Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   9 , No .   5 ,  Octo ber   201 9 , pp.  3772~3 778   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v9 i 5 . pp3772 - 37 78          3772       Journ al h om e page :  http: // ia es core .c om/ journa ls /i ndex. ph p/IJECE   Projectil e - t arget  s earch  a lgorithm:  a  s tocha stic  m eta heuristi c  o ptim iza tion  t ec h niq ue       Ayong  Hiendr o     Depa rtment  o f  E le c tri c al E ngin eering,   Ta n jungpur a  Univer si t y ,   Ind onesia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   Ja n 1 5 , 2 01 9   Re vised  Ma r 3 0 ,   201 9   Accepte d  Apr 9 , 2 01 9       Thi s  pape r  prop oses  a  new  stocha stic   m etahe uri stic   opti m izati o n  al gorit h m   which  is  b ase d  o n  kine m atics  of  proje c ti l e  m oti o n  and  ca l le d  pro j ec t il e - ta rg et  sea rch   (PTS)  al gorit hm .   The   PTS   al gorit hm   emplo y s  the   enve lop e  of  proje c ti l e  tr ajec t or y   to  f ind  th e  t arg et  in  the  sea r ch  spac e.  It   has   2  t y p es  of   cont rol  p ara m eters.  Th e  f irst  t y pe   is  set   to   give   th e  poss ib il ity   of  th e   al gorit hm   to  acc el er at e  conve rge nce   proc ess,  wh il e  th e  othe r  t y p e  is  set  to  enha nc e  th e  po ss ibi li t y   to  g en era t e   new  be tt e r  proje c ti l es  for   sea rch ing   proc ess.  How ev er,   both  are   r es ponsible   to  f ind   bet t er  fit n ess  val ues  in  the   sea rch   spa ce.  In   orde r  to  p erf or m   it s  ca pab il i t y   to  deal  with  g lo bal   opt imum  proble m s,  th e  P TS  al gor it hm   is e val u at ed   on  six  well - known be nchm ark s a nd  the ir  shif te d  fu nct ions  with  1 00  dimensions.  Optimiza t ion  result s  hav e   demons tra te d  th at   th e  PTS   al gor it m   offe rs  ver y   good  per form an ce s  and  it   i s   ver y   compet it iv e   compare d   to oth er  m et ah eur ist ic  al gorit hm s.    Ke yw or d s :   Algorithm   Global  opti m um   Me t aheu risti c    Op ti m iz ation  t echn i qu e     Pr oject il e m oti on   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ayo ng H ie ndr o,     Dep a rtem ent o f  Ele ct rical  E nginee rin g,   Tan j un gpur a  Unive rsity ,   Jen der al   Ah m ad Yani   Street , Po ntianak ,   West  Kalim antan , I ndonesi a.   Em a il :  ay on g.h ie ndro@ee. un t an. ac.i d       1.   INTROD U CTION     Op ti m iz ation   te chn iq ues ,  es pecial ly   stoch ast ic   natur e - i ns pi red  m et ah eur ist ic   al gori thm s  hav e  beco m e  the  im portant  a nd  popu la r  to ols  to   de al   with  c om pl ex  high  dim ension al   global  op tim iz at ion   pro blem s  in  m any  real - lif e  ap plica ti on s .  The  global  optim iz at ion   prob le m s  can  be   m ultim od al   with  a  huge  num ber   of  local   op ti m a  a nd   non - dif fere ntiable   w hich  cannot  be  s olv ed  by  us in g  tradit ion al   nu m erical   op tim i z at ion   m et ho ds   [1 ] .  Ther e f or e,   m a ny  m et aheu risti c  op ti m iz at io n  al gorithm s  hav e  bee n  propose d  to  al l eviat e     the pr ob le m s .   The  nat ur e  of  a  stochastic   m et aheu risti c  op ti m iz ation   al gorithm   is  e m plo yi ng   the  rand om - searc h  m echan ism   to  visit   diff e re nt  par ts  of   t he   se arch   s pace  a nd  the n  ap proa ches  as  cl ose   as  p os sible  to  global   op ti m u m   po int   [ 2,   3].  Im po rta nt  pr ob le m   of   t he  m et aheu rist ic   al gorithm s  i s  ho w  to   inc rea se  t he  pro ba bili ty   to   ov e rc om e the local o ptim a and   fin d  the  b et te r glo bal opti m um  v al ue .    In   t his  pa pe r ,  a  new   m et aheu risthic  al go rithm   is  intro du c ed.   T he  propo sed  al gorithm   is  based   on   kin em at ic s  of   pro j ect il e  m oti on.  T he  pro j ec ti le   is  la un che d  f r om   a  po int   at   the  gro und  le vel  with   a  giv e n  velocit y,  m ov ed  in  va rio us   directi on s  unde r  a  un if orm   gr av it y,  and   la nded   on   a  ta r get  at   a  su r face.  How ever,   the  pro po se d  pro j ect il e - ta rg e t  search  (P T S)  al go rithm   do e s  no t  em ph asi ze  on   the  pr oject il e  trajectory   that  la un c hed   from   an  an gle.  The   al go rithm   te nd s  to  util iz e  the  trackin g  of  the  en velo pe  of   proj ect il e  traj ect o ry   wh ic h  enclo se s  al l  po ssible  po i nts  in  the  search  s pace.    The  en velo pe  of   pr oj ect il e  trajecto ry  cou l d  reach   po i nts  in  the  s earch  s pace  w hich  are  ou t  of  reach  from   a ny  pro j ect il es  m ov ing   with  a ny  init ia l  po ints  and  velocit ie s [ 4 ].   T he  in form ation  of the  t raj ect or y co uld   be  use fu ll  for  a pr oject il e to h it  a t arg et  fro m  it s s ta rting  po i nt.  I n  t he  pro po se d  PTS   al gorithm ,  the  be nef ic ia l  pr op e rty   of  the  env el op e   of  pro j ect il e  trajec tory  is   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Project il e - tar ge t searc h alg ori thm: a stoc has ti c m et ah e ur ist ic  o ptimiz atio n t echn i qu e   ( Ay ong Hien dro )   3773   app li ed  t o  fi nd  a  ta r get  on  a  li near   s hap e   su r face .  Fu t he rm or e,  the  P TS  al gorithm   has  tw o  m ai n  con t ro l  par am et ers  in  order   to  acce le rate  conve rg e nc e  and   sea rch i ng  p r ocesses  a nd  h ence ,  it   can  fin d  the  bette r  global  op ti m u m   value   faster  than  a ny   oth er  opti m izati on   al gorith m s.   In   or de r  to   exam ine  the  gen eral  pe rfo rm ance  of  the  pr op os ed  al gorithm ,  it   i s  te ste d  on  six  be nc hm ark s  and   t heir  s hifted  f unct ions.   The  pe rfo rm ance  i s   com par ed  t o other al gorithm s’  res ults w hich   hav e  b ee n re ported  i n  [ 5 - 10 ].       2.   PRO JEC TIL E MO DEL   The  pr oj ect il e  is  def i ned   to b e   la un c hed  f r om  a  groun d  le vel   (h   =  0), w it h  a n  init ia l  velocit y  v,   an d  at   an  an gle  of  inc li nation  θ  m ea su re d  wit h  res pect  to  the  hor iz on ta l  as  sho wn   in  Fig ure   1.  The  path  f un ct ion   of  the pr oj ect il e ( y) as a  f un ct io n of h or iz on ta l  distance  (x)  is  sp eci fied  as  fo l lows :     ( ) = .  ( ) − . 2 2 2  2 ( )   (1)     wh e re :   g   =  9.8 1  m /s 2   The  siz e   an d  s hap e   of  t he  proj ect il e  tra j ect or ie s  va ry  acc ordin g  t o  the   la un c h  a ngle s  at   an  i niti al   velocit y  v   a bove   t he  horizo ntal,  as  seen   in  Fi gure  2.  T hese  t raj ect or i es  ha ve  a n  en velo pe  of  project il e   trajecto ry. T he e nv el op e  of pr oj ect il e traject or y ( φ )  is a path  that encl os es  an d  i ntersects  al l po ssible  pro j ect il e   paths  to fin d  it s targ et   onto  a  hill . Th e  shape  of the  h il l su rfac e is de fine d as t he  im pact f un ct io n  ψ .           Figure  1.  The   pro j ect il e  m ov ing pat h       Figure  2 .  The  e nv el op i ng p a ra bo la   path       The  e quat ion f or the e nvel op e of  proj ect il e t raj ect or y  [ 4 ,  11 ]  is d et erm ined  by     ( ) = 2 2 − 2 2 2   (2)     Fo r  a conti nuous im pact fu nc ti on   ψ(x)   on  0   ≤  x  <    with  ψ   (0)  = 0,   the s urface  of   ψ  a nd   the p at h  of  φ   hav e  ex act ly   one  po i nt of i ntersecti on. It  is noted t hat the re  exists a  un i qu e  targ et   for w hich  ψ(x)   =  φ( x ) .   The  m ai n  go al   of  the  pro po s ed  PT S  al gorit hm   is  to  m ini m iz e  the  diff e ren ce  betw een   ψ  a nd   φ   i n  order  to   ens ure   a  proj e ct il e  re ach  t he  ta r get  pr eci sel y.  A  f unct ion  γ ( x )   is  t hen  im ple m ent ed  t o  sea rch  th e  ta rg et   on the im pact su r face a nd it  is g ive n by     ( ) =   ( ) − ( )   (3)       3.   PRO JEC TIL E - TAR GET  S EAR CH ALG ORI TH M   The  init ia l  para m et ers  of   t he   PTS  al go rith m   are  the  po pula ti on   siz e  N,  the  num ber   of   var ia bles  D ,  the  lo wer  boun d  xm in,  the  up per  boun d  xm a x,   a nd  the  m axi m u m   it erati on   Im ax.   The  l ower  an d  uppe r  boun ds  of v a riables a r e ex pr es sed  b y       = [  1  2 …  ] ,   = [  1  2 …  ]   (4)     The  init ia l  pr oject il e  popu la ti on   as  ca nd i dat e  so luti ons  is  r andom ly   gen erated  by  assig nin g  rand om   values  ( r and j ) wit hin   [ 0,   1] to  each b oundary  as foll ows:     , ( = 1 ) =    +    . (  −  ) ,  = 1 , 2 , … , ;   = 1 , 2 , … ,       (5)   v θ y ( x ) ψ ( x ) y ( x ) φ ( x ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J   Ele c &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   3772   -   3778   3774   The  ta r get  po pu la ti on  is  ra ndom ly   created   by  per tu r bin g  a  ra nd om l y  sel ect ed  proj ect il e  with   the d i ff e ren ce   of the t wo o t he r  ra ndom ly  sel ect ed  pr oj ect il es. T he  ta r get  popula ti on is  ge ner at e d by     , ( ) =   1 , ( ) +   0 . 5   ( 2 , ( ) − 3 , ( ) ) ,  = 1 , 2 , … , ;   = 1 , 2 , … ,       (6)     wh e re  the  in di ces  a 1 ,  a 2 ,  an d  a 3     {1,2, …, N }  are  rand oml y  cho sen  i nteg ers  an d  m us t  be  diff e re nt  fro m   each  oth e r  a nd all   ar e also  dif fer e nt  f r om  the b ase   ind e x.     Evaluati ng  the  fitness  value s  of   the  pro j ect il es  and   the  ta rget s  are  carried  ou t  by  us i ng   ( 7)  and   ( 8)  a s   fo ll ows:     ( ) =   ( , ( ) )     (7)   ( ) =   ( , ( ) )   (8)     The best p r oje ct il e  x bestj ( I )   and it s b est  v al ue  f best ( I )   are then  s el ect ed  by co m par i ng  t he  fitne ss v al ue s of   each  x i,j ( I )   a nd  t i,j ( I ) , as  f ollo ws:      ( ) = {   , ( )         ( ( , ( ) ) ) ≤  ( ( , ( ) ) ) , ( )          ℎ                                                                                                       (9)    ( ) =   (  ( ) )   (10)     wh e re  I   =  1,2,…,  I max   w hich denote s t he  s ubse qu e nt  gen e r at ion  c reated  f or each  it erati on.   The  m ai n  pr oc ess  of   PT S  optim iz at ion   is  iterati ng   the  pro j ect il e  in  or de r   to  reach  it s  best  fitness  value. T he pr oj ect il e search  m od el   f or  c onve r ging to wa rd s  to  the  tar get is a s foll ow s:   for  i   =  1: N   for  j   =  1: D   If  r and   <  0.5   , ( + 1 ) =    1 , ( ) −     ( ( , ( ) ) ′ ( , ( ) ) )     (11)   Else   , ( + 1 ) =   , 1 ( ) +     ( ( , ( ) ) ′ ( , ( ) ) )   (12)   end   end   end   In   t his  PS A  optim iz at ion ,  a  li near   sh a pe d  hill   with  a  slo pe  of  m   is  us e d  as  the  im p act   functi on.   The  im pact fun ct ion  is      ( ) = .   (13)     As  th e im pact fu nctio n has  b e en  s pecified , t he  fun ct io n  γ ( x ) c ou l d be  def i ne d here  b y     ( ) =   . − 2 2 + 2 2 2   (14)     and     ( ( , ( ) ) ′ ( , ( ) ) ) = ( . , ( ) − 2 2 + 2 2 . ( , ( ) ) 2 + 2 . , ( ) )   (15)     The dist ance  bet ween   pro j ect il e and tar get at t he  c urren t i te r at ion  is cal c ulate d  as  fo ll ows:     , ( ) = [  ( ( , ( ) ) −   ( , ( )   ) ) ] 1 /   (16)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Project il e - tar ge t searc h alg ori thm: a stoc has ti c m et ah e ur ist ic  o ptimiz atio n t echn i qu e   ( Ay ong Hien dro )   3775   Ther e  a re  2  pa ram et ers  fo r  con t ro ll in g  the   distance  ( d ),  tho se  a re  r   and   s ,  wh e re  ( r ,  s )  >  0.   Othe r  c on tr ol  pa ram et er f or (1 1) an d (12 )  is  de fine d by     =       ,   = ( 1 − )   ,  q   >  0   (17)     The  new  ta rge t  popula ti on   ( t k,j ( I +1) )  is  al so   c reated  in   he re.   Finall y,  the  be st  pro j ect il e  fo r  t he  nex t   it erati on  is       ( + 1 ) = {   , ( + 1 )         ( ( , ( + 1 ) ) ) ≤  ( ( , ( + 1 ) ) ) , ( + 1 )          ℎ                                                                                                                       (18)    ( + 1 ) =   (  ( + 1 ) )   (19)     The  pr ocesses   are  rep eat e d  un ti l  f best ( I +1)   meet s  it s  desired   accu racy  le ve l  ( ɛ )  or  the  it erati on   has   reache d  I m ax   an d resu lt s i n  x bestj ( I +1)  as the sati sfied pr oject il e land i ng onto  th e target.       4.   RESU LT S   A ND AN ALYSIS     Ther e   are  si x  ben c hm ark s  a nd  their   sh i fted  functi ons  us ed   to  eval uate  pe rfor m ance  of  the  propos e d  PTS  al gorithm .  The  m a the m a ti cal   fo rm ulati on   of   the  be nc hm ark   functi ons  are  giv e n  in   Table  1.   In   order   t o  ver ify   the  perf or m ance  of   th e  propose d  PT S  al gorithm ,  it  is  com par ed  to  ot her   al gorit hm s  wh ic h  ha ve  bee n  repor te d  in  [ 5 - 10 ] .  T o  ca rr y  ou t  t he  com pari so n  of  al gorit hm   per f or m ance,  the  a ppr oac h  usi ng  is  t o  c om par e  the  accu racies   for  a  fixe d  num ber   of  it era ti on s.  I n  the  e xp e rim ent,  100  dim ension s  ( D   =   10 0) ,   30   searc h  agen ts  ( N   =  30 ),   an d  1000  it erati on s  ( I max   =  1000)  a re  im pl e m ented  f or   ea ch  al gorithm .  The  sta ti sti cal   resu lt s  after  30  in de pe nd e nt  ex per i m ent s  are  eval uated.   T he  m e an  an d  sta ndar d  de viati on   (SD)  values  of   t he  best   so luti ons  from  the last  it erati ons a re  pu t a s th e m e tric s to  ass ess the  pe rform ance of alg or it h m s.       Table  1.   Be nc hm ark  fu nctio ns   Fu n ctio n   Fo r m u la   Test r an g e    (x)   Sh if t  p o sitio n  ( o )   G lo b al op ti m u m   x*   F (x* )   Sp h ere   1 ( x ) = ∑ [ 2 = 1 ]      [ - 1 0 0 ,  1 0 0 ] D   -   [ 0 ,  0 ,  …,  0 ]   0   Ro sen b rock   2 ( x ) = ∑ [ 100 ( + 1 − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 − 1 = 1 ]    [ - 3 0 ,  3 0 ] D   -   [ 1 ,  1 ,  …,  1 ]   0   Sch wef el   3 ( x ) = − ∑ [ sin   ( √ | | = 1 )]   [ - 5 0 0 ,  5 0 0 ] D   -   [ s, s,  …,  s ]   S =  4 2 0 .96 8 7 4 6   - 4 1 8 9 8 .2 8 8 7   Ras trigin   4 ( x ) = ∑ [ 2 = 1 − 10 cos ( 2 ) + 10 ]    [ - 5 .12 ,  5 .12 ] D   -   [ 0 ,  0 ,  …,  0 ]   0   Ack ley   5 ( x ) = 1 + 20 − 20 . exp ( − 1 5 √ 1 ∑ 2 = 1 ) − exp ( 1 ∑ cos   ( 2 = 1 ) )     [ - 3 2 ,  3 2 ] D   -   [ 0 ,  0 ,  …,  0 ]   0   Griewa n k   6 ( x ) = 1 + 1 4000 ∑ 2 = 1 − ∏  ( √ ) = 1     [ - 6 0 0 .  6 0 0 ] D   -   [ 0 ,  0 ,  …,  0 ]   0   Sh if ted   Sp h ere   7 ( x ) = ∑ [ 2 = 1 ],  z  =  x   -   o      [ - 1 0 0 ,  1 0 0 ] D   [ - 30, - 3 0 ,  …,  - 30]   [ - 3 0 ,  - 3 0 ,  …,  - 30]   0   Sh if ted   Ro sen b rock   8 ( x ) = ∑ [ 100 ( + 1 − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 − 1 = 1 ],   z =  x   -   o   [ - 3 0 ,  3 0 ] D   [ - 15, - 1 5 ,  …,  - 15]   [ - 1 4 ,  - 1 4 ,  …,  - 14]   0   Sh if ted   Sch wef el   9 ( x ) = − ∑ [ sin   ( √ | | = 1 )] ,  z   = x  -   o   [ - 5 0 0 ,  5 0 0 ] D   [ - 3 0 0 ,  - 3 0 0 ,  …,  - 300]   [ s, s,  …,  s ]   S =  1 2 0 .96 8 7 4 6   - 4 1 8 9 8 .2 8 8 7   Sh if ted   Ras trigin   10 ( x ) = ∑ [ 2 = 1 − 10 cos ( 2 ) + 10 ],     z =  x   -   o   [ - 5 .12 ,  5 .12 ] D   [ - 2 ,  - 2 ,  … ,  - 2]   [ - 2 ,  - 2 ,  … ,  - 2]   0   Sh if ted   Ack ley   11 ( x ) = 1 + 20 − 20 . exp ( − 1 5 √ 1 ∑ 2 = 1 ) − exp ( 1 ∑ cos   ( 2 = 1 ) ) ,   z  =  x   -   o   [ - 3 2 ,  3 2 ] D   [ - 5 ,  - 5 ,  … ,  - 5]   [ - 5 ,  - 5 ,  … ,  - 5]   0   Sh if ted   Griewa n k   12 ( x ) = 1 + 1 4000 ∑ 2 = 1 − ∏  ( √ ) = 1 ,     z =  x   -   o   [ - 60 0 .  6 0 0 ] D   [ - 4 0 0 ,  - 4 0 0 ,  …,  - 400]   ( - 4 0 0 ,  - 4 0 0 ,  …,   - 400)   0       The  pa ram et er s  nee de d  t o  dr i ve  t he  P TS  al gorithm   are:  gr a vitat ion al   acce l erati on  ( g ) ,  i niti al   velocit y  of  pro j ect il e  ( v ),   sl op e   of  ta rget ’s  s urface  ( m ),  q ,  r ,   an d  s .  Gr a vitat ion al   a ccel erati on  is  a   co ns ta nt   of  g   =  9. 81 .   The  init ia l  velocit y  of   pro j e ct il e,  the  slope   of   the  ta r get’s  surface ,  an d  q   giv e  im po rtant  co ntribut ion s  to   the con verge nc e proces ses,  w hile  r   a nd  s   a re  contr olled the   searchi ng pr oc ess of t he  PT S  al gorithm .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J   Ele c &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   3772   -   3778   3776     To  facil it at e  t he  analy s is,  se le ct ed  functi ons  are  us e d  as   exp e rim ent  ob j ect s .  Fig ur e  3  desc ribes   the  influ e nce  of  v   on   c onve rgence  proce ss  of  the  Ac kley   f un ct io n  under   fixe d  m   co ndit ion ,  wh il e  Fig ure   4  is   it s  per f orm ance  with  var ia ti ons  of   m   at   v   f ixed  c onditi on .  As  seen   in  Figu re   3,   v   ha s  a  str ong  e ffec t  to  conve rg e nce  s peed   of  the  P TS  al gorithm .  The  c onverge nc e  process  run s  relat ive  slo w ly   wh en  v   has   la rg e   values . On  the o the r  ha nd,  m   has  sli gh tl y eff ect  to  the co nv erg e nce speed .  H oweve r,  the  final f it ness va lues o f   the searc hi ng  proces s  var y si gnific antly  w it h  bo t h  v   a nd  m   a s seen i n Table  2 .     Othe r  c on tr ol  par am et er  of  the  P TS  al gorithm   is  q ,  as   show n  i n  Fi g ure   5.   I ncr easi ng  the  value   of   q   will   sp ee d  up   the  c onve r ge nce  process   of  the   PT S  al gorithm .  This   pa ram et er  al so   giv e s  ve ry   hi g h  con t rib ution   t o  the  best  fi nal  f it ness  value  w hich  c ou l d  be  r eached  by  the  al gorithm .  Table  3  pr e sents  th e  best  final  fitnes s  va lue  of  S ph e re  f un ct io n  acc ord ing   to   it s  q   values.   H ow e ver,  no t  al l  pro ble m s  beh ave  the   sam e   way   as  Ack le y   and   S ph e re  f unct ions.  F or   ex a m ple,  Schw e f el   fu nctio n  wil l  su ff e r  from   s ta gn at io n  co nd it ion   and  lose  it s  c onve rg e nce  t o  the  global  optim u m   if  q   i s  set   to  a  hi gh  val ue,   as   sh ow n  in   Fig ure   6.   The  par am et er  q   s peed s  up  c onve rg e nce  process  for  al l  te st  functi ons,  but  Schwe fel  functi on   nee ds   r el at ive  sm a ll  sp eed i n order  to g o  to  the  global o pti m u m  p at h.           Figure  3 .  Fit ne ss v al ue  c urves  w it h va riat ions o f  v       Figure  4 .  Fit ne ss v al ue  c urves  w it h va riat ions o f  m       Table  2 .  Influe nce  of  v   a nd  m   upon  the  b e st f inal fit ness  v al ue   Perf o r m an ce of  the  Ackley  f u n ctio n   with  variatio n s o f   m   at  v   m   = 1 0             v   0 .1   1   5   20   50       2 .66 E - 15   5 .82 E - 13   3 .76 E - 12   4 .95 E - 11   4 .13 E - 09   v    =   0.1             m   0 .1   1   5   20   50       1 .48 E - 13   3 .82 E - 14   2 .66 E - 15   2 .66 E - 15   2 .66 E - 15           Figure  5 .  Fit ne ss v al ue  c urves  w it h va riat ions o f  q       Figure  6 .  Fit ne ss v al ue  c urves  w it h va riat ions o f q  for  Sc hwefel  f un ct io n         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Project il e - tar ge t searc h alg ori thm: a stoc has ti c m et ah e ur ist ic  o ptimiz atio n t echn i qu e   ( Ay ong Hien dro )   3777   Table  3 .  Influe nce  of  q   up on the  best f i nal f it ness value   q   0 .1   1   5   10   20   30   40   50       0 .83 2 7 4 9   1 .37 E - 08   1 .94 E - 28   2 .85 E - 47   3 .76 E - 69   8 .18 E - 90   1 .17 E - 102   1 .14 E - 128       It  has   bee n  m entione d  t hat  pa ram et ers  v ,  m ,  an d  q   in flue nc e  to  the   co nver gen ce   s peed  an d  the   cl os est   op ti m u m   valu e  that  c ou l d  be   reac hed  by  t he  P TS  sea rc hi ng   proces ses.  Howe ver,  the   conve rg e nce  t ow a r ds   global o pti m um   will  b e fail ed  if the  pro j ect il es are trapped i nto  local o ptim a in the  searc h  sp a ce. F ur t he rm or e,   the  proj ect il es  gen e rated   by   it erati on   proces ses  are   al so  de pende nt  to   dist ance  c ontrol   pa ram et ers:  r   and  s .  These  param eter s  are   ve ry  im po rtant  in  order   t o  e nh a nce   pro bab il it y  of  the  new   pro j e ct il es  to  avo i d  from   local  opti m a.     Com par ison s   of   al gorithm s’  perf or m ances  are  s umm ariz ed  in  Table  4  an d  Ta ble  5.   The  obta in  resu lt s  f or   benchm ark s  F 1 - F 6   are  sh ow n  in   Table  4 .   As  su m m arized  in  Table  4,   PTS   ou tpe rfo rm s  h yb rid  firef ly   al gorith m   (H FA),  vel ocity - base d  ar ti fici al   bee  colon y  al gorith m   (V ABC),  a lt ern at ive  dif f eren ti al  evo l ution   al gorithm   (A DE)   and   opposit io n - base d  m agn et ic   op tim iz at i on   al gorithm   (F MO A),  excl ud i ng   m od ifie d  m on key  al gorithm   (MM A),  on  F 1 .  O nce  aga i n,   P TS  ha s  th e  best  pe rform ance  on   F 2   and   F 3 .  Investi gatio n  on  F 4   shows  tha t  AD E  is  the  be st,  bu t  PTS  a nd  V ABC  are  al m os t  as   go od.  On   f unct io n  F 5 ,  PTS   is  the  best,  but  MM A,   FA ,   and  A DE  pe rfor m   alm os t  as  well   as  P TS.  T he  c omparati ve  res ults  al s o  dem on strat e  th at   PTS,   fire fly   al gorithm   (F A),  an d  A DE  ha ve   the  best  pe rfor m ances  on  F 6.  Ex per im ents  on   F 7   and   F 12  sho w  that  PTS  c ou l d  find   t heir  best   global  op ti m a   po i nts  as  seen   in  Table  5.  F or   s hifted  func ti on s   F 7 - F 12 , PTS  pe rfor m s  m uch   be tt er th an  m oth - flam e o pti m izati on  alg ori thm  ( MF O)   [ 6].         Table  4 .  Algori thm  p erf orm ance m e tric s f or  basic f unct io ns,  D   =  100   F   PTS   MM A  [ 6 ]   HFA/FA  [ 7 ]   VABC  [ 8 ]   ADE  [ 9 ]   FMOA  [ 1 0 ]   Mean SD   Mean SD   Mean SD   Mean SD   Mean SD   Mean SD   F 1   9 .85 E - 177  0 .00 E+00   0 .00 E+0  0 .00 E+00   2 .64 E - 171  0 .00 E+00   1 .05 E - 25  2 .34 E - 25   6 .37 E - 45  1 .12 E - 44   1 .67 E - 01  8 .00 E - 02   F 2   2 .62 E - 19  4 .77 E - 19   -   0 .07 7 1 5 2   0 .16 1 8 3   1 .60 E - 11  2 .62 E - 11   8 .90 E+01   3 .46 E+01   9 .80 E+01   3 .21 E - 03   F 3   - 3 9 2 1 2 .9 3   4 0 4 4 .1 3   -   - 12439  1 3 3 .24   -   -   - 6 .17 E+03   2 .42 E+03   F 4   2 .31 E - 15  2 .39 E - 15   -   3 .39 E - 08  7 .29 E - 09   3 .34 E - 14  7 .47 E - 14   0 .00 E+00   0 .00 E+00   8 .74 E - 02  4 .93 E - 02   F 5   4 .03 E - 15  2 .07 E - 15   4 .4E - 15  0 .00 E+00   1 .25 E - 14  3 .36 E - 15   1 .50 E - 05  3 .33 E - 05   6 .21 E - 15  0 .00 E+00   6 .58 E - 02  1 .34 E - 02   F 6   0 .00 E+00   0 .00 E+00   -   0 .00 E+0  0 .00 E+00     - 100  0 .00 E+00   0 .00 E +0 0   0 .00 E+00   1 .15 E+00   7 .98 E - 02       Table  5 . Alg or i thm  p erf orm ance m e tric s f or  s hifted   f un ct i ons ,  D   =  100   Fu n ctio n   PTS   MFO  [ 1 1 ]   Mean   SD   Mean   SD   F 7   0 .00 E+00   0 .00 E+00   0 .00 0 1 1 7   0 .00 0 1 5   F 8   3 .21 4 0 4 8 E - 22   6 .74 0 4 7 7 E - 22   1 3 9 .1487   1 2 0 .2607   F 9   - 4 2 6 0 0 .9 4 9 5 7 7   1473. 5 1 7 3 9 8   - 8 4 9 6 .78   7 2 5 .8737   F 10   1 .92 8 1 5 0 E - 06   1 .22 2 0 5 9 E - 06   8 4 .60 0 0 9   1 6 .16 6 5 8   F 11   1 .17 0 7 9 5 E - 07   9 .66 8 9 5 7 E - 08   1 .26 0 3 8 3   0 .72 9 5 6   F 12   0 .00 E+00   0 .00 E+00   0 .01 9 0 8   0 .02 1 7 3 2       5.   CONCL US I O N   Fr om   exp erim ents  on  sel ect ed  well - know n  be nch m ark s   and   their  s hi fted  f un ct i on s ,   it   has  been   dem on strat ed   that  PT S  al go rithm   is  an  eff ec ti ve  opti m iz at i on  al gorithm   to  deal  wit h  hig h  dim ension s   globa l   op ti m iz ation   pro blem s.  It  is  al so   pro ve n  to   be  a  ver y  c om pet it ive  al go rithm   co m par ed  to  ot her   well - kn own   m et aheu risti c a lgorit hm s             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J   Ele c &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   5 ,  Oct ober  20 19  :   3772   -   3778   3778   RE FERE NCE S   [1]   Y.D.  Serge y e v,   D.E .   Kv asov,   M . S.  Mukham et zh anov,   “ On  Th e  Eff iciency   of  N at ure - Inspir ed  Meta heur isti cs  i n  Expe nsive   Glob al   Opt imiza t ion w it h  L imite d  Bu dget , ”  S ci en ti f ic  Re ports ,   vo l. 8 ,   p p. 1 - 9,   2018.   [2]   C.   Blum ,   A .   Rol i,   “ Meta h eur ist ics   in  Com bina tor ia l   Optimization :  Overvi ew  and   Conce ptu al   Co m par ison,”   AC M   Computing  Surv ey s ,   vo l. 35, pp.  268 – 308,   2003 .   [3]   H.  Maka s,  N.  Yum usak,   “ Bal anc ing  Expl or at i on  and  Expl oita ti on  b y   Us ing  Sequent i al   Exec uti on  Cooperati on  Bet wee n  Art ifi c ia l  Be e  Colon y  and  Migrat ing   Bird s  Optimiza ti on  Algori thms , ”  Tur ki sh  Journal  of  El e ct ric a l   Engi ne ering  &   Computer  Scien ce s ,   vo l. 24, pp.  4935  –   4956 ,   20 16.   [4]   M.  Baće,  S.  Il ijić,  Z.  Nara n cić,  L.  Bistri ci ć ,   “ The   Enve lop e  o f  Projectile  Tr ajec tor ie s, ”  Europ ean  Journal   of   Phy sics ,   vol .   23 ,   pp. 6 37 - 642 ,   20 02.   [5]   S.  Mirja l il i ,   “ Moth - Flame  Opti m iz at ion  Algo ri thm:  A  Novel  Natur e - Inspire d   Heuri stic   Pa rad i gm , ”  Knowle dg e - Based  Syst ems ,   vol.   89 ,   pp . 228 - 249,   2015 .   [6]   R. H.  Abi y ev ,   M.  Tunay ,   “ Ex per imental  Stud y   of   Speci f ic   Benc hm ark ing  Functi ons  for  Modifie d  Monk e y   Algorit hm , ”  Proce dia   Computer  Sci en ce ,   vol .   10 2,   pp . 595 - 602,   2 016.   [7]   L.   Zha ng ,   L.   L i u,   X.S.  Yang,   Y.  Dai,   “ A  Novel  Hy br id  Firefly   Algorit hm   for  G loba l  Optimiz at i on, ”  PLoS  One ,    vol.   11 ,   e016323 0,   2016 .   [8]   N.  Im ani an,   M. E.   Shiri ,   P.  Moradi,   “ Velocit y   Based  Ar ti fi ci a l   Bee   Colon y   Algorit hm   for  High  Dim ensiona l   Conti nuous Opti m iz at ion   Proble m s,”   Engi n ee rin g  Applications o f  Artifi ci al   Int el l i genc e ,   vo l. 36, p p. 148 - 163,   2014 .   [9]   A.W.  Moham ed,   H.Z.  Sabr y ,   M.  Khors hid,  “ An  al te rna ti v e  Diffe r ent i al   Evol uti on   Algo rit hm   fo r  Global  Optimiza ti o n, ”   J ournal  of Adv an ce d  Re search ,   v ol.   3 ,   pp . 149 - 16 5,   2012 .   [10]   M.  Aziz,  M.H.   Tay a ran i - N ,   “ Oppos it ion - Base d  Magne tic  Opt imiza ti on   Algor it hm   with  Para m et er  Adapt at io n   Strat eg y , ”   Swarm   and  Ev o lut ion ary  Computati on ,   vol .   26 ,   pp . 97 - 119,   2016 .   [11]   E . I.  Buti kov ,   “ T he  Envelope  of   Bal li st ic   Tra j ect orie s  and  El l ipt i c  Orbits, ”  Ame ri can  Journal  o f  Phy sics ,   vo l.  83,   pp. 952 - 958,   201 5.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.