ar s s ig n a r ec o v er y   f r o m   t h u n d e r - s a m p led   m ea s u r e m e n t s   y   [ 1 3 ] .       3.   SPAR S E   B AYES I AN  L E AR NIN G   I NF E RE NCE   C o n s id er   s in g le  s n ap s h o ca s e,   DOA   es ti m atio n   p r o b le m   as  in   ( 1 ) .   T h w ( n )   ar in d ep en d en n o is e   s a m p les   w h ich   is   a s s u m ed   to   b ze r o m ea n   Ga u s s ian   r a n d o m   p r o ce s s   w it h   n o is v ar ia n ce   σ 2 .   B y   B a y e s s   th eo r e m   [ 1 9 ] ,   th p o s ter io r   o f   u n k n o w n   x   b y   k n o w in g   th o b s er v ed   an ten n ar r a y   r ec eiv ed   s ig n al  y   ca n   b ex p r ess es a s   in   ( 5 ) .     P ( x / y ) = P ( y / x ) P ( x ) P ( y )                 ( 5 )     w h er e,   P ( y /x )   i s   t h li k eli h o o d   o f   o b s er v ed   d ata  f o r   t h e s ti m ated   u n k n o w n   p ar a m eter   x   w h ic h   i s   as s u m ed   as  P ( y / x )   ( y / Ax , σ 2 ) ,   w h er th n o tat io n   ( . )   s p ec if ies  g u as s ian   d is tr ib u tio n   o v er   y   w it h   m ea n   A x     an d   v ar ian ce   σ 2 .   T h is   ass u m p tio n   is   d u to   an o th er   as s u m p tio n   o f   i n d ep en d en ce   o f   s a m p les  y .   T h u s   th e   lik eli h o o d   f u n ctio n   o f   y   i s   g i v en   in   ( 6 ) .     P ( y x , σ 2 ) = 1 ( σ 2 ) M / 2 e xp { y Ax 2 2 σ 2 }   ( 6 )     T h p r i o r   o f   u n k n o w n   x   is   al s o   ass u m ed   to   b as  ze r o   m ea n   Gau s s ia n   p r io r   d is tr ib u tio n   o v er   x   w it h   v ar ian ce     [ 1 9 2 0 ] .   T h Gau s s i an   p r io r   o f   s in g le  s a m p le  o f   x   ( i.e ,   x i )   is   g i v e n   in   ( 7 ) .     P ( x i γ i ) = 1 ( γ i ) 1 / 2 e xp { x i 2 2 γ i }   ( 7 )     T h o v er all  Gau s s ia n   p r io r   f o r   all  i =   1   to   is   g iv e n   in   ( 8 ) .     P ( x γ ) = { 1 ( γ i ) 1 / 2 e xp { x i 2 2 γ i } }                                                           N i = 1                   ( 8 )     T o   d ef in p r io r   o f   u n k n o w n   x ,   w r eq u ir a n o th er   p ar a m e ter   γ   w h ic h   i s   v ar ian ce   o f   u n k n o w n   x .   T h u s   t h γ   ca n   b ca lled   as a   v e cto r   o f   h y p er p ar a m eter s   o f   u n k n o w n   x   [ 2 1 22 ] .   Hen ce ,   to   co m p lete l y   d e f i n e   all  th d is tr ib u tio n s ,   th h y p er p ar am eter s   γ   an d   n o is v ar ian c σ 2   n ee d s   to   b esti m ated   w h i ch   ca n   b d o n b y   d ef in i n g   th h y p er p r io r s   o f   γ   an d   σ 2   as in   ( 9 )   an d   ( 1 0 ) .     P ( γ ) = ga mma { γ i a , b }                                                           N i = 1                                                 ( 9 )     P ( σ 2 ) = ga mma { σ 2 c , d }                                                           N i = 1                                                                     ( 1 0 )     W h av ch o s en   g a m m d is t r ib u tio n   b ec au s t h h y p er p ar a m eter s   γ   and   σ 2   ar e   s ca le  p a r a m eter s   [ 2 3 ,   2 4 ]   w h er e:     g a m m a( γ / a,b )  = G ( a) - 1 b a   γ a - 1 e b γ        ( 1 1 )     w it h   G( a) = t a 1 e t dt 0   is   th g a m m f u n c tio n   an d   a,   b ,   c,   d   ar e   all  h y p er p r io r   p ar am eter s .   Af ter   d ef i n i n g   t h e   lik eli h o o d   an d   p r io r s   ( 5 )   ca n   b r e - w r i tten   a s   [ 1 9 ] .     P ( x / y,  γ , σ 2 ) = P ( y / , σ 2 ) P ( x/ γ ) P ( y /   γ , σ 2 )                                                                                                                               ( 1 2 )     P ( x / y γ , σ 2 ) P ( y γ , σ 2 ) = P ( y / x  , σ 2 ) P ( x/ γ )                                                                                       ( 1 3 )     B y   p l u g g i n g   in   ( 6 )   an d   ( 8 )   o n   r ig h h a n d   s id o f   ( 1 3 )   an d   s i m p lify i n g   g i v e s   an o t h er   Gau s s ia n   d is tr ib u tio n   f o r   P ( x / y,  γ , σ 2 )   an d   P ( y/   γ , σ 2 )   as in   ( 1 5 )   an d   ( 1 8 )   r esp ec tiv el y .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  11 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 2 1   :   3 0 4 9   -   3058   3052   P ( x / y,  γ , σ 2 ) P ( y/   γ , σ 2 ) = 1 ( 2 π σ 2 ) M / 2 e x p { y Ax 2 2 σ 2 } { 1 ( 2 π γ i ) 1 / 2 e x p { x i 2 2 γ i } }                     N i = 1     P ( x / y,  γ , σ 2 ) P ( y/   γ , σ 2 ) = ( x μ , Σ x ) ( y 0 , Σ y )                                                                                     ( 1 4 )     E q u atin g   o n   b o th   s id e s   w g et :     P ( x y , γ ,   σ 2 ) = 1 ( ) N / 2 | Σ x | 1 / 2 e xp { ( x μ ) T ( x μ ) 2 Σ x }                                                                     ( 1 5 )     w h er th p o s ter io r   m ea n   an d   co v ar ian ce   o f   u n k n o w n   x   ar g iv e n   i n   ( 1 6 )   an d   ( 1 7 )   r esp ec ti v el y .     μ = σ 2 Σ x A T y                                                                                                                                     ( 1 6 )     Σ x = ( σ 2 A T A + Γ ) 1                                                                                                                 ( 1 7 )     w it h   Γ   d iag ( γ 1 1 , γ 2 1 . . γ N 1 ) I n   ( 1 4 )   w g et  o n m o r r es u lt  f o r   p r io r   o f   th o b s er v ed   ar r ay   r ec ei v ed   s i g n al   v ec to r .     P ( y γ , σ 2 ) = 1 ( ) M / 2 | Σ y | 1 / 2 e xp { ( y ) T ( y ) 2 Σ y }                                                                                 ( 1 8 )     w it h   Σ y = ( σ 2 I + A Γ 1 A T )   as  th p r io r   co v ar ian ce   o f   o b s er v ed   ar r ay   r ec eiv ed   s ig n a v ec to r .   So lv i n g   ( 1 6 )   an d   ( 1 7 )   f o r   th k n o w n   v al u e s   o f   h y p er p ar a m eter s   γ   and  σ 2   r esu lt s   i n   m ea n   a n d   co v ar ian ce   o f   p o s ter io r   o f   u n k n o w n   x   r esp ec ti v el y .   T h p o s ter io r   m ea n   o f   u n k n o w n   x   is   its el f   t h est i m a tio n   o f   t h u n k n o w n   x   i.e ,   ̂ = ,   p lo ttin g   th is   ̂   esti m ate  w it h   r esp ec to   th o n - g r id   s ea r ch   a n g le  p o in t s   g i v e s   th DO A   p e ak s   an d   h e n ce   t h ar r iv in g   s i g n al  s o u r ce s   d ir ec ti o n   ca n   b esti m ated   [ 2 5 ] .   I n   p r ac tical  s itu a tio n s ,   th h y p er p ar a m eter s   γ   and  σ 2   w il b u n k n o w n   an d   t h er ca n n o b a n y   c lo s ed   f o r m   e x p r e s s io n s   o b tain ed   f o r   th e m   [ 2 6 ] .   Hen ce ,   a n   iter ati v esti m atio n   o f   h y p er p ar a m eter s   γ   and  σ 2   h as to   b d o n e.           4.   M AXI M U M   P O ST E RIO O F   H YP E RP ARAM E T E RS   T o   iter ativ el y   esti m ate   th h y p er p ar a m eter s   li k v ar ian ce   o f   p r io r   o f   u n k n o w n     an d   v a r ian ce   o f   n o is e   σ 2 ,   w m a x i m ize  t h p r o b ab ilit y   f u n ctio n   P ( γ , σ 2 / )   g iv e n   b y   ( 1 9 ) .     P ( γ , σ 2 / y ) = P ( y / γ , σ 2 ) P ( γ , σ 2 ) P ( y )                                                                                                                   ( 1 9 )     T h h y p er p ar a m eter s   γ σ 2   is   m u t u all y   in d ep en d e n w it h   ea c h   o th er   an d   also   th p r o b ab ilit y   o f   k n o w n   m ea s u r ed   ar r ay   r ec ei v ed   s ig n a v ec to r   is   co n s ta n t.  T h u s ,   m a x i m izi n g   ( 1 9 )   is   eq u iv alen to   m a x i m ize   ( 2 0 )   w it h   r esp ec t to   γ , σ 2 .     P ( γ , σ 2 / y ) P( y/ γ , σ 2 ) P ( γ ) P ( σ 2 )                                                                                                                 ( 2 0 )     As  i n   p r ac tice,   w e   ass u m u n if o r m   h y p er p r io r s   o v er   lo g a r ith m ic  s ca le  w it h   t h d er iv ati v es  o f   t h e   h y p er p r io r s   ter m s   g o e s   to   ze r o ,   w c h o o s to   m ax i m ize  t h e   lo g ar ith m ic  q u a n tit y   o f   ( 2 0 )   w it h   r esp ec to   lo g   γ   an d   lo g σ 2 .   T h lo g ar ith m   o f   ( 2 0 )   is   g i v en   b y   ( 2 1 ) .     L =lo g   P ( γ , σ 2 / y ) lo g P ( y/ lo g γ , lo g σ 2 ) + l ogP ( l og γ ) +lo g P ( lo g σ 2 )                                                 ( 2 1 )     L =lo g P ( y/ lo g γ , lo g σ 2 ) + l ogP ( l og ) N i = 1 +lo g P ( lo g σ 2 )                                                     ( 2 2 )     Hen ce   m a x i m izi n g   L   th o b j ec t iv f u n c tio n   i n   ( 2 2 )   w it h   r esp ec to   lo g γ   an d   lo g σ 2   g iv es  t h iter ativ e   esti m ate  o f   γ, σ 2 .   T h o b j ec tiv f u n ctio n   in   ( 2 2 )   ca n   also   b w r itte n   as i n   ( 2 3 ) .     L= - 1 2 { l og | Σ x | + N l og σ 2 l og | Γ | + σ 2 y A μ 2 + μ T Γμ } + ( a l og γ i b γ i 1 ) c l og σ 2 d σ 2 N i = 1   ( 2 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       B a ye s ia n   lea r n in g   s ch eme   f o r   s p a r s DOA   esti ma tio n   b a s ed   o n   ma ximu m - a - p o s teri o r i o f ...   ( R a g h u   K )   3053   4 . 1 .     T he  v a ria nce  o f   un k no w n ‘ x   T h d if f er en tia tio n   o f   ( 2 3 )   w it h   r esp ec t to   lo g γ i   g i v es:        l o g γ i = 1 2 [ 1 γ i 1 ( μ i 2 + Σ xii ) ] + γ i 1                                                                                             ( 2 4 )     Settin g   t h is   ( 2 4 )   to   ze r o   an d   M ac k a y   [ 2 7 ] ,   lead s   to   th u p d ate  in   ( 2 5 ) .     = ( μ i 2 + 2b ) γ i Σ x ii + 2a                                                                                                                                           ( 2 5 )     4 . 2 .     T he  no is v a ria nce   T h d if f er en tia tio n   o f   ( 2 3 )   w it h   r esp ec t to   lo g σ w g et:     L l o g σ 2 = 1 2 [ N σ 2 y A μ 2 tr ( Σ x A T A ) ] + c d σ 2                                           ( 2 6 )     w h er e:  tr ( Σ x A T A ) = σ 2 ( 1 N i = 1 γ i 1 Σ xii )   an d   s etti n g   d er iv ati v e   in   ( 2 6 )   to   ze r o   an d   r e - ar r an g in g   th e   ter m s   w g et  σ 2   u p d ate  as i n   ( 2 7 ) .     σ 2 ( n ew ) = y A μ 2 + 2d N ( 1 N i = 1 γ i 1 Σ x ii ) + 2c                                                                                                                   ( 2 7 )       5.   T H E   P RO P O SE AL G O RI T H M   Fo r   s in g le  s n ap s h o ca s e,   i n   DO A   est i m at io n ,   i n itial ize  t h e   n o is v ar ia n ce   σ 2   a n d   th e   p r io r   v ar ian ce   γ   o f   u n k n o w n   x   to   v alu ( i.e ,   u s u all y   ta k en   as  1 ) .   Usi n g   ( 1 7 )   w ill  g iv t h co v ar ian ce   esti m ate  an d   later   u s i n g   ( 1 6 )   w ill  g i v th f ir s i ter ativ esti m ate  o f   μ .   B ef o r e   p er f o r m i n g   th 2 nd   iter ativ esti m atio n   o f   Σ x   an d   μ ,   let  u s   u p d ate  t h h y p er p ar am eter s   γ   an d   σ 2   u s i n g   ( 2 6 )   an d   ( 2 7 ) ,   w h er t h p ar a m e ter s / v ar iab les  i n   t h o s e   eq u atio n s   r ep r ese n th v al u es   o f   1 st   iter atio n .   No w   u s in g   t h ese  n e w   u p d ated   v alu e s   o f   γ   an d   σ 2 ,   esti m ate  t h e   2 nd   iter atio n   v alu es  o f   Σ x   an d   μ .   R ep ea th ese  s tep s   u n til  p ar ticu lar   s to p p in g   cr iter io n   is   ac h iev ed .   I n   th i s   iter ativ p r o ce s s ,   s o m ele m e n ts   o f   μ   v ec to r   ten d   t o   b ec o m v er y   m i n i m u m   v al u ( i.e ,   less   th a n   p r eset  th r es h o ld ) ,   eq u atin g   th e s ele m en ts   to   ze r o ,   r esu lts   i n   s p ar s i t y   o f   t h s o lu tio n .     Fo r   L   n u m b er   o f   m u ltip l s n ap s h o t/ m u ltip le  m ea s u r e m en v ec to r   ( MM V)   ca s also ,   s a m e   p r o ce d u r ca n   b u tili ze d   ex ce p th at  th p r io r   m ea n   o f   u n k n o w n   x   ( i.e ,   μ )   is   m atr ix ,   i n   w h ich   ea c h   r o w   co r r esp o n d s   to   p ar ticu lar   o n - g r id   s ea r ch   p o i n o f   an g le  o f   ar r iv al.   E ac h   o f   t h e s r o w s   o f   μ   f o r   MM ca s e   s h o u ld   b tak en   as  ab s o l u te  m ea n   s q u ar v al u es  o f   all  th e   ele m en ts   o f   t h at  p ar ticu lar   r o w .   T h is   μ   esti m ate   o b tain ed   at  t h f i n al  i ter atio n   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   is   p lo tted   v er s u s   t h s ea r ch   g r id   o f   a n g le  o f   ar r iv al .   T h p lo s h o w i n g   p ea k s   co r r esp o n d in g   to   th p ar tic u lar   v alu o f   a n g le  o f   ar r i v al  o n   x - ax is ,   i n d icate s   t h e   esti m ate  o f   d ir ec tio n   o f   ar r iv a l.  T h p r o p o s ed   DOA   esti m at i o n   alg o r it h m   b a s ed   o n   s p ar s B ay e s ian   lear n i n g - m ax i m u m   p o s ter io r   o f   h y p er p ar am eter s   ( SB L - M A P - H)   f o r   MM ca s is   s u m m ar ized   i n   T ab le  1 .       T ab le  1 .   T h p r o p o s ed   SB L - MA P - DO A   est i m a tio n   a l g o r ith m   I n p u t   P a r a me t e r s:   Y   (M xL ) ,   A   (M xN )   O u t p u t   P a r a me t e r s:   μ x (N x1)   1.   I n i t i a l i z e   σ =   1 ,   γ   =   [ 1 , 1 , 1 …1 ] ,   a ,   b ,   c ,   d   p a r a me t e r s,  μ m in   &   D O A   se a r c h   g r i d .   2.   Γ   =   d i a g ( γ 1 1 , γ 2 1 . . γ N 1 )      3.   Est i m a t e     Σ x = ( σ 2 A T A + Γ ) 1     4.   Est i m a t e     μ = σ 2 Σ x A T Y = [ μ 1 ( 1 ) μ 1 ( 2 ) μ 1 ( L ) μ N ( 1 ) μ N ( 2 ) μ N ( L ) ]   5.   U p d a t e     γ i ne w = ( μ i 2 + 2b ) γ i γ i Σ x i i + 2a γ i       &   σ 2 ( ne w ) = y A μ 2 + 2d N ( 1 N i = 1 γ i 1 Σ x i i ) + 2c   6.   D e t e r mi n e   μ x = [       | μ 1 ( 1 ) | 2 + | μ 1 ( 2 ) | 2 + | μ 1 ( L ) | 2 | μ 2 ( 1 ) | 2 + | μ 2 ( 2 ) | 2 + | μ 2 ( L ) | 2 | μ N ( 1 ) | 2 + | μ N ( 2 ) | 2 + | μ N ( L ) | 2 ]         7.   I f   a n y   r o w   o f   μ x   i s   l e ss t h a n   a   t h r e sh o l d   μ m in ,   t h e n   e q u a t e   t h e   r o w   o f   μ x   t o   z e r o   a n d   d e l e t e   t h e   p a r t i c u l a r   c o r r e sp o n d i n g   c o l u m n   i n   A   mat r i x   f o r   t h e   n e x t   i t e r a t i o n .   8.   R e p e a t   f r o m st e p   2   t o   s t e p   7   u n t i l   a   s t o p p i n g   c r i t e r i o n   i a c h i e v e d .   9.   P l o t   μ x   v / s t h e   D O A   se a r c h   g r i d   p o i n t s   a n d   l o c a t e   t h e   p e a k t o   e st i m a t e   t h e   d i r e c t i o n   o f   a r r i v a l .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  11 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 2 1   :   3 0 4 9   -   3058   3054   6.   RE SU L T A ND  D I SCU SS I O N   I n   th is   s ec tio n ,   th e x p er i m en tal  r esu lts   o f   t h p r o p o s e d   alg o r ith m   is   p r ese n ted   f o r   d if f er en t   co n d itio n s   o f   v ar io u s   al g o r it h m ic  p ar a m eter s .   Fo r   t h s i m u latio n   o f   th e   al g o r ith m ,   MA T L A B   R 2 0 1 3 a   p latf o r m   h as  b ee n   u tili ze d .   T h s i m u latio n   r e s u l ts   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   ar co m p ar ed   w it h   s ta n d ar d   DO A   esti m atio n   alg o r it h m s   li k MU SI C   [ 2 3 , 2 8 ] ,   MV DR   [ 2 9 ,   3 0 ]   an d   th r ec en t stan d ar d   alg o r ith m   l 1 - SVD     [ 1 1 1 2 ] .   C o n s id er i n g   u n if o r m   li n ea r   ar r a y   ( U L A )   o f   M= 1 0 0   n u m b er   o f   ar r a y   ele m en ts   w it h   a n   i n ter - ele m e n s p ac i n g   o f   λ /2 ,   w h er λ   s tan d s   f o r   w av e len g t h   o f   th r ec eiv ed   s i g n al  as s u m ed   t o   b as  1 m .   L et  u s   ass u m s i n g le  s ig n al  s o u r ce   tr an s m itted   f r o m   f ar - f ield   w it h   d ir ec tio n   o f   0 0   w it h   r esp ec to   th v er tical   n o r m al  a x is   h av in g   an   a n g u l ar   f r eq u en c y   o f   2 0 π  r /s   is   i m p in g i n g   o n   th UL A .   T h p r o p o s ed   alg o r ith m   co n s id er s   a   s et  o f   o n - g r id   p o in ts   f o r   s ea r ch i n g   t h d ir ec tio n   o f   t h ar r i v in g   s i g n al   w it h   a   0 . 5 0   s tep - s ize.   T h e   p r o p o s ed   alg o r ith m   is   s i m u lat ed   f o r   L =5 0 0   n u m b er   o f   s n ap s h o ts   i n   n o is y   en v ir o n m e n w it h   S NR   o f   3 0 d B .   T h h y p er p ar am eter   u p d ati n g   d ep en d s   o n   th h y p er p r io r   p ar am eter s   ( a, b , c, d ) .   T h ese  p ar am eter s   h ig h l y   in f lu e n ce   t h D O A   est i m a tio n   r es u lts   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   1 .   Fo r   ab cd - p ar am eter   v alu e s   eq u al  to   ze r o ,   th e   DO A   esti m atio n   p ea k   i s   les s   s teep   w h en   co m p ar ed   to   th e s t i m atio n   p ea k   o b tain ed   f o r   ab cd - p ar a m eter s   eq u a to   0 . 4 .   I is   also   test ed   w ith   v a r io u s   o th er   v al u es  o f   a, b , c, d   an d   f o u n d   th at  f o r   all  0 <a , b , c, d <0 . 5   g iv es  s teep est   esti m atio n   p ea k s   co n tain i n g   m ax i m u m   p ea k   o n l y   at  t h a ctu al  a n g le   o f   ar r iv al  o f   t h r ec eiv ed   s i g n al  a n d   co m p lete l y   f lat  r esp o n s f o r   a n y   o t h er   g r id   p o in ts .   T h v er y   h ig h   v al u s et  f o r   a, b , c, d   in cr e ases   t h s p ar s it y   i n   th e s ti m ated   r es u lts   an d   i n   s o m ca s es  w i th   w ea k   s i g n al  s tr en g t h ,   t h ac t u al   tr u DO A s   al s o   m a y   n o co n ta i n   th est i m a tio n   p ea k s .   He n ce   th r an g o f   0 <a , b , c, d <0 . 5   is   t h o p ti m i ze d   o p tio n   f o r   DOA   e s ti m atio n   ap p licatio n .           Fig u r e   1 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   v ar io u s   h y p er p r io r   p ar am eter s       A ll   t h n e x a n al y s i s   co n s id er s   ab cd - p ar a m eter s   as   0 . 4 .   C o n s id er in g   M= 1 0 ,   n u m b er   o f   s ea r ch   g r i d   p o in ts   as  N= 3 6 1 ,   L =1 0 0 ,   n u m b er   o f   s i g n a s o u r ce s   D= 3   w it h   ac t u al  tr u DO A s   a s   - 10 0 ,   1 0 0 ,   6 4 0   w it h   co r r esp o n d in g   an g u lar   f r eq u e n cies  o f   2 0   π,   4 0   π,   6 0   π  r /s   r esp ec tiv el y   an d   n o i s y   e n v i r o n m e n w it h   SN R   0 d B .   Fig u r e   2   s h o w s   th e   DO A   e s ti m atio n   p ea k s   f o r   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m   as  w ell  a s   v ar io u s   s tan d ar d   DO A   esti m atio n   al g o r ith m s .   I ca n   b o b s er v ed   th at  t h o u g h   t h v alu e   o f   S NR   i s   v er y   le s s   ( i. e,   th w o r s n o is y   en v ir o n m e n t) ,   th p r o p o s ed   alg o r ith m   s h o w s   s h ar p   DO A   est i m atio n   p ea k s   at  t h ac tu a l tr u DOAs.   Fo r   th s a m p ar a m etr ic  co n d itio n s ,   co n s id er i n g   s i n g le  s n ap s h o ca s w it h   L =1   also   g iv e s   s h ar p   DO A   esti m atio n   p ea k s   in d ic atin g   th ac t u al  tr u DO As  w it h   1 0 0 s u cc es s   r ate  as  s h o w n   i n   Fig u r e   3 .     Fig u r 4   in d icate s   th esti m atio n   ca s f o r   th n u m b er   o f   ar r a y   ele m e n ts   M= 1 0 0 ,   w h ich   s h o w s   th at  t h e   p r o p o s ed   alg o r ith m   p er f o r m a n ce   is   a l m o s s i m ilar   to   t h at  f o r   M= 1 0   w i th   r e s p ec to   m ea n   s q u ar er r o r .   I n   th e   ca s o f   v er y   clo s el y   s p ac ed   s o u r ce   s ig n al s   w ith   ac t u al  tr u DO A   o f   1 0 0   an d   1 1 0 ,   th p r o p o s ed   alg o r ith m   s till   p r o d u ce s   s teep er   p ea k s   w it h   clea r   d is ti n g u is h ed   D O A   p ea k s   as  co m p ar ed   to   o th er   s ta n d ar d   alg o r ith m s   a s   s h o w n   in   F ig u r e   5.   Fig u r 6   in d icate   th ca s o f   v er y   clo s e l y   s p ac ed   t w o   c o h er en s i g n al  s o u r ce s   w it h   an   an g u lar   f r eq u en c y   o f   2 0   π  r /s   an d   lo ca ted   at  0 an d   1 0 .   T h r esu lt  i n   Fig u r e   6   ex h ib it s   t h h i g h - r es o l u tio n   p er f o r m an c e   o f   th p r o p o s ed   alg o r ith m   c o m p ar ed   to   th o th er   alg o r ith m s .   As  th p r o p o s ed   alg o r ith m   e m p lo y s   th e   p r o b a b ilit y   o f   t h m ea s u r ed   a n ten n a   ar r a y   s ig n al   b y   k n o w i n g   t h p r io r   o f   u n k n o w n s ,   g o o d   r eso lu tio n ,   e v e n   f o r   co h er en s i g n al  s o u r ce s   ar o b t ain ed .   T h ef f ec o f   ar r ay   s e n s o r   n o is ad d ed   u p   w ith   th r ec eiv ed   s i g n a l   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       B a ye s ia n   lea r n in g   s ch eme   f o r   s p a r s DOA   esti ma tio n   b a s ed   o n   ma ximu m - a - p o s teri o r i o f ...   ( R a g h u   K )   3055   f o r   h y p er p r io r   p ar am eter s   a, b , c, d =0   is   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   7 .   C o n s id er in g   L =5 0 ,   M= 1 0 0   an d   s in g le   s o u r ce   s ig n al  w it h   ac tu al  tr u DO A   o f   0 0 ,   th DO A   p ea k   b ec o m e s   m o r s teep er   alo n g   w i th   d ec r ea s in   m ea n   s q u ar e   er r o r   f o r   th im p r o v e m e n t in   S NR   v al u e.             Fig u r e   2 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   L =1 0 0     Fig u r e   3 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   L =1             Fig u r e   4 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   M= 1 0 0     Fig u r e   5 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   v er y   clo s el y   s p ac ed   s o u r ce   s i g n al s             Fig u r e   6 .   DOA   e s ti m atio n   f o r   v er y   clo s el y   s p ac ed   co h er en t so u r ce   s ig n al s     Fig u r e   7 .   E f f ec t o f   SN R   o n   D OA   e s ti m atio n   p ea k s   - 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 20 40 60 80 100 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 s p a t i a l   a n g l e   s e a r c h   g r i d   ( d e g r e e s ) n o r m a l i z e d   r e c e i v e d   s i g n a l   p o w e r S p a t i a l   S p e c t r u m :   D O A   E s t i m a t i o n   p e a k s     S N R = - 1 0 d B S N R = 0 d B S N R = 1 0 d B S N R = 3 0 d B Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  11 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 2 1   :   3 0 4 9   -   3058   3056   Fig u r 8   s h o w s   th e f f ec o f   n u m b er   o f   s n ap s h o ts   L   o n   t h e   DO A   esti m atio n   p ea k s   f o r   S NR =1 0   d B ,   M= 1 0 0   an d   ac tu al  tr u DOA  o f   0 0 .   A s   th n u m b er   o f   s n a p s h o ts   i n cr ea s es,  t h DO A   p ea k s   b ec o m m o r e   s teep er   w it h   b etter   p er f o r m an ce .   Fo r   th ca s o f   in cr ea s i n   n u m b er   o f   ar r ay   ele m e n ts   i n   th U L A ,   th DO esti m atio n   p er f o r m a n ce   i n cr ea s es a lo n g   w it h   t h in cr ea s i n   esti m atio n   s u cc e s s   r ate  as s h o w n   i n   Fi g u r e   9.             Fig u r 8 .   E f f ec t o f   s n ap s h o t s   o n   DO A   est i m a tio n   p ea k s     Fig u r e   9 .   E f f ec t o f   ar r a y   s ize  M         Fo r   s in g le  s o u r ce   ar r iv in g   at  ac tu al  tr u DO A   o f   0 0   w i th   L =5 0   an d   M= 1 0 0 ,   th p e r f o r m an c e   an al y s is   o f   v ar io u s   s ta n d ar d   a lg o r ith m s   co m p ar ed   w i th   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m   w it h   r esp ec to   m ea n   s q u ar er r o r   v /s   s ig n al  to   n o i s r atio .   As  s ee n   in   Fig u r e   1 0 ,   th p r o p o s ed   alg o r ith m   s h o w s   le s s   MS E   f o r   all  th r an g e   of   SNR ,   w h en   co m p ar ed   w i th   o th er   s ta n d ar d   DOA   esti m atio n   al g o r ith m s .   I is   tr u e   th at  th p r o p o s ed   alg o r ith m   also   e x h ib it s   v er y   le ast f ail u r r ate  w it h   r esp ec t to   th SN R   as s h o w n   i n   Fi g u r e   11.   T h ex ec u tio n   ti m co n s u m ed   b y   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   is   q u iet  m o r w h e n   co m p ar ed   t o   MU SI C   an d   o th er   s u b s p ac e - b ased   al g o r ith m s .   Ho w ev er ,   t h p r o p o s ed   alg o r ith m s   e x ec u tio n   ti m is   co m p ar ativ e l y   less   w it h   r esp ec to   l 1 - SVD  a lg o r ith m   a n d   al m o s b ec o m e s   eq u al  as  th n u m b er   o f   s n ap s h o ts   i n cr ea s e s   as   s h o w n   i n   F ig u r e   1 2 .   T h p r o b ab ilit y   o f   s u cc es s   r ate  f o r   m ea s u r i n g   th e   r eso lu tio n   p er f o r m a n ce   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   i s   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   1 3 .   B y   m ai n tai n in g   co n s t an a n ten n ar r a y   ele m e n ts   in   th ca s o f   clo s el y   an g u lar   s p ac ed   co h er en s i g n al  s o u r ce s ,   as  t h S NR   o f   t h r ec eiv e d   an ten n ar r a y   s i g n al  in cr ea s e s ,   th e   r eso lu tio n /p r o b ab ilit y   o f   s u cc ess   r ate  o f   e s ti m atio n   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   also   i n cr ea s es  a n d   p r o d u ce s   al m o s t 1 0 0 % r eso lu tio n   f r o m   SNR   r an g o f   0   d B   o n w ar d s .             Fig u r e   1 0 .   MSE   v /s   SN R   p er f o r m a n ce   an a l y s is     Fig u r e   1 1 .   Failu r r ate  v /s   S N R   p er f o r m an ce   a n al y s i s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       B a ye s ia n   lea r n in g   s ch eme   f o r   s p a r s DOA   esti ma tio n   b a s ed   o n   ma ximu m - a - p o s teri o r i o f ...   ( R a g h u   K )   3057         Fig u r e   1 2 .   E x ec u tio n   ti m v /s   L   p er f o r m a n ce   an al y s is     Fig u r e   1 3 .   R eso lu tio n   v / s   SN R   p er f o r m an ce   a n al y s i s       7.   CO NCLU SI O N     I n   t h is   p ap er ,   s p ar s e   B a y esia n   lear n i n g   ap p r o ac h   b ased   o n   m ax i m u m   p o s ter io r   o f   h y p er p ar a m eter s   f o r   DOA   e s ti m atio n   is   d esi g n ed   an d   tes t ed   f o r   v ar io u s   DO A   esti m ati o n   co n d itio n s   a n d   p ar am eter s .   T h p r o p o s ed   alg o r ith m   e x h ib its   g o o d   m ea n   s q u ar er r o r   an d   s u cc e s s   r ate  f o r   all  th p ar a m etr ic  co n d itio n s   li k l o w   SN R   r an g e,   les s   ar r a y   s ize   an d   s m a ller   n u m b er   o f   s n ap s h o ts .   I also   r esu lts   in   g o o d   r eso lu tio n   f o r   v er y   clo s el y   s p ac ed   s ig n al  s o u r ce s .   Fro m   t h r esu lt  s ec tio n ,   it  is   o b s er v e d   th at  th p r o p o s e d   alg o r ith m   ac h ie v es  b etter   MS E   v /s   SNR   p er f o r m a n ce   w h e n   co m p ar ed   w ith   o th er   s ta n d a r d   DOA   esti m atio n   alg o r ith m s   in   lo w   to   m ed iu m   SN R   r an g e.   T h o n l y   e x ce p tio n   o f   th p r o p o s ed   alg o r ith m   i s   t h at  m o r e   co m p u tatio n   ti m w it h   in cr e ased   co m p le x it y   f o r   lar g er   n u m b er   o f   s n ap s h o t s .   As  th p r o p o s ed   alg o r ith m   s h o w s   g o o d   p er f o r m a n ce   f o r   s in g le  o r   v er y   f e w   s n ap s h o t   ca s es   w it h   m a n a g ea b le  co m p u tatio n   t i m e,   it  ca n   b co m p ar ati v el y   o f   m o r i m p o r tan s o lu tio n   f o r   th p r o b le m   o f   DO A   e s ti m atio n   i n   ar r a y   s i g n al  p r o ce s s i n g   f ield .       ACK NO WL E D G E M E NT S     W s in ce r el y   th a n k   R E V A   U n iv er s it y ,   f ac u l t y   a n d   s ta f f   f o r   ex ten d i n g   t h eir   s u p p o r in   all  a s p ec ts   f o r   th co m p letio n   o f   th i s   p ap er .   W also   t h a n k   o u r   p ar en t s   an d   t h al m i g h t y   f o r   al t h m o r al   s u p p o r an d   en co u r ag e m e n t.       RE F E R E NC E S     [1 ]   X .   Zh a n g   a n d   R.   Ca o ,   Dire c ti o n   o f   A rri v a Esti m a ti o n In tr o d u c ti o n , ”  W il e y   En c y c lo p e d i a   o f   El e c trica a n d   El e c tro n ics   En g in e e rin g ,   2 0 1 7 ,   d o i: 1 0 . 1 0 0 2 / 0 4 7 1 3 4 6 0 8 X . W 8 3 4 3 .   [2 ]   M .   De v e n d ra   a n d   K.  M a n ju n a th a c h a ri,   DO A   e sti m a ti o n   o f   a   s y st e m   u sin g   M USIC  m e th o d ,   2 0 1 5   In t .   Co n f .   o n   S ig n a l   Pro c e ss in g   a n d   C o mm u .   E n g i n e e S y s t ,   G u n t u r 2 0 1 5 ,   p p .   3 0 9 3 1 3 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /S P A CES . 2 0 1 5 . 7 0 5 8 2 7 2 .   [3 ]   R.   O.  S c h m id t,   M u lt ip le em it ter  lo c a ti o n   a n d   sig n a p a ra m e ter e stim a ti o n , ”  IEE T ra n s.  An te n n a s P ro p a g ,   v o l.   3 4 ,   n o .   3 ,   p p .   2 7 6 2 8 0 ,   M a r.   1 9 8 6 .   [4 ]   Y.  Ga o ,   W .   Ch a n g ,   Z.  Pe i,   a n d   Z.   W u ,   A n   I m p ro v e d   M u sic   A lg o r it h m   f o DO A   Esti m a ti o n   o f   Co h e re n S ig n a ls ,   S e n so rs   a n d   T ra n sd u c e rs v o l.   1 7 5 ,   p p .   75 82 ,   J u l .   2 0 1 4 .   [5 ]   R.   K an d   P .   K.  N,  P e rf o rm a n c e   Ev a lu a ti o n   &   A n a l y sis o f   Dire c ti o n   o f   A rriv a E sti m a ti o n   A lg o rit h m s u sin g   ULA ,   2 0 1 8   In ter n a ti o n a C o n fer e n c e   o n   El e c trica l,   El e c tro n ics ,   Co mm u n ica ti o n ,   Co m p u ter ,   a n d   Op ti miza ti o n   T e c h n iq u e s ( ICEE CCOT) ,   M sy u ru ,   I n d ia,  2 0 1 8 ,   p p .   1 4 6 7 1 4 7 3 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /ICE ECCOT 4 3 7 2 2 . 2 0 1 8 . 9 0 0 1 4 5 5 .   [6 ]   H.  Krim   a n d   M .   Vib e rg ,   Tw o   De c a d e o f   A rra y   S ig n a P ro c e ss in g   Re s e a rc h T h e   P a ra m e tri c   A p p r o a c h ,   IEE E   S ig n a l   Pro c e ss in g   M a g a zin e ,   v o l .   1 3 ,   n o .   4 ,   p p .   6 7 9 4 ,   Ju l .   1 9 9 6 .   [7 ]   Z .   Ya n g ,   J .   L i,   P .   S to ica ,   a n d   L .   X ie,   S p a rse   M e th o d f o Di re c ti o n   o f   A rriv a Esti m a ti o n ,   Aca d e mic   Pre ss   L ib ra ry   i n   S ig n a Pro c e ss in g v o l.   7 ,   p p .   5 0 9 5 8 1 ,   2 0 1 8 .   [8 ]   A .   A ich   a n d   P .   P a lan isa m y ,   On - g rid   DO A   e sti m a ti o n   m e th o d   u s in g   o rth o g o n a m a tch in g   p u rsu it ,   In t .   Co n f .   o n   S ig n a l   Pro c e ss in g   a n d   C o mm u n ica ti o n   ( ICS PC) ,   2 0 1 7 ,   p p .   4 8 3 4 8 7 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /CS P C . 2 0 1 7 . 8 3 0 5 8 9 6 .   [9 ]   N.  M o u ra d ,   M .   S h a rk a s ,   a n d   M .   M .   El s h e rb e n y ,   Orth o g o n a M a tch in g   P u rs u it   w it h   c o rre c ti o n ,   IEE 1 2 t h   In t .   Co ll o q u i u o n   S ig n a Pro c e s .   &   Its  Ap p .   ( CS PA ),   2 0 1 6 ,   p p .   2 4 7 2 5 2 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /C S P A . 2 0 1 6 . 7 5 1 5 8 4 0 .   [1 0 ]   L .   L iu   a n d   Y .   W u ,   Dire c ti o n   o f   A rriv a Esti m a ti o n   b y   Co n v e x   O p ti m iza ti o n   M e th o d w it h   Un k n o w n   S e n so G a in   a n d   P h a se ,   IEE A c c e ss ,   v ol .   6 ,   p p .   6 5 3 6 7 6 5 3 7 5 ,   2 0 1 8 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  11 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 2 1   :   3 0 4 9   -   3058   3058   [1 1 ]   D.  M a li o u t o v ,   M .   Ce ti n ,   a n d   A .   S .   W il lsk y ,   A   sp a rse   si g n a re c o n stru c ti o n   p e rsp e c ti v e   f o so u rc e   l o c a li z a ti o n   w it h   se n so a rra y s,”   IEE T ra n sa c ti o n o n   S i g n a Pro c e ss in g ,   v o l.   5 3 ,   n o .   8 ,   p p .   3 0 1 0 3 0 2 2 ,   A u g .   2 0 0 5 ,     d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /T S P . 2 0 0 5 . 8 5 0 8 8 2 .   [1 2 ]   F .   L iu ,   L .   P e n g ,   M .   W e i,   P .   Ch e n ,   a n d   S .   G u o ,   A n   i m p ro v e d   l1 - sv d   a lg o rit h m   b a se d   o n   n o ise   su b sp a c e   f o d o a   e sti m a ti o n , ”  Pro g re ss   In   El e c tro ma g n e ti c s R e se a rc h   C ,   v ol .   2 9 ,   p p .   1 0 2 1 2 2 ,   2 0 1 2 .   [1 3 ]   Ra g h u   K .   a n d   P ra m e e la  K .   N . ,   On - g rid   A d a p ti v e   Co m p re ss iv e   S e n sin g   f ra m e w o rk   f o Un d e rd e ter m in e d   DO A   Esti m a ti o n   b y   e m p lo y in g   S in g u lar  V a lu e   De c o m p o siti o n ,   In ter n a ti o n a J o u r n a o In n o v a ti v e   T e c h n o l o g y   a n Exp lo ri n g   E n g in e e rin g ,   v o l.   8 ,   no .   1 1 ,   p p .   3 0 7 6 3 0 8 2 ,   2 0 1 9.   [1 4 ]   S .   Ji,  Y.   X u e ,   a n d   L .   Ca ri n ,   Ba y e sia n   Co m p re ss iv e   S e n sin g ,   in   I EE T ra n sa c ti o n o n   S i g n a Pro c e ss in g ,   v o l.   5 6 ,   n o .   6 ,   p p .   2 3 4 6 2 3 5 6 ,   Ju n .   2 0 0 8 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /T S P . 2 0 0 7 . 9 1 4 3 4 5 .   [1 5 ]   S .   D.  Ba b a c a n ,   R.   M o li n a ,   a n d   A .   K.  Ka tsa g g e lo s,  Ba y e sia n   Co m p re ss iv e   S e n sin g   Us in g   Lap lac e   P rio rs,   in   IEE E   T ra n sa c ti o n o n   Ima g e   Pro c e ss in g ,   v o l.   1 9 ,   n o .   1 ,   p p .   5 3 6 3 ,   Ja n .   2 0 1 0 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /T IP . 2 0 0 9 . 2 0 3 2 8 9 4 .   [1 6 ]   J.  H.  En d e r,   On   c o m p re ss iv e   se n sin g   a p p li e d   to   ra d a r,   S i g n a Pro c e ss in g ,   v o l.   9 0 ,   n o .   5 ,   p p .   1 4 0 2 1 4 1 4 ,   2 0 1 0 .     [1 7 ]   J.  Ga u v a in   a n d   C.   H.  L e e ,   M a x im u m   a   p o ste rio ri  e stim a ti o n   f o m u lt iv a riate   G a u ss ian   m i x tu re   o b se rv a ti o n o M a rk o v   c h a in s,   in   IE EE   T r a n s .   o n   S p e e c h   a n d   A u d i o   Pro c e s ,   v o l .   2 ,   n o .   2 ,   p p .   2 9 1 2 9 8 ,   1 9 9 4 .   [1 8 ]   X .   Zh a n g ,   M.  e K o rso ,   a n d   M .   P e sa v e n to ,   M a x im u m   L ik e li h o o d   a n d   M a x im u m   A   P o ste rio ri   Dire c ti o n - of - A rri v a l   Esti m a ti o n   in   t h e   P re se n c e   o f   S I RP   No ise ,   2 0 1 6   IE EE   I n ter n a t i o n a Co n fer e n c e   o n   Aco u stics ,   S p e e c h   a n d   S ig n a Pro c e ss in g   ( ICAS S P ) 2 0 1 6 ,   p p .   3 0 8 1 - 3 0 8 5 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /I CA S S P . 2 0 1 6 . 7 4 7 2 2 4 4 .   [1 9 ]   M .   E .   T ip p in g ,   S p a rse   Ba y e si a n   L e a rn in g   a n d   th e   Re le v a n c e   V e c to M a c h in e ,   J o u r n a o M a c h in e   L e a rn in g   Res e a rc h ,   v o l.   1 ,   p p .   2 1 1 2 4 4 ,   2 0 0 1 .   [2 0 ]   D.  P .   W ip f   a n d   B.   D.  Ra o ,   S p a rse   Ba y e sia n   lea rn in g   f o b a sis se l e c ti o n ,   IEE T ra n s a c ti o n s o n   S i g n a Pr o c e ss in g v o l.   5 2 ,   n o .   8 ,   p p .   2 1 5 3 2 1 6 4 ,   A u g .   2 0 0 4 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /T S P . 2 0 0 4 . 8 3 1 0 1 6 .   [2 1 ]   Z.   Zh a n g   a n d   B.   D.   Ra o ,   S p a r se   S ig n a Re c o v e r y   W it h   T e m p o ra ll y   Co rre late d   S o u rc e   V e c to r Us in g   S p a rse   Ba y e sia n   L e a rn in g ,   in   IEE J o u rn a o S e lec ted   T o p ics   in   S i g n a Pro c e ss in g ,   v o l .   5 ,   n o .   5 ,   p p .   9 1 2 9 2 6 ,     S e p .   2 0 1 1 ,   d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /J S T S P . 2 0 1 1 . 2 1 5 9 7 7 3 .   [2 2 ]   Z.   Zh a n g   a n d   B.   D.   Ra o ,   Ex ten si o n   o f   S BL   A lg o rit h m f o th e   Re c o v e r y   o f   Blo c k   S p a rse   S ig n a ls  W it h   In tra - Blo c k   Co rre latio n ,   in   IEE T ra n sa c ti o n o n   S i g n a Pro c e ss in g ,   v o l.   6 1 ,   n o .   8 ,   p p .   2 0 0 9 2 0 1 5 ,   A p r .   2 0 1 3 ,     d o i:   1 0 . 1 1 0 9 /T S P . 2 0 1 3 . 2 2 4 1 0 5 5 .   [2 3 ]   N.  Hu ,   B.   S u n ,   J.  W a n g ,   a n d   J.  Ya n g ,   Co v a rian c e - b a se d   DO e stim a ti o n   f o w id e b a n d   sig n a ls  u sin g   jo in sp a rse   Ba y e sia n   lea rn in g ,   IEE In t .   Co n f .   o n   S i g n a Pro c e ss in g ,   C o mm u .   a n d   Co m p u t in g   2 0 1 7 ,   p p .   1 5 .   [2 4 ]   Z.  M .   L iu ,   Z.   T .   Hu a n g ,   a n d   Y.  Y .   Zh o u ,   Dire c ti o n - of - a rriv a e stim a ti o n   o f   w id e b a n d   sig n a ls v ia co v a rian c e   m a tri x   sp a rse   re p re se n tatio n , ”  IE EE   T r a n s.  S i g n a Pro c e ss ,   v o l.   5 9 ,   n o .   9 ,   p p .   4 2 5 6 4 2 7 0 ,   S e p .   2 0 1 1 .   [2 5 ]   Q.  Hu a n g ,   G .   Zh a n g ,   a n d   Y.  F a n g ,   DO Esti m a ti o n   U sin g   B lo c k   V a riatio n a S p a rse   Ba y e sia n   L e a rn in g ,   in   Ch in e se   J o u r n a l   o El e c tro n ics ,   v o l.   2 6 ,   n o .   4 ,   p p .   7 6 8 7 7 2 ,   2 0 1 7 ,   d o i:   1 0 . 1 0 4 9 /cje . 2 0 1 7 . 0 4 . 0 0 4 .   [2 6 ]   A.   C.   F a u a n d   M .   E.   T ip p i n g ,   An a ly sis  o f   sp a rse   Ba y e sia n   lea rn in g ,   Ad v a n c e in   Ne u r a I n fo rm a ti o n   Pro c e ss in g   S y ste ms ,   v o l.   1 4 ,   p p .   3 8 3 3 8 9 ,   2 0 0 2 .     [2 7 ]   D.  J.  C.   M a c Ka y ,   Ba y e sia n   I n terp o lati o n ,   Ne u ra C o mp u ta t io n ,   v o l.   4 ,   n o .   3 ,   p p .   4 1 5 4 4 7 ,   1 9 9 2 .   [2 8 ]   J.  L i,   Y.   He ,   L .   He ,   a n d   X .   Zh a n g ,   DO a n d   DO e sti m a ti o n   f o M IM ra d a b a se d   o n   c o m b in e d   M USIC  a n d   sp a rse   Ba y e si a n   lea rn in g ,   In t .   Ap p li e d   C o mp u .   El e c tro .   S o c iety   S y mp 2 0 1 9 ,   p p .   1 2 .   [2 9 ]   Am g a d   A . ,   S a lam a   M . ,   O.  A h m a d ,   a n d   M .   N.  S .   S w a m y ,   Un d e rd e ter m in e d   DO A   Esti m a ti o n   Us in g   M V DR - W e ig h ted   LA S S O , ”  M DPI - S e n so rs ,   v o l .   1 6 ,   2 0 1 6 .   [3 0 ]   Ca p o n   J . ,   Hig h - re so l u ti o n   F re q u e n c y - w a v e n u m b e S p e c tru m   A n a ly sis , ”  Pro c e e d in g o f   th e   I EE E ,   v o l.   5 7 ,   n o .   8 ,   1 9 6 9 ,   pp 1 4 0 8 1 4 1 8 .       B I O G RAP H I E S   O F   AUTH O RS        Ra g h u   K ,   re c e i v e d   m a ste d e g r e e   in   S ig n a P ro c e ss in g   f ro m   V T U,  Be l a g a v i,   In d ia.  He   is  c u rre n tl y   th e   P h . D.   sc h o lar   o f   S c h o o l   o f   El e c tro n ics   &   Co m m u n ica ti o n   e n g i n e e rin g ,   RE V A   Un iv e rsit y ,   Be n g a lu ru ,   In d ia.  His  re se a r c h   in tere sts  in c lu d e   a rra y   s ig n a p ro c e ss in g ,   sta ti stica sig n a p ro c e ss in g ,   sp a rse   re p re se n tatio n s,  d ir e c ti o n   o f   a rriv a e sti m a ti o n .   He   h a p u b li s h e d   h is   re se a rc h   p a p e rs  in   m o re   th a n   8   p e e re v ie w e d   in tern a ti o n a l   jo u rn a ls .   His  re se a rc h   w o rk   m a in ly   f o c u se o n   e stim a ti o n   o f   sig n a s o u rc e   d irec ti o n   b y   re p re se n ti n g   t h e   sig n a i n   sp a rse   d o m a in ,   w h ich   is  th e   c u rre n h o t - t o p ic  in   a rra y   si g n a p ro c e ss in g   f ield .   He   h a b e e n   a wa rd e d   w it h   V T G o ld   M e d a f o se c u rin g   1 st   ra n k   in   M   T e c h   S ig n a P ro c e ss in g   b y   V isv e sw a ra y a   T e c h n o lo g ica Un iv e rsit y ,   Be lag a v i,   In d ia.          Pra m e e la   K u m a r N .   h a re c e i v e d   h e P h   d e g re e   in   Qu a n t u m   Do Ce ll u lar  A u to m a ta   (Na n o e lec tro n ics f ro m   V T U,  Be lag a v i,   In d ia.  S h e   is  c u rre n tl y   w o rk in g   a a n   A ss o c iate   P r o f e ss o in   t h e   S c h o o l   o f   El e c tro n ics   &   C o m m u n ica ti o n   E n g i n e e rin g ,   RE V A   Un iv e rsit y ,   Be n g a lu ru ,   In d ia.  He re se a r c h   in tere sts  in c lu d e   V L S d e sig n ,   Na n o e lec tro n ics ,   L o g ic  De si g a n d   Em b e d d e d   S y ste m   D e sig n .   He p u b li c a ti o n in c lu d e   2 0   In ter n a ti o n a Co n f e re n c e a n d   1 0   In tern a ti o n a Jo u rn a ls.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.