I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   7 ,   No .   6 Dec em b er   201 7 ,   p p .   3 1 7 6 ~ 31 89   I SS N:  2 0 8 8 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ec e. v 7 i6 . p p 3 1 7 6 - 3189          3176       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JE C E   M ulti - M a chine  St a bility Usin g  Dyn a m ic Inv ersio n   T echnique       Abha   T ripa t hi 1 K .   U m a   Ra o 2 L .   Ven k a t esh a 3   1 De p a rte m e n t   o f   El e c tri c a a n d   El e c tro n ics   En g in e e rin g ,   P ES   I n stit u te o f   T e c h n o lo g y   2 De p a rte m e n o f   El e c tri c a &   El e c tro n ics   En g i n e e rin g   RV Co ll e g e   o f   En g in e e rin g   3 De p a rtme n o f   El e c tri c a &   El e c tro n ics   E n g in e e rin g ,   BM S   Co ll e g e   o f   En g in e e rin g       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Dec   20 ,   2 0 1 6   R ev i s ed   Ma y   1 2 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   J u n   6 ,   2 0 1 7       S tab il it y   stu d ies   o f   m u lt m a c h in e   sy ste m   a re   a   m a jo c o n c e rn   to   p o w e s y ste m   e n g in e e rs  d u e   to   t h e   in c re a sin g   c o m p lex it y   in v o lv e d .   T h is  p a p e d e a ls  w it h   th e   a p p li c a ti o n   o f   a   n o n li n e a tec h n iq u e   c a ll e d   Dy n a m ic  In v e rsio n ,   t o   T CS f o th e   i m p ro v e m e n o sta b il it y   o f   m u lt i - m a c h in e   s y s tem .   T h e   tran sie n sta b il it y   stu d ies   f o v a rio u c a se s:  w it h o u a n y   c o n tr o ll e r,   w it h   7 5 %   li n e   c o m p e n sa ti o n   a n d   w it h   Dy n a m ic In v e rsio n   tec h n i q u e ,   a re   c o m p a re d .   T h e   c rit ica c lea rin g   ti m e   a s   w e ll   a th e   m a x i m u m   lo a d in g   a b il it y   is   a lso   d isc u ss e d .   T h e   re su lt   f o t h e   n o n li n e a c o n tro ll e is  f o u n d   to   b e   b e tt e th a n   a ll   th e   o t h e c a se s .   K ey w o r d :   D y n a m ic  i n v er s io n   T h y r i s to r   c o n tr o lled   s er ies  C o m p en s atio n   Mu lti - Ma c h i n e   Stab ilit y   No n - l in ea r   t ec h n iq u e   Co p y rig h ©   2 0 1 7   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   A b h T r ip ath i,      Dep ar te m en t o f   E lectr ical  an d   E lectr o n ics E n g i n ee r in g ,   P E S I n s titu te  o f   T ec h n o lo g y ,   1 0 0   Feet  Ou ter   R in g   R o ad ,   B an as h an k ar i I I I   Stag e,   B an g alo r e,   5 6 0 0 8 5 ,   I n d ia .   E m ail: a b h atr ip at h i @ g m ai l.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N   An   i m p o r tan is s u in   m u lti - m ac h in s y s te m s   is   t h ch o i ce   o f   lo ca tio n   o f   v ar io u s   d e v ices.  I is   k n o w n   t h at  m u l ti - m ac h i n s y s te m s ,   n o r m all y ,   s p lit  i n to   t wo   g r o u p s   in i tiall y ,   w h e n e v er   t h s y s te m   b ec o m e s   u n s tab le  [ 1 ] , [ 2 ] .   C o n s eq u e n tl y   th er is   cr itical  c u t - s et  wh ich   s ep ar ates  th s y s te m   i n t o   th ese  t w o   g r o u p s .   L o ca ti n g   s er ies   d ev ice s   i n   t h ese   li n es  w ill   s tr e n g t h e n   t h e m   a n d   t h u s   aid   in   i m p r o v in g   s tab ili t y .   T h e   co m p e n s at in g   d ev ice s   ca n   t h er ef o r b lo ca ted   in   li n e s   w h ic h   f o r m   t h cr itical  cu t - s et  f o r   cr itical  co n tin g e n cies  [ 3 ] .   An o t h er   k e y   is s u in   m u lti - m ac h in s y s te m s   i s   t h ch o ice  o f   co n tr o s i g n als.  I i s   es s en t ial   f o r   r o b u s o p er atio n   an d   co n tr o l,  th at  ea ch   d ev ice  ca n   b co n tr o lled   b y   s ig n als  t h at  ar lo ca ll y   m ea s u r ab le  an d   r eq u ir m in i m u m   tele m etr y   f r o m   o t h er   ar ea s .   T r a j ec to r y   s e n s it iv i t y   an al y s is   ( T SA )   w a s   u s ed   to   m ea s u r th tr an s ie n s tab ilit y   co n d iti o n   o f   th e   s y s te m   i n   [ 4 ] .   T h T C SC   w a s   m o d elled   b y   v ar iab le  ca p a cito r ,   th v alu o f   w h ich   ch a n g e s   w ith   t h f ir i n g   an g le.   I w a s   s h o w n   t h at  T SA   co u ld   b u s ed   in   t h d esi g n   o f   t h co n tr o ller .   T h o p tim al  lo ca tio n s   o f   t h e   T h y r i s to r   C o n tr o lled   Ser ies  C o m p e n s at io n   ( T C SC )   -   co n tr o ller   f o r   d if f er en f au lt  co n d i tio n s   co u ld   also   b id en ti f ied   w ith   t h h elp   o f   T SA .   I n   o r d er   to   im p r o v t h T r an s i en Stab il it y   o f   9   B u s   S y s te m   w it h   F ix ed   C o m p en s atio n   o n   Var io u s   L i n es  a n d   Op ti m a L o ca tio n   w a s   in v e s tig a ted   u s in g   tr aj ec to r y   s en s iti v it y   an a l y s is   i n   [ 5 ] .   A   f u zz y   co n tr o lled   T C SC   d ev ice  w as  u s ed   a n d   th r e s u l ts   h i g h lig h ted   t h ef f ec tiv e n e s s   o f   t h ap p licati o n   o f   a   T C SC   i n   i m p r o v i n g   t h tr an s ien s tab i lit y   o f   m u lti  m ac h i n p o w er   s y s te m .   I n   [ 6 ] ,   th ef f ec o f   ST A T C OM   f o r   i m p r o v i n g   t h s tab ili t y   o f   t h e   m u l ti  m ac h i n p o w er   s y s te m   w as  i n v esti g ated .   T h ST A T C OM   w as  u s ed   to   co n tr o p o w er   f lo w   o f   p o w er   s y s te m   b y   i n j ec tin g   ap p r o p r iate  r ea ctiv p o w er   d u r i n g   d y n a m ic  s tate.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti Ma ch in S ta b ilit Usi n g   Dyn a mic  I n ve r s io n   Tech n iq u ( A b h a   Tr ip a th i)   3177   Si m u latio n   r es u lts   s h o w ed   t h at  ST A T C OM   n o o n l y   co n s id er ab l y   i m p r o v ed   tr an s ien s tab ilit y   b u al s o   co m p e n s ated   t h r ea ctiv p o w er   i n   s tead y   s tate.   T h is   w a s   i m p le m en ted   o n   t h r ee   m ac h in n in b u s ,   p o w er   s y s te m .   n o v el  h y b r id   p o w er   f lo w   co n tr o ller   ( HP FC )   to p o lo g y   f o r   Fle x ib le  AC   T r an s m i s s io n   S y s te m   ( FAC T S)  w a s   p r o p o s ed   in   [ 7 ] .   T h k e y   b e n ef i o f   t h n e w   to p o lo g y   w a s   t h at   it  f u ll y   u tili ze d   e x i s ti n g   eq u ip m e n t.  T h M A T L A B SIM UL I NK  m o d els  o f   t h r ee   d if f er e n co n f i g u r atio n s   o f   HP FC   h ad   b ee n   in v e s ti g ated   f o r   th e ir   d if f er e n ch ar ac ter is ti c s ,   b y   in co r p o r atin g   t h e m   in   t h m u lti  m ac h i n s y s te m .   A   m o d el  f o r   ass es s m en o f   tr an s ie n s tab il it y   o f   p o w er   s y s te m   w as  d ev elo p ed   in   [ 8 ] .   T h is   w a s   test ed   f o r   s i n g le  m ac h i n i n f i n ite  b u s   s y s te m   as  w ell  a s   m u l ti - m a ch in e   s y s te m .   An   U n i f ied   P o w er   F lo w   C o n tr o ller   ( UP FC )   w as   d e m o n s tr ated   i n   [ 9 ]   to   i m p r o v e   t h d a m p i n g   o f   o s cillatio n s   as  w ell  a s   i n cr ea s th e   cr itical   clea r in g   ti m f o r   m u lt i - m ac h i n s y s te m .   I n   th i s   p ap er   n o n - lin ea r   tec h n iq u ca lled   D y n a m ic  I n v er s io n   h as   b ee n   i m p le m en ted   t h r o u g h   T C S C   to   i m p r o v th v ar io u s   a s p ec ts   o f   s tab ilit y   is s u e s   in   m u lti - m ac h in s y s te m ,   s u c h   as tr an s ie n t stab ili t y ,   cr iti ca l c lear in g   ti m e,   lo ad in g ,   etc.       2.   DYNA M I I NVER SI O T E CH NI Q U E   D y n a m ic  I n v er s io n   is   tec h n iq u to   tr ac k   th d esire d   o u tp u b y   f o r ci n g   t h er r o r   to   ze r o   [ 1 0 ] .   L et  th s tate  d y n a m ic s   b d ef in ed   as:     u x g x f x )] ( [ ) (             ( 1 )     w h er x   is   th s tate  v ec to r ,   ) ( x f   is   t h d y n a m ics  w i th o u t h co n tr o an d   ) ( x g   is   t h s tate  d y n a m ics  w it h   th co n tr o u .   I f   th o u tp u v ec to r   is   id en tical  to   t h s ta te   v ec to r ,   th e n   eq u atio n   ( 1 )   m a y   b w r i tten   a s   f o llo w s :     u x g x f y )] ( [ ) (                                       ( 2 )     I f     d e s i r e d y   is   th d esire d   o u tp u t a n d   th ac tu al  o u tp u t is y ,   er r o r   ca n   b d ef in ed   as      d e s i r e d y y e            ( 3 )     T h er r o r   ca n   b f o r ce d   to   ap p r o ac h   ze r o   b y   u s in g   t h b elo w   g iv e n   eq u at io n :     0 ke e   ,              ( 4 )     w h er k   0   an d   e    is   th d er iv ati v o f   er r o r   an d   is   g i v en   b y       d e s i r e d y y e            ( 5 )     T h s o lu tio n   o f   eq u a tio n   ( 5 )   is     0 e e e kt                 ( 6 )     w h er 0 e is   th in itial  er r o r .   Fro m   eq u atio n   ( 6 ) ,   w ca n   o b s er v th at  th er r o r   w il ten d   to   ze r o   as  tim t   ten d s   to   in f i n it y .   Usi n g   t h v al u o f   er r o r   an d   th d er iv at iv e   o f   er r o r   f r o m   eq u a tio n s   ( 3 )   an d   ( 5 )   an d   s u b s tit u ti n g   t h e   s a m i n   eq u atio n   ( 4 ) ,   w g et  a n d   tak i n g     0 de s i r e d y   as th d esire d   o u tp u t is  f i x ed .       0 ) ( )] ( [ ) ( d e s i r e d y y k u x g x f                                                                 ( 7 )     Hen ce   th co n tr o ller   is   g i v e n   b y :     ) } ] ( ) ( { )] ( [ 1 x f y y k x g u d e s i r e d                                                               ( 8 )   T h ab o v co n tr o ller   eq u atio n   an d   g i v es  t h v al u o f   t h co n tr o llab le  p ar a m eter   u to   g et  t h e   d esire d   o u tp u t.  u   is   co m p u ted   u s i n g   e q u atio n   ( 8 )   i n   r ea ti m e.   T h i s   co n tr o la w   ca n   b ap p lied   to   an y   d y n a m ic  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 7   :   3 1 7 6     3 1 8 9   3178   s y s te m   a n d   r ep o r ted   in   [ 1 0 ] , [ 1 1 ]   an d   h as  s u cc ess f u ll y   b ee n   i m p le m e n ted   in   t h co m m a n d   tr ac k in g   o f       h i g h   p er f o r m a n ce   air cr af t.  D y n a m i I n v er s io n   tech n iq u h a s   b ee n   ap p lied   to   an   SMI B   an d   its   r o b u s t n es s   also   ch ec k ed   i n   [ 1 2 ] - [ 1 4 ] .       3.   F I VE   B US P O W E SYS T E M   WI T H   T WO   M ACH I NE S ( T E S T   SY ST E M   1 )   Fig u r 1   s h o w s   f iv b u s   n et w o r k   co n tain i n g   t w o   g e n er ato r s   an d   s ev e n   tr an s m is s io n   li n e s   [ 1 5 ] .   T h lo ad s   ar in   MW   an d   MV A r   an d   b ase  o f   1 0 0 MV A   is   co n s id er ed .   A ll  t h r ea ctan ce s   an d   th h alf   l in e   ch ar g i n g   ad m itta n ce s   ar m e n t io n ed   in   p er   u n it.  T h lin r esi s tan ce s   an d   m ac h i n r esis ta n c es  ar n eg lecte d .   I is   as s u m ed   t h at  t h er is   th r ee   p h ase  f au lt  o n   b u s   5   a n d   t h s a m i s   clea r ed   w it h o u c h an g i n g   th e   s y s te m   co n f i g u r atio n .           Fig u r 1 .   Mu lti - m ac h i n T est s y s te m     B u s   1   is   co n s id er ed   as a   s lack   o r   s w i n g   b u s ,   b u s   2   is   g en er ato r   o r   P b u s   an d   b u s e s   3 ,   4   an d   5   ar lo ad   o r   P b u s .   T h f o ll o w i n g   p ar a m eter s   ar u s ed :   I n er tia  co n s tan o f   t h t w o   m ac h in e s   ar M V A MJ H / 50 1    an d   M V A MJ H / 1 2 ;   Dir ec ax i s   tr a n s ie n r e ac tan ce   o f   th e   f ir s m ac h in is   pu x d 1 ' 1   an d   f o r   th s ec o n d   m ac h in i s   pu x d 5 . 1 ' 2 .     3 . 1 .   T ra ns ie nt  Sta bil it y   Ana ly s is   w it ho ut  D I   T ec hn iq ue   A ll  lo ad s   ar co n v er ted   to   p er   u n it  o n   co m m o n   b ase  o f   1 0 0   MV A .   L o ad   f lo w   a n al y s i s   u s in g   Ne w to n   R ap h s o n   m et h o d   w a s   d o n p r io r   t o   th f au lt a n d   t h r esu lt s   ar as sh o w n   i n   T ab le  1 .       T ab le  1 .     L o ad   Flo w   An al y s i s   B u s   N o .   P G + j Q G   ( M W +   j M V A r )   P L + j Q L   ( M W +   j M V A r )   V θ   ( i n   p u )   1   7 0 + j 1 0 . 8 4   0   1 . 0 6 0 0   2   2 0 + j 3 0 . 1 5   0   1 . 0 4 5 - 7 . 2 6 0   3   0   2 0 + j 1 0   1 . 0 3 5 - 6 . 5 9 0   4   0   3 0 + j 2 0   1 . 0 2 3 - 8 . 6 6 0   5   0   4 0 + j 3 0   1 . 0 1 7 - 9 . 4 6 0       T h lo ad s   ar co n v er ted   to   ad m itta n ce s .   T h v o lta g es  a t   th e   v ar io u s   b u s e s ,   c u r r en f r o m   th e   g en er ato r s   a n d   h e n ce   t h p o w er s   f r o m   t h g e n er ato r s   ar ca lcu lated .   T h s tate  d y n a m ics  e q u atio n s   ar s o lv e d   u s i n g   R u n g e - K u tta  4 th   o r d er   m eth o d .   T h f o u r   s tate  d y n a m ic  eq u atio n s   f o r   th t w o   g e n er ato r s   ar as f o llo w s :     s dt d 1 1               ( 9 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti Ma ch in S ta b ilit Usi n g   Dyn a mic  I n ve r s io n   Tech n iq u ( A b h a   Tr ip a th i)   3179   1 1 1 1 2 e m s P P H dt d            ( 1 0 )     s dt d 2 2                                                                             ( 1 1 )     2 2 2 2 2 e m s P P H dt d                                                                                               ( 1 2 )     w h er 1   an d   2   ar th r o to r   a n g le s ,   1   an d   2   ar th an g u lar   f r eq u en cie s   o f   m ac h in 1   an d   2   r esp ec tiv el y   a n d   s   is   th s y n c h r o n o u s   o r   n o m in al  f r eq u e n c y   o f   th s y s te m .     3 . 2 .   T ra ns ie nt  Sta bil it y   Ana ly s is   w it h 7 5 L ine C o m pe ns a t io n   I n   th i s   ca s i ass u m ed   th a th lin w h er T C SC   w il b co n n ec ted   i s   7 5 co m p en s ated   b y   s er ies   ca p ac itan ce   co n n ec ted   to   it.  T h lin r ea cta n ce   n o w   b ec o m e s   0 . 2   p er   u n it in s tead   o f   0 . 8   p u .     3 . 3 .   T ra n s ie nt  Sta bil it y   Ana ly s is   w it h D I   T ec hn i qu e   As  d ep icted   in   F i g u r 2 ,   t h T C SC   is   p r esen t   in   th e   li n c o n n ec ti n g   b u s es  1   a n d   2 .   T h lin i s   5 0 %   co m p e n s ated   b y   f i x ed   ca p ac ito r   an d   th T C S C   r ea cta n ce   i s   v ar ied   b et w ee n   0     2 5 %.  T h r ea ctan ce   o f   th e   li n e   w il ch a n g d y n a m icall y   as  t h T C SC   r ea ctan ce   i s   v ar ied .   T h T C SC   is   o p er ated   o n ly   in   t h ca p ac itiv e   r eg io n .           Fig u r 2 .   P ar t o f   th n et w o r k   w h er T C SC   is   i n s er ted       L et  U   b th T C SC   r ea ctan ce   ( ca p ac itiv e) .   T h ele m en ts   o f   w i ll  ch a n g as  t h co n tr o v ar ies.   Sin ce   T C SC   i s   in   li n 1   - 2 ,   h en ce   f o u r   ele m e n ts   o f   Y   th at  w ill   ch an g e,   w ill  b 12 Y 21 Y 11 Y 22 Y   an d   th e y   ar as g iv e n   u n d er n ea t h :     ) /( 1 12 21 12 jU jx Y Y            ( 1 3 )     13 12 13 12 11 / 1 ) /( 1 h l c h l c y y jx jU jx Y                                                                                ( 1 4 )     25 24 23 12 25 24 23 12 22 / 1 / 1 / 1 ) /( 1 h l c h l c h l c h l c y y y y jx jx jx jU jx Y      ( 1 5 )     w h er 25 24 23 13 12 , , , , x x x x x   ar th s er ies  r ea ctan ce s   25 24 23 13 12 , , , , h l c h l c h l c h l c h l c y y y y y    ar th h al f   li n e   ch ar g i n g   ad m it tan ce s   o f   li n es   b et w ee n   b u s e s   1 - 2 ,   1 - 3 , 2 - 3 , 2 - 4   an d   2 - 5   r esp ec ti v el y .   As  t h Y   ele m en t s   ar e   ch an g i n g ,   t h v o lta g e s   d u r in g   th k ) 1 (   ti m iter atio n   at  v ar io u s   b u s e s   w ill c h a n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 7   :   3 1 7 6     3 1 8 9   3180   1 11 16 3 11 13 2 11 12 1 1 E Y Y V Y Y V Y Y V k k k                                                       ( 1 6 )     2 22 27 5 22 25 4 22 24 3 22 23 1 1 22 21 1 2 E Y Y V Y Y V Y Y V Y Y V Y Y V k k k k k                                                            ( 1 7 )     k k k k V Y Y V Y Y V Y Y V 4 33 34 1 2 33 32 1 1 33 31 1 3           ( 1 8 )     k k k k V Y Y V Y Y V Y Y V 5 44 45 1 3 44 43 1 2 44 41 1 4          ( 1 9 )     1 4 55 54 1 2 55 52 1 5 k k k V Y Y V Y Y V         ( 2 0 )     E lectr ical  p o w er   o f   f ir s m ac h i n e,   d u r in g   t h th k ) 1 (   is   g i v e n   b y     ) ) ( R e ( 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k e I E P          ( 2 1 )     ) ) / ) (( R e ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d k k k k k k e jx V E E P                                                                 ( 2 2 )     Usi n g   t h v o lta g ex p r es s io n   f r o m   eq u a tio n   ( 1 7 ) ,     1 1 1 11 16 3 11 13 2 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / . . . . Re d k k k k k k k k e jx E Y Y V Y Y V Y Y E E P                                                                    ( 2 3 )     Fin all y ,     ) ) ) /( 1 )( ( /( ) s i n ( ) ) ) /( 1 )( ( /( ) s i n ( 12 1 12 1 1 3 1 1 13 1 2 1 1 12 1 12 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 U x a U x x Y V E U x a U x x V E P d k k k k d k k k k k e                 ( 2 4 )     w h er 13 1 13 12 1 / 1 / 1 x x y y a d h l c h l c   an d   1 2 k 1 3 k   ar th a n g les  o f   v o lta g es  1 2 k V   an d   1 3 k V   r esp ec tiv el y   a th th k ) 1 (   ti m iter ati o n .   No w ,   th f o u r   s ta tes  ar 2 2 1 1 , , an d   h en ce   t h s ta te  eq u atio n s   ca n   b r e w r itte n   as  f o llo w s :     s x dt dx x 2 1 1          ( 2 5 )     1 1 1 2 2 2 e m s P P H dt dx x          ( 2 6 )     s x dt dx x 4 3 3   ( 27)     2 2 2 4 4 2 e m s P P H dt dx x   ( 2 8 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti Ma ch in S ta b ilit Usi n g   Dyn a mic  I n ve r s io n   Tech n iq u ( A b h a   Tr ip a th i)   3181   T h d esire d   o u tp u   d x 2   is   to   m ain tai n   th s p ee d   o f   th f ir s m ac h in e,   s ta te 2 x ,   co n s tan t,  at  3 7 7   r ad /s ec   ( o r   n o m i n al  f r eq u en c y   as 6 0 Hz) .   T h er r o r   e   is   d ef i n ed   as     d x x e 2 2   ( 2 9 )     T h d er iv ativ o f   er r o r   is     d x x e 2 2     ( 3 0 )     T h er r o r   d y n a m ic s   is   en f o r ce d   as f o llo w s :     0 1 e K e     ( 3 1 )     No w   t h s o lu tio n   o f   s u c h   an   e q u atio n   is   g i v en   a s   f o llo w s :     t K e e t e 1 0 ) (                                ( 3 2 )     w h er 1 K   is   p o s iti v co n s ta n w h ic h   e n s u r es  t h at  t h er r o r   t en d s   to   ze r o   as  ti m te n d s   to   in f i n it y .   A s   th e   d esire d   o u tp u t is f ix ed ,   its   d er i v ati v is   ze r o .   Usi n g   eq u at io n s   ( 2 6 )   in   eq u atio n   ( 3 0 ) ,   th f o llo w i n g   is   o b tain ed :     0 2 1 1 1 e m s P P H e     ( 3 3 )     B y   e n f o r cin g   er r o r   d y n a m ics  f r o m   eq u a tio n   ( 3 3 ) ,   th f o llo w i n g   i s   o b tain ed :     0 ) ( 0 2 2 2 1 1 1 1 d e m s x x K P P H     ( 3 4 )     Usi n g   t h v alu o f   t h elec tr i ca p o w er   f r o m   eq u atio n   ( 2 4 ) ,   in   eq u atio n   ( 3 4 ) ,   th co n tr o v ar iab le  w h ic h   i s   r ea ctan ce   o f   T C SC ,   is   o b tain e d   as f o llo w s :     ' 1 3 1 13 3 1 ' 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 / ) s i n ( /( ) / ) s i n ( / ) ( 2 ( d d s d m x Y V E x V E x x H K P U   ) / 1 )( / ) ( 2 ( 13 12 13 2 2 1 1 1 h l c h l c s d m y y x x x H K P                                                              ( 3 5 )       4.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O NS F O 1 st   T E S T   SYS T E M   T h er ar tw o   ca s s tu d ies  d o n an d   th r es u lt s   f o r   all  t h ca s es  ar e x p lain ed   i n   d etail  in   t h e   f o llo w in g   s u b     s ec tio n s .       4 . 1 .   Ca s 1 :   When f a ult  clea ring   t i m i s   0 . 3 6   s ec o nd   I is   ass u m ed   th a t h er is   3 s y m m etr ical  f au l at  b u s   5   an d   t h s a m i s   clea r ed   af ter   0 . 3 2   s ec o n d s   w it h o u d is t u r b in g   th e   s y s te m   co n f ig u r atio n .   T h o s cillatio n s   o f   t h r o to r   a n g le   an d   s p ee d   o f   m ac h i n e   2   ar e   o b s er v ed .   T h s y s te m   i s   s i m u lated   an d   s tab ilit y   w i th   a n d   with o u t   DI   tech n iq u is   o b s er v ed .   T h r esu lt s   ar g iv e n   u n d er n ea th :     4 . 1 . 1 .   Wit ho ut  DI T ec hn iq ue   Fig u r 3   s h o w s   t h v ar iatio n   o f   t h d elta  o f   s ec o n d   m ac h in e   an d   it   is   clea r   t h at  th s y s te m   i s   b ec o m i n g   u n s tab le.   T h v ar ia tio n   o f   s p ee d   o f   t h s ec o n d   m ac h in e   is   d ep i cted   i n   F ig u r 4 .   T h s y s te m   is   u n s tab le  as it i s   ev id e n t f r o m   t h is   p lo t.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 7   :   3 1 7 6     3 1 8 9   3182       Fig u r 3 .   Delt Var iatio n   w it h o u t D I   T ec h n iq u e           Fig u r 4 .   Sli p   v ar iatio n   w it h o u t D I       4 . 1 . 2 .   Wit h 7 5 L ine C o m pe ns a t i o n   T h d elta   v ar iatio n   is   s h o w n   i n   F i g u r 5 .   T h s y s te m   s tab ilit y   is   lo s t.  T h r o to r   a n g le   k ee p s   in cr ea s i n g .   T h s lip   v ar ia tio n   w it h   7 5 l in co m p en s atio n   i s   s h o w n   in   F i g u r 6 .   T h s lip   in cr ea s es   w it h   ti m e   an d   th s y s te m   b ec o m e s   u n s ta b le.           Fig u r 5 .   Delta  Var iatio n   w it h   7 5 % L in C o m p en s atio n           Fig u r 6 .   Sli p   Var iatio n   w it h   7 5 % L i n C o m p e n s at io n   0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 -200 0 -150 0 -100 0 -500 0 500 1000 T i m e   ( i n   s e c o n d s )   D e l t a   ( i n   D e g r e e s )     M / C   R elat iv D elt a 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 -0. 06 -0. 04 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 T i m e   ( i n   s e c o n d s )   S L I P   ( i n   p e r   u n i t )     M / C   SLI P 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 -100 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 T i m e   ( i n   s e c o n d s )   D e l t a   ( i n   D e g r e e s )     M / C   R elat iv D elt a 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 0 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 0. 06 0. 07 0. 08 T i m e   ( i n   s e c o n d s ) S L I P   ( i n   p e r   u n i t )     M / C   SLI P Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti Ma ch in S ta b ilit Usi n g   Dyn a mic  I n ve r s io n   Tech n iq u ( A b h a   Tr ip a th i)   3183   4 . 1 . 3 .   Wit h DI Tec hn i qu e   T h d elta  o f   t h s ec o n d   m ac h i n i s   d ep icted   in   F i g u r 7 .   W ith   DI   tec h n iq u e   th e   d a m p i n g   o f   t h d el t a   i m p r o v es  a n d   t h s y s te m   te n d s   to w ar d s   s tab ilit y .   T h s p ee d   o f   m ac h i n 2   is   p lo tted   i n   F ig u r 8 .   Fro m   t h e   g r ap h   it  is   v er y   clea r   th a th d am p i n g   h as  i m p r o v ed .   T h r ea ctan ce   o f   th T C SC   is   c h an g in g   to   k ee p   u p   w i th   d esire d   r esu lts   a n d   th p lo t o f   th s a m is   s h o w n   in   F ig u r 9 .           Fig u r 7 .   Delta  Var iatio n   w it h   DI   tech n iq u e           Fig u r 8 .   Sp ee d   Var iatio n   w it h   DI   T ec h n iq u e           Fig u r 9 .   T C SC   R ea ctan ce   Va r iatio n       4 . 2 .   Ca s 2 :   Crit ica l C lea ring   T im a n d M a x i m u m   lo a din g   a t   bu s es   W ith   t h lo ad   f i x ed   at  t h i n i tial  v al u es   ( p r io r   to   th f a u lt) ,   3   s y m m etr ical  f a u lt  at  b u s   5   w as   ass u m ed .   T h f a u lt  clea r i n g   ti m w as  i n cr ea s ed   to   o b tain   th cr itical  clea r in g   ti m e.   Nex t,  f o r   th s a m n atu r e   o f   f au lt  at  b u s   5   an d   f au l clea r in g   ti m f ix ed   at  0 . 3   s ec ,   th lo ad in g   w as  i n cr ea s ed   at  v ar io u s   b u s es.  T h is   w a y   th m a x i m u m   lo ad in g   p o s s ib l at  all  lo ad   b u s es,  w it h o u DI   tech n iq u e,   w it h   7 5 lin co m p e n s atio n   an d   w it h   DI   tech n iq u e,   w as tab u la te d .   T h s a m is   g iv e n   i n   T ab le  2 .             0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 T i m e   ( i n   s e c o n d s ) D e l t a   ( i n   D e g r e e s )     M / C   D elt a 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 -0. 06 -0. 04 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 T i m e   ( i n   s e c o n d s ) S L I P   ( i n   p e r   u n i t )       M / C   SLI P 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 0 0. 05 0. 1 0. 15 0. 2 T i m e   ( i n   s e c o n d s ) X t c s c   ( i n   p e r   u n i t ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   6 Dec em b er   2 0 1 7   :   3 1 7 6     3 1 8 9   3184   T ab le  2 .   C C T   an d   Ma x i m u m   L o ad in g   A t t r i b u t e   W i t h o u t   T C S C   W i t h   7 5 C o mp e n s a t i o n   W i t h   T C S C   C r i t i c a l   C l e a r i n g   t i me ( i n   se c )   0 . 3 1 5 se c   0 . 3 3 8   se c   0 . 3 6 se c   M a x i m u m   L o a d i n g   a t   b u s   3   4 0 M W   7 5 M W   8 4 M W   M a x i m u m   L o a d i n g   a t   b u s   4   4 0 M W   8 2 M W   9 5 M W   M a x i m u m   l o a d i n g   a t   b u s   5   5 5 M W   8 5 M W   9 6 M W       5.   SE CO ND  T E ST   S YS T E M :   T H RE E   M ACH I NE   5   B US P O WE SY ST E M   T h s a m p o w er   s y s te m   as  d ep icted   in   f i g u r 1   is   co n s id er ed .   T h o n l y   d if f er en ce   i s   th at  a   th ir d   m ac h in i s   co n s id er ed   at  b u s   3   an d   th at  t h at  b u s   i s   co n s id er ed   to   b P b u s .     T h ac tiv e   p o w er   b ei n g   f i x ed   at  0 . 1   p u   an d   th e   m a g n it u d o f   t h v o lta g e   at  1 . 0 2   p u .   T h r esis ta n ce   o f   t h li n es   is   n e g le cted .   As  m en tio n ed   ea r lier ,   th v alu e s   o f   t h r ea ct an ce s   ar i n   p er   u n it.   A p ar f r o m   t h f o u r   s tate  eq u atio n s   m e n tio n ed   b e f o r f o r   2   m ac h in e s   s y s te m ,   t h er ar t w o   m o r s tate  eq u a tio n s   f o r   th th ir d   m ac h i n w h ic h   ar as f o l lo w s :     0 3 3 dt d                                         ( 3 6 )     3 3 3 3 2 e m s P P H dt d           ( 3 7 )     5 . 1 .   Wit ho ut  DI  T ec hn iq ue   T h lo ad   f lo w   a n al y s i s   is   d o n an d   th v ar io u s   r es u lts   ar ta b u lated   in   T ab le  3 .   T h f au lt  i s   ass u m ed   to   b at  b u s   5   an d   th s a m i s   r ec tif ied   w it h o u t a f f ec tin g   s y s t e m   co n f i g u r atio n .       T ab le  3 .   L o ad   Flo w   An al y s i s   R es u lts   B u s   N o .   P G   ( i n   M W )   Q G   ( i n   M V A r )   P L   ( i n   M W )   Q L   ( i n   M V A r )   V θ   ( i n   p u )   1   40   1 4 . 8 5   0   0   1 . 0 6 0 0   2   20   44   0   0   1 . 0 4 5 - 4 . 7 1 0   3   10   - 3 1 . 9 8   0   0   1 . 0 2 - 3 . 6 5 0   4   0   0   30   20   1 . 0 1 5 - 5 . 9 4 0   5   0   0   40   30   1 . 0 1 4 -   6 . 8 6 0       5 . 2 .   Ana ly s is   w it h 7 5 L ine C o m p en s a t io n   T h lin co n n ec ted   b et w ee n   b u s e s   2   an d   4   is   7 5 co m p en s ated   an d   h en ce   th n e w   r ea cta n ce   o f   th e   lin b ec o m es  h al f   o f   0 . 2 3   p er   u n i t.     5 . 3 .   Ana ly s is   w it h DI Tec hn iq ue   DI   tech n iq u is   r ea lized   th r o u g h   t h T C SC   w h ic h   is   p lace d   as d ep icted   in   F ig u r 1 0 .           Fig u r 10.   P ar o f   th n et w o r k   w h er T C SC   is   p r esen t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti Ma ch in S ta b ilit Usi n g   Dyn a mic  I n ve r s io n   Tech n iq u ( A b h a   Tr ip a th i)   3185   T C SC   is   ass u m ed   to   b p r ese n in   li n co n n ec tin g   b u s es  2   an d   4 .   T h er ef o r th r ea ctan ce   o f   th lin e   w il l c h a n g d y n a m icall y   a s   t h T C SC   r ea ctan ce   is   v ar ied .   U   is   th e   T C SC   r ea cta n ce   ( ca p ac it iv e)   an d   s o m o f   th ele m e n t s   o f   w ill  c h an g e   ac co r d in g l y .   Sin ce   T C SC   i s   in   lin 2   -   4 ,   h en ce   f o u r   ele m e n ts   o f   Y   th at  w il l   ch an g w ill b e 24 Y , 42 Y 44 Y   an d   22 Y   an d   th e y   ar as g iv e n   u n d er n ea t h :     ) /( 1 24 24 42 jU jx Y Y           ( 3 8 )     45 43 24 45 43 24 44 / 1 / 1 ) /( 1 h l c h l c h l c y y y jx jx jU jx Y              ( 3 9 )     25 24 23 21 25 23 21 ' 2 24 22 / 1 .... / 1 / 1 / 1 ) /( 1 h l c h l c h l c h l c d y y y y jx jx jx jx jU jx Y                                               ( 4 0 )     w h er 25 24 23 21 , , , x x x x   ar th e   s er ies   r ea ctan ce s   25 24 23 21 , , , h l c h l c h l c h l c y y y y    ar t h h al f   li n c h ar g i n g   ad m itta n ce s   o f   li n es  b et w ee n   b u s es  2   - 1 ,   2   -   3 ,   2   -   4   a n d   2 - 5   r esp ec tiv el y .   T h d esire d   o u tp u   d x 4   is   to   m ai n tai n   th s p ee d   o f   th s ec o n d   m ac h in e,   s tate 4 x ,   co n s tan t,  at  3 7 7   r a d /s ec   ( o r   n o m i n al  f r eq u en c y   a s   6 0 Hz) .   E lectr ical  p o w er   o f   s ec o n d   m a ch in e,   d u r i n g   th th k ) 1 (   is   g i v e n   b y     ) ( 1 2 2 1 2 2 k k e I E P           ( 4 1 )     ) / ) (( 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 d k k k e jx V E E P           ( 4 2 )     Usi n g   t h v o lta g ex p r es s io n   f r o m   eq u a tio n   ( 1 7 ) ,     2 1 2 22 27 5 22 25 4 22 24 3 22 23 1 1 22 21 2 1 2 2 1 2 2 / j x d E Y Y V Y Y V Y Y V Y Y V Y Y E E P k k k k k k k e        ( 4 3 )     Fin all y ,     ) ) ) /( 1 ( ( ) s i n ( ) ) ) /( 1 )( ( ( ) s i n ( ) ) ) /( 1 ( ( ) s i n ( ) ) ) /( 1 ( ( ) s i n ( 24 2 2 5 2 25 1 5 1 2 24 2 24 2 4 2 24 1 4 1 2 24 2 2 3 2 23 1 3 1 2 24 2 2 1 2 12 1 1 1 2 2 U x a x Y V E U x a U x x Y V E U x a x Y V E U x a x Y V E P d k k d k k d k k d k k e               ( 4 4 )     w h er     25 23 21 2 15 24 23 21 2 / 1 / 1 / 1 . . . . . / 1 x x x x y y y y a d h l c h l c h l c h l c     an d   3 1 , , 5 4 ,   ar th an g les  o f   v o ltag es  1 2 k V , 1 3 k V , 1 4 k V   an d   1 5 k V   r esp ec tiv el y .   T h er r o r   e   is   d ef in ed   as     d x x e 4 4           ( 4 5 )     T h d er iv ativ o f   er r o r   is     d x x e 4 4           ( 4 6 )     As th d esire d   o u tp u t is  f ix ed ,   th en   i ts   d er iv ati v i s   ze r o .   Usi n g   t h i s   co n ce p t a n d   th eq u ati o n   ( 4 5 ) ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.