Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri n g (IJ E C E)   Vo l.   10 ,  No.   2 ,  A pr il   2020, p p. 18 68 ~ 1884   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v10 i 2 . pp1868 - 18 84          1868       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om/i nd ex .ph p/IJ ECE   Elevati on , pitch  and tra vel  ax is  stabil izati on of  3DOF heli copte r  with hyb rid contr ol syste m by  GA - LQ R b ase d P I D cont rolle r       Ibra him  K. M ohammed ,  Abdul la I. A bdul la   Depa rtment  o f  S y stems   and   Cont rol  Eng ine er ing,  Coll ege of   Elec t ronic s E ng ineeri ng,   Ninev ah   Uni ver sit y ,   Ira q       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   A pr   29 , 201 9   Re vised  A ug   28 ,   20 19   Accepte d  Oct  9 , 2 0 19       Thi s  rese arc h  work  int roduc e s   an  eff ic i ent   h y brid  con trol   m et hodolog y   through  combin ing  the   tra di ti o nal   proport ional - int eg ral - d er iv ative  (PID )  cont roller  and   li nea r  qu adr a ti c  reg u lator  ( LQR)  opti m al  cont rolher.   The   proposed  h y brid  cont rol  ap proa ch  is  adopte d  to  design  three  degr e e  of  fre edom  (3DO F )  stabi lizing  s y s te m   for  hel ic opt er.   The   g ai n  pa ramet ers  of   the   c la ss ic   PID   cont roller  ar e  det ermined  usin g  the   e le m ent s  of  the   LQR   fee dba ck  gai n  m at rix.   The   d ynamic  beha viou r  of  the   LQR  base d  PI D  cont roller,   is  m odel ed   in  st ate  spac e  form   to  en abl e  ut lizing  sta te   fe edba c k   cont roller  techn ique .   Th e  per fo rm anc e  of  the   proposed  LQR  base d  LQR   c ontrol l er  is  improved  b y   usin g  Gene tic  Algo rit hm   opti m iz a tion  m et hod  which  ar e  adop te d  to   obt ai n  o pti m um   val ues   for  LQR  controlle r   gai n   par amete rs .   Th e   LQR - PID   h y b rid  cont ro ll er   i s  sim ula te d  usi ng  Matl ab  envi ronm ent   an d  it s  per form an ce   is  ev al ua te d  base d  o n  rise  tim e,   sett l ing   ti m e,   over shoot   and  stea d y   st ate   err or  par amete r s  to  val id at e   the  proposed  3DO F  hel ic opte r  bal an ci ng  sy stem.  Based  on  GA  tuni ng  appr oac h ,     the   sim ula ti on  r esult s  suggest  t hat   the   h y br id  LQR - PID   cont roll er  c an  be   eff ec ti ve l y   emplo y ed   t o   stabili ze   the   3DO F he l ic o pte r  s y stem .   Ke yw or d s :   3DOF heli co pt er s yst em   Gen et ic  al gorithm   Hybr i d  c ontrol   LQR c on t ro ll er   PI D  contr oller   Copyright   ©   202 0   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ibrah im  K . M oham m ed,     Dep a rtm ent o f Sy stem s an d  C on t ro l E nginee rin g,   Coll ege  of   Ele ct ronics E ng i ne ei ng ,   Nine vah Unive rsity , Mo s ul, Ir aq   Em a il : i br ahim .m oh a m m ed@ uonin e va h. e du. iq       1.   INTROD U CTION   The  A  3D OF  helic op te r  m od el   is  a  m ul ti - input,  m ult i - outp ut  syst em   (M IMO)   with  stron gly   nonlinea r  cha r act erist ic s,  us e d  as  ex per im e ntal  platfo rm   for  ve rificat io n  of  va rio us   con t ro l  al gorit hm s .     The  helic op te r   is  a  com plex  m echan ic al   schem e  and   has   un sta ble  dy na m ic s  wh ic h  m ake  usi ng  tra di ti on al   con t ro l  m et ho ds   to  sta bili ze  i t  is  a  big  chall en ge.   In  con t ro l  proc edure  of   3D OF   helic opte r   syst e m     the  no nlinear  dynam ic s  is  lin earise d  a bout   pr es el ect ed  operati ng  c ondi ti on s.  Ba se d  on  li near ise d  s yst e m   m od el   a  cl assic al   pro portiona l  integ ral  de riva ti ve   PID  c ontr oller  te ch nique   is  wi d el y  us e d  due  to   it s  sim p li ci t y  and   ea sy  to  re al iz e   [1 ] .  H owever,  us i ng   c onve ntio nal  PID  te ch nique  is   insuffici ent  to   gu i de  the  helic op te r   thr ough  the  dem and   tra j ect or y  as   the  re gu la ti on  of  th e  co ntr oller  pa ram et ers  is  hard  ta s k  e ve n  f or    an  e xp e rience d  c on t ro l  e ngineers   [ 1 ,  2].   I n  a no t her  co nt ro l  m et ho d,  a n  optim al   tracking  ap proac h  ui li zi ng  LQR  c on tr oll er  to  sta bili ze  the  he li copt er  syst e m   was  pro posed   by  [ 3].  I n  th e  pro posed  s yst e m ,     a  Ge netic   Al gorithm   (GA)  is  em plo ye d  to   o pti m iz e   a  cl assic   LQR  c ontr olle r  f or  po sit ion   c on tr ol  of  DC   m oto r.   By   us i ng   LQR  c ontr oller  a  sig nific ant  im pr ov em ent  in  gu i dan ce   of   helic opte r  syst e m   is  carried  ou t.   Fu rt her   in vesti gations  in  co ntro l  strat egies  f or   he li cop te r  s yst e m   are  st il l   the  go al   of  m a ny  researc hers.   A  ne w   con t ro l  a ppr oa ch  base d  on  hybri d  c ontrol le r  te ch nique  was  pro po se d  by  m any  res earche rs  t o  c on t ro l     the  3DOF  hel ic op te r  syst em .  Fan  a nd   J oo   [4 ]   pro posed   a  hybr i d  co nt ro l  m e tho d  usi ng   fu zzy   an d  PID   con t ro ll er   to  ba la nce  the   3D OF   helic opte r   syst e m   at   desir ed  e qu il ib r ium   posit ion.  In  th is  stud y,   an   ef f ic ie nt  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ele vation,  pitch  and  tr avel  ax is st ab il izati on  of 3D OF heli cop te r  wi th …   ( I br ahim  K.  Mo ham me d )   1869   con t ro l  m et ho d  has  bee n  a dopt ed  to  pro pose  a  hybri d  c ontr ol  strat egy  us i ng  both   co nve ntion al   a nd  int el li gen t  con t ro l  al gorit hm s.  This  hybr i d  co ntr ol  appr oach   us es  PI D  c ontrolle r   as  a  con ve nt ion al   co ntr ol,  wh il e    th e  li ner   quad r at ic   reg ulato r  ( LQR)  c on tr oll er  base d  on  G A  us e d  as  an  i ntell igent  co ntr ol.  The  L QR  optim a l   con t ro ll er  is  r ecom m end e d  to  i m ple m ent  t he  intel li gen t  syst e m   du e  to  it s  hig h  pr ec isi on   in  m ov em ent  app li cat io ns   [ 5 ] .  I n  this  sta te   feedbac k  co ntr oller   te ch nique   a  trade off  bet ween   t he  pla nt  char act erist ic s     and     the    in put ef f ort   of the syst em  can be ac hieve d  if  the c ontr oller g ai n param et ers  are  tu ned  pro pp e rly   [ 6 - 8 ] .    T he  LQR  c ontrolle r  desi gn   can  be   im pr oved  by  em plo yin g   s of t  com puti ng   an d  opti m iz at i on   te chni qu es ,  wh ic h  a re   a do pted   to  ac hieve   tun i ng  proecss   of   the   c on tr oll er  gain  pa ram e te rs ,  s uc h   as   D iffer e ntial   Ev o l ution  (D E )   [9 ] ,   Part ic le   Sw arm   In sp ire d  Ev olu ti on a ry  Algorit hm   (P S - EA )  [ 10 ] ,  Pa rtic le   Sw arm   Op ti m isa ti o n   (P S O) [ 11 ],  Ge netic  A lg ori th m  ( G A)   [ 12 ] ,  m e m e ti c algo ri thm  ( MA)  [ 13 ] ,    I m per ia li st C om petit ive A lg or it hm  (I CA )  [ 14 ] ,  A nt   Colon y  O ptim iz at ion   (A C O)   [ 15 ] ,    Ar ti fi ci al   Be e  C olo ny   (A BC )  [ 16 ] ,  and   Ar ti fici al   I m m un e   S yst e m s  (A IS)   [ 17 ] .   I n  or de r  to  validat e  the  pr opos e d  he li cop te r  m odel ,  the  hy br i d  con t ro l  syst e m   i s   si m ulate d  by  us in g  the   Ma tl ab  en vir onm e nt,  a nd  it s  bal ancin g  perfor m ance  is  then   evaluate d  bas ed  on  sta bili ty   crit eri a  par am et ers  wh ic h  inclu de  ri se  and   set tl ing   tim e,  ov ersho ot   and   co ntr ol  input.  T he  pur pose  of   the  pr opos e d  hybri d  G A - L QR  ba sed   PID  c on t ro ll er  i s  to  desig n  a n  e ff ic ie nt  c ontr ol  syst em   util iz ed  to   sta bili ze  a  pr ot otype  3DO F  helic op te r  syst e m   at   desired   ro ll   an d  pitch  po sit io ns   as  w el l  as  angular  travel  sp ee d.   Durin g  the  cu rr e nt  dec ade  the re  has  be en  a  c onsider able  intere st  by   m any  con tr ol   researc he rs  in  us in g  of   hy br id   co ntr ol  ap proac h  i n  va rio us   e ng i ne erin g  a pp li cat ion s .  V en doh  and  J ov it ha   [ 18 ]   prese nted  a   hybri d  con t ro l sy ste m   us in g  L QR  bas ed  P ID co ntr ol le r  f or   sta bili zat ion  a nd tra j ect or y t rac king  of m agn et ic  le vit at io n  syst e m .  Ar ba b  et   al .  [1 9 ]   pro po s ed  a  hy br i d  con tr ol  strat e gy  us in g  f uzzy   based   L QR  c on t ro ll er  f or  3 - D OF   helic op te r  syst e m .  Cho ud hary   [1 ]   desig n  an oth e r  hybri d  c on t ro l  schem e  us in g  LQR  bas ed  PID  co ntr olle r  for   3 - DOF  helic op te r  syst em ,  ho w eve r,   t he  i ntr odu ce d  hybri d  con t ro l  syst em s  are  not  ef fici ent  as  th e  pa ra m et ers  of  the  LQR   fe edb ac k  gai n  m at rix  are  obta ined   by  a pply ing   tria l  a nd  error  pro ced ure.  T he  pa per  pr ese nt s     a  sim ple  m e tho d  f or  the  a pp roxim ation   of   PI D   co ntr oller   gain   pa ram eter s  f r om   feedback   gai n  m atr ix  of    the   co ntr oller.   The   LQR   co ntr oller  ga in  i s  obta ine d  f r om   the  wei gh ti ng  m at rices  Q  an d  R  w hich   their   el e m ents v al ue s ar e t un e d  e ff e ct ively  b y t he GA  opti m iz at i on m et ho d.     The  rest  of   th e  pap e r  is  organ ise d  as  f ol lows .  Sect ion   2   prese nts  co nf i gu rati on   a nd  dyna m ic s   m od el ing   of  th e  he li cop te r  sy stem .  In   sect io n  3 ,  co ntr oller  te chn iq ues  of   helic op te r  hy bri d  co ntr ol  syst e m   are  introd uced.  T unin g  m et ho d   is   desc ribe d  in   s ect ion   4.   Sect ion  5   intr oduce s  helic opte r  c ontr ol  syst em   de sign   is   pr ese nted .  In   s ect ion   6   sim ulati on   res ults  of  the  hybri d  co ntro l  syst em   are  intro du ced  a nd  f ollo wed  by   con cl us io ns  a nd  pro s pecti ve r esearch  in se ct ion 7 .       2.   STRUCT URE   AND D YNAM I CS M ODE LING  OF H EL ICO PTE R   2 . 1.     Heli copte r  s tu c tu re   The  c on ce ptu a l  platfo rm   of   3 - DOF  helic opte r   syst em   is  sh ow n  in  Fig ure  1.  It  c on sist s  of   a n  a rm   m ou nted  on  a  base.  T he  m a i n  body  of  the  helic op te r  com po s ed  of  pro pe ll ers  dr ive n  by   two  m oto rs  m ounte d  are  the   ei the r  ends  of  an   s hort  bala nce  ba r.  The   whole  he li cop te r  body   is  fi xed  on   one   en d  of  the   ar m   and    a  balance   bl oc k  instal le d  at   the  oth e r  en d.  T he  balance  a rm   can  ro ta te   a bo ut  tra vel  axis  a s  well   as  sl op e   on  a n  el evati on   a xis.  The  body  of   he li cop te r  is  fr e e  to  r oll  ab ou t  the  pitch  a xis.  The  syst em   is  pro vid e d  by  e nc od e r s   m ou nted  on   t hese  a xis  us e d   to  m easur e  the  tra vel  m oti on   of  the  a rm   and  it s  el evati on   a nd  pitch   ang le .     The  prop el le r s   with  m oto rs  can  ge ne rate  an  el evati on  m echan ic al   f orc e  pro portiona l  to  the  vo lt age   powe r   su ppli ed  to  the   m oto rs.   This  f or ce  ca n  cause   the  helic op te r  body  to  li ft  of f   the  gr ou nd.  It  is  wo rt h  co ns ider i ng   that t he pur po s e of  us in g balance  blo c k  is t o red uce t he vo lt age  powe r  s upplied to  the  propell ers  m oto rs.       2 . 2.     Heli copte r dynamics  an d mathem ati cal m od el ing     I n  this  stu dy,  the  no nlinear  dy nam ic s  of   3D OF   helic op te r  syst e m   is  m od el ed  m a them a t ic al ly   based  on   de velo ping   the  m od el   of  the  syst e m   beh avi or   for  el evati on,  pitch  and   tra vel  axi s.  The  def i niti on   of    the sym bo ls an d no m ecal ture of  the  pro pose d heli cop te r  sy stem  is includ e d  in  Ta ble 1.     2.2.1.   El e vatio n axis m od e l   The  f ree  bo dy  diagr am   of   3DO F  helic opte r  syst e m   based  on   el evati on  axis  is  sh ow n  in  Fig ur e  2.     The  m ov em ent of the  elevat io n  a xis is  gove r ned b y t he foll ow i ng d i ff e rent ia l equ at io ns :     ̈ = + cos ⁡ ( ) − , − ,   (1)     wh e re    is t he  c entrif ug al  t orq ue,   w hich  is  fu nction o f  ( ) ,   ,   is fri ct ion  m o m ent ex erte d on   the h el ic op te r   el evati on  axis ,   w hich   is  gen e rated  from   co m bin ing   j oi nt  f rict ion   a nd  ai r  resist ance,   an d  ,   is  t he  e ff ect i ve   gr a vitat ion al  t orq ue d ue  to  the  m ass d iffer e nt ia l  = ℎ   about t he  e le vation axis.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  2 ,  A pr i l 202 0  :   1868  -   1884   1870       Fig ure  1. 3D O F H el ic opte r  S yst e m  [ 20 ]           Figure  2. Sc he m at ic  d ia gr am   of ele vatio n  a xi s m od el  f or  3DO F  helic op te r  syst em       , = ℎ   (2)     If  the   el evati on  a ngle   = 0   a nd  th e  r otati on  a ng l e  of   pitch   a xis  = 0 ,  the n  the   ce ntr ifu gal  to r qu e   ( )  wil l   be  ze ro  ( 1) b as ed on E uler’ s  s econd la w bec om es as f ollo w s:     ̈ = − , + ,   (3)     ̈ = ( + ) − , + ,   (4)     = ⁡ ⁡ ⁡ = ,   (5)     ̈ = ( + ) − , + ,                                                                                                            (6)        ̈ = − , + ,                                                                                                                    (7 )     2.2.2.  Pitch  ax is model   Con si der   t he  pi tc h  schem at ic   diag ram   of   the   syst e m   in  Fig ur e  3.  It  ca n  be   seen  from   the  fig ur e  t hat  the  m ai n  torqu e  act i ng   on   t he   syst e m   pitch  axis  is  pro duced   from   the  thru s t  fo rc e  ge nerat ed  by  t he  pr operll er   m oto rs.   Wh e n  ≠ 0 , th e  gravit at io nal force  w il l a lso  gen e rate a t orq ue  ,   act s on  t he heli cop te r p it ch  axis.                                             , + ,         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ele vation,  pitch  and  tr avel  ax is st ab il izati on  of 3D OF heli cop te r  wi th …   ( I br ahim  K.  Mo ham me d )   1871       Figure  3. Sc he m at ic  d ia gr am   of p it ch  ax is m od e l  f or   3DO F  helic op te r  sc he m e       Table  1.   N om e nc la ture  of t he heli cop te r  syst e m   No m en clatu re   Def in itio n   , ,         ℎ     Ro tatio n  ang le of  e lev atio n ,  p itch  and  tr av el axis  r esp ecti v ely  ( d eg re e)   Distan ce between  t h e pitch  axis   an d  the h elico p ter  cent e r  o f    g ravity  ( m )   Distan ce fro m  axle  po in t to eith er  p rop eller  m o to r  ( m )   Distan ce fro m  axle  po in t to th e balan ce blo ck  ( m )   Distan ce between  t h e pitch  axis  and  the center of  pro p ellers ( m )   Lif t f o rce  o f  the p rop erller   m o to rs  ( N )   ,   ,   Fo rces of  f o rnt an d  back  pro p erller   m o to rs ( N)   Vo tag e app lied  to th e f ron t and  back  pro p erller   m o to r  r e sp ectiv ely  ( v )         , , , , ,       , , ,   , ,       Mass o f  balan ce blo ck  ( k g )   Mass o f  pro p erller   m o to rs  ( k g )   Mass d if f erential a b o u t the elev atio n  axis  ( k g )   Torq u e co m p o n en t gen erate d  f ro m  co m b in in g  the jo in t f riction  and  air   resi stan ce fo r  elev atio n ,  p itch  and   rate  ax is  resp ectiv e ly  ( N. m )   Cen trif u g al torq u e   abo u t the elev atio n  axis  ( N. m )   Ef f ectiv e gravit atio n al torq u e du e to g ravity  ab o u t the e lev atio n  axis  and  p itch  axis  r esp ectiv e ly  ( N. m )   Inertia  m o m en t  of  the syste m  abo u t e lev atio n ,  p itch  and  tr av el axis  r esp ecti v ely  ( k g . m 2 )   Fo rce  co n stan t of  t h e  m o to r - p rop eller  co m b in atio n       The dynam ic s o f  the  pitch a xi s can  b e  m od el ed  m at he m at icall y as fo ll ows:     ̈ = ℎ − ℎ − , − ,   ( 8)     Wh e re  , is fr ic ti on m o m ent exe rted o n  the  p it ch  a xis.     , = ℎ sin ( ) cos ( )   (9)     Ba sed on t he  a ssu m ption  that   the p it ch  a ng le   = 0 ,  , = 0   , th e n (8)   bec om es as f ollo w s:     ̈ = ℎ ( − ) − ,   (10)     ̈ = ( − ) − ,   (11)     ̈ = − ,   (12)     2. 2.3 .   Tr avel  axis m od el   The  fr ee   bo dy  diag ra nm   of   the  he li cop te r  syst e m   dynam ic s  base d  on  t rav el   a xis  is   presente d  i n  Figure  4.   In  th is  m od el ,  wh e n  ≠ 0 ,  the  m ai n  forces  act in g  on   the  helic opte r  dynam ic s  are  the  th rust  f or c e s   of  pro pe rlle r  m oto rs  ( , ).   The se  f or ce s  hav e   a  c om po ne nt  gen e rates  a   to r qu e   on  the   tra vel  a xis.  Assu m e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  2 ,  A pr i l 202 0  :   1868  -   1884   1872   that  the   helic opte r   bo dy  has   r oll  up   by  a n  an gle    as   s how n  i n  Fig ur e   4.  T he n  t he   dy nam i cs  of  tra vel  a xi s  f or   3DOF heli co pt er s yst em  is  m od e le d  as  foll ows:     ̇ = − ( + )  ( ) − ,   (13)           Figure  4. Sc he m at ic  d ia gr am   of travel  rate a xis m od el  for 3 DOF  helic op te r  sc hem e       The  t hrust  f oc es  of  t he  t wo  pro per ll er   m oto r s  ( + )   are  re qu ire d  to  keep  the   helic op te r   in   flig ht  case an d  is a pp roxim at e ly   .     ̇ = −  ( ) − ,   (14)     Wh e re  ,   is  fr ic ti on   m om ent  exer te d  on  tra vel  a xis.  As     appr oach s   to   zero,  base d  on  si nc  functi on,    ( ) = ⁡ , th e a bove  equ at ion   beco m es as foll ows:     ̇ = −  − ,   ( 15)     Ba sed  on  the   a ssu m ption   that  the  co upli ng d ynam ic s,  gravi ta ti on al   tor que ( , )  an d  fr ic ti on m o m ent  exer te d  on  el evati on,   pi tc h  an d  tra vel   axis   a re  ne glect ed,   th en   th e  dynam ic s  m od el ing   (7),   ( 12)  and  ( 15 )  f or   3D O F   helic op te r  sys t e m  can  be  sim plifie d  as  in  (1 6), (1 7) an d (18 )  r es pecti vely  [1].     ̈ =   (16 )     ̈   =   (17 )     ̇ =   (1 8)     2.3.     S ys te m state  sp ace m odel     In   or der   to  des ign   sta te   feedb ack  co ntr oller  base d  on   L QR   te chn iq ue  for  3DOF  helic op t er  syst e m ,   the  dy nam ic s  m od el   of   the  syst e m   sh ou ld   be  f or m ulate d  in  sta te   sp ac e  form .  In   this  stud y,  the  pr opos e d  hybri d  c on tr ol  al gorithm   is  inv est igate d  for  t he  pu rpose  of   con t ro l  of   pitch  an gle,  el evat ion   a ng le   a nd   t rav el   rate  of  3D OF  helic opte r  sc hem e  by  reg ul at ing   the   vo l ta ge  suo pp li es   to  the  fron t   and  bac k  m otors .   Let   ( nx 1 ) = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ⁡ ] = [ , , ̇ , , ̇ , ʓ , ]   be   th e  sta te   vect or  of  t he   syst em ,   the   sta te   var ia bles   are  c ho s en  a s  the  a ng le s  a nd  rate  an d  their   co r respo nd i ng  an gu la r  vel ociti es,  an d  ʓ ̇ = , ̇ = .   The   volt ages   s upplied   to   the   fron t   an d  ba ck   pr op el le rs   m oto rs   are   c on si de red  the   in put’ s  vector  s uc h  t hat,   ( ) ( mx1 ) = [ 1 , 2 ] = [ , ]   an d  the   el evati on  an gle,   pitch  a ngle   and  tra vel  rat e  are  ass um ed          Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ele vation,  pitch  and  tr avel  ax is st ab il izati on  of 3D OF heli cop te r  wi th …   ( I br ahim  K.  Mo ham me d )   1873   the  ou t pu t’ s  ve ct or   su c h  t ha t,  ( ) ( px1 ) = [ , , ] .  Ba se d  on  (13) - ( 15) ,  c hoos in g  t hese  st at e  var ia bles   yi el d s   the foll owin g  syst em  st at e sp ace m od e l:     1 ̇ = = 2     2 ̇ = ̇ = 3     3 ̇ = ̈ = ( + )     4 ̇ = ̈ = ( − )   (16)     5 ̇ = ̇ = 2     6 ̇ = ʓ ̇ = 1     7 ̇ = ̇ = 4     The  ge ne ral  sta te   and   outp ut   m at rix  equ at ion s  desc rib in g  the  dynam ic   beh a vior  of  th e  li near - ti m e - inv a riant  ( LTI )   helic opte r  syst e m  in  sta te  sp a ce f or m  are  as  fo ll ows:     ( ̇ ) =  ( ) +  ( )   (17)     ( ) =  ( ) +  ( )   (18)     Wh e re  ( n x n )   is  the  s yst e m   m a trix,  ( n x m )   is  the  in pu t  m at rix,   ( p x m )   is  the  outpu t  m at rix,   a nd  ( m x p )   is  feed  f orward  m at rix,   f or   t he  desig ne d  sy stem .  Ba sed  on  ( 16) ,   the   sta te   sp ace  re pr es entat ion   ( 17)  a nd  ( 18 )   are r e w ritt en  a s   in  (19 )  a nd (2 0)  [ 1 ].       [               0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ]               ⁡ [             ̇ ̇ ʓ ]             + [               0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 0 ]               [ ]   (19 )     [ ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] [             ̇ ̇ ʓ ]             + [ 0 0 0 0 0 0 ] [ ]   (20)     [             ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ʓ ̇ ̇ ]             = [             0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 . 0655 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ]             ⁡ [             ̇ ̇ ʓ ]             + [             0 0 0 0 5 . 8197 5 . 8197 63 . 9498 − 63 . 9498 0 0 0 0 0 0 ]             [ ]   (21)     In   t his  stu dy,  f or   pur pose   of   con t ro l  syst em   d esi gn,   the  m od el   of  the  sys tem   is  fo rm ulate d  in  sta te   sp ace  f or m   us ing   the  phys ic al   par am et er s  values  sta te d  in  T a ble  2  [1 ] .  Ba se d  on   (19 )  an d  us in g    the p a ram et ers  values  in  Ta ble  1 ,  the  sta te  equati on of  t he   s yst e m  is g iven by ( 21).     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  2 ,  A pr i l 202 0  :   1868  -   1884   1874   Table  2.   Value s of  ph ysi cal   pa ram et ers  of   3DO F  helic op te r  syst em   Sy m b o l   Ph y sical Un it   Nu m eric al Va lu es     k g . m 2   1 .81 4 5     k g . m 2   1 .81 4 5     k g . m 2   0 .03 1 9   W   N   4 .25 9 1     m   0 .88     m   0 .35     m   0 .17     N/V   12       3.   CONTR OLL ER   TE C HNIQUES    In   this  sect io n,  the  theo ry  of   t he  PID  an d  L Q R  con tr oller  te chn i qu e s  us e d  for  desi gn i ng   t he  pro posed  helic op te r  c ontrol  syst em   a re  intr od uced .   The   gai n  pa ram et ers  of   the  P ID  co nt ro ll er   are  obt ai ned  appr ox im at ely  from   the  LQR  gain  m a trix.  Con tr ol  eq uations   of   el evati on  an gle,  pitch  ang le ,  a nd   tra ve l  rate   for hel ic op te r  s yst e m  u sing   PID c on t ro ll er a r e also  pr e sente d .      3.1 .    PI D  c ont rolle r   A  PID  is  the  m os t  po pu la r  con t ro ll er  te ch ni qu e  that  is  wi dely   us ed  in  i ndus t rial   app li c at ion s  due  to   the sim plicity   of  it s  st ru ct ur e  and can  b e  r eal iz ed  easi ly  f or  var i ou s  contr ol  p r oble m s as the  gain  p a ram eter s  of  the  co ntr oller  a re  relat ively   in dep e ndent   [ 21 ] [ 22 ] .   Ba sic al ly ,  the  c ontr oller   pro vid es   co ntr ol  com m and   si gn al s   ( ) ⁡ base d  on  the   e rror  ( )   betwee n  t he  dem and   in put  a nd  the   act ua l  outp ut  of  t he   syst em .  The  con ti nu ous   tim e stru ct ur e  of the  PID c on t ro ll er is  as  fo ll ow s :     ( ) = ( ) + ⁡ ∫ ( )  0 +  ( )    (22)     Wh e re  , ⁡ ⁡ an d    are  the  pro port ion al ,  i nteg ral  an d  diff e re ntial   com po nen t s  of  the   co ntr oller  gain .   These  co ntr oller  gain  pa ram et ers  sh ould  be   tun ed  prop e rly   to  enab le   the  ou t pu t  sta te s  of   t he  syst e m   to  eff ic ie ntly   f ollow  the  desire d  input.  If  ⁡ ⁡ , ⁡ ⁡ an d  ⁡   are  the  desire d  el evati on  an gl e,  pitch   an gle  and  tra vel  rate  of  the   helic op te r  syst em ,  it   can  ex press  t he  form   of   P ID  co ntr ollers  use d  to   m eet   the  desir e d  ou t pu t  sta te s  a s foll ow s  [1, 2 3 ] . In  t his stu dy , f or ele vation an gle, the  cont ro l e quat ion i s  base d on  t he fo ll ow in g  P ID co ntr ol   equ at io n:     =  +  ̇ +  ∫  ⁡   (23a)     =  ( − ) −  ̇ +  ∫ ( − )  ⁡   ( 23 b)     Wh il e th e  pitch a ng le  is  contr olled  by the  foll ow in g PD  con trol e qu at io n:      =  +  ̇   (24a)     =  ( − ) −  ̇   (24 b)       The  tra vel  rate  is g ov e rn e d by  the foll owin g PI  c o ntro l e qua ti on :      =  +  ∫    (25a)     =  ( − ) +  ∫ ( − )    (25 b)     wh e re  = − , = − , = − , ̇ = − ̇   an d  ̇ = − ̇ .     3.2 .    LQ R  c ontrolle r   Linear  quad rat ic   regulat or   is  a  c omm on   op ti m al   con trol  te c hn i qu e   w hich  has  been  wi dely   util iz ed  in   var i ou s  m anip ulator  syst em s   [24] .  Using  L QR  te chn i qu e  in  desig n  co ntr ol  syst e m   req ui res  al l  the    states   of  the  syst e m   plant  to  be  m easur a ble  as  it   ba ses  on  the  fu ll   sta te   feedbac k  co nce pt.  T he refor e ,  us i ng   LQR  con t ro ll er  t o  st abili ze  the  3D OF   helic opte r  syst e m   based   on   t he  ass um ption   t hat  the  sta te s  of   t he  syst em   are   consi der e d  m easur a ble.  LQR  appr oach incl udes a pply ing  t he  optim al  co ntr ol effo rt:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ele vation,  pitch  and  tr avel  ax is st ab il izati on  of 3D OF heli cop te r  wi th …   ( I br ahim  K.  Mo ham me d )   1875   ( ) = −  ( )   (26)     Wh e re    is  t he  s ta te   feedbac k  ga in  m at rix  of  L QR  c on t ro ll er,   that  will   ena bl e  the  outp ut  st at es  of  the   syst e m   to foll ow the  tr ajecto ries  of   re fer e nce inp ut, while m ini m izi ng the  f ollow i ng the  cost  fun ct ion :     = ∫ ( ( )  ( ) ∞ 0 − ( )  ( ) )    (27)     Wh e re  Q  a nd  R  are  ref e rr e d  to  as  weig htin g  sta te   and   c ontr ol  m at rices.  The  co ntr oller   feedback  gain   m at rix  can  be dete rm i ned b y  us i ng bel ow  e quat io n:     = − 1   (28)     Wh e re    is ( nxn) m at rix  deter m ined  f ro m  t he  so l ution o f  th e f ollow i ng Ri ccat i  m at rix  eq uation:     +  −  − 1 + = 0   (29)     In this a pp li cat ion ,   = [ k 11 k 12 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 13 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 14 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 15 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 16 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 17 k 21 k 22 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 23 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 24 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 25 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 26 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 27 ]   and  ( ) = [ 1 2 ] .   Ba sed on t his,   the contr ol e ffor t  of the  syst em  sta te d  in  (26 )  ca n be  wr it te n  as  foll ows:      [ 1 2 ] = − [ ⁡ k 11 k 12 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 13 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 14 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 15 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 16 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 17 k 21 k 22 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 23 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 24 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 25 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 26 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 27 ] [             ̇ ̇ ʓ ]             ⁡   (30)     Fo r  the  purp ose  of sim plici t y of co ntr ol pr oblem  the w ei ght ing  m at rices Q a nd R are  chos en  as  the  diag onal   m at rices so  tha t t he  co st f unct ion   ( 27)  ca n be  r ef orm ulate d  as b el ow :     = ∫ ( 11 1 2 + 22 2 2 + 33 3 2 + 44 4 2 + 55 5 2 + 66 6 2 + 77 7 2 + 11 1 2 + 22 2 2 ) ∞ 0  ⁡ ⁡   (31)     Wh e re  11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66   and  77   denote  the  weig hting  el e m ents  of   flig ht  an gles  an d  their   corres pondin g  angular   velocit ie s  of  t he  pro pose d  3DOF  helic op te r   syst em   resp ect ively ,   w hile,  11 ⁡ and  22   ar e   the  wei gh ti ng  el e m ents  of   c ontr ol  inputs.  It  is  worth  c ons iderin g  that,   in   this  stu dy,  ba sed  on   t he  sta te   an d  con t ro l  L QR  weig hting  m atr ic es  Q   an d  R ,  the  fee db ac k  gain   m at rix  ( )   ca n  be   cal c ulate d  by  util iz ing   the Mat la b  c om m and  “ lqr ”.   The  optim al   con t ro l  a ppr oac h  L QR  is   hi ghly   rec omm en ded  f or  sta bili zi ng  the  3DO F  helic op te r   syst e m   as   it  basical ly   loo ks   f or   a   com pr om i sing   bet ween   t he  best  co ntr ol  per f or m ance  and   m ini m u m   c on t rol   effor t.   Ba sed   on  L QR  c on t ro l le r,   a n  op ti m um   trackin g  perform ance  can  be  in vestigat e d  by  a  pro per  se tt ing   of   the  fee db a ck  c on t ro ll er  gain   m at rix.   To   ach ie ve  this,  t he  LQR  c on tr olle r  is  o ptim iz ed  by  us i ng  G A  t un i ng  m et ho d w hich i s adop te d  to  obtai n  a n op ti m um  ele m ents v al ues  f or  Q  a nd R w ei gh ti ng  m at rices.       4.   TUNING  M E THOD   In   this  st ud y,  GA   t un i ng   a pp ro ac h  is  ad opte d  to  op ti m iz e  the  LQR  gain  m at rix  us ed  t o  appr ox im at e   the  gai n  pa ra m et ers  of   P I D   con t ro ll er  for   3DOF  helic opte r  syst em .  GA   is  a  glob al   search  opti m iz at ion   te chn iq ue  base s  on  the  strat egy   of  gen et ic s  an d   natural   sel ect ion   [2 5][ 26 ] .   This  opti m iz at ion   m et ho d  is  util iz ed  to  ob ta in  an  opti m u m   glo bal  s olu ti on  f or   m or e  cont ro l  an d  m anipu la ti ng   prob le m s.  The  pr oce dure  of   GA  ap proac h  include s  of  th ree  basic  ste pe s:  Sele ct ion ,   Cros s over   an d  Muta ti on.  A pp ly in g  t hese  m ai n  op e rati ons  cre at es  new   in divi du al s  w hich  c ou l d  be  bette r  than  thei r  pa re nts.  Ba sed  on  the  requirem ents  of   desire d  respo nse ,   the   se qu e nc e  of  GA  opti m i zat ion   te c hn i que  is  re peated  f or  m any  it eratio ns  a nd  fin al ly   sto ps   at   gen e rati ng   optim u m   so luti on   el em ents  for  the  ap plica ti on   pro blem s  [ 27 ] .  T he  se qu e nce  of  the  GA  tun i ng   m et ho d  is  pres ented  i n  Fi gure  5   [ 3]. T he  ste ps o f  the  GA l oop are  d e fine d as f ollows:   1.   In it ia l set  of  popu la ti on.   2.   Sele ct ing   i nd i vi du al s  for  m at i ng.   3.   Ma ti ng  the  po pula ti on  t o  c reate p roge ny.   4.   Muta te  p r ogen y.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  2 ,  A pr i l 202 0  :   1868  -   1884   1876   5.   In se rtin g new  gen e rated  in div id uals int o popu la ti on.   6.   Ar e  the syste m  f it ness  fun ct io n  sat isfie d ?   7.   En d  sea rch p ro cess f or so l utio n.   In  this  st udy,  t he  ai m   of   us i ng  GA  op ti m iz a ti on   m et ho d  is  to  tu ne  t he  PID  c ontrolle r   pa ram et ers  by  m ini m iz ing   a  sel ect ed  fitness  functi on  w hich   will   be  discusse d  in  detai l  in   the  sect ion   4.  The  im ple m ent at ion  proce dure  of  the  GA  tu ning  m et ho d  be gin s   with  t he  def i ni ti on   ste p  of  t he   ch ro m os om e  re pr ese ntati on.  Eac h  chrom os om e  i s  rep re sente d  by  nin e  cel ls  wh ic h  corres pond  to  the  we igh t  m a tric es  el e m ents  of   the  LQR   con t ro ll er  as  s how n  in  Fi gur e  6.   By   this  re pr ese ntati on  it   can  a dju st  the   LQR  e le m ent s  in  orde r  to  a chiev e   the  re qu ire d  pe rfor m ance.  Th ese  cel ls  are  f orm ed  by  real  posit ive  num bers  an d  cha racter iz e  the  ind i vidual  to  be  e valuate d  [ 27] .           Figure  5. Proce ss lo op of  GA.           Figure  6. De fin it ion  of  G A  c hrom os om e       5.   HEL ICO PTE R  H YBR ID  CO NTR OLS  Y STE M DESI GN   In   t his  stu dy,  a   co ntr ol  syst e m   us in g  L Q R  base d  P ID  con t ro ll er  is   de sign e d  t o  sta bili ze  3DOF  helic op te r  syst e m .  B ased  on   s te p  input,  a  hybr i d  co ntro ll er  is  design e d  f or  the  fo ll owin g  desire d  pe rform ance   par am et ers:  ri se  ti m e  ( )  le s s  tha n  10   (m s),  set tl ing  tim e  ( )  le ss   t han  30   (m s),   m axim u m   ov ers hoot   per ce ntage ,  ( )  le ss  than  5% .  T he  bl ock  dia gra m   of   the  pro pose d  helic opte r   con t ro l  syst e m   based   on   L QR  con t ro ll er is  pr esented   in  Fig ure  7.             Figure  7. LQR   co nt ro ll er  base d on G A for  3DO F  helic op te r  syst em     11 q   22 q   33 q   44 q   55 q   66 q   77 q   11 r     22 r     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  El ec &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ele vation,  pitch  and  tr avel  ax is st ab il izati on  of 3D OF heli cop te r  wi th …   ( I br ahim  K.  Mo ham me d )   1877   The  c on tr ol  sy stem   is  analy s ed  m at he m atic al ly   and   the n  si m ulate d  us in g  Ma tl ab/sim u li nk   to ol  to   validat e  the  propose d  LQR  c on t ro ll er.  Ba se d  on  the  desire d  perf or m ance  par am et ers  wh ic h  inclu de  ri se  an d  set tl ing   tim e,  ov e rs hoot  a nd  erro r  ste ady  sta te   par am et e rs  the   fitnes s  functi on  of   t he   co ntr ol  pro bl e m   is  form ulate d  as foll ows:     = 0 . 3 . + 0 . 3 . + 0 . 2 . + 0 . 2 .    (32)     Wh e re,     is  cl ose d  l oop  t ran s f er  f unct io n  of   the  helic op te r   syst e m ,  . , , ,    are  th e  rise  ti m e,  set tl ing   tim e,  m axi m um  ov er  s hoot  and   e rro r  ste ad y  sta te   of   the  cl os ed - lo op   c ontr ol  syst e m .   It  is  wo rt h  co nsi der in g  that  the  con tr ol   inp ut  effo rt  is  con si der e d  in  the  evaluati on   process  of  the  pro po se d  s ta bili zi ng   helic op te r  syst e m .   In  this   stu dy,  t he  des ign  of  c ontr oller  is   ef fecti vely   optim iz ed  by   us i ng  GA  tu ni ng  m et ho d  w hi ch  is   adopted   to   obt ai n  op ti m u m   ele m ents  value s  for  L QR  weig hting  m at rices  Q  a nd  R.   Th es e  opti m iz ed  m at rices  are  us in g  to  ca lc utate   op ti m u m   con trolle r  ga in  m at rix  by  us in g  ( 29)  an d  (3 0).  H oweve r,   the  gain  m atr ix  is   determ ined  by  us in g  t he  Ma tl ab  c omm and   ‘ lqr ’.     5.1 .    PI D appr ox im at i on     In   t his  subsect ion,  the  gain  pa ram et ers  , , ⁡ of   t he   PI D  co ntr oller   are  cal culat ed   appr ox im at ely   from   the  feed ba ck  gai n   m at ri x     of  the  L QR  con t ro ll er  base d  on  GA   optim iz at ion   te ch nique .  An al yz in g  (30)  yi el ds  th e f ollo wing  [4 ] :     [ 1 2 ] = − [ ⁡ ⁡ ⁡ k 11 k 12 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 13 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 14 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 15 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 16 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 17 k 11 − k 12 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 13 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ − k 14 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ − k 15 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ k 16 ⁡ ⁡ ⁡ ⁡ − k 17 ] [             ̇ ̇ ʓ ]             ⁡   (33)     5.1.1.  El e vatio n contr ol us in g  PI D  c ontr oller   Su m m ing  the  row s  of  (33 )  r es ults the  fo ll ow i ng [1]:     1 + 2 = − ( 2 11 + 2 13 ̇ + 2 16 ⁡ ʓ ) = − ( 2 11 + 2 13 ̇ + 2 16 ⁡ ∫  ) ⁡   (34)     The  a bove  equ at ion  ca n be  wri tt en  as     = − 2 11 ( − ) − 2 13 ̇ − 2 1 6 ⁡ ∫ ( − )  ⁡   (35)     It  is  ob vi ous  that  (23 b)   an d  (35)   hav e  the  sam e   structur e ,  this  m eans  that  the  gain  para m et ers  of   pitch  P I D   con t ro ll er   can  b e o btai ned  f rom   the  gai n  el e m ents  of  L QR co nt ro ll er.   T hus,  c om par ing  ( 23b) w it h  ( 35) ,   yi el ds   the foll owin g g ai n  relat io nships:      = 2 11  = 2 13  = 2 16 ⁡   (36)     The  blo c k  dia gr am   of   cl os ed - l oop  co ntr ol  syst e m   fo r  3DO F  helic opte r  syst e m   base d  on  PID  con t ro ll er  i s   sh ow n  in  Fi gur e 8 .  Ta king La place t ra ns f orm  f or  elevat io n axi s m od el  (1 3) yi el ds  the  f ol lowing e qu at i on :      ( ) . 2 = 1 ( )   (37)     The  tra nsfer  fu nction o f  t he  el evati on ax is  p l ant is  giv e n by:     ( ) ( ) = 2   (38)     The  tra nsfer  fu nction o f  t he  P ID   co n tr oller is  as foll ows:     ( ) ( ) =  2 +  +    (39)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.