I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   9 ,   No .   2 A p r il   201 9 ,   p p .   1 0 6 7 ~ 1 0 7 7   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v9 i 2 . pp 1 0 6 7 - 1077       1067       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   M ulti  pa ra m etri m o del  predic tive  co ntrol ba sed o n l a g uerre  m o del  for pe r m a nent  m a g net  linea r sy nchro no us  m o tors       Ng uy en  H o ng   Q ua ng 1 ,   Ng uy en  P hu ng 2 ,   Da o   P hu o ng   Na 3 ,   Ng uy en  T ha nh   B inh 4   1 De p a rte m e n o f   A u to m a ti o n ,   T h a Ng u y e n   Un iv e rsit y   o f   T e c h n o l o g y V iet  Na m   2 In stit u d e   f o Co n tro l   En g in e e ri n g   a n d   A u to m a ti o n ,   Ha n o Un iv e rsity   o f   S c ien c e   a n d   T e c h n o l o g y ,   V iet  Na m   3 De p a rte m e n o f   A u to m a ti c   Co n tro l,   Ha n o Un iv e rsit y   o f   S c ien c e   a n d   T e c h n o l o g y V iet  Na m   4 Un iv e rsit y   o f   Ulsa n ,   S o u t h   Ko re a       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ma y   26   201 8   R ev i s ed   Sep   13 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Oct   1 0 ,   2 0 1 8       T h e   p e r m a n e n m a g n e li n e a m o to rs  a re   w id e l y   u se d   in   v a rio u in d u strial   a p p li c a ti o n d u e   to   it a d v a n tag e s   in   c o m p a riso n w it h   ro tary   m o to rs  su c h   a m e c h a n ica d u ra b il it y   a n d   d irec tl y   c r e a ti n g   li n e a m o ti o n w it h o u g e a rs  o b e lt s.  T h e   m a in   d iff icu lt ies   o it c o n tro d e sig n   a re   th a th e   c o n tro p e rf o r m a n c e in c lu d e   th e   trac k in g   o f   p o siti o n   a n d   v e lo c it y   a w e ll   a s   g u a ra n tee   li m it a ti o n o f   th e   v o lt a g e   c o n tro a n d   it v a riatio n .   I n   th is  w o rk ,   a   c a sc a d e   c o n tro stra teg y   in c lu d i n g   a n   in n e a n d   a n   o u ter  l o o p   is   a p p li e d   to   s y n c h ro n o u l in e a m o to r.   P a rt icu larly ,   a n   o f f li n e   M P C   c o n tr o ll e b a se d   o n   M P P   m e th o d   a n d   L a g u e rre   m o d e wa p ro p o se d   f o in n e lo o p   a n d   th e   o u ter   c o n tro ll e w a s   d e sig n e d   w it h   th e   a id   o f   n o n li n e a d a m p in g   m e th o d .   T h e   n u m e rica si m u latio n   wa i m p l e m e n ted   to   v a li d a te  p e rf o r m a n c e   o th e   p ro p o se d   c o n tr o ll e u n d e v o lt a g e   in p u c o n stra in ts.   K ey w o r d s :   Mo d el  p r ed ictiv co n tr o l   Mu lti  p ar a m etr ic  p r o g r a m m i n g   P er m a n en m a g n e t lin ea r   s y n ch r o n o u s   m o to r   P o ly s o le n o id   l in ea r   m o to r   Co p y rig h ©   2 0 1 9   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Ng u y e n   Ho n g   Q u an g ,     Dep ar t m en t o f   A u to m atio n ,     T h ai  Ng u y en   U n i v er s it y   o f   T ec h n o lo g y ,   6 6 6 ,   3 /2   Stre et,   T ich   L u o n g   war d ,   T h ai  Ng u y en   ci t y ,   Viet  N a m .   E m ail:  q u a n g . n g u y e n h o n g @ t n u t.e d u . v n       1.   I NT RO D UCT I O N   T h P er m an e n Ma g n et  L i n ea r   S y n c h r o n o u s   Mo to r s   ( PML SM)   i s   ex te n s iv el y   u s ed   in   v ar io u s   in d u s tr ies   d u to   th e   ab ilit y   t o   d ir ec tl y   cr ea te  lin ea r   m o tio n   w i th o u g ea r s   o r   b elts .   A l t h o u g h   t h m ed iate   m ec h a n ical  ac t u ato r s   ar eli m i n ated ,   th s y s te m   b ec o m w ea k   r o b u s t n es s ,   in   t h at  ex te r n al  i m p ac s u c h   as   f r ictio n al  f o r ce ,   en d     ef f ec t,   ch an g ed   lo ad   an d   n o n - s i n o f   f l u x   ca u s d a m a g to   co n tr o p er f o r m a n ce s .   Gen er all y ,   p r in cip le  o p er atio n   o f   s y n c h r o n o u s   lin ea r   m o t o r   is   s i m ilar   to   p er m a n e n m ag n et  s y n ch r o n o u s   m o to r h o w e v er   th eir   p h y s ica co n s tr u ctio n   is   d if f er en i n   [ 1 ] - [ 5 ] ,   an d   v ar io u s   ap p licatio n s   s u c h   as  C N L at h [ 6 ] ,   s lid in g   d o o r   [ 7 ] .   I n   r ec en y ea r s ,   t h er h as  b e en   m a n y   r esear c h es  f o r   co n tr o p r o b lem   o f   p er m a n e n m a g n et  l in ea r   m o to r .   An   ad ap ti v f u zz y   n eu r al  n et w o r k   i n   [ 8 ]   w a s   p r o p o s ed   to   co n tr o th p er m a n en t   m ag n et  lin ea r   s y n ch r o n o u s   m o to r .   T h au t h o r s   in   [ 9 ]   p r esen ted   co n tr o l   d esig n   to   r eg u late  v elo cit y   b ased   o n   P I     s elf   tu n in g   co m b i n in g   w it h   ap p r o p r iate  es ti m atio n   tech n iq u at   s lo w   v e lo cit y   zo n e,   b u i f   lo ad   is   ch an g ed ,   P I     s elf   tu n i n g   co n tr o ller   w ill  b e   n o ef f icie n t.  I n   o r d er   to   o v er co m c h a n g ed   lo ad ,   m o d el   r ef er en ce   co n tr o m et h o d   b ased   o n   L y ap u n o v   s tab ilit y   th eo r y   e m p lo y ed   in   [ 1 0 ] .   A d d itio n all y ,   th e   b a ck s te p p in g   tec h n iq u in   [ 1 1 ] ,   w as  ap p lied   to   r ed u ce   i n f lu e n ce   o f   f r ic tio n al  f o r ce   an d   co n tr o ller   is   d esig n ed   b ased   o n   ap p r o p r iate   f r ictio n al  e s ti m ated   m o d el.   I n   [ 1 2 ] ,   th ad v an ta g o f   th a th e   s lid in g   m o d co n tr o ap p lied   in   L in ea r   Mo to r   is   th at  r ea p o s it io n   v al u tr ac k s   s et  p o in t.  Ho w e v er ,   th d i s ad v an ta g e s   o f   t h is   m et h o d   is   th a s lid in g   s u r f ac i s   co m p lica ted   an d   ch atter i n g   p r o b lem   o cc u r r ed .   I is   clea r   th a th p r ev io u s   r esear ch e s   d o   n o m en t io n   p o s itio n ,   v elo cit y   a n d   cu r r en co n s tr ai n ts .   T o   s o lv th is   p r o b le m ,   th MP C   ap p r o ac h   in   [ 1 3 ]   w as  p r o p o s ed   as  s in g le   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 6 7   -   1077   1068   co n tr o ller   f o r   s p ee d   co n tr o l.  T h au t h o r s   i n   [ 1 4 ]   b u ilt   n e w   m a th e m atic   m o d el   an d   u s o p ti m a co n tr o l   ap p r o ac h   to   r esu lt  i n   li n ea r   q u ad r atic  r eg u la tio n   ( L Q R ) .   Ho w e v er ,   th co n s id er ed   m o d el  d id   n o t   in cl u d e   d is tu r b an ce   lo ad   as  w ell  as  f r ictio n   f o r ce .   I n   ad d itio n ,   th im p le m e n tatio n   o f   th is   M P C   co n tr o ller   o n   a   m icr o co n tr o ller   is   v er y   d if f ic u lt b ec au s o f   ca lc u latio n   b u r d en .   I n   t h is   p ap er ,   w ap p l y   ca s ca d co n tr o s tr ate g y   to   s y n ch r o n o u s   li n ea r   m o to r   i n c lu d i n g   an   in n er   an d   an   o u ter   lo o p .   T h o f f li n MP C   co n tr o ller   b ased   o n   MP P   m eth o d   in   [ 1 5 ]   w a s   p r o p o s ed   f o r   in n er   lo o p   to   m a k m o to r   cu r r en to   f o llo w   t h r ef er en ce   s ig n al  f r o m   t h o u te r   co n tr o ller .   W m o d if y   o p tim izatio n   p r o b lem   i n   th MP C   co n tr o ller   b y   u s in g   L a g u er r Mo d el  ap p r o ac h   in   [ 1 3 ]   to   r ed u ce   th n u m b er   o f   o p ti m al  v ar iab les.   T h m aj o r   ad v an tag e   o f   o u r   MP C   co n tr o ller   lies   in   t h a b ilit y   to   s o lv e   co n s tr ain t s   p r o b le m   a n d   r ed u cin g   a m o u n o f   ca lcu la tio n   b ec au s e   th o p tim al  p r o b le m   is   o f f lin e   s o lv ed .   T h o u ter   co n tr o ller   w a s   d esig n ed   b ased   o n   n o n li n ea r   d a m p in g   m eth o d   in   [ 1 6 ]   to   g u ar an tee  t h er r o r   b et w ee n   r ea an d   r ef er en ce   v elo cit y   co n v er g to   ar b itra r y   s m all  v al u e.       2.   P RIM ARY  RE SUL T S   2 . 1 .     L a g uerr o rt ho g o na l po ly no m ia l s     As r ep r esen ted   in   [ 1 3 ]   L ag u er r p o ly n o m ial s   ar d ef in ed   as  f o llo w s :     1 1 2 1 ( ) ( 1 ) ( 1 ) i i i za l z a az                  ( 1 )     w h er a   is   p o s itiv co n s ta n t,  01 a    an d   0 , 1 , . . . i T h ap p licatio n   o f   L a g u er r p o ly n o m ia ls   is   m ai n l y   in   t h ar ea   o f   s y s te m   id en tifi ca tio n ,   i n   w h ic h   t h d is cr ete - ti m i m p u ls e   r esp o n s e   o f   a   d y n a m ic   s y s te m   is   r ep r esen ted   b y   a   L ag u er r m o d el  ( s ee   W ah lb er g ,   1 9 9 1 ) .   I n   t h i s   w o r k ,   b ased   o n   W an g   2 0 0 9 ,   w e   o b tain   th e   m ai n   r es u lt:   S u p p o s th a t h e   i m p u ls e   r esp o n s e   o f   s tab le   s y s te m   i s Hk ,   th e n   w it h   g iv e n   n u m b er   o f   ter m s N ,   Hk   is   w r itte n   a s:     1 1 2 2 ... NN H k c l k c l k c l k               ( 2 )     w it h   12 , , . . . , N c c c ar th co e f f ic ien t s   to   b d eter m in ed   f r o m   t h s y s t e m   d ata.   T h d i s cr ete - t i m e   L a g u er r f u n ctio n s   ar o r th o n o r m al  f u n ctio n s ,   a n d   w it h   th e s o r th o n o r m al  p r o p er ties ,   th co ef f icie n ts   o f   t h L a g u er r e   n et w o r k   ar d ef i n ed   b y   th f o l lo w i n g   r elatio n :     0 , 0 , 1 , . . . , ii k c H k l k i N               ( 3 )     2 . 2 .     M o del pre dict iv co ntr o l ba s ed  o n L a g uerr f un ct io n   I n   th i s   s ec tio n ,   w co n s id er   th i s   d is cr ete  ti m l in ea r   s y s te m   d escr ib ed   b y :     ( 1 ) ( ) ( ) m m m m x k A x k B u k                 ( 4 )     I n   w h ic h ,   m x is   v ec to r   o f   s tate  v ar iab le  an d   () uk is   th i n p u t a t t h ti m e k .   C o n v er t th E q u at io n   ( 1 )   as f o llo w s     ( 1 ) ( ) ( ) m m m m x k A x k B u k                 ( 5 )     W h er e:  ( 1 ) ( 1 ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 ) m m m x k x k x k u k u k u k   Fro m   ( 4 ) ( 5 )   an d   b y   lett i n g   ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ] T mm x k x k x k ,   th E q u atio n   ( 5 )   b ec o m e s :       ( 1 ) ( ) ( ) x k A x k B u k                 ( 6 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti p a r a metric m o d el  p r ed ictive  co n tr o l b a s ed   o n   la g u err mo d el   ( N g u ye n   Ho n g   Q u a n g )   1069   W ith ,                 m m n n m n n m B A AB AI B            P r ed ictiv m o d el  o f   ( 6 )   at  i k as f o llo w s     ( 1 | ) ( | ) ( | ) 0 , 1 , . . . , | x k i k A x k i k B u k i k iN x k k x k             ( 7 )     N   is   p r ed ictio n   h o r izo n .   Fro m   ( 7 ) ,   th s ak o f   d esi g n i n g   t h M P C   co n tr o ller   is   f i n d in g   th s e q u en ce   o f   i n p u s ig n al  () uk m i n i m izi n g   t h is   u n d er   co s t f u n ctio n     10 ( | ) ( | ) ( ) ( ) pp NN TT jj J x k j k Q x k j k u k j R u k j             ( 8 )     W h er , QR   ar p o s itiv d ef in i te  m atr ies.    Den o te  th at :     ( 1 | ) ( 2 | ) ( | ) ( | ) ( 1 | ) ( 1 | ) T T T T T T T T X x k k x k k x k N k U u k k u k k u k N k               ( 9 )     P u ttin g   ( 7 )   in to   f o r m   ad m i tti n g   v ar iab le  ( 9 )   as;     0 ˆ ˆ X A x B U                      ( 10 )     W h er e:     2 32 12 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ , 00 0 N N N AB A A B B AB A A B A B B A A B A B A B B       an d   0 () x x k   is   in i tial state  o f   p r ed ictio n   h o r izo n .   S u b s tit u ti n g   ( 10 )   in to   th co s t f u n c tio n   ( 8 ) :     0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ 2 T T T T J U H U x F U x A Q A x                  ( 11 )     W h er e:    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , 2 , ,   T T T QR QR H B Q B R F A Q B Q R PR  ,     I n   th is   w o r k ,   w r eg ar d   th s e q u en ce   o f   s i g n a ls   | , 1 | , . . . , 1 | u k k u k k u k N k   ca n   b e   ap p r o x im a ted   b y   th b y   d is c r ete  L ag u er r p o l y n o m ial  f u n c tio n s .   I n   o t h er   w o r d s ,   s et  o f   L a g u er r f u n ctio n s   12 , , . . . , M l k l k l k   ar u s ed   to   ca p tu r th in p u ( | ) i u k i k    in   p r ed ictio n   h o r izo n :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 6 7   -   1077   1070   1 ( | ) ( ) M i j j j u k i k c l i                   ( 12 )     W h er j c ar th co ef f ic ien t s   w h i ch   d ep en d   o n l y   o n   t h i n itial o f   p r ed ictio n   h o r izo n .   () j li   ar th o r th o g o n al  L a g u er r f u n ctio n s   h a v i n g   f o r m   as  f o llo w in g :     1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) .. .. ( ) ( ) ( ) .. .. ( ) ( ) ( ) .. .. ( ) T M M n n n M c k c k c k c k c k c k c k c k c k        12 12 12 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) . ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) . ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) T M M M l l l l l l L l N l N l N           T h eq u atio n   ( 12 )   is   r ew r ited   t o :     ( ) ( ) T i u k k L k                   ( 13 )     Su b s t u ti n g   ( 13 )   m o d el  ( 4 ) ,   w ca n   o b tain     11 11 00 ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jj j j i j j i T j T i i i ii x k j k A x k A B u k i A x k A B L i A x k j      W h er 1 1 0 ( ) ( ) j T j i T i j A B L i      Su b s ti tu t in g   i n to   th co s f u n ct io n   w o b tain     10 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pp p p p p NN T j T j T T T T i i i i jj N N N N T T T j T T m m i i i i i j j j j J A x k j Q A x k j L k j R L k j j Q j L k j R L k j j Q A x k x k A Q A x k     L et:  10 ( ) ( ) ( ) ( ) pp NN TT jj j Q j L j R L j    1 () p N j j j Q A      W s et  th o p ti m izatio n   p r o b le m   as:     * a r g m i n 2 ( ) TT i xk                 ( 14 )       Un co n s tr a in ed   MPC co n tr o ller   I n   th i s   ca s e,   ( 7 )   w as c o n s id er ed   w it h o u t a n y   co n s tr ai n ts   o n   i n p u t s   an d   s tate  v ar iab les:     2 2 ( ) T i J xk    W h ich   i s   eq u i v alen t:      1 *1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p N N N T T j ii j j j x k j Q j L j R L j j Q A x k              Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti p a r a metric m o d el  p r ed ictive  co n tr o l b a s ed   o n   la g u err mo d el   ( N g u ye n   Ho n g   Q u a n g )   1071   So   th at,   th o p ti m al  in p u t si g n al  at  ti m e i k :     * ( ) ( 0 ) T i u k L        C o n s tr a in ed   MPC co n tr o ller   W s u p p o s th at  ( 14 )   h as c o n s tr ain ts   a s   f o llo w s :     m i n m a x m i n m a x () () m m m u u k u x x k x                     ( 15 )     W co n s id er   p r ed ictio n   m o d el   ( 7 )   an d   co n s tr ain ts   ( 15 )   at  ti m e i k :     m in m a x m in m a x m in m a x ( 1 ) ( | ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 | ) i i i i m m i m m i ii mm u u k u k k u u k x x k x x k x k k xx              ( 16 )     ( 15 ) ( 16 )   d ed u ce   to     m i n m a x () i U u k U                   ( 17 )     Fu r t h er m o r e,   b y   u s in g ( ) ( 0 ) T i u k L  ,   r e w r iti n g   ( 17 )     M                      ( 18 )     T h u s ,   th o p ti m izatio n   p r o b lem   ( 14 ) :     m i n m i .. n 2 ( ) TT i J x k st M                  ( 19 )     Sin ce   J is   th q u ad r atic  f u n ctio n ,   o p tim al  i s s u in   ( 19 )   ca n   b s o lv ed   b y   Q u ad r atic  P r o g r a m m in g   ( QP )   to   o b tain   th s o l u tio n * ,   th co n tr o l   s ig n al  is   ca lc u lated   b y :     * ( ) ( 0 ) T i u k L                    ( 20 )     2 . 3 .     M ulti  pa r a m et ric  pro g ra mm ing   I n   t h is   s ec tio n ,   w r e m i n d   t h e   r esu l ts   o f   m u lti   p ar a m etr ic  p r o g r a m m i n g   m e th o d   ( MP P )   in   [ 1 1 ] .   T h e   b asic  id ea   is   th a t h s p ac o f   p ar a m eter   is   s ep ar ated   in to   cr itical  r eg io n s   i n   th at   ea ch   c r itical  r eg io n s ,   t h e   s o lu tio n   o f   o p ti m izat io n   p r o b le m   is   i n   t h s a m e   f o r m .   C o n s i d er   th q u ad r atic  co s t f u n ctio n :     1 m in 2 .. T z V z H z s t G z W S                       ( 21 )     w it h   s z   is   th v ec to r   o f   o p ti m iz atio n   v ar iab les.  n   is   th v ec to r   o f   p ar am eter s ,   an d   t h m atr i ce s :   ss H qs G q W qn S L et   D   b p o ly to p ic  s et  o f   p ar a m eter s .   I n   m u lti   p ar a m etr i c   p r o g r am m i n g ,   w co n s id er   f i n d in g   t h s o lu t io n   o f   o p ti m izi n g   V o n   D .   B y   u s i n g   f ir s t   o r d er   Kar u s h - Ku h n - T u ck er   ( KKT )   o p tim alit y   co n d itio n s   w o b tain :     0 ,   Tq H z G                    ( 22 )     0 ,   1 , 2 , . . . , i i i i G z W S i q               ( 23 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 6 7   -   1077   1072   0                       ( 24 )     w h er i is   t h r o w   i n d ex .   Fro m   ( 22 )   w h a v e:       1 T z G H                      ( 25 )     Su b s ti tu t in g   i n to   ( 23 )   w ar r iv at  th co n d itio n s   as  f o llo w :     1 0   ,   1 , 2 , . . . , i i T i i ii G H G W S i q              ( 26 )     L et    an d     ar th L a g r an g m u ltip les co r r esp o n d in g   to   t h in ac tiv co n s tr ain t s   an d   ac ti v c o n s tr ain ts   r esp ec tiv el y .   W it h   t h in ac t iv e   co n s tr ain t s   w h a v 0 .   W ith   th ac tiv co n s tr ain t s   w r ec eiv e :     1 1 T G H W S G                 ( 27 )     W h er G , W , S   ar th m a tr ices c o r r esp o n d in g   to   th ac ti v co n s tr ain ts .   T h er ex is 1 1 T GH G   b ec au s th r o w s   o f   G   is   lin ea r   in d ep en d en ce .   Su b s tit u ti n g     f r o m   ( 2 4 )   in to   ( 2 1 )   w o b tain     1 11 () TT z H GG G W S xH                ( 28 )     An d   f r o m   ( 2 0 ) ,   in   ( 2 4 )   m u s t b s atis f ied     1 1 0 T G H W S G                 ( 29 )     T h r esu lts   ( 2 5 )   an d   ( 2 6 )   ar e   th b asic  o f   m u l ti  p ar a m etr i p r o g r am m i n g   m eth o d   i n   t h i s   ca s e.   Ba s e d   o n   t h e   a b o v e   re su lt s,  th e   m a in   ste p s o f   th e   o ff - li n e   m p - QP   so lv e a re   o u tl in e d   in   t h e   f o ll o w in g   a lg o rit h m   [1 1 ] :   S te p   1 :   De f in in g   th e   c u rre n re g io n   b e   t h e   w h o le sp a c e   D   o f   th e   v e c to o f   p a ra m e ter .   S te p   2 :   Ch o o se   v e c to 0   in   th e   c u rr e n re g io n .   S te p   3 :   W it h   0  ,   f i n d   th o p ti m al  s o lu tio n   00 , z   b y   QP   m eth o d .   Ste p 4 :   Def in t h ac ti v an d   i n ac ti v co n s tr ai n t s   in   ca s o f   00 , z ,   an d   th en   b u ild   th o s m atr ice s :   , , G WS   Ste p 5 :   Fin d   , z   f r o m   ( 1 1 )   an d   ( 1 2 ) .   Ste p 6 :   Ch a ra c teriz e   th e   0 CR o f   x   f r o m   ( 1 3 )   in   w h ic h   th o p ti m al  s o lu tio n   i s   in   ( 1 2 ) .   Ste p 7 :   R ed ef in t h cu r r e n t r eg io n   b th 0 D C R an d   g o   to   s tep   2 .   Ste p 8 :   W h en   all  r eg io n s   h a v e   b ee n   ex p lo r ed ,   ex it.       3.   M AIN RES UL T S   3 . 1   M P co ntr o ller  f o cur re nt  s ub - s y s t e m   As  m e n tio n ed   i n   [ 1 7 ] ,   cu r r e n lo o p   m o d el  o f   p er m a n en t   m ag n et  li n ea r   s y n c h r o n o u s   m o to r   is   d escr ib ed   b y :     2 22 sq s d s s d s d s q s d s d s d s q p s q s s d s q s d s q s q s q s q L d i R U i v i d t L L L d i U RL i v i v d t L L L L                  ( 30 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti p a r a metric m o d el  p r ed ictive  co n tr o l b a s ed   o n   la g u err mo d el   ( N g u ye n   Ho n g   Q u a n g )   1073   De n o te t h a d sd i , d sq i   a re   d e sire d   o u t p u ts  a n d   , dd s d s d s d s q s q s q e i i e i i .   S u b stit u ti n g   in t o   ( 30 )     22 22 s q s q dd s d s s d s s d s q s d s q s d s d s d s d s d d s q s q s d s d p d s s d s s q s d s q s q s q s q s q s q LL d e R U R e v e i v i d t L L L L L d e U L i R L R e v e i v d t L L L L L                  ( 31 )     Def i n e:     2 1 2 () 0 () ( ) , ( ) , ( ) 1 2 2 0 () () sq dd s d s sq s s d s q s d s d s d sd s d s d mm d s s d s q s d s d p d s sq sq s q s q s q s q s q L UR L R i v t i vt L L L L LL A t B t u t RL U L i R vt i v t L LL L L L                                        T h cu r r en t e r r o r   m o d el  ( 31 )   i s   r e w r ite n   as:       ( ) ( ) ( ) mm dx A t x t B u t dt      ( 32 )     Ob tain i n g   d is cr ete  ti m m o d el  f r o m   ( 32 )   b y   u s in g   Z OH  m et h o d :     ( 1 ) ( ) ( ) ( ) mm x k A k x k B u k     ( 33 )     W h er e:  () s AT m A k e an d   0 s T m m s m B B d t T B    T h en ,   w ca n   ap p l y   MP C   co n tr o ller   d esig n ed   i n   2 . 1   to   cu r r en lo o p   an d   th o p ti m a co n tr o s ig n al  i s   p r esen ted   in   ( 20 ) .     3. 2   Co ntr o des ig n f o o utt e lo o   L et  u s   co n s id er   m o d el  o f   P ML SM  p r o p o s ed   in   [ 1 8 ] :     2 c p sq sd p sq sd sq dv p FF dt m F i L L i i dx v dt        ( 34 )     W ith o u t lo s s   o f   g e n er alit y ,   w e   ch o o s d esire d   cu r r en t in   d -   ax is   o n   d - q   co o r d in ate:  0 d sd i   B y   let tin g   12 dd x x x x v x w it h   d x   is   d esire d   p o s itio n ,   w o b tai n   th m o d el  in   s t ate  s p ac as:      12 2 d xx x a u d x     ( 35 )     w h er 2 p p a sq ui   an d   c F d m  .   Lemma   1 :   A s   i s   p r esen ted   in   [ 7 ] ,   b y   u s in g   co n tr o ller   ( 36 )   an d   d is tu r b an ce   o b s er v er   ( 3 7 ) ,   th s tate  v ar iab les o f   s y s te m   ( 35 )   co n v er g e s   to   b all  ce n ter ed   at  th o r ig i n .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 6 7   -   1077   1074   1 2 2 1 1 ˆ t a n h x t a n h ( x ) d u L L d x a                 ( 36 )     02 0 0 0 2 ˆ () () d d t K x K K a u x K x                   ( 37 )     P r o o f:   L et  d u a u x  ,   w o b tain     2 0 0 0 2 02 12 20 ˆ () xx x u d K x K K u K x d t K x                   ( 38 )     w h er ˆ d d d  .   C h o o s L y ap u n o v   ca n d id ate  f u n ctio n   as  f o llo w s     2 22 12 2 2 21 1 1 1 t a n h t a n h 2 2 2 V L x x L x d               ( 39 )     Dif f er en t iati n g   b o th   s id o f   ( 39 )   alo n g   s o lu tio n   o f   ( 38 )   w it h   r esp ec t to   t :     2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 32 2 2 ta n h 1 ta n h ta n h             1 ta n h ta n h V L x x x L x u d d d L x x L x             ( 40 )     Su b s ti tu t in g   ( 36 )   in to   ( 40 ) :     2 2 1 1 1 2 2 1 2 22 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 ta n h 1 ta n h ta n h ta n h ta n h 4 V L x x L x L x d k x L x L x L x d d k             ( 41 )     Fro m   ( 38 )     2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 ˆ d K x K K u K x K u d K x K d     T h en ,   r ef er   to :       0 d d K d                      ( 42 )     R e w r iti n g   ( 42 )   w it h   t h aid   o f   ( 41 )     2 22 1 1 1 2 1 2 2 1 2 0 1 3 2 1 t a n h 1 t a n h t a n h 4 V L x x L L k x L x K d d d k          ( 43 )           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       Mu lti p a r a metric m o d el  p r ed ictive  co n tr o l b a s ed   o n   la g u err mo d el   ( N g u ye n   Ho n g   Q u a n g )   1075   An d   u s in g   t h r elatio n 2 2 2 2 4 d d d k d k  ,   w f i n all y   g et:     2 2 22 1 1 1 2 1 2 2 1 0 2 12 32 2 1 t a n h 1 t a n h t a n h 44 d V L x x L L k x L x K k d kk          ( 44 )     B y   s elec ti n g   co n tr o l p ar am ete r   co n s tan 12 0 ,, L L K   s u c h   th a t:      1 2 1 0 2 1 12 1 , , 0 , 0 4 L L k K k k k k               ( 45 )     An d   ass u m th a d  ,   s in ce   2 k   ca n   b ch o s en   ar b itra r il y   lar g an d   f r o m   ( 5 9 ) ,   L e m m 1   is   p r o v ed .         4.   RE SU L T S AN AN AL Y SI S   B ase  o n   th ab o v co n cl u s io n s ,   th s i m u latio n   m o d el  o f   P M L S M   a n d   c o n tro ll e a re   c o n stru c ted   in   M a tl a b   e n v iro n m e n t.   T h p a r am eter s   o f   P ML SM  is   g iv e n :       P a r a me t e r     V a l u e   N u mb e r   o f   P o l e     2   P o l e   st e p     7 2 m m   R o t o r   mass     3 . 5 k g   P h a se   c o i l   R e si st a n c e     3 . 1   d - a x i i n d u c t a n c e   q -   a x i s   i n d u c t a n c e   F l u x     4 . 1 mH   4 . 1 mH   0 . 8 W b       Fig u r e   1   an d   Fig u r 2   d escr ib th r esp o n s es  o f   P ML SM  i n   ca s es  u n co n s tr ain ted   an d   co n s tr ai n ted   MP C   co n tr o ller .   I n   f ir s t c ase,   Fig u r 1 .   d is p la y   th at  ac t u al  tr aj ec to r y s   m o to r   tr ac k i n g   d es i g n ed   tr aj ec to r y   v er y   f ast,  b u it   r eq u ir es  t h lar g s tar ted   v o ltag e.   T h is   is   r ea s o n   to   w m u s c o n stra in th e   v o lt a g e   in p u t .   Fig u r 2 .   s h o w s   r esp o n s es o f   m o to r   w h e n   th i n p u v o lta g sq u   is  li m it e d   b y m a x 90 sq uV .   C o n s id er in g   t h d esire d   tr aj ec to r y   o f   m o to r s   is   e x p r ess ed   b y :   () d x t t ,   w o b tain   f o llo w i n g   ef f icien ts :           Fig u r e   1.   A ct u al  tr aj ec to r y   a n d   co n tr o l sig n al  w i th   u n co n s tr ain ted   MP C       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 6 7   -   1077   1076       Fig u r e   2.   A ct u al  tr aj ec to r y   a n d   co n tr o l sig n al  w i th   co n s tr ai n ted   MP C       5.   CO NCLU SI O N   I n   th is   w o r k ,   w ap p l y   ca s ca d co n tr o s tr ateg y   f o r   p o ly s o le n o id   lin ea r   m o to r   to   s ap ar ate   th m o to r   in to   o u ter   an d   in n er   lo o p .   T h o f f li n MP C   co n tr o ller   b ased   o n   MPP   m et h o d   w as  p r o p o s e d   f o r   in n er   lo o p   t o   m ak m o to r   cu r r en to   f o llo w   t h r ef er en ce   s i g n al  f r o m   t h o u ter   co n tr o ller .   Op ti m iza tio n   p r o b lem   in   t h e   MP C   co n tr o ller   w a s   m o d i f ie d   b y   u s in g   L a g u er r Mo d el  ap p r o ac h   to   r ed u ce   th n u m b er   o f   o p ti m al   v ar iab les.  T h m aj o r   ad v an ta g o f   o u r   MP C   co n tr o ller   l ie s   i n   t h ab ili t y   to   s o l v co n s t r ain ts   p r o b lem   an d   r ed u cin g   a m o u n o f   ca lc u lati o n   b ec au s t h o p ti m al  p r o b le m   is   o f f li n s o lv ed .   T h o u ter   co n tr o ller   w as   d esig n ed   b ased   o n   n o n li n ea r   d am p i n g   m et h o d   to   g u ar a n te th e   er r o r   b et w ee n   r ea l   an d   r ef er en ce   v e lo cit y   co n v er g to   ar b itra r y   s m all  v al u e.       ACK NO WL E D G E M E NT S   T h is   r esear ch   w as s u p p o r ted   b y   R e s ea r ch   Fo u n d atio n   f u n d ed   b y   T h ain g u y e n   U n i v er s it y   o f   T ec h n o lo g y .       RE F E R E NC E S   [1 ]   Ng .   P h .   Q u a n g ,   J. - A .   Ditt rich ;   V e c to C o n tr o o f   T h re e - P h a se   A M a c h in e   S y ste m   D e v e l o p m e n in   th e   P ra c ti c e ,”   2 n d   Ed it io n   2 0 1 5 ,   S p ri n g e Be rli n   He id e lb e rg .   [2 ]   Ja c e k   F .   G iera s,  Zb ig n ie w   J.  P iec h ,   Bro n islaw   T o m c z u k ,   L in e a S y n c h ro n o u M o to rs   T ra n sp o rta t io n   a n d   Au to m a ti o n   S y ste ms ,”   2 n d   E d it i o n .   CRC  p re ss ,   2 0 1 1 .   [3 ]   I. Bo ld e a L in e a El e c tric M a c h in e s,  Dr ive s,  a n d   M AGL EV s   Ha n d b o o k ,   CRC  p re ss ,   2 0 1 3 .   [4 ]   Da n iel  A u sd e ra u ,   Po lys o le n o i d     L in e a ra n trieb   mit  g e n u tete m S ta t o r ,   Zu rich .   P h D T h e ss is,   2 0 0 4 .   [5 ]   Hu il a L i,   X iao m in   L i,   Zh iy u a n   L i,   P e rf o rm a n c e   A s se ss m e n a n d   Co m p a riso n   o f   Tw o   Ty p e L i n e a M o t o rs  f o r   El e c tro m a g n e ti c   Ca tap u lt ,   T EL K OM NIKA  ( T e l e c o mm u n ica ti o n ,   C o mp u t in g ,   El e c tro n ics   a n d   C o n tr o l),   2 0 1 4   A p r. ,   1 2 ( 4 ):  2 5 0 6 - 2 5 1 5   [6 ]   Ya n g   Zeq in g ,   L iu   L ib in g ,   W a n g z u o ji e ,   Ch e n   Yi n g sh u ,   X ia o   Qu a n y a n g ,   S tatic  a n d   D y n a m i c   Ch a ra c teristic  S im u latio n   o f   F e e d   S y ste m   Dr iv e n   b y   L in e a M o to in   Hig h   S p e e d   C o m p u ter  Nu m e rica C o n tr o L a th e ,   T EL KOM NIKA  ( T e lec o mm u n ica t io n ,   Co mp u ti n g ,   El e c tro n ics   a n d   Co n tro l) 2 0 1 3   J u ly ,   1 1 (7 ) 3 6 7 3 - 3 6 8 3 .   [7 ]   Ay m e n   Lac h h e b ,   Ja lel  Kh e d iri ,   L il ia  El   Am r a o u i,   P e rf o rm a n c e A n a l y si o f   a   L in e a M o t o f o S li d i n g   Do o r   A p p li c a ti o n ,   I n ter n a t io n a l   J o u r n a o Po we r E lec tro n ics   a n d   Dr ive   S y ste m ( IJ PE DS ),   2 0 1 7   S e p . ,   8 ( 3 ):  1 1 3 9 - 1 1 4 6.   [8 ]   F a a     Je n g   L in ,   P o     H u n g   S h e n ,   A d a p ti v e   f u z z y - n e u ra l - n e tw o rk   c o n tro f o a   DS P - b a se d   p e rm a n e n m a g n e t   li n e a sy n c h ro n o u s m o to se rv o   d riv e ,   IEE T ra n sa c ti o n s o n   F u zz y   S y ste ms ,   2 0 0 6 ,   p p .   4 8 1   -   4 9 5 .   [9 ]   Ju   Ki  S e o k ,   Jo n g     Ku n   Lee ,   Do n g     Ch o o n   L e e ,   S e n so rles s   S p e e d   Co n tr o o f   No n sa li e n P e r m a n e n M a g n e S y n c h ro n o u M o t o Us in g   Ro t o   P o siti o n     T ra c k in g   P Co n tr o ll e r,   IEE T r a n s a c ti o n o n   In d u stri a l   El e c tro n ics ,   V o l .   5 3 ,   N o .   2 ,   p p . 3 9 9     4 0 5 ,   2 0 0 6 .   [1 0 ]   Yu a n     Ru Ch e n ,   Jie   W u ,   No b e rt  Ch e u n g   (2 0 0 4 ) ,   Ly a p u n o v ’s  S tab il it y   T h e o r y     Ba s e d   M o d e Re f e re n c e   A d a p ti v e   Co n tro f o P e rm a n e n M a g n e L in e a M o to Driv e s,”   Pro c   o Po we El e c tro n ics   S y ste ms   a n d   Ap p li c a ti o n ,   2 0 0 4 ,   p p .   2 6 0     2 6 6   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.