Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   11 ,  No.   1 ,  Febr uar y   2021 ,  pp.   300 ~ 318   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v11 i 1 . pp 300 - 318          300       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om   Des i gn o f a mode l   refer ence adapt ive PID  co nt rol   algorith m     for a t ank system       Yohan  Da rc y Mf ou m boul ou   Depa rte m ent of   El e ct ri ca l ,   Elec tr onic ,   and   Com pute r Engineering ,     Cape   Pen insula  Univer sit y   of   T e chnol og y ,   South  Afric a       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic l e hist or y:   Re cei ved   M a r 31,  2020   Re vised  Jun   2 0 ,   20 20   Accepte d  J ul  6 , 2020       Thi s  pape r  desc ribe s  the   design   of  an  ada pti v e   cont roller  base d  on  m odel   ref ere n ce   ad apt i ve  PID   cont rol  ( MRA PID C)   to  s ta biliz e  a  two - tank  proc ess  when  la rge   va ria ti ons  of  par amete rs  and  e xte rna l  disturbance s  aff e c t     the   c losed - loop   s y stem.  To  ac hi eve   tha t ,   a n  innova t ive   s truc tur e  of     the   ad apt iv e  PI D  cont roller  is  d efi ned ,   an  additi onal   PI  is  desig ned  to  m ake  sure  tha t  the   r efe ren ce   m odel  produc es  stabl e  output   signals   and  thre e  ad aptive  ga ins  are   in cl uded   to  guar an te e   stabi lit y   and   robustness  of     the   c losed - loop   s y stem.  The n ,   the   p erf orm an ce   of  the  m odel   r efe ren ce  ada pt ive   PID   cont roll e r  on  the   beha viour  of   the   cl osed - loo p  sy st em  is   compare d  to  a  PI  cont roll e r  designe d  on  MA TL AB  w h en  both     cl osed - loop  s y st ems   are   under   var ious  conditio ns.  The   result s  demons tra te  tha t  th e  MRA P IDC  per form s  signifi c ant l y   be t te r  tha n  th e  co nvent ion al     PI c ontroller .   Ke yw or d s :   Ad a ptive   Lineariza ti on   MIT   MR AP I DC     Nonlinea r     Param et ers     Stabil it y   Thi s is  an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Yoha n Darcy  Mfo um bo ulou,   Dep a rtem ent o f  Ele ct rical , El ect ronic an d  C om pu te r  E ng i ne erin g,   Ca pe  Pe nin s ul a Unive rs it y of Tech nolo gy,   Be ll vill e Ca m p us , P. O  B ox 75 30, So uth   A fr i ca.   Em a il : fab olou s8 6y o@ ya hoo.fr       1.   INTROD U CTIO N   Ad a ptive  c on tr ol  of   uncertai n  processes  has  beco m e  m or e  and   m or e  im po rtant  in  in du st r y.  Ad a ptive   con t ro ll ers  dif f er  from   or di na ry  on e s,  be cau se  th ei r  pa ram et ers  are  va ria ble,  an d  the re  is  a  m echan ism   fo r  adjustin g  th ese   par am et ers  on li ne  base d  on  s ign al s  in   the  s yst e m   [1 ] .  The   desig n  of  an   a dap ti ve   PI  co nt ro ll er  to  sta bili ze  a  m ass  da m per - s pr i ng   syst em   u nd e r  pa ram et er s’  uncertai nties   was  pro po se d  in   [2 ] .  Th e  des ign e d  adap ti ve  PI   c ontr oller  ad j ust s  to  par am et ers’  var ia ti ons,  a nd  the  outp ut  of   the  process  fol lows   the  set   points,   reg a rd le ss  of   t he  valu es  of  th e  par am et ers.   But  it   do es  not  gu a ran te e  sta bi li t y  wh en  e xtern al   dist urban c es  an d  la rg e  var ia ti o ns o f param et ers  occ ur.   In   [3 ] ,  t he  de s ign   of   a  PID  con t ro ll er  on  MATLAB  t o  m ai ntain  the  le vel  of  li qu i d  const ant  in    a  co up le d - ta nk  syst e m   (CTS)  was  pro posed .  T he  c on tr ol  par am et ers  we re  f ound  us i ng  the  tria l  a nd  erro r   m et ho dolo gy  and   t he  re su l ts  wer e  a na l yse d  in  M A TLAB/Si m ulink   en vir onm ents.  Propo rtiona l  (P ),   pro portion al   in te gr al   (PI),   pro portio nal  der iv at ive  (P D )  an d  pr op or ti onal   integ ral  der iv at ive  (PID )  co ntr ollers   wer e   ap plied   on  the   pr oces s  an d  t heir   pe rfor m ances  we re  c om par ed  t o  sel ect   t he  m os t  su i ta ble  con t ro l   so luti on.  T he  PI D  c ontr oller  sh owe d  supe r ior  res ults,  but   it   did   no t  gu a ran te e  sta bili ty   to  disturba nce s  and  var ia ti ons  of p l ant p a ram et ers.     A dap ti ve  c on trolle rs,   as  oppo s ed  to  c onven ti onal   co nst ant  gain  co nt ro ll ers  ( PID  c on t ro ll ers ),    are  v ery  e ff ect ive  in  ha nd li ng  sit uatio ns   w her e   the  var ia t ion s  of  par am et ers  an d  e nvir onm ental   chang es  are  ver y  f reque nt  with  the  ap plica ti on   of  m od el   ref ere nce  ad aptive  co ntr ol  schem e  in  a  fi rst  order   syst e m   [4 ] .  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 8 8 - 8708       Desig n of  a model ref erenc e  adapti ve PI D  c ontrol …  ( Y ohan  Darcy Mf oum boulou )   301   They  no ti ce d  that  the  new e r  adap ti ve  c on t r ol  sc hem es  cou ld  not  co pe  w it h  dr ast ic   cha ng e s  in  loads,   inerti as   and   f or ces ,  un pr e dicta ble  an d  s udde n  fa ults,  or  f reque nt,  or   unf or esee n  disturba nces.  Most  co nv e ntion al   P I D   con t ro ll ers  wit h  co ns ta nt  gai n  wer e  al s o  unable  to  co pe  with  these  pro blem s.  Fo r  this  r easo n,   the  a uthors  dev el op e d  a  c on t ro l  te c hn i que  t o  s olv e   the se  pro blem s  and  ad de d  a n  a dap ta ti on  gain   to  s how  t he  e f fects  on  the syst em  p erfor m ance.   An  ada ptive   c on t ro l  al gorith m   of   a  wate r  t ank  m od el   wa s  sim ulate d  in  [5 ] .  It  was  c oncl ud e d  th at ,  com par ed  t o  the  one  de gr ee  of   f ree do m   (1DOF)  al gorith m ,   the  two  de gr ees  of   f ree dom   a lgo rithm   (2DOF )   reduce d  the  c ontr ol  input  de m and s,  w hich  was  im po rtant  from   the  pr act ic al   po i nt  of  view.   B ut  the  2DOF  ha d  slow e r ou t pu t  r esp on se  co m par ed  to  t he 1DO F.   A  r obus t  op ti m a l  adap ti ve  con t ro l  strat e gy  was  de velo pe d  in  [ 6]  to  de a l  with  tracki ng  prob le m   of    a  qu a droto r  un m ann ed  ae rial   veh ic le   (UA V) .  T he  c on tr oller  has  a  pr om inent  abili ty   to  sta bili ze  nonlinear   dynam ic   sys tem  of   qu a droto r,   f or ce  the  sta te s  to  fo ll ow   de sired  re fe re nc e  sign al s,  an d  fin d  op ti m al   s olu ti on  for  the   trac king  pro blem   wit hout  c on t ro l  i nput  sat ur at i on.   The   pe rfo rm a nce  a naly sis  of  a  c onve ntio na l  PID  con t ro ll er  a nd   a  MR AC  w a s  done   in  [7 ] .   Cy li nd rical   ta nk  interact in g  a nd  no nin te racti ng  syst em s  we re  sel ect ed  as  pro cesses  to  be  c ontr olled.  T he  r esults  showe d  that  the  MR A C  has  bette r  overs hoot,  set tl ing   ti m e   and set - po i nt tr ackin g per form ance tha n  t he  c onve ntion al  PID c on t ro ll er.   The  de velo pme nt  of   direct  and   in direct  ada ptive  co ntr ol  m et ho ds   to  c ontr ol  the  powe r  in  a  TRI G A   MARK  II   reac tor  was  pro pos ed  in   [ 8].  T he  analy sis  showe d  that  t he  a dapt ive  al gorithm   offer s   over al l  bette r   resu lt s  t han  th e  fee db ac k  co ntr ol  al gorithm .  T he  a da ptive   al gorithm   reduced   the   set tl ing  ti m e  up   to   25%  of  the nom inal set tl ing  ti m e.   A  m od el   re fer e nce  a dap ti ve   c on t ro ll er w it ho ut  integ ral  (M RAC WI )  para m et er  for  po sit ion   c ontr ol  of  a  DC  Moto r  was  de sig ned   in  [ 9].  The  c ontr oller  pro du ced  bette r  pe r form ance  in  te rm s  of   set tl ing   tim e,   per ce ntage  ov e rsho ot  and   m e an  square  e rror  as  com par ed  wit h  PID  co ntr oller,  sta ndar d  MR AC  and   M RAC   with  a  sigm a  m od ific at ion .  A  draw bac k  of   this  al gorithm   is  that  it s  per f or m ance  to  va r ia ti on s  of  pa ra m et ers   and exte rn al   di sturbance s is  unkn own.   A  c om par iso n  of  t he  ti m e  s pecifica ti on  pe rfor m ance  bet ween  a  c onve nti on al   PID   c on t ro ll er   an d    a  m od er n  sli di ng   m od e  co nt ro ll er  ( SMC )   for  a  no nline ar  in ver te d  pe ndulu m   syst e m   was  done  i n  [ 10] .     The  pe rfor m ances  of  both  con t ro l  strat eg ie s  wer e  asse ssed  to  see  wh ic h  one  ha d  bette r  ha ndli ng   of   pend ulu m ’s  an gle  a nd  cart’ s   posit i on.  T he   overall   res ults  of  t he  a naly sis  sho wed  th at   the  sli di ng  m od e  con t ro ll er  ha d  faster  risin g  ti m e,  bette r  set tl ing   ti m e  and   a   m uch   bette r  pe rcen ta ge  of   overs hoot  c om par ed  t o  the  conve ntional   PI D.   Both  c on t ro ll ers  di d  no t  ha ve  any  s te ady  sta te   err or s .  Since  the  inv e rted  pe ndul um  is    a  highly   nonl inear  syst em ,   this  researc h  sho wed   t w o  draw bac ks .   The  a uthors  did   no t  in ve sti gate     the  perform ance  of   the  co nt ro ll ers  wh e n  e xter nal  disturb ances  an d  va ri at ion s  of  pa ra m et ers  occu r .  These  stud ie s  w ou l d hav e  m ade  the  inv est igati on  m or e reali sti c.    Adva nced   P ID  are  al so   us ed  in  the  m edical  sect or ,  [ 11 ]   propose d  a  fr act ion al   orde r  PID   con tr olle r   and  a n  intege r  order  P ID  c on t ro ll er for  s upre ssing  e pilepti c act ivit ie s.  Both co ntr ollers show e d  great  r es ults to   sta bili ze   the  patie nt,  bu t  the   fr act io nal  ord er  PID  co ntr ol le r  is  m or e  su i ta ble  for  i m ple m entat ion   in  FPGA  because   it   us e s  le ss  flip - fl ops.  U nfor t un at el y,  the  stu dy  did  not  ta ke   in  c on si der at i on  sud den  ab norm al   act ivit ie s  of   t he   brai n  cel ls  t o  e valuate  t he   tim e  res pons e   ta ken  by  the  con t ro ll er   to  s ta bili ze  the  pa ti ent.     This st ud y i s c r ucial  to bri ng the  patie nt  back to a  good  heal th con diti on in t he  s hortest  ti m e p os si ble.   In   [ 12 ] ,  a  nove l  data - dri ve n  si gm oid - base d  P I  co ntr oller  wa s  desi gn e d  to   track  t he  a ngul ar  ve l ocity   of  dc   m oto r  power e d  by  a   dc/ dc  bu c k  co nve rter.  The   res ult s  of  t he  in vesti gations  s howe d  that   the  data - dr i ven  sigm oid - base d  PI,  wh ic h  is   tun e d  us i ng  glo bal   sim ultaneou s   per t urbati on  stoc hastic   appr ox im at ion ,  yi el ds    a  bette r  angula r  velocit y  trackin g   as  com par ed  to  c onve ntion al   P I  an d  PI - Fuzz y.  A  dra wb ac k  of  this  stud y  is  that, the  pe rform ance of th e  si gm oid - base d  c on t ro ll er  was  not eval uated  fo r dist urba nce rejecti on.    In   [13],  the  perform ance  of   th e  fr act io nal  order   pro portiona l - integr al - de ri vative  (FOP I D )  co ntr ollers   desig ne d  by  usi ng   arti fici al   be e  colon y  ( AB C)  for  fr act io na l  or de rs  syst em s   is  co m par ed  to  co nv e ntio nal  PI D   con t ro ll er  op ti m iz ed  by  the  ABC  colo ny  al gorithm .  The  resu lt s  of  the  s i m ulati on s  sho wed   t hat  the  F OP I D  con t ro ll ers had  sign ific a ntly  b et te r  per f orm a nce co m par ed  t o  the con ven ti on al  P ID  c on t r ollers. Un fortu natel y,  there  was n o  st ud y m ade to   ev al uate the  perf or m ance of the  contr oller whe n dist urba nces  occur.   An  a da ptive  sa fe  ex per im entat ion   dy nam ic s  (A S ED )  f or  da ta   dr ive n  neur oend ocr i ne - P I D  co ntr ol  of  MIM O  Syst em s   was  desig ned   in  [ 14] .  The  pe rfor m ance  of  the  A SED   ba sed  m et hod  was  co m par ed  to     the  sta nda rd  sa fe  e xp e rim enta ti on   dynam ic s  (S E D)  an d  sim ultaneo us  pe rt urbati on  st ochast ic   appr ox im at ion  (S PS A )  based  m et ho ds.  T he  r esults  of  t he   si m ula ti on s  s howed  that  t he  A SED  an d  SED  base d  m et ho ds  ha ve  su ccess fu ll y  sol ved   the  unsta bl e  con ve r gen ce   issue  in  the  existi ng   neur oendo c rine - P ID   ba sed  sta ndar d  SP S A .   More ov e r,   the   pr ese nted  A S ED  base d  al gorithm   ou tper f or m s  the  SED   and   the  SPS A  base d  m e th od s  i n    the p er sp ect ive  o f  the c ontrol  perform ance accur acy  in  te r m s  o f  lowe r object ive fu nctio n,  total  nor m  error  a nd   total   no rm   inp ut.  A  draw bac k  of   this  resea r ch  is  that,  the  auth or s  did   not   per f or m   plant’ s  par am et ers  c hanges   to  see  t he  i nf lu ence  of  the   ad aptive  gain   of  the  A SE D  c ontrolle r.  The   re s earch   ga p  an d  m erit   of   t he  a da ptiv e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    300   -   318   302   PI D  c ontrolle r   dev el ope d  in  this  pap e r  co m par ed  to  the  oth er  a dv a nc ed  PID  co ntr ol le rs  rev ie we d  is  that,    the  pro posed  con t ro ll er  ca n  sta bili ze  the  cl os ed - lo op   sy stem   wh en  va r ia ti on s  of   para m et ers  and   s udde n  rand om  d ist ur ba nces  occ ur   sim ul ta neo usl y.  None o f  the  r e viewe d pap e rs exp l or e d  t his s cenari o.   The  m ai n  co ntributi on  of  this   pa per   is  t hat  it   pr e sents  t he  de sign   of  a  m odel   ref e ren ce   ad aptive  P I D   con t ro ll er  (MRAPIDC)  base d  o n  t he  MIT  a ppr oac h  to  sta bi li ze  and   opti m i ze  the  li near iz e d  m od el   of   the  two - ta nk   li qu i d  le ve l  pr oces s  aff e ct ed  by  su dde n  changes  of  pa ram et ers  and   input  distu rb a nc e.  The n,   a  refe ren ce   m od el   is  de ve lop e d  base d  on  c on t ro l  t he ory ,  a nd  a  PI   regulat or  is  de sig ne d  on  M ATL AB  to   co ntr ol    the  re fer e nce  m od el .  The  de sign e d  P I  c on t ro ll er  is  a   no ve l  idea  to  a dd  sta bili ty   to  the  outp ut  sig na ls  of    the  ref e ren ce  m od el ,  hen ce  m aking   the  a da ptive  al gorith m   m or e  ro bust .   Anothe r  no ve lt y  of   this  research   is  the  incl us io n  of  th ree  ne w  a da ptive  gains   in   the  final  st ru c ture  of  the   MR AP I DC  t o  m ake  th e  cl os e d - loop  syst e m   ro bust  wh e n  la r ge  va riat ion s  of   pa r a m et ers  and   s udde n  e xtern al   disturba nces  occur  sim ultaneousl y.   The  co ntr oller  keeps  the  per c entage  of  over sh oot  of  the  cl os e d - l oo p  syst e m   below   10%   and   it s  recove ry  tim e   to  s udde n  var i at ion s  of  pa ra m et ers  is  lowe r  tha n  5  s eco nds,   w hich   is  a  huge  a dvanta ge   com par ed   to  the  ot he r   adap ti ve   co ntr ollers  re viewe d.   Anothe r  a dvanta ge  of   thi s  ada ptive  al gorithm   is  that  real - ti m e  tun ing   of     the  three   ada pt ive  gai ns   ca n  be  done  to   im pro ve  the  perf or m ance  of  th e  cl os ed - lo op  syst e m .  Fu rthe rm or e,    the  perf or m ance  of   the  MR AP I DC  is  co m par ed  to  a  cl assic   PI   co nt ro ll er  de sig ne d  on  MAT LA B  for     the  li near iz e d  m od el   of   the   two - ta nk  syst em .  The  adap ti ve   c on tr ol  al gorithm s,  PI   c ontr ol  al gorith m   and     the m od el s of t he  cl ose d - lo op  syst e m s ar e sim ula te d  in M A TLAB/Si m ulink .   The  outl ine  of   this  pap e r  is  as  fo ll ows:  the  m od el li ng   and  si m ulati on   of   the  process  is  pro po se d  i n  sect ion   2.  Sect ion   3  disc us se s  the  de sig n  of  a  MR AP ID C  base d  on  m od el   ref ere nce  th eor y.  T he  sim ulati on  resu lt s a re sh own  in  s ect ion 4 . S ect io n 5 dra ws  th e c on cl usi on .         2.   MO DELIN G  AND SIM UL ATIO N  O F T HE TWO - TA NK SY STE M   In   this  pa per,  a  two - ta nk  li quid  le vel  syst em   is   sel ect ed  as  a  plant  to  be  c on tr olled,  be cause  it   is    a  nonlinear  in her e ntly   un sta ble  syst e m .  The  syst e m   is   m ade  of   tw o - ta nk  m ou nted  ab ove  a  reservo ir ,   wh ic h  has  the  f un ct i on  of  a  stora ge  el e m ent  fo r  li quid.  T he  syst em   has  an  ind e pende nt  pu m p  to  pu m p  li qu id   fr om   the  reserv oir  to   the  ta nk s.  T he   two - ta nk s  a re  interact ing,  w hi ch  m eans  that  the  li qu id  m ov es  fr om   on e  ta nk   to   the o the r.   Whe n  tw o  ta nks ar e  stat e d epe nd e nt,  the inte racti on   of  li qu i d  be tween th e ta nks ex hi bits a no nlinea r   beh a viou r  [ 15] . T he  sim plified   blo c k diag ra m  o f  the  pro ce ss is s how n  in   Figure  1.           Figure  1. Bl oc k diag ram  o f  a  two - ta nk li quid  level p r ocess       The param et ers  of the  tw o - ta nk li qu i d  le vel  syst e m  are  the  fo ll owin g:   ℎ 1   = le vel of li qui d  in  tan k 1 in     ℎ 2   = le vel of li qui d  in  tan k 2 in       1   =   cr os s secti on al  area  of  ta nk  1  in    2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 8 8 - 8708       Desig n of  a model ref erenc e  adapti ve PI D  c ontrol …  ( Y ohan  Darcy Mf oum boulou )   303   2   = cr os s secti on al  area  of  ta nk  2  in    2   1   = cr os s secti on al  area  of  t he o utlet  p ipe  in  ta nk 1 in   2   2   = cr os s secti on al  area  of  t he o utlet  p ipe  in  ta nk 2 in   2      = flow  r at e of l iqu id  into  tan k 1   2 /       = flow  rate o f  l iqu id  out  of tan k 2   2 /    1   = v al ve  r at io  of  ou tl et  p i pe of  tank 1   2   = v al ve  r at io  of the  outl et  p ip e of tan k 2   g   = gravit at ion al   force   k   =   pu m p  gai n   u  ( t)   =   input  vo lt a ge  to  the  pum p   The  no nlinear   equ at io ns   of  the  two - ta nk   li qu id  syst em   m od el   can  be  de rive d  by  ap plyi ng     the Ber noulli ’s  law  of co ns e rvat ion   of m ass [ 15 ] :       (1)     The n on li nea r dynam ic  eq uations d erive d fro m   ta nk   1  a re:       (2)       (in put flo w )       (3 )       The   dynam ic  eq uatio ns de rive d from  tank  2 a re:       (4 )       (5)     At  eq uili br ium   for  a  c on ti nu ous  li quid  le vel  set - point,  t he  de rivati ve  of   t he   li qu id  le vels  in  the  ta nks   m us t  be  zero   ( ).   In   the  sce na rio  w he n:  ;  t he  syst e m   is  s ta te   deco uple d.  Ther e f or e,     to  sat isfy  the   c onditi ons  of   t he   sim ulatio n  of  the  li quid   le ve l  syst e m :  ,    t he   le vel  of   li qui d  in   ta nk  1  m us t be b ig ger than  this  of ta nk 2.   The  sta te  s pace  r e pr ese ntati on of the  no nline ar s yst em  is the foll ow i ng :       (6 )       (7)     The n:     ) ( 0 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 t u A k t gh A a t h g A a t h g A a dt t dh dt t dh   (8 )     o u t in Q Q dt dh A ) ( 2 ) ( 1 1 1 1 1 t gh a Q dt t dh A in in Q t u ) ( ) ( 2 ) ( [ 1 ) ( 1 1 1 1 1 t gh a t ku A dt t dh ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 1 1 1 2 2 t gh a t gh a dt t dh A ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 1 2 1 1 2 t gh A a t gh A a dt t dh 0 2 . 1 . h h 2 1 h h 2 1 h h ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 t gh a t gh a A t h a t ku A dt t dh dt t dh T T h h h h C y 2 1 2 1 1 0 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    300   -   318   304       The param et ers  of the  tw o - ta nk pr ocess  a re  giv e n  in  Ta ble  1.       Table  1.   Value s of the  p a ram e te rs  of t he pr oc ess   Para m eters   Valu es     75     1 .5     1 .53 1 5 1 9 5     0 .68 2 0 0 4 3     981     3 0 .00 2 4       The  ne xt  sect ion   is  to  der i ve  a  li near iz ed  m od el   of  the  nonl inear  ta nk   pro cess  to  find   a n  accurate  eq uiva le nce   of both  m od el s.     2.1.   Li neariz ati on o f the  nonl inear m od el  of the  two - t ank pr ocess   The  li near iz at ion   of   the  tw o - ta nk   li quid  syst e m   is   per f orm ed  around  it s  op e rati ng   po ints,  an d  to   achieve  that,  only   the  l inear  te rm s   of   the  T ay lor  series  ex pansi on  of   t he   nonlinear  m od el   are  co ns id ered.     In  ( 7) an d (8) a re c on si der e d  t o  li nea rize t he nonli nea r  m odel  o f  the syste m .   Let  d efi ne  t he st at e v aria bles  of the syst em :     ℎ 1 = 1 =   le vel of li quid   in tan k 1.      ℎ 2 = 2 =   le vel of li quid   in tan k 2.     By  su bs ti tuti ng   ℎ 1   an d  ℎ 2 , by  1   and  2   in (7) an d ( 8) ,  it  is obtai ned :     [ . 1 . 2 ] = [ − 1 1 1 √ 2 1 1 1 2 √ 2 1 − 2 2 2 √ 2 2 ] + [ 1 0 ]   (9 )     = [ 1 2 ] = [ 0 1 ] [ 1 2 ]   (10)     The (9 )  a nd (1 0) can  b e  expre ssed by the  sta nd a r d nonli nea r  m od el :     . = ( ) + ( ) = [ 1 ( ) 2 ( ) ] + [ 1 ( ) 2 ( ) ]   (11)     = ( )   (12)     w he re:  ( ) ,  ( )   and  ( )   are the  no nlinea r vect or fu nctions o f  t he  sta te  v ect or.   The  li near iz at ion   of   the  nonlinea r  m od e l  is  per f or m ed  acco rd i ng  to  Tay lor  se ri es  m et ho d.     The  li near iz e d  m od el   is  d e riv ed  base d  of  t he   no nlinear   f unct ions  1   , 2 ,  1   an d  2   .  F or  t he  case   of  t he  t wo - ta nk   syst e m , th e non li nea r fun ct ion s a re:     1 = − 1 1 1 √ 2 1 ,     1 = 1   (13)     2 = 1 1 2 √ 2 1 − 2 2 2 √ 2 2 ,   2 = 0   (14)       The deri vative s of the  f ir st f unct ion   1   accor di ng to  t he  tw o s ta te s   1 ,  2   and the  con t ro l i nput   :     1 ( 1 ) = 1 [ − 1 1 1 √ 2 1 ]   T T h h h h C y 2 1 2 1 1 0 ) ( , 2 2 1 cm A A ) ( , 2 1 2 cm a a 1 2 ) s ec ( 2 cm g k Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 8 8 - 8708       Desig n of  a model ref erenc e  adapti ve PI D  c ontrol …  ( Y ohan  Darcy Mf oum boulou )   305   1 ( 1 ) = − 1 1 1 √ 2 1   (15)     The n:     2 ( 1 ) = 2 [ − 1 1 1 √ 2 1 ]   2 ( 1 ) = 0   (16)     The deri vative  accor ding t o    is:      ( 1 ) = 0   (17)       Der i vatives  of  the sec ond fun ct ion   2   acco rd i ng to  the t wo sta te s ar e:     1 ( 2 ) = 1 [ 1 1 2 √ 2 1 ]   1 ( 2 ) = 1 1 2 √ 2 1   (18)       2 ( 2 ) = 2 [ 1 1 2 √ 2 1 − 2 2 2 √ 2 2 ]   2 ( 2 ) = − 2 2 2 √ 2 2   (19)     The  te rm s o f  th e co ntr ol m at ri x  B ca n  al s o be  foun d  wit h  the  sam e p ro ce dur e:     Der i vative  of   1   per the t wo stat es:     1 ( 1 ) = 1 [ 1 ]   1 ( 1 ) = 0   (20)     Fo r   2 :     2 ( 1 ) = 2 [ 1 ]   2 ( 1 ) = 0   (21)       Der i vative  of   2   accor ding t o  th e two st at es:     1 ( 2 ) = 0   (22)     2 ( 2 ) = 0   (23)     Af te r   al l  the  li near iz e d   ex pre ssion s   of  the  s yst e m   are  done ,  the  li nea rized  sta te   sp ace   r epr ese ntati on  of the t wo - ta nk  pro ces s is:     [ . 1 . 2 ] = [ − 1 1 1 √ 2 1 0 1 1 2 √ 2 1 ( − 2 2 2 √ 2 2 ) ] [ 1 2 ] + [ 1 0 ]   (24)   = [ 0 1 ] [ 1 2 ]     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    300   -   318   306   w he re  the  coe f fici ents  of   the  m at rices  def in ed  in  (24 )  are  cal culat ed  for  the  equ il ib riu m   values  of   th e  sta te  var ia bles  giv e n  by  ( 6)  an d  ( 7).   At  eq uili bri um   fo r  co ntin uous   li quid  le vel  set - point,  t he  de rivati ve  m us t  be  zero   ( ℎ 1 ̇ = ℎ 2 ̇ = 0 ).   In   t he   scena rio  w he n:  ℎ 1 = ℎ 2 ,  the  syst e m   is  sta te   deco uple d.  T her e f or e ,  to  sat isfy    the  co nd it io ns   of   the  sim ulati on   of   t he  li qu i d  le vel  syst em :   ℎ 1 > ℎ 2 .   The  m od el   de fine d  by  ( 6)   a nd   (7)  will   be   us e d  to  d e velo p  the  ad a ptive   con t ro l al gorithm .       3.   DESIG N OF  A MO DEL - R EFE REN CE  ADAPTI VE P ID - CONTR O LL ER   The  Ma ssach use tt s  In sti tute  of   Tech no l og y  ( MIT)  r ule  is  a  gr a dient  r ule.  I t  was  der ive d  at   MIT  in  it s   instru m entat ion   la borato ry,  hen ce  it s  nam e.  The  MIT  r ule  is  the  or iginal  ap proac h  to  m od el   re fer e nce   adap ti ve   c on t r ol  (MR AC)  [ 15,   16] .    T o  give   a  represe ntati on  of  the  M IT  ru le ,   le t  co ns i de r    as  a n  ad ju sta ble   par am et er  of  a  co ntr oller.   T he  desire d  cl ose d - l oop  res po ns e  of  the   ou t pu t   is   ;  and  t he  e rror  betw een    the  outp ut    of  the  cl os e d - l oop  syst em   an d  the  outp ut    of   t he  re frer ence  m od el   is  ε.  I n  the  pa pe r,    the  desire d  out pu t     is  pro pos ed   to   be   deter m ined  by  a   re fer e nce   m od el   ou t pu t.   T o  de fine   the   MIT   r ule,     le t con si der  t he  foll ow i ng loss  fun ct io n [17]:     ( ) = 1 2 2   (25)     It  is  necessary  to  determ ine  at  ever y  m o m ent  of   tim e  the  par am et ers  of   the  con tr oller  in  su c h  a  way  that  the  functi on  ( )   is m i nim iz ed.   The  MIT  f undam ental   app r oa ch  co ns ist s  of   adjustin g  the  par am et ers  of   the  cl os e d - l oop  syst e m   su ch  that  the   los s  f un ct io n  descr i bed  in   (25 )  is   m ini m iz ed.   To   m ini m iz e  the  functi on   ( ) ,  a   re al ist ic   appro ac h  wou ld  b e  to  c ha ng e  the  pa ram et ers  of t he  sys tem  in  the  dire ct ion   of the  ne gative  gr a dient  of   :       = −   = −  (   )   (26)     w he re:    is  an  adap ta ti on  ga in;   and   (   )   is  the  sen sit ivit y  der ivati ve  f unct ion   of   the  syst e m   towar ds   it s  ti m e - var yi ng  par am et ers.     re pr es e nts in  this case ,  the tim e v aryi ng p a ram et ers  of the c ontrolle r.   In  ( 26)  is  the  MIT  ru le .  The  sensiti vity   der ivati ve  ex pr e ss es  how  the  a dju sta ble  pa ram e te rs  influ e nc e   the  erro r.   I n  gen e ral,  it   is  assum ed  that  the  p a ram et er   changes  a re  slow e r  tha n  the  ot her   var ia bles  of     the  syst e m .  Hen ce,  the  se ns it ivit y  der ivati ve  (   )   can  be  e valuat ed  by  ass um ing   that  the  a dju s ta ble  par am et er     is  c on sta nt.   T o  s umm arize,  the  f ollo wing  ste ps   ca n  be   use d  t o  desig n  an  a da pt ive  c ontr oller  based  on     the MIT  rule:     Def i ne  the  co e ff ic ie nts  of the   trans fer   f un ct io n of a  plant  with  unknow n par a m et ers.     Choose a  r e fere nce m od el .     Choose a  contr ol alg or it hm  to  achieve  per fec t  m od el  trac king.     Def i ne  the  er ror of  t he  cl ose d - loop syst em .     Der i ve  the  exp ressio ns   of the   con t ro l  par am et ers.     Apply t he ne ga ti ve  gradie nt of      to f i nd the  up dating  pa ram eter s.     3.1.     De termina tio n of the  tr an sf er fu nctio n c oe ff ic ie nt s  for  t he li neariz ed  mod el   The  sta te  s pace  r e pr ese ntati on of the  tan k pro cess is re prese nted  a s  giv e n  i n (24) :      [ . 1 . 2 ] = [ − 1 1 1 √ 2 1 0 1 1 2 √ 2 1 ( − 2 2 2 √ 2 2 ) ] [ 1 2 ] + [ 1 0 ]          = [ 0 1 ] [ 1 2 ]     To  m ake m at h e m at ic al  calc ul at ion s m uch  si m pler,  ( 24)  is re wr it te n  as:     [ ̇ 1 ̇ 2 ] = [ 11 0 21 22 ] [ 1 2 ] + [ 1 0 ]   = [ 0 1 ] [ 1 2 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 8 8 - 8708       Desig n of  a model ref erenc e  adapti ve PI D  c ontrol …  ( Y ohan  Darcy Mf oum boulou )   307   w he re:     11 = − 1 1 1 √ 2 1 ;   21 = 1 1 2 √ 2 1 ;  22 = − 2 2 2 √ 2 2     The  m at rices o f  th e  stat e sp ac e m od el  can be  r e pr ese nted  as :     = [ 11 0 21 22 ]   ;   = [ 1 0 ] ;   = [ 0 1 ] ; and  = 0 .     To  tra nsfo rm   the  sta te   s pac e  m od el   of  th e  li near iz ed   s yst e m   to  trans fer   f un ct io n,  the  fo ll owin g  form ula is app l ie d  [ 18] :      ( ) = ( ) ( ) = (  − ) − 1 +     w he re  I   is t he  i den ti ty  m at rix,  an d:      = [ 0 0 ]     The  cal c ulati on   of the tra nsfe r  f unct ion o f  t he  li near iz ed  m od el  is  the  fo ll ow i ng :      ( ) = [ 0 1 ] × ( [ 0 0 ] − [ 11 0 21 22 ] ) − 1 × [ 1 0 ]      ( ) = [ 0 1 ] × ( [ ( − 11 ) 0 − 21 ( − 22 ) ] ) − 1 × [ 1 0 ]     The n:      ( ) = [ 0 1 ] × [  [ ( − 11 ) 0 − 21 ( − 22 ] | ( − 11 ) 0 − 21 ( − 22 ) | ] × [ 1 0 ]      ( ) = [ 0 1 ] × [       [ ( − 22 ) 0 21 ( − 11 ) ] [ 2 + ( − 11 − 22 ) + 11 22 ] ]       × [ 1 0 ]      ( ) = [ 0 1 ] × [               [ ( − 22 ) × ( 1 ) 21 ( 1 ) ] [ 2 + ( − 11 − 22 ) + 11 22 ] ]                    ( ) = [ ( ) × ( − 22 ) × ( 1 ) + ( 1 ) × 21 ( 1 ) [ 2 + ( − 11 − 22 ) + 11 22 ] ]     The final   repre sentat ion o f  t he  tran s fer f unct ion   of the  li nea rized m od el  is:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    300   -   318   308    ( ) = 21 ( 1 ) 2 + ( − 11 − 22 ) + 11 22     The  desi gn   of  the  m od e l  refe ren ce  a dap ti ve   PI D  co ntr oller  to  sta bili ze  the  dev el op e d  li near iz ed  m od el   is  descr i bed in t he  n e xt secti on.     3.2.   P roced ure  to   design  t he  mo del - referen ce  adapt i ve  PID - cont rolle r  (MRA P ID C)   f or   th e  li neariz e d   mod el   of the t w o - t ank li qui d level s ystem   To  m ak e  the  der i vation  of  the  ada ptive  P ID   c ontrolle r  m uch   si m pler  m at he m at ic a lly,  the  final   expressi on of t he  tra nsfer  f unct ion   of the li ne arized m od el   is sim plifie d  as :   ( ) = 3 0 2 + 1 + 2     w he re:      ( ) = ( ) ;   0 = 1 ;  1 = ( − 11 − 22 ) ;  2 = 11 22    3 = 21 ( 1 )     The param et ers  of the  n e w  t r ansf e r funct io n are  def i ned as:     1 = 1 1 ,  2 = 2 2   and   3 = 3 3 .      1 ,  2   and  3   are the  vary ing pa ram eter s; an d  1 ,  2   and   3     are t he fixe d param et ers  of t he pr ocess .     3.2.1.  Desi gn   of the desi re d linear re ferenc e mo del    The  li near iz e d  m od el   of   the  t ank   syst em   is   of   a  sec ond  or der.  The refo re,   the  li near   re fe ren ce  m od el   can  be desig ne d  as  a ty pical  s econd  orde r  tra ns fe r funct io n as f ollows:   Fr om  the  desig n  s pecifica ti on s,  the  v al ues of t he do m inant  po le s  can  b e  obtai ned as  fo ll ow s:     ( ) = 2 2 + 2  + 2 = ( )  ( )   (27)     w he re:  ( )   is  the   t ran s fer  f unct io n  of  the   re fer e nce  m od el ,     is  the outp ut o f   th e  re fer e nce  m od el   a nd     is   it s input.   The n  the  outp ut  o f  the   ref e re nc e m od el  is:     ( ) = 2 2 + 2 + 2  ( )   (28)     To  gua ran te e  t he  sta bili ty   of   the  cl os e d - lo op  syst em ,  the  ref ere nce  m od el   m us t  m ee t  the  fo ll owin g  desig n  c har act erist ic s:     Perce ntage of   Ov e rs hoot  (P O ): 8 %     Sett li ng  ti m e : 2  sec onds     T   im e d el ay : 0  seco nd     Stea dy stat e er ror: 0     Fr om  the  desig n  s pecifica ti on s,  the  v al ues of t he do m inant  po le s  can  b e  obtai ned as  fo ll ow s  [1 9,   20] :     The dam pin g r at io for  a   pe rce ntage o f ov e rs hoot  (P O ) o f 8 % is:     = √ (   10 0 % ) 2 2 + (   10 0 % ) 2         = √  ( 0 . 08 ) 2 2 +  ( 0 . 08 ) 2 = 0 . 63       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 8 8 - 8708       Desig n of  a model ref erenc e  adapti ve PI D  c ontrol …  ( Y ohan  Darcy Mf oum boulou )   309   The p hase a ng l e of the  dom inant poles is:     =  − 1 ( ) =  − 1 ( 0 . 63 )     = 50 . 9 5 ∘     The val ues  of t he real  and im a gin a ry poles a r e cal cula te d  as   fo ll ow:      ( ) = − 4 = − 4 2 = − 2      ( ) =  ( ) ×  ( ) = − 2  ( 50 . 9 5 ∘ )    ( ) = − 2 . 46     The val ue  of t he  f irst  dom inant p ole is:     1 =  ( ) +  ( )     1 = − 2 − 2 . 46     T h e   n a t u r a l   f r e q u e n c y   o f   t h e   r e f e r e n c e   m o d e l   i s   f o u n d   b a s e d   o n   t h e   p o l y n o m i a l   o f   t h e   d o m i n a n t   p o l e s :      ( ) = ( + 2 + 2 . 46 ) ( + 2 − 2 . 46 )      ( ) = 2 + 4 + 10 . 0516     = √ 10 . 0516 = 3 . 17  /     The desire d  cl os e d - lo op tra nsfer  f un ct io n of   the r e fer e nce  m od el  is:     ( ) = 10 . 0516 2 + 4 + 10 . 0516     To  e ns ure  sta bi li t y  and   rob ust ness  of  the   cl os e d - lo op  syst e m   wh e n  la r ge   var ia ti ons  of   par am et ers  occur,  a  pr oport ion al   i ntegral   (PI)  c ontr oller  is  desig ned  on  MATL AB  for  the   re fer e nc e  m od el   R(s )   us in g    the  pro gr am m i ng  c omm and   li ne     ( , )   [21,   22 ] .   The   pa ram et ers    an d    are   t unne d  to   fin d  t heir   op ti m al   values.   This  ad diti on al   P I  has  al so   the  abili ty   to  gu ara nte e  sta bili ty   wh en  sud den   e xt ern al   disturba nces a f fecti ng  the t wo - ta nk  process  oc cur. T he para m et ers  of the  P I  c on tr oller a re :     = 0 . 001   an d  = 4     The  tra nsfer  fu nction o f  t he  P I  c on tr oller is  the  fo ll owin g:      ( ) = + = 0 . 001 + 4     3.2.2.  Sele ctio n of the c ontr ol a l go ri th m  t o achieve  per f ect m od el   tra c king   To  achie ve  pe rf ect   m od el   trackin g,   the  fol lowing  pro po rtion al   inte gr al   der ivati ve   (PID )  co ntr ol   al gorithm  is sele ct ed  f or  t he p ro ces s as:     ( ) = ( ) + ∫ ( )  − ̇ ( )   (29)     w he re:    is  the  pro portion al   ga in;    is  the  i ntegr al   gain;    is  the  de rivati ve   gain;    is  the  plant  outp ut;     and  ( ) =  ( ) − ( ) , w it h   ( )   as t he  in put o f  t he refe ren ce  m od el .   The rep rese nta ti on   of the  PID  contr oller in  L aplace  dom ai n  is:     ( ) = ( ) + 1 ( ) − ( )   (30)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.