Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er   En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   9 , No .   5 ,  Octo ber   201 9 , pp.  4114~4 129   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v9 i 5 . pp4114 - 41 29          4114       Journ al h om e page :  http: // ia es core .c om/ journa ls /i ndex. ph p/IJECE   Des i gn a nd  p er f orman ce  c omp ar i son of  d i fferent   ad aptive  c ont rol  s chem es  f or  pitch  a ngl e  c on tro l in    a  T win - R oto r - M IMO - S ystem       Winst on   N et t o ,  R ohan  L akhani ,  S.  M ee n at c hi Sun da r am   Depa rt m ent   o f  I nstrum ent at ion   a nd  Control   Enginee ring ,   Man ipal  Instit u te of T e c hnolog y ,                                                                             Manipa l   Aca d e m y   of  High er Ed uca t ion,   India       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Feb   16 , 201 9   Re vised  A pr   1 0 , 2 01 9   Accepte d  Apr   25 , 201 9       The   Twin  Roto r  MIM O  Sy st e m   is  a  highe r  orde r  non - li n ea r   pla nt  and  is  inhe ren tly   unsta ble   due  to  cro ss   coupl ing  be tween  ta il   and  m ai n  r otor.   In  thi s   pape r  onl y   the   c ontrol   of  m ai n  rotor  is  conside red   which  is  non - li ne ar  and   stabl e  b y   using  ada pt ive   sch emes.  The  cont ro l  p roble m   is  to  ac h ie ve  p erf e ct  tra ck ing  for   in put  ref e ren c e  s igna ls   whil e  m ai nt ai ning  robu stness  and   stabi lit y .   Four  ada pt ive   sch emes  were   imple m ent ed ,   two  u sing  Model  Refe ren ce   Adap ti ve  Con trol   und er  which  MIT   r ule   and   Modified  MIT  rul e   are   used .   Th e  ot her   two  using  Adapti v e  Inte r acti on ,   namel y ,   A dapt iv e  PID   and  Approxim ate  Adapti v e  PID .   It  is  observe d  t hat   ad apt iv e  sch emes  fulfi ll  al l  th e  three  s y s te m   per form ance  req uir ements  at   the   sam e  t ime.   Modifi ed   MIT  rule   was  found  to  give   superior   per form a nce   in  compari s on  to  othe r   cont rollers.   Also  Approxi m at e   Adapti v e  PID   was   able  to   stab il i z e  th e  m ai n   rotor  and  ca nc el   the   eff e ct   of  cro s s c oupli ng  bet we en  ta il   ro tor  and  m ai n  rotor  when  oper a ti ng   sim ult ane ousl y   without   th e  n ee d   for  design ing  d e coupl ers  for   the   s y stem.  Thu s  the   m ai n  rotor  ca n  be  m ade   inde pen den t  from   the   stat e  of   the   ta i l  ro tor  b y   using Approxi m at e   Adapti v e  PI D .   Ke yw or d s :   Ad a ptive  c ontr ol   Ad a ptive  PID   MIT  r ule   MR AC    Robustne ss   Stabil it y    TRM S  s yst em   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   C or res pond in g  Aut h or :   W i ns t on N et to ,     Dep a rtm ent o f In st ru m entat ion  a nd Co ntr ol  En gin eeri ng,   Ma nip al  Insti tu te  o f  Tech nolo gy,   MAHE , Man i pa l, Udupi,  Ka r nataka,   57 6104 , In dia .   Em a il :  winn et to@ gm ai l.co m       1.   INTROD U CTION   The  T win  Rot or   M IMO   Syst e m   was  dev el oped   by  Feed ba ck  In st ru m ents  Ltd.   an d  se r ve s  as  a  real - tim e  m od el   of   nonlinea r  m ult idi m ension al   s yst e m .  To  vis ua li ze  the  pa rts  and  m otion s  of  the  TRM S  t oget he r   with  the   f or ce s   ge ner at e d  by  the  act uat or s ,  a  m od el   of   t he  T RM S  is  seen   in   Fig ur e   1.  T he  TRM S  co ns ist s  of  a   towe r  with  a  be a m   at ta ched   by   two  bea rin gs.  T hese  bear i ngs  al lo w  t he  be a m   to  m ov e  f r eel y  in  the  hori zon ta l   and   ve rtic al   plane  wit hin   s om e  lim it s.  At  the  tw o  en ds   of   t he  be am ,  ro to rs  are  at ta c hed   w hich  ro t at e d  90   degrees  from   e ach  ot her   a re   a ll ow in g  them   t o  ge ne rate  hor iz on ta l  an d  vert ic al   thru sts.  T he  r otor  ge ne r at ing  ver ti cal   thr us t  is  cal le d  the  m a in  ro t or .  T his  enab le s  the  m odel   to  pitch,  wh i ch  is  ro ta ti on   i n  the  ve rtic al   plane  arou nd   the  hor iz on ta l  axes.  T he  ro t or   ge ne ra ti ng   the  horizo ntal  thru st  is  cal le d  the  ta il  ro tor.   T his  enab l es  the   m od el  to  ya w,   wh ic h  is  ro ta ti on in  t he horiz on ta l  plane  ar ound t he verti ca l axis [ 1].   The  T win  M ot or   M IMO  syst e m   is  a  hig hly   non - li near   pla nt  in  wh ic h  th ere  are  c ertai n  s ta te s  that  cannot  be  m ea su re d,   this  m akes  desig ning  of   the  con tr oller  a  diff ic ult  ta sk .   The  popula r  well   known  sc hem es   will   no t  giv e  de sired  outp ut  char act erist ic s  if  us e d  for  co nt ro ll in g  the  pla nt  and   will   fail  to  sta bili ze  i t  i n  m os t  cases. Ma ny contr ol  schem es h ave  b ee n de ve lop e d for c on t ro ll in g  the  m ain   ro t or   of the  T RM S.   PI D ’s  a nd   li ne ar  co ntr ollers   [2 ]   wer e  no t   able  to  gu a r antee  global  s ta bili ty   and   ful fill   desired   respo ns e  c har a ct erist ic s.  Mode l  pr e dicti ve  con t ro ll er  [3 ]   does  gua ran te e  global  sta bili ty  bu t  at   a  pri ce  of   l ow   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Desig n a nd p e rforma nce c ompa ris on  of d if fe rent  adapti ve con tr ol sc hem e s  for pit ch    ...   ( Wi ns to n  Ne tt o)   4115   degree  of   r obust ness  a nd  po or  trac king  pe rfor m ance.  Ro bust  PID  obta in ed  [ 4]  usi ng  K har it on ov’s  the or em   gav e  good  r obus tness  but  poor   trac king  pe r form ance  and   rem ai ns   sta ble   on ly   for  sm al l   values  of  co nt ro ll er   gains .  Using  Sli din g  M ode   Co ntr oller  [ 5]  sat isfact ory   tracki ng  was   obta ine d  bu t   due  t o  c hatte ri ng   conve rg e nce  r at e  of   syst e m   sta te s  was  ver y  low  al so   the  non - r obus t   reaching  pha se  in  SMC   m akes     syst e m  u ns ta bl e.           Fig ure   1. Twi n R otor MIM O S yst e m       Th us   it   can  be   con cl uded  t h at   the  sc hem es  i m ple m ente d  up  un ti l  no w  ha d  a  tra de off  bet wee n  rob us tness ,  tra ckin g  pe rfo rm ance  an d  global  sta bili ty .  In   t his  pa per  the  ada ptive   con t ro ll er  sc hem es  i m ple m ented  fo r  TRM S  m ai n  r otor  sat isfy   al l  these  thre e  syst e m   char act erist ic s  toge ther  i.e.   t her e   is  no   com pr om ise   between  r obus t ne ss,  sta bili ty   and  trac king  perform ance.  The se  ada ptive  sch e m es  are  al so  e asy   to   i m ple m ent an d re qu ire  m ini m um  p la nt know le dg e t o wor k.   The  m ai n  ro tor’ s  tra ns fe r  f unct ion   was  obt ai ned   usi ng  bl ack  box  ide ntific at ion ,  w hic h  is  the  on ly  thing   we  nee d t o  know abo ut the p la nt.  T his tran s fer  fu nctio n  was use d  in the ad a ptive sc hem es as a r eferen ce   m od el   and   as  a  par t  of   th e  con tr oller  it sel f.   The  re sul ts  ob ta in  sho w  high  r obus t ness,   good  tra ckin g  perform ance an d g ua ran te e a b so l ute stabil it y al l at  the sam e tim e w hich  was p rev i ously  not obtai ne d.       2.   METHO DOL OGY   2.1.   Ident ific at i on   Syst e m   was  id entifi ed  us in g  black  box  i dent ific at ion .  Cr oss  co up li ng b et ween  the  ta il   and  m ai n  ro to r   was  not  co ns i de red.  T he  ta il   r otor  was  ke pt  at   zero  a nd   onl y  the  m ai n  ro t or  was   ide ntifie d  in   f orm   of   a   sin gle  trans fer   f un ct i on.  A  PRB S   ( Pseudo  Ra nd om   B inary  Sig nal)  was  giv e n  to   the  plant   an d  the   outp ut  wa s   analy zed i n  M ATL AB syst e m   identific at ion  to olbo x   as  shown i n  Fi gure  2 .             Fig ure   2.  PRB S in pu t   a ppli ed  to  the  TRM S  and   the  outp ut  form  the  m ai n  ro t or       The best est im at e o f  the t ran s fer   f un ct io n o bt ai ned  is  ha ving a n  acc ur acy   of 72. 7%.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   4114   -   4129   4116   ( ) = 0 . 01 1 06 + 0 . 37 68 0 . 258 3 + 0 . 25 28 2 + 1 . 16 + 1         (1)       w he re  G( s )  re presents  t he  ap pro xim at ed  transf er  functi on  of  the  non - li nea r  m ai n  ro tor .  T he  de gree  to  w hich   G( s )  is  a  fait hf ul  re pr ese ntati on   of   t he  TRM S  m a in  ro t or   c an  be  see n  by  F ig ure   3 ,  w he r e  the  ste p  res ponse   of  bo t h  the   TRM S  an d  t he  a pp roxim at ed  m od el   wa s  c om par ed .   T he  tra nsfer   f un ct io n  ob ta ine d  is  a  cl os e   appr ox im at ion  o f  the TRMS   m ai n  ro t or .           Fig ure  3 .  Mo de l v al idati on       2.2.   Contr oller  d es ign   Ad a ptive  sc he m es  are  e m pl oyed  he re  to  co nt ro l  the  m ain   ro t or   of   the  TRM S.  The  a dv a ntage  of   adap ti ve   sc he m es  ov e r  co nv entional  PID  i s  that  the  valu es  of  the  c ontr ollers  are   not  f ixed  a nd  up dat e  with  tim e,  i t  has  know le dg e  of   t he   sta te s  of   the  pl ant  wh ic h  it   is   con tr olli ng.   Fi gure  4   s hows  t he  co nt r ol  struc ture   wh e re  the  pa ra m et ers  of   the  con t ro ll ers  ar e  not  fixe d  but  ev olv e  ove r  tim e  and  h ow  they   e vo l ve  de pends  upon  the ad a ptive  law fo rm ulate d.           Fig ure   4 .  Ada pt ive  co ntr ol str uctu re       2.2.1.   The MIT  r ule   The  MI T rule  works on MR AC ( M od el  Re fer e nce  Ad a p ti ve  Co ntr ol) w he re th e  outp ut  of  t he plant i s  m ade  to   f ollo w  t he  ou t pu t   of  a  ref e re nce   m od el   as  s ho wn  in   Fig ure  5 .   He re  t he  e r ror    ( , )   obta ined  betwee n  t he  outp ut  of  t he  re fer e nce  m od el   and  the   pla nt  is  sub j ect ed   to  a  cost  f un ct io n  w hich  is   m ini m iz ed  us in g Gr a dient  algorit hm .   Mi nim iz at ion  alg or it hm  u sed  was p rop os e d by  Wh it aker, the   gr a dient m et hod [6 ] .             Fig ure   5 .  Th e   MIT rule   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Desig n a nd p e rforma nce c ompa ris on  of d if fe rent  adapti ve con tr ol sc hem e s  for pit ch    ...   ( Wi ns to n  Ne tt o)   4117    ̇ = −   [ 1 2 2 ( ,  ) ]      (2)     = [ ( ) − ( ) ]   (3)     w hic h  is st at ed  as [6] .       ̇ = − [ ( ) − ( ) ] ( )   (4)     w he re  is     the  a dap ti ve   gain,  ( )   is  the   outp ut  from   the  re fer e nc e  m od e l  an d  ( )   is  the  outp ut  f r om   the   plant. T he   ada ptive law  is  give n  as :       ̇ = −  ( )     ( 5)     -    P er fect t rac ki ng  a nd  fast co nv e r gen ce  of    ̇       li m → ∞    1 ∫ [ ( ) { ( ) } ] [ ( ) { ( ) } ]  > 0 0   (6)     w he re   ( )   is  the   pl ant  a nd  ( )   is  t he   re fer e nce   m od el ,    an d    are   th e  gai ns  of   the   ref e ren ce   m odel  and   plant  respec ti vely .   Theor e m   1:   Under   t he  co ndit ion   t hat  ( )   an d  ( )   are  stric tl y  sta ble,  t hat   r( t )  is   bounde d  a nd  ( 6)   is   sat isfie d ,  there  e xists  a  posit ive  c on sta nt   ∗   su c h  that  f or   al l  ∈ ( 0 , ∗ )   gain    ad jus te d  by  the  M IT  ru l e  is  bo unde d  a nd  co nver ges  e xponentia ll y  fa st  to  ∗ ( )   as  → ∞ .  Also  Energy  in   r (t)  sh oul d  be  local iz ed  w her e  ( )   an d  ( )   have  si m il ar  fr eq ue ncy  res pons es .   If   t hese  c ondi ti on s  are  sat isf ie d  then   perfect  trac king a nd f ast  c onve rg e nce  of    ̇   is o btained   [ 6] .   -   Stabil it y wit h  la rg e  ad a ptati on g ai n -       ̇ = − [ ( ) ( ) − ( ) ( ) ] ( ) ( )   (7)     wh e re  ( 0 ) = 1 .  ( 7) ca n be  re wr it te n  as       ( ) = 2 2 + 2 ( )     (8)     Stabil it y  fo r   la rg e   a dap ta ti on   gai n  is   prov e d  with   r oot  lo cus  te c hniq ue  w he re   the   bo unde dness   of    ( )   is  ob ta ine d.   T he or em   2:   Th e  MIT  r ule  with  r( t)=R   has   infin it e  gain  m arg in  (i.e.   f or  al l  posit ive   value s    of g an d  R,  the  ad a ptive la w  i s stable in de pe nd e nt  of    if and  only  if [6] .     − 2 < a rg (  ) < 3 2     ∀   ∈ ℝ   (9)     Stabil it y  will   beco m e  ind e pe nd e nt  of  the   a dap ti ve   gain,  s yst e m   re m ai ns   sta ble  for  al l  adap ti ve   gains   if  the   above c onditi on is sati sfie d.   Bl ock   diag ram  for  t he  MI T ru le   as sho wn in Fi gure  6.                                   Fig ure   6 .   Bl oc k diag ram   fo r  t he  MI T  r ule     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   4114   -   4129   4118   2.2.2.   Modifie d  MIT  r ule      Ther e  a re  cert ai n  lim it a ti on s  wh e n  us in g  MIT  r ule.  T he   m agn it ud e  of   the  gradie nt  changes  as  we   desce nt  to  the  m ini m a.  But  if   la rg e  num ber   of   sa ddle   po i nt s  are  present  th en  the  de rivati ve  bec om es  ze ro   a nd   it s  m agn it ud e   al so   beco m es  zero.  T hus  it   m a y  ta ke  s om e  tim e  to  esca pe  t hese  point s  m akin g  t he  c onve rg e nce   slow e r   [7] .   T he se  lim it ation s   are  ov e rco m e  by  Mod ifie d  MIT  ru le   in  w hich  norm al iz e d  gr a die nt  m eth od  is  us e d  therefo re  the  directi on  of  the  gr a dient  is  pr ese rv e d  b ut   the  m agn it ude  is  ign or e d.   T he  N or m al iz ed  MIT   Rule usi ng No r m al iz ed  al go rit hm  is g iven  as        = −  + ′   (10)     her e    =      a nd  ( > 0 )   whic h  is a c onsta nt  [ 8]                                             2.2.3.   Adapt i ve  P ID   The  A da ptive  PI D  w orks  by  us in g  a dap ti ve   interact ion.  A dap ti ve  i nterac ti on   w orks  on  the  pri ncipa l   that  a  syst e m   can  be   bro ke n  dow n  int o  nu m ber   of  s ubsyst em s  (1 ,  2,   3,..,n )   and  the  i ntera ct ion   of   t hese  s yst e m   causes a da ptati on. Acco r ding  to ad a ptive  int eracti on  the or y  four s ubsyst em s ar e con si de red he re.   -   Pr op or ti onal   w it h  outp ut   1     -   In te gr al   with  outp ut  2   -   Der i vative  with  ou t pu t  3   -   ( ) , estim a te d  tran sfer f un ct io n o f  the  p la nt   W it h  t he  Non - li near  pla nt  interact io n  t he   interact io n  of  these  subsyst e m s  will   giv e   rise  t o  th e   adap ta ti on.     is  the  a da ptive   ga in,   e  is   the   e rro r  si gnal ,  u  is   th e  re fer e nce   in put,   g(t )   is  t he   im pu lse   res ponse   of   the  syst em   an d  1   is   the   wei gh i ng   facto r.   Using   the   the or y   of  a da ptiv e  interact io n  t he  PID   co ntr ol le r   al gorithm  b eco m es       ̇ = − 1      ̇ [ ]   1   (11 )       ̇ = − 1      ̇ [ ]   2     (12)           ̇ = − 1      ̇ [ ]   3     (13)     wh e re  o  denot es  f un ct io nal  com po sit ion ,   1   is  the  ada ptati on  gai n.   1 , 2 , 3   re presents  the   out pu t  of  the  pro portion al ,   t he  i nteg ral  a nd  de rivati ve   tra ns fe r   f un ct io n  blo c ks ,   re sp ect ively .   0   is  the   pla nt’s  outp ut      is   the  com m and   input.  T   is  a  ca us al   f unct ion al   relat ion s hip  be tween  plant ’s   input  a nd   out pu t.   ̇ [ ] =       is  the   Fr ec het d e rivat ive   [ 9] .   The or em   3:   C onditi on   for  adap ti ve  inte rac ti on   is  that  the  inp ut  as  well   as  the  ou tp ut  s hould   be  an  integra ble  signa l.  The  ap plica ti on   of  ada ptiv e  interact ion   re qu i res  a  crit ic al   con diti on  tha t  sh ou l d  be  sat isfie d  wh ic h  is t hat th e Fr ec het  der i va ti ve  of the  im pu lse  r es pons e   of the syst em  m us t exist .     li m ‖ ∆ ‖ → 0 ‖ [ + ∆ ] − [ ] − ̇ [ ] ∆ ‖ ‖ ∆ ‖ = 0     (14)       Fo r  li near t im e  inv a riant  plant  w it h  t ran s fer f un ct io n G (s) th e Fr ec het  der i va ti ve  is gi ven a s [9]     ̇ [ ]     =   ∫ ( − ) ℎ ( )  = ( ) ∗ ℎ ( ) 0                                                                     ( 15)     ( ) ( )                                                                                                               ( 16)     w he re  ( )   is  the  est i m at ed  plan t  transfer  funct ion   a nd  sat isfi es  these  c ondit ion s  he nce  it   c an  be  us ed   f or   con t ro ll in g  the   m ai n  ro t or   of T RM S.   T he  a da ptiv e law s ar e   giv e n  as  foll ows  [9 ]     ̇ = ( × ( ( ) ∗ 1 ) − 1 ̇ 1 )           ̇ = ( × ( ( ) ∗ 2 ) − 1 2 )                                                                    ( 17)   ̇ = ( × ( ( ) ∗ 3 ) − 1 3 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Desig n a nd p e rforma nce c ompa ris on  of d if fe rent  adapti ve con tr ol sc hem e s  for pit ch    ...   ( Wi ns to n  Ne tt o)   4119   The  sc h em e for  a dap ti ve  PID  is sh own  i n  Fi gure  7.           Fig ure   7 .  Bl oc k diag ram  f or   a dap ti ve  P ID       2.2.4.   Ap pr oxim ate  a d ap ti ve  P ID   The  co ntr oller   can  be  desig ned   without  usi ng   G ( s )  i.e.  know le dg e  of  the  plant.   T heorem   4:   The Frec het de rivati ve  c a n be  appr ox im at e as [10 ]     ̇ [ ]   = ℎ     (18)     wh e re  ℎ   is  the   i m pu lse   res ponse   s ub sti tuti ng  in  (18 )  the   ada ptive  la w s  bec om e  ind epende nt  of    ( ) .   T he  a ppr ox im at e algori thm  g iven  as i n  [ 10]  is     ̇ = −  1     ̇ = −  2                                                                                        ( 19)   ̇ = −  3         is t he  a da ptive  g ai n, e is  the e rror sig nal and  1 ,   2 ,   3   are  ou t pu ts  from  f irst t hr ee  s ub syst em .     2.3.   Algori th m     Using  the  ab ove  ada ptive  la ws  sim ulatio ns   wer e  pe rfor m ed  in  Ma tl ab  Si m ulink   env i our nm ent  with   the  non - li nea r  TRM S  plant  pro vid e d  by  Fe edb ac k  In st rum ents  Ltd.  thi s  m od el   is  a  rep li ca  of   t he  r eal   plant  and   was  de sig ne d  us i ng   gr ey   box  m od el li ng .   Figure 8  s how s the i m ple m entat ion  o f  T he M IT  ru le  in  S i m ul ink   wh ic h  is  done  directl y  by  us ing   the  ada ptiv e  la w  (5) .  Mo dif ie d  MIT  r ul e  is  i m p lem ent ed  in  F igure  9.  It  is  i m ple m ented  us in g  th e  ada ptive  la w   ( 10) .  Fig ur e   10  s hows   the  A dapt i ve  PID,  t his   can  be  im plem ented   us in g  ( 17)  in  L aplace   dom ai n.   Figure  11  sho ws  A ppr ox im a te   Ad aptiv e  PID  i m ple m ented  us i ng   ( 19)  w it ho ut  the r e fer e nce  m od el .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   4114   -   4129   4120       Fig ure   8 .  Th e   MIT rule           Fig ure   9 .  Mo dified  M IT  r ule       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Desig n a nd p e rforma nce c ompa ris on  of d if fe rent  adapti ve con tr ol sc hem e s  for pit ch    ...   ( Wi ns to n  Ne tt o)   4121       Fig ure   10.   A da ptive P I D           Fig ure   11 . A pproxim at e  a dap ti ve  P ID       3.   RESU LT S   A ND AN ALYSIS     All  si m ulati on s  wer e  perf orm ed  on   t he  m a in  ro t or.   Cr os s   couplin g  has  no t  been   c onsidere d  an d  ta il   ro t or   will  b e  ke pt stat ion a ry  unti l st at ed  ot he rw ise .       3.1.   PID  c ontr oller   The  PID  wa s  tun e d  usi ng  Ro ot  locus  te ch ni qu e  for  the  m a in  ro t or .   Fi gur e  12   s hows  th e  PI D  ste p   respo ns e   a nd   t rack i ng   res ponse   to  re fer e nce   input,  a  la r ge  ov e rs hoot  with   os ci ll at or y  be hav i our   to  ste p  input  and an  ina blit y t o  trac k refe re nce inp uts.       ( ) = 3 . 9 2 + 0 . 2 + 2     (20)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   4114   -   4129   4122       (a)   (b)     Fig ure  1 2 . (a)   Step  respo ns e  ( b) Refere nce   t r ackin g wit h  c onve rtio nal PID       3.2.     Adap tive   c on tro ll ers   3.2.1.  Adap tiv e PID a nd  a p p rox im at e  PI D   a)   Step  r esp onse    1)   Ad a ptive  PID   The  va riat ion  of  ada ptive   gai n  with  1   a nd  it s  eff ect   on  t he  s yst e m   was  stu died   as  s how n  in  Ta ble  1,  the  ra nge  of  va lues  for  w hich  syst em   rem a ins  st a ble  or  sti ll   has  trac king  ca pa bili ty .   Step  re spo ns e  f or  = 0 . 004   with   it s  P I D  a nd  er r or  cha ra ct ersti cs  is  s hown  in   Fi gure  13,   PID   val ues   conve rg e   to   s om e  final  value s  with e rror re duci ng  t o  ze ro.        T able  1.   Var ia t ion  i n     ℎ   1   and it s e ff ect   o n t he sy stem       1   Sy ste m   0 .00 4   0   Stab le   0 .00 9   0   Un stab le   0 .00 4   > 0   Tr acki n g  los t bu t Stable           (a)   (b)     Fig ure   13 . (a)   Show s  the  stab le  step r e spo nse , (b) T he  P ID  values  w it h er r or for  stable  re sp onse       2)   Appro xim at e  Ad a ptive  PID   Fo r   a  ste p  in p ut  syst em   beco m es   un sta ble  f or  > 0 . 0013   as  see n  f ro m   Table  2 .  The  sta ble  a nd   un sta ble  ste p  r esp on se   for  di ff e ren t   val ues   of    is  s how n  in  Fig ur e   14,  f or  high  value   of  a dap ti ve   ga in  the   syst e m  b reak s   dow n  int o osci ll at ion s.       T able   2.   Var ia t ion  i n    an d  it s e ff ect   on the  syst e m     Sy ste m   0 .00 1 3   Stab le   0 .00 5   Un stab le   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Desig n a nd p e rforma nce c ompa ris on  of d if fe rent  adapti ve con tr ol sc hem e s  for pit ch    ...   ( Wi ns to n  Ne tt o)   4123         (a)   (b)     Figure  14. (a)   Show s  stable a nd (b) u ns ta ble step  res pons es       b)   Re fer e nce  t rac king   T rack i ng for a dap ti ve  P ID in   F igure  15   a nd  tracki ng for ap pro x  a da ptive P I D  in   F ig ure  16 .           Fig ure  15. Re f eren ce  trac king  w it h   Ad a ptive  PID  f or γ= 0.       Fig ure  16. Re f eren ce  trac king  w it h   Appro xim at e  Ad a ptive  PID  f or γ= 0.03       3.2.2.   A dapti ve   c ontrolle r  using mo del r eference  adap tive  c ontrol   a)   Step  respo ns e   1)   MIT Rule   The  sta bili ty   of   the  syst em   f or   diff e re nt  va lues  of    is  sho wn   i n  Table  3,  it   can  be  sai d  that  the  syst e m   re m ai n s  sta ble  f or     − 0 . 35 ≤ ≤ 0 . 35 .  Stable  an d  unsta ble  ste p  re spo nse   for  MIT  R ul e  are  show n  i n  Figure  17 the  val ues of       are in  acco rd a nce  wi th Ta ble 3.       Table  3.   Var ia t ion  i n  γ  and its  eff ect   on the  syst e m     Sy ste m   0 .35   Stab le   0 .6   Un stab le   - 0 .35   Stab le with in v erse  r esp o n se         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.