I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7 ,   p p .   2 6 1 4 ~ 2 6 2 6   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v7 i 5 . p p 2 6 1 4 - 2 626          2614       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JE C E   A Mix ed Bina ry - Rea l NS G A II  Al g o rith m  Ensu ring   B o th  Accuracy  and In t erpret a bili ty o a   Neuro - F u zz y  Con troller       F a o uzi Ti t el 1 ,   K ha led B ela rbi 2   1 De p a rtme n o f   El e c tro n ics ,   F a c u l ty   o f   sc ien c e   o f   th e   tec h n o lo g y ,   Un iv e rsity   o f   F re M e n to u ri   C o n s tan ti n e ,   A lg e ria   2 De p a rtme n o f   E. E. A ,   Eco le Na ti o n a le  P o ly tec h n iq u e   d e   C o n sta n ti n e ,   A lg e ria       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J an   1 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Mar   13 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   Ma y   2 6 ,   2 0 1 7       In   th is  w o rk ,   a   Ne u ro - F u z z y   Co n tro ll e n e tw o rk ,   c a ll e d   NFC  th a i m p le m e n ts  a   M a m d a n f u z z y   in f e re n c e   s y ste m   is  p ro p o se d .   T h is  n e tw o rk   in c lu d e s   n e u ro n a b le   to   p e rf o rm   f u n d a m e n tal  f u z z y   o p e ra ti o n s.  C o n n e c ti o n b e tw e e n   n e u ro n a re   w e ig h ted   th ro u g h   b in a r y   a n d   re a w e ig h ts.   T h e n   a   m i x e d   b i n a ry - re a N o n   d o m in a ted   S o rti n g   G e n e ti c   A lg o rit h m   II  (NS GA   II)  i u se d   to   p e rf o r m   b o th   a c c u ra c y   a n d   in ter p re tab il it y   o f   th e   NFC   b y   m in im izin g   t w o   o b jec ti v e   f u n c ti o n s;  o n e   o b jec ti v e   re lat e to   th e   n u m b e r   o ru les ,   f o c o m p a c tn e ss ,   w h il e   th e   se c o n d   is  th e   m e a n   sq u a re   e rro r,   f o a c c u ra c y .   In   or d e t o   p re se rv e   in terp re tab il it y   o f   f u z z y   ru les   d u rin g   t h e   o p ti m iza ti o n   p ro c e ss ,   so m e   c o n stra in ts  a re   imp o se d .   T h e     a p p r o a c h     is    tes ted     o n     tw o     c o n tro e x a m p les   a   sin g le    in p u   sin g le    o u tp u (S IS O)  sy ste m     a n d     a     m u lt iv a riab le (M IM O) s y ste m .     K ey w o r d :   Fu zz y   in f er en ce   s y s te m   Mu ltio b j ec tiv o p ti m izatio n   Neu r o - f u zz y   c o n tr o ller     NSG A I I   P ar eto   o p tim al  s o lu tio n s   Co p y rig h ©   2 0 1 7   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Fao u zi  T itel   Dep ar t m en t o f   E lectr o n ics,  Fa cu lt y   o f   s cie n ce   o f   t h tech n o l o g y ,   Un i v er s it y   o f   f r èr es M E NT OURI  C o n s ta n ti n e,     R o u te  d A in   el  B e y ,   C o n s tan t in e,     25000,   A lg er ia   E m ail:  f _ titel @ y a h o o . f r       1.   I NT RO D UCT I O N     T h u b iq u ito u s   tr ad e - o f f   b et wee n   s y s te m   ac c u r ac y   a n d   co m p lex it y   is   p ar t icu lar l y   i m p o r tan i n   f u zz y   s y s te m s   [ 1 ] - [ 3 ] .   C o m p lex it y ,   r elate d   to   th in ter p r etab ilit y   o f   t h f u zz y   s y s te m ,   is   d eter m in ed   b y   t h e   co m p ac t n es s ,   co n s id er ed   th r o u g h   t h n u m b er   o f   r u les  i n   t h e   r u le  b ase,   th n u m b er   o f   in p u v ar iab les  i n v o lv ed   in   ea ch   r u le  an d   d is t in g u is h a b ilit y   o f   t h f u zz y   s e ts   [ 1 ] .   Nu m er o u s   ap p r o ac h es  h av b ee n   s u g g ested   f o r   d ea lin g   w it h   th is   p r o b lem   a n d   to   in cr ea s th in ter p r etab ilit y   o f   f u zz y   s y s te m s .   T h ese  ap p r o ac h es  ar m ai n l y   b ased   o n   s u itab le   s tr u ctu r o f   t h f u zz y   s y s te m   ( e. g .   a   h y b r id   s tr u ct u r e)   [ 4 ] - [ 1 0 ]   o r   o n   t h u s o f   s p ec i fic   tr ain i n g   al g o r ith m   ( e. g .   m e th o d s   in   th f ield   o f   m u ltio b j ec tiv o p ti m izat io n   o r   ev o lu ti o n ar y   o p ti m izatio n )   [ 1 1 ] - [ 1 7 ] .     I n   th is   w o r k ,   Neu r o - Fu zz y   co n tr o ller   ( NFC )   is   ad o p t ed   f o r   im p le m en t in g   Ma m d an f u zz y   in f er en ce   s y s te m   ( F I S),   t h ai m   o f   o u r   m et h o d   is   n o o n l y   t o   ac h iev e   ap p r o p r iate  ac cu r ac y   o f   th co n tr o ller ,   b u also   to   en s u r t h p o s s ib ilit y   o f   in ter p r etab ilit y   o f   t h e   k n o w led g e   w it h in   it.  So ,   i n   o r d er   to   g u ar a n t y   co m p lete n e s s   o f   f u zz y   p ar titi o n s ,   s p ec ial   p ar titi o n i n g   u s in g   tr ian g u lar   m e m b er s h ip   f u n ctio n s   i s   ad o p ted .   T h en ,   a n   i m p r o v ed   m u ltio b j ec tiv P ar eto   b ased   g e n etic   alg o r ith m   ca lled   Mi x ed   B in ar y - R e al  No n   d o m in ated   So r tin g   Ge n etic  A l g o r ith m   I I   ( NSG A   I I )   is   u s ed   f o r   b o th   p ar a m eter   an d   s tr u ct u r o p ti m i za tio n   o f   th NF C .   T w o   o b j ec tiv es  ar in v o lv ed   i n   t h o p ti m izatio n   p r o ce s s e x tr ac r ed u ce d   n u m b er   o f   r u les  in   th r u le  b ase   an d   r ed u ce   t h m ea n   s q u ar er r o r .   T h is   p ap er   is   o r g an ize d   as  f o llo w s .   I n   s ec tio n   I I ,   a   NFC   s tr u c tu r i s   in tr o d u ce d .   T h m u l tio b j ec tiv alg o r it h m   s o l u tio n   p r o ce d u r is   p r esen ted   i n   s ec tio n   I I I .   Sectio n   I V   p r esen ts   th ap p licatio n   to   t w o   ex a m p l es:  T h co n tr o o f   th p o le  an d   ca r s y s te m   an d   co n tr o o f   h elico p ter   s i m u lato r   m o d el.   Fi n all y ,   s ec t io n   g iv e s   th co n cl u s io n   o f   t h is   p ap er .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   Mi xe d   B in a r y - R ea l NS GA   I I   A lg o r ith m   E n s u r in g   b o th   A cc u r a cy   a n d   I n terp r eta b ilit y ( F a o u z i Titel )   2615   2.   ST RUC T UR E   O F   T H E   N E URO   F U Z Z CO NT RO L L E R   T h is   s ec tio n   p r ese n ts   Neu r o - F u zz y   C o n tr o ller   n et w o r k ,   c alled   NFC   t h at  i m p le m en ts   a   Ma m d an i   FIS.   A   s ch e m atic   d iag r a m   o f   t h p r o p o s ed   NFC   s tr u c tu r is   s h o w n   i n   Fig u r 1 .   Fo r   th s i m p licit y   o f   p r esen tatio n ,   NFC   w it h   a n y   n u m b er   o f   i n p u t s   b u t   o n l y   o n o u tp u i s   d ev e lo p ed .   T h NFC   s y s te m   co n s is t s   o f   f i v la y er s a n   i n p u la y er ,   m e m b er s h ip   ( f u zz i f icatio n )   lay er ,   A N la y er ,   OR   la y er   an d   d ef f u zi f icatio n   la y er .   Nex w s h all  i n d icate   t h s i g n a l p r o p ag atio n   an d   o p er atio n   f u n ct io n s   o f   th n o d es i n   ea ch   la y er .           Fig u r 1 .     Stru ctu r o f   t h p r o p o s ed   NFC   Fig u r 2 .   T r ian g u lar   s y m m etr i p ar titi o n in g   o f   u n i v er s o f   d is co u r s w i th   t h r ee   f u zz y   s u b s et s       L a y er 1   ( in p u la y er ) T h n o d es  in   th is   la y er   ar in p u n o d es  w it h   cr is p   in p u , = 1 ,   th e y   ar e   tr an s m is s io n   n o d es,  th e y   o n l y   tr an s m it i n p u v al u es to   th n e x t la y er .     =                                                                                                                               ( 1 )       L a y er 2   ( f u zz i f icatio n   la y er ) :   No d es  at  th is   la y er   co m p u te  t h v al u o f   th m e m b er s h ip   f u n ct io n   o f   in p u t s   v i .   A ll  n o d es  co n n ec te d   to   th s a m i n p u n o d h av th s a m w ei g h L i   co r r esp o n d in g   to   t h ce n tr a l   p ar o f   th u n iv er s o f   d is co u r s o f   in p u v ar iab les.  I n   o r d er   to   g u ar an t y   co m p lete n es s   an d   d i s tin g u is h ab ilit y   o f   f u zz y   p ar titi o n s ,   tr ian g u la r   s y m m etr ic  p ar titi o n i n g   is   u s ed   as  s h o w n   i n   Fi g u r 2 .   T h o u tp u o f   n o d ( i,j )   is   g i v e n   b y :     μ A ij ( v i ) = {         v i ( N i 1 L i ) + ( N i 1 2 ) j + 2   , if   a ij 1 < v i < a ij v i ( N i 1 L i ) ( N i 1 2 ) + j , if   a ij < v i < a ij + 1 1         ,                 v i < a i1     ou         v i > a iNi                                                                                                                                 ( 2 )     W ith   f u zz y   s u b s et s      , = 1 , . . . ,   ;   = 1 , . . . ,   ,   th n u m b er   o f   f u zz y   s ets   ass o ciat ed   w it h   v ar iab le  i ,   an d   th s u m m its   o f   th f u zz y   s et s   ar g iv e n   b y      = ( ( 1 2 ) + ( ( 1 ) ( 1 ) ) )   ,            = 1 , ,      = 1 , ,                                                      ( 3 )     L a y er 3   ( A ND  la y er ) E ac h   n o d o f   th is   la y er   r ep r esen ts   f u zz y   r u le.   T h f o llo w in g   A ND  o p er atio n   is   ap p lied   to   ea ch   r u le  n o d e:     = 1 1 ( 1 ) . 2 2 ( 2 )   ( ) , = 1   , = 1 , = 1   = 1                                       ( 4 )     L a y er 4   ( OR   lay er ) I n   th i s   la y er ,   r u les  w it h   th s a m co n s e q u en ce   ar in teg r ated   th r o u g h   th f u zz y   OR   o p er atio n   w h ic h   is   i m p le m en ted   b y :      = 1   ( 1   ) , = 1 , ,  = 1                                                                               ( 5 )     W h er    ar th b in ar y   w ei g h t s   ass o ciate d   w it h   n o d k   o f   t h A ND  la y er   an d   n o d o f   t h OR   la y er ,     nu m b er   o f   n o d es  in   th AND  la y er   an d     th n u m b e r   o f   f u zz y   s et s   as s o ciate d   w it h   t h o u tp u t     A N D  L ay e r   X n   X 1   I n p u t   L ay e r       F u z z if ic at i on   OR     La y er   y   W i   j   m i   D e f f u z if ic at i on   L 1   L n     0   1   A i 1   A i 2   A i 3   v i   μ(v i )   a i1   a i2   a i3   L   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708     I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7   :   2 6 1 4     2 6 2 6   2616   v ar iab le.   Sin ce   o n r u le  h a s   o n l y   o n co n s eq u e n ce ,   W kl   m u s t b b in ar y :      { 0 , 1 }     ,                                                                                                                                  ( 6 )     L a y er 5   ( d ef f u zi f ac atio n   la y er ) n o d at  t h is   la y er   r ea lize s   th d e f f u zi f icat io n   o p er atio n   u s in g   t h e   ce n ter   o f   g r a v it y   r u le     =   = 1   = 1                                                                                                                                                  ( 7 )     W h er   ar r ea w ei g h ts   co r r esp o n d in g   to   th ce n ter s   o f   t h tr ian g u lar   f u zz y   s ets  o f   t h o u tp u v ar iab le  an d   ca n   b ex p r ess ed   b y :     = ( 1 2 + 1  1 )  ,           = 1 , ,                                                                                                                                            ( 8 )     W h er    is   th ce n tr al  p ar w id t h   o f   t h o u tp u t   v ar iab le  u n i v er s o f   d is co u r s e.       3.   SO L U T I O US I N G   M UL T I O B J E CT I V E   A L G O RI T H M       3 . 1 .     P r o ble m   def i nitio n   T h p r ev io u s   s ec tio n   d escr ib e s   s tr u ct u r o f   NF C   t h at  i m p le m en t s   Ma m d a n f u zz y   i n f er e n ce   s y s te m .   A   m u l ti  in p u o n o u tp u Ma m d a n s y s te m   is   co m p o s ed   o f   r u le s   w ith   f u z z y   co n s eq u e n ce s .   A 1 j 1 , A 2 j 2 , , A n j n   an d   ar r esp ec tiv el y   f u zz y   s e t s   ass o ciate d   w i th   t h f u zz y   i n p u v ar iab les  an d   th f u zz y   o u tp u v ar iab le.      { 0 , 1 }   ar b in ar y   weig h ts   t h at  m o d el  t h co n s eq u en ce   o f   r u le  s u c h   t h at   = 1    if   r u le  i h as c o n s eq u e n ce     an d   0   o th er w is e.   Mo r eo v er   if   t h g r a n u lar it y   o f   th o u tp u f u zz y   v ar iab le  i s   th e n   i f    = 0   f o r       = 1 ,   r u le  h av n o   co n s eq u e n ce   an d   is   n o in clu d ed   in   th r u le  b ase.   T h m a x i m u m   p o s s ib le  n u m b er   o f   r u les  is   g i v e n   b y   all  co m b in atio n s   o f   a n tece d en t   v ar iab les f u zz y   s ets a n d   is :        = 1 × 2 × × ×                                                                                                  ( 9 )       W ith   , = 1 ,   th n u m b er   o f   f u zz y   s et s   ass o ciate d   w it h   in p u v ar iab le   Sin ce   r u le  i   h av at   m o s t o n co n s eq u e n ce ,   w h a v th co n s tr ai n ts :      1 = 1                                                                                                                    ( 1 0 )     T h to tal  n u m b er   o f   r u les is   t h u s :     =  = 1  = 1                                                                                                                                ( 1 1 )     T h d eg r ee s   o f   f r ee d o m   o f   s u ch   s y s te m   ar th n u m b er   o f   f u zz y   s et s   f o r   ea ch   f u zz y   v a r iab le   th b in ar y   v ar iab les      d ef in i n g   th r u les  an d   th r ea p ar am et er s      an d      o f   th tr ian g u lar   m e m b er s h ip   f u n ctio n   o f   i n p u t a n d   o u tp u v ar iab les r esp ec tiv el y .       T h m o s g e n er al  m o d ellin g   p r o b lem   ca n   b e x p r ess ed   as  f i n d in g   all  t h ese  p ar a m eter s   i n   o r d er   to   ac h iev ce r tai n   d eg r ee   o f   ac cu r ac y   an d   co m p ac r u le  b ase.   T h is   is   f o r m u late d   as  t w o   o b j ec tiv o p ti m izatio n   p r o b le m s :   Fin d   , = 1 , ,  ,    an d        s o   th at                                 ( (   1 = 1 ( ( ) ) 2 = 1   ) ,       (   2 =  = 1  = 1   ) )                                                                                                                                                       ( 12 )     W ith   ( )   is   th er r o r   at  t,  an d   T   is   th ti m h o r izo n .       C lear l y   it  is   p o s s ib le  to   s o lv th is   m o n o lit h ic  p r o b lem   as  w h o le.   Ho w e v er   th is   s o l u tio n   p r o ce d u r m a y   lac k   f lex ib ilit y   a n d   m a y   n o b d esira b le  at  least  f o r   tw o   r ea s o n s .   First,  it  lead s   to   q u ite  co m p li ca ted   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   Mi xe d   B in a r y - R ea l NS GA   I I   A lg o r ith m   E n s u r in g   b o th   A cc u r a cy   a n d   I n terp r eta b ilit y ( F a o u z i Titel )   2617   s o lu tio n   p r o ce d u r in   ter m s   o f   d i m e n s io n alit y   a n d   d ata  s tr u ctu r e.   Seco n d   an d   m o r i m p o r tan tl y ,   i leav e s   n o   d esig n   alter n ati v e s   f o r   th d e cisi o n   m ak er .   T h p r o b lem   is   th u s   r ec ast  as  f in d i n g   th r ea p ar am eter s   ,   an d   th b in ar y   w ei g h t s   .     3 . 2 .       m i x ed  bi na ry - re a l N SG A I I   m u lt io bje ct iv a lg o rit h m   Mu ltio b j ec tiv alg o r it h m s   ar e   b ased   o n   th co n ce p ts   o f   P ar eto   o p tim ali t y   w h ic h   is   d e f in e d   in   ter m s   o f   d o m in a n ce .   Gi v en   m i n i m i za tio n   p r o b lem   w i th   v ec to r - v a lu ed   o b j ec tiv f u n ctio n :           ( ) =   ( 1 ( ) , 2 ( ) , , ( ) )                                                                                (1 3 )     1   is   s aid   to   d o m i n ate  2   if f :     {   ( 1 )   ( 2 ) ,         1 , , 1 , ,   , ( 1 ) < ( 2 )                                                                                                  (1 4 )     T h m u l tio b j ec tiv p r o b lem   is   s ta ted   as  m u ltio b j ec tiv e   o p ti m izatio n   s tate m e n t,  i n   w h ic h ,   t h e   o p tim izatio n   i m p lies   to   f i n d   s et  o f   n o n - d o m in ated   s o l u tio n s   to   ap p r o x im ate  t h P ar eto   f r o n t,  w h er all  th e   s o lu ti o n s   ar P ar eto - o p ti m al.   I n   t h is   s t u d y ,   t h NSG A - I I   alg o r ith m   w it h   ce r tai n   m o d i f icat io n s   is   ap p lied   to   s ettle   th e   m u ltio b j ec tiv p r o b lem   s et  i n   th p r ev io u s   s ec t io n .   NSG A - I I   [ 1 8 ]   alg o r ith m   i s   an   i m p r o v ed   v er s io n   o f   n o   d o m i n ated   s o r tin g   g en et ic  al g o r ith m   ( NS G A )   w h ic h   u s es   f a s n o n - d o m i n ated   s o r ti n g   p r o ce d u r an d   a n   elitis t p r eser v i n g   ap p r o ac h   an d   h as n o   n ic h i n g   o p er ato r   p a r a m eter s .   A f ir s t,  t h p o p u latio n   is   i n it ialized   as  u s u al,   an d   th e n   it  i s   s o r ted   b ased   o n   f ast  n o n - d o m i n ated   s o r tin g   to   r an k   th p o p u l atio n   f r o n ts .   I n   t h i s   p r o ce d u r e,   tw o   en titi e s   ar ca lcu lated   f o r   ea ch   in d iv id u al   ( ) th d o m i n atio n   co u n ( )   w h ic h   i n d i ca tes  th n u m b er   o f   i n d iv id u a ls   th at  d o m in ate  th i n d iv id u a l   ( )   an d   th e   s et  o f   in d i v id u a ls   ( )   th at  th i n d i v id u al  ( )   d o m i n ate s .   On ce   th n o n - d o m i n ated   s o r is   co m p lete,   p ar am eter   ca l led   cr o w d i n g   d is ta n ce   is   ca lc u lated   f o r   ea ch   i n d iv id u al,   a n d   t h en   to u r n a m e n s elec tio n   w it h   cr o w ed   co m p ar i s o n   o p er ato r   is   m ad b et w ee n   t w o   in d iv id u als  r an d o m l y   s elec ted   f r o m   p ar en p o p u latio n .   T h in d iv id u al  w it h   lo w er   f r o n n u m b er   is   s elec ted   if   th t w o   i n d iv id u als  co m f r o m   d i f f er en f r o n ts .   T h in d iv i d u al  w i th   h ig h er   cr o w d in g   d is tan ce   is   s e lecte d   i f   th t w o   in d i v id u al s   ar f r o m   t h s a m f r o n t.    T h en ,   n e w   o f f s p r i n g   p o p u la tio n   is   g e n er ated   u s i n g   th m o d if ied   g en etic  o p er ato r s m i x ed   b in ar y - r ea cr o s s o v er   a n d   m u tatio n .   Fin a ll y ,   th e   co m b i n ed   p o p u la tio n   f o r m ed   b y   t h o f f s p r in g   p o p u latio n   a n d   t h p ar en p o p u latio n   is   s o r ted   ac co r d in g   to   n o n - d o m i n atio n   . H er e,   elitis m   is   e n s u r ed   b ec au s all  p r ev io u s   an d   cu r r en in d i v id u al s   ar in cl u d ed   in   th e   n e w   p o p u latio n   a n d   o n l y   th e   b est   in d i v id u a ls   ar e   s elec ted   as  t h e   n e p ar en t p o p u latio n .     3. 2 . 1.      T he  po pu la t io n ind iv i du a l   E ac h   in d i v id u al  i n   th p o p u la tio n   is   co m p o s ed   o f   t w o   p ar ts   th f ir s co n tai n s   t h r ea p ar a m eter s   o f   th m e m b er s h ip   f u n ctio n   ass o ciate d   w it h   th in p u an d   o u tp u f u zz y   v ar iab les;   th s ec o n d   co n tain s   th b in ar y   w ei g h ts   W ik   t h at  m o d el  th r u l co n s eq u e n ce :                     W h er th s u b - c h ai n /   1 2 3    / ,      { 0 , 1 }   d ef in e s   th co n s eq u e n ce   o f   r u le  a n d   w il l   b ca lled   co n s eq u en ce   s u b - c h ain   in   th s eq u el.   As  m e n tio n ed   ab o v e,   co n s tr ain t ( 1 0 ) ,   o n l y   o n b in ar y   w e ig h t   in   g i v en   co n s eq u e n ce   s u b - c h ain   ca n   b eq u al  to   o n an d   if   all  b in ar y   w ei g h ts   ar ze r o   th en   t h ass o ciate d   r u le  h a s   n o   co n s eq u e n ce   a n d   i s   n o i n cl u d ed   in   t h r u le  b ase .   T h len g t h   o f   co n s eq u en ce   s u b - c h ai n   is   eq u al  to   M,   th g r an u lar it y   o f   th o u tp u v ar iab le  an d   t h to tal  n u m b er   o f   b in ar y   w eig h t s   is   g i v e n   by   × ,   th e   n u m b er   o f   p o s s ib le  r u les  d ef i n ed   ab o v e.   Mo r eo v er ,   w h e n   u s in g   b in ar y   r ep r esen ta tio n   o f   t h r u les,  t h er is   n o   n ee d   to   alter   t h b asic  d e f i n itio n s   o f   t h g e n etic  o p er ato r s .   I n   t h is   w o r k ,   t h m e m b e r s h ip   f u n ctio n s   ar e   is o s ce les   tr ian g le s   u n if o r m l y   d is tr ib u ted   i n   t h u n iv er s o f   d is co u r s e   as  s h o w n   in   Fi g u r 2 .   T h u s ,   f o r   ea c h   f u zz y   v ar iab le  w n ee d   o n l y   t o   d eter m in e   t h ce n tr al  p ar o f   t h e   u n i v er s o f   d i s co u r s e   to   d ed u ce   th e   u n i f o r m   d is tr ib u tio n   o f   all   f u zz y   s et s   i n   t h u n i v er s o f   d is co u r s e.   T h is   m o d elli n g   w ill  r ed u ce   c o n s id er ab ly   t h len g t h   1         11 12 13 1        1  2  3    C o n s eq u en ce   s u b - c h a in s   Th s ec o n d   P a r t   P a r a mete r s   o f th mem b ers h ip   fu n ctio n s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708     I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7   :   2 6 1 4     2 6 2 6   2618   o f   th i n d iv id u al.       3. 2 . 2.      M ix ed  bin a ry - re a l c r o s s o v er   A   t w o   p o in cr o s s o v er   i s   u s ed th f ir s p o in f all s   w it h i n   t h f ir s p ar o f   t h in d i v i d u al  ( r ea cr o s s o v er )   an d   th s ec o n d   p o in w it h i n   th s ec o n d   p ar t ( b in ar y   cr o s s o v er ) .     1 .   R ea cr o s s o v er :   p ar a m eter s   o f   t h f ir s p ar o f   t h i n d iv i d u al  ar r ea ll y   co d ed   an d   an   ex ten d ed   in ter m ed iate  cr o s s o v er   [ 1 9 ]   is   u s ed ,   th u s   t w o   o f f s p r in g   ( 1      2 )   ar b u ilt  f r o m   t w o   p ar en ts   1   an d   2   as  th f o llo w i n g :     1 = 1 + 1 ( 2 1 )                                                                                                                 ( 1 5 )     2 = 2 + 2 ( 1 2 )                                                                                                                             ( 1 6 )     W h er   is   r an d o m l y   c h o s e n   v alu i n   t h in ter v al   [ 0 . 25 , 1 . 25 ] .     T h is   cr o s s o v er   is   p er f o r m ed   f o r   ea ch   p ar am eter   o f   t h f ir s t p a r t o f   th in d i v id u a l.    2 .   B in ar y   cr o s s o v er I n   o r d er   to   h an d l co n s tr ain t s   ( 1 0 ) ,   cr o s s o v er   in   th s ec o n d   p ar o f   th e   in d iv id u al  is   al ter ed   as f o llo w s :           T h u s ,   an   e x ch a n g o f   co n s eq u en ce   s u b - c h ain s   co r r esp o n d in g   to   th cr o s s o v er   p o in t i s   p er f o r m ed .     3. 2 . 3.      M ix ed  bin a ry - re a m uta t io n   A   n o n - u n i f o r m   m u tatio n   o p er at o r   [ 1 9 ]   is   ap p lied   o n   th f ir s p ar o f   th in d iv id u al.   I f   m u t atio n   f all s   in   t h s ec o n d   p ar t,  as  u s u al,   a   o n i s   m u ta ted   to   ze r o   an d   ze r o   is   m u tated   to   o n e.   Ho w e v er   i n   t h is   latte r   ca s e,   co n s tr ain ( 1 0 )   m a y   b v io lated   an d   w m a y   h a v t wo   o n e’ s   in   t h s a m co n s eq u e n ce   s u b - c h ain ,   t h ass o ciate d   r u le  w ill  h a v t w o   co n s eq u e n ce s .   I n   o r d er   to   k ee p   ( 1 0 )   s atis f ied ,   if   t h er ar t w o   o n e’ s   in   t h s a m co n s eq u e n ce   s u b - c h ai n ,   th b it   th at  w as o n b e f o r m u tatio n   is   s et  to   ze r o .           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   Mi xe d   B in a r y - R ea l NS GA   I I   A lg o r ith m   E n s u r in g   b o th   A cc u r a cy   a n d   I n terp r eta b ilit y ( F a o u z i Titel )   2619   4.   SI M UL AT I O R E S UL T S   T w o   ap p licati o n   ex a m p les  ar p r esen ted   co n tr o ller   d esig n   f o r   th p o le  an d   ca r s y s t e m   an d   m u lti v ar iab le  d ec en tr alize d   co n tr o ller   f o r   h elico p ter   s i m u la to r   m o d el.       4 . 1 .   T he  co ntr o l o f   t he  po le  a nd   ca rt   s y s t e m   T h co n tr o o b j ec tiv is   to   b alan ce   t h p o le  b y   ap p l y in g   f o r ce   o n   th b as is   o f   th ca r t.   A lt h o u g h   s i m p le  i n   n at u r e,   it  p r esen ts   s o m n ice  f ea t u r es  f o r   co n tr o ll er   b en ch m ar k in g it  is   h i g h l y   n o n li n ea r   w h e n   f ar   f r o m   t h v er tical  eq u i lib r iu m   an d   is   s en s iti v to   p ar am e ter s   v ar iatio n   a s   in it ial  co n d itio n s ,   p o le  len g th   a n d   m as s .   T h d y n a m ical  n o n li n ea r   m o d el  is   g i v en   b y :                                       ̈ =  +  (  ̇ 2 + ) ( 4 3  2 + )                                                                                                                                                                                                             ( 17 )     T h NFC   h a s   t w o   in p u ts ,   t h p o le  an g le  θ ( t )   an d   its   v ar iatio n   θ ( t )   an d   th o u tp u is   t h f o r ce   to   b ap p lied   to   th ca r t.  T h r ee   s y m m etr ic   tr ian g u lar   f u zz y   m e m b er s h ip   f u n c tio n s   ( NE G A T I VE   ( N) ,   Z E R ( Z )   an d   P OSI T I VE   ( P ) )   ar u s ed   f o r   b o th   in p u ts   a n d   o u tp u t.  So   in itial l y ,   t h er ar s i x   n o d es  i n   th f u z zi f icatio n   la y er ,   n i n n o d es  in   th AND  la y er   an d   t h r ee   n o d es  i n   t h O R   la y er   ( F ig u r 1 ) .   T h g o al  o f   t h m ix ed   b i n ar y - r ea l N SG A   I I   is   to   f in d   o p ti m a l v alu e s   o f     ( 1 , 2 ) ,   an d      s u c h   th at :     ( ( 1 = | ( ) | 500 = 1 + 10 2 | ( 1 ) | + |  ( ) | )   , ( 2 =      3 = 1 9 = 1 ) )                             ( 18 )     T h is   p r o b lem   is   r ec ast a s   m a x i m izatio n   p r o b le m :                                    ( 1 = 10 5 1 + 20   1 , 2 = 10 1 + 2 )                                                                                                                                                                                                           ( 19 )     T h co s 1   is   o b tain ed   f r o m   cl o s ed   lo o p   s im u latio n   w i th   n o m in al  m o d el  h a v i n g   p o le  w ith   m as s   = 0 . 1      an d   len g t h   = 1   an d   ca r w it h   m as s   = 1    .   T h in itial  co n d i tio n s   ar e:   ( 0 ) = 20      ̇ ( 0 ) = 0 / .   T h er ar 3 0   p ar am eter s   ev o lv ed   i n   t h o p ti m izat io n   p r o b lem   w h ic h   u s es  t h e   f o llo w in g   v al u es m a x i m u m   g en er atio n =1 0 0 ,   p o p u latio n   s i ze =1 0 0 ,   cr o s s o v er   p r o b ab ilit y =0 . 8   an d   m u tatio n   p r o b a b ilit y =0 . 0 3 .     Fig u r 4   s h o w s   t h w h o le   s et  o f   s o lu tio n s   o b tain ed   at  t h la s g e n er atio n .   T h e x tr ac ted   s o lu tio n s   o n   th P ar eto   f r o n co r r esp o n d   to   th b es i n d iv id u al  h av i n g   t h f it n es s   v al u es 1 = 1 , 783      2 = 1 , 667 . T h o p tim a l v al u es o f   th r ea l p ar am eter s   ar e:   1 = 23 , 0666   , 2 = 74 , 9882   , = 606 , 9333 .   An d   th e   o p ti m al  b i n ar y   w eig h ts   =   [ 000   100   000   100   010   000   010   001   000 ]   C o r r esp o n d in g   to   NFC   w i th   r ed u ce d   s tr u c tu r co n tain in g   f i v n o d es  i n   t h e   f u zz if icatio n   la y er ,   f iv n o d es  in   th AND  la y er   an d   th r ee   n o d es i n   th O R   la y er   as illu s tr ated   in   Fi g u r 3 .       T ab le  1 Fu zz y   r u les i n ter p r ete d   b y   t h Neu r o - f u zz y   co n tr o ller                   T h k n o w led g ac c u m u la ted   w it h i n   t h s tr u ctu r o f   th o b t ain ed   NF C   is   i n ter p r eted   as M a m d an FIS   w it h   th e   f i v r ed u ce d   f u zz y   r u les   g i v e n   i n   tab le  1 . T h Ne u r o - f u zz y   co n tr o ller   w as  test e d   f o r   r o b u s tn e s s   in   s itu a tio n s   d if f er en f r o m   t h n o m i n al  o n e.   T h r esu lts   ar e   s h o w n   i n   Fig u r e s   5   a n d   6 ,   th co n tr o ller   w a s   p ar ticu lar l y   s en s iti v to   t h p o le  len g th   w it h   s u cc es s   f o r   0 . 25 1 . 5   ( Fig u r es  9   a n d   1 0 ) ,   to   th p o le  m as s   w it h   s u cc es s   f o r   0 . 05  0 . 7    ( Fig u r es  11 an d   1 2 )   an d   to   th in itia co n d itio n s   w it h   s u cc es s   f o r   10° <   ( 0 ) < 60°   ( Fig u r e s   an d   8 ).              θ (t)   Δ θ ( t)   N   Z   P   N     N   Z   Z   N   Z   P   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708     I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7   :   2 6 1 4     2 6 2 6   2620         Fig u r 3 .   Stru ct u r o f   th o p ti m ized   NF C   Fig u r 4 .   Dis tr ib u t io n   o f   t h p o p u latio n   o f   t h last   g en er atio n       Fig u r 5 .   Var iatio n   o f   th p o le   an g le  f r o m   T h in i tial  co n d itio n   ( 2 0 0 ,   0 0 /s )   Fig u r 6 .   Var iatio n   o f   th a n g u lar   v elo cit y   f r o m   th in itial c o n d itio n   ( 2 0 0 ,   0 0 /s )                                                                                                                                 Fig u r 7 .   Var iatio n   o f   th p o le   an g le  f o r   d if f er e n in itial c o n d itio n s   Fig u r 8 .   Var iatio n   o f   th a n g u lar   v elo cit y   f o r   d if f er e n t i n itial c o n d itio n s         Fig u r 9 .   Var iatio n   o f   th p o le   an g le  f o r   d if f er e n p o le  len g t h s   Fig u r 1 0 .   Var iatio n   o f   th a n g u lar   v elo cit y   f o r   d if f er e n t p o le  len g th s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   Mi xe d   B in a r y - R ea l NS GA   I I   A lg o r ith m   E n s u r in g   b o th   A cc u r a cy   a n d   I n terp r eta b ilit y ( F a o u z i Titel )   2621         Fig u r 11 .   Var iatio n   o f   th p o le  an g le  f o r   d if f er e n t p o le  m as s   Fig u r 12 .   Var iatio n   o f   th a n g u lar   v elo cit y   f o r   d if f er en p o le  m a s s       4 . 2 Co ntr o l o f   a   helico pte s i m ula t o m o de l              T h h elico p ter   s i m u la to r   to   b e   co n tr o lled   is   th C E   1 5 0   lab o r ato r y   h e lico p ter   m ad b y   H u m u s o f L td   [ 2 0 ] .   T h lab o r ato r y   h elico p ter   s et - u p   co m p r is e s   b o d y   ca r r y in g   t w o   DC   m o to r s   w h ic h   d r iv th p r o p eller s .   T h h elico p ter   b o d y   h as  t w o   d eg r ee s   o f   f r ee d o m ;   th elev a tio n   an g le  φ,   i.e .   th an g le  b et w ee n   th v er t ical   ax is   an d   th e   lo n g it u d in a a x is   o f   t h h elico p ter   b o d y   a n d   t h e   az i m u t h   a n g le  ψ,   i.e .   t h a n g l in   t h h o r izo n tal  p lan b et w ee n   t h lo n g it u d in a l a x is   o f   t h h elico p ter   b o d y   a n d   its   ze r o   p o s itio n .   Th v o ltag e   d r iv i n g   t h m ai n   m o to r   u 1   a n d   t h v o lta g d r iv i n g   t h tai m o to r   u 2   a f f ec t   b o th   t h e   elev atio n   an g le  a n d   th az i m u th t h er ef o r w ca n   s a y   t h at  th m e n tio n ed   i n ter ac tio n s   m a k th e   s y s te m   m u lti v ar iab le.   T h h elico p ter   m o d el   ca n   b r ep r esen ted   as   n o n - li n ea r   m u lti - v ar iab le  ( MI MO )   s y s te m   w i th   in p u t s   u 1   a n d   u 2   a n d   t w o   o u tp u ts   φ  an d   ψ.       Fig u r 1 3 .   Helico p ter   co n f ig u r atio n     T h m at h e m atica m o d el  o f   th h elico p ter   s i m u lato r   is   g iv e n   b y   t h f o llo w i n g   d if f er en t ial  e q u atio n s :   ̇ 1 = 2                               ̇ 2 = 8 , 764 2  1 3 , 4325 4 1  1 0 , 4211 2 + 0 , 0035 5 2 + 46 , 35 6 2 +   0 , 8076 5 6 +                                    0 , 0259 5 + 2 , 9749 6     ̇ 3 = 4     ̇ 4 = 2 , 1401 4 + 31 , 8841 8 2 + 14 , 2029 8 + 21 , 7150 9 1 , 4010 1     ̇ 5 = 6 , 6667 5 2 , 7778 6 + 2 1     ̇ 6 = 4 5     ̇ 7 = 8 7 4 8 + 2 2     ̇ 8 = 4 7     ̇ 9 = 1 , 3333 9 + 0 , 0625 1     W h er 1 = ψ , 2 = ̇ , 3 = , 4 = ̇               u2   u1   Ψ   Φ   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708     I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7   :   2 6 1 4     2 6 2 6   2622   T h co n tr o o b j ec tiv is   to   s tab ilize  th h elico p ter   b o d y   ar o u n d   s et  p o in r ef er en ce ( φ r , ψ r ) .     Fo r   th is ,   d ec e n tr alize d   co n tr o te ch n iq u is   ad o p ted   b y   u s i n g   t w o   Ne u r o - f u zz y   co n tr o ller s o n f o r   t h ele v atio n   an g le  a n d   th o t h er   f o r   th az i m u th .     E ac h   Neu r o - f u zz y   co n tr o ller   h as  t w o   in p u ts   er r o r   e ( k )   an d   ch an g in   er r o r   Δ e ( k )   a n d   o n o u tp u t   ( ) T h r ee   s y m m etr ic  tr ian g u lar   f u zz y   m e m b er s h ip   f u n c tio n s   ( Ne g ati v ( N) ,   Z er o   ( Z )   an d   P o s itiv e   ( P ) )   ar u s ed   f o r   b o th   in p u ts   an d   o u tp u ts .     T h g o al  o f   th e   m ix ed   b in ar y - r ea NSG A   I I   is   to   f in d   o p ti m al   v alu e s   o f   t h r ea w id t h s   o f   t h ce n tr al  p ar o f   t h u n iv er s o f   d is co u r s o f   th i n p u v ar iab les  an d   o u tp u t   v ar iab les  f o r   b o th   co n tr o ller s :   1 ,  1 , 1 , 2 ,  2 , 2    an d   to   ex tr ac an   o p ti m al  s t r u ctu r co r r esp o n d in g   to   r ed u ce d   s et  o f   f u zz y   r u les  f o r   b o th   co n tr o ller s   d escr ib ed   b y   t h b in ar y   w e i g h t s    1     2   r esp ec tiv el y ,   s o   6 0   p ar am eter s   ar ev o lv ed   in   t h o p ti m izatio n   p r o b lem   w h ic h   u s es t h f o ll o w i n g   v al u es:    P o p u latio n   s ize= 1 0 0 ,   m a x i m u m   g en er atio n s =1 0 0 ,   cr o s s o v er   P r o b a b ilit y =0 . 8 ,   m u tatio n   p r o b a b ilit y =0 . 0 1 .   T h m i n i m izatio n   p r o b lem   i s   g iv e n   b y :                                     M in ( J 1 = | e 1 ( k ) | N k = 1 + | e 2 ( k ) | ,       J 2 = W ij 1     +   W ij 2     3 j = 1 9 i = 1 3 j = 1 9 i = 1 )                                                                                       ( 20 )       W h er e:   ( k ) = ψ r ( k ) ψ ( k )       a n d       e 2 ( k ) = φ r ( k ) φ ( k )     T h is   p r o b lem   is   r ec ast a s   m a x i m izatio n   p r o b le m :     M a x ( f 1 = 10 6 1 + 20J 1 ,     f 2 = 10 1 + J 2 )                                                                                                                               ( 21 )       T est  s i m u latio n s   w er ca r r ied   f o r   t h s et   p o in r e f er en ce s   = 1        = 1   w it h   3 0   s ec o n d s   a s   ti m s i m u lat io n .   T h p o p u latio n   o f   t h last   g e n er atio n   is   p lo tted   in   Fig u r 1 4   w h ic h   s h o w s   clea r l y   t h e   o b tain ed   f r o n t a f ter   1 0 0   g en er atio n s .   T h ex tr ac ted   s o lu t io n s   in   th f r o n t a r as  f o llo w s :      T h o p tim al  r ea l p ar a m eter s   ar e:           L e1 = 9 . 0989 , L Δ e1 = 2 . 1647 , L u1 = 5 . 9648 , L e2 = 7 . 4927 , L Δ e2 = 1 . 1852 , L u2 = 3 . 3399     An d   th o p ti m a l b in ar y   w e ig h t s   ar e:       1 =   [ 001   100   001   010   0 10   010   001   100   010 ]          2 =   [ 000   000   010   100   010   00 0   100   001   001 ]     T h k n o w led g ac cu m u lated   w it h i n   th s tr u ct u r o f   th e   t w o   o b tain ed   NFC   i s   in ter p r eted   as  Ma m d an FIS  w it h   th f o llo w i n g   f u zz y   r u les   ( tab le  2   an d   3 ) :                T a b le  2 .     Fu zz y   r u le s   i n te r p r eted   b y   t h                                                               T ab le  3 Fu zz y   r u les i n ter p r eted   b y   th e                                     f ir s t N eu r o - f u zz y   co n tr o ller                                                                                                   s ec o n d   Neu r o - f u z z y   co n tr o ller                       Fig u r 1 5   an d   Fi g u r 1 6   s h o r esp ec tiv el y   t h az i m u t h   an g l an d   t h ele v atio n   an g le ,   w n o tice  t h a t   b o th   o u tp u ts   r ea c h   th r e f er en ce s   (   ψ r = 1     a n d   φ r = 1   )   v er y   s m o o th l y   a n d   in   l ess   th a n   5   s ec o n d s   w h ile  t h e            e 1 (t)   Δe 1 (t)   NE   ZE   PO   NE   PO   ZE   PO   ZE   NE   ZE   NE   PO   PO   ZE   ZE            e 2 (t)   Δe 2 (t)   NE   ZE   PO   NE     NE   NE   ZE     ZE   PO   PO   ZE     PO       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   Mi xe d   B in a r y - R ea l NS GA   I I   A lg o r ith m   E n s u r in g   b o th   A cc u r a cy   a n d   I n terp r eta b ilit y ( F a o u z i Titel )   2623   elev atio n   an g le  p r ese n ts   a n   o v er s h o o o f   ab o u 1 0 %.  C o n tr o s i g n al  o u tp u t s   o f   th t w o   NF C   ar ill u s tr ated   i n   Fig u r e   17   an d   Fig u r e   18 .   T h ese  o b tain ed   NFC s   w er test ed   f o r   ch an g i n   az i m u t h   an d   elev atio n   a n g le  s et   p o in r ef er en ce s .   O n   t h o n e   h an d ,   f i g u r es  1 9 ,   2 0 ,   2 1   a n d   2 2   s h o w   t h s i m u latio n   r esu lt s   w h e n     ψ r = 1     a n d   φ r = 0 ,   it  ca n   b s ee   t h at  t h v ar ia tio n   o f   t h az i m u th   i s   v er y   s m o o t h   a n d   th d is t u r b an ce   i n   th e   elev atio n   an g le  i s   q u ic k l y   eli m i n ated .   On   th o t h er   h a n d ,   f ig u r es .   2 3 ,   2 4 ,   2 5   an d   26   s h o w   t h s i m u latio n   r esu lt s   w h e n     ψ r = 0     a n d   φ r = 1   ,   w o b s er v th a th v ar iatio n   o f   t h elev atio n   an g le  d o es  n o d is tu r b   th az i m u th   a n g le.               Fig u r 14 .   Dis tr ib u tio n   o f   th p o p u latio n                                             o f   th las t g e n er atio n   Fig u r 15 .   A zi m u t h   a n g le   ( s e t p o in r ef er en ce s : = 1        = 1 )               Fig u r 16 .   E lev atio n   an g le  ( = 1        = 1 )                          Fig u r 17 .   C o n tr o l sig n al  U 1 ( = 1      = 1 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.