Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   11 ,  No.   3 ,  June   2021,  pp. 2 045~ 2053   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ije ce . v11 i 3 . pp2045 - 20 53          2045       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om   Model r eduction  of un stabl e s yst em s base d on bal anced  trunc ation al gorith m       Ngoc Ki en  Vu ,   and   Hong  Q ua n g N guyen   Tha i   Ngu y en  Un ive rsit y   of Tec h nolog y ,   Thai  N gu ye n  Ci ty , V i et nam         Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   A pr   4,   2020   Re vised  Sep   5 ,   2020   Accepte d  Oct  11, 202 0       Model  red uction   of  a  s y stem  is  an  appr oximati on   of  a  highe r - orde r  s y stem  to   a  lower - ord er  s y stem  whil e  th e   d y n amic  b eha v ior  of  th e  s y s tem   is  al m ost  uncha nged .   In  t his  pape r,   we  will   discuss  m o del   orde r  red u ction  (MO R)   strat eg i es  for  unstabl e  s y s te m s,  i n  which  the   m ethod  base d  on  the   bal an ce d   trunc a ti on  al gori thm  will   be   foc used  on.   Sin ce   e ac h  MO R  a lgorithm   has  it s   strengt hs  and  w ea kness,  pr ac t ical  app li c at ions  s hould  be  suitabl e  for  each  spec ific  req uirem ent .   Sim ula ti o n  result s   will   demons tra te   the   c orre ct n ess  of  the   al gori thms .   Ke yw or d s :   Ba la nced  t runc at ion  alg ori thm   High  order co nt ro ll er   Mod el   orde r  re du ct io n   Un sta ble syst e m     This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Hon g Qu a ng  N gu ye n   Thai  Nguyen   Un i ver sit y o f Te ch no l og y   No.  666, 3/ 2  St reet, T hai Ng uy en  Ci ty , V ie tn a m   Em a il : qu an g.n gu ye nhong@t nu t.e du. vn       1.   INTROD U CTION   Mod el   or der   r edu ct io n  (MO R)  is  a  m et ho d  that  sim pl ifi es  higher - orde r  com plex  m od el s.  T his  is  a  top ic   receive d  a  lot   of  at te ntion.  H ow e ve r,   t her e   sti ll   ha ve  m any  issu es  to   be   ad dr essed.  T he  bal anced   tru ncati on   (BT )  al gorithm   is  on e  of  the  m os t  popula r  m eth ods  of   orde r  reducti on  f or   l inear  syst em s.   This   m et ho d  was  i nt rodu ce d  i n  [ 1] .  Lat er,   the  a bi li ty   to  pr ese rv e   sta bili ty   du ri ng  the   proc ess  of  or der   re du ct i on  is   pro ved  i n  [ 2],  and  a  f or m ula f or cal culat in g t he  erro r  li m it a ti on  is d et e rm i ned  i n  [ 3,   4]. In  or der  to pe rfor m  the   BT  al gorithm ,  it   is  necessary  to   perf or m   the  diag on al iz at io n  proce ss  G ra m ia n’ s  co ntr ol  m at rix  and   Gr a m ia n’ s   ob s er ver   m at rices  of   the  s yst e m   s i m ultan eo us ly .  Th e   equ ivale nce  of   tw o  dia gonal  m at rices  al lows   trans form ing   the  or i gin al   m od el   re presente d  in   a ny  ba se  syst e m   to  an  e qu i valent  base   syst e m   rep rese nted   i n  the  co ordinate  syst e m   of   inter nal  bala nced   s pace.  Ba se d  on  Mo or e' s  BT  m et ho d  [1 ] ,  ot her   al gorithm s   hav e   been  pr opos e d  su c h  a s  the   ra ndom   balancin g  m et ho d  [ 5],  po sit ive   real  ba la nce  m et ho d  [ 6],  Hankel  st and a r d  appr ox im at ion   m et ho d  [7 ] ,  et c.  Re cent  st ud i es  on  the  m et ho d  of  BT  [8 - 13]   f ocu s   on  de velo ping  or   a djust in g  the  BT  al go rithm   cor res pond ing   t o  eac h  s pe ci fic  ap plica ti on .  T he  B T  al gorithm   and  ot he r  al gorithm s  [ 14 - 16 ]   are  m ai nly  app li ed  to  sta ble  l inear  syst em s  because   the  ori gin al   co nce pts   of   t he  BT  m e thod  (c ontr ollabil it y  Gr am ia n  and   obser va bili ty   Gr a m ia n)   are  al w ay s  accom pan ie d  by  the  requi rem ent  that  the  syst e m   is  s ta ble,  ie  the  syst e m   has  al l  the  po le s  on  the  le ft  of  th e  i m aginar y  ax is.  In   pr act ic al   app li cat io ns ,  howe ve r,   hi gh e r - o rd e r   li near   m od el s  (h i gh e r - orde r  obj ect   m od el s,   higher - ord er  c on t ro ll ers  [17 - 19 ] )  m ay   be  un sta ble.  T he refor e ,  to  m eet   the  req uir e m ents  of   the p r oble m   of   or de r  re du ct io n,   al gorithm s  need  to  be  ca pab le   t o  re duce  the  or der  of   bo t h  sta ble and  unstable sy ste m s.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C o m p  En g,   V ol.  11 , No .  3 ,  J une  2021 :   20 45  -   2053   2046   To  s olv e  the  pr ob le m  o f orde r  r e du ct io n for  un sta ble syst e m s,  there ar e t wo strate gies:     Strate gy  1  (in direct  or der   re du ct io n  al gorithm ):  Firstl y,  t he  unsta ble  or iginal  syst em   is  separ at e d  in to  sta ble  an d  uns ta ble  pa rts.  Aft er  that,  a n  ord er  re duct io n  al gorithm   is  ap pl ie d  to  t he  sta ble  pa rt  [17,  18 ] ,  [ 20 - 23] . F i nally , w e a dd the  s ta ble r e du ce d - order pa rt  with  the  unsta ble  pa rt.     Strate gy  2  ( di rect  order   reducti on   al gorith m ):   In   this  str at egy,  orde r  r edu ct io n  al gor it h m s  fo r  sta bl e  syst e m s  are  m od i fied  a nd   a djust ed  s o  that  t hese  al go rithm s  can  perform   order   re du ct io n  irre sp ect ive   of   wh et her the  or i gin al  sys te m  is  stable  or   unsta ble [2 4 - 28 ].   Each  of  the  tw o  ab ov e  order   r edu ct io n  al gori thm s  has  i ts  app r oac h  an d  nee ds   to  be  e valua te d  for  us e   in  sp eci fic  a pp li cat ion s.  T o  pro vid e  a  s pecif ic   evaluati on  of  pro pose d  MOR  al gorithm s  for  unsta ble  syst e m s ,  the  auth or s  focus  on  intr oducin g  an d  eva luati ng   al gorit hm s  fo r  unsta ble  syst e m s  based   on  Strate gy  2.  Sp eci fical ly ,  w e  com par e  thr ee  exten de d  B T  al gorithm s  fo r  unsta ble  sy stem s:  LQG   ba sed  al go rithm   [24],   Zh ou’s  BT  alg or it hm s [ 25] , a nd Zil oc hian  B T alg or it hm  [ 26] .        2.   BT  BASED  O RD E R RED U CTIO N ALG ORI TH MS F OR U NS TAB LE  SY STE M S   2 . 1.     Pr ob le m  of o r der red u ction   Give n  a  li nea r,  co ntinuo us ,  ti m e - inv aria nt  s yst e m   with  m ulti ple  inp u ts ,  m ul ti ple  ou tp ut s,  desc r ibe d  in the st at e sp a ce as s how n  i n  ( 1 ) :     x x u yx  AB C   (1)     in which , x    R n , u     R p , y    R q , A    R nxn , B    R nxp , C     R qxn .   The  obj ect iv e  of  the  pro blem   of  order  re duc ti on   for  t he  m od el   descr i bed  by  ( 1)  is  t o  fi nd  th e  m od el   des cri bed b y   ( 2 ) :     r r r r r r r x x u yx  AB C   (2)     in  w hic h,  x r     R r ,  u    R p ,   y r R q ,  A r     R rxr , B r     R rxp ,  C r     R qxr ,  with   r     n;   so   that   the m od el   descr i be d  by  ( 2)  can  rep la ce t he  m od el  d escri be d by ( 1), a pp li ed  to  an al yz e,   desig n, an d  c ontr ol the s yst e m .     2 . 2.     Z ho u’ s  B T alg orith m   As  m entioned   in  Sect io n  1,  the  di ff ic ulty   of  app ly in g  the  BT  al gorithm   fo r  unsta ble  sys tem s  is  that  the  determ inati on   of   G ram ian s  al ways  c om es  with  the  requirem ent  that  the  ori gin al   syst e m   is  asym pto ti c   sta ble.  To  dete rm ine  the  Gr a m ia n s  of   un sta ble  syst e m s,  Zhou   [ 25]   pro ve d  that  sp eci al   functi ons  X  a nd   Y,   roots  of the t w o  Ly a punov eq uations, ca n be  u se d:     ' ' 0 ' ' 0 X A A X X B B X A Y Y A Y C C Y   (3)     Fr om   the  two  sp eci al   functi ons  X  a nd   Y   by   set ti ng   F= - B' X   a nd   L= - YC' ,  we  can  determ ine  the   con t ro ll abi li ty   Gr am ia n  and   ob s er vab il it y  Gr am ia n  of   th e  unsta ble  syst e m   by   two  Ly apun ov   e quat ion s  as   sh ow n   in  ( 4 ) :     '0 ' ' 0 A B F P P A B F B B Q A L C A A L C C C   (4)     Af te r   dete rm i ning  th e  c on t ro ll abili ty   Gr a m ia n  an d  ob s erv a bili ty   Gr a m ia n,   we   f ollow  ste ps  of   Moore' s BT algorit hm  to  obta in th e  re du ce d - orde r  syst em  o f  the  unsta ble  or i gin al  syst em .   Detai l of Zh ou' s BT alg or it hm  [25 ]  is as  foll ows:   Inp ut   :   Syst e m   (A , B , C)   desc ribe d  i n (1)  (unstable  syst e m ).     Step  1 :   Ca lc ulate  the s pecial  fun ct io ns  X   a nd  Y , a cc ordin g  t o  ( 3).   Step  2 :   Set  F= - B' X   an d  L= - Y C'   Step  3 :   Ca lc ulate  the c on t ro ll abili ty  G ram ia n  P   an d t he obse va bili ty  G ram ia n  Q , a ccordin g  t o  ( 4).   Step  4 :    An al yz e the  fo ll ow in g  m at ric es:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Mo del reduct io n of unst ab le  s yst ems ba s ed  on …  ( Ngoc  Ki en  V u )   2047   An al yz e the  C ho le s ky m at rix:   P=R R T , wit h  R   is a n u pp e r  t rian gle m at rix.     An al yz e S V D m at rix:  TT R Q R U ΛV .   Step  5 :   Ca lc ulate   m at ri x:  1 / 2 L V   Ca lc ulate  the s ingular m at rix:  1 - 1 / 2 L T T R U   Step   6 :   Ca lc ulate   11 ,   ,   ,   ,    A B C T A T T B C T .   Step   7 :   Sele ct  the  orde r  that  nee ds  t o be  reduce d  r  so t hat  r   <  n   .   Pr ese nt  ,   ,   A B C   in a ma trix fo rm  as f ollows:       1 1 1 2 1 12 2 1 2 2 2 ,   ,   , A A B A B C C C A A B     In whic h  x x x 1 1 1 1 ,   ,   r r r p q r R R R A B C .   Ou t pu t : R e du c ed - orde r  syst e m   1 1 1 1 ,   ,   A B C .     2 . 3.     Z il ochia n ’s  e xt e nded  BT  a lg orith m   To  overc om e  t he  dif ficult y  of  identify ing   G r a m ia ns   of   unsta ble  syst e m s,  Zil och ia n  [ 26]   pro po se d  an   idea  of  co nver ti ng   the  syst e m   fr om   an  un s ta ble  form   to  a   sta ble  form   th rou gh   c oor dina te   axis  disp la ce m ent   (or  m app ing).  Wh e n  the  syst em  is in a  sta ble f orm , w e can  r edu ce t he or de r  of the syst em  accordi ng to  t he  B T   al gorithm .  Finall y,  the  al gorithm   per f or m s  a  reverse  pro j ec ti on   ( re ver se   di sp la cem ent  of   coor din at e  or ig in )  t o  conve rt the sta ble r e duced - or der syst em  into  an u ns ta ble  form  li ke  the original sy ste m .   To  car ry  ou t  the  idea,  the  fi rst  and   c ru ci al   ste p  is  determ ining   the  va lue  of   the  c oord i nate  axis   disp la cem ent  so   that  the  re duced - order   res ult  is  an  op ti m al   so luti on .  Zil och ia n  [26]  dem on strat ed   that  the   coor din at e  a xis   dis placem ent  base d  on  the  la rg est - real - par t   un sta ble  po le   ha s  an   opti m a l  red uce d - orde r  r esult.  The  Zil oc hia n’s   BT al gorithm  [26 ]  is stat ed  a s b el ow :   Inp ut: Syst e m   (A ,  B,  C)   de scr ibed  i n ( 1)  (uns ta ble syst em )  with a t ran s fer  functi on:     1 ( ) : ss  G C I A B     Step  1 :    Determ ine  the  un sta ble  po le     of  ( 1)  t hat  has   the  la rg est   re al   par t.   Set  r e a l ( ) ,    in   w hic h R   ar bitrary sm al l   and  0 .   Convert t he  sy stem   (A , B , C)   into a n u ns ta bl e syst e m   () s G   accor ding to  b el ow :      A A I BB CC     Step  2 :    Ca lc ulate   the  obser va bili ty  Gr am ia n  Q   and  co ntr ollabil it y  Gr am ian   P   of   t he  s yst e m   ,   ,   A B C   by s olv i ng tw o fo ll owin g  Li apu l ov equati ons:     TT TT , . A P P A B B A Q Q A C C     Step  3 :    An al yz e the  fo ll ow in g  m at ric es:   An al yz e the  C ho le s ky m at rix:  T pp P R R , w it h  p R   is an  uppe r  tria ng le  m at rix.     An al yz e the  C ho le s ky m at rix:  T oo Q R R , w it h  o R   is   an u pp e r  tria ng le  m at rix.     An al yz e S V D m at rix:  TT op R R U ΛV .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C o m p  En g,   V ol.  11 , No .  3 ,  J une  2021 :   20 45  -   2053   2048   Step  4 :    Ca lc ulate  the s ingular m at rix T     1 1 / 2 p  T R V Λ     Step   5 :    Ca lc ulate :     11 ˆˆ ˆ ,   ,   ,   ,    A B C T A T T B C T     Step   6 :    Sele ct  the  orde r  that  nee ds   t o be  reduce d  r  so t hat  r   <  n   .   Pr ese nt ˆˆ ˆ ,   ,   A B C   in a  m a trix fo rm  as f ol lows :     1 1 1 2 1 12 2 2 1 2 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,   ,   , ˆ ˆ ˆ            A A B A B C C C B AA     in which x x x 1 1 1 1 ˆˆ ˆ ,   ,   r r r p q r R R R A B C .   We  ob ta in  a st able re duced - orde r  syst em 1 1 1 1 ˆˆ ˆ ,   ,   A B C .   Step  7 :    Convert  sta ble   syst e m   1 1 1 1 ˆˆ ˆ ,   ,   A B C   into   - sta ble  syst em   1 1 1 1 ˆˆ ˆ ,   ,   A B C   acco rd i ng  to   the   fo ll owin g  e qua ti on s:     1 1 1 1 11 11 ˆˆ , ˆˆ , ˆˆ .  A A I BB CC     Ou t pu t:  Re du c ed - orde red syst e m   1 1 1 1 ˆˆ ˆ ,   ,   A B C     2 . 4.     LQG  b ase d BT   The  i dea   of  t he  LQ G  base d  BT  al go rith m   [2 4]  is  that  instea d  of   ca lc ulati ng   the  con t ro ll abili ty   Gr am ia n  and   t he  obse rv a bili ty   Gr am ia n  us ing   Ly ap unov  equ at io ns,  the  pro po se d  al go r it h m   cal culat es   the m   us in g  t he  e xten ded Ri ccat i eq uation as  fo ll ows:     ' ' ' ' 0 ' ' ' 0 A P P A P C C P B B A Q Q A Q B B Q C C     Af te r  determ ining   the  co ntr ollabil it y  Gr a m i an  an d  th e  ob serv a bili ty   Gr a m ia n,   we  f ollo w  ste ps   of   Moore' s BT algorit hm  to  obta in the re du ce d - orde r  syst em  o f  the  unsta ble  or i gin al  syst em .   Detai l of the  L QG b ase d  B T [24 ]  is a s foll owin g:   Inp ut: Syst e m   ,   ,   A B C   descr i bed in  ( 1) (u ns ta ble syst e m )    Step  1 :   Ca lc ulate  the c on t ro ll abili ty  G ram ia n  P   an d  t he obse r vab il it y Gr am ia n  Q   arc ordin g  t o  ( 11) .   Step  2 :    An al yz e the  fo ll ow in g  m at rixes:   An al yz e the  C ho le s ky m at rix:  T P R R , w it h  R   is an  uppe r  tria ng le  m at rix.   An al yz e S V D m at rix: TT R Q R U ΛV .   Step  3 :    Ca lc ulate   m at ri x:  1 / 2 L V   Step  4 :    Ca lc ulate  the s ingular m at ri x:  1 - 1 / 2 L T T R U   Step  5 :     Ca lc ulte:   11 ,   ,   ,   ,    A B C T A T T B C T .   Step  6 :     Sele ct  the  orde r need  to be  re du ce d  r  s o  that   r   <  n   .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Mo del reduct io n of unst ab le  s yst ems ba s ed  on …  ( Ngoc  Ki en  V u )   2049   Pr ese nt ,   ,   A B C   in a  m a trix fo rm  as f ol lows :     1 1 1 2 1 12 2 1 2 2 2 ,   ,   , A A B A B C C C A A B     In whic h  x x x 1 1 1 1 ,   ,   r r r p q r R R R A B C .   Ou t pu t:  Re du c ed - orde r  syst e m 1 1 1 1 ,   ,   A B C .       3.   SIMULATI O N AND  DISC US SI ON   3.1.   Order  re d ucti on   of hig h o r der c ontr oller   Con sis der a  28 th   orde r  c on tr oll er as f ollow s:     () () () s s s N R D     In whic h     2 8 2 7 2 6 2 5 4 2 4 6 2 3 7 2 2 8 2 1 1 0 2 0 1 1 1 9 1 2 1 8 1 3 1 7 1 4 1 6 1 5 1 5 1 5 1 4 1 ( ) 0 . 0 0 4 8 6 7 0 . 7 5 1 9 5 8 . 8 2 5 2 6 8 . 3 5 . 1 0 2 . 1 2 8 . 1 0 4 . 3 8 3 . 1 0 7 . 5 4 2 . 1 0 1 . 1 0 8 . 1 0 1 . 4 1 1 . 1 0 s 1 . 5 2 7 . 1 0 1 . 5 4 4 . 1 0 1 . 3 4 1 . 1 0 1 . 0 3 2 7 . 0 2 1 . 1 0 4 . 2 1 1 . 1 0 s s s s s s s s s s s s s e s s N 6 1 3 1 7 1 2 1 8 1 1 1 8 1 0 1 9 9 1 9 8 1 9 7 2 0 6 2 0 5 2 0 4 1 9 3 1 9 2 1 6 2 . 2 1 3 . 1 0 1 . 0 1 . 1 0 3 . 9 5 4 . 1 0 1 . 3 0 6 . 1 0 3 . 5 6 4 . 1 0 7 . 8 4 5 . 1 0 1 . 3 4 8 . 1 0 1 . 7 2 3 . 1 0 1 . 5 2 . 1 0 8 . 1 6 2 . 1 0 1 . 9 8 4 . 1 0 3 . 8 9 . 1 0 1 2 5 . 2 s s s s s s s s s s s s s      a nd     5 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 4 2 3 6 2 2 7 2 1 8 2 0 9 1 9 1 0 1 8 1 2 1 7 1 2 1 6 1 3 1 5 1 4 1 4 1 5 1 3 ( ) 5 . 2 5 0 . 0 0 9 7 8 6 0 . 8 6 7 5 4 8 . 8 1 9 6 5 6 . 0 5 6 . 1 0 1 . 4 9 . 1 0 3 . 0 1 8 . 1 0 5 . 1 4 . 1 0 7 . 4 8 3 . 1 0 9 . 4 2 5 . 1 0 1 . 0 3 5 . 1 0 9 . 9 6 8 . 1 0 + 8 . 4 3 2 . 1 0 6 . 2 6 6 . 1 0 4 . 0 7 9 . 1 0 s e s s s s s s s s s s s s s s s s  D 1 6 1 2 1 7 1 1 1 7 1 0 1 8 9 1 8 8 1 9 7 1 9 6 1 9 5 1 9 4 1 9 3 1 8 2 4 1 1 2 . 3 1 4 . 1 0 1 . 1 3 4 . 1 0 4 . 7 4 . 1 0 1 . 6 6 . 1 0 4 . 7 6 2 . 1 0 1 . 0 8 5 . 1 0 1 . 8 9 1 . 1 0 2 . 3 9 9 . 1 0 2 . 0 6 2 . 1 0 1 . 0 6 5 . 1 0 2 . 4 7 9 . 1 0 1 . 5 9 . 1 0 2 . 9 4 5 . 1 0 s s s s s s s s s s s s     In   pract ic e,  a  28 th   or der   co nt ro ll er  ha s  m any  disadv a ntage s  wh e n  it   co m es  to  real - tim e   con tr ol,  s o  order   re du ct io n  of  this  c on tr oller  is  a  cruci al   prob le m .  The  28 th   order   c ontr oller  is  a  sta ble  li near   m odel   bu t  it   has  tw o  po le s  t hat  ap pro xim a t el y  equ al   to  ze ro.  The  28 th   or der   c ontrolle r  i s  us e d  as  a n  obj ect   to   eval ua te   the  eff ic ie ncy  of  order   reducti on  al gorithm s  i ntr oduce d  in  s ect ion   2.  Re s ults  are  obta in ed  in  the  fo ll ow i ng    Tables  1 - 3 :       Table  1.  Res ults o f order  r e du ct io n for a  hi gh - orde r  c ontroll er a cc ordin g  t o Zh ou' s BT alg or it hm   Order   () r s R   5   5 4 3 4 2 4 4 5 4 3 2 2 9 2 . 8 9 . 1 0 .   9 2 5 . 9 6 8 5 1 4 . 9 3 2 1 . 6 3 5 1 . 9 9 9 4 2 . 2 4 7 0 6 . 8 6 9 5 5 1 4 3   2 6 3 9 1 0 . 1 0 s s s s s s s s s s   4   4 3 2 4 4 4 3 2 9 1 2 . 8 6 7 7 2 4 . 8 0 1 1 . 1 0 6 4 2 . 1 7 0 1 . 4 6 8 6 9 1 3 1 2 9 2 . 8 9 . 1 0 . 1 0 s s s s s s s s   3   32 2 4 3 9 0 6 . 5 4 . 7 6 3 . 1 0 . 0 3 6 9 6 . 4 6 7 5 7 9 2 . 8 9 6 5 1 8 42 s s s s s s    2   2 2 2 5 2 1 . 2 3 7 7 2 6 . 6 6 1 7 8 . 7 9 2 . 8 9 4 ss ss    No te :   W e  will call   th e r ed u ced - o rder  co n troller ( o rder  of   r )  is an   r - o rder c o n troller   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C o m p  En g,   V ol.  11 , No .  3 ,  J une  2021 :   20 45  -   2053   2050   Table  2.  Res ults o f  the  or der   r edu ct io n o f  a  hi gh - orde r  c ontr oller acc ordi ng  to  Zil oc hian  ' s BT alg or it hm   Order   () r s R   5   5 4 3 4 2 4 4 5 4 3 2 9 2 . 8 9 4 3 8 . 1 7 5 7 0 2 . 6 0 3 . 1 0 3 . 7 5 9 . 1 0 1 . 2 6 . 1 0 3 6 . 8 5 5 5 7 . 6 4 7 9 9 4 4 2 8 1 6 5 3 s s s s s s s s s s       4   4 3 2 4 4 4 3 2 9 2 . 8 9 4 2 4 7 5 3 5 2 . 4 8 3 . 1 0 3 . 5 1 3 . 1 0 3 6 . 7 5 5 2 . 5 4 7 2 0 3 9 2 3 s s s s s s s s       3   2 2 34 3 4 0 7 . 5 6 8 5 3 2 . 3 8 6 6 9 2 . 8 9 5 3 8 . 8 4 . 1 0 7 3 6 . 5 2 44 s s s s s s       2   2 2 2 2 2 0 . 1 4 5 7 6 2 9 . 1 1 3 3 6 . 2 9 2 . 8 9 ss ss       Table  3.  Res ult o f  the  ord e r re du ct io n o f  a  hi gh - order co ntr oller acc ordin g t o  L Q G based   BT   Order   () r s R   5   5 4 3 4 2 4 5 4 3 2 9 2 . 8 9 . 1 0 . 1 0 3 6 . 3 1 5 8 7 . 8 5 5 9 9 2 8 4 5 5 6 0 . 5 7 5 8 8 3 . 1 9 7 2 . 6 3 2 3 7 . 4 8 0 . 0 0 6 4 4 1 s s s s s s s s s s       4   4 3 2 4 4 3 2 3 . 1 3 9   6 5 . 4 5 0 . 0 1 9 1 2 9 2 . 8 9 5 4 7 7 0 3 0 . 1 0 3 6 . 1 7 5 7 7 . 1 5 3 6 0 s s s s s s s s       3   32 3 2 + 2 7 8 . 7 3 . 7 8 1 2 9 . 2 8 0 . 0 0 3 8 0 9 9 2 . 8 9 3 6 1 3 2 5 4 . 1 s s s s s s       2   2 2 2 8 9 1 . 7 0 . 1 3 2 8 2 2 . 6 8 - 0 . 0 0 0 4 0 3 1 9 2 . 8 9 ss ss       3.2.   Simul at io n results   an d  discussi on   To  e valuate  a nd  ide ntify  an   a ppr opriat e  re duced - order   m odel ,  ste p  res po ns e  a nd  f reque ncy  res pons e  of  the  ori gin al   co ntr oller  a nd  the   re duced - order  co ntr o ll er  will   be  us e d.  Sim ulati on   r esults  are   s hown  in   Figure s   1 - 3.           (a)   (b)     Figure  1.  Tra nsi ent r es pons e  a nd freq ue ncy r esp on se  of t he ori gin al  c on t rol le r  an d  the  4 th   order co ntr oller,    (a)   t ran sie nt r e sp onse , a nd (b) fr e quency  res pons e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Mo del reduct io n of unst ab le  s yst ems ba s ed  on …  ( Ngoc  Ki en  V u )   2051       (a)   (b)     Figure  2.  Tra nsi ent r es pons e  a nd freq ue ncy r esp on se  of t he ori gin al  c on t rol le r  an d  the  3 rd   order co ntr oller,  (a)  transient  res pons e a nd (b )  f re qu e ncy  respo nse           (a)       (b)     Figure  3 .   Tra nsi ent r es pons e  a nd freq ue ncy r esp on se  of t he ori gin al  c on t rol le r  an d  the  2 nd   orde r  c on t ro ll er, (a)   transient  res pons e,  and  (b)   fr e qu e ncy  respo nse   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C o m p  En g,   V ol.  11 , No .  3 ,  J une  2021 :   20 45  -   2053   2052   Fr om  si m ulati on   resu lt s,  w e  se e that:   a)   W it h  tra ns ie nt  respo ns e:       The  tra ns ie nt  r esp on se   of  the   4th   orde r  c on t ro ll er  base d  on  Zil och ia n’ s  M OR  al gorithm   is  cl os est   t o  the   tra ns ie nt  re sp onse  of t he o rigin al  syst em  a m on g t hree c on si der e d  al gorithm s.     The  tra ns ie nt  r esp on se  of  the   3rd  order  co nt ro ll er  based  on  Z hou’s  MO R  al gorithm   is   cl os est   to  th e   transient  res pons e  of the  ori gi nal syst em  a m ong  t hr ee  consi der e d  al gorith m s.     Th e tra ns ie nt resp on ses t he  se cond - orde r  c ontrolle r  ba sed o n  al l con si der e d  MOR al gorit hm s ar e  m uch  diff e re nt  fr om   the  transient  re sp onse  of   the  ori gin al   28th  or der   co ntr oller.  The  seco nd - order   co ntr olle r   base d on Zil oc hian ’s  al go rith m  h as the sm allest  error   am ong  th ree c onside red al gorithm s.   b)   W it h fr e qu e nc y respo ns e:     The  am plit ud e   respo ns es  of  the  4th ,  3rd ,  an d  2n d  order   c ontr ollers  acco r ding  to  al l  th re e  co ns ide re d  al gorithm s  are  m uch   diff e re nt  from   the  am pl it ud e  res po ns e  of   t he  ori gin al   c on tr olle r,   in  w hich   t he  error   of  the  m et hod  based  on  LQR  is  sm al lest.  The  sim ulatio n  res ults  of  the  th ree  m et ho ds   al s o  sho w   that t he  l ow e r  t he or der o f  t he c on t ro ll er,  the   higher  the e rro r.   c)   Thro ugh  a naly sis of tra ns ie nt  and f reque ncy  respo ns es,  w e   see that :     W it h  transie nt  re spo ns e:   redu ced - orde r  co ntro ll ers  based   on  Zil och ia n’ s  BT  al go rithm s  giv e  the  best   resu lt s  (closest  to  the  tra ns ie nt s on  the  origin al  co nt ro ll er ).     W it h  fr e quenc y  res pons e:   All  re du ce d - orde r   co ntr oller  give   not  good  res ults.  (ch a racter ist ic s  are  m uch  diff e r e nt fro m  the origi nal contr oller sett ings).   d)   Fr om  h ere  w e   see that :     If   the  re quire m ent  of   the  or der   re duct io n  pro blem   is  m a inly   con cer ne d  with  transie nt  response  error,   we  s houl d  c hoos e t he  Zil oc hi an’ s  MOR al gorithm .     If   the  re qu i re m ents  of   t he  pro blem   of   or de r  re du ct i on   ta ke  into   acco un t  bo th   tran sie nt   response  an d  fr e qu e ncy  respon s e,  we  s houl d  c hoos e  the L QG b ase d al go rithm .     Th us ,  al l  three   direct  MOR  a lgorit hm s  are  capab le   of   re duci ng  or der   for  unsta ble  syst e m s  with  thei r   adv a ntage s  a nd  disad van ta ge s.  T o  c ho os e  a n  a pprop riat e  MOR  m et ho d  for  un sta ble  sy stem s,  we  ne e d  to  base  on  the   requirem ents  s et   out  f or  the   pro blem   of   or der  re duct ion  f or  unsta ble  sys tem s  to  sel ect   the app ropr ia te  algorit hm .       4.   CONCL US I O N   The  pa per   has   introdu ce d  thr ee  MOR  al go r it h m s  fo r  un st able  syst e m s  b ased  on  the  BT  al go rithm .   By   analy zi ng   these  MOR  al gorithm s  through  il lustrati ve   exam ples,  we  see  that  each  al gorithm   has  it s   adv a ntage s  an d  disa dvanta ge s.  From   these  assessm ents,  we  ca n  ch oose  the  M OR   m et ho d  unde r  the   requirem ents  of  the  p r oble m   of   orde r  re duct ion   for  unsta bl e  syst e m s.  Our   on - go i ng  rese arch   directi on  is  to  evaluate  a nd   c om par e  oth e r  i nd i rect  MOR  a lgorit hm s  with  the  three  m entione d  al gorithm s  an d  use   the  r esults  in s pecific a pp l ic at ion s to  h a ve  a m or e accu r at e q ualit y eval ua ti on of  reduc ed - orde r  syst e m s.       ACKN OWLE DGE MENTS   This  resea rch   was  f unde d  by   Thai  Nguyen  U niv e rsity   of   Tech no l ogy,   No .  666,   3/2  Street ,  Thai   Nguyen  Ci ty , V ie t Nam .       REFERE NCE S   [1]   Moore  B.   C. ,   “ Princi p al   compon ent   an aly sis  in  l i nea r  s y s te m s:  Control la b il i t y ,   ob serva bilit y ,   and  m odel   red uction, ”  IEE E   Tr ans.  Auto.  Contr .,   vo l.  2 6,   no .   1 ,   pp .   17 - 32,   1981 ,   doi :   10 . 1109/T AC.1981 . 1102568 .   [2]   Pere nbo  I.,  and  Silve rm an  L.   M. ,   “ Model  red uc tion  via   balan c ed   stat e  spa ce   rep r e - sentation,”  IE EE   Tr ans.  Aut o ,   cont r. ,   vol .   27 ,   n o.   2 ,   pp .   328 - 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In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Mo del reduct io n of unst ab le  s yst ems ba s ed  on …  ( Ngoc  Ki en  V u )   2053   [8]   H.  Sandber g,   “ Model  red uc ti on   of  li ne ar  s y st e m s  using   ext ende d  balanc ed  tru nca t ion, ”   IEEE  Ame rican  Contr ol  Confe renc e ,   200 8 ,   pp .   4 654 - 465 9,   doi :   10 . 1109/ ACC.2008. 4587 229 .   [9]   Heink ensc hloss,   M.,   Sorensen,  D.   C. ,   and   Sun,  K.,   “ Bal an ced  Trunc ation  Model  Reduc t io n  for  a  Cla ss   of  Descri ptor  S y st ems   with  Applic ation  to  the   Os ee n  Eq uat ions , ”  SIAM   J.   Scie nti fic  Computin g,   vol.   30,   no.   2,     pp.   1038 - 1063 ,   2008,   doi :   10.1137/0 7068 1910 .   [10]   St y ke l,   T . ,   “ Balance d   truncat io n  m odel   red u ct i on  for  sem idi sc ret i ze d  Stok es  e quat ion , ”  Lin ea r  Al gebra  Ap p l. ,     vol.   415 ,   no .   2 - 3 ,   pp .   262 - 289 ,   2 006,   doi :   10 . 101 6/j . l aa.2004. 01 . 0 15 .   [11]   Duff,  I. 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